trigonometría del círculo - mate 3002 upra profa ... · a. 140° b. 240° c. 380° l l p d (x, y)...

Trigonometría del

círculo

Sección 5.3

3 - 2

Un círculo con

centro en el origen

de un sistema de

coordenadas

rectangulares y

con radio igual a 1

se llama un

círculo unitario.

3 - 3

Si el punto P(x,y)

pertenece al

círculo unitario, y

el segmento OP es

un radio, entonces

OP intercepta un

arco dirigido q va

desde el eje de x

hasta P (arco S).

3 - 4

El arco

interceptado,

arco S, tiene la

misma medida

que el ángulo

central ϴ.

3 - 5

En el círculo unitario definimos

sin(s) = sin(ϴ) como la distancia, y, vertical desde P hasta el eje de x.

Similarmente, definimos cos(s)=cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.

Arco s

3 - 6

Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.

En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.

Radio = 3

3 - 7

hipotenusa

opuesto)sin(

hipotenusa

adyacente)cos(

Utilizando el triángulo

recto imaginario podemos

traducir estas razones a:

r

y)sin(

r

x)cos(

Vimos anteriormente que

en un triángulo recto:

x

y

ady

op)tan(

3 - 8

Similarmente podemos

usar el triángulo recto

imaginario que se forma

dentro del círculo para

determinar las otras 3

razones trigonométricas:

y

x

op

ady)cot(

x

r

ady

hip)sec(

y

r

op

hip)csc(

3 - 9

2

2)sin(

r

y

2

2)cos(

r

x

2,2P

12

2)tan(

x

y

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el

punto P, hallar los valores de las 6 razones

trigonométricos.

3 - 10

Ejemplo 1: (cont.)

2

2)csc(

y

r

2

2)sec(

x

r

12

2)cot(

y

x

2,2P

22

22

22

22

3 - 11

Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x , en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario: l

Razones trigonométricas arbitrarias.

3 - 12

Para cada ángulo mostrado, calcule las 6 razones

trigonométricas.


3 - 13

Ejemplo2: El punto P(x,y) se muestra en una

circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las

razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.

5

4,

5

3P

Sabemos que: •el radio es 1 •x= •y=

•Por lo tanto,

5

4)sin(

x

y

5

3

5

4

5

3)cos(

3

4)tan(

x

y

3 - 14

Ejemplo 2: (cont.)

5

4,

5

3P

Las relaciones recíprocas son:

4

5)csc(

x

y

3

5)sec(

4

3)cot(

y

x

3 - 15

Práctica

Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en

los siguientes círculos.

13

12

,13

5P

8,15P

Radio = 1 Radio = 17

3 - 16

Soluciones Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los

siguientes círculos.

13

12

,13

5P

Radio = 1

8,15P

Radio = 17

13

5cos

13

12sin

5

12tan

5

13sec

12

13csc

12

5cot

17

15cos

17

8sin

15

8tan

15

17sec

8

17csc

8

15cot

3 - 17

En la Figura 2, el lado terminal del

ángulo α está en el cuadrante II. El

ángulo α NO es agudo. Si

construimos un triángulo recto, el

segmento que va desde el centro

hasta el punto es la hipotenusa.

Notamos que la coordenada de x del

punto es negativa y la

coordenada en y es positiva. El

ángulo de la base del triángulo recto,

ya no es α, ahora es (180 - α).

l

l

),(P yx

y

P

Figura 2

P

Este es un círculo

unitario.


3 - 18

El ángulo (180 - α) se conoce como

un ángulo de referencia, por que

el cos(α) es igual en tamaño al

cos(180 - α), pero hay que

adjudicarle el signo apropiado.

Es decir, para un ángulo en el

cuadrante II, como la coordenada

de x del punto 𝑷𝜶 es negativa, el

cos(α) es negativo. Por razones

similares, en el segundo cuadrante,

sin(α) es positivo.

l

l

),(P yx

y

Figura 3

cos(α)

sin

(α)

Este es un círculo

unitario.


