tutor 03

UNIVERSIDAD DE LIMA ESCUELA DE NEGOCIOS

ASIGNATURA : ESTADISTICA APLICADA IPROFESORES : CONDOR, ILMERPERIODO ACADEMICO : 2005 – I

GUIA DE CLASE Nº 3

INTRODUCCION

De todos los ejemplos que hemos visto, podemos concluir en lo siguiente:

- Una vez conocida la distribución de probabilidades de la variable, podemos resolver cualquier problema de probabilidad.

- La distribución de probabilidad permite conocer el comportamiento de la variable ya que podemos esperar que ocurra un valor de ella, podemos conocer su variabilidad y su desviación respecto a la media.

- También hemos observado que, dependiendo de la forma del experimento, la variable aleatoria tiene diferente comportamiento; es decir, lanzar una moneda n veces y definir a X como el número de veces que ocurre éxito (sale cara por ejemplo); lanzar una moneda hasta que ocurra éxito y definir la variable X como el número de veces que debe lanzarse la moneda hasta que ocurra éxito por primera vez (sale cara por ejemplo); extraer n productos de un lote de tamaño N con reposición o sin reposición y definir la variable X como el número de productos defectuosos, por ejemplo.

Por esta razón el trabajo se simplificará enormemente si se pudiera conocer la distribución de probabilidad de la variable.

A continuación estudiaremos algunas variables cuya distribución es conocida y los problemas relativos a ellas las resolveremos usando el programa Minitab.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONOCIDA

Ensayo o experimento de Bernoulli

Si ξ es un ensayo aleatorio, diremos que constituye un Ensayo de Bernoulli, si cumple con las siguientes características:

- Se realiza una sola vez- Se obtiene dos únicos resultados posibles: Éxito o Fracaso. Definiremos con p la

probabilidad de éxito y q = 1 – p; la probabilidad de fracaso

Los siguientes son ejemplos de ensayos de Bernoulli- Lanzar una moneda una vez. Si p es la probabilidad de éxito: “Sale cara”, p = ½ - Lanzar al aire un dado una vez. Si p es la probabilidad de éxito: “Se obtiene un

número menor que 3”; en este caso, p = 2/6.

Distribución de Bernoulli

Sea ξ un experimento de Bernoulli. Si definimos a X como el “Número de veces que sale cara”, entonces diremos que X tiene una distribución de Bernoulli, de parámetro p, denotado por X Be(p) y cuya función de probabilidad es

p(x) = P(X = x) =

Prof. Ilmer Cóndor Página 1 de 23


Valor esperado y varianza de una variable de BernoulliPonga los datos de la distribución de probabilidad de X en el siguiente cuadro

Obtenga la media (esperanza de X): μX = E(X) = ...............Obtenga la varianza de X: σ²X = V(X) = .....................

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Definición

Sea ξ un experimento de Bernoulli. Suponga que este experimento se realiza n veces. Cada vez que ocurre un determinado evento A, se dice que ha ocurrido éxito, con P(A) = p y que ocurre fracaso con P(A’) = q = ......... Suponga también que la ocurrencia del evento A y A’ son independientes. Si se define a X como el “Número de veces que ocurre éxito en las n repeticiones del experimento”, entonces diremos que X tiene una distribución Binomial, con parámetros n y p, denotado por X B(n, p) y cuya función de probabilidad viene dada por

Observaciones:1. Si n = 1, X tiene distribución de Bernoulli (basta con reemplazar n = 1 en la

función).2. La distribución acumulada, F, se define como

TeoremaSi X B(n, p) entonces su media es μX = E(X) = np y su varianza es σ²X = V(X) = npq

Nota:Ejecute el programa Minitab. Para resolver problemas relativos a distribuciones de probabilidad se deberá usar la siguiente secuencia:<Calc> - <Probability Distributions>De la lista que aparece se deberá seleccionar la distribución requerida.

Ejemplo 1Si X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n = 8 y p = 0.25, a) Cuál es la distribución de probabilidad de Xb) Usando el programa Minitab, construya la distribución de X


X

p(x)


c) Usando el programa Minitab, construya la distribución acumulada de Xd) Obtenga P(X ≤ 6)e) Encuentre P(X > 5)f) Encuentre la media y la varianza de X (de dos formas)g) Construya un gráfico para la función de probabilidadh) Construya un gráfico para la distribución acumulada de probabilidad

Solucióna) Puesto que X B(n = 8, p = 0.25), usando la definición, la f. p. es

p(x) = P(X = x) = .......................................................

b) Ejecute el programa MiniTab, si aún no lo ha ejecutado.Puesto que n = 8 indica que se ha realizado 8 repeticiones de un determinado experimento y X representa el Número de éxitos obtenido, entonces los valores de X son: ..................................................

Ingrese estos valores en la primera columna de la hoja de trabajo en Minitab.Haga que la columna 1 se llame X (digite X en la etiqueta ploma de la primera columna y p(x) en la segunda columna)Use la secuencia <Calc> - <Probability Distributions>. Seleccione <Binomial>La figura de la derecha muestra lo que debe ingresar en la ventana que se obtenga.Luego haga clic en <Ok>.

c) Ahora vamos a obtener la distribución acumulada F(x).Para ello digite F(x) en la etiqueta gris de la columna C3.Use la secuencia <Calc> - <Probability Distributions> - <Binomial>. En la ventana que salga seleccione <Cumulative probability>; en <Optional storage> ingresa C3. Los otros datos son iguales como en la figura anterior. Luego haga clic en <Ok>.

Nota 1:Usa siempre <Input Column> con <Probability> para obtener la función de probab.Use siempre <Input Column> con <Cumulative probability> para obtener la distribución acumulada, F(x).

