tratamiento numérico de los materiales compuestos · 2003. 10. 17. · materiales compuestos e....

Tratamiento Numérico de los Materiales Compuestos

E. Car

S. Oller E. Oñate

Monografía CIMNE Nº57, Julio 2000

Tratamiento Numérico de los Materiales Compuestos

E. Car S. Oller

E. Oñate

Monografía CIMNE Nº57, Julio 2000

Edificio C1, Campus Norte UPC, Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España

Primera Edición, Julio 2000 Los autores Edita: Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería Edificio C1, Campus Norte UPC Gran Capitán s/n 08034 Barcelona, España ISBN: 84-89925-66-6

!" # $ $ %&#&'( ) # ) & * + , -!#'. / " -". #

0 ( * +

11 ) 112 2

121 + + 2122 + 3124 + 5123 + 6 7

14 ,6 11

21 ) 1422 8 15

221 8 9 6 15222 8 17224 8 1:223 ; 1<22= 21

24 6 / ,+ 25241 ,+ 8 27242 ,+ 2:244 ,+ 8

2<243 ,+ 8

4>23

4>2= / 41

2=1 0 / 422=2 0 / / 45

2=4 / / 3>2=3 / 32

25 3427 0 332: (/ 3=2< /

; 372<1 !6 9 372<2 !6 / =22<4 !6 =4

21> & / =321>1 =321>2 & ==

211 , =72111 / =72112 ++!? =<2114 @ !A 5>

212 512121 !6 *+ 512122 ;

-B 1<<<. 52214 55

41 7142 / 73

421 0/ 7=422 , / ,

/ 6 77424 / 8

, #8 / 7:423 / 8

+ #8 / :>44 6 :343 ) , :=4= ; @ / :<45 6 8 , <1

451 !, <1452 !, , <4

47 6 8 + <=

471 !, <=472 !, , <7474 !, ,

<:4: & @ ( 1>>

4:1 8 , 1>14:2 8 + 1>=

4< #8 8 1><4<1 8 , 1><4<2 8 + 11>

41> 11141>1 8 , 11241>2 8 114

411 #8 + 11=4111 8 , 11=4112 8 + 11=

31 12132 !6 + / 122

321 6 12434 8 6 / C 12=

341 6 12733 6 / , 12<

331 12<332 ; 6 14>334 141

3= 8 6 + / &,+ 1433=1 # 8 14=3=2 # , 14:3=4 8 14<

35 13>351 ; 6 ,+ 8

13>37 0 / 8 !6 +

133

! "# $%&'( =1 137=2 8 13:=4 8 1=>=3 #; 1=1== 0 #; 1=3

==1 8 , #; 1==

=5 / ,+ 1=<=51 8 , 1=<=52 8 + 15>

) )51 15452 0 153

521 D 153522 153

54 , , 155

53 ; + 15:5= #+ 17>

5=1 ) E 17355 & 17=57 6 + 6

; 1:>5: 1:=

5:1 F + 1:55:2 F + 1:75:4

%EG 1::5:3 + 1<15:= ! 6 ' , 1<4

* + ,,71 1<<72 D8 / 2>>

721 / , / 8 2>>

722 / , 8 2>4

74 / 2>=73 , #;

21>7= 21:

7=1 # 21:7=2 --.,/ 8 J

21<7=4 --.,/ 8 J

22:7=3 --.,/ 8 J

2447== --.,/ 8 J

23>75

23=77 6 2=17: " + ,/ 2=:

7:1 2=:7:2 2=<7:4 0+ ) 6 8

2517:3 " H 252

0 ! ),1 25<2 25<

21 # + 27122 ) $ 27124 D 27223 ) , 2722= # ,273

4 ;+ 27341 0 * 27=42 0 27544 * 27743 ! 0 I**J 27:4= ! I**J 2:>

3 ' 2:>= / / # 2:2

=1 ! , 2:4

1

=2 & / 2:==4 D , 2:5

2 0 3,%1 % 2:<%2 0 / 2:<%4 ; 6 ? * + 2<1%3 #8 2<1

%31 ? 2<2%= " / 2<2%5 2<4

/ ' 4 ,1 2<=2 2<54 6 ? * + 2<73 2<<= ( 2<<5 ! 4>>7 0 + 4>1: 0 + 4>1< 0 + 4>2

<1 " K 4>2<2 ( + 4>=<4 4>=

% /0 0 #1 411#2 411

#21 411#22 412#24 + 414

5!

/

,/ % B

6

* 9 ** 6 , + 8 +$

$ , ( +$ $ , , 0 $ , + * 9 - $ 1<<5. -'L&E$ 1<:<. /$ + * /

1

FDSÐWXOR 41 LQWURGXFFLÖQ

/ / / + / 6 8 6 68 / * 6 + 8$ ,+ + ( , + + ( 8

, ( 6 + / ! * , 9 0 , * * $ + 8 / $ / , - $ 1<<5. -I G* $ 1<<2. * $ $ 6$ / / ,+ 6 /

6

66 7

( + 8 -H*$ 1<<4.$ $ +$ ( $ *6 ; 1$ 8 $ ( 6 , ; 1 * + 6 $ * /

4151 DSOLFDFLRQHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

& 68 ; 1 -( 03C7 1<<2.

* + + 1<:> ( $ + * *6 , 8 +/ * ( + 6$

( + ,+ 8 1<=> + * + ,+ 8 * + * 8 1<:>

:> + + ,+ 8 * + +M $ , *6 ; 1 7=N / $ ; 11 * ; 1

( + * *6


& 68 # 6 ; 1 -(0313 1<<<.

6 $ + *6 , $ ( , 8 , *6 ( / *

1<<2 ($ =>5>N $ ; 12 6 * ; 1-"$ 1<<4.

66 7

( + / + " ( + , * , + ( + & &$ + &%1>: / ,+ 8 $ + -0.


& 68 + + 6 8 -& & &%211.

+ + ( + / -. + + + + / -. ( , 0 8 8 , 8 9 ,+ + -&O$ 1<<4.( P,P 7>

,+ 8 6 $ P,P * , + P,P + $

/ ,+ 8 ; 14 + ,+ 8 & & + / + 1>N -&O$ 1<<4. ,$ + / *

) FDSÐWXOR 41 LQWURGXFFLÖQ

+ ( & & + P, P P,P ,+ 8 +

, , + -&O$ 1<<4.

66 7 9

/ -'. 1<3> * ( + 6 J* * + , / , + 6 , , $ J* 2==>N - . /$ - .$ $ 6 ,+ 8

* , ( 8 / + (8 " ,$ - " 223.( / 8

$ , ' / -2= . 8 J* + ,+ 8


+ , ,+ 8 $ + + 6 $ 9

&

$ / ,6 8 + ( + ,+ 8 -$ . 6 / + $ $ , ,(

, ,$ $ $ +$ 6 , , + , ( +

+( +

/ $ $ 8 6 +

66 7 9

( + + 9 $ * ? $ ,J*$ $ $ $ ,+ $ $ $ $ $ 8 6 9

3 FDSÐWXOR 41 LQWURGXFFLÖQ

5!

# ,+ $ * * / + 8 * 8 / $ F

( / $ 8 " $ 6 / ,+

/$ , * / *

H 8 * , /

,+ * ( ; "+ -0. :> 9 ,+( + 8

,+ *$ / $ $ + ,+ * ,+ , /$ , $ ( ,+ 1<<1 * ( 6$ "+ 9

+ ,+ / 2=> / 1>>> $ 6 "+$ $ K$ / ) / * * 2=N ,+ $ , -) 0 "$ 1<<:.

4151 DSOLFDFLRQHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV ,

& 68 ,+ @

; 13 ,+ @ ,,6 $ ,+ ; 1= ,+

" +$ $ ,+

:

' + ,+ 8 + * " , * $ ( 8 + - . ( * * ,+ 8 F $

* - 8 .$ $ $

- FDSÐWXOR 41 LQWURGXFFLÖQ

& 68 ,+ ,+

( 8 + , $ 8 / 6 6 ,

0 ,+ -* 27>> 0. + 8 ,+ 8 ! ! 25: % + 8 =>

"

( 8 , + 8 / $ * / * ' 8

4161 FRQWHQLGR GH OD PRQRJUDIÐD

6 / !

,6 ,+ 8 / + : 6 / 6 2 * 6

" $ $ / 0$ + / , 0 9 $ 6 , 6 *+ ,F ,6 /

6 , F , $ , + 6 4 / , + ( / + , , , + , 6 ( * / 8 + 6 3 6 + /

, " 6 ,+ 8 8 $ $ + 6 6 6 + / , 8 ,+ 8


, , + , ,+ , ,+ 6 = 6 + 8 + + , ,+ + ,+ + 6 5

6 " + + / 0$ + + 8 -;. # , , /$ 6 $ $ + 0 9 $ + ,6 + / HG 6 7

/ M 8 $ + + , , ,+ "! #32== + 0$ 6 *+ 0 9 $ + ,/ ! 9 6 *

, 6

/

P ! ! ) "

6 9 $ + * ** 6 , + # +$ , ( +$ $ , , , + * 9 - $1<<5. -'L&E$ 1<:<.$ + / ( 9

9 6 F

% % %

14

FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

0 ,

( 6 $ $ + , / , ( +

6 $ / + ( 6F

% 9 & 6 # 6 8 , 6 9

% $ 6 , / , 8 /G* 8

6

0 C 6 / 9 + / , 6 , 8 6 68 / * 6 + 8 ,+ + ) , / ,

5141 JHQHUDOLGDGHV

( , + 8 + 8 $ 8

$ 8 *6 ( 8 6 + , 8 F

( 9

, $ $ ,6 8

( ,+ -8$ 6 $ . / , $ 8

0 + + 68 + , 6 8 + * 6$/ / 6 / ( / / ! * , 9 0 , + 8 / $ / , - $1<<5. -I G* $ 1<<2.( 8 8

/ 6 0 8

6 6F . 6 , M . , M . @

) FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

/ ,+ 8M . + + 8 -. , / . ,+M ,. 8 ,+ M . , , ,+ ,+ ! , + # , / 6 6 ,( * /

F ,+ 6 / + ,+ , , (

/ / + ,+ + 6 8 6 68 / * 6 + 8$ ,+ + ( , + 6 / /

,+$ + , 8+ ( + 0 , 8 + , / 6 ,+

6 / " 6

66 / " ;

( 8 9 8 F + $ + 8 C ; 21 8 , 8

5151 FODVLILFDFLÖQ GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV1

0$7(5,$/(6'(0$75,=&2038(67$&(50(76 FHUiPLFRPHWDO+RUPLJyQVLPSOHHWF

0$7(5,$/(6'(0$75,=&2038(67$),%5$6&257$6+RUPLJRQHVFRQILEUDV 0DW$HURQiXWLFRV

0$7(5,$/(6'(0$75,=&2038(67$),%5$6/$5*$6\R&257$6+RUPLJRQHVDUPDGRV 0DW$HURQiXWLFRV

0$7(5,$/(6/$0,1$'26&20%,1$172'26/26&$626326,%/(60DWHULDOHVGHXVR$HURQiXWLFR\$XWRPRWUL]

& 68 8 9 6

66 / " <

( $ , , 8 -% $ 1<<4.F

;F 8 $ $ , + + + , /

0 F ; 6 +

(F 6 ,

? F * + & F , ( / + 8$ 8

/ + ( / 8 2= => + * 1>> , ,+

8 +

3 FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

( , + 8 ( + , + / 8 @ / + @

8 ( / F $ / /( / + $ + 8 F 6

/$ 6 6 ( / /

9 ( + ,/

66 / "

# /$ 8 F

/F

F 8+$ @ , $ 8

F , /

+/ $ *F

( 8 , + , * + ,+ ( + 6 H , ,

5151 FODVLILFDFLÖQ GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV1 ,

66 &#

,+ + 8 / 6 =2>> 8 $ 8 + ( , + 8$ / -? $

1<:7. -% $ 1<<4. -D $ 1<<4. -%$ 1<<:.F&# 8 / 42>$

2 5 )0 =>1>>)0 ( 8 $ / , 1= 2> , J 8 F $ / / ( 8 / F

! F $ / ! &F / ! "F ! + /

! &F 6 ! #F 8 , 8 /

( 8 + 8 / 8 , $ 8 / ,+ 8 &# < : 8 &# 58 8 &

8 -+ / . - . 8 ,+ + C * F

(F & $

- FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

) F 8 & / 6 F, & " &# # "F +

1= 7> )0 1=> :>> )0( 8 , J( 8 / + 8 + + ( 8 $ 6 $ 1>> N( 8 8 / 6 =

: $ / * = 12 8 * * , 8 *6 , 8

8 8 8

! F / 6 ! F 8 ! F / + &# 8 " 8 /

$ 8 +F + 5>

) 14> ) ( 8 / + + ( 8 F I &$ I 2<$ I 3<

H I & ,+ / I 2< 6$ I 3< / I 2< 8 ,


( 6 I F 68 $ +$ / 4>J Q2>>J$ / $ 6 , &# 2F / 1>>2>> $

2 3 ) 47> 34> )0" / , J 8 , / " + " &# + 8 8 , 6

/ $ $ ( 8 $

-.$ + 8

$ 6 * ,+ ( F

) $ $

)

( , 8 / 6 ( 8 6 , 8&# 0 F ( +

6 8 / , 8 / " + 23 )$ 7>1=> ) / , J -I .

66 '

8 ,+ / + / + , + , + , , 8 , 8


( + , ,+ ( + + $ 6 ( / + /

/

' #

( 6 , 6 -$ $ + ,+. 6 ,/ 6 + , , 6 -? $ 1<:7. 6 $ 6

$ + 8 6 + ( / , +( 6

8 ,+ +

6 * 6 + $ 8 + # + *(

$ 6 3N 6 :N # , ,+ ( + , 8 + 8 , + (

8 /


& &

/ #

# 68 0

( / !

21-D $ 1<<4. -%$ 1<<:.( " 6 /

$ /$ , " $ + 8 6 , ( +

( / + F5 + F +

$ $ / / 6 / F * $ +

, J 6$ %0 ;$ + + * + ( $ 8$ 6/$ 5 :!:<F +

$ 2>>J $ , -1=2>N.5 1F

, + , " + $ *$ 6

/$ + * + 8 ,


5 F + -2>>J Q4=>J .$ / / / - 1>>J.$ 6 5 < F +

$ 6 /$ 8

' 0

( / 6 +( ,+ D A ( 6 , + * 6 , ( 6 , + 9 + 6 , 6 6 , , 6 , 6 /

8 6 , , @ 6 6 , , , ,@ -? $ 1<:7.( 6 / / + 6 F) F 0 $ -$ .$

- .$ $ F 0D$ 6 ,+ 8( + 6 / *

9 6 ,


& / #

# 68 0 /

6 9 / 6 / ( / /

! 22-D $ 1<<4. -%$ 1<<:.( / ,

* $ 6 ! / @ , / , , ** */ 8 , 8

8 8 + , 8 ,+

' #

( -+. 8 , # ,

+ 8 + ( 6

' 0

/ 8 + - . + / , / # / / + + ,+


a) b)

c) d) e)

& 68 6 ,+ .8 $ . $. $ . + .

6 / < 90 !9

( ,+ ( ,+ ,+ - ; 22.F

,+ 8

,+ 8

,+ 8

,+

( ,+ 8 * * / 2 , -+ 8. / / * , * , ,

5161 FDUDFWHUÐVWLFDV HVWUXFWXUDOHV \ SURSLHGDGHV PHFÄQLFDV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV UHIRU]DGRV

/ / /

( / ( -'+ D $ 1<:2. / ( ( 6 / /

" 6 PP , 4

66 ' ! "# 9

( ,+ 8 / ( / , ( / ,+ 8 ! 24-D $ 1<<4.# / ! 24

/ / 8 / $ / ,+$ ,( ,

8 * 6 $ + , ,+( ,+

/ , ,+ , ,+ ,+ + , ,+ 8 + %

4" , -31. -D 32.


Fdudfwhuðvw lfd W lsr gh frpsxhvwr uhirudgr xqlgluhff lrqd op hqwh

J odvv0

Hsr|

Fduerq0

Hsr|

Rujdqlf 0

Hsr|

Erurq0

Hs r|

Fdue rq0

Fdue rq

Fduerq0

D oxp lqlxp

Erurq0

D oxp lq lxp

Ghqvlgdg &*66 514 418 416; 513 4 1< 5 15 5197

Uhvlvwhqfld d wudfflöq hq od

g luhff löq gh odv eudv CR@

41:8 4143 41; 419 3 167 4 143 4173

Pögxor hoävwlfr hq od gl0

uhfflöq gh odv eudv CR@

8: 4;3 :5 543 4:3 533 563

Uhvlvwhqfld d wudfflöq hq od

g luhff löq qrupdo d odv 0

eudv CR@

31367 3 1366 3 135; 3 1398 3133: 31378 3147

Pögxor hoävwlfr hq od gl0

uhfflöq qrupdo d odv eudv

CR@

< 915 71< 4< 4< 473

Uhvlvwhqfld d fruwdqwh CR@ 3137; 3 135: 3 1375 3 1435 3 136 31378 313;7

Pögxor d fruwdqwh CR@ 815 813 513 915 < 96

# 68 0 /

, / + + 8 ; 24 ,6

, 8 +$ + 8 + 8 8 ,+

66 ' ! * #9

( 6 8 + , + ,+ ; 23 ,6 * 8

/ ( , /( 6 ,+

, / , ,+0 / + , +( 8 ,

,+ ,+ / ,

5161 FDUDFWHUÐVWLFDV HVWUXFWXUDOHV \ SURSLHGDGHV PHFÄQLFDV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV UHIRU]DGRV ,

& 68 8

+

66 ' ! "# 9#

/ , + ,+ 8 ( / / , ,+ ,+ 8

& 68 8 8 ><>


, ( ; 2= ,6 8

& 68 ,6 8

66 ' ! "# 9#

, / / , + 8 + ,+ ( ,+ +

8 , / ,+ + 8 $ , $ 6

6 ' 1 9

( / ( -'+ D $ 1<:2. M /

5181 PRGHOR HOÄVWLFR OLQHDO SDUD ODPLQDGRV

( 9 " * , 6 8

( 6 / + F " "# ( 6 + $ , ( 6 *+ ,

6 + $ , $ # # ( + +

5

/ ( + + *-B $ 1<<<. - $ 1<<<."

