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Título: Construcción de un cuadriplicador de ángulos a partir del reversor de Kempe

Resumen: Hemos construido un cuadriplicador de ángulos con base en una simulación tomando en

cuenta la teoría del reversor de Kempe y analizando las cuestiones geométricas implicadas. Pudimos

establecer conclusiones interesantes sobre este mecanismo. El trabajo se llevó a cabo en nuestra

escuela1 y contamos con apoyo de un profesor de la Facultad de Ciencias.

Introducción

Marco teórico

Propiedades del contraparalelogramo

Un contraparalelogramo o antiparalelogramo, es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados iguales

pero que a diferencia de un paralelogramo, dos de sus lados se cortan entre si. En un

contraparalelogramo, los lados que se cortan son iguales entre si y los lados que no se cortan son

iguales; como se muestra en la figura 1, 𝐴𝐶 = 𝐸𝐷 y 𝐴𝐷 = 𝐶𝐸 y se tienen dos ángulos iguales porque

son opuestos por el vértice.

Figura 1. Contraparalelogramo en el cual 𝐴𝐶 = 𝐸𝐷 y 𝐶𝐸 = 𝐴𝐷 y se muestran sus ángulos opuestos por el vértice.

Además, si trazamos un segmento auxiliar entre dos de sus vértices, como se muestra en la figura 2

izquierda, podremos observar lo siguiente.

1 Se omiten nombres de acuerdo con las normativas de participación.

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Figura 2. Trazos auxiliares para estudiar las propiedades del contraparalelogramo.

Δ𝐴𝐷𝐸 = Δ𝐸𝐶𝐴 por 𝐿𝐿𝐿, entonces ∠𝐴𝐶𝐸 = ∠𝐸𝐷𝐴 = 𝛽 y ∠𝐷𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐸𝐴 = 𝛿 porque son ángulos que se

forman entre lados congruentes en triángulos congruentes, como se muestra en la figura 2 derecha.

Además Δ𝐴𝑋𝐸 es isósceles por tener dos pares de ángulos iguales, por lo cual 𝐴𝑋 = 𝐸𝑋.

Como hay dos ángulos iguales en los triángulos Δ𝐴𝑋𝐶 y Δ𝐸𝑋𝐷, el ángulo que falta debe ser igual; es

decir ∠𝑋𝐴𝐶 = ∠𝑋𝐸𝐷 = 𝜃 (ver figura 3).

Figura 3. Algunas relaciones geométricas del contraparalelogramo.

Δ𝐴𝑋𝐶 = Δ𝐸𝑋𝐷 por 𝐴𝐿𝐴 pues tienen iguales los lados 𝐴𝑋 y 𝑋𝐸 y los ángulos ∠𝐶𝑋𝐴 = ∠𝐷𝑋𝐸 = 𝛼 y

∠𝑋𝐴𝐶 = ∠𝑋𝐸𝐷 = 𝜃. Como consecuencia 𝑋𝐶 = 𝑋𝐷.

Los resultados se resumen y ejemplifican en la figura 4 para un contraparalelogramo en particular.

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Figura 4. Un contraparalelogramo ejemplificando sus elementos iguales.

¿Cómo puede construirse un contraparalelogramo articulado en Geogebra?

Para realizar la construcción del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 pueden seguirse los siguientes pasos en

Geogebra:

1. Trazamos el segmento 𝐴𝐷 y se traza una circunferencia (𝑐1) con centro en el extremo 𝐴. Sobre

la circunferencia se grafica el punto 𝐶 y se traza el segmento 𝐴𝐶, ver la figura 5 izquierda.

2. Se traza la circunferencia 𝑐2 con el mismo radio que la circunferencia 𝑐1 y con centro en el otro

extremo del segmento (Ver figura 5 derecha).

Figura 5. Pasos para la simulación de un contraparalelogramo.

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3. Se traza la circunferencia 𝑐3 con centro en 𝐶 y con radio la distancia entre 𝐴 y 𝐷. La

circunferencia 𝑐2 y 𝑐3 se cortan en el punto 𝐵 (ver figura 6 izquierda).

4. Trazar los segmentos 𝐶𝐵 y 𝐵𝐷 (ver figura 6 derecha).

Figura 6. Pasos para la simulación de un contraparalelogramo.

Semejanza de contraparalelogramos

Dos contraparalelogramos son semejantes si tienen proporcionales sus lados y tienen un ángulo

común. Para justificar la afirmación anterior usaremos los contraparalelogramos 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐹𝐺𝐼𝐻, en los

cuales se supondrá que se cumple 𝐴𝐷

𝐹𝐻=

𝐴𝐵

𝐹𝐺 y ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐺𝐹𝐻 = 𝛽.