Nota 2:Use <Input constant> con <Probability> para hallar un valor puntual, p(k)=P(X = k)Use <Input constant> con <Cumulative ...> para obtener P(X ≤ k); es decir, F(k).d) Para obtener P(X ≤ 6 ) = F(6), usaremos Minitab. Use la siguiente secuencia:

<Calc> - <Probability Distributions> - <Binomial>. Use la sugerencia de Nota 2.



El resultado es F(6) = P(X ≤ 6 ) = .....................e) Para encontrar P(X > 5) primero debemos complementarla, para poder usar la

acumulada; es decir, P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5 ) = F(5). Esto es lo que vamos a buscar usando Minitab. Según esto, P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5 ) = 1 – .............. = ...............Nota:Para d) y e) se puede usar la distribución de la hoja de trabajo (siempre que se tenga).F(6) = P(X ≤ 6 ) está en la fila 6 de la columna C3F(5) = P(X ≤ 5 ) está en la fila 5 de la columna C3.

f) Cálculo de la media de X:Por el teorema: μX = E(X) = np = ................. = ........Usando la calculadora del Minitab:Use la siguiente secuencia: <Calc> - <Calculador>. En <Store result in variable> digite C10 (una columna que no está en uso). En <Expression> digite Sum(C1*C2). Luego haga clic en <Ok>.

Calculemos la varianza de X:Por el teorema: σ²X = V(X) = npq = ................................... = .....................Usando la calculadora del Minitab: σ²X = V(X) = ..................

g) Graficaremos la función de probabilidad usando la opción Plot del comando Graph.Usemos la siguiente secuencia: <Graph> - <Scatter Plot> - <One Y> - <Simple>En la ventana que salga: En <Y> ingrese C2; en <X> ingrese C1. En <Data View> seleccionar <Project>. Hacer clic en <Ok>.

h) En este caso usaremos la opción <Bar Chart> del comando <Graph>, que es el que nos permitirá obtener un gráfico como se acostumbra tener para una distribución acumulada.

Para ello usaremos la siguiente secuencia:

<Graph> - <Bar chart>. En <Bars represent> seleccionar <Values from a table> - <Simple> - <Ok> En <Graph variables> ingresar C3. En <categorical variables> ingresar C1. Hacer clic en <Data View>. En <Data display> clic en <Conect line> - <Ok> - <Ok>.¿Cómo debe proceder si desea que en el mismo gráfico se visualice la gráfica de la función de probabilidad de X y la de su acumulada?.A la secuencia anterior debe añadirle: En <Graph variables> ingresar C2 – C3. Clic en <Multiple graphs> Clic en <In separate panel of the same graph> Desactivar <Same Y>

Ejemplo 2



Si un determinado experimento se repite 100 veces y se define a X como el número de éxitos obtenidos, con 0.3, la probabilidad de éxito en cualquier repetición del experimento,a) Calcule P(X > 60)b) A qué es igual E(X²)?

Solucióna) Según los datos, n = 100, p = 0.3 y si X: Número. de éxitos obtenidos,

entonces X B(100, 0.3). Sabemos que, usando el complemento, P(X > 6) = 1 - ...................Use el Minitab para encontrar P(X ≤ 5) y luego encuentre P(X > 6).Recuerde que debe usar <Calc> - <Probability distributions>; seleccionar <Cumulative ....>, n = 100, p = 0.3; <Column constant> y digitar 5; <Ok>.

b) De la ecuación V(X) = ......................Despeje E(X²) = ...............................

Ejemplo 3

En un trabajo de investigación se reportó que el 1% de todos los trabajadores de la industria de construcción son mujeres. En una muestra aleatoria de 10 trabajadores de esta industria, encuentre la probabilidad de que a lo más, uno de ellos sea mujer.

SoluciónDefinimos a X como: ................................................Según esto, p, significa que, al elegir a un trabajador, la probabilidad de que sea .............. es p = .............Valor de n (tamaño de la muestra); n = ...............Si se define a X como “Número de mujeres en la muestra”, a lo más uno de ellos sea mujer se representa por .............................Luego debemos encontrar P(......................)Use el programa Minitab siguiendo el mismo procedimiento empleado en a) del Ejemplo 2.

Nota importante:Si a X se define como: “Número de productos defectuosos hallados en una muestra de 10”La expresión: “A lo más K son defectuosos” se representa por X ≤ KLa expresión: “Por lo menos K son defectuosos” se representa por X ≥ K La expresión: “Al menos K son defectuosos” se representa por X ≥ K La expresión: “Exactamente K son defectuosos” se representa por X = K La expresión: “Máximo K defectuosos” se representa por X ≤ K La expresión: “Mínimo K defectuosos” se representa por X ≥ K La expresión “Menos de K defectuosos” se representa por X < KSi se pide la probabilidad d alguno de ellos, es suficiente colocarlo dentro de P(.......).

Ejemplo 4

En un estudio reciente, Data Consult encontró un gran número de casos de contaminación y errores de etiquetado de mariscos en los supermercados de Lima. El estudio reveló un resultado alarmante: El 40% de trozos de pez espada, disponibles para la venta, tenía un



nivel de mercurio superior al límite inferior establecido. Para una muestra aleatoria de tres trozos de pez espada, calcule la probabilidad de que a) los tres trozos de pez espada tengan niveles de mercurio por encima del

límite permitido.b) exactamente uno de tales trozos esté por encima del límite permitidoc) cuando más, uno de tales trozos esté por encima del límite.