6 ' 0

( / 6 0 / , / ( / + / ( / , $ / 6 ,+

, / 6 / 6 ,+ / /

5$ F / , / $ F + ,6


/

$ /

66 0

,6 + ,+ / / ; 2< + /

,+ ->J<>J." ,+ $

, / ,+ $ / , , / , $ ,+ , / ( ,+ / ,+ ,+ - ; 25. / / / / % , , 8 / ; 27

,+ / / ,+ , , , / 6 , , ,+ , ; 27

; 2:( ,+

/ # / ( 6 9 / , ; 21>


& 6)8 # +

& 68 , / 9 ,+


θ+

θ−

& 638 ,

& 6,8 . ( / + . , ,+ ,+


θ+ t

θ− t

θ+ t

θ− t

Laminados simétricos

θ+ 1t

θ+

θ− 2t

1t

θ+ 1t

θ+

θ− 2t

1t

θ+ t

θ− t

θ+ t

θ− t

θ+ t

θ− t

θ+ t

θ− t

θ+ t

θ− t

º90 1t

º90

º0 2t

1t

º90

º0 2t

1t

º0 2t

º0

º90

2t

1t

Laminados asimétricos

Equiangulares

Cruzados

& 6-8


2

2

1 1

b)

Dirección de la fibra

21

3

a)

& 68 . (/ . , / ,+ 1

66 0 0

( / / P " P -? $ 1<:7. -%$ 1<<:.-*G &G $ 1<<3. , * ,+ , + ,+ / ,$ ,+ / F

s s 6 6 -21.

, ,+$ s 6 / 8 + s 6 8 + 8 / 8

,+ / F

S s s 6 6 S s s 6 6 -22.

s s

6

6

-22.


1 1

2

2

& 68 , / 2 * , 8 +

s 6 / 8 + s 6 8 8 + / ,+

-21. -22.$ F

s s 6 6 -24.

/ ,+ ; 211 / ,+ ,+ /

,+ ( * 8 + s 6 , 8 + (, F

s s3 6 6

3 -23.

( , / F

2 s s 6 6 -2=.

! -23. -2=. 8 F


2 s6

s6 6s-25.

; 212 ,+ ,+ ,+ ,+ ,+ - ; 211. , 8 + / -25. / +

;214 ,+ 8 " $ , 8 ,+$ " * -25. , 0 ;212 8 -25. / F

2 s

6

s6

6s

-27.

6/ F

6

6

26

-2:.

-27. / ( -27. 6 s / +( -25. -27. ,6

,+ , 8 ( * -25. $ , 8 * ; 212 ; 213 * 8 +$ , , ( , 8$ s 6 ( , / * /, , / $ 8 , 8 , ,+ ,+ ,

5181 PRGHOR HOÄVWLFR OLQHDO SDUD ODPLQDGRV ,

0

5

10

15

20

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Coeficiente de participación volumétrica

Mód

ulo

elás

tico

tran

sver

sal [

GP

a]

Ecuación 2.6Ecuación 2.7Ecuación 2.9Experimental

& 68 / 8 / 8 , 9 8

8 / * + 6 / 8 8 * ? ! -1<5<. / , 6

6

s

s -2<.

s 6 s 6

/ 2$ / 8 0 2$ s / 8 s 8 s $6 / +6 + 6 , 6 6 , ,+ , 8$ , -? $ 1<:7. + 8 0 8 -%$ 1<<:. /


x

x

y

y

& 68 & / 8 , /

; 214 $ 9 8 1>N

3=N $ ( -2<. $ s I -1<52. *+

, , + 8 + ; 21= ( , , 6 / -I$ 1<52.F

%%

6

s

-21>.

/ 8 ; 21= # / -21>. 8 , , ( 8 , ,

66 ' 0 0

( 6 8 , / * * , / / / / *$


sB

y

x

r

& 68 I -1<52. 8 ,

* * / ,+ , / , / 8 6

/ / ?E +$ , - $1<5<.F

&,&, -211.

*$ , &, / $, 8 ( F

.%%

3D%+D+%

D%+.%%

3D%+D+%

D+%.++

3D%+D+%

.++

3D%+D+%

%+

-212.

%% ++ R 2=2$ %+


+% 8 0 %+ ( -211.

9 8 , , 8 / / ?E +F

W

&,&, -214.

W

&, , (

/ F W

W

2 W

S

W

2 W

22 W

2S

W

S W

2S W

SS

-213.

W / -? $ 1<:7. -& $ . -0 ! $ 1<:<.

W

e 2 SS

2 2 22 e -21=.

W

2 22 SS 2 2 2

e e

-21=.

W

22 e 2 SS

2 2 e22 -21=.

W

S 2 SS

2 22 SS -21=.

W

2S 2 SS

2 22 SS -21=.

W

SS 22 2 SS 2 2

SS

e e

-21=,.

/ , 0 $ %% ++ %+ %+ / / /

66 ' 0 +

,+ 6 -* $ 1<5<.

5191 PRGHORV SDUD EDUUDV ODPLQDGDV UHFWDV \ FXUYDV

-K$ 1<7=. -? $ 1<:7. 6 * ( 6 *F . / /

, + $ . / 8 . * -? $ 1<:7.( / , /

,$ / / $ E , / -214.$ F

5 W

&,

5&, -215.

5 W

&,

5 +

W

&,

/ ( ,+ , / F

W

&,&, -217.

W

&, +

, $ F

W

&,

5'

W

&,

55 -21:.

5 ,

6) ' # < 9

( + 6 @ * 6 $ F

1 /

2 !6 / *


4 !6

( / , ?, -1<3<. , %EG+-1<5<. ! / 6

* 8 * -1<53. )-1<5:. $ (E*E -1<5:. "* -1<52. / * -1<53. , "* -1<52. )-1<5:. @ ( 6 (E*E -1<5:. + / * / * -1<53. "* -1<54. ) -1<5:. 4 (E*E -1<5:. / 2 ( @ , /

+ + 6 8 0 , E* * -1<54. "* -1<52. ( / * * ,

,+ ,+ , / / -0$ 1<3<.( 6

#, /

6 6 8 / 6 " 6

1 /

2 0 - , .

4 !6 /

51;1 OÄPLQDV ODPLQDGDV

/ / $ + / F

1 / 8 -?J$ 1<3<. -"*$ 1<=4.

2 / -& "E$ 1<51. -"E$ 1<51. , @

, @ - . @ , , 8 -1<53. , , * / $ !*E AGEI -1<=<. A H -1<=4.

, $ $ F

1 9 4

2

4 6 / ,

" * / + @ , @ @ ! , , + ! 0 -1<55.

63 =0 / 6 8 6 F

!6 F / + @ / ? -1<54. + 6 /


!6 /F 6 8 + @$ , + 8 , $ / # -1<44. 6 / 6 # -1<52. ( 6 # 8 9 / ! $ !

!6 F 6 !

, -((* $ 1<7>. 6 / $ / 6 / ! ( 6 / 6 ( , + & -1<=2. 6 , / 6 8 / 6 * " -1<=<.

!6 F 6 * " 2

* ( -1<33. ; -1<5>. * ? -1<54. 6 /

!6 , 6 / & -1<=2. , H* -1<=7.

!6 /

! 6 / / , " / , @ 6 / / / * -1<53. ( -1<7=.

51<1 DQÄOLVLV GH PDWHULDOHV FRPSXHVWRV SRU HO PÌWRGR GH ORV HOHPHQWRV ILQLWRV

6, 0 '+9 &

$ / + + + , 8 -;. -BEG+ ! $ 1<<3. 6 / # / / -0$ 1<5<$ 1<7>. 8 6 / + ; 6

1 !6 9

2 !6

4 !6

6,6 ; >

6 9 6 / 6 6 +

, 8 ,$ F

# $

'f

#$ -21<.

9 - 2. + 6 9 + 8 , / , , 6


3 , uz

2 , uy

02u

03u

01u

n

12u

11u

& 6)8 0 ) 6 9

;

6 2 6 9 $ + / F

# #f $#

#2 #

f2 $#

2 # #

-22>.

-22>. , #f + 6

8 , # #2

- ; 215.

( -22>. $ , 6 / & -& "E$ 1<51. - $1<=1. -'$ 1<<2. " * 8 , 6 / / I**J -'$ 1<<2. ( 6 9 * 5

-22>. , F

51<1 DQÄOLVLV GH PDWHULDOHV FRPSXHVWRV SRU HO PÌWRGR GH ORV HOHPHQWRV ILQLWRV ,

%+%%+

%%5

%+5

Y

Y%Y

Y+

Y

Y+ Y

Y%

Y

Y% Y

Y5Y

Y+ Y

Y5

6 $sS

-221.

6

Yf

Y%Y

f2

Y+

Yf

Y+

Yf2

Y%

-222.

s

Y

Y%Y

2

Y+

Y

Y+

Y2

Y%

-222.

S

Y

f

Y% #

Yf

Y+ #2

-222.

6 & ' , + $@ 6 / $ -222. , S @ F

6

Y

2f

Y%2

Y2f

Y+2

Y2fY%Y+

-224.

-222. $ + 8 f ( @* -224. + 8 @ / + *

$ $ , / F

&

6

%+%+

&

( (2 (

(2 (22 (2

( (2 (

&

%+%+

&

&

6&6

-223.


&

S

) %5) +5

&

(ee (eD

(eD (DD

%5+5

&

(&

S&S

-223.

6 / ) ) 2 , , 2 ( ,+ $

6 *% *+ *%+A

?&'

&n

&3

% + )%+A

&+$ -22=.

s %+%+A

?&'

&n

&3

$ % + )%+A

&+$ -225.

S % +A

?&'

&n

&3

) %5 ) +5A

&+$ -227.

"& 8 , 9 ( ,+ , +

6sS

(6

(6s (6s

(s

(S

6sS

-22:.

(6 ?

&'

&n

&3

(&

6+$ (6s

?&'

&n

&3

$(&

6+$ -22<.

(s ?

&'

&n

&3

$2(&

6+$ (S

?&'

&n

&3

(&

S+$ -24>.

(6s + @ + 6 / 8 ( + / F

-% -+

-241.

-% -+ 8 ,+ ,


; <

#, * 6 / 9 -21<.$ A* -1<74. / /

# #f $#

$2

#2 -242.

#2 #f2 $#2

$2

#22 -244.

# #f $# -243.

0$ H (* -1<73. H -1<:=. / 8 A* , #0 9 +

+ -( $ 1<77.

# #f $# $

2#2 $# -24=.

#2 #f2 $#2 $

2#22 $#2 -245.

# #f $# $

2#2 -247.

6 + , , 5 + & -1<:3. 6 $ *

6 + F

# #f $# $

2#2 $# -24:.

#2 #f2 $#2 $

2#22 $#2 -24<.

# #f -23>.

( , #2$ #$ #

22 #

2 /

) %5 ) +5 8 , $ + F


# #f $

#

$"

2#

.#f.

-231.

#2 #f2 $

#2

$"

2#2

.#f.

-231.

# #f -231.

( -231.$ -231. -231. $ 6 & " 6 * # .#f . #2 .#f . + 6 / I**J0 & -& 0*$ 1<:3. -0* &$

1<:=. -0* &$ 1<:5. -&$ 1<:7. * + + 6 + F

# #f $

-./

. 0# %

$"

2#

.#f.

-232.

#2 #f2 $

-./

. 0#2 %

$"

2#2

.#f.

-234.

# #f -233.

( - 0 6 " - 0 % + 6 / I**J$ 6 & - 0 % ( 6 9

$ , $ , $ 8 +$

6,6 # 0

6$ / / -# %E$ 1<73. -0* &$ 1<:2.-I &$ 1<:3. ( 9 $ 9


* /

+ $ + 9 8 ( / $ , / + 6 9( 6 9 -* "G

*E$ 1<:1. -* &$ 1<:3. -( $ 1<::. 6 * 6 9 6 ( / / + 6 / 0 / BEG+ -1<71. -BEG+ $ 1<71. / 6 , & *$ BEG+ -1<7>.

/ * 6 / ( 6 /

( + 8 6 + 6 8 + / 8 / -K $ 1<:=. -&$ 1<:=. -*G $ 1<<5.

6,6 1 #

( 6 9 / + 0 ,


! 6 9 & -1<:7. 6 6 + , $ F

# $ #f

'

# $ 1 -23=.

* 9

, $ ( , $ 8 , ( 8 9 $ # + , $ + , 8 ( , / / , / , 6 8 $ * 6 + % -1<<4. 8 $

/ , -BEG+ (,$ 1<::.-' $ 1<<>. -BEG+ $ 1<<>. -' $ 1<<2. -% $ 1<<4.-% $ 1<<<.

6- 5 0

6-6

( + , + * 8 /

51431 UHVLVWHQFLD GH OÄPLQDV XQLGLUHFFLRQDOHV

+ 8 8 0 / *

/ + / , ,

$ , 6 0 / / , 8 +

6-6 5

( , + 8$ / F

#, 8 +Ws2 W

6

#, + 8W62 W

s

,

8 + 0 8 / , + ( + 8 8$ 8 8 $ + 6 , / 0 + $ 8 8 ( ,+ + + 8 + 8 + ,+ + ,+ , 8 0 9 8 1>N 8 ( 6 8 3>N 7>N -? $1<:7.


a) b) c) d)

& 68 & / . . & 8 . +. & 8 +

0 8 9 - I $ 1<74. ; 217 / / ; 217 9 $

, - ; 217. 8 / 8 + * 8 + , +

8 $ $ , 8 + 9 8 + 8 - ; 217. " $ , + * 8$ 80 9 8 +

8 / +$ + / 8 / 8 , 8 , ? -1<:7.

51441 FULWHULRV GH IDOOD SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

9 8 4N 8 + 6 8

8 8$ , 8 , 8 +$ ,

6 / ! 9

$ @ + @ , * , 68

66 / 01

/ / ,+ / 8 /

W% %

W

%-235.

W+ +

W

+-237.

W%+

%+ W

%+-23:.

W% W

%

$ W+ W

+

W%+ ( % + %+

,+ / / F

% w 2

+ w 2 -23<.

%+ w 0 J , J ,

0 / ,+


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

200

300

400

500

600

700

sfue

rzo

de r

otur

a M

pa

Angulo θ (grados)

Rotura transversal

θσ

σθ 2

*

seny=

Rotura a cortante

θθσ

σθ cossen

*xy=

Rotura longitudinal

θσσθ 2

*

cosx=

& 638 @ / , / ,+ / 8 -? $1<:7.

W% W

+ W

%+

,+ F

w W% 2

w W+ 2 -2=>.

w W%+

; 21: 6 / -? $ 1<:7. ; 21< /

8 8 ( ; 6 ,+ / J J -? $ 1<:7. + ,+ * 6 / 8 6 ; 21< 6

51441 FULWHULRV GH IDOOD SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV ,

8 , + 6 8 ,

,+ * , @ / $ 6 , 8 + -.( ++!? !A - 2112 2114. *

68 , ,+

66 / 9 9?

/ , 8$ / 8$ , +$ / 8 0 , $ ( @

,+ * ? -1<3:. + @ D * ! " $ @

%W%

2

%+

W%2

+W+

2

%+W%+

2

-2=1.

( -2=1. 8 / $ 8 W% W

+ , @

%W%

2

+W+

2

%+W%+

2

-2=2.

; 21< / 8 -2=1.

)- FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

200

300

400

500

600

700

sfue

rzo

de r

otur

a M

pa

Angulo θ (grados)

Rotura transversal

θσ

σθ 2

*

seny=

Rotura a cortante

θθσ

σθ cossen

*xy=

& 6,8 & / ,+ 8 -? $ 1<:7.

, / , 2114 * , / $ 6 , 8 + -.

66 / @ 9A

+ @ ++!? , F

3%%2% 3%+%+ 3++

2+ 3rr

2%+ 3%% 3++ -2=4.

3%

W%

W%

3+

W+

W+

3%%

W%W%

3++

W+W+

3rr W%+

2 -2=3.

51451 PRGHORV HVWUXFWXUDOHV PXOWL0HVFDOD )

W W

1 ( / $ 3%+ # , 3%+ 6 8

3%+ 3W

%+

3%%3++ -2==.