Figura 7. Dos contraparalelogramos con dos lados proporcionales y un ángulo igual.

Recordaremos que dos figuras son semejantes si:

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• Tienen proporcionales todos sus lados

• Todos sus ángulos son congruentes

Entonces podemos observar que dada la geometría del contraparalelogramo, la condición

𝐴𝐷

𝐹𝐻=

𝐴𝐵

𝐹𝐺

Implica en realidad

𝐶𝐵

𝐼𝐺=

𝐴𝐷

𝐹𝐻=

𝐴𝐵

𝐹𝐺=

𝐶𝐷

𝐼𝐻

Por lo cual se concluye que todos los lados tienen la misma proporción. Por propiedades del

contraparalelogramo, los ángulos que se encuentran en la misma posición son iguales, por lo que se

puede decir que:

∢ 𝐵𝐴𝐷 = ∢𝐵𝐶𝐷 = ∢𝐺𝐼𝐻 = ∢ 𝐺𝐹𝐻 = 𝛽

Así que sólo faltaría evidenciar que ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐹𝐻𝐼 para concluir que todos los ángulos sean

congruentes. Para ello trazamos los segmentos auxiliares 𝐷𝐵 y 𝐻𝐺, ver figura 8.

Figura 8. Trazo auxiliar para estudiar la semejanza de contraparalelogramos.

Con lo que se puede concluir que los triángulos ∆𝐴𝐵𝐷 = ∆𝐶𝐷𝐵 por el criterio de Lado, Lado, Lado

(𝐿𝐿𝐿). Así que ∢𝐶𝐷𝐵 = ∢𝐴𝐵𝐷 y una situación similar ocurre en el otro contraparalelogramo, en donde

Δ𝐼𝐻𝐺 = Δ𝐹𝐺𝐻; esto se muestra en la figura 9.

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Figura 9. Análisis de dos contraparalelogramos.

¿Cómo puede establecerse que 𝛼1 = 𝛼2? Esto puede hacerse a través de la semejanza pues Δ𝐴𝐷𝐵

es semejante a Δ𝐹𝐻𝐺 por 𝐿𝐴𝐿, pues tienen proporcionales los lados 𝐴𝐷 con 𝐹𝐻 y 𝐴𝐵 con 𝐹𝐺 y común

el ángulo 𝛽. Entonces se tiene la situación mostrada en la figura 10.

Figura 10. Análisis de dos contraparalelogramos.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, realizando la suma en Δ𝐴𝐷𝐵 y

Δ𝐹𝐻𝐺 tenemos:

𝛽 + 𝜔1 + 𝛼 + 𝛼 = 180° ⇒ 𝛽 + 𝜔1 + 2𝛼 = 180°

𝛽 + 𝜔2 + 𝛼 + 𝛼 = 180° ⇒ 𝛽 + 𝜔2 + 2𝛼 = 180°

Comparando las sumas llegamos a la conclusión de que

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𝜔1 = 𝜔2 = 𝛿

Y por las propiedades geométricas del contraparalelogramo tendremos:

Figura 11. Dos contraparalelogramos semejantes.

Con lo cual puede concluirse que dado un ángulo común y lados proporcionales, dos

contraparalelogramos serán semejantes.

El reversor de Kempe

El reversor de Kempe es un mecanismo de seis barras conformado por dos contraparalelogramos

acoplados de tal manera que las barras del mecanismo cumplen ser la tercera proporcional (Hurtado

Cruz, 2010), como se muestra en la figura siguiente.

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Figura 12. El reversor de Kempe.

Como

𝐴𝐹

𝐴𝐶=

𝐴𝐶

𝐴𝐵

Implica

𝐶𝐸

𝐷𝐵=

𝐴𝐹

𝐴𝐶=

𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝐹𝐸

𝐷𝐶

Y los contraparalelogramos tienen en común ∠𝐴𝐶𝐸 = ∠𝐴𝐶𝐷. Entonces puede apreciarse que los

contraparalelogramos serán semejantes y por consecuencia ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐹 y el efecto de la figura será

justamente multiplicar el ángulo ∠𝐵𝐴𝐶.

Construcción del multiplicador de Kempe en Geogebra

1. Se construye el contraparalelogramo 𝐴𝐵𝐷𝐶.

2. Se traza la circunferencia 𝑐1 con centro en 𝐶 y radio 𝐴𝐶2/𝐴𝐵, para localizar el punto 𝐸, que es

la intersección de la circunferencia 𝑐1 y el lado 𝐶𝐷 del contraparalelogramo anterior.

