Trayectorias p-q en ensayos triaxiales

Universidad Nacional de Colombia – Facultad de Ingeniería

Andrés Felipe Colmenares Bohórquez (Cód. 21)

Nicolás Escobar Castañeda (Cód. 215568)

Fernando Fajardo Álvarez (Cód. 21)

Profesor: Ing. Félix Hernández Rodríguez

En este trabajo se determinarán las trayectorias p’ – q para los diferentes tipos de ensayos

triaxiales, así como los esfuerzos (normal y cortante equivalentes) de falla tanto en ensayos

drenados como en ensayos no drenados. Para los casos no drenados se utilizará la expresión

de Skempton para los incrementos no drenados de presión de poros, a saber:

𝑈𝑢 = 𝐵[Δ𝜎3 + 𝐴1(Δ𝜎1 − Δ𝜎3) + 𝐴2(Δ𝜎2 − Δ𝜎3)]

Donde se asumirá que el parámetro B de Skempton es igual a la unidad por tratarse de suelo

saturado y los parámetros A1 y A2 son iguales a 1/3 porque se asumirá un comportamiento

elástico del suelo. Por otro lado, las expresiones de las envolventes de resistencia cuando se

trabaja con p’ y q se muestran a continuación.

𝑞𝑓 = [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑝′ + [

6 cos 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑐′

𝑞𝑓 = [−6 sin 𝜙

3 + sin 𝜙] 𝑝′ + [

−6 cos 𝜙′

3 + sin 𝜙′] 𝑐′

Gráficamente, dichas envolventes se representan de la siguiente forma:

Finalmente, es oportuno comentar que en este trabajo se asumirá que las propiedades del

suelo (𝜙′ y 𝑐′) son constantes, y por lo tanto no varían con el estado de esfuerzos del suelo.

1. Ensayos de compresión triaxial

Modalidad de compresión axial:

El estado inicial de esfuerzos (efectivos) de la muestra y los incrementos (totales) para

esta modalidad se muestran a continuación:

Las condiciones iniciales de p’ y q son:

𝑝0′ =

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3 ; 𝑞0 = 𝜎𝑎

′ − 𝜎 𝑟′

i. Drenado

Para el caso drenado no se generan excesos en la presión de poros, por lo que los

incrementos en los esfuerzos totales se traducen directamente en incrementos de

esfuerzo efectivos, es decir:

∆𝜎 = ∆𝜎′

Y luego de aplicados los incrementos se tendrá:

𝑝′ =(𝜎𝑎

′ + Δ𝜎) + 2𝜎𝑟′

3 ; 𝑞 = (𝜎𝑎

′ + Δσ) − 𝜎𝑟′

Por lo que resulta evidente que:

Δ𝑝′ =Δ𝜎

3 ; Δ𝑞 = Δσ

Y por lo tanto la pendiente de la trayectoria p’– q será:

𝑚 =Δ𝑞

Δ𝑝

𝑚 =Δσ

(Δ𝜎3 )

⇒ 𝑚 = 3

Finalmente se calcularán las variaciones que tendrán p’ y q hasta el momento de la

falla y los esfuerzas de falla en términos de los esfuerzos iniciales, sabiendo que:

𝑞𝑓 = 𝑞0 + Δ𝑞𝑓

De donde,

Δ𝑞𝑓 = [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] (

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3+ Δ𝑝𝑓

′ ) + [6 cos 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑐′ − (𝜎𝑎

′ − 𝜎 𝑟′ )

Y utilizando la pendiente de la trayectoria se deduce que

m · Δ𝑝𝑓′ = Δ𝑞𝑓 ⟹ Δ𝑝𝑓

′ =1

3Δ𝑞𝑓

∴ Δ𝑞𝑓 =

[6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] (𝜎𝑎

′ + 2𝜎𝑟′

3) + [

6 cos 𝜙′3 − sin 𝜙′

] 𝑐′ − (𝜎𝑎′ − 𝜎 𝑟

′ )

1 −13

[6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′]

Posteriormente, reemplazando en Δ𝑝𝑓′ =

1

3Δ𝑞𝑓 se deduce que:

Δ𝑝𝑓′ =

[6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] (𝜎𝑎

′ + 2𝜎𝑟′

3) + [

6 cos 𝜙′3 − sin 𝜙′

] 𝑐′ − (𝜎𝑎′ − 𝜎 𝑟

′ )

