trigonometria4tosecit[2]

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Cuarto Año

Trigonometría Trigonometría 7 8

TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto

fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

1. Convención

Ángulos Positivos

Si el rayo gira en sentido

antihorario.

Ángulos Negativos

Si el rayo gira en sentido

horario.

Ejemplo

Nótese en las figuras

“” es un ángulo trigonométrico

de medida positiva.

“x” es un ángulo trigonométrico

de medida negativa.

Se cumple . x = - .

1. Ángulo Nulo

Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.

2. Ángulo de una Vuelta

Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final

coincide con su lado inicial por primera vez.

3. Magnitud de un Ángulo

Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su

rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos.

Así por ejemplo de la figura 1, el ángulo trigonométrico mide “3 vueltas”,

en la figura 2 el ángulo trigonométrico mide ”–2 vueltas”.

Fig Nº 1

Fig Nº 2

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud

determinada (metros, pulgadas, etc.), para medir ángulos se necesita de

otro ángulo como unidad de medición.



1. Sistema Sexagesimal (Inglés)

Su unidad angular es el “grado sexagesimal” (1º); el cual es equivalente a

la 360 ava parte del ángulo de una vuelta.

360

1º1

v . 1v = 360º .

Equivalencias

1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”

2. Sistema Centesimal (Francés)

Su unidad angular es el “grado centesimal” (1g); el cual es equivalente a

la 400 ava parte del ángulo de una vuelta

400

11

vg . 1v = 400g .

Equivalencias

1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s

3. Sistema Radial o Circular (Internacional)

Su unidad es el “radián”; el cual es un ángulo central que subtiende un

arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva

. m∢ángulo A0B = 1 rad .

2

11

vrad . 1v = 2 rad . 6,2832 rad

OBSERVACIONES:

COMO: = 3.141592653.... ... . ENTONCES:

23107

221416,3 .

CONVERSIÓN DE SISTEMAS

1. Factor de Conversión

Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.

Magnitudes Angulares equivalente:

∢ 1 vuelta : 1 v . 360º = 400g = 2rad .

∢ Llano : 1/2 v . 180º = 200g = 1rad .

Para grados centesimales

y sexagesimales : . 9º = 10g .

∢ Recto : 1/4 v 90º = 100g = /2 rad

NÓTESE QUE:

“PARA CONVERTIR UN ÁNGULO DE UN SIST EMA A OT RO, MULTIPLICAREMO S

POR EL FACTOR DE CONVERSIÓN”

Ejemplos

1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 12º

Resolución

Magnitud Equivalente Factor de Conversión

rad = 180º º180

rad

radrad

15º180º12



2. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: = 15g

Resolución

Magnitud Equivalente Factor de Conversión

rad = 200g g

rad

200

radrad

g

g

40

3

20015

3. Convertir a sexagesimales la siguiente magnitud angular: = 24g

Resolución

Equivalencia Factor de Conversión

9º = 10g g

10

º9

º6,215

º108

10

º9.24

g

g

4. Hallar: gm

g

E5

º9

1

1

'1

º1

Resolución

Recordando: 1º = 60’

1g = 100m

9º = 10g

Reemplazando en:

g

g

m

m

E5

10

1

100

'1

'60

.E. = 60 + 100 + 2 = .162.

5. Hallar: a + b, sabiendo que:

'º8

barad

Resolución

Equivalencia: rad = 180º

'º'ºº

ººººº

πrad

º.rad

π

conversiondeFactor

302230222

122

2

144

2

45

8

180180

8

Luego:

'30º228

rad

Comparando: a = 22

b = 30

.a + b = 52.

6. Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular:

= 16g

Resolución

A) 16g sexagesimales (º)

. Factor de Conversión = g

10

º9 .

Luego: º4,145

º72

10

º144

10

º9.16

g

g

B) 16g radianes

. Factor de Conversión = g

rad

200

.



Luego: radradrad

g

g

25

2

200

.16

200.16

FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los

sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos

la relación que existe entre dichos números.

De la fig. Sº = Cg = Rrad (*)

Además: 180º = 200g = rad (**)

Dividiendo (*) entre (**) tenemos:

.

RCS

200180. “Fórmula o Relación de Conversión”

Fórmulas particulares

.109

CS . .

RS

180. .

RC

200.

Ejemplos

1. Convertir 5

rad a grados sexagesimales

Resolución

RS

180

5/

180

S S = 36

. º365

rad

.

2. Convertir 60g a radianes

Resolución

RC

200

R

200

60

10

3R

. radg

10

360

.

3. Convertir 27º a grados sexagesimales

Resolución

109

CS

109

27 C C = 30

.27º = 30g.

4. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a

dos veces el número de sus grados centesimales es 222 ¿Hallar el

número de radianes de dicho ángulo?

Resolución

Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en

grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes

respectivamente; del enunciado afirmamos.

6S + 2C = 222 .......... (1)



Sabemos:

?

200

180

200180KR

KC

KS

KRCS

Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222

1480K = 222

20

3K

.20

3 KR .

5. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de:

4 3 8

SC

SC

SC

SCP

Resolución

KCS

109

KC

KS

10

9

Calculamos en forma particular

1919

910

910

K

K

KK

KK

SC

SC

Reemplazando en “P”

4 3

27

81919 P

4 319 P 4 16P

.P =2.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Del gráfico:

Que relación se cumple:

Rpta. - = 180º

2. Si: “” es la sexta parte del

ángulo de una vuelta; calcular

“k” del gráfico

Rpta. 4

1

3. Convertir 99º a grados

centesimales y radianes.

Rpta.

rad

20

11y110

g

4. Convertir 290g a grados

sexagesimales y radianes

Rpta. rad20

29yº261

5. Convertir rad4

7

a grados

sexagesimales y centesimales

Rpta. 315 y 305g

6. Hallar el número de radianes

(R) de un ángulo, si: S = 5n + 1;

C = 6n – 2. Donde: “S” y ”C”

son los números de grados


de dicho ángulo

Rpta. 5



7. Calcular la medida de un ángulo en

radianes, sabiendo que los números

“S”, “C” y “R” que expresan su medida

en grados sexagesimales,

centesimales y radianes

respectivamente cumplen la siguiente

condición

SC

SC

R

R

Rpta. rad9

10

8. La medida aritmética de la

cantidad de grados centesimales

y sexagesimales de un ángulo es

a la tercera parte de la

diferencia de ellos, como 38

veces el número de sus radianes

es a 3. Hallar su medida en el

sistema centesimal

Rpta. 350g

9. Los ángulos internos de un

triángulo miden:

48º; 80g y radx

2

Hallar “x”

Rpta. 2

3

10. Se tiene dos ángulos

complementarios cuyas medidas

son:

radx

60

3y = (7x - 3)g

Hallar el valor de “x”

Rpta. 9

11. La diferencia de las medidas

de dos ángulos suplementarios

es 0,5rad. Hallar el mayor de

ellos.

