treball de física
TRANSCRIPT
1. Introducció: D'on i per què sorgeix la roda?
És impossible saber en base a quina idea exacte va sorgir el primer
desenvolupament de la roda, segurament a través de l'observació directa de la
natura. La gran reflexió deuria ser en veure com una pedra plana té dificultats
per desplaçar-se, comparant-la amb una pedra més o menys rodona
La primera aparició, data aproximadament del 4000 aC en les antigues cultures
de Mesopotàmia durant el període sumeri. Degut a les necessitats agrícoles,
urbanes i productives, d’aquella època, van portar buscar mètodes de transport
que fossin més eficients que els que hi havia fins llavors.
Aquesta millora d'eficiència es demostrarà més endavant amb els càlculs
matemàtics.
És difícil saber com els sumeris van arribar a descobrir la roda. Tanmateix, el
descobriment es pot deduir mitjançant els terrissaires, que per tal d’optimitzar la
fabricació de peces de ceràmica, van introduir la tècnica del torn, que
efectivament va proporcionar més rapidesa i precisió en l’elaboració dels
productes. Per tant, es creu que el torn va propiciar un dels descobriments més
grans de la història de la humanitat, la roda.
Tot i que la majoria d’historiadors argumenten que la invenció de la roda com a
tal ha de ser anterior, utilitzant plataformes de fusta sota de les quals hi havia
troncs cilíndrics per a facilitar el desplaçament, units i enganxats a les banyes
dels bous que les arrossegaven, la primera roda de carro de que es té
constància data aproximadament del 3500 aC. El seu disseny és molt simple:
les rodes, de forma cilíndrica, eren discs sòlids de fusta massissa i estaven
formades per dos o més segments units per grapes de fusta. Les rodes
s’inserien en un eix i quedaven fixades per estaques que travessaven els
extrems de l’eix.
El que farem en aquest treball, doncs, serà explicar el perquè d'aquest
moviment de rotació i la seva ajuda.
Joan Marc Gamisans Eslava 1/12
Marc Casanovas Maqueda
2. Sòlid Rígid.
2.1. Definició
Definim un Sòlid Rígid (SR) com un sistema de partícules en la que la distancia
entre dues partícules qualssevol del sistema resta sense variar en el transcurs
del temps.
2.2. Tipus de sòlids rígids que realitzen moviments de rotació
De tipus de moviments de rotació n’hi ha moltíssim, tant com la nostra ment es
pugui arribar a imaginar. Ara bé, tots aquests tipus de moviments es poden
descompondre en els següents moviments bàsics:
Cilindre sòlid respecte del seu eix:
Cilindre buit respecte del seu eix:
Capa cilíndrica respecte d’un diàmetre:
Cilindre sòlid respecte d’un diàmetre:
Joan Marc Gamisans Eslava 2/12
Marc Casanovas Maqueda
Vareta respecte a una recta perpendicular que passa pel centre:
Vareta respecte a una recta perpendicular que no passa pel centre:
Escorça esfèrica respecte d’un diàmetre:
Esfera massissa respecte d’un diàmetre:
Paral·lelepípede rectangular massís respecte d’un eix que és perpendicular
a una cara i passa pel centre:
Joan Marc Gamisans Eslava 3/12
Marc Casanovas Maqueda
3. El moment d'inèrcia d'un cos
El moment d'inèrcia d'un cos indica la seva resistència a adquirir una
acceleració angular.
Exemple: Una ballarina tindrà més moment d'inèrcia si estén els braços, girant
més ràpid si els contreu.
Per a una massa puntual i un eix arbitrari, el moment d'inèrcia és:
on m és la massa del punt, i r és la distància a l'eix de rotació.
Donat un sistema de partícules i un eix arbitrari, es defineix com la suma dels
productes de les masses de les partícules pel quadrat de la distancia r de cada
partícula a aquest eix.