SoluciónDefina a X: ...........................................................................................................................Según su definición, la variable X tiene distribución Binomial? ..................Valor de p = ..............Valor de n = ..............Escriba la función de probabilidad de X: ...............................................................Exprese simbólicamente “Los tres trozos tengan niveles de superiores al límite” ...............Exprese simbólicamente “Exactamente uno de tales trozos tengan ....................” ...............Exprese simbólicamente “Cuando más, uno de tales trozos tengan ....................” ...............Usando lo anterior y empleando el programa Minitab,a) P(X = 3) = .....................b) P(X = 1) = .....................c) P(X ≤ 1) = ..........................

Ejemplo 5

Un estudio de tendencias a lo largo de cinco años en los sistemas de información logística de la industria, reveló que los mayores avances en la computarización, tuvieron lugar en el transporte. Actualmente el 90% de todas las industrias contienen archivos de pedidos abiertos de embarque en su base de datos computarizada. En una muestra aleatoria de 10 industrias, sea X el número de ellas que incluyen archivos de pedidos abiertos de embarque en su base de datos computarizada.a) Calcule la probabilidad de que haya más de 5 que incluyen archivos de

pedidosb) Encuentre la media y varianza de la variable X

SoluciónDefina la variable X como: ..........................................................La variable X se distribuye binomialmente? ..............Valor de n = ..................Valor de p = ..................Escriba la función de probabilidad de X: .................................................................Resuelva los casos a) y b) del problema

Ejemplo 6

El Instituto LASPAO informa que el 70% de los estudiantes de postgrado que obtienen el grado de Doctor en ingeniería en ese país, son ciudadanos de otros países. Considere el número de estudiantes extranjeros en una muestra de 25 estudiantes de ingeniería recientemente graduados.



a) Calcule P(X = 10), P(X ≤ 10)b) Calcule la media y desviación estándar de X. Interprete los resultadosc) Construya la gráfica de la distribución de probabilidad de X

Ejercicio 1

Una prueba de opción múltiple presenta cinco opciones por pregunta y consta de 15 preguntas. Si la calificación aprobatoria depende de obtener nueve o más respuestas correctas, cuál es la probabilidad de que un estudiante que adivina todas sus respuestas apruebe el examen?

Ejercicio 2

La probabilidad de lograr una venta efectiva que tiene un vendedor, encada entrevista es de 10%. Si un día determinado entrevista a 4 clientes, cuál es la distribución de probabilidad de X, número de ventas efectivas?

Ejercicio 3

Un grupo de inversionistas forman una empresa petrolera con suficiente capital para financiar 10 exploraciones. La probabilidad de que una exploración en particular sea exitosa es 0.2. Considere que el éxito de una exploración no influye en las demás exploraciones.a) Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 exploraciones sean exitosas?b) Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 exploraciones sean fallidas?c) Suponga que la empresa tiene un costo fijo de 200,000 dólares para preparar

el equipo antes de la primera exploración. Si cada exploración exitosa cuesta 30,000 dólares y cada exploración fallida 15,000 dólares, calcule el costo total esperado para la empresa para las 10 exploraciones.

Ejercicio 4

El 20% de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando aún esta vigente su período de garantía. De estos, el 60% se pueden reparar y el otro 40% deben sustituirse con aparatos nuevos. Si una compañía adquiere 10 de estos teléfonos, cuál es la probabilidad de que exactamente se cambien dos, dentro del período de garantía?

Ejercicio 5

Supóngase que la tienda 1 vende el doble de productos que la tienda 2. Por otro lado, cerca del 4% de los productos adquiridos en la tienda 1 son devueltos por los clientes por fallas en la fabricación, mientras que en la tienda 2, sólo son devueltos el 2% de los productos. Suponga que ambas tiendas logran una venta de 10 productos.a) Defina la variable de interés y determine su distribución de probabilidadb) Cuál es la probabilidad de que dos de estos productos sean devueltos?c) Cuántos productos se espera sean devueltos?



d) Si se sabe que a lo más 8 productos no fueron devueltos, cuál es la probabilidad de que se devuelvan sólo 2 productos?

Ejercicio 6

La producción diaria de un determinado cosmético en los laboratorios MISAB provienen de dos máquinas: A y B. La antigüedad de la máquina B le permite producir el doble de cosméticos que la máquina A. Sin embargo, el 10% de los cosméticos defectuosos provienen de la máquina B, mientras que de A, provienen sólo el 5%.Una venta particular involucra 4 cosméticos seleccionados aleatoriamente del lote de producción de un día (de ambas máquinas). Si definimos a Y como el número de cosméticos defectuosos encontrados en esta venta y C = 3Y² - Y +2 representa el costo de pérdida (en soles) por los cosméticos defectuosos en esta venta,a) Encuentre el valor esperado de este costob) Calcule la probabilidad de que el costo de pérdida sea inferior a 2 soles

Ejercicio 7

Un estudiante de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima que trata de escribir un trabajo para una asignatura tiene la opción de seleccionar los temas A y B. Si escoge el tema A, el estudiante pedirá dos libros por medio de préstamo de la biblioteca; en tanto que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá 4 libros. El estudiante piensa que para un buen trabajo necesita revisar por lo menos la mitad de los libros solicitados para cualquiera de los temas escogidos. Si la probabilidad de que un libro solicitado por medio de préstamo de la biblioteca, sea revisado por el estudiante es 0.9, y los libros los revisa independientemente uno de otro,a) cuál tema debe seleccionar para llevar al máximo la probabilidad de hacer

un buen trabajo? b) si la probabilidad de revisión de un libro solicitado es sólo 0.5 en lugar de

0.9, cuál tema debe seleccionar el estudiante?