Rpta. 150g

12. Convertir 1º48’ al sistema

centesimal

Rpta. 2g

13. Si rad48

< > AºB’

Hallar: B

A

Rpta. 15

1

14. El número de grados

centesimales de la medida de

un ángulo disminuida en el

número de grados

sexagesimales de la medida del

mismo es

8. Hallar la medida

expresada en el sistema

circular.

Rpta. rad5

2

15. Un ángulo positivo mide Sº ó

Cg. Hallar 9 S de la igualdad:

SC = CS.

Rpta. 9

10


Trigonometría Trigonometría 22

19 20

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Del gráfico

Se cumple:

A) – = 180º B) =

C) + = 90º D) – = 180º

E) – = 90º

2. Si: “” es la octava parte del

ángulo de una vuelta; calcular

“k” del gráfico.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3. Convertir 117º a grados

centesimales y radianes.

A) 130g y rad

10

13

B) 105,3g y rad

20

13

C) 105,3g y rad

10

13

D) 130g y rad

20

13

E) 65g y rad

20

13

4. Convertir 240g a grados

sexagesimales y radianes.

A) 261º y rad5

6

B) 261º y rad6

5

C) 216º y rad5

6

D) 216º y rad6

5

E) 216º y rad5

12

5. Convertir rad

5

8 a grados


A) 288º y 320g B) 320º y 288g

C) 282º y 328g D) 230º y 288g

E) 288º y 230g

6. Los números “S” y “C”

representan la medida de un

ángulo en grados


respectivamente y están

relacionados de la siguiente

manera:

S = 6n + 9; C = 8n – 6

Hallar el número de radianes

(R) de dicho ángulo.

A) 20

3 B)

20

9 C)

20

D) 10

9 E)

9

10

7. Un ángulo es tal que los

números que indican su medida

en grados sexagesimales (S),

grados centesimales (C) y

radianes (R) respectivamente

cumplen con la condición:

1200190180

CRSCRS

Hallar la medida de dicho

ángulo en radianes:

A) rad B) rad20

C) rad2

D) rad

40

E) 2rad

8. La diferencia de las inversas

de los números de grados


correspondientes a la medida

de un ángulo, es igual al doble

del número de radianes de su

medida entre 81. Luego dicha

medida en el sistema

centesimal es:

A) 27g B) 30g C) 54g

D) 60g E) 90g



9. Los ángulos internos de un

triángulo miden:

27º; rad4

3 y

g

x

5

Hallar “x”

A) 0,25 B) 0,50 C) 1

D) 2 E) 4

10. Sean los ángulos

complementarios de medidas:

= (10x)g y = radx

30

Luego uno de ellos es:

A) 45º B) 63º C) 36º

D) 60º E) 40º

11. Calcular la medida del menor

de dos ángulos suplementarios,

sabiendo que su diferencia es

0,1 rad.

A) 20g B) 110g C) 180g

D) 220g E) 90g

12. Convertir 32º24’ al sistema

centesimal

A) 28g B) 30g C) 32g

D) 34g E) 36g

13. Si: rad25

< > xºy’; calcular:

x – y

A) 5 B) 7 C) –5

D) –12 E) 19

14. Se ha medido un ángulo en

grados centesimales y

sexagesimales; la diferencia

de los números que

representan dichas medidas

es 3,2. Indicar la medida de

dicho ángulo en el sistema

circular.

A) rad5

16 B) rad

5

8

C) rad125

D) rad

25

2

E) rad25

4

15. Un ángulos positivo mide Sº ó

Cg. Hallar 10 C de la igualdad:

SC = CS

A) 9

10 B)

10

9 C) 9

D) 10 E) 1

CLAVES

1. E

2. E

3. D

4. C

5. A

6. B

7. C

8. B

9. A

10. C

11. E

12. E

13. C

14. E

15. A



¿SABÍAS QUÉ...

ISAAC NEWTON (1642 – 1727)

El físico y matemático inglés Isaac Newton fue uno de los científicos

más importantes de todos los tiempos. Sus teorías revolucionaron el

pensamiento científico e influyeron en la astronomía práctica y teórica. Su

libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos más importantes

en la historia de la ciencia moderna.

Newton descubrió la gravedad y las tres leyes de movimiento todavía

utilizadas hoy en día. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en los

colores del espectro y su investigación de la luz le condujo a diseñar un

telescopio reflector. Fue también uno de los pioneros de una nueva rama de

las matemáticas llamada cálculo.

TEMA: SECTOR CIRCULAR

ARCO

Una posición cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco”

de la circunferencia.

: Arco AB

A : Origen del Arco AB

B : Extremo del Arco AB

0 : Centro de la circunferencia

R : Radio de la circunferencia.

1. Amplitud

Dada por la medida del ángulo central que subtiende el arco

2. Longitud de Arco

En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes

determina una longitud de arco “L” que se calcula multiplicando el

número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”.

L : Longitud del arco AB

R : Radio de la circunferencia

: Número de radianes del ángulo central

(0 2)

. L = R . .



Ejemplo:

Determine el perímetro de un sector circular A0B cuyo radio tiene por

longitud 4m, y la amplitud del ángulo central es 0,5 radianes.

Resolución

L = R .

L = 4 . 0,5

L = 2

El Perímetro 2p del sector A0B será:

2p = R + R + L

2p = 4m + 4m + 2m

.2p = 10m.

OBSERVACIÓN

LA LONGITUD DE L A CIRCUNFEREN CIA SE CALCULA MULTIPLICANDO 2 POR

EL RADIO “R” DE LA CIRCUNFERENCIA.