3 W

%+ , 6 -" $ 1<<>. -!$

1<73. -! A$ 1<71. / ,

, , 8 +

6 ' 9

66 :

( 6 *+ , 6 , $ # # ( + +

/ ( + +

*% , ,

6 ? -1<72. % $ *+ / 0 $ "*+0 -1<73.-1<:>. $ %(0 -1<7:. 6 *+ #$ " -1<:2.-1<:7. + $ / , % $ *+ $ ( 8 6 *+


8 $ * -1<:3. $ " -1<:7. + 8 9 * * -;* $ 1<<7. -" $ 1<<:. - "$ 1<<:.$ 9 *

B -1<<<. / *+ ( $ , , ( 6$ & -? $ 1<57. # - $ 1<72. "# -"$ 1<:7. $ , -"*+0 $ 1<:>. -#$ 1<75. /$ S8 9P -"$ 1<:7. $ 8 ,

66 6 &9 $B 6,,,(

( 9 6 % + ' $ 3 /$ 5 * " 8 # 8 22> * S 4 4 ( * -(. 68"

- .$ *$ , 6 , $ , , , @ , + ( ,


& 6-8 D 8 , + 2 2

& 68 # *


& 68 #

& 68 + 8


/ (

.

.

A .

.

-2=5.

0 $ $ - .$ ,+ 8 $ ,+ -% $ 1<7:M "$ 1<:4. 8 "

T

+ -2=7.

( + $ ,+ $ , + 8 ( + -2=7. "$ - .$ , -. $ * * , (

8 , $ + F M - 8 .#* / # , $ 0 * $ 8 M B -1<<:. ; 223 + 8 6 F + ; $ 0

)) FDSÐWXOR 51 SURSLHGDGHV HVWUXFWXUDOHV GH ORV PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

8 -B $ 1<<<. 0 / ( ; 223 "

$ ( ,

$ $ , $ 6 *+ / F ,+ 8 $ 6$ /, + 8 $ 6$ $ / , 8 + - ; 224. $ $ 6 -1<<<. /

6 *+ + --.,/ + 8 + / + / ( 6 ( 6 *+

(

6 /

6 * 6 /(

,+ ,+ + / 6 0

51461 FRQFOXVLRQHV )

InicioLectura de

datos

Cálculo matrizde rigidezelemental

Incremento decarga

Fuerzasnodales

elementales

EnsamblajeSolución del

sistema

¿Convergencia?(Global)

Actualizarbase de datos

FIN

InicioLectura de

datos

Cálculo matrizde rigidezelemental

Incremento decarga

Fuerzasnodales

elementales

EnsamblajeSolución del

sistema

¿Convergencia?(Local)

Actualizarbase de datos

Escala Macroscópica Escala Microscópica

Ecuaciónconstitutiva

Comienzo local

Def

orm

acio

nes

Tensiones

Iter

ació

n

Incr

emen

to

Sí

No

Sí No

1 2

3

4

5

6

7

8

9

& 68 + 6 *+


!" #$$%& !'()*#$+$& , -

. , / 01 -

2 - / / , - - / - , - !"/3/43/5& 6 6 " !4 #$+7& !4 #$+8& 6 - 3/5

, / / / /- / ,

6 9 / & : & : & ; - 6 : & 6 !< <& / , - & : &

51461 FRQFOXVLRQHV

6 : & / : & 6 & 3 , ,

/

) * + I K %*

6 "9 * 6 6 , 0 6 / / -++!? $ !A. , 6 ,+ + 9 $ 8 , + 0 $ , 8 ( / ,+ 8 -;&0

P8 , P. $ $ ,+ 8 , , 0 $

71

FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

, / ,+ 8 , # ,+ / + , ,

, / 6 , F , $ + , ( + / ,+ 8 ( $ @ @ / ;&0 /

, 8 * IE* -1<:=.$ )6 ) -1<<4. -1<<=. " * -1<:<. , @ / @ ? / (, , & , @ , + " * , 8 / , / , -1<<7. , " * , ,+ 8 * -1<<7. , @

00& - L . , , / , + ( , @ ,,'L#* -1<<2. + , @

? (

6141 LQWURGXFFLÖQ

, D !* -1<<=. 8 @ ,+ , / 8 (, @ *+ P/P 0 + P P , @ 9 -1<<>.

6 + *$ * 6 + + / ,+ 8!* -1<<7. + * -1<:>.

@ , 8+ 6 / !* 6 , , $ 8 +$ + 8 +$, $ " * + ,

-1<<1$ 1<<3. + A &* -1<:2. ? -1<:3. / / + $ 8 ( , 8+ *

+ % -1<7<. , + , 6 ,+ 8 $ *

+ ,+ 8 , , 6 ,+ 8$ + , * +


/ , 5 * -1<=5. & -1<5:. /$ H*E -1<:4. /$ G -1<=:. ( -1<<4. + 5 6 /0 , +

8 * * '+ -1<<5. + , ,/ $ /$ 8 8 , ,( 8 * * , 8 + -1<<:. + +* 8 ,/ + $ 8$ 8 * + / * , / 8 6

/ / $ / 6 , / 6 + / /$ / 42 /

, / , /

6 ' 0

( ,-. ,+ ,+ + / 6 0 $ 6( ,+ , +

, 0 ,F . 6

6151 PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR

, M . , M . @ / ,+ 8M . + + 8 -PP. , / . ,+M ,. 8 ,+ M . , , ,+ ,+ M *. , 8 + . , , ,+ , /

, , / , + '+ -1<:7. -1<<>.$ 8 F 6 $ , @ /$ / #* - %.

66 0

, 8 " , ) $ , ,6 -)6)$ 1<<4. -%*$ 1<:2.

8 8 , # 6 8 +/ ,6 ( , + , 8 , ( / / 6 /

8 , $ $ @ 6 / 8 / # & @ ,

) FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

4F

6 -41.

* , / / , 8

@ 6 8 F

6 & 7 -42.

& , $ I**J 8 , - , , 6( -42. + 8 F

& & -44.

0 I**J 8 , I**J 8 , -42. ,

& , 8 , ,/ , @ 8 , /$ 6 , ,

$ / ,6 ( , ,6 + $

4 ,

6151 PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR

66 / >4 ! 0 < ! 0 6 1 #6

( $ $ , / 9 / , / , e / + *) e3 - . 8 , " $ , / 9 8 * *) -( $ 1<<>. " 6$ / 8 *$ / / + ,6 0 , /$ 8 + / 6 - %. , / / , e$ F

8e

e e -43.

8 + ( 8 , 5 -43. F

e

fe e -4=.

8 , ! * - %13.$ 6 - 43. F

8

e e 8R -45.

8R / 6 , / 6 8 / / / 6$ F

f e e R -47.

5 8 , 8 8

3 FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

8 6 8 + -45. 6 R / 6 8,

66 1 0 " !6 %" #0

I**J" D - ?*$ 1<<3. * )6 ) ' -1<::. -%2:.

-%14. F

.

.e e R -4:.

/ @

( @ F / , @ / + * 8 -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. ( @ , 8 8 ,F

3 7 -4<.

0 I**J$ * *) 8

5 @*

( @ , / 8 8 , F

R

9..

-41>.

, / 9 , / / I*!E -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. F

9 9 -411.

6151 PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR ,

( -411. 6 / /$ , @F

-412.

0

/ 0 I**J , )( ,F

eR -414.

/ -4:.$ F

R ! "

'f

R

-413.

" * @ 8 , -413. ! --412.. 8 @ 8, --4<.. F

.

.

.

.

.

.7

.7

.-- -41=.

- / F

- 9

:V

.

.

V

R

-415.

V $ , / 7M / 6 , 0 I**J ! 8 , )( -=5. -41>.$ -413. -41=.$

.

.

9

.

.

.

. .7

.-9

V

.

.

-417.

# 9 / /

3- FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

9

.

.

.

.

.

.

.

..7.;

:V

.

.

-41:.

/ + -413. / / --41:.. 8 @ / -41>.

.

.

.

.

.

.

.

. .

..7.;

V

.

.

eR -41<.

eR /

66 1 0 " 6 %" #0

! -%25. -%12. I**J F

e R -42>.

8 + -42>. 8 + , 8 , P* ,GP 8 , - . 6 8 +/ ,6 / , + 8 ,

/ @

( @ F / , @ / + * 8 -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. ( @ , 8 8 ,F

6151 PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR 3

6 3 -421.

I**J$ 8 + 8 6

5 @*

( @ , / 8 8 + F

< R 9

.

.-422.

, / 9 , / / I*!E -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. F

9 6 96 -424.

( -424. 6 / /$ , @F

6 -423.

0

/ I**J , ,F

< eR < -42=.

( -42>. F

< < R < < R -425.

? 8 " $ * 8 + * -1<47. , *


)6 ) ' -1<::. ! --423.. 8 @ 8 + --421..$ F

6 .6

. <

.6

. <

.6

.

.

.-- -427.

- / F

- 9

"V

.

.

"V <

R -42:.

"V $ , / M / 6 , I**J ( * *) , )( 8 + F

< < -42<.

-422.$ -425.$ -427. -42<. F

6 .6

.

< R

< 9

.

.

! "

uE

-44>.

.6

. < ! "

uE

.

.9

V

.

.

! "

k

-441.

6 < R , -1<<=. $ F

< R < -442.

/ -$ 1<<=.F

+&, =e,>& >&=

e

,

9 >=e&, >&>, e -444.

6151 PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR 3

! -44>.$ -442. -444. / /

9

.6

.

< =

.6

. <

.6

.

.

...;

V

.

.

-443.

/ -425.$ / / -443. 8 @ / -422.

<

.6

.

.6

.

.

.

.6

.

.

...;

V

.

.

<

eR < -44=.

eR / 8 , 8 + I**J

? 8 " ! * 8 , / I**J" D - ?*$ 1<<3. * / % * < $ 8 , 0 $ -425. F

< < < R -445.

! -445. -44>.

6 .6

.

< 9

.

.

.6

. < .

.;9

V

.

.

-447.

/ / 9 -447.


9

.6

. <

.6

. <

.6

.

.

...;

V

.

.

-44:.

/ -445.$ / / -44:. 8 @ / -422.

<

.6

.

.6

.

.

.

.6

.

.

...;

V

.

.

<

eR < -44<.

eR / 8 , 8 + I**J

/ 8 / ; 41 - *. , , * / + ,$ * / 8 ,

6 /

( / , 6 ! * , 9 ,

+ 8 / ,

6171 JHQHUDOLGDGHV VREUH OD IRUPXODFLÖQ SURSXHVWD 3

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00

Deformaciones

Ten

sio

nes

de

Cau

chy

Hiperelástico lineal material

Hiperelástico lineal espacial

& 68

( 8 8 6 , -? $ 1<71. -%$ 1<77. -% ($ 1<:<. -% $ 1<<1. 6$ $ , , @ / M ( 6 ,6 +

$ , / 8 $ +

6 # !

( , / 6

6" /

3) FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

( ,+ 8 , 8 , ( / 8 + 8 , 6 -? $ 1<:7. -*G &G $ 1<<3. -0 ! $ 1<:<. ,6 8 F

/

( ,# ,$ ( 6 / / 6 $ , / - *+. + *+7 / ,#

, ( , 8 @ +

6 8 @ $ , -1<5<.$ ) -1<:1. * ? -1<::. 8 68 , @ ( , , @

? D -? $ 1<71. -? $ 1<7<. -? $ 1<<>. ( 6

7" *+

/

8# 4$ 5 6 , @ 4$ 5$ 6 5$ 4$ 6

6171 JHQHUDOLGDGHV VREUH OD IRUPXODFLÖQ SURSXHVWD 3

$ # * , @ $ % -1<77.$ %E -1<:3. % -1<:<$ 1<<1. -% $ 1<<1. % -1<<1. + , , I8 % -1<<4. 8 @ ( 6 + , 0 - 0 . #E %* # -1<:2. + @ D / # * + , @ "** ( -1<7:.$ R -1<:3. D ;+*-1<<>. D !*-1<<=. + ,+ , 8 @

( 6 + 6 / 6 , , , 6 , + , @ /- $ 1<5<. ( , @ / + * 8 6 , $ % -%$ 1<:1. -%$ 1<::. + 8 ( , + / ; 42 + $

$ * + 6 -' $ 1<<4. -' $1<<4. ( / 6 # # ' -; 42. + ,


ESPACIO DEDEFORMACIONESREAL(ANISOTROPO)

eε

klijklij a σ=σ σ

eklijkl

eij a ε=ε ε

eklijklij c ε=σ

ESPACIO DETENSIONES REAL(ANISOTROPO) σ

ESPACIO DETENSIONESISOTROPOFICTICIO σ

ESPACIO DEDEFORMACIONESISOTROPOFICTICIO

eε

Sf Sf

ijσ

ijσ

eijε e

ijε

eklijklij c ε=σ

& 68 !, , 8 ,

, / 6 / ** 6 0 ' -1<<=. ,

6$ ,+ 8 + 6 / , 8 , , , (/ 8 , ( + + , @$ / ! , 6

6181 IXQFLÖQ GH IOXHQFLD \ GH SRWHQFLDO SOÄVWLFR SDUD PDWHULDOHV DQLVÖWURSRV 3,

, 7 8 , +

,

. e 8 , +

(

+ 6 , 6 8 / +( , + /

, 6

6 & @ < 0 9

/ , 8 , + + / + -) 0$ 1<53. -( $ 1<<>. , / , / 8 6 / + / -)6) ' $ 1<<1.-( $ 1<<>.( , @ / 8

I**J -8 +. ,F

; @ 6 -43>.

; 7 -431.

I**J 6 , @ / 8 + ! 8 , 8 , $ F

; @ 7 -432.

; 7 -434.

0 I**J 7 , @ / 8 , , 6 $ $ 7 , $ ( , @ / /

, 5 $

,- FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

7 ??22??2??2- -433.

??22??2??2- 7 -43=.

, F

7 ??2?- -435.

??2?- 7 -437.

, ( , @ / , 8 , @ - $ 1<5<.$ F

7 R^?R^ 7 ? -43:.

R^?R^ ? 7 -43<.

&& > , > IE ( , , @ / , $ F

7 @ @2 @- -4=>.

@ @2 @- 7 -4=1.

, /9$ , @ / F

7 52 5- -4=2.

52 5- 7 -4=4.

52 5 0 I**J , / 8 + , @ /

9( / 8 , @ / , ,

6191 DQLVRWURSÐD HQ OD FRQILJXUDFLÖQ UHIHUHQFLDO ,

8 , @ $ , / F

6 A2 A -4=3.

A2 A 7 -4==.

A2 A I**J

6) " !

( / 8 @ 8 / 6 ", ,6 + 8

P# P P# '(P$ 8 , 6 -' $ 1<<=. - $ 1<<:. - ; 42.

6)6 ! 6

( , 0 I**J 8 + 8$ + -' $ 1<<=.

?Ua 7

Uagu?gu -4=5.

7 8 7 2 2 8 $ 0 I**J 8 0 I**J 7 8 8, 8 ( @ 8 F

, FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

#

$ -4=7.

, @ 8 , , @ 0 I**J 8 0 I**J 8 8 , 7 6 0 I**J 8 $ F

7

Uagu 7

aUgu 7

aUug-4=:.

" * , 7 6

7

Uagu 7

guUa-4=<.

' -1<<=. 8 , 8 7 F

7

Uagu &

77Ug

&7au

3

-45>.

& 77Ug &7

au

8 (8 -45>. 6

77 7

3

7 8

&77Ua 7

Uagu&7gu

-451.

( -451. 8 77 7

,6$ ,

7

8 8 , F

7

7

2222 7

22 7

22 7

22 -452.

7*4sS|

7*4hi@*

8

$ 7*422sS|

7*422hi@*

8

6191 DQLVRWURSÐD HQ OD FRQILJXUDFLÖQ UHIHUHQFLDO ,

7*42sS|

7*42hi@*

,+ 8 ( 8 / 8 , ( 6 / +

+ , -8 +. 0 6 8 +0 * 7 6 8 , + E - . 6 $ F

76 -454.

6 E I**J$ ,

, / ,$

3 .

. Bs Bf -453.

Bf , Bs 8 ! 5$ 8 , : F

&7 BfBs&j -45=.

&7 8 ,

6)6 ! !

( , 8 -4=5. $ $ @ R $ F

& &22 22 &2 2 -455.

: 8 , 8 8

, FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

& / 8 , , / 8 -' $1<<4. + , ' -1<<=. , , " 8 , )( /

P P e

Ua , )( /

P 8P e

Ua- ; 44.

e

Ua .

Uague

gu-457.

. 8 . 2 2 , )( 8 $ , )( 8 , )( * , / *# *. - 4=5. -457. F

Ua e

7

Uagugu-7

e

-7

Ua .

-7e

-7 7

Uagugu-7

e

-7

Ua .

-7 7

Uagugu-7

.

-7

Ua

37

Uagugu-7 -45:.

8 8 ( $ + 8 @ ! -45:. 8F

gu-7 7

Uagu

3 Ua

.

-7-45<.

, 7 / $ , F

61:1 DQLVRWURSÐD HQ OD FRQILJXUDFLÖQ DFWXDOL]DGD ,

Uagu Ua-7 -7',JS 'gu -47>.