Ejercicio 8

Una empresa minera tiene 100 taladros y otras máquinas en uso constante. La probabilidad de que una máquina quede fuera de operación, durante un día dado, es 0.002. Durante algunos días todas las máquinas están funcionando, durante otros, una, dos, tres, o más, no operan bien.a) Cuál es la probabilidad de que para un día específico no haya máquinas que

estén operando?b) Cuál es la probabilidad de que menos de dos máquinas no estén operando

durante un día específico?c) Cuál es la probabilidad de que menos de 10 máquinas no estén operando

durante un día específico?d) Un operador de estas máquinas afirma haber observado en muchas ocasiones

tres o más máquinas inoperantes durante el día. Parece lógica su afirmación? Por qué sí o por qué no?



Ejercicio 9

Se estima que el 0.5% de las llamadas telefónicas efectuadas a una gran compañía reciben señal de ocupado. Cuál es la probabilidad de que de las 300 llamadas telefónicas del día de hoy, al menos dos hayan recibido la señal de ocupado?

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Introducción

Si el experimento ξ se realiza indefinidamente hasta que ocurra un resultado (éxito) por primera vez, en cuyo caso se detiene, entonces ξ no puede ser un ensayo de Bernoulli. Este tipo de experimentos determinan distribuciones conocidas como geométricas o de Pasacl. Definición

Sea ξ un experimento aleatorio que se puede repetir indefinidamente. Sea A un evento cualquiera. Si p = P(A) representa la probabilidad de ocurrencia del evento A, diremos entonces que p constituye la probabilidad de éxito (de que ocurra el evento A). Supongamos ahora que el experimento ξ se realiza sucesivamente hasta que ocurra el evento A, por primera vez, luego del cual, se detiene. Si definimos a la variable X como “El número de veces que debe realizarse el experimento hasta que ocurra éxito, por primera vez” diremos que X tiene Distribución Geométrica con parámetro p y denotado por X G(p) y cuya distribución de probabilidad viene dada por

p

Si por cada fracaso se tiene la probabilidad de fracaso P(F) = q = 1 – p; En (x-1) fracasos se tiene la probabilidad P(FFFF….F) = ………….. (x – 1) vecesSi una sola vez ocurre éxito, entonces P(E) = ….Luego si queremos que ocurran los (x-1) fracasos y un éxito, la probabilidad de ello será la función definida líneas arriba.

Teorema

Si X tiene una distribución geométrica (X G(p)), entonces la media es μ = E(X) = 1/p y la varianza es σ² = q/p²

Observaciones1. Recuerde que si X tiene distribución geométrica, éxito ocurre una sola vez (el último)2. Los resultados son independientes en la realización del experimento3. Si se desea detener el experimento cuando ocurre r éxitos por primera vez, en x veces que se repite

el experimento ξ, estamos frente a una Distribución de Pascal, cuya función es

, x = r, r+1, r+2, …


F F F …. E

(x-1) fracasos Un éxito


Ejemplo 7

Escriba la función de probabilidad de una variable que tiene distribución geométrica G(p).................................Escriba la forma de encontrar su media: E(X) = ........Escriba la forma de encontrar su varianza: V(X) = ..........................

Ejemplo 8

Sea X la variable aleatoria que tiene distribución geométrica con parámetro 0.3. Determine: a) P(X = 4) b) P(X = 1) c) P(X > 1) d) P(X = 2 / X > 1).

SoluciónSi X tiene distribución geométrica con parámetro 0.3, entonces X G(p) con p = .........Su función de distribución es p(x) = P(X = x) = ............................................

Abra el archivo Dist Geometrica 1.xls.Según este problema, asigne la probabilidad p = 0.3Asigne el valor para X, según la pregunta (X = 4)a) El valor de la probabilidad p(4) = P(X = 4) = .................b) El valor de p(1) = P(X = 1) = .......................c) El valor de P(X > 1) = .........................d) El valor de P(2) = P(X = 2) = .........................

Obtenga P(X = 2 / X > 1) = .............................................................

Preguntas adicionales:Observando la distribución de probabilidades y la gráfica, responda a las siguientes preguntas:a) Si p = 0.25 y X = 2, P(X = 2) = ......................; P(X > 2) = .......................b) Si p = 0.40; P(X = 1) = .......; P(X = 2) = ...............; P(X = 3) = ............; P(X = 4)

=......c) Si p = 0.4, complete las siguientes tablas de distribución

Ejemplo 9

Usando el archivo Dist Geométrica 2.xls, complete las siguientes distribuciones.

Ejemplo 10

Si la media de una variable geométrica es 4, determinea) P(1 < X < 4) b) P(X > 2) c) V(X) d) V(3X²)

Use el archivo Dist Geométrica 2.xls para responder a las preguntas de a) y b)


X123456p(x) X123456F(x)


c) Use el teorema para obtener V(X) = ...............d) Usando propiedades de varianza: V(3X) = .......................... = ....................

Ejemplo 11

Sea X una variable aleatoria con distribución geométrica. Si el 80% de los valores de X son superiores a 1, qué porcentaje de valores de X son menores que 3?SoluciónComo X tiene distribución geométrica; es decir X ...............Se conoce la probabilidad de éxito, p? ................... Será 0.80? ............... Por qué no es? ................................................................................................Cuál es la función de probabilidad de X? P(X=x) = ......................... Valores de X: .............Qué significa “el 80% de los valores de X son superiores a 1”?. ..................................Es cierto que “valores de X superiores a 1” se puede expresar por X > 1? ........Si así fuera, a qué es igual P(X > 1) = .....................?Usando el complemento, a qué es igual P(X > 1)? .......................................Si P(X > 1) = 0.80 entonces P(X ≤ 1) = ................. Por otro lado: P(X ≤ 1) = P(X = 1). Cierto o falso? ...............Reemplace el valor de x = 1 en la función y despeje el valor de p: p = ...........Volviendo al problema debemos encontrar “Que porcentaje de valores de X son menores que 3?” Como esto significa resolver P(......................) = ?Resuelva el problema.