.LC = 2R.

SECTOR CIRCULAR

Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el

arco correspondiente.

∢ A0B: Sector Circular A0B

0º < 360º

1. Área del Sector Circular

El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de

su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central en

radianes, es decir:

.2

.2

RS .

Donde:

S : Área del Sector circular A0B

Otras Fórmulas

.2

. RLS .

.2

2L

S .

Ejemplos

1. Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada

caso:

I.

II.

III.



Resolución

Caso I

2

. RLS

I

2

23 m.mS

I

.SI = 3m2.

Caso II

2

2R

SII

2

142

.mS

II

.SII = 8m2.

Caso III

2

2L

SIII

5,0.2

22

mS

III

.SIII = 4m2.

2. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si el arco

, tiene por longitud 4m

Resolución

Denotemos por:

L1 : Longitud de Arco , el radio R1 = 12m

L2 : Longitud de Arco , el radio R2 = 4m

De la figura:

L2 = R2 . 2 = 4m . 2

L2 = 2m

Según el dato: L + L = 4m

L1 + L2 = 4m

L1 + 2 = 4m

L1 = 2m

El área del sector A0B será:

2

12.2

2

.11

1

mmRLS

.2m2.

Casos Particulares:

1. El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de área

“S” (fig. 1); produce un incremento de área proporcional a los números

impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig. 1).

Fig. Nº 1

Fig. Nº 2



Ejemplo

Hallar el cociente de las áreas sombreadas “A” y “B” respectivamente:

Resolución

Recordando la observación:

.SB

SA

3

7

.

3

7

B

A

2. Área de un trapecio circular

Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la

diferencia de dos sectores circulares concéntricos.

El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las

longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada

por su espaciamiento, es decir:

. hbB

AT

.2

.

Donde:

AT = Área del trapecio circular

También .h

bB .

Ejemplos

1. Calcular el valor del área del trapecio circular, y encontrar la medida

del ángulo central en la figura mostrada:

Resolución

2.2

34

TA

2

34

.AT = 7m2 . . 5,02

1 .

2. Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2



Resolución

Por dato: AT = 21

Por fórmula: AT =

2

9x . 2 = x + 9

Igualamos: x + 9 = 21

.x = 12 m.


1. Hallar la longitud de un arco

que subtiende un ángulo

central de 30º, si la longitud

del radio de la circunferencia

es 6m. (usar = 7

22)

Rpta. m70

22

2. Calcular la longitud del radio

de una circunferencia de 33m

de longitud de arco que

subtiende un ángulo central de

3 radianes.

Rpta. 11m

3. Hallar la medida del ángulo

central cuyo arco

correspondiente mide 11 cm y

radio 14cm. (usar = 7

22)

Rpta. rad4

4. Dado un sector circular de

arco 9(x–1) cm; de radio (x+1)

cm y de ángulo central (x2 – 1)

radianes. Calcular “x”

Rpta. 2

5. Hallar el área de un sector

circular cuyo ángulo central

mide 1º y su radio 90 m.

Rpta. 2m

245


circular cuya longitud de arco

es 8 cm y radio 4 cm.

Rpta. 16 cm2

7. El ángulo central de un sector

circular es 2 rad y tiene como

longitud de arco 4 cm.

Determinar su área.

Rpta. 4 cm2



8. Del gráfico mostrado. Hallar el

área del sector circular

sombreado.

Rpta. 100 cm2

9. Del sector circular mostrado.

Calcular el área de la figura

sombreada.

Rpta. 10 m2


Calcular (L1 + L2)

Rpta. 6 m

11. De la figura. calcular “x”

Rpta. (a – b)c–1

12. El perímetro de un sector

circular de 5cm de radio es

numéricamente igual a 10

veces el número de radianes de

su ángulo central. Hallar el

área de dicho sector.

Rpta. 25 cm2


circular de radio 8 m, que es

igual al área de un cuadrado,

cuyo lado es igual a la longitud

de arco del sector.

Rpta. 16 m2

¿POR QUÉ

ENSUCIAS

TU MUNDO?

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

14. Del gráfico mostrado

calcular “x” (S: Área)

Rpta. 12 m

15. Del gráfico mostrado calcular:

1

2

S

S. Si: AB = 20A

Rpta. 8




1. Hallar La longitud de un arco

que subtiende un ángulo

central de 45º, si la longitud

del radio de la circunferencia

es 8m. (usar 23 )

A) 3m B) 180m

C) m232 D) 4

m

E) m7

22

2. Calcular la longitud del radio

de una circunferencia de 48m

de longitud de arco que

subtiende un ángulo central de

4 radianes.

A) 24m B) 14m C) 12m

D) 33m E) 22m

EN LA VIDA HAY ALGO PEOR

QUE EL FRACASO, ES NO HABER

INTENTADO NADA

F.R. ROOSEVELT


central cuyo arco

correspondiente mide 110cm y

radio 70cm. (usar = 22/7)

A) rad B) rad4

C) rad4

3 D) rad

2

E) rad6

4. Dado un sector circular de

arco 12 m; de radio (x + 3)m y

ángulo central 2 radianes.

Calcular “x”

A) 2 B) 3 C) 6

D) 8 E) 10


circular cuyo ángulo central

mide 30º y su radio 6 cm.

A) cm2 B) 2cm2

C) 3cm2 D) 4cm2

E) 5cm2


circular cuya longitud de arco

es 12 cm. y radio 6 cm.

A) 12cm2 B) 36cm2

C) 72cm2 D) 46cm2

E) 16cm2

7. El ángulo central de un sector

circular es 3rad y tiene como

longitud de arco 6cm. Calcular

su área

A) 2cm2 B) 4cm2

C) 6cm2 D) 8cm2

E) 10cm2

8. Del gráfico mostrado. Hallar el

área del sector circular

sombreado.

A) 302,5cm2 B) 402,4cm2

C) 202,5cm2 D) 100cm2

E) 200cm2


Calcular el área de la figura

sombreada.

A) 24m2 B) 63m2

C) 81m2 D) 36m2

E) 16m2


Calcular: (L1 + L2)

A) 2m B) 4m C) 6m

D) 8m E) 10m


Trigonometría Trigonometría

MEJOR QUE APRENDER

MUCHO, ES APRENDER COSAS

BUENAS.