7

Uagu Ua-7

7

-7'

,JS 'gu -471.

-7',JS

7

-7'

,JS

Uagu 8 F

Uagu Ugau -472.

Ug % U,JK

g,JS

&$

, /

6 "

( + / 8 , $ 6 8 + , / + 8, " 8 8 , 8 + / , $ 6

66 !

( I**J 8 8 + - ; 44. F

)

&,)&, -474.

8 2 2 8 8 +$ I**J 8 I**J ( @ 8 8 + F

,) FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

6 -473.

6 , @ 8 8 + , , @ 6 I**J 8 + , @ -422. , 8

I**J 8 $ 8 $ $ , , 8 , 7 , $ / 8 +

-4=5. *,G6

- .$ F

6W ) 3U ?Ua3 A

a

-47=.

" 0 I**J 8 -4=5. F

) 3U 7

Uagu?gu

3 A

a

-475.

8 , + E

6 I**J$ F

?gu 33

g&) &,

33A

,u

-477.

& + -477. -475. F

) 3U 7

Uagu

33

g&

33A

,u

3 A

a ! "

@&,

)&, -47:.

# , 8 + , ,$ , $ , 8 , - ;44.

&,

3U33

g&

33A

,u

3 A

a7

Uagu-47<.

61:1 DQLVRWURSÐD HQ OD FRQILJXUDFLÖQ DFWXDOL]DGD ,

,$ A ,$ 3 ,$ 3A , 7 8 ,

66 ! !

, / * 452$ , 8 -474. $ $ @ R $ F

& &22 22 &2 2 -4:>.

& / 8 + , / 8 + , ' -1<<=. , , ( , 8

8 + 8 - ; 44.

= e

&,=&, -4:1.

$ , / 452 e 8 e 2 2 , 8$ , 8 , e 8 8 +

8 , 8 , 8 . , $ / 8 +

-4=5. *,G6

, )( - .$ F

6W = 33A

UUa

33

a

-4:2.

,3 FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

" , )( 8 -457. F

= 33A

U.

Uagugu

33

a

-4:4.

, )( 8, + E

6 ,

$ F

gu 3 A

g&=&,3,u -4:3.

& + -4:3. -4:4. F

= 33A

U.

Uagu

3 A

g&3,u

33

a ! "

@e&,

=&, -4:=.

# , , 8 +

e&,

33A

U

3 A

g&3,u

33

a.

Uagu-4:5.

. , 8, ; 44 , 8 , + ( , 8 / 7 2 2$. 2 2$ 2 2 e 2 2 ( ,$ 8 , +/ ?E +

66 ! !9 #

( , -4=5. -474. , 8 @ 8 , + ; 43 @ / +F !$D$ * #E0 ( , / $ 8 ,+ + 8; 0

;ll @ 8

61:1 DQLVRWURSÐD HQ OD FRQILJXUDFLÖQ DFWXDOL]DGD ,,

ijτ


ee

klijklij a τ=τ σ

eeeij eae =

eklijklij ec=τ

ESPACIO DETENSIONES REAL(ANISOTROPO) τ

ESPACIO DETENSIONESISOTROPOFICTICIO τ


ee

ijτ

eije e

ije

eklijklij ec=τ

IJS


eE

KLSIJKLIJ SAS =

eKL

EIJKL

eIJ EAE =

eKLIJKLIJ ECS =

ESPACIO DETENSIONES REAL(ANISOTROPO) S

ESPACIO DETENSIONESISOTROPOFICTICIO S


eE

IJS

eIJE e

IJE

eKLIJKLIJ ECS =

Configuración Material

Configuración Actualizada

FF

& 68 ! , , 8 , +

-- FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

@ D ; 43 $ @ /

& 68 8 , , @

63 5 @*6 =< 9#

@ / , / + + 8 , +

61;1 UHJOD GH IOXMR1 OH\ GH HYROXFLÖQ GH ODV YDULDEOHV LQWHUQDV -

636 /" !

8 , , / / F

R

9..

-4:7.

! , 6 / , 7$ , / ,F

#7

$ #

$ 7 -4::.

& + -4::. -4:7. / , )( F

R

9..

9..

.

.

9..

7 7

7 -4:<.

7

9 Y:

Y @ /

, 8 , < , , / ,$ F

R

. R

9 . ..

7 . 7

7 -4<>.

R

, / 8 8 , ( /

-

9 67..

9 67..

.

.

9 67..

7 -4<1.

67 $ ,

+ / + / 6 ,

< , h

s H

$ / , )( H h

H

s

h

s

,

/ 8 / F s

H s

- FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

0 I*J - 6 / ( F

- 9 ..

R -4<2.

( ; 4=$ 47 4< 8 @ D 6F

1 * , $

2 / / $

4 / / ,

' :+ + < ! 9

; 4= 8 @ D , , ( 8 *$ $ 8 0 $ 8 @ -4:<. @ / ! -4:<. @ / F

R

7

7

7

7

2

-4<4.

( -4<4. , @ / 8 ( ; 45 @ 8


-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo

Von Mises Anisótropo

Vector de flujo del potencial

=

∂∂

0

2

1

G

GG

S

bfS ×=2

fS =2

×=

∂∂

02

1

Gb

GG

S

G

G

bS

Sr ==

2

2

& 68 "8 @ / D

' + 0 < 0 9

( ; 47 / /$ , / $ / 8 8 @ 8 (; 4: @ 8 " @ / / ! -4:<. @ / F


4000

3000

2000

1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo

Vector de flujo isótropo ficticio

×=

0

22

1.

Gb

Gp

E

& 6)8 "8 / @ 8 ,

R

7

7

7

7

2

-4<3.

/#

( ; 4< $ $ / / 8 / ' ! -4:<. @ / F


-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo y Anisótropo

Vector de flujo potencial ficticio yanisótropo

12

2 ==S

Sr

=

∂∂=

∂∂

0

2

1

G

GGG

SS

GG =

& 68 "8 @ / D / /

R

7

7

7

72

-4<=.

@ / 8 ;45 41> 9 / ,

636 /"

8 + , / / F

< R R

9.

.-4<5.

! 6 / , $ , /

-) FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo


×=

0

12

1

.

Gb

Gp

E

& 638 "8 / @ 8 / /

F

- - - -4<7.

& + -4<7. -4<5. / , F

R

9.

.

9.

..

.

9.

.

-4<:.

T

9 Y

Y @ / / ,43 8

43 , h s H $ / , )( h h h s

h

s , / 8 /

F s h s


-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo

Von Mises Anisótropo

Vector de flujo del potencial ficticio

Vector de flujo anisótropo

=

∂∂

0

2

1

G

GG

S

bfS ×=2

fS =2

×=

∂∂

02

1

Gb

GG

S

G

G

bS

Sr ==

2

2

& 6,8 "8 @ / D / /

, , / ,$ F

R

e R

9 e .

. e

-4<<.

R

, / 8 8 +( / F

-

9 6.

.

9 6j.

..

.

9 6j.

. -41>>.

6 $ ,

+ / + / 6 ,

- 6 / (

-3 FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Von Mises Isótropo


×=

0

2

2

1

.

Gc

b

Gp

E

& 6-8 "8 / @ 8 / /

F

-

9 .

. 8

R

-41>1.

( / -4<2. -41>1. *,G E - .44 8 , $ 8 8 +

R

3 3A

A R

44 W

W

61<1 GHILQLFLÖQ GH OD GLVLSDFLÖQ HQ HO HVSDFLR LVÖWURSR ILFWLFLR1 XQLFLGDG GH GLVLSDFLÖQ -,

'(3A A ! "

R 3 ! "

)* 8

R

-41>2.

6, %" 9 "6 7

/ $ 8 * + 8 + 8

6,6 /" !

8 , 6 ? * + F

e-

5

f

e

e

R -41>4.

6 8 R

/ 6 8 ( 8 + 8 #* -%2=. , ,- 4=5 457. ( / , F

R f.

.--

-41>3.

8 , , , , 7 . , 8

R

%

73

&%

.3

R&

-41>=.

& + -41>=. , / 8 -4<<. F


R

97

3

.

3 .

.

. 7 -41>5.

R

9 ..

R

-41>7.

$ F

6eS R f.

.--

R f.

.-- 6eS -41>:.

( -41>3. , $ 8 ( 6 8 + , , 8 + /

6,6 /"

( 6 ? * + 8 8 + F

8 e-

e e 8

R

8 6 8 8R

/ 6 8 ( 8 + 8 #* -%23. , ,- 474 4:1. ( / , F

R .8.-

-

-41><.

8 + , , , j e , 8

61431 HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD WDQJHQWH

R 3

e3

R

-411>.

& + -411>. , / 8 -4<<. F

R

9 3 e3 e .

. j -4111.

R

9 .

.

R

-4112.

$ $ $ / F

6eS R .8.-

- R .8

.-

- 6eS -4114.

# -4114. $ $ /$ 8

6-

HG&*$ + + / + / 0 $ , / , 8 , + /

, -" ! $ 1<:=. , 8 , * , * / , / +

+ , ( + /


HG-" ! $ 1<:=. -8 $ 1<<1. ( + + @ , / -'+ 0$ 1<:=. /

/ HG 5:= / ( + / HG&*

6-6 /" !

( 8 I**J - 4:.$ F

? .?.e

&,

e

&,-4113.

! I**J , 8

? .?. ?or ! "

7or3

. ?or. e

6?

. e

6?

.e

&, ! ".6?&,

e

&,

? 7

or

3 or6?

e

6?&,e

&,

? 7

or

3 or6?

&,

R

&,

-411=.

! / 8$ F

eR -4115.

eR / 8 / F

61431 HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD WDQJHQWH

eR&,

&,

or .

.or

.

. ?oror&,

.

. ?R^R^,? .

. ?,?

?

.

.-6r

"6| 77.. ?|

-4117.

! -4=5.$ 0 I**J 8$ F

? 7

&,

3 eR

&,or

or -411:.

-411:. -457. , . $ / F

? 7

&,

3 eR

&,or.

orR^ ! "

eRR^

R^ -411<.

eRR^

7

&,

3 eR

&,or.

orR^ / $

, / 8

6-6 /"

( 8 I**J - 42>.$ F

) .) .=e

&,

=e&,

-412>.

! I**J , 8

) .) .) or !" @or

3

.) or.=e

6?

.=e6?

.=e&, ! "

@e6?&,

=e

&,

) or

3'or6?

e

6?&,=e&,

) or

3'or6?

=&,

=R

&,

-4121.


! / 8$ F

eR -4122.

eR / 8 / F

'eR&,

'&,

'or

Y7

.) or

.6

.) or'or&,

.6

.) R^'R^,?

.

.) ,?

?

.6

.-6r

"6|7.

.) |

-4124.

! -474. 8 F

) &,

3'eR&,or

=or -4123.

-4123. -4:1. , e 8 , $ / F

) &,

3'eR&,oreorR^ ! "

SeRR^

=R^ -412=.

( -412=. / $ , / 8( /

/ HG$ * 5:= / 6 , @ /( / 8

-4117. -4124. $ / 8 , + -411<. -412=.

61441 GHILQLFLÖQ GH OD DOJRULWPLD XWLOL]DGD SDUD OD LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD

6 %"

$ * 8 $ 8

$ 8 6 8F

FC ! ,JS@,C @ ) +e,_C !

8FC ; @ 6

C ; /

C @ ) +e,_

+ / 6 , , 8 + 8 , +

66 /# " !

1 8$ , 8 + 8 , ; 412 , / 1

66 /# "

2 8$ , 8 + 8

) FDSÐWXOR 61 SURSXHVWD GH XQ PRGHOR FRQVWLWXWLYR SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

+ e 8 , ,$ , $ , , 8 , - 471 472. ; 411 , / 2 2

, , , $ +

61441 GHILQLFLÖQ GH OD DOJRULWPLD XWLOL]DGD SDUD OD LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD

/ 8

(''0 "'%& # (H!' T1$ H( (''0 "'%& # 0 H!' # ) "" T1$ H) "

1 ! , 8

W

r W .

2 ! 8 + $ ,

W 6

W

6

6

4 ' /

W 'eR&,

'&, ESorEY7*Y7or Y7*Y7orSor&, Y7*Y7R^7SR^,?EY7*Y7 ,?3

S? Y7*Yk6r E6|7 EY7*Y7|

3 ! $ , / 8 , 8

6

6 eR

6

eR

= ! $ , /

r3 .

3 eR r3 eR

.

H# (''0 "'%& # 0 H!' # ) "" H# (''0 "'%& # (H!'


Espacio Isótropo Ficticio

ESC ;;

( )( )

( ) EepSep

E

S

ACAC

EAE

SAS

::

:

:

1

1

1

−

−

−

=

=

=

CONFIGURACIÓN REFERENCIAL

Espacio Anisótropo Real ESC ;;

CONFIGURACIÓN ACTUALIZADA

Espacio anisótropo real ec ;;τ

Espacio isótropo ficticio ec ;;τep

arbitrario

:

:

=

=

=

C

EAE

SASE

S

Push Forward

( )( )( )Cc

S2

Ee

→

→

→

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

Pull Back

( )( )

( )epepcC

2S

eE

←

←

←

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

& 68 / 8 8 +

61441 GHILQLFLÖQ GH OD DOJRULWPLD XWLOL]DGD SDUD OD LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD ,

/ 8

(''0 "'%& # (H!' T1$ H( (''0 "'%& # 0 H!' # ) "" T1$ H) "

1 ! 8 + $ ,

W 6 W

6

6

2 / , 8 +

&,

3U 33

g&

33A

,u

3 A

a7

Uagu

e&,

33A

U

3 A

g&3,u 33

a.

Uagu

4 ! , 8

W W e

3 ' /

W 'eR&,

'&, ESorEY7*Y7or Y7*Y7orSor&, Y7*Y7R^7SR^,?EY7*Y7 ,?3

S? Y7*Yk6r E6|7 EY7*Y7|

= ! $ , /

3 e3 eR 3 eRe

5 ! $ , / 8 ,

6

6 eR

6eR

H# (''0 "'%& # 0 H!' # ) "" H# (''0 "'%& # (H!'


Espacio Isótropo Ficticio

ESC ;;

( )( )

( ) eepep

e

acac

eae

a

::

:

:

1

1

1

−

−

−

=

=

=

τ

τ ττ

CONFIGURACIÓN REFERENCIAL

Espacio Anisótropo Real ESC ;;

CONFIGURACIÓN ACTUALIZADA

Espacio real anisótropo ec ;;τ

Espacio isótropo ficticio ec ;;τep

arbitrario

:

:

=

=

=

c

eae

ae

ττ τ

Push Forward

( )( )( )Cc

S

Ee

→

→

→

=

=

=

ϕ

ϕτ

ϕ

Pull Back

( )( )

( )epep cC

2S

eE

←

←

←

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

& 68 / 8 8 ,

/

) "

6 ( / , , / / " , ( 6 /

6 - $ $ $ . ! @ 6F 6 ,$ $ 8$ $

, , 6

( . /" 8 $ $ + 6 ( 6 + , ! ! -1<5>. +

'+ 0 -1<:2. ( ! ) H* -1<5=. '+ 0 -1<:2. , ( 6 6 /

121

FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

!,! , , 6 + / + !,!

/ , ( 6 + / $ / ,+ 8 0 + 8 6 34 8 6 + / + H -1<<=. ,+ 6 ,+ 3= 8 * / 6 + ,+ 6 ,+ + / ,

6 0

( 6 + / / " $ *F -. 8 M-. M -. , - .M -. * ( * *

( , $ $ / , - /$ /$ .$ -) H*$ 1<5=. -! !$ 1<5>. -'+ 0$ 1<:2. -' $ 1<<5.

7151 WHRUÐD GH PH]FODV FOÄVLFD

( * , 4 * , , F

2 ? -31.

? ,

66 1 #

( 6 / 6 , , $ F

e -6 ?S'

SSS RS -6

S -32.

S 6 P,P + $ S 8 $ RS , / , -6

S

8 ,6 , 8 S

,

S +S+f

-34.

S f ( 8 , F

?S'

S -33.

6 , + " + -( $ 1<:=. -' $ 1<::. -( $ 1<:<. -'

4( , , , / , ,


$ 1<<1. -' $ 1<<5.$ #* 6 / F

. -.

?S'

SS

.S -S

.

?S'

SSS -3=.

S 6 , (

#*

. -

.

?S'

SS

.S -S

.

?S'

S

S S -35.

( - -35.. F

?S'

S S ?S'

S7

&,

S

e

S 7

&,e

-37.

! -31.$ , / F

S e

S

R

S

w

S

e

S

R

S w

S

-3:.

e

S$R

S|

S , /$ /

( , / -37. -3:. , / e

R |$ 5F

7

&,

R |

?S'

S7

&,

S

R

S |

S

-3<.

R

7

&,

3

+?S'

S7

&,

S

R

S |

S

, |

-31>.

, / F

50 /

, -31. Vlmno

lm

q-f@4

fVlmno

flm

7161 PRGLILFDFLÖQ GH OD WHRUÐD FOÄVLFD1 PRGHOR VHULH2SDUDOHOR

&, ..&,

.2 -

..&,

?S'

S

S &,S -311.

8 6 ? * + ,

0 .

2 -

..

?S'

S

S0

S

-312.