Per a un cos de massa contínua (Mitjà continu), es generalitza com:
El subíndex V de la integral indica que s'integra sobretot el volum del cos.
Aquest concepte exerceix en el moviment de rotació un paper anàleg al de
massa inercial en el cas del moviment rectilini i uniforme. La massa és la
resistència que presenta un cos a ser accelerat en translació i el Moment
d'Inèrcia és la resistència que presenta un cos a ser accelerat en rotació. Així,
per exemple, la segona llei de Newton: té com a equivalent per a la rotació:
on:
és el moment aplicat al cos.
és el moment d'inèrcia del cos pel que fa a l'eix de rotació i
és l'acceleració angular.
L'energia cinètica d'un cos en moviment amb velocitat v és , mentre que
l'energia cinètica d'un cos en rotació amb velocitat angular ω és , on I és el
moment d'inèrcia pel que fa a l'eix de rotació.
La conservació de la quantitat de moviment o moment lineal té per equivalent la
conservació del moment angular :
Joan Marc Gamisans Eslava 4/12
Marc Casanovas Maqueda
3.1. Teorema de Steiner
El teorema de Steiner és una fórmula que ens permet calcular el moment
d'inèrcia d'un sòlid rígid respecte d'un eix de rotació que passa per un punt O,
quan coneixem el moment d'inèrcia respecte a un eix paral·lel a l'anterior i que
passa pel centre de masses.
El moment d'inèrcia del sòlid respecte d'un eix que passa per O és:
El moment d'inèrcia respecte d'un eix que passa per C és:
Per relacionar *IO i *IC cal relacionar *ri i *Ri.
En la figura, tenim:
El terme intermedi en el segon membre és zero ja que obtenim la posició *xC
del centre de massa des del centre de massa.
Joan Marc Gamisans Eslava 5/12
Marc Casanovas Maqueda
3.2 Moment d’inèrcia d’una distribució continua de massa
Passem d'una distribució de masses puntuals a una distribució contínua de
massa. La fórmula que hem d'aplicar és:
dm és un element de massa situat a una distancia x de l'eix de rotació
Resoldrem diversos exemples dividits en dues categories:
Aplicació directa del concepte de moment d'inèrcia.
Partint del moment d'inèrcia d'un cos conegut.
3.2.1.Moment d’inèrcia d’una vareta
Anem a calcular el moment d'inèrcia d'una vareta
de massa M i longitud L respecte d'un eix
perpendicular a la vareta que passa pel centre de
masses.
La massa dm de l'element de longitud de la vareta comprès entre x i x+dx és:
El moment d’inèrcia de la vareta és:
Aplicant el teorema de Steiner, podem
calcular el moment d'inèrcia de la vareta
respecte d'un eix perpendicular a la
mateixa que passa per un dels seus
extrems:
Joan Marc Gamisans Eslava 6/12
Marc Casanovas Maqueda
3.2.2.Moment d’inèrcia d’un disc
Anem a calcular el moment d'inèrcia d'un disc de massa M i radio R respecte
d'un eix perpendicular al plànol del disc i que passa pel seu centre.
x i amplària dx, la massa de la qual és . Prenem un element de massa que
dista x de l'eix de rotació. L'element és un anell de ràdio x i d'amplària *dx. Si
retallem l'anell i ho estenem, es converteix en un rectangle de longitud 2.
El moment d’inèrcia del disc és:
Així doncs, ja hem demostrat el moment d’inèrcia dels cossos principals i
entenem el concepte.
Cal dir, que només hem d’estudiar els moviment dels cossos respecte a l’eix
paral·lel al pla del moviment que travessa el centre del sòlid.