JOSÉ FERNÁNDEZ

37 38

11. Calcular “x” de la figura

A) (a – b)c B) (a + b)c

C) (a – b)c–1 D) (a + b)c–1

E) (a + b)–1c

12. El perímetro de un sector

circular de 2cm, de radio es

numéricamente igual a 3 veces

el número de radianes de su

ángulo central. Hallar el área

de dicho sector.

A) 4cm2 B) 6cm2 C) 8cm2

D) 10cm2 E) 16cm2


circular de un radio de 6 m,

que es igual al área de un

triángulo equilátero, cuyo lado

es igual a la longitud de arco

del sector.

A) 232 m B) 2

34 m

C) 4m2 D) 23m

E) 9m2

14. Del grafico mostrado calcular

“x” (S: área)

A) m3 B) m62

C) m32 D) m63

E) m33

LA JUVENTUD NO ES UN TIEMPO DE LA VIDA,

SINO ES UN ESTADO DEL ESPÍRITU

F. SCHILLER

15. Del gráfico mostrado

Calcular: 2

1

S

S

A) 1 B) 2

1 C)

3

1

D) 4

1 E)

5

1

CLAVES

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C

6. B

7. C

8. C

9. D

10. B

11. C

12. C

13. A

14. C

15. C



¿SABÍAS QUÉ...

LOS ORÍGENES DE LA VIDA

El hombre se ha preguntado desde siempre cómo empezó la vida. Para

responder a esta pregunta, se han propuesto muchas teorías, como la de la

generación espontánea de la vida a partir de la materia inerte o la de la

creación de la vida por un ser superior. Hoy en día la mayoría de científicos

cree que la vida evolucionó a partir de moléculas simples existentes en la

atmósfera hace unos 4.000 millones de años, mediante reacciones quí micas

al azar. Esto fue demostrado por Stanley Miller, que recreó las condiciones

de la Tierra primordial y descubrió que algunos compuestos orgánicos –los

“ladrillos” que componen los seres vivos– estaban formados por una mezcla

de gases.

¿La chispa de la vida?

Cuando una chispa eléctrica

atraviesa una mezcla de gases

se producen compuestos orgánicos.

Surtidores de los fondos

oceánicos

Los surtidores marinos de agua

caliente rica en minerales pudieron proporcionar las

condiciones necesarias para la

evolución de la vida.

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS AGUDOS

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo

rectángulo.

Teorema de Pitágoras

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la

hipotenusa”

. a2 + b2 = c2 .

Teorema

“Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”

. A + B = 90º .



DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN

ÁNGULO AGUDO

Dado el triángulo ABC, recto en “C”, según la fig. 1, se establecen las

siguientes definiciones:

sen = Hipotenusa

OpuestoCateto =

c

a

cos = Hipotenusa

AdyacenteCateto =

c

b

tg = AdyacenteCateto

OpuestoCateto =

b

a

ctg = OpuestoCateto

AdyacenteCateto =

a

b

sec = AdyacenteCateto

Hipotenusa =

b

c

csc = OpuestoCateto

Hipotenusa =

a

c

Fig. Nº1

Ejemplos

1. Dado el triángulo ABC (C = 90º), se sabe que la suma de catetos es igual

“K” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos

agudos del triángulo.

Resolución

Nótese que en el enunciado del problema tenemos:

.a + b = k . c.

Nos piden calcular

Sen + Sen =c

b

c

a

= c

ba

Luego: .Sen + Sen. = c

ck . = .K.

2. Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión

aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

Resolución

Nótese que en el enunciado, los lados del triángulo están en progresión

aritmética, de razón “r” asumamos entonces:

Cateto Menor = x – r

Cateto mayor = x

Hipotenusa = x + r

Teorema de Pitágoras

(x – r)2 + x2 = (x + r)2

x2 – 2xr + r2 + x2 = x2 + 2xr + r2

x2 – 2xr = 2xr

x2 = 4xr

x = 4r



IMPORTANTE:

“A MAYO R CATETO MAYOR ÁNGULO AG UDO”, L UEGO REEMPL AZANDO EN L A

FIG A, TENEMOS:

Nos piden calcular: tg = r

r

3

4 = .

3

4.

3. Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330 m de perímetro, si

la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4

Resolución

1º Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumple con la condición:

Tg = 2,4 = 5

12

10

24

- Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos

guardan relación de 12 a 5.

- La hipotenusa se calcula por Pitágoras

Triángulo Rectángulo Particular

Triángulo Rectángulo General

2º El perímetro del triángulo rectángulo es:

Según la figura. 5K + 12K + 13K = 30K

Según el dato del enunciado = 330m

Luego 30K = 330

K = 11

3º La pregunta es calcular la longitud del menor cateto, es decir:

Cateto = 5K

= 5 . 11 m

= .55 m.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Razones Trigonométricas Recíprocas

“Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo

agudo, notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la

unidad.

Las parejas de razones trigonométricas recíprocas son entonces:

Seno y Cosecante : .Sen . Csc = 1.

Coseno y Secante : .Cos . Sec = 1. Nótese: “ángulos iguales”

Tangente y Cotangente : .Tg . Ctg = 1.

Ejemplos

1. Indicar la verdad de las siguientes proposiciones:

I. Sen20º . Csc10º = 1

II. Tg35º . Ctg50º = 1

III. Cos40º . Sec40º = 1

Resolución

Nótese en las parejas de razones trigonométricas recíprocas el

producto es “1”, siempre que sean ángulos iguales.

Luego: Sen20º . Csc10º = 1: Sus ángulos NO son iguales

Tg30º . Ctg50º = 1: Sus ángulos NO son iguales

Cos40º . Sec40º = 1: Sus ángulos SI son iguales

.I) F II) F III) V.



2. Resolver “x” agudo que verifique:

Resolución

Nótese que en la ecuación intervienen, razones trigonométricas

recíprocas, luego los ángulos son iguales.

Tg(3x+ 10º + ) = Ctg(x + 70º + ) = 1

3x + 10º + = x + 70º

2x = 60º

.x = 30º.

3. Se sabe: sen . cos .tg + ctg + sec = 7

3

Calcular: E = cos . tg . ctg . sec . csc

Resolución

Recordar: cos . sec = 1

tg . ctg = 1

sec . csc = 1

Luego; reemplazando en la condición del problema:

7

3sec...cos.