( 6 + /$ * , $ / + $ , , $ F + 8 $ * $ ,+ / * , 0 F 8 , $ + * ,

6 '" 0 6 ' 9.

H -1<<=. + 6 + / , 9 C / ( ; 31 8

( * , 8

, $ F

R@o

reo

-314.

) FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

& 68 /

R@o

reo ,

/ , ( , / F

R@o

,

?S'

S reo

?S'

S -313.

! -314. -313. ,

+

,

?S'

S

,

+?S'

S

,

,

?S'

S -31=.

S , $ , 9 $ , ( -31=. / @ 6 + / / * % *

7161 PRGLILFDFLÖQ GH OD WHRUÐD FOÄVLFD1 PRGHOR VHULH2SDUDOHOR

6

66 #

# $ 6 / -' $ 1<<=.F

- +

?S'

SS

S -S

, ! "

[

+

,

?S'

SS

S -S

, ! "

[7

-315.

- $ S 8 ( 6 ,

#* / -' $ 1<<=.F

. -.

?S'

SS

,

?S'

SS -317.

( #* - $ 1<5<.F

. -

.

,

3. -

. S-31:.

?

?

?S'

S

S S -31<.

, / F

&, ..&,

.2

..&,

?

? 2

?S'

S

S &,S -32>.

0 -' $ 1<<7. , 8 8 ,

3 FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

R@o reo -321.

+ + * # * -321. 6 / F

- * *7 -322.

7 6 /

?S'

SS

S -S

7

,

?S'

SS

S -S

-324.

/ * -322. + F

*

.//01

,_

?_'

* 2

2-323.

* 8 + % *

F

* *

,

?S'

S

S S

,

3

-32=.

* *

,

?S'

S

S S

,

32

-325.

, + + -' $ 1<<7.

7171 H[WHQVLÖQ GH OD WHRUÐD FOÄVLFD D JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV ,

6 1 0 !9

, 8 6 + / , , ,+ ,+ / 74 , 6 + ,

66

( * 6 + , , / * 8 8 , 8 , 8 , , / -! !$ 1<5>. -' $ 1<<1.F

Ua Ua Ua2 Ua? -327.

Ua 2 Ua Ua , )(

Ua @Ua >Ua

@ 5 @ 5

A

, * *) 8 + ,

F

= = =2 =? -32:.

= 2

3

, $ A

* "! (0 F

@ >

1 A A A

-32<.

3 , 3a Y%

Yfa

6 -" $ 1<:1.

6( )(

- FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

! 8 * *) -327. , ,F

2 ? -34>.

* 6 + $ $ $ F + 8 $ *$ + ,+ 8 * , / 0 F 8 , - 34. + 6 + / -32:.

66 & #

( -32:. -327.$ , / 6 8 , + -! !$ 1<5>.F

f e -6 ?S'

SfSS

RS -6

S -341.

8 e -6 ?S'

SS8S RS -6

S -342.

S 8S 6 P,P + 8 8 , + $ S 8 $ R

S

RS , / , 8 ,

+ -6S 'er6J

8 ,6 ( 6 + / 6 +

, 8 8 8 , F

S +S+f

-344.

7171 H[WHQVLÖQ GH OD WHRUÐD FOÄVLFD D JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

S f 8 , ( F

+Cf+f

"#$ 5 -343.

Cf 8 + ! - 34>. F

+CS+S

"#$ S 5 +S

5+CS -34=.

( -34=. 8 8 , / , ! -34=.$ -344. F

S

5

+CS+f

+CS+Cf

-345.

( -345. 8 8 8 + F

?S'

S -347.

66

+ 8 , 6 8 8 8 , +

/" !

( 8 , * / + 0 !/ - $ 1<5<.$ F

f .

.

?S'

f

fS

S.S

.

?S'

f

fS

S S -34:.


" + 32 3= / F

A .2

. . ?S'

SA

S

-34<.

A

S

'er6J

/"

, / 8 , $ 8 , * / + " 0 !/- $ 1<5<. F

.8

.

?S'

S

S.8

S

.

?S'

S

S S -33>.

" + 32 3= 8 +$ / F

A .28

. . ?S'

SA

S

-331.

A

S

'er6J ; 32 @ /

, 8 , ; , , , + 8 ,

*,G - . , , - $ $ . + + $ -37.$ ,+ + ,+ 8 ,+

7171 H[WHQVLÖQ GH OD WHRUÐD FOÄVLFD D JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

Próxima iteración

CO

MP

ON

EN

TE

1

( )*

1iτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

O F

AS

E1

( )1iτ

RECOMPOSICIÓN

( )∑=

=c

ci

ci k ττ

MODELO CONSTITUTIVO DE CADA FASE DEL COMPUESTO

CO

MP

ON

EN

TE

2

( )*

2iτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

O F

AS

E2

( )2iτ

CO

MP

ON

EN

TE

3( )*

3iτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

O F

AS

E3

( )3iτ

CO

MP

ON

EN

TE

n

( )*

niτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

O F

AS

En

( )niτ C

onfi

gura

ción

act

uali

zada

SIN CONVERGENCIA CONTROL FUERZASRESIDUALES Y

CONVERGENCIA

PRÓXIMOINCREMENTO: n+1

( )iτφ

=S

Con

figu

raci

ónre

fere

ncia

l

Configuración Referencial

Tensión elásticapredictora de cadacomponente

∆ Ui+1 = ∆ Ui +K-1 Fresid

( )ICEE −+=+ 2/11 ii

INCREMENTO: n

( )*1c

i+τEcuación de cierre

( )11 ++ = ii Ee φ ( ) ( ) ( ) ( )n

iiii 12

11

11 ++++ ==== eeee

& 68 , 8 , +


2r

FibraMatriz

l

F F

B A

B A

& 68 #, 8 6 +

6 '" 0 65!

/ * 8 8 , " $ 7 8$ , * 8 , 8 + 8 ( P8P 8 + * ( ; 34 , + 8

8 ,+ 8

, + 8 ,+ + $ 8 , + ,+ + , , / * -1<=2. +

7" 8 8

7181 PRGLILFDFLÖQ GH OD WHRUÐD GH PH]FODV FOÄVLFD1 UHIXHU]R GH ORQJLWXG FRUWD

* / 8 + , ; 34 $

, , + $ 8$ , ,+ + * 8 $ ,+ 8* , + 8 # $ + 8 / "8 * BS ,+ , ,+ + * 8 ; 33 ,+ 8 ,+ ,+ / 8 + ; 8 ,+ 8 B 8 ( 8 ,+ * 8 8 / 0 $ ,+ 8 B 8 BS * / ,

6$ + , + ,+ 6 BS ,+ , , $ , ,+ -K E$ 1<7<.# , ,+

8 -32:.$ , , + 8 0 $ 8 $ , -' $1<<=.$ + * , 6 + / -K E$ 1<7<.

66 % # 1 "#

* , ,+ 8 + * 8 + , 8 6


Esfuerzo de tracciónen la fibra

Esfuerzo cortante enla interfase

0=x lx =

cl2

1

Fibra

& 68 # ,+ 8 , 8+

8 + , ,+ - ; 3=. 8 / F

sD2 )D+ s +s D

2 +s+

)

-332.

$ 8F

+4s+

)D -334.

τ

τ

σ σσ d+ r2

Fibra

dx

& 68 ,+ 8

7181 PRGLILFDFLÖQ GH OD WHRUÐD GH PH]FODV FOÄVLFD1 UHIXHU]R GH ORQJLWXG FRUWD

'2r

'2r

'2r

l

& 6)8 & ,+

s 8 $ +s 8 + ) , 8+ ( ) , 8 + , + 8 + ( , 8 -K E$ 1<7<.

+24s+2

:

4sss

-333.

4s ,+ / ,+ +$ : 8$ s R ,+$ s ,+ , + ( , 333 ,+ 4sF

4s % 0 2 % 0 ss -33=.

2 $ 0 8 3

M

ss

3C6

s

2Z

s *? o

o -K E$ 1<7<. $ 6 / 6 ,+ - ; 35. ( 4s B + $ F

3 FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

s s

+ % 0

,

2

%q,

2

,

B

-335.

( -335. 8 / ; 33 + ,+ $ ,+ 8 s s / B / F

s4@ s

+

%q,

2

,

-337.

66 % # !

( ,+ + , -332. -335.

) s0

%02B

%20B

-33:.

( -33:. , 8+ / ; 33 + 8 / ,+ + , , 8 + ( / 8 8 / F

)4@ s0

$&%

0B

-33<.

0 ,+ 6 + /$ 8F

s

B

,

f

s s

1 $&%

q,

2

q,

2

2 s -3=>.

s R ,+ ( -3=>. R ,+ 8 , 8 / R ,+$ , , , +,+ , ,+

7181 PRGLILFDFLÖQ GH OD WHRUÐD GH PH]FODV FOÄVLFD1 UHIXHU]R GH ORQJLWXG FRUWD ,

66 ' "#

,+ 8 6 + + ,+ $ / 8 ,+ 8( 8 R$ 8 /

, 6 -%11. -%1>. 8 , + , ,+ F

e e R

f

%e e

&R -3=1.

8 8 e 8R

e e 8R -3=2.

-3=>.$ 8 8

sK

+ $&%

q,

2

q,

2

,-3=4.

,+ 8 , sK

8 8 + , $ / 8 ,+ P* ,GP - . -3=4.$ F

6

-3=3.

# , , ,+ , ,+ + /$

8 , + -%2:. -%25.

f .

.e

+ $&%

q,

2

q,

2

, ! "

e -3==.

8" ,+ ,+ + * ,+

- FDSÐWXOR 71 WHRUÐD GH PH]FODV

.8

. e e -3=5.

-3==. -3=5. , E ,+

6)

/ ,+ 8 + 6 + / 8$ , + , ( / ,+ $ 8 $ , 8 ,+ 8 0 $ 8 6 + / $8 -' $ 1<<=. + 6 + / - $ 1<<:. 9 , /

6)6 & # ! "#

( 6 ,+ 8 8, / 6 , , + , $ F

f e -6 ?6S'

S6fS6S6

R

S6 -6

S6

! "

Frpsrqhqwhv gh od pdwul

?S'

SofSoESoSo

R

So -6

So

! "

Frpsrqhqwhv gho uhixhur

-3=7.

8 + 6 / F

7191 HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD GHO PDWHULDO FRPSXHVWR

8 e -6 ?6S'

S6S68S6

R

S6 -6

S6

! "

Frpsrqhqwhv gh od pdwul

?oS'

SoSoESo8So R

So -6

So

! "

Frpsrqhqwhv gho uhixhur

-3=:.

S6 So

6 + ,+ 8 , $ 8

S6 8

So 6

+ ,+ 8 +$ S6 So 8 + ,+$ R

S6 R

So , /

8 , 8 +$ RS6 R

So

, / 8 + 8 +$ E , , ,+ $ -6

S6 -6

So

+ ,+ 8 ,6 ( 8 ,+ 8 8 $

/ ,+ 8 ( -311. , + ,+ ,F

&, f .?.&,

f.2 -

..&,

?6S'

f

S6

S6 &,S6 ?oS'

f

So

SoESo &,So -3=<.

'&, .) .=&,

.28 = -

.=.=&,

?6S'

S6

S6 '&,S6 ?oS'

So

SoESo '&,So -35>.

&, '&, 8 , +$ ,6 9


+ ,o 9 , ,+ ,+ , E -311.( 8 ,

+ / F

? f. -

.

?6S'

f

S6

S6 ?S6 ?S'

f

So

So ?So -351.

?6S'

f

S6

S67

&,

S6 e

&,S6

?S'

f

So

SoESo7

&,

So e

&,So-352.

) .8 = -

.=

?6S'

S6

S6 ) S6 ?S'

So

So ) So -354.

?6S'

S6

S6'7&,

S6 =e

&,S6

?S'

So

SoESo'7&,

So =e

&,So

-353.

( 8 / 8 , 8 , F

6

6? ! "

Frpsrqhqwhv pdwul

o

o? ! "

Frpsrqhqwhv uhixhur

-35=.

e

R

6 ! "

.

6

e

R

6? ! "

.

6?

F

e

R

o ! "

.

o

F?

e

R

o? ! "

.

o?

# -35=. , / ,+ / F

e

o?

Fo?

%

R

o?

&e

o? Eo?

%

R

o?

&-355.

, ,+ / , , E , ,+ 8 !

7191 HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD GHO PDWHULDO FRPSXHVWR

-34:. ,+ 8 , / F

? f. -

.

?6S'

f

S6

S6 ?S6 ?S'

f

So

So ?So -357.

8 , + ,+ ?S6 ?So / F

?S6 &,S6 e

&,S6 &,S6

&,

&,

S6

-35:.

?So &,So e

&,So ESo &,So

&,

&,

So

-35:.

8 +$ $ $ 8 F

= =

6

=

6? ! "

Frpsrqhqwhv pdwul

=

o

=

o? ! "

Frpsrqhqwhv uhixhur

-35<.

= =e =R

6 ! "

e6

=e =R

6? ! "

e6?

F=

e

=R

o ! "

eo

F?=

e

=R

o? ! "

eo?

# -35<. , / ,+ / F

=e

o?

Fo?

%=

=R

o?

&=e

o? Eo?

= =R

o?

-37>.

, ,+ / , , E , ,+ ! -33>. ,+ 8 , / F


) .8 = -

.=

?6S'

S6

S6 ) S6 ?S'

So

So ) So -371.

+ ,+ ) S6 ) So / F

) S6 '&,S6 =e

&,S6 '&,S6

=&, =

&,

S6

-372.

) So '&,So =e

&,So ESo '&,So

=&, =

&,

So

-372.

! -35=. -35<. 8 , + -357. -371. , , , ,+ , , 8 ESo S + / 6 + /

6 0 "# 9 +

/ , ,+ ( 6 + /$ $ / / /

2 6 6 s 2s -374.

2$ 6 2s / $ + 8 8 + 8

71:1 SURSLHGDGHV PHFÄQLFDV GH ODV ILEUDV D FRQVLGHUDU HQ OD WHRUÐD GH PH]FODV HQ UÌJLPHQ OLQHDO SDUD PDWHULDOHVFRPSXHVWRV

- 72. 0 $ ,+ ,+ + / ,+ -374. -25.

2s

%E.6E.s

&6E.sn&s E.6 6 6

&s

-373.

' / -27. -374. F

2s

.

6

E.s

&6E.sn&s .

6 6

6

s

-37=.

2 / -2:. , / ? !

/ 8 F

2s 26

n1 # &s3# &s

6 26

s-375.

8 , / +$ ,+ / / -? $ 1<:7. -%$ 1<<:.F

E.sE.6

E.sE.6

-377.

/

! "# $%&'(

1 2 1* * *2 3 ; " 0 ;E # &

6 6 , $ 6 $ , 6 8 , ,+ + ,

,+ 8 , , + + 8 + , P P + + + 8 + + , / , / #; - +8+. , 8

+$ , ,+ + 8 + ,+ 8 + 8 + ( / $ $ ,

$ +$

137

3 FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

, ,+ + - F ? . ,+ 8

8 + / , 8 + , -#;. 8 + 8 8 ( + / $ + , / * -% $ 1<<2.-0 "*$ 1<<2. 8 / , #;

$ * -? %$ 1<<5. -'G ($ 1<72. -G % $ 1<7<.

6 # "#

/ 8 + 8 8 B / + ,

+ 8 ,+ , + ( , + 8

,+ , , ,+ , , , 6 , 8$ 8 8$ , 8 * , 8 +

; =1 8 8 B + ( + 8 8 , ( + 8 , , , / + 8 ; =1 , 8 + , , , 8 8 ( ,+ 8+ $ 4( ; =1 6 8

8151 HVWXGLR GH OD GLVWULEXFLÖQ GH WHQVLRQHV D OR ODUJR GH OD ILEUD ,

2r

Fibra

Matriz

Esfuerzo de tracciónen la fibra

Esfuerzo cortante enla interfase

Fibra

a)

b)

& 68 . #, 8 + . D ,+ 8

6 *F

" / 8 +

( ,+ , ,+

# * 8 / + 0 / * + $ 8 8 / * , / & -? $ 1<:7. / ,+$

+ $ / , + 8 + ( , + + 8 ,+ , 8 , ( , 8$ 8

- FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

1σ

2σ

τ

Fibra

Matriz

Fibra

Matriz

& 68 . & / . , 8 . & ,

6 < "#

+ 8 ; =2 ; =2 ,+

,/ 8 ,+ ,+ ( ,+ ,

G B / B G

2 0 ,+

$ 8$ ,+ ; =2 ,+ 6 ,+ / 8 ,+ 2 ,+ ) ,+ 8$

,+ 2 , ,+ ) + 6 8 , 8 ,+ , 8 + , ,+ ,

,

8171 PRGHORV FRQVWLWXWLYRV SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV FRQ GIP

& 68 . & 8 . # 8

86 6 ,+ 9 ,+ ,+9 ,+ 8 8 + # 8 + ,+ / 8 ,+ , ; =4 8 8 I 3< -? $ 1<:7. ( 8 8 8

6 ' 9 %&'

( 6 + , ,+ * *, , , , P P 9 $ $ / / # , +$ , 6 + + # * , +

8 ( 6 8 +

FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

, -'G ($ 1<72. ' + , 8 + -G % $ 1<7<. ( ( + 8 + + *+ 8 ,

8 + * -1<:2 1<:3. -$1<:3. + ( 0 % -1<:3. 8 , 8 + , P + + , 8+$ + + + * #* -1<74. , #* -1<74. , / / % + ,+ 8' / ,

-$ 1<=2. - $ 1<71. -?*$ 1<<4. ! + B + 8 / , - ; =3. " 8 + ,Bs # , #; + 8 + , 22 $ R $

2 R 8 8 +0 + F

, $ , Bs $ B 8 + ' - ; ==. ( , + , ,+ ( 6 , 6 ' Bs 8 , , ( 8 + +

8171 PRGHORV FRQVWLWXWLYRV SDUD PDWHULDOHV FRPSXHVWRV FRQ GIP

a2

Fl2 l2

(1)(2) (2)

& 68 8

8 ( 8 / , ( 6 , / F

8

( 2

W

2

+

-=1.