3. Se procede a construir el contraparalelogramo 𝐴𝐹𝐸𝐶 con lados con longitudes iguales a 𝐶𝐸 y a

𝐴𝐶. Ver figura 13.

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Figura 13. Simulación del reversor de Kempe.

Objetivos

Construir y simular un multiplicador de ángulos a partir del reversor de Kempe para comprender las

matemáticas involucradas.

Planteamiento del problema

A partir de una simulación que permita variar medidas, construiremos un cuadriplicador de ángulos

para entender la matemática del multiplicador de Kempe y trataremos de medir el error cometido al

medir los ángulos.

Hipótesis

El cuadriplicador de Kempe es factible de construir usando reglas de madera a partir de una simulación

en Geogebra.

Desarrollo

Simulación del cuadriplicador en Geogebra.

La simulación de un cuadriplicador se muestra en la figura 14 con todos sus trazos involucrados.

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Figura 14. Se muestran todos los trazos para simular un cuadriplicador.

Como podrá observarse, se involucran muchos trazos por lo cual es necesario proceder con orden.

Para hacer el cuadriplicador de ángulos, deben acoplarse tres multiplicadores de Kempe.

Donde lo primero que se crea es el deslizador, con selección a “entero”, para poner valores de 1 a 30

como mínimo y máximo con crecimiento en 1, previamente se pone Geogebra en modo geometría.

Se construye el segmento 𝐴𝐵 = 𝑛 y el contraparalelogramo articulado 𝐴𝐵𝐷𝐶, en el cual 𝐴𝐶 = 𝑛 ∗ 3/4,

ver figura 15 izquierda.

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Figura 15. Pasos para simular el cuadriplicador.

Sobre el lado 𝐶𝐸 para empezar el segundo contraparalelogramo, se traza una circunferencia, seria la

𝑐4, con centro en 𝐶 y con radio 𝑛 ∗ (3/4)2 y después se marca con la herramienta intersección para

obtener el punto 𝐸. Se traza el contraparalelogramo 𝐴𝐹𝐸𝐶; ver figura 15 derecha.

Sobre el lado 𝐹𝐸 para empezar el tercer contraparalelogramo, se traza una circunferencia (centro,

radio) en 𝐹 y con radio 𝑛 ∗ (3/4)3, después se marca con la herramienta intersección, para obtener el

punto 𝐺. Se traza el contraparalelogramo 𝐴𝐻𝐺𝐹; ver figura 16 izquierda.

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Figura 16. Pasos para simular el cuadriplicador.

Sobre el lado 𝐻𝐺 para empezar el cuarto contraparalelogramo, se traza una circunferencia (centro,

radio) en 𝐻 y con radio 𝑛 ∗ (3/4)4, después se marca con la herramienta intersección, para obtener el

punto 𝐼. Se traza el contraparalelogramo 𝐴𝐽𝐼𝐻; ver figura 16 derecha.

Construcción del multiplicador

Para construir el multiplicador, se marcan todas las reglas siguiendo la escala2 mostrada en la tabla 1,

como se muestra en la figura 17.

Tabla 1. Medidas físicas de un cuadriplicador.

Regla Longitud entre las perforaciones [cm]

𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 30

𝐶𝐸𝐷 𝐶𝐷 = 30

𝐶𝐸 = 16.8

𝐵𝐷 𝐵𝐷 = 22.5

𝐴𝐶 𝐴𝐶 = 22.5

𝐹𝐺𝐸 𝐹𝐸 = 22.5

𝐹𝐺 = 12.6

𝐴𝐹 𝐴𝐹 = 16.8

𝐻𝐼𝐺 𝐻𝐺 = 16.8

𝐻𝐼 = 9.5

𝐴𝐻 𝐴𝐻 = 12.6

𝐽𝐼 𝐽𝐼 = 12.6

𝐴𝐽 𝐴𝐽 = 9.5

2 Se debe tomar en cuenta que no todas las reglas son iguales y que algunas reglas son más cortas de tal modo que no permiten perforarse con distancias de 30 centímetros, pero en estos casos, nuestra animación puede ajustarse a un largo inicial cualquiera.

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Figura 17. Medidas físicas de un cuadriplicador.

Se ensamblan las reglas uniendo los puntos marcados con la misma letra mediante un tornillo, como

se muestra en la figura 18.

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Figura 18. Pasos para la construcción física de un cuadriplicador.