"1"

ctgtgsen

sen = 7

3 ............... (1)

Nos piden calcular: csc.sec...cos

"1"

ctgtgE

E= csc = sen

1, pero de (I) tenemos: sen =

7

3

.E =3

7.

2. Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios

“Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos,

notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que

su ángulo sean complementarios”.

OBSERVACIÓN:

UNA RAZÓN T RIGONOMÉT RICA DE UN ÁNGULO ES IGUAL A LA CO–RAZÓN

DEL ÁNGULO COMPLEMENTARIO:

RAZÓN CO–RAZÓN

SENO COSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSECANTE

Dado . + = 90º. entonces se verifica:

sen = cos

tg = ctg Nótese: “ángulos que suman 90º”

sec = csc

Así por ejemplo:

A)

B)



C)

Ejemplos:

1. Indicar el valor de verdad según las proposiciones

I. Sen80º = Cos20º

II. Tg45º = Ctg45º

III. Sec(80º - x) = Csc (10º + x)

Resolución

Nótese que dado una función y co–función serán iguales al evaluar

que sus ángulos sean iguales:

I.

II.

III.

2. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique:

Sen5x = Cosx

Resolución

Dada la ecuación sen5x = cosx; luego los ángulos deben sumar 90º,

entonces:

5x + x = 90º

6x = 90º

.x = 15º.

3. Resolver “x” el menor positivo que verifique:

Sen3x – Cosy = 0

Tg2y – Ctg30º – 1 = 0

Resolución

Nótese que el sistema planteado es equivalente a:

Sen3x = Cosy 3x + y = 90º (R.T. ∢ complementarios)

Tg2y . Ctg30º = 1 2y = 30º (R.T. recíprocas)

.y = 15º.

De la segunda igualdad:

Reemplazando en la primera igualdad:

3x + 15º = 90º

3x = 75º

.x = 25º.

4. Se saque que “x” e “y” son ángulos complementarios, además:

Senx = 2t + 3

Cosy = 3t + 4,1

Hallar Tgx

Resolución

Dado: x + y = 90º Senx = Cosy

Reemplazando 2t + 3 = 2t + 4,1

–1,1 = t

Conocido “t” calculamos Senx = 2(–1,1) + 3

Senx = 0,8

Senx = 5

4 .................. (I)



OBSERVACIÓN:

CONOCIDA UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRI CA , L UEGO HALL AREMOS LAS

REST ANTES; GRAFI CANDO LA CONDI CIÓN (I) EN UN T RIÁNGUL O

RECTÁNGULO, TENEMOS:

.Tgx. = AdyacenteCateto

OpuestoCateto = .

3

4.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS NOTABLES

1. Triángulos Rectángulos Notables Exactos

30º y 60º

45º y 45º

2. Triángulos Rectángulos Notables Aproximados

37º y 53º

16º y 74º

TABLA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

NOTABLES

∢

R.T. 30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º

Sen∢ 1/2 2/3 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25

Cos∢ 2/3 ½ 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25

Tg∢ 3/3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7

Ctg∢ 3 3/3 1 4/3 3/4 24/7 7/24

Sec∢ 3/32

2 2 5/4 5/3 25/24 25/7

Csc∢ 2 3/32 2 5/3 5/4 25/7 25/24



52

51

Ejemplos:

1. Calcular

º45sec.2º37cos.10

º60.3º30.

tgsenF

Resolución

Según la tabla mostrada

2.25

4.10

3.32

1.4

F

10

5

28

32

F

.2

1F .

2. Sea

2

9cot6sec.3tg

2

9csc.6cos.3sen

F

Para evaluar: = 10º

Resolución

Reemplazando = 10º en F(), tenemos:

º45cotº60sec.º30tg

º45csc.º60cos.º30senº10F

Reemplazando sus valores notables tenemos

1.2.3

3

2.2

1.

2

1

º10F

38

23

3

32

4

2

º10F

Racionalizando . 8

6º10F .

3. Si ABCD es un cuadrado calcular “tg”

Resolución

Cuando “” no está en un triángulo rectángulo: Luego, efectuaremos

trazos de modo que “” y 53º estén en un triángulo rectángulo.

De la figura:

T.R. PMD: Notable de 37º y 53º.

Luego suponemos que DP = 5k

Como: DP = BC = 5K

Luego el lado del cuadrado mide 5K

Sumando .PH + MD = AD.

PH + 3K = 5K

PH = 2K



54

52 53

Sumando .PM + HB = AB.

4K + HB = 5K

HB = K

Finalmente: .tg. = K

K

HB

PH 2 = .2.

Ejemplo

En la figura mostrada “0” es el centro del cuadrante A0B; hallar “ctg”

Resolución

Construimos un triángulo rectángulo OPH.

Luego aplicando teorema de Pitágoras

32x

En la figura inicial trazamos QE PH

332 PE

2QE

.ctg. = QE

PE= .

2

332 .


1. Si: cos = 10

10 y 0º< < 90º

Calcular: L = csc – ctg

Rpta. 3

110

2. En un triángulo rectángulo ABC

(recto en “C”) reducir:

H = (tgB + ctgB)2 – (ctgA–tgA)2

Rpta. 4

3. El lado menor de un triángulo

rectángulo ABC mide 14m y

cosA = 0.96. Calcular el

perímetro y área de dicha

región triangular

4. A partir de la figura

mostrada, calcular:

N = tg + tg

Rpta. 18

5. Del gráfico; Hallar:

tg

ctgW



54

55

Rpta. 112m y 336 m2

Rpta. 4

1

6. De la figura, hallar: “2

ctg

”

Rpta. 5

6

7. Siendo “”, “” y “” las

medidas de 3 ángulos agudos

que verifican el siguiente

sistema de ecuaciones

Cos( + ) = sen20º

Csc( – ) = sec40º

Ctg( – ) = tg80º

Luego uno de ellos será

Rpta. 55º


agudo “x” en:

cos3x . tg2x. sen4x . ctg2x .

9. Calcular:

º72.º18

º36sec.º54.9º36cos.4

ctgctg

senH

Rpta. 13

10. Calcular:

3322

g43

4cos.