, / + ,( ( +

a2∆

Deslizamiento Sin deslizamiento

fl

(1)

(2)

(2)

τ σ

& 68 ,+ , -1. , -2.

FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

, + , -$ 1<<1. ? -1<<5. / 6 + ,+ + 8 0 ?* K -1<<>. 8

+ ,/ $ / , 8 + , 8 , ( 8 + 6 F 8+ + 8 " 8 + 0 ? $ % (E -1<<=. /$

/ $ , + + 8 + + 6 ,

6 %&'

+ 8 6 , #; ,+ 8 / + +

6 + / 6 / , " / + ! , / , - . - 3. * / $

8 $ , 8 ,+ 8

8181 SURSXHVWD SDUD HO WUDWDPLHQWR GHO GIP

8 -' $ 1<<=. + - $1<<:. - 34 3=.( / +

+ 8 + , / , 8 +

66 '" ! %&'

( + ,+ $ + ,+$ * + ,+ ,+ +$ + $ @ / / $ , ,+ -? $ 1<<3. -? $1<<3.( 8 6 6 $

/ $ , 6 8 8 + ( #; + , 6F . + 8 + . + 8 +( *

, #; 6 + / , + , ,+ 8 $ 8 + + , 8+ ,

+ 8 6 + , , / 8 + / , / 8 ( , + , 8 # , 8

) FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

8 +$ /

sK$ 8 $

+

6@| ,

8+

sK36@|

$ , + 8 # $ 8 , , ,+ ,+ 8+$ / @ " 8 8 + F

-sK (

4

sK

6@|

%

sK36@|

s&5

-=2.

s 8 ( -=2. 6F

" + 8 * 8+ ,$ 8

-

sK

sK

" , + 8$ $ 8 $ 8 + $ / , /

-

sK

6@|

" , , 8+$ 8 ,

-

sK

sK36@|

s

6 8 ,+ 8 8 + 8 ,+ ,+ ( , / + , ,+ + * 8 , + , ,+ + , 8 + , , , 0 $ 8 9 / ,

8 + 6 ,

8181 SURSXHVWD SDUD HO WUDWDPLHQWR GHO GIP

+ , / , ,+ ,+ + 8 + 0 $ ($ -,+. -+. 8 + 8$

, ,+ 8 + 8 + , / 9 / + * 8 * , ,+ + ,+ , , ; =5 , + 8 ,+ , ,+ , , ,

8

)?

&-

??

&-7

-=4.

&- &-

7 ,+ 8 ,

+ )? ?? ,+ 8 , + 8 + 8 + , / 9 8 , 8

+ 8 + 8 @ , ,+ -4<. -421. 8 , + , + + , 8 , , 8 + , 8 +0 $ , #;

8 6 8$ @ 8 , + F

- 3 7 - -=3.

6 - 3 - -==.

3 FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

PROXIMA ITERACION

SIN CONVERGENCIA

∆ Ui+1 = ∆ Ui +K-1 Fresid

( )ICEE −+=+ 2/11 ii

( )11 ++ = ii Ee φ

( )*1c

i+τ

CO

MP

ON

EN

TE

1 m

atri

z ( )*

MATRIZiτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

OIS

ÓT

RO

PO

MA

TR

IZ

( )MATRIZiτ

RECOMPOSICIÓN

( )∑=

=c

ci

ci k ττ

CONTROL FUERZASRESIDUALES Y

CONVERGENCIA

MODELO CONSTITUTIVO DE CADA FASE DEL COMPUESTO

PRÓXIMOINCREMENTO: n+1

INCREMENTO: n

( )iτφ

=S

CO

MP

ON

EN

TE

2 f

ibra

( )*

FIBRAiτ

MO

DE

LO

CO

NST

ITU

TIV

OA

NIS

ÓT

RO

PO

FIB

RA

S( )FIBRA

iτ

Tensión elásticapredictora de cadacomponente

( ) ( ) ( ) ( )niiii 1

21

111 ++++ ==== eeee

Ecuación de cierre

Resistencia de la fibra

& 6)8 , #;

8191 H[SUHVLÖQ GHO PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR GHO UHIXHU]R ,

/ -=4. 7 - - 8 8 , + ,+ , / + ( 8 @ * 8 / , ,+ 8 , +

6) 1 0 9 !

6)6 /" !

/ @

"9 * , #; + 8 @ , ,+ 8 ,+ , / + , , 6

/ @ / ( @ -=3. F

-

3 7 - -=5.

( -=5. @ , + 8 + + + , 8 + 8 +

5 @*

( @ , / 8 8 , F

R

9..

-=7.

, / 9 , / /

)- FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

I*!E -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. 0 , / F

R

9

.3

.-=:.

( 6

9 - 9 - -=<.

( -=<. 6 / /$ , @F

-

.3

. .7

.-- -=1>.

6)6 /"

/ @

, / + 8 , , @ + 8 @ , ,+ 8 ,+ , / + , , 6

/ @ / , + @ 8 , ( @ -==. F

6 -

& 7 - -=11.

( -=5. @ , + 8 + + + , 8 + 8 +

5 @*

( @ , / 8 8 , F

8191 H[SUHVLÖQ GHO PRGHOR FRQVWLWXWLYR HODVWRSOÄVWLFR GHO UHIXHU]R )

< R 9

.

.-=12.

, / 9 , / / I*!E -( $ 1<<>. -8 $ 1<<1. 0 , / F

< R 9

.&

.-=14.

( 6

9 6 - 96 - -=13.

( -=13. 6 / /$ , @F

6 -

.3

. .7

.-- -=1=.

) FDSÐWXOR 81 HO IHQÖPHQR GH GHVOL]DPLHQWR ILEUD PDWUL] +GIP,

/ )

4567 * % ) -1<:1.

)6 6 + 6 " + , 8 / +

$ , ,6 6 44$ 6 + 8$ 6 3$ , + 8 + ( / , / , 52

+ + / $ 54

, / , 0$ 53 ,

+ , ,6 5= +

+ 8 -;. , ,6 - .

154

) FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

# , , / 55 + 0$ 57 6

44 6 3 8 6 =0 9 $ 5:

+ / , ( + / HG

)6 #

( / ,

)66 D#

1 , /$ , 8, + $ * + *)$ 8 , + - . -& ,- 6 4. " $ /$ , 6 68 8 - 8. ,

)66 #

/" !

( , / ( ,

9151 SODQWHDPLHQWR GHO SUREOHPD )

/ F D , 6

D D

! , 8 ,

2

! , 8 +

2

3

D -& ,

; 6 68 , ,

; 6 68 , +8 8

, , / -" ?*$ 1<<:.F

Gf Gf f -51.

0 I**J$ ,+ / , / , + ** 0 , F

Gf f -52.

/"

( + , / , , / -" ?*$ 1<<:.F

G | -54.

)) FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

G 4f

a

8 + ,+

/ 8 + 2 , / ,

/ ) ) )| ) )| ) ) +$ )| ,+ H

/ 8 /

8 , / Gf Gf f

#*

)fHG

)|f

8 + / G |

#*

)|HG

! )|| !

)6 > ! < ! +#

# , / F . $ ,$ $ . - . #

9161 HTXLYDOHQFLD HQWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \ ODV IRUPDV LQWHJUDOHV R GÌELOHV )

, , 8 , , ( , -52. -54.

,$ /$ 4 8 , + $8 , F

lf

" +f

lf

" Gf+f

K|f

" +)|f -53.

8 +F

l|

" +|

l|

" G+|

K||

" ! +)|| -5=.

" , + , #* )| )$ , F8 , F

lf

" +f

lf

" Gf+f

K|f

" +)|f -55.

8 +F

l|

"+|

l|

" G+|

K||

" +)|| -57.

( -55. -57. -53. -5=. , $ , " -BEG+ ! $ 1<<3.

4 $ , $

)3 FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

)6 & < 9

/ , + , $ ( + 6 $ 8, $ $ / 6 8 ( + / M / @ - $ 1<5<.#

$ H'H $ 8 + / F

T |n|

> |n| |n|+ |n|

T |n|

|n|T

> + |n|

7|n|

|n|7

> +?|n|-5:.

|n| I**J$ > |n| , + >$ |n| H 'H$ |n|

T ,+

|n|7

,+ 8 H'H 8 , F

T f

>|n| |n|+ |n|

T f

|n|T

> + f

7f

|n|7

> +?f -5<.

( 8 , -5:. -5<. 8 H 'H 8 / $ , + C ,

$ * -5:. H 'H 0

9171 IRUPXODFLRQHV ODJUDQJHDQDV WRWDO \ DFWXDOL]DGD ),

$ , 8 $ + ( 8 + ,

'H 'H H# ,$ / $ , " ( + , 8 $ $ H ( + , 9 8 , / +$ , ( ,

F

T f

>|n|f |n|

f + f

T f

|n|T

> + f

7f

|n|7

> +?f -51>.

f 8 , + F

T |

> |n| |n|+ |

T |

|n|T

> + |

7|

|n|7

> +?| -511.

| + ( , + -51>. -511. ( 9, 8 , + , , + -%*$ 1<:2.# 8

, $ 8 + (*+ 8 , + (2 - .( (*+ (2

8 ,$ , F +$ ( , , 8 , 6 $ 8 (*+ (2$

- FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

$ + * ; 51 8

, + ; 52 +

, + + + 8 +$ 8 , ( , +$ 8 + 8 , + ( 8 + 8 @ , , + + *,G , + E

)6 %

9 ; -;. * / + , $ $ + / -%*$ 1<:2. -?*$ 1<:7. -'$ 1<<2. -BEG+ ! $ 1<<3. , +

9 8 , , *$ / "

?'

*" -512.

6 , / " , , , / , / , - -55. -57..#+ 8 9 , / +

+

9181 GLVFUHWL]DFLÖQ HVSDFLDO

Incremento: ttn ∆+→ f

( ) 111 −−− =→∂∂= FF

T

J

iiJ b

X

xF

tti

tti

tti

ttti

∆++

∆++

∆++

∆++

+=

∆+=

10

1

11

uXx

uuu

tt

V

tti

tti

∆+−∆+∆++ +∆=∆ fKuu 1

1 0

( )11 2/1 −∆+

+ −= bIe tti

Ecuación Constitutiva *τ→e

Integración del modelo constitutivo

ττ →*

Verificación de equilibrio y convergencia

VVdV fBr −= ∫ τ:

Próximo Incremento 1+n

rf =∆+ tt


FFC T

J

iiJ

X

xF =→

∂∂=

tti

tti

tti

ttti

∆++

∆++

∆++

∆++

+=

∆+=

10

1

11

uXx

uuu

tt

V

tti

tti

∆+−∆+∆++ +∆=∆ fKuu 1

1 0

( )ICE −=∆++ 2/11

tti

Ecuación Constitutiva *SE →


SS →*


00:

VVdV fSB −=ℜ ∫


ℜ=∆+ ttf

Lagrangeana Total Lagrangeana Actualizada

a) Formulación Lagrangeana Total b) Formulación Lagrangeana Actualizada

& )68 & , . . +

FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO


FFC T

J

iiJ

X

xF =→

∂∂=

tti

tti

tti

ttti

∆++

∆++

∆++

∆++

+=

∆+=

10

1

11

uXx

uuu

tt

V

tti

tti

∆+−∆+∆++ +∆=∆ fKuu 1

1 0

( )ICE −=∆++ 2/11

tti

Ecuación Constitutiva *SE →


SS →*


00:

VVdV fSB −=ℜ ∫


ℜ=∆+ ttf


( ) 111 −−− =→∂∂= FF

T

J

iiJ b

X

xF

tti

tti

tti

ttti

∆++

∆++

∆++

∆++

+=

∆+=

10

1

11

uXx

uuu

tt

V

tti

tti

∆+−∆+∆++ +∆=∆ fKuu 1

1 0

( )11 2/1 −∆+

+ −= bIe tti

Ecuación Constitutiva *τ→e


ττ →*


VVdV fBr −= ∫ τ:


rf =∆+ tt

Lagrangeana Total Lagrangeana Actualizada

( )Ee φ=

( )τφ=S

Formulación propuesta

Formulación Mixta

& )68 & ,

9181 GLVFUHWL]DFLÖQ HVSDFLDO

e ?'

e

Le

e

Le -514.

e

L

* e

L * e

L

, +

= 1 ,?J_e e + ( 8 , + -4:. -42>. ( , )( , + / -"$ 1<<2.F

-7

A

.#-.7

.#7.-

.#.-

.#.7

-513.

=

%

A3

&

.#.

.#.

.#-.

.#-

.

-51=.

( , )( -514. -513.

Ee 7 e

Le

% e

Le

e

Le

A&

f

e

Le

e

L

Ae

f u e e e e -515.

f + , 8 $ u + , + 7 5 , / + ,

Ee 7 e

Le

% e

Le e

LeA

&

f

e

Le e

LA

e

f u e e e e -517.

5" 8 V 4

5

W

C

C[4

CC[5

CC[6

FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

7 6 " / , + 9 -513. -51=. + , -515. -517. + +

)66 '+ E

) E$ / $ + , + -?*$1<:7. -BEG+ ! $ 1<<3. , 8 , + - -55. -57.. F

lEef

f f+f ! "#Ee

f

lEef

f u+f ! "#Ee

u

e

lEef

LGf+f

KEe|f

+)|f -51:.lEe|

f f+| ! "#Ee

f

lEe|

f u+| ! "#Ee

u

e

lEe|

LG+|

KEe||

+)|| -51<.

-51:. -51<. ,+ + / , ,+ , / , ,+ ( ,+ $ F

6" 8 V 45 W

CC4

CC5

CC6

9191 UHVROXFLÖQ GHO SUREOHPD QR0OLQHDO

?|

?e,e6

e'

?|

Ee -52>.

e%|

?e,e6

e'

e%|

Ee -521.

?| e%| -522.

/ 8-?*$ 1<:7. 4

/ 8 +

+ + #Ee #

Eef #

Ee

u

D ,+ 8 ,

e%|

Ee 6lEef

LGf+f 6KEe|f

+)|f

8 + e%|

Ee 6lEe|

LG+| 6KEe||

+)||

)6) 5 # 9 -522. $ ,+ ( / +$ ;$ + + -%*$ 1<:2. -8 $ 1<<1. +

) FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

( + 8 , + -5:. -5<.$ + -512. , )( -515. -517.

>Ee $e -524.

> Ee $e -523.

?e,e6

e'

>e

'7777(T f

|n|

|n|+ |n|

! " e

?|

T f

|n|T

+ f

7f

|n|7

+?f ! " e

e%|

)8888*

-52=.

?e,e6

e'

>e

'7777(T |n|

|n|

|n|+ |n|

! " e

?|

T |n|

|n|T

+ |n|

7|n|

|n|7

+?|n| ! " e

e%|

)8888*

-525.

> + $

?e,e6

e'

%e ?e,e6

e'

e

?| e

e%| -527.

e

?| ,+ +

- .$ e

e%| ,+

?e,e6

e'

%e ,+ $ 8

9191 UHVROXFLÖQ GHO SUREOHPD QR0OLQHDO

( -527. -%*$ 1<:2. -8 $ 1<<1. -BEG+ ! $ 1<<3. ( + ,F

&n?n

?'&n -52:.

, / + '&n +

+ ,+ &

?n -" ?*$

1<<:. ! / $ 8 ,

?e,e6

e'

. e

?|

.&

?n

'&n

?e,e6

e'

.%6

T f f u e|n||n|+ |n|&

.&

?n

'&n

?e,e6

e'

T f

f u e .|n|

.

.

.

T f

|n|.u e.

'&n

?e,e6

e'

T f

f

.|n|

.

.

.+ |n|

T f

u e .|n|

.

.

.+ |n|

T f

|n|.u e.

+ |n|

'&n

?e,e6

e'

T f

f

.|n|

. f u e + |n|

T f

u e .|n|

. f u e + |n|

T f

|n|.u e.

+ |n|

'&n

?e,e6

e'

T f

f

.|n|

.f+

|n|

! "#e

f

3 FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

T f

f

.|n|

.u e + |n|

! "#e

u

T f

u e .|n|

.f+

|n|

! "#e

u2

T f

u e .|n|

.u e + |n|

! "#e

u

T f

|n|.u e.

+ |n|

! "#e

7

'&n

?e,e6

e'

#e

f #e

u#e

u2#e

u

! "#e

u

#e

7

'&n -52<.