Resultados

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Nuestro resultado es la construcción en físico de un cuadriplicador de ángulos, como el que se muestra

en la figura 18.

Análisis de resultados

Siendo 𝐿𝑛 el segmento chico del contraparalelogramo chico (n) su longitud está dada por la fórmula

𝐿𝑛 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

𝑛

Esta fórmula se deduce a partir de analizar el primer reversor (figura 19)

Figura 19. Análisis del primer reversor de Kempe.

Siendo 𝐴𝐵 (color verde) el segmento de menor longitud del contraparalelegramo grande y al mismo

tiempo el segmento de mayor longitud del contraparalelogramo chico y 𝐴𝐸 (Rojo) el segmento de

menor longitud del contraparalelogramo chico, se cumple la igualdad de:

𝐴𝐸

𝐴𝐵=

𝐴𝐵

𝐴𝐷

Para determinar la longitud del segmento 𝐴𝐸 se despeja la igualdad, obteniendo así:

𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷) … (1)

Pasando al análisis del segundo reversor (figura 20)

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Figura 20. Análisis del segundo reversor de Kempe.

Tenemos el segmento 𝐴𝐻 (Azul), el cual es el de menor longitud del contraparalelogramo nuevo (el

más chico) y teniendo el segmento 𝐴𝐸 (rojo) siendo el segmento chico de la figura 𝐴𝐸𝐹𝐵 y siendo al

mismo tiempo el segmento grande de la nueva figura 𝐴𝐻𝐸𝐺, al igual que en el primer reversor, en este

se cumple una igualdad similar

𝐴𝐻

𝐴𝐸=

𝐴𝐸

𝐴𝐵

Obtenemos, nuevamente con un despeje, la longitud más pequeña de la nueva figura, es decir, el

segmento 𝐴𝐻 (Azul):

𝐴𝐻 = 𝐴𝐸 (𝐴𝐸

𝐴𝐵)

Sustituyendo 𝐴𝐸 (cuyo valor está dado por el despeje de la ecuación (1)) nos queda:

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷) (

𝐴𝐵 (𝐴𝐵𝐴𝐷)

𝐴𝐵)

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷) (

𝐴𝐵 (𝐴𝐵𝐴𝐷)

𝐴𝐵)

Eliminando los términos en rojo nos queda:

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷) (

𝐴𝐵

𝐴𝐷)

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Finalmente:

𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

2

… (2)

Ahora aumentamos una figura (figura 21)

Figura 21. Análisis del tercer reversor de Kempe.

Siendo ahora 𝐴𝐽 (Verde) el segmento chico de la nueva figura analizamos de nuevo una igualdad:

𝐴𝐽

𝐴𝐻=

𝐴𝐻

𝐴𝐸

Despejamos para obtener la fórmula de su longitud:

𝐴𝐽 = 𝐴𝐻 (𝐴𝐻

𝐴𝐸)

Sustituyendo 𝐴𝐻 y 𝐴𝐸 nos queda (dadas por las ecuaciones (2) y (1) respectivamente):

𝐴𝐽 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

2

(𝐴𝐵 (

𝐴𝐵𝐴𝐷)

2

𝐴𝐵 (𝐴𝐵𝐴𝐷)

)

𝐴𝐽 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

2

(𝐴𝐵 (

𝐴𝐵𝐴𝐷)

2

𝐴𝐵 (𝐴𝐵𝐴𝐷)

)

Se cancelan los términos en rojo y nos queda:

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𝐴𝐽 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

2

(𝐴𝐵

𝐴𝐷)

Finalmente:

𝐴𝐽 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

3

… (3)

La conclusión es que cuando aumentamos una figura al reversor, la fórmula aumenta su exponente

en uno; por ejemplo, en la ecuación (2) la fórmula está elevada al cuadrado, es decir, tiene exponente

dos. Para la ecuación (3) la fórmula está elevada al cubo, tiene exponente tres y así sucesivamente.

Entonces, puede apreciarse que para la figura 𝑛 el exponente es 𝑛 o sea:

𝐿𝑛 = 𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

𝑛

Ahora es interesante analizar el límite de la esta sucesión:

lim𝑛→∞

𝐴𝐵 (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

𝑛

Para lo cual daremos valores a los segmentos 𝐴𝐷 y 𝐴𝐵 y emplearemos una tabla para los valores de

𝑛 observando que es muy importante que ya que 𝐴𝐵 siempre es menor a 𝐴𝐷 se cumple:

𝐴𝐵

𝐴𝐷< 1

Por ejemplo, si 𝐴𝐵 = 4 y 𝐴𝐷 = 6, resolviendo el límite tendríamos:

4 lim𝑛→∞

(4

6)

𝑛

Tabla 2. Valores de (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

𝑛

y valores de 𝑛.