3 - 19

Práctica: Para cada uno de los ángulos mencionados, dibujar el ángulo y determinar el ángulo de referencia. a. 140°

b. 240°

c. 380°

l

l

),(P yx

ángulo de referencia


3 - 20

Soluciones:

l

l

),(P yx



3 - 21

Práctica: Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Además, hallar el cos, sin y tan de cada ángulo.

l

l

),(P yx

1) 1200 2) 1350 3) 1500



3 - 22

Soluciones:

Angulos de Referencia

1) El ángulo de referencia de 120o es 60o.

2) El ángulo de referencia de 135o es 45o.

3) El ángulo de referencia de 150o es 30o. l

l

),(P yx

Razones Trigonométricas (Se puede usar la calculadora y obtener

aproximaciones a 4 lugares decimales. Aquí presento los valores exactos.)

1)cos(120)= - 1

2 sin(120) =

3

2 tan(120)=

sin(120)

cos(120)= − 3

2)cos(135)= - 2

2 sin(135) =

2

2 tan(120)=

sin(135)

cos(135)= 1

3)cos(150) = - 3

2 sin(150) =

1

2 tan(150)=

sin(150)

cos(150)= − 3



3 - 23

En la Figura 4, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante III. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que ambas coordenadas del punto son negativas. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (α-180).

l

l

P

P

),(P yx

y

Figura 4 Este es un círculo

unitario.


3 - 24

),(P yx

y

Figura 5

El cos(α) es igual en tamaño al cos(α - 180), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante III, como la coordenada de x del punto terminal es negativa, el cos(α) es negativo. Similarmente, sin(α) es negativo. Este es un círculo

unitario.

cos α

sin

α

Razones trigonométricas arbitrarias:

tercer cuadrante

3 - 25

Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Hallar el secante, el cosecante y el cotangente de cada ángulo.. l

l

),(P yx

1) 2100 2) 2250



3 - 26

Solución: 1)sec(210) =

1

cos(210)=

1

−3

2

=2

3≈ - 1.1547

csc(210)= -1

sin(210)=

1

−1

2

= −2

cot(210)= cos(210)

𝑠𝑖𝑛(210)=

1

tan(210) = 3 ≈ 1.732

2) sec(225) =1

cos(225)=

1

−2

2

= −2

2≈ −1.4142

csc(225)= 1

sin(210)=

1

−2

2

= −2

2≈ −1.4142

cot(225)= cos(225)

𝑠𝑖𝑛(225)=

1

tan(225) =1

l

l

),(P yx



3 - 27

),(P yx

y

Figura 6

En la Figura 6, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante IV. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que la coordenada de x del punto es positiva y la coordenada de y es negativa. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (360-α).

P

P

Este es un círculo

unitario.


3 - 28

Razones Trigonométricas

de ángulos arbitrarios

El cos(α) es igual en magnitud al cos(360 - α), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante IV, como la coordenada de x del punto es positiva, el cos(α) es positivo. Similarmente, sin(α) es negativo.

),(P yx

y

Figura 7

P

Este es un círculo

unitario.

cos α sin

x

3 - 29

Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia. Hallar las 6 razones trigonométricas correspondientes.

l

l

),(P yx

1) 3050 2) 3150 3) 3300



3 - 30

Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario:

l


3 - 31

Funciones Trigonométricas


I II III IV

sen + + - -

cos + - - +

tan + - + -

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

VI

l

I II

III

1

P 2

P

3

P 4

P

n

P

¿Cómo completarías la tabla para las razones de csc, sec, y cot?

3 - 32

Funciones Trigonométricas


I II III IV

sen + + - -

cos + - - +

tan + - + -

l

I II

III VI

1

P 2

P

3

P 4

P

n

P

csc

sec

cot

+ + - -

+ - + -

+ - - +

trigonometría del círculo - mate 3002 upra profa ... · a. 140° b. 240° c. 380° l l p d (x, y)...

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