, / + 8 , $ 8 + F

?e,e6

e'

. e

?|

.&

?n

'&n

?e,e6

e'

.%6

T f f u e|n| |n|+ |n|&

.&

?n

'&n

?e,e6

e'

T f

f u e .|n|

.

.

.

T f

|n|.u e.

'&n

?e,e6

e'

T f

f

. |n|

.

.

.+ |n|

T f

u e .|n|

.

.

.+ |n|

T f

|n|.u e.

+ |n|

'&n

9191 UHVROXFLÖQ GHO SUREOHPD QR0OLQHDO ,

?e,e6

e'

T f

f

. |n|

. f u e + |n|

T f

u e .|n|

. f u e + |n|

T f

|n|.u e.

+ |n|

'&n

?e,e6

e'

T f

f

. |n|

. f+

|n|

! "#e

f

T f

f

. |n|

. u e + |n|

! "#e

u

T f

u e .|n|

. f+

|n|

! "#e

u2

T f

u e .|n|

. u e + |n|

! "#e

u

T f

|n|.u e.

+ |n|

! "#e

7

'&n

?e,e6

e'

#e

f #e

u#e

u2#e

u

! "#e

u

#e

7

'&n -54>.

0 +#e

u ,

* , 8 / + + -BEG+ ! $1<<3.$ + + 6 & + -?*$ 1<:7. F

3- FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

#A

?e,e6

e'

#e

f #e

u#e

7 -541.

! -541.$ + '&n + -522.

?|&?n

e%|?n ! "

%&?

?e,e6

e'

. e

?|

.&

?n

'&n -542.

+ '&n

#A

#&

?

$'&n %

#&

?

$-544.

#A + + HG&* / / 9 / -8 $ 1<<1. -BEG+ ! $ 1<<3. 9 +$ * $ $ ,*

)6 < 9 1 ' &

8 /0 ; 6

44 , $ , 8 , - 4111. ( , 8 + + e ) $ 8 , ,$ , $ , , 8

91:1 LPSOHPHQWDFLÖQ GH OD WHRUÐD GH PH]FODV \ DQLVRWURSÐD HQ HO FRQWH[WR GHO PHI 3

, - 471 472. , -47<. -4:5. + / + $ + ,

8 8 , 3

8 + 0 6 + ;

/ + , , - $$ . , ( , * 3 -. / + ,


/ F

#8 $ 8 ,

S

,JSS

S

/ ,

* /

S

S

,JSS

S

#8 , 9 -452.7

7

2222 7

22 7

22 7

22

. 3 7

/ 6 +

?-S'

S S M ?-S'

SS

(''0 'D& H&H!' # &)" , $ (''0 'D& !& # U (%&'F $ 9

1 / + + %

#Ee&&

?

#&?

?e,e6

e'

%#Ee

&

?

2 / , 8,

'&&?

% #&3

?

&3

oer_&3

?

&&? &&3

? '& &

?

&?

A

&

? &

? &3

?

91:1 LPSOHPHQWDFLÖQ GH OD WHRUÐD GH PH]FODV \ DQLVRWURSÐD HQ HO FRQWH[WR GHO PHI 3

/ F -.

(''0 "'%& # ;" #( !&( '0 "!'F T1$H'0

4 / * / &

?

W

S

&3?

S

S'&

?

* /

P0*,GP , 8 + - .

' &?6

% '&

?

& &

?

W

S

&3?

S

S' &

?

3 !, 8

* / &

?

W

S

7

S&

?

W

S

&

?

.

S &

? &

?

W

S6

%&

?

W

S

& &?6

%&

?

& * /

&

?

W

S6

%7

%6

&

?

W

&& &?6

%.

%6

&?

&&= 8

+D =

5 P0 %EP /

&

?

S

6

&

?

S

|

eR

&?

S

6

%|eR

&

?

&S


/ F -.

7 !, /

&

?

S

%7

3

&S

&

?

S%

|

eR

&

?

&S

%

73

&S

|

eR

&?

S

.

S

H# (''0 "'%& # ;" #( !&('0 "!'

: / 6 +

&?

-?SJ6R

' S

% &

?

&S

|

eR

&?

-?SJ6R

' S%

|

eR

&?

&S

< / ,+ 8, %

Ee

oer_

&&?

oer_

&?

?e,e6

e'

%

Ee

oer_

&&?

" oer_ 2 & -1. ,

, , H H# (''0 "'%& # !&'H # U (%&'

H# (''0 "'%& # H&H!' # &)

"!'0

91;1 LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD LVÖWURSD 3

)63 9

( , 44 + /

+ 0 /$ , , , /

-" ! $ 1<:=. , 8 , * , * +

+ , ( + / HG-" ! $ 1<:=.-8 $ 1<<1. , / 6 6( + +

@ ( / -'+ 0$ 1<:=. 8

) , ( +

+ , $ $ + /, + / 8# / + ,

?3$

?3 ?3 8 ,

?

?

? 8 + , ( , ,

$ $ F ) ,

3) FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

' ? +

?

?3 '

?-543.

?

?3 '

?-54=.

/

' ? 0R '

? ' eR

? -545.

' eR?

|n|

|

9.

.+ -547.

'?

|n|

|

9 + -54:.

-547. -54:. + , , @ $ F

&? & ? ? '&? & ' ? '

? -54<.

8 , /F M M ' / ( 8 -'+ 0$ 1<:=.'+ 0 -'+ 0$ 1<:=. ,

, F

& + & +

)636 8 9

547 54: , + F

91;1 LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD LVÖWURSD 3

? ?3 ' ? ' R? W

? ' R

?-53>.

' R?

'9

%

.

.

?3

%

.

.

?

-531.

? ?3 9 %

?3 % ?

-532.

&? & ?? -534.

+ / F

? W? 9

%

.

.

?3

%

.

.

?

-533.

W? / F

W? ?3 ? ?3 -53=.

( -533. + ?3 / W

? 0

@ , + F @ /

Y

Y?3

6 * 8 @ @ / 8 / % @ / 8

Y

Y?3

Y

Y? 0 % 6$ % 2

6$ % 2 $

% # ( +

/ % % ( 8 @ 8 @ 9 + % 32+ (8 -'+ 0$ 1<:=.-8 $ 1<<1.

)636 8 9

, F


? ? R? -535.

? R? 9

.

.

?3n

-537.

? ?3 9 ?3n -53:.

&? & ?? -53<.

F

.

.

?3n

. % ?3 % ? %? %?n

.-5=>.

?3n % ?3 % ? %? %?n -5=1.

( F ?

R

?? 9 ( +

* / 8 @ + 9 @ -5=>. 8 @ D

+ + -

% 0 % + , + % 8 -'+ 0$ 1<:=.

)636 '+ 2EF9

%EG % -531. -532.$

&

? &3

?

' &

?' R

?& &3

? ' &

? ! " &

?W

' R?&

&

?

W '9

.

.

&

?

-5=2.

91;1 LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD LVÖWURSD 3,

&3? I**J

( -5=2. 8 ,$ &

? / /

'9 Y

Y&?

Y

Y&? &

?

0 -5=2. HG &

?

8 /

Y

Y&? &

?

&

?

W

&

?

&

?

W '9

+.

.

&

?

,W

-5=4.

%

Y

Y&?

&W

8 @

/ &

?

W

, @

&

?

W

&

?

%&? &

?

&

?

W '9

.

.

&

?

99999 &

?

-5=3.

%&? &

?

&

?

W '9

.

.

&

?

99999 &

?

-5==.

HG -5==. 8 , @ 6 ! -5==.

&

?

W

%&? '9 3%&

?.%

.

#3 &

? 3'9&

?

$ &

? 3 &

?

-5=5.

.%

.'9

#3 &

? 3'9&

$ '9&

? 3'9&

?

I ' 2 I ' '92

%&?

1 &

? , ( +

,- FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

%&? 3%&

?.%

.> &

?.%

.'9>'9&

? -5=7.

! -5==.

%&? 3%&

? > &

?'9

.2

2

&

?

99999 &

?

> ? >'9

.

.

&

?

99999 &

?

-5=:.

>'9 / '9 > ?

, -5=:.

> ? '9

.2

2

&

?

99999 &

?

3

3%&

? >'9

.

.

&

?

99999 &

?

'33%&? >'9'3

.

.

&

?

99999 &

?

-5=<.

/ >'9 ! , @ ,

6&?

# &

?

$ 36&

?.6

.

&

? 3 &

?

.6

.

&

? 3&

?

36&

?.6

.> &

?.6

.>&

? -55>.

! -41>1.

>&

? >9&

?

.

.

&

?

-551.

-5=<. -55>. /

>9&?

36&? Y

Y '33%&?

Y

Y '3 Y

Y&?

999 &

?

.6

.

.

.

&

? ! "

91;1 LQWHJUDFLÖQ GH OD HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD LVÖWURSD ,

( )*knτ Predictor

elástico

( )1−knτ

Dominioelástico

0; =ατφSuperficiede fluenciainicial

0; =kn

ikn

i ατφSuperficiede fluenciafinal

kn

iτ ni

knτ1

& )68 %EG 8 @ D *

( 8 / '3 8 6 , / ; 54 %EG $

6 8 @ /

)636 '

F

) - .

( 6$

%EG $ + HG&* 0

, FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

8 + HG&* + + / HG&* ( + + /

, ( + / HG ( / + %EG / 8 / / @ + %EG

? ? '9 .

.

?

-552.

#, -552. F

< < 9

.

.

?

'9 .2

.2

?

B -554.

<

'9

.2

.2

?

3

< 9

.

.

?

-553.

'3

< 9

.

.

?

< 9

.

.

?

-55=.

( , $

& -55=. F

.6

.

< 9

.

.

?

9 -555.

& + -55=. 9 -555. F


<

'77(

.6

.

?

.

.

?

.6

.

?

.

.

?

)88*

! "|eR

< -557.

|eR < -55:.

|eR

/ / 9 -554. / + / '3 ' 8 / + / $ , 0 8 ' / '9 8 0 @

8 6 , / " + , *

/ , /

)636 6 G# !+6

, @ + * +/ - . 8 8 / 6 HG&* + ,

/ , 8 - $ 1<<7. 0 , 3 ? 6 +/

, FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

, * 1 A , -# "* $ 1<:4.$ F

" 1

"" -55<.

Y

Y @ /$ 1

" ,* , 8 , ,

/ 8 " +

1 ! " 6

( / + HG / 8 ( ,

, " 0 $ " 0 $ " + # "* -1<:4. " , 8 " , & $

*AL| , 8 / -0+ ; $1<<:.F

99*AL|99 99*Ah

99 99*+i99 J"r &

"|-57>.

H $ , 8 $ & & $ J H & / 3. , & $ 9


+ , & , $ , & $ " +

99*AL|99 / -0+ ;

$ 1<<:.F

"LT| rn|

:H &

J -571.

" & J # "* -1<:4. 8 / "LT|

, / -0+ ; $ 1<<:.

&

J (&+ $,-

%rn| -572.

$,-% 6 -572. -571. F

"LT| rn|(&+ (&+ $,-

% -574.

"LT| "LT|o(&+ $,-

% -573.

"LT|o 8

"LT|o

9 $,-% +

"LT| ( + / 0 , , H 6 $

" 1 , 6 / $ / F

" 1

-57=.

" 8 F

" 1 -575.

8 / '"= -9 , 8 /. , '"=

,) FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

0 -575. $ 8 8 -573.$ F

"= (&+ H -577.

H 6 " / " K 9 , , 8 " K

/ F

# /D8 @

" 6#

&

?

W

-$

&

?

&

?

W

=&?

R

=&3?

R

/ / /

'9 s &

?Wk

Y

Y &

?

lWGG

k Y

Y &

?

lWn Y

YG Gk Y

Y &

?

lW

/ / 1 &

?

&

?

W '9

%Y

Y&?

&W

/

%&? &

?

&

?

W '9 Y

Y&?

999 &

?

/ '

'

+ '9

Y2

2

&?

9999 &

?

,/ / '9

>9&?

3&?3

Y

Y '33%&

?

Y

Y '3GG Y

Y &

?

&

?

n.6

.

.

.

&

? ! "


=F -.

/

<

1

Y

Y?

Y

Y?

Y

Y?

Y

Y?

2 ! "

|eR

<

/ 1 1 $ + / '9 8 @

&

? 3 &

? <

'9&? 3'9&

? >9&

?

" 6#

&

?

-

$ +

/ + +

|eR

Y

Y ?GG Y

Y ? Y

Y ?GG Y

Y ?nVWRS

,3 FDSÐWXOR 91 LPSOHPHQWDFLÖQ FRPSXWDFLRQDO

/

* +

6

6 6 4$ 3 = / + + $ 72 8

6 + / + / , / 80$ 74$

,6 +

-* . * + , ,+ + - .$ , ,+ +- . , + 8 + 7=

+ ( " 0H #C:44:4C&#C" #C:331=C&#C" -"$ 1<:=. + " -#;D(&$ 1<:4. 75

1<<

-- FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

4> JJ77 "! #32== - " , ! $ 1<<3. / ,+ 77

,6 , - 212.; $ 9 6

,/

6 D" +0

0 , " F

1 / / , / 8

2 / / , 8

66 ' 0 ! 0 "#

6 + / / , 8 ,+ 0 , + ( @ / 8

,+ $ / 0 $ / + +

9 ;

:151 YHULILFDFLÖQ GHO PRGHOR SURSXHVWR HQ UÌJLPHQ HOÄVWLFR OLQHDO -

1,00

1,00

& 68 + / /

R 8 0

6

# 68 0

71 +

8 ( + / / ( 8 $ / / 37 -25.$ -27.$ -2<. 6 + /

( / 8 + + ! 71 72

/ / 9 -373.$ -37=. -375.8 0

6

# 68 0 8

- FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ángulos

Mód

ulo

elás

tico

[Gpa

]

Aproximación uniaxial

Halpin

Modif1

Modif2

Experimental

& 68 / 8 , / 8 # ? # -1<:7.

; 72 / , / 8 -? $ 1<:7. -373.$ -37=. -375. 8 +

( ; 72 8 + 8 / " / 8 ,+ -J .$ / 0 / / - ; 72$ .

/ 8 / / -373. / 8 -37=. / / 8 ,+ / 8 ,

:151 YHULILFDFLÖQ GHO PRGHOR SURSXHVWR HQ UÌJLPHQ HOÄVWLFR OLQHDO -

1,00

1,00

Fibras

Matriz

& 68 + / /

+ ,6 , 6 + , ; 72 / ? ! -1<5<. / / 8 ,+

66 ' 0 ! + "#

6 + / / , 8 0 , + ( @ 8

,+ / ( / + +

9 ;74 + 8

( + /


R 8 0

# 68 0

/ / 9 -373.$ -37=. -375.8 0

# 68 0 8

/ ( 8 $ / / -373.$ -37=.$ -375. 6 + /

( / 8 + + ! 74 73

; 73 -373.$ -37=.$ -375.$ / 8 $ /

( $ $ 8 + 8 / ( P P 8 ( ; 73 8 / ( P P + , 8 -0 . @ + , 0 , /

( -373. 8 * 0 8 , / / 8 -37=. -375. / - ; 73.

:161 DQÄOLVLV \ FRPSDUDFLÖQ HQWUH XQ PLFURPRGHOR \ HO PRGHOR SURSXHVWR -

0

5

10

15

20

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Coeficiente de participación volumétrica

Mód

ulo

elás

tico

tran

sver

sal [

GP

a] Aproximación uniaxial

Modif1

Modif2

Halpin

Experimental

Unidimensional

Teórico

& 68 / 8 , 8 # ? #-1<:7.

6 0 < <

,6 + +

* + , ,+ + ; 7= + * + , ( 8 / =7>1 8 4 2<3> ,6

+ + 9 8 ! / , + 8 + -#;. + 6

-) FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

& 68 8

R 8 0 ! @

( @ 6 , *

6

# 68 0

( /

+ ! 7= 75 / $ 8 +

* / / ; 75 +( +

+ / ,+ ; 77 , 8 8 *

:161 DQÄOLVLV \ FRPSDUDFLÖQ HQWUH XQ PLFURPRGHOR \ HO PRGHOR SURSXHVWR -

R 8 0 ! @

( @ s

# 6)8 0 8

& 6)8

,+ , , ,+ ,+ * 6 , ,6

+ / 8 ; 7: ( ; 7:1 8 6 , - ; 71>. + + 8 + -; 7:2$ 7:4 7:3. *+ +

; 7<

-3 FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

& 68 + ,

& 638 %+

:161 DQÄOLVLV \ FRPSDUDFLÖQ HQWUH XQ PLFURPRGHOR \ HO PRGHOR SURSXHVWR -,

& 6,8 ++

+ ( ; 7<1 8 6 , - ; 71>. ; 7<2$7<4 7<3 + + + * ,+ ; 7<2 ,+ ,+ ; 71>

+ 8 , + + ,+ - ; 71>2 71>4. ;71>3 * 6 ,+ 8 , , ; 711 +

, ,+ / , , 0 + + *


& 6-8

+ 6 * 8 ,+ , ,+ + 8 * , ( $ $ + + 6 +$ 8 * , 8 + 6 8 ,+

6 ! %&' + 9 < 9

, 6 + $ , 6 , #; - + 8+.