𝑛 (

4

6)

𝑛

1 0.6

3 0.2

6 0.08

8 0.03

Notamos entonces que al elevar 𝐴𝐵/𝐴𝐷 a potencia más grande el límite tiende a cero.

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Es interesante este límite, ya que notamos que mientras 𝐴𝐵/𝐴𝐷 tome un valor más cercano a uno la

función tiende a disminuir a un ritmo más lento. Por ejemplo, si 𝐴𝐵 = 9 y 𝐴𝐷 = 10, tendríamos:

Tabla 3. Valores de (𝐴𝐵

𝐴𝐷)

𝑛

y valores de 𝑛.

𝑛 (

9

10)

𝑛

1 0.9

3 0.72

6 0.53

8 0.43

9 0.39

10 0.34

11 0.31

En este caso disminuye a un ritmo más lento; esto resulta útil ya que mientras más lento se acerque a

cero, más figuras podemos anexar a nuestro multiplicador.

Análisis de la precisión

Para analizar la precisión de nuestro mecanismo, aprovechamos el hecho de que para una recta con

pendiente 𝑚, se cumple la siguiente igualdad:

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)

En donde 𝛼 es el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. A continuación, trazamos las rectas

𝑦 = tan(20°) 𝑥, 𝑦 = tan(40°) 𝑥, 𝑦 = tan(60°) 𝑥 y 𝑦 = tan(80°) 𝑥 en Geogebra, las imprimimos y las

prolongamos en hojas de papel como se muestra en la figura 22.

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Figura 22. Hoja para analizar la precisión del multiplicador.

Después marcamos la parte media de las barras de nuestro mecanismo y lo colocamos de tal manera

que coincida lo más posible sobre los ángulos dibujados previamente. Medimos la distancia más

grande entre la línea y la barra del mecanismo, obteniendo 3 milímetros, como se muestra en la figura

23. Lo cual nos indica que el mecanismo es altamente preciso considerando los materiales y errores

que se comenten al construirlo.

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Figura 23. Se muestra el multiplicador sobre múltiplos de ángulo preestablecido.

Análisis de los costos

Para la construcción del reversor se utilizaron los materiales y sus respectivos costos se encuentran

en la siguiente tabla.

Tabla 4. Costos de los materiales empleados para construir el cuadriplicador.

Material Piezas Costo total ($)

Reglas de Madera 10 25

Tornillo 10 10

Tuerca 10 5

Brocas para Taladro 6 60

Por lo cual, puede apreciarse que el costo de construir este mecanismo es de $100.

Conclusiones

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El reversor de Kempe es uno de los diferentes tipos de sistemas articulados; y como quizá en todo

sistema articulado, el análisis matemático es vital, pese a que muchas veces se olvida que hay muchas

fórmulas matemáticas detrás de ellos.

El análisis llevado a cabo en la elaboración del trabajo nos ayudó a comprender mejor los criterios de

semejanza y congruencia de ángulos, lo cual resultó bastante interesante pues nos hizo volver a

recordar y emplear conocimientos de cursos pasados, lo cual fue muy adecuado ya que al pasar el

tiempo algunos temas se van olvidando.

En el caso del reversor de Kempe, el análisis matemático incluyó las relaciones de semejanza y

congruencia de triángulos; seguido a esto se llevó a cabo la simulación por computadora y la

construcción física. Al llevar a cabo primero la construcción en Geogebra se presenta la ventaja de

que para cuando se quiera construir en físico se tiene la idea de cómo ir armándolo; además pudimos

percatarnos de realizar la simulación mostró de forma clara las predicciones del análisis matemático.

Cabe señalar que la construcción en Geogebra presenta la versatilidad de indicar las medidas a partir

de distintas longitudes iniciales.

Por otra parte, luego de realizar este trabajo notamos que conocer un poco más de los fundamentos

de algún mecanismo puede tener grandes ventajas, porque puedes entenderlo mejor y así encontrarle

un uso para que no sólo se quedé como un modelo matemático. Por ejemplo, se nos ocurre que un

multiplicador de ángulos puede ser la base para una máquina de llenado de botellas.

En cuanto a los resultados, es de llamar la atención la gran precisión que puede tener este mecanismo

y el costo relativamente bajo que presenta.

Bibliografía

Hurtado Cruz, E. R. (2010). Las matemáticas de los mecanismos articulados. México: Universidad

Nacional Autónoma de México.