Joan Marc Gamisans Eslava 7/12
Marc Casanovas Maqueda
4. Energia cinètica d'un sòlid rígid en rotació
Per a un sòlid rígid que està rodant pot descompondre's l'energia cinètica total
com dues sumes: l'energia cinètica de translació (que és l'associada al
desplaçament del centre de massa del cos a través de l'espai) i l'energia
cinètica de rotació (que és l'associada al moviment de rotació amb certa
velocitat angular). L'expressió matemàtica per a l'energia cinètica és:
On el moment d’inèrcia variarà depenent del tipus de cos de rotació
http://www.youtube.com/watch?v=y-EO4uGHAQA
En el vídeo proposat, disposem de dos cilindres d’idèntica massa, però
distribuïda de manera diferent:
La taronja té la massa distribuïda uniformement, mentre que la platejada,
concentra quasi tota la seva massa a la perifèria, per tant, el moment d’inèrcia
serà més gran en el cilindre platejat.
Dit això, elevem els dos cilindres on disposin d’una energia potencial que
s’acabarà convertint en cinètica.
Com és que la taronja arriba abans?
Com hem dit abans, la platejada té un moment d’inèrcia més gran, per tant, de
l’energia proporcionada (que es descompondrà en energia de translació i de
rotació) diríem d’una manera vulgar, que se’n gasta més en la rotació, per tant,
l’energia de translació serà més petita i així també la velocitat assolida.
Com que s’assoleix una velocitat lineal del centre de masses més petita, en el
mateix temps, l’acceleració també ho és.
Aquí tenim un altre exemple:
http://www.youtube.com/watch?v=cl4mG1PhvHk&feature=related
Joan Marc Gamisans Eslava 8/12
Marc Casanovas Maqueda
5. Resistència a la rodolament
La resistència a la rodolament es presenta quan un cos roda sobre una
superfície, deformant-se un d’ells o ambdós. Com veurem, no te cap mena de
sentit parlar de resistència al rodolament en el cas d’un S.R. (indeformable) que
roda sobre una superfície rígida (indeformable).
El concepte de coeficient de rodolament és similar al de coeficient de
fregament, amb la diferència de que aquest últim fa al·lusió a dues superfícies
que freguen o llisquen una sobre l’altra, mentre que en el coeficient de
rodolament no existeix tal lliscament entre la roda i la superfície sobre la que
roda, disminuint per norma general la resistència al moviment.
5.1. Generalitats
Per una banda, a escala microscòpica una roda no presenta un alçat
exactament circular, i la superfície sobre la que roda no constitueix un perfil pla,
ja que en ambdós casos existeixen irregularitats. Per altra banda, la roda i/o la
superfície per la quan desplaça, pateix una
deformació que provoca una dissipació de
l’energia en forma de calor. A més, aquesta
deformació fa que no es recolzi solament una
línia sobre el pis, sinó una superfície.
L’objectiu del coeficient de rodolament és establir un paràmetre empíric, sobre
el conjunt complert, que proporciona la força que s’ha d’exercir bé per posar en
moviment el sistema (coeficient estàtic) o bé per mantenir la seva velocitat
(coeficient dinàmic).
És a dir la deformació provoca una superfície de contacte entre la roda i la
superfície per la que gira, de forma que el cos ha de vèncer contínuament un
petit obstacle que se li presenta per davant i que s’oposa al seu rodolament.
Joan Marc Gamisans Eslava 9/12
Marc Casanovas Maqueda
5.1.1.Cossos rígids
Com hem dit abans, un Sòlid Rígid és
indeformable i aquest por rodar sobre una
superfície també indeformable. Si la superfície és
horitzontal, les forces que actuaran seran el seu
pes P i la reacció amb el pla N. Si ara hi afegim
una força F sobre l’eix del cilindre, paral·lelament
al pla i perpendicular a l’eix, apareixerà una força de fregament en A, en
direcció oposada a la força F. El moment de la força de fregament respecte de
l’eix del cilindre, fa girar el cilindre al voltant del seu eix. Així, en el
cas de cossos indeformables suportats per superfícies indeformables, per petita
que sigui la força F, es produirà el rodolament, així doncs, no té sentit parlar de
resistència al rodolament.