Ejemplo 12

En cierto proceso de producción se sabe que el 2% de artículos no cumplan con las normas de calidada) Si se prueban cada uno de los artículos producidos hasta encontrar la

primera pieza defectuosa, en cuyo caso se detiene la producción. Calcule la probabilidad de que la décima pieza probada sea la primera defectuosa.

b) Si la producción se paraliza al encontrar el primer artículo defectuoso, cuál es el número esperado de artículos de la producción?

SoluciónSi p es la probabilidad de que no cumplan con las normas de calidad, entonces p = ...........La forma cómo se lleva a cabo el examen de los productos, qué tipo modelo le sugiere: Bernoulli? Binomial? Geométrica? .....................................Según esto, defina a X: El número de ................................................................Usando p escriba la función de probabilidad de X: P(X = x) = ....................................Qué valores toma X? X = ................................................a) Que la décima pieza probada sea la primera defectuosa significa que X

= ...................; Escriba la función de probabilidad de X: P(X = ......) = ....................................

b) Use el teorema para encontrar el valor esperado: E(X) = 1/p

Ejemplo 13



En un experimento geométrico, la probabilidad de que se necesita 2 intentos para lograr el primer éxito es el doble de la probabilidad con tres intentos. Cuál es la probabilidad de que se requiera más de dos intentos para lograr el primer éxito?

SoluciónDefina a X como el “número de ................................................”Qué significa P(X = 2)? .......................................................................................................Qué significa P(X = 3)? .......................................................................................................Según el problema, plantee la ecuación: ..............................................................................Resuelva la ecuación, reemplazando la función, simplifique y obtenga p.....................................................................................................................Exprese la pregunta del problema en términos de X: P( ........................) Resuelva esta probabilidad.

Ejercicio 10

Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces, cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su décimo quinto disparo?

Ejercicio 11

Cada año la oficina de tributación realiza una revisión de las declaraciones de impuestos presentadas. Se ha determinado que la proporción de declaraciones con errores que anualmente se presentan es 10%.a) Cuál es la probabilidad de que la primera declaración con errores que se

revise sea la quinta?b) Cuál es la probabilidad de que las dos primeras declaraciones revisadas no

contengan errores?

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Definición

Sea X una variable aleatoria que toma valores,0, 1, 2, ...

Si , x = 0, 1, 2, ... entonces diremos que X tiene Distribución de

Poisson, con parámetro λ y lo que denotaremos por X P(λ).

TeoremaSi X P(λ) entonces E(X) = λ y V(X) = λ.

Nota:1. Observe que, contrariamente a las tres distribuciones ya estudiadas, en el caso de la

distribución de Poisson no ha sido necesario tomar en cuenta el tipo o modelo de



experimento; del mismo modo y como tal, nada se dice del tamaño de n. Por otro lado, tampoco es necesario conocer los elementos del espacio muestral.

2. Podríamos decir que esta distribución sólo depende del valor de su parámetro y no tiene comportamiento.

3. Sin embargo, veremos más adelante, la importancia que tiene en la estadística y los fenómenos de espera.

4. La distribución acumulada será:

Ejemplo 14

Supóngase que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson con media igual a 1.2. Encuentre lo siguiente:a) P(X = 0) b) P(X = 1) c) P(X > 1) d) P(X < 2 )

SoluciónSi λ = 1.2 y Si X P(λ = 1.5) entonces su distribución es: ............................................a) El valor de P(X = 0) = .................................................b) EL valor de P(X = 1) = ...............................................c) Usando el complemento, P(X > 1) = .............................................................d) P(X < 2) = P(X ≤ 1) = p(0) + p(1) = ............................................

Ejemplo 15

Si X es una v.a. de Poisson, tal que P(X = 2) = 2P(X = 3), obtener P(X ≥ 1).

Solución

Como para x = 0, 1, 2, ...

Reemplace en ella P(X = 2): ................................................................Haga lo mismo con P(X = 3): ....................................................................

Plantee la ecuación P(X = 2) = 2 P(X = 3): .........................................................Al resolver la ecuación, obtendrá el valor del parámetro; por lo que λ = ...........

Ahora, como P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X ≤ 1), entoncesP(X ≥ 1) = 1 - ....................... ...............

Ejercicio 12

Si X es una v.a. de Poisson tal que el 85% de valores de X son mayores o iguales a 1, cuál es la probabilidad de que X tome el valor 2?



APROXIMACIÓN BINOMIAL POR POISSON

Plantearemos dos cuestiones como las razones principales para usar una distribución de Poisson, para un problema con distribución Binomial.

Razón 1:En muchos problemas de variables aleatorias que tienen modelo binomial, encontramos algunas dificultades en su evaluación. Por ejemplo si p 0 ó n . Por el tamaño de p las probabilidades tienden a 0 ó su cálculo se hace pesado si n es bastante grande.Por ejemplo: Si X B(n = 500, p = 0.001); como hallar P(X ≥ 385).

Razón 2En muchos casos la definición de una variable con distribución normal se produce en un contexto que no es tomado en cuenta por el modelo de probabilidad.