4Sen.º53tg.º37tg

50csc.23

sec6

ctg.3

3

B

Rpta. 3 2

11. Del gráfico mostrado calcular:

x – y

sec3x . csc(60º – x) = 1

Rpta. 12º

Rpta. 6

12. En el triángulo rectángulo ABC.

Si: 2AD = CD, Hallar: “Ctg2”.

Rpta. 3

4

13. Del gráfico, calcular:

Q = 2ctg + ctg

14. Hallar “2tg”, en la

semicircunferencia de centro

“0” mostrada a continuación:

Rpta. 2

22

15. Encontrar “ tg ” del gráfico

mostrado



56 57

Rpta. 3

4

Rpta. 2

34

“NINGUNO PUEDE SER FELIZ SI NO SE APRECIA

A SÍ MISMO.”

JEAN JACQUES ROUSSEAU


1. Si: sen = 5

5 y 0º< < 90º

Calcular: J = sec - tg

A) 2

53

B) 25 C) 2

1

D) 2

5 E)

2

15

2. En un triángulo rectángulo ABC

(recto en “C”) Reducir:

E = (senA+cosA)2+(cosB–SenB)2

A) 1 B) 2 C) 4

4. A partir de la figura

mostrada, calcular:

U = tg + tg

A) 34 B) 6 C) 12

D) 18 E) 24

D) a E) b

3. El lado mayor de un triángulo

rectángulo ABC mide 52 cm y

TgC = 2,4. Calcular el

perímetro y área de dicha

región triangular

A) 240 cm y 480 cm2

B) 120 cm y 240 cm2

C) 210 cm y 480 cm2

D) 120 cm y 480 cm2

E) 240 cm y 960 cm2

5. Del gráfico calcular:

ctg

tgM

A) 2 B) 2

1 C) 1

D) 4 E) 4

1

6. Del gráfico:

Calcular: “2

Tg ”

A) 80

9 B)

20

9 C)

9

20

D) 4

5 E)

5

4


agudo “x” en:

sen4x . tg3x . cos2x . csc4x .

ctg3x . sec(30º–x) = 1

A) 5º B) 10º C) 20º

D) 30º E) 60º

9. Calcular:

º54tg.º36tg

º18csc.º72cos.16º18sen.9H



“NADIE DEBE AVERGONZARSE

POR PREGUNTAR LO QUE NO

SABE”

MÁXIMA ORIENTAL

58 59

7. Resolver el siguiente sistema

de ecuaciones, si “”, “” y “”

son ángulos agudos:

Sen( – ) = Cos70º

Sec( – ) = Csc50º

Tg( +) = Ctg10º

Luego uno de ellos será:

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 60º E) 80º

A) 7 B) 5 C) 49

D) 25 E) 5

10. Calcular:

º53ctg.º37ctg.50cos.50sen

4sec.4

6csc.

3tg.3

Ag3g3

24

A) 8

5 B)

40

1 C) 40

D) 40

1 E) 40

11. Del gráfico mostrado. Calcular:

x – y.

A) 1 B) 6 C) 3

D) 4 E) 5

13. De la figura.

Hallar: P = 2ctg – ctg

A) 0 B) –4/3 C) 4/3

D) 3/4 E) 3/4

14. Hallar “Sen”, si A0B es un

12. En el triángulo rectángulo ABC,

si: AD = 2CD; calcular “ctg2”

A) 32 B) 6 C)

6

3

D) 12 E)

12

1

cuadrante en el gráfico

adjunto.

A) 2 B)

2

2

C) 1+ 2

D) 21

E) 12

15. Determinar “ tg ” en el

gráfico mostrado

A) 4

33 B)

3

34 C)

9

34

D) 4

39 E)

3

32 4



60 61

CLAVES

1. E

2. B

3. D

4. C

5. A

6. E

7. B

8. B

9. B

10. C

11. B

12. D

13. D

14. E

15. E

¿SABÍAS QUÉ...

ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO

Todo triángulo pitagórico tiene sus lados

expresados por números enteros positivos.

Dichos lados tiene la siguiente forma:

Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.

Además . m > n .

OBSERVACIÓN:

SI ELEGI MOS VALO RES D E “M” Y “N” (NÚMEROS PRI MOS ENTEROS ENT RE

SÍ) TAL QUE (M + N ) RESULT E UN NÚMERO I MPAR, SE OBTI ENEN

TRIÁNGULOS PIT AGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS T AMBIÉN SON

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2


OBSERVACIÓN:

CUAN DO LOS VALO RES DE “M” Y “N” (NO SON PRI MOS ENTRE SÍ ) O CUYA

SUMA DE M Y N S EA UN NÚMERO PAR S E OBTI ENE T RIÁNGULO S

PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA PO R

NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.



CASO PARTICULAR:

CUAN DO SE TIEN E DOS NÚMEROS ENT EROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS,

ENTONCES SE CUMPLIRÁ:

2

1

km Y

2

1

kn ; SIENDO: K = # IMPAR.



62

63

LUEGO:

EJEMPLO: CUANDO: K = 5

EJEMPLO: CUANDO: K = 11

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo oblicuángulo, implica determinar sus elementos

básicos (tres ángulos y tres lados).

En el caso de un triángulo rectángulo ya se conoce uno de los tres

ángulos (90º), por lo que faltarán conocer 5 elementos, los tres elementos y

los dos ángulos agudos. Entonces para resolver un triángulo rectángulo,

debemos conocer dos lados o un lado y un ángulo agudo.

En el caso de conocer dos lados, bastará aplicar el Teorema de

Pitágoras.

El caso que más detallaremos será cuando en un triángulo rectángulo se

conozcan un lado y un ángulo agudo.

Ejemplo:

De la figura siguiente:

Datos: , m

Incógnitas: x; y

senm

y y = m sen

cosm

x x = m cos

Análogamente:


1. En el rombo mostrado calcular

“x”, si se conocen “L” y “”.

Rpta. L . sen

3. Calcular “x” en función de “”

en la siguiente figura

Rpta. sencos3



64 65

2. Calcular “x” en función de “a”,

“b” “” y “” en la figura

mostrada a continuación

Rpta. acos + bcos

4. Hallar “tg” de la figura

mostrada.