5.1.2.Cossos deformables (reals)
En les situacions reals, els cossos es deformen,
per poc que sigui. El contacte no es realitza al
llarg d’una generatrius, sinó que es realitza al
llarg d’una estreta banda A’A’’. Això dóna lloc a
que apareguin reaccions en els recolzaments.
Reaccions que donen lloc a la aparició d’un parell
que s’oposa al rodolament. Amb la finalitat de simplificar el problema, podem
imaginar que en cada instant el cilindre ha de rodar sobre la generatrius A’’, per
poder rodolar superant el petit obstacle que s’oposa a ell. Això equival a
considerar desplaçada la línia d’acció de la reacció normal N una distància que
designem per μr. El parell de resistència al rodolament i el parell aplicat valen,
respectivament:
Joan Marc Gamisans Eslava 10/12
Marc Casanovas Maqueda
En les condicions crítiques, quan comença el rodolament, el parell aplicat o
d’arrencament serà major que el parell resistent, de mode que:
de mode que el cilindre començarà a rodolar si:
que ens dóna el valor de la força mínima necessària per tal de que arranqui.
5.2.Coeficients
La magnitud , que té dimensions d’una longitud, és l’anomenat coeficient de
resistència al rodolament. De les expressions anteriors, es dedueix que el parell
d’arrencament és proporcional a la reacció normal N i que la força de tracció
necessària per l’arrencament és inversament proporcional al radi del cilindre;
aquesta és l’avantatge de les rodes grans sobre les petites.
La magnitud adimensional és el que anomenem coeficient de
rodolament.
En general, el coeficient de rodolament té un valor molt inferior al dels
coeficients de fregament per desplaçament (estàtic i cinètic); així doncs, és molt
més convenient, a efectes de disminuir les pèrdues energètiques, substituir en
els mecanismes i màquines els desplaçaments per els rodolaments, aquesta és
l’avantatja que va aportar l’invent de la roda (el tema principal d’aquest treball).
La dependència del coeficient de rodolament amb el pes del sistema, a
diferència del coeficient de fregament, fa que no sigui sempre operatiu calcular
el coeficient de rodolament a través de l’angle de fregament.
El valor del coeficient de rodolament és característic de cada sistema, depenent
de:
- La rigidesa o duresa de la roda i la superfície.
- El radi de la roda (a major radi, menor resistència).
- El pes o càrrega al que se sotmet cada roda.
- De la pressió en el cas de rodes pneumàtiques o hidràuliques.
- La temperatura, la rugositat de les superfícies, la velocitat relativa...
Joan Marc Gamisans Eslava 11/12
Marc Casanovas Maqueda
Com exemple, pels càlculs de frenada en automòbils utilitaris, s’utilitzen valors
de Crr al voltant de 0,012 i en trens al voltant de 0,0005.
5.3.Exemples de resistència al rodolament
Crr Descripció
De 0,0002 a 0,0010 Rodes de ferrocarril sobre vies d’acer.
0,0025 Pneumàtics especials Michelin per automòbil solar.
0,005 Vies estàndard de tramvia.
0,0055Pneumàtics BMX de bicicleta utilitzats per a automòbils
solars.
De 0,006 a 0,01Pneumàtics d’automòbil de baixa resistència i
pneumàtics de camió sobre carretera llisa.
De 0,010 a 0,015 Pneumàtics ordinaris d’automòbil sobre formigó
0,020 Pneumàtics ordinaris d’automòbil sobre llambordes.
De 0,030 a 0,035 Pneumàtics ordinaris d’automòbil sobre quitrà o asfalt.
De 0,030 a 0,035Pneumàtics ordinaris d’automòbils sobre herba, fang o
sorra.
Joan Marc Gamisans Eslava 12/12
Marc Casanovas Maqueda
Joan Marc Gamisans Eslava 13/12
Marc Casanovas Maqueda