Caso 1Supongamos que se toma en cuenta el número de llamadas que ingresa a una central telefónica cada cierto tiempo.Caso 2:Un libro de 800 páginas contiene 120 errores distribuidos en todo el libro. Y se toma en cuenta el número de errores por página.Caso 3:En un supermercado se toma en cuenta el número de personas que forman cola para ser atendidos por el operador de una caja registradoraCaso 4:Se registra en número de vehículos que llegan a una caseta de peaje.

Analicemos el caso1:

Supongamos que se registran 270 llamadas cada tres horas. Esto significa que, en promedio se reciben 1.5 llamadas por minuto. Si ahora dividimos cada minuto en intervalos de 20 segundos, podemos decir que, la probabilidad de recibir 1.5 llamadas (ocurre éxito) cada 3 intervalos de 20 segundos cada uno es 0.5; es decir, p = 0.5.

Si ahora definimos a X como el número de llamadas que ingresan a la central telefónica en 20 intervalos de tiempo de 20 segundos cada uno, entonces X B(n = 20, p = 0.5).

En conclusión:

Si hacemos λ = np y si X: 0, 1, 2, .... entonces podemos decir que X P(λ = np) cuya distribución de probabilidad viene dada por

x = 0, 1, 2, ...



Por ello podemos plantear el siguiente teorema

Teorema:

Si X B(n, p) y n con λ = np (constante) o si n y p 0 con np λ, entonces diremos que X P(λ = np).

Observación importante:Una variable X tendrá necesariamente distribución de Poisson si se el número de ocurrencias (éxitos) de X se produce en un contexto: en un intervalo de tiempo, en un área, en un espacio, etc.

Uso de Minitab

Al usar la secuencia: <Calc> - <Probability Disributions> - <Poisson> obtendrá una ventana similar a la que se muestra.

Recuerde que debe usar Probability: Si desea hallar p(x)=P(X = x)Cumulative...: Para hallar P(X ≤ x). El valor de x deberá ingresarlo en <Input constant>.Inverse: Si desea hallar k tal que P(X ≤k) = p. En este caso el valor de p deberá ingresarlo en <Input constant>.

En todos los casos se debe ingresar el parámetro que, en este caso, coincide con la media.

Ejemplo 16

El número promedio de ventas por hora en un establecimiento comercial es igual a 3. Cuál es la probabilidad aproximada de que en 2 horas se logre al menos 3 ventas?

SoluciónPor la forma cómo se plantea el problema (promedio de ventas por hora), podríamos definir a X como “El número de ........................ cada hora.Según esto λ = .................La variable X P(λ = .........). Y su función de probabilidad es ............................................

La variable X hasta aquí definida toma en cuenta intervalos de una hora y su media E(X) = λ es por hora. La pregunta se refiere a otra variable ya que el intervalo de tiempos es ahora de 2 horas.Si Y es el “Número de ventas realizadas cada dos horas”, su promedio, E(X) = λ = ...........

Luego se pide que encontremos P(Y ...... 3).



Encuentre dicha probabilidad: ................................................................................................

Ejemplo 17

Las llamadas de emergencia registradas en un conmutador de una estación policial son 4 por hora en un fin de semana cualquiera y el comportamiento del número de llamadas por hora se puede aproximar mediante una distribución de Poisson.a) En un lapso de 30 minutos, cuántas llamadas de emergencia se espera

recibir?b) En un lapso de 30 minutos, cuál es la probabilidad de que no se registre

llamadas?c) Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 llamadas en 30 minutos?

SoluciónDe acuerdo a lo datos: Si X se define como “El número de llamadas de emergencia por hora” entonces X P(λ = .........)Si se define a Y como “El número de llamadas cada 30 minutos” entonces Y P(λY =......)

En a) se pide: E(.....) En b) se pide P(........ = .........) En c) se pide P( ...................) Evalúe cada una de dichas cuestiones.

Nota:En muchos casos a X se define dentro de un intervalo de tiempo determinado. Cuando se plantea otro intervalo de tiempo, se debe pensar en otra variable y tener presente el valor de su parámetro en cada caso.

Ejercicio 13

Se ha observado que el promedio de ventas del producto A en una empresa es de 3 unidades por hora. Si se supone que las ventas son independientes una de otra, y si X representa el número de ventas cada 20 minutos,a) cuál es la probabilidad de que en un intervalo de 20 minutos no se realice

venta alguna?b) cuál es la probabilidad de que se realice al menos 2 ventas en el intervalo de

20 minutos?

Sugerencia:Defina XSi X Poisson, determine su parámetro (que coincide con su promedio o media)Resuelva a) para la variable X así definidaResuelva b) para la variable X así definida

Ejercicio 14



El número promedio de radios que una casa comercial vende por día, sigue una distribución de Poisson con una media de 1.5. Calcule la probabilidad de que la casa venda por lo menos cuatro radios durante un periodo de a) dos días b) tres días c) cuatro días.

Sugerencia:En cada pregunta redefina la variable X en función al intervalo de tiempo (número de días).

Ejercicio 15El número medio de alumnos que llegan a la asesoría de ESTADISTICA un día antes del Examen Parcial es de 240 por hora. Si el profesor sólo puede atender un máximo de 8 alumnos por minuto haciendo un máximo de esfuerzo, determine la probabilidad de que en un minuto dado, lleguen a la asesoría más alumnos de lo que el profesor puede atender.

Sugerencia:El promedio se da por hora.Defina a X con un promedio por minutoResuelva P(X > .......)

Ejercicio 16

El número de reclamos que se reciben por hora de atención en Luz del Sol, es una variable aleatoria con distribución de Poisson con un promedio de tres reclamos (por hora).a) Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban más de 4 reclamos?b) Qué tan probable es que en media hora se reciban no más de 2 reclamos?c) Si la atención diaria al público es 8:00 a.m. hasta las 13:00, cuántos

reclamos se espera recibir en un día?