3 − [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′]

De donde se obtiene el esfuerzo normal equivalente (p’) en la falla y el esfuerzo

cortante equivalente (q) en la falla como:

𝑝𝑓′ = 𝑝0

′ + Δ𝑝𝑓′

𝑝𝑓′ =

𝑋𝐷

𝑋𝐷𝐷

Y,

𝑞𝑓 = 𝑞0 + 𝑞Δ𝑓

𝑞𝑓 =𝑋′𝐷

𝑋′𝐷𝐷

ii. No drenado

Para el caso no drenado habrá necesidad de calcular el incremento en la presión de

poros mediante la expresión de Skempton nombrada con anterioridad, entonces,

𝑈𝑢 = 0 +1

3(Δσ − 0) +

1

3(0 − 0)

𝑈𝑢 =1

3Δ𝜎

Una vez calculado el incremento no drenado en la presión de poros se calculan p’ y q

restando la sobre-presión de poros, de donde se obtiene:

𝑝′ =(𝜎𝑎

′ + Δ𝜎 −Δ𝜎3 ) + 2 (𝜎𝑟

′ −Δ𝜎3 )

3 ; 𝑞 = (𝜎𝑎

′ + Δσ −Δ𝜎

3) − (𝜎𝑟

′ −Δ𝜎

3)

𝑝′ =𝜎𝑎

′ + 2𝜎𝑟′

3 ; 𝑞 = 𝜎𝑎

′ − 𝜎𝑟′ + Δ𝜎

Debido a esto se deduce fácilmente que p’ no varía durante la aplicación del esfuerzo

Δ𝜎, mientras que q sí varía, aumentando hasta llegar a la falla; entonces, la trayectoria

será una línea vertical que sube hasta la envolvente (𝑚 = ∞). Los incrementos en p’ y q para llegar a la falla serán:

Δ𝑞𝑓 = [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑝0

′ + [6 cos 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑐′ − 𝑞0

Δ𝑞𝑓 = [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] [

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3] + [

6 cos 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑐′ − (𝜎𝑎

′ − 𝜎𝑟′)

Y

Δ𝑝𝑓′ = 0

Los esfuerzos (normal y cortante equivalentes) de falla serán entonces:

𝑝𝑓′ = 𝑝0

′ + Δ𝑝𝑓′

𝑝𝑓′ =

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3

Y

𝑞𝑓 = 𝑞0 + 𝑞Δ𝑓

𝑞𝑓 = [6 sin 𝜙′

3 − sin 𝜙′] [

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3] + [

6 cos 𝜙′

3 − sin 𝜙′] 𝑐′

Modalidad de extensión lateral:

El estado inicial de esfuerzos (efectivos) de la muestra y los incrementos (totales) para

esta modalidad se muestran a continuación:

Las condiciones iniciales de p’ y q son:

𝑝0′ =

𝜎𝑎′ + 2𝜎𝑟

′

3 ; 𝑞0 = 𝜎𝑎

′ − 𝜎 𝑟′

i. Drenado

Para el caso drenado no se generan excesos en la presión de poros, por lo que los

incrementos en los esfuerzos totales se traducen directamente en incrementos de

esfuerzo efectivos, es decir:

∆𝜎 = ∆𝜎′ Y luego de aplicados los incrementos se tendrá:

𝑝′ =𝜎𝑎

′ + 2(𝜎𝑟′ − Δ𝜎)

3 ; 𝑞 = 𝜎𝑎

′ − (𝜎𝑟′ − Δ𝜎)

Y por lo tanto la pendiente de la trayectoria p’– q será:

𝑚 =Δ𝑞

Δ𝑝

𝑚 =Δ𝜎

− (2Δ𝜎

3 ) ⟹ 𝑚 = −

3

2

A

ii. No drenado

A

2. Ensayos de extensión triaxial

Modalidad de compresión lateral: El estado inicial de esfuerzos (efectivos) de la muestra y los incrementos (totales) para

esta modalidad se muestran a continuación:

i. Drenado

A

ii. No drenado

A

Modalidad de extensión axial: El estado inicial de esfuerzos (efectivos) de la muestra y los incrementos (totales) para

esta modalidad se muestran a continuación:

i. Drenado

A

ii. No drenado

A