Rpta. 8

1

“HAY UNA PRIMAVERA QUE NO VUELVE JAMÁS Y

C.A. TORRES 5. En el gráfico, hallar la medida

de .

Si: a = 4b

Rpta. 30º

7. Hallar la longitud de la

hipotenusa del triángulo

rectángulo ABC en función de

“R” y “”

Rpta. R(sec + csc)

6. Calcular:

“3cos - 2sec”

Del gráfico mostrado.

Rpta. 0

8. Hallar:

“tg + ctg”

Del siguiente gráfico

Rpta. 1

9. Del siguiente gráfico. Calcular

W = ctg - tg

Rpta. 2

3

10. Hallar “x” en función de “m” “”

11. Calcular “x” en la figura

mostrada, si se conocen “k” y

“”

Rpta. k . tg . sec

12. Hallar “x” del gráfico



66 67

y “”

Rpta. m . sen . cos

mostrado en función de “y” “”

y “”

Rpta. y . ctg . csc

“LOS PROBLEMAS SON PARTE DE LA VID A, Y , SI

NO LOS COMPARTES, NO DAS A LA PERSONA QUE

AMAS SU FICIE NTE OPORTUNID AD DE AMARTE LO

SUFICIENTE”

DINHA SHORE

13. Calcular el área de la región

sombreada

Rpta. 6m2

14. Calcular 3sen2

15. Si AD = nAC.

Hallar:

”ntgx”

ABED en un trapecio

rectangular

Rpta. sen . cos

Rpta. 2

Nuevas Maravillas del Mundo A nivel mundial se está llevando a cabo la búsqueda de

Nuevas Maravillas del Mundo.

Alumnos los invitamos a que ingreses a Internet para que

des tu voto a la Ciudadela de Macchu Picchu www.Newservenwonders.com


1. En el paralelogramo mostrado,

calcular “x”, si se conocen “a”

“b” y “”

A) a.sen B) a.cos C) b.sen

3. Calcular “x” en función de “”

en la siguiente figura

A) 4cos – 3sen

B) 4sen - 3cos

C) 3sen - 4 cos

D) 3cos - 4 sen



68 69

D) b.cos E) bsec

2. Calcular “x” en función de “L” y

“” en la figura mostrada a

continuación

A) L.sen B) 2L.sen C) L.cos

D) 2.Lcos E) L.csc

E) 4cosa + 3sen

4. Hallar “tg” del gráfico

mostrado en función de “y” “0”

y “”

A) 5

53 B)

8

1 C)

11

3

D) 8 E)

3

11

5. En el gráfico, si a = 2b; hallar

la medida de “”

A) 60º B) 53º C) 45º

D) 37º E) 30º

7. Hallar la suma de longitudes

de los catetos del triángulo

rectángulo ABC en función de

“R” y “”

A) R(cos + sen)

B) Rcos +sen

C) R(sec + csc)

6. Calcular “

sec

cos” del gráfico

mostrado.

A) 3

5 B)

5

3 C)

4

5

D) 5

4 E)

4

3

D) Rsec + csc

E) R(tg + ctg)

8. Hallar “ctg + tg” de la

figura mostrada a

continuación

A) 5 B) 5

1 C) 1

D) 10 E) 10

1

9. De la siguiente figura hallar:

W = tg - ctg

A) 1 B) 2 C) 3–1

D) –2 E) 0

11. Hallar “x” del gráfico

mostrado en función de

“z” y “”

A) z . tg . sen

B) z tg . csc

C) z . ctg . sen

D) z . tg . sec



“LA INGRATITUD ES LA

AMNESIA DEL CORAZÓN”

G. BETANCOURT

70 71

10. Hallar “x” en función de “a”, “”

y “”

A) a.cos.cos B) a.cos.sen

C) a.sen.sen D) a.sen.cos

E) asec.csc

E) z . ctg . csc

12. Calcular “x” de la figura

mostrada, si se conocen

“b”, “” y “”

A) b . tg . sen

B) b . ctg . cos

C) b . ctg . csc

D) b . tg . cos

E) b . tg . sec

13. Calcular el área de la región

sombreada

A) 1,5 m2 B) 8 m2 C) 9,5 m2

D) 11 m2 E) 12,5m2

CLAVES

1. C

2. D

3. A

4. C

5. C

6. B

7. C

8. A

9. C

10. B

11. E

12. E

13. C

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES

INTRODUCCIÓN

Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los

objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para

ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador

y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan

visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos

importantes para el desarrollo del tema:



72 73

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección

que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la

vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta

imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la

línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del

observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de Elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el

objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

: Ángulo de observación

Ángulos de Depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando

el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:

AL ÁNGULO FO RMADO POR DOS LÍNEAS DE MI RA S E DENOMIN A ÁNGULO DE

OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN


1. Una persona observa la azotea

de un edificio con un ángulo de

elevación de 30º y luego de

alejarse 40m observa

nuevamente con un ángulo de

elevación de 15º. Hallar la

altura del edificio

Rpta. 20m

4. Desde un punto ubicado en la

parte superior de un faro a

20m sobre el nivel del mar,

observa a dos barcos que se

encuentran colineales con

ángulos de depresión y

respectivamente. Si ctg -

ctg = 10, hallar la distancia

entre dichos barcos.



74 75

2. Un niño de estatura 1 m

observa los ojos de una

señorita de estatura 3 m con

un ángulo de elevación . Hallar

la distancia que los separa

sabiendo que: ctg = 13

Rpta. 2m

3. Desde un punto en el suelo se

observa la parte superior de

una estatua con un ángulo de

elevación de 60º y a la parte

superior de su pedestal con un

ángulo de elevación de 30º. Si

la altura del pedestal es de

2m. Hallar la altura de la

estatua

Rpta. 4 m

Rpta. 200m

5. En la parte superior de un

edificio se encuentra una

bandera, a 12m de distancia

del edificio se observa la

parte inferior y superior del

asta de la bandera con ángulos

de elevación y

respectivamente. Hallar la

altura del asta si: tg = 1,5 y

ctg = 0,6

Rpta. 2 m

6. Desde las azoteas de dos

edificios de 20 y 12m de

altura, se observa un punto en

el suelo entre ambos edificios

con ángulos de depresión de

53º y 37º respectivamente.