Sugerencia:En b) redefina la variable en intervalos de tiempo de 30 minutos. En c) n = 5.

Ejercicio 17

Suponga que el número de accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica es una v.a. de Poisson, tal que la probabilidad de que ocurran dos accidentes es 2/3 de la probabilidad de que ocurra un accidente. Calcular la probabilidad de que no ocurran accidentes en tres semanas consecutivas.

Ejercicio 18

Una compañía alquila una mezcladora por períodos de t horas, por lo cual recibe S/. 60 por hora. El número de veces que la mezcladora falla durante t horas es una v.a. que tiene distribución de Poisson con = 0.8t, y si la mezcladora falla x veces durante t horas, la reparación tiene un costo de 5x² soles; cómo debería la compañía elegir t de modo que maximice la utilidad esperada?

Ejercicio 19


N-r

rx

n-x

N

n


Una compañía de teléfonos emplea 5 operadores de información que reciben solicitudes de información independientemente una de otra, cada una según un proceso Poisson con un promedio de 2 solicitudes por minuto.a) Cuál es la probabilidad de que durante un período dado de un minuto, la

primera operadora no reciba solicitudes?b) Cuál es la probabilidad de que durante un período dado de un minuto,

exactamente 4 de las cinco operadoras no reciban solicitudes?c) Cuál es la probabilidad de que en un período de 3 minutos, por lo menos 2

de las 5 operadoras no reciban solicitudes?

Ejercicio 20

El promedio de embarcaciones de pesca artesanal que llegan a un puerto es de 3 unidades por hora. Si el arribo de una embarcación es independiente al arribo de otra, y si X representa el número de embarcaciones de pesca artesanal que llega a dicho puerto cada 20 minutos,a) cuál es la probabilidad de que en 20 minutos no llegue ninguna embarcación

de dicho tipo?b) cuál es la probabilidad de que en media hora, lleguen a dicho puerto por lo

menos 3 embarcaciones de pesca artesanal?c) cuál es el número más probable de embarcaciones de pesca artesanal que

lleguen por hora a este puerto?

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

Un modelo Hipergeométrico presenta una gran semejanza con respecto a un modelo binomial, pero también presenta una gran y sustancial diferencia. Esto es lo que permite reconocerlo.

Definición

Sea ξ un experimento aleatorio y Ω el espacio muestral (población), de tamaño N. Si r de los elementos del espacio muestral poseen cierto atributo y N – r no la poseen. Supongamos que el experimento ξ consiste en extraer de Ω, n elementos, uno después de otro y sin reposición. Si definimos a la variable aleatoria X como el “Número de elementos de la muestra que poseen el atributo (ocurre éxito)” diremos entonces que X tiene Distribución Hipergeométrica con parámetros N, r y n; es decir, X H(N, r, n) y cuya función de distribución de probabilidades viene dada por

; x = 0, 1, 2, ..., n

Explicación

Suponga que se tiene el siguiente esquema



De los N elementos, r tienen un atributo. La probabilidad de elegir un elemento que tenga el atributo es .............Hay N – r elementos que no poseen el atributo.Si la muestra de tamaño n debe tener x que poseen dicho atributo, entonces n –x elementos de la muestra no poseen dicho atributo.

Como se desea seleccionar n elementos del total de N, el número de maneras (muestras) de hacer esto constituye combinaciones C(N, n).

Si X se define como el número de elementos de la muestra que poseen el atributo, la probabilidad de que en la muestra haya X = x elementos que tienen el atributo será

Teorema

Si X H(N, n, r) entonces y

Observaciones:

1. La probabilidad de que un elemento posea el atributo es r/N2. Cada vez que se extrae un nuevo elemento, éste no se repone y por tanto, la

probabilidad de que el 2do. o los siguientes, tengan el atributo ya no puede ser r/N3. Dicho atributo puede ser el ser defectuoso cuando de un lote de N productos, r de

los cuales son defectuosos, se extrae una muestra de tamaño n y se desea encontrar la probabilidad de que en la muestra haya x defectuosos.

4. Si el tamaño poblacional N es finito, para encontrar la varianza se deberá aplicar el factor de corrección de poblaciones finitas (N-n)/(N-1); es decir, la varianza de una

variable aleatoria hipergeométrica será

5. En el caso de poblaciones infinitas N en cuyo caso X B(n, p) ya que dicho factor tiende a 1.

Ejemplo 18

Si X es una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica con parámetros N = 8, r = 4, n = 3, determine a) P(X = 2) b) P(X > 1) c) P(X=2/X>1)

SoluciónSegún los datos: X H(...........................)Su función de probabilidad es: ................................................................a) Para encontrar P(X = 2) reemplace x por 2 y evalúe el

resultado: .............................................................................................................................................



b) Como P(X > 1) = 1 – P(X ......) = .................................................................c) Se nos pregunta por una probabilidad condicional:

P(X = 2 / X > 1) = .........................................

Ejemplo 19

Al inspeccionar por auditoria 1450 cuentas para cierta industria, resultaron 148 cuentas erradas. Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 cuentas, resulten al menos 3 cuentas erradas?

SoluciónSegún los datos: La elección de las 5 cuentas (n = 5) deben realizarse sin reposición.Defina a X como: ...................................................... Al seleccionar elementos si reposición, podemos afirmar que X tiene distribución hipergeométrica en donde N = ......; r = ......; n = ...... Es decir, X H(...........................).Qué debemos encontrar? P( .................)Evalúe dicha probabilidad usando la definición (reemplace los valores de x y luego sume).