Calcular la distancia entre

ambos edificios.

Rpta. 31m

9. Desde la parte superior de un

edificio se observa un punto

en el suelo con una depresión

angular “”. Determinar la

altura sabiendo que la línea

visual mide “a”

Rpta. asen

10. Un avión vuela en línea recta y

horizontalmente y cuando se

7. A 20m de una torre se observa

su parte más alta con un ángulo

de elevación “” y si nos

alejamos 10 m el ángulo de

elevación es el complemento de

“”. Calcular “tg”

Rpta. 5,1

8. Una persona de estatura 1,80m

observa la parte superior de un

poste con un ángulo de

elevación “”. Si la distancia se

reduce a la tercera parte, la

elevación angular se duplica.

Hallar csc.

Rpta. 2

ubica entre dos puntos A y B

distantes ( 13 ) km (“A” a

su izquierda y “B” a su

derecha) los observa con

depresiones angulares de 30º

y 45º. Calcular la altura de

vuelo

Rpta. 1km


ubica la parte superior de un

árbol con una elevación

angular de 37º, nos acercamos

5m y la nueva elevación

angular es 45º. Hallar la altura

del árbol.

Rpta. 15m

12. Una persona ubicada en la

parte más alta de un edificio

observa a dos puntos opuestos

a ambos lados del edificio con

ángulos de depresión de 37º y

53º. Si los puntos distan entre

si 20 m. Hallar la suma de las

visuales

Rpta. 28m

14. Desde un punto en el terreno

se observa la parte alta de un

árbol con un ángulo de

elevación de 30º, si nos

acercamos 40m hacia él

notamos que el nuevo ángulo

de elevación es el

complemento del anterior.

Hallar la altura de dicho árbol.

Rpta. 320 m



76 77


observa la parte más alta de

una torre con un ángulo de

elevación de 60º, si se

retrocede 40m y se vuelve a

observar la parte más alta, el

ángulo de elevación es de 30º.

Hallar la altura de la torre

Rpta. m320

15. Desde la parte superior de

una torre se observan dos

piedras en el suelo con ángulos

de depresión de 37º y 53º

respectivamente; si la altura

de la torre es 12m. y las

piedras están en línea recta y

a un mismo lado de la base de

la torre. Calcular la distancia

entre las piedras.

Rpta. 7m

“EL OPTIMISTA SE EQUIVOCA CON TANTA

FRECUENCIA COMO EL PESIMISTA, PERO ES

INCOMPARABLEMENTE FELIZ”

N. HILL


1. Una persona observa la

azotea de un edificio con un

ángulo de elevación de 60º

luego de alejarse 30m

observa nuevamente con un

ángulo de elevación de 30º.

Hal lar la altura del edificio.

3. Desde un punto en el suelo

se observa la parte

superior de una estatua con

un ángulo de elevación de

45º y a la parte superior

de su pedestal con un

ángulo de elevación de 37º.

Si la altura del pedestal es

de 3m, hal lar la altura de la

estatua.

A) m310 B) m325 C) 30

D) m315 E) 20

2. Un niño de estatura 1m

observa los ojos de una

señorita de estatura m2

con un ángulo de elevación

. Hal lar la distancia que

los separa sabiendo que:

ctg = 12

A) 1m B) 1,5m C) 2m

D) 2,5m E) 3m

A) 2m B) 1,5m C) 1m

D) 3m E) 3,5m

4. Desde un punto ubicado en

la parte superior de un

faro a 15m sobre el nivel

del mar, se observa a dos

barcos que se encuentran

colineales con ángulos de

depresión y

respectivamente.

Si: ctg – ctg = 7, hallar

la distancia entre dichos

barcos

A) 100m B) 205m C) 105m

D) 50m E) 310m

5. En la parte superior de un

edificio se encuentra una

bandera, a 5m de distancia del

edificio se observa la parte

inferior y superior del asta de

la bandera con ángulos de

elevación y

respectivamente. Hallar la

altura del asta si: tg = 1,4 y

tg = 1,7m

A) 2m B) 1,5m C) 00,5m

D) 2,5m E) 3m

7. A 90m de una torre, se

observa su parte más alta con

un ángulo de elevación “” y si

nos alejamos 40 m el ángulo de

elevación es el complemento

de “”. Calcular “tg”

A) 2/3 B) 0,3 C) 0,1

D) 1/3 E) 1/5



78 79

6. Desde las azoteas de dos

edificios de 18 y 12m de

altura, se observa un punto en

el suelo entre ambos edificios

con ángulos de depresión de

37º y 45º respectivamente.

Calcular la distancia entre

ambos edificios.

A) 12m B) 11m C) 36m

D) 24m E) 31m

8. Una persona de estatura 1,8m

observa la parte superior de

un poste con un ángulo de

elevación “”. Si la distancia

se reduce a la quinta parte, la

elevación angular se duplica.

Hallar 5tg

A) 5 B) 10 C) 15

D) 2 E) 5

“EL ALUMNO SCORZINO SE CARACTERIZA POR SU

GALLARDÍA, ESFUERZO EN EL ESTUDIO Y POR SU

DISCIPLINA EN TODAS LAS ÁREAS”

DPTO. DE PUBLICACIONES – V.L.E.B.

9. Desde un punto en el terreno

horizontal el ángulo de

elevación la parte superior de

una torre es de 15º,

acercándose 100m en línea

recta el nuevo ángulo de

elevación es ahora de 30º.

Hallar la altura de la torre.

A) 100m B) m350

C) 200m D) m3100

E) 50m

10. Desde lo alto de dos torres de

12 m y 314 m de altura

respectivamente, se observa

un punto en el suelo entre

ambas torres con ángulos de

depresión de 37º y 60º

respectivamente. Calcular la

distancia entre dichas torres.

A) 30m B) 42m C) 58m

D) 23m E) 51m

CLAVES

1. A

2. A

3. C

4. C

5. B

6. C

7. A

8. C

9. E

10. E

ÍNDICE

PÁG.

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR ........................................................................................... 7



80

SECTOR CIRCULAR .................................................................................................................... 24

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.................................................... 40

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.................................................................. 63

ÁNGULOS VERTICALES ............................................................................................................ 72

trigonometria4tosecit[2]

Documents