Uso de Minitab:

Para resolver problemas de esta distribución usando Minitab, debe tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

Use la secuencia: <Calc> - <Probability Disributions> - <Hipergeometric>. Luego del cual obtendrá una ventana similar a la que se muestra.

Primero debe ingresar el valor de N en <Population size>, el valor de r en <Successes in populations> y el valor de n en <Sample size>.

Como en los casos de las otras distribuciones, deberá usarProbability para hallar p(x)Cumulative: para obtener P(X ≤ x)Inverse: para hallar k en P(X ≤k) = pEl valor de x o de p se deberá ingresar en <Input constant>.

En este ejemplo, encuentre P(X ≥ 3).

Ejemplo 20



Cuál es la probabilidad de que un auditor de empresas detecte sólo dos declaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si se selecciona al azar 6 de 18 declaraciones, 8 de las cuales contienen deducciones ilegales?

SoluciónEn este caso tenemos: N = .................; r = .................., n = ............Si X se define como “El número de declaraciones con deducciones ilegales en una muestra de 6” y como se deben extraer sin reposición, entonces X ..................Se pide: P(............) que es igual a P(..........) = ........................................................

Use Minitab para comprobar su resultado.

Ejemplo 21

Una residencia tiene desocupado 12 cuartos unipersonales con baño y 8 cuartos unipersonales sin baño. Llegan 4 viajeros y eligen al azar sus cuartos. Cuál es la probabilidad de que entre los recién llegados, sea mayor el número de los que consiguen baño que el de los que se alojan en cuarto sin baño?

SoluciónEn este caso: N = ....................... r = ....................... n = .................Defina a X: ...........................................................................................Qué valore debe tomar X para que aquellos que consiguen baño sea mayor de los que no consiguen baño? ............................................. Encuentre una expresión usando X.Encuentre P(X ...............) = .................................

Nota:En los siguientes problemas use Minitab, si fuera necesario.

Ejercicio 21

Un club tiene 100 miembros. Entre ellos hay 70 abogados, 50 extranjeros y 20 nacionales no abogados. Se elige al azar el Comité directivo de 5 miembros. Cuál es la probabilidad de que este contenga:a) Exactamente 3 abogadosb) Exactamente 3 extranjerosc) Exactamente 3 abogados extranjerosd) Por lo menos 3 abogados extranjeros

Ejercicio 22

En una Universidad de 580 alumnos, existen 3 corrientes políticas. Se sabe que el 55% pertenece al grupo A, el 30% pertenece al grupo B y el resto al grupo C. Si se elige al azar un comité estudiantil formado por 10 alumnos, cuál es la probabilidad de que 6 de ellos sean del grupo B?

Ejercicio 23



Un director de personal que entrevista a 11 ingenieros para 4 vacantes, ha programado 6 entrevistas para el primer día y 5 para el segundo día. Suponga que los candidatos son entrevistados al azar.a) Cuál es la probabilidad de que dos de los mejores cuatro candidatos sean

entrevistados el primer día?b) Cuántos de los mejores cuatro candidatos pueden esperar ser entrevistados,

el primer día?

Ejercicio 24

Un comerciante tiene 20 unidades de cierto artículo, de los cuales sólo 14 están aptos para su venta.a) Llega un cliente, el Señor Lorenzo, que comprará 4 artículos. El comerciante

“Embustero” desea que Lorenzo se lleve al menos un artículo defectuoso y propone que Lorenzo escoja sus artículos al azar, de entre 20 artículos. Cuál es la probabilidad de que el comerciante se salga con la suya?

b) Suponga que el comerciante aún tiene sus 20 artículos para la venta y llega otro cliente, Pepito, que comprará 3 artículos. En esta ocasión el mismo comerciante selecciona al azar 5 artículos. Cuál es la probabilidad de que, con los 5 artículos escogidos le sea suficiente al comerciante para satisfacer el pedido de Pepito?

Ejercicio 25

Una firma comercializadora de parquet recibe un lote grande en paquetes de120 unidades cada uno. Un paquete es rechazado si al revisar 10 unidades de parquet elegidas al azar una a una sin reposición se encuentren tres o más defectuosas. Calcular la probabilidad de que un paquete sea aceptado si este contiene 24 unidades defectuosas.

APROXIMACION BINOMIAL A POISSON

Ejercicio 26

Sea X una v.a. con distribución Binomial de parámetros n = 100 y p = 0.25. Utilice la distribución de Poisson para aproximar las siguientes probabilidades:

a) P(X = 34) b) P(X > 3) c) P(37<X<40) d) P(X > 97)

Ejercicio 27

En una ciudad específica, el 6% de todos los conductores obtienen al menos un boleto de estacionamiento por año. Emplear la aproximación de Poisson a la distribución Binomial para determinar la probabilidad de que entre 80 conductores elegidos al azar en la ciudad,a) Cuatro obtengan al menos un boleto de establecimiento en un añob) Al menos tres obtengan como mínimo un boleto de estacionamiento en un

año cualquiera

Ejercicio 28



La frecuencia de negociación de una acción determinada, en una año se entiende como el número de días en que esa acción fue negociada durante ese año.

Usualmente se define por la siguiente relación:

Además se sabe que la probabilidad de que en un día la acción sea negociada es de 0.01. Empleando la aproximación de la Binomial mediante una Poisson, cuál es la probabilidad de que la frecuencia de negociación del año, para esa acción, sea 2.5%

Problemas teóricos

1. Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente, deduzca su función de probabilidad así como su media y varianza.

2. Si X es una variable aleatoria que se distribuye geométricamente, deduzca su función de probabilidad y encuentre su media y varianza.

3. Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson, deduzca su media y varianza.


tutor 03

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