:171 HVWXGLR GHO IHQÖPHQR GIP D WUDYÌV GH XQ PLFURPRGHOR \ FRPSDUDFLÖQ FRQ HO PRGHOR SURSXHVWR

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1000,00

1200,00

1400,00

1600,00

1800,00

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

Desplazamiento

Fue

rza

Micromodelo

Macromodelo G=0

Macromodelo G=600

Macromodelo G=6000

Macromodelo G=11000

Macromodelo G=15000

Macromodelo pequeñas

& 68 +

-* . * + , ,+ + - .$ , ,+ + - . ( * + 8 3 434 $ 4<2 755 2<1 $ 445 533 ; 712 /, $ +$ + , 8+ ,+ / ,F8 ,+ + ( ! 77 / ( / , + ,+

, , + * , ,+ + + +,6 ; 714 713

FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

a)

b)

& 68 8F . .

Pdwhuldo 4 Pdwhuldo 5 Pdwhuldo 6

Pdwul gh Krupljöq Uhixhur gh Dfhur Mxqwd Pdw0Uhix

Wlsr gh Frpsruwdplhqwr Prku Frxorpe Hoävwlfr0Lvöwursr Gdôr gh Ndfkdqry

Hodvwr0Soävwlfr0Lvöwursr

Pög1 \rxqj '2 ! D ! S ! DFrhi1 Srlvvrq Iulfflöq lqwhuqd J J

Uhvlvw1 Frpsu1 '2 Uhvlvw1 Wudffl1 '2 Ji / Jf 1 ' Oh| gh frpsruwdplhqwr Uhfwr frq Hsrqhqfldo frq

srvwhulru d od xhqfld deodqgdplhqwr deodqgdplhqwr

# 68 0 /


+ , 8+ $ 8 $ ,+ ; 33 + ,+ , ( ; 71= 715 , ,+ $ $ + ,+ 8 / * ,+ + $ $ 8 $ $ ,+ , + , +,+ ,+ , ,+ + * 8 , 8 ,+ ,+ ; 717 + , * 6 , + + ,+ + + 8 * +

( ; 71: + 9 9 + + ,+ + P +P 8 ,+

( ; 71< ,+ " , , ,+ + 6 / $ ;


-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Posición [cm] (longitud de la pieza)

Ten

sión

Tan

genc

ial [

kp/c

m2]

Icremen. 1

Icremen. 10

Icremen. 20

Icremen. 30

Icremen. 40

Icremen. 50

Icremen. 60

Icremen. 70

Icremen. 80

Icremen. 90

Icremen.100

& 68 ! , 8+ 11>>

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ten

sión

Tan

genc

ial [

kp/c

m2]

Icremen.110

Icremen.120

Icremen.130

Icremen.140

Icremen.150

Icremen.160

Icremen.170

Icremen.220

Icremen.250

Icremen.280

Icremen. 300

& 68 ! , 8+ 11>4>>


0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ten

sión

long

itudi

nal [

kp/c

m2]

Icremen. 1

Icremen. 10

Icremen. 20

Icremen. 30

Icremen. 40

Icremen. 50

Icremen. 60

Icremen. 70

Icremen. 80

Icremen. 90

Icremen.100

& 68 ! ,+ 11>>

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ten

sión

Lon

gitu

dina

l [kp

/cm

2]

Icremen. 110

Icremen. 120

Icremen. 130

Icremen. 140

Icremen. 150

Icremen. 160

Icremen. 170

Icremen. 220

Icremen. 250

Icremen. 280

Icremen. 300

& 6)8 ! ,+ 11>4>>

) FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

Incremento 2

Incremento 10

Incremento 20

Incremento 30

Incremento 40

Incremento 50

& 68 #, / , 8 +


& 638 + 9

3 FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

0

20

40

60

80

100

120

140

0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004

Desplazamiento [cm]

Fue

rza

[kg] Micromodelo

Macromodelo

& 6,8 ;+ # +

6 < #

66 %

( ,+ ( * + 8 3 1<:: $ 2><7 31<3 + + " -"$ 1<:=. - ; 721. !4>>C<13

+ ,+ / 8 8 / J J J J +

; 72> + $ $ + +

:181 HQVD\R D WUDFFLÖQ GH SUREHWDV HQWDOODGDV ,

+ 6 / ,+ 8 8 + + 8 ,+ , * ,0 +

/$ 8 / -#;D(&$ 1<:4.( / ,

+ ! 7: 7< ( F

& /8$ , + 6 / 8 $ ,

& $ ,+ +$ $ 6 + + $ ( * " 0 H #C:44:4C&#C" #C:331=C&#C"-"$ 1<:=. + " -#;D(&$ 1<:4.

66 < # --.,/ "# * 6

!4>>C<13$ 8 J $ + + + " D

/ ( / ! 7:" 8 /

( / 8 + ! 7<


& 6-8 # # +

R 8 0 ! @

( @ 6 , *

6

# 638 0

R 8 0 ! @

( @ s

# 6,8 0 8

:181 HQVD\R D WUDFFLÖQ GH SUREHWDV HQWDOODGDV

" * + / 4> +$ + +

& 68 8 /

; 722 724 , 8 , + 8 , 8 + => , / / ; 722

8 $ 8 / - 8 J J

; 742 731. " 8 + 6+ 9 ,+ , / ; 724 + 8 6+ ; 723 +

" +


& 68 !4>>C<13 8 J #, =>F1

& 68 !4>>C<13 8 J # ,


+ $ + , + , + + 6+ , ,+

& 68 !4>>C<13 8 J +

; 72= / + * , / " + / , 6+ + , ; 725 + *

, #; 8 + ,+ 8 , , + + 8 + , + + 8 + + , / , 8 + 9 6 6 = ( ; 725 $ $ ,


& 68 !4>>C<13 8 J , /

6+ $ +$ * , 8 + 8 / @ + + , ,+ 8$ / # + - ; 74>. ; 727 72: %% ++

" + 6 + ; 72: + 8 6 + 8 8 ; 72< + /

8( ,

; 74> 741 * 8 ,+ , + ( ; 74> 741

$ / /


& 6)8 !4>>C<13 8 J , 8

& 68 !4>>C<13 8 J %%


& 638 !4>>C<13 8 J ++

& 6,8 !4>>C<13 8 J ++ 8


( /

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 50 100 150 200 250

Desplazamiento [µm]

Fue

rza

[N]

Modelo no lineal

Resultados experimentales

Modelo lineal

& 6-8 !4>>C<13 8 J # +

, 8 + ( + , ; 741 + + " 8 '# -E ' # . * * + , - ; 72>.

" ; 741 , 8 + 6 6 , 6 ,


0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250


Ape

rtur

a de

ent

alla

[ µm

] ResultadosexperimentalesModelo no lineal

Modelo lineal

& 68 !4>>C<13 8 J '# # +

66 < # --.,/ "# * 6

* + / => +$ + + ; 742 , 8

8 , 8 + 4> , / / ; 742 8 $ 8 ,+ ; 744 +

+ , + + 8 ,+ ; 743

+ * , / "


& 68 !4>>C<13 8 J #, 2=F1

& 68 !4>>C<13 8 J +


& 68 !4>>C<13 8 J , /

, / + * , + , 8( ; 74= , /

" , / * , + * ; 745 747 %% ++

( ; 74:$

74< 73> * 8 ,+ , + ( ; 74:$ 74< 73>

$ / / ( / 6

$ ; 74<


& 68 !4>>C<13 8 J , / ++

& 6)8 !4>>C<13 8 J %%


& 68 !4>>C<13 8 J ++

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 50 100 150 200 250 300 350


Fue

rza

[N]


Modelo no lineal

Modelo lineal

& 638 !4>>C<13 8 J # +


0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200 250 300 350


Ape

rtur

a de

ent

alla

µm

]

ResultadosexperimentalesModelo no lineal

Modelo lineal

& 6,8 !4>>C<13 8 J '# * # +

+ * 6$ /, + + * , $ 9 , 6 , 6 , ; 74<

* " + 8 ; 73>

66 < # --.,/ "# *

( 8 3=J * + / =>


0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150 200 250 300 350


Ape

rtur

a de

ent

alla

[ µm

]


Modelo lineal

& 6-8 !4>>C<13 8 J '# + # +

+$ + + ; 731 732 ,

, + 8 , 8 2= + ,8 # 8 ,+ J

+ , 6 8 ,+ ; 734 +

+ , + 6+ J , $ 8 8 ,+ ; 733

, / + ,+ , ** 8 ,+ +


& 68 !4>>C<13 8 J #, 2=F1

& 68 !4>>C<13 8 J # ,


& 68 !4>>C<13 8 J +

, /$ , 8 +

( ; 735 737 %% ++ H

( , ; 73:$ 73< 7=> $ *8 ,+ , + ( ; 73:$ 73< 7=> $ / / ( /

6 6 , $ 9 , 6 ; 73< 7=> + , +


& 68 !4>>C<13 8 J , /

& 68 !4>>C<13 8 J , / 8


& 6)8 !4>>C<13 8 J %%

& 68 !4>>C<13 8 J ++


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 50 100 150 200 250 300 350


Fue

rza

[N]


Modelo no lineal

Modelo lineal

& 638 !4>>C<13 8 J # +

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300 350


Ape

rtur

a de

ent

alla

[ µm

] ResultadosexperimentalesModelo no lineal

Modelo lineal

& 6,8 !4>>C<13 8 J '# - *. # +


0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300 350


Ape

rtur

a de

fisu

ra [ µ

m] Resultados

experimentalesModelo no lineal

Modelo lineal

& 6-8 !4>>C<13 8 J '# - +. # +

66 < # --.,/ "# *

$ * + / 3> +$ + + ; 7=1 7=2 ,

, + 8 , 8 2>> + , 8 ; 7=1 + (

+ , + 8 ,+ ; 7=3

" , / + + 6+ 8 * ; 7== 7=5 %% ++

" 8


& 68 !4>>C<13 8 J #, 2>>F1

& 68 !4>>C<13 8 J # ,


& 68 !4>>C<13 8 J +

& 68 !4>>C<13 8 J # , /


, / +

& 68 !4>>C<13 8 J %%

( , ; 7=7 7=: * 8 ,+ , +

( ; 7=7 7=: $ / / ( /

" ; 7=: , , 6 ,+ ,


& 6)8 !4>>C<13 8 J ++

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 50 100 150 200 250

Desplazamiento[µm]

Fue

rza

[N]


Modelo no lineal

Modelo lineal

& 68 # +

:191 HQVD\R SDUD OD GHWHUPLQDFLÖQ GH ODV SURSLHGDGHV D FRUWDQWH HQ PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 50 100 150 200 250


Ape

rtur

a de

fisu

ra [ µ

m]


Modelo lineal

& 638 '# # +

6) < 9

4> JJ77 "! #32== - " ,! $ 1<<3. / &"4 0 ,+ / 8 VH=> 3>N 5>N

( /$ 8 / 8 + PP 6 + $ + , ,+

( / &"4 0 8 ,+VH=> + ! 71>711

; 7=< 6 + / + +


a) b)

δ

& 6,8 . # .

R 8 0 ! @

( @ 6 , *

6

# 6-8 0

R 8 0 ! @

( @ s

# 68 0 8

:191 HQVD\R SDUD OD GHWHUPLQDFLÖQ GH ODV SURSLHGDGHV D FRUWDQWH HQ PDWHULDOHV FRPSXHVWRV

& 6)-8 8

8 0 P P + + , / J ( * + 8

4 2>73 $ 1133 222: ; 75> 8 ; 751

( ; 751 8 + * ( + + 8 + + / 2>> ; 752 , 8

8 , 8 4 + " 8 , 8 , 8 754 +

/ , + + , + + 8 753 , / $ +


a) b)

Imposeddisplacement

No imposeddisplacement

& 6)8 +

& 6)8 "! #32== #, 4F1

:191 HQVD\R SDUD OD GHWHUPLQDFLÖQ GH ODV SURSLHGDGHV D FRUWDQWH HQ PDWHULDOHV FRPSXHVWRV ,

$ 9 / 8753 / + ( , / / 8 + * ( , / + , , - ; 75=.

& 6)8 0 &"4 VH=> +

;75= ; 75= 8 J ( + + ( ; 75= , / , , ,-( $ 1<:<. -' $ 1<<1. ,,6 + 3=J + + / , / , ( ; 755 + ;755 8 8 , $ , /$ 8$ , /$ +$


a) b)

& 6)8 0 &"4 VH=> . , / VR. VR

8

( ; 757 # + " / 6 ,6 F . / , ,$ . / , , . / 6 ,

( / , , " ; / + , 8 + + + ,+ ,

:1:1 FRPSDUDFLÖQ GHO PRGHOR GHVDUUROODGR FRQ RWUDV WHRUÐDV

& 6)8 0 &"4 VH=> . ;,6 . , / ,

6 /

6 *+ - 212.

--.,/ 6 ,+ / 8 9 ( * + 8 3 =3: $ 5>4 1123 " / + /


& 6))8 0 &"4 VH=> . # + .# 8

; 75: + + + + +

$ / + / 6 / + ,+ 8 + +$ , + * 8 8( /

! 7: 7<" * + / 4>

+$ + + ; 75< , 8

8 , 8 => + , / / " 8 + 6+

9


0,00E+00

5,00E+04

1,00E+05

1,50E+05

2,00E+05

2,50E+05

3,00E+05

3,50E+05

0,00E+00 2,00E+02 4,00E+02 6,00E+02 8,00E+02 1,00E+03 1,20E+03 1,40E+03 1,60E+03 1,80E+03 2,00E+03


Fue

rza

[N]

Grandes deformacionesplásticoGrandes deformaciones,elástico linealPequeñas deformacioneselástico

& 6)8 0 0 &"4 VH=> # +

a) b)

& 6)38 # . # + . 8


b)a)

& 6),8 !4>>C<13 8 J . #, =>F1 . +

8

; 75< +" + + $ + , + , + + 6+ 8

; 77> / + * , / " + / , 6+ + ,

; 77> + * , #; ,+ 8 , , + + 8 + , + , / $ 8 + , 8 + 8 / @ + + , ,+ 8$ /


b)a)

& 6-8 !4>>C<13 8 J . . 8

# + - ; 771. , +/ , ; 77> , 6+ $ +$ *

( , ; 771 772 ( $ / / ( / ; * 8 ,+ , +

, 8 + ( + , ; 772 + + " 8 '# -E ' # . *


0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 50 100 150 200 250


Fue

rza

[N]

Macromodelo


Modelo lineal

Homogeneización

& 68 !4>>C<13 8 J # +

* + , - ; 72>.

" ; 772 , 8 + 6 ( 6 6 *+ , , 6 ,

/ + + 6 *+ * + +$ 8 + ; 774 =3: 1<::


0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250


Ape

rtur

a de

ent

alla

[ µm

]ResultadosexperimentalesMacromodelo

Modelo lineal

Homogeneización

& 68 !4>>C<13 8 J '# # +

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 50 100 150 200 250


Fue

rza

[N]

548 Elementos


1988 Elementos

& 68 !4>>C<13 8 J # + +


63 H 9!0

636

,6 * + 6 *

/ ,+ 8 / + + , /

* $ ,/ / , 6

+ 8 + ,/ 0 + ,/ *

* P, / + P + + * 6

/ - . - . , J F

F ,

#, F / +

+ # + , 8 0 H(!1=<C:5

:1;1 VLPXODFLÖQ GHO FRPSRUWDPLHQWR GH PH]FODV DVIÄOWLFDV ,

N

/ + 1 + 2 + 4

2= <> 1>> 1>>2> 7: <3 1>>12$= =5 71 :21> =2 57 5== 45 => 312$= 2= 45 13>$54 14 1< :>$42 : 12 7>$15 5 : 5>$>: 3 5 = > > >

# 68 ) 6 / +

636 ' #* < #

( $ , $ + ,6$ -+ . $ * / , / $ / - 6$ *$. + / , ,+ -/. + -9. ( + $ 6 / / , /

* + -+ 1$ + 2$ + 4.$ 9 9 * + - ! 712$ ! 714 ; 773. ( 6 / + , + 8

/ * 8 / / / + - .

)- FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

0

20

40

60

80

100

120

25 20 12,5 10 5 2,5 0,63 0,32 0,16 0,08 ciego

d [mm]

% P

eso

que

pasa

Mezcla 1

Mezcla 2

Mezcla 3

& 68 / +

/ + / -. * /$ , / -6 . , / / / / + $ / 9 - ! 714. 8 / + ,/

,6 * + / ,F

&,+ + - . / / -6 .

&,+ + - . / / -6 .

&,+ + - . / /

:1;1 VLPXODFLÖQ GHO FRPSRUWDPLHQWR GH PH]FODV DVIÄOWLFDV )

( hq shvr txh sdvd ( uhwhq lgr dfxpxodgr ( uhwhq lgr sduf ldo

g d66o Phf od 4 P hfod 5 Phfod 6 Phfod 4 P hfod 5 Phfod 6 Phfod 4 Phf od 5 P hfod 6

53 :; <7 433 55 9 3 55 9 3

45/8 89 :4 ;5 77 5< 4; 55 56 4;

8 69 83 74 97 83 8< 53 54 74

3 /65 ; 45 : <5 ;; <6 5; 6; 67

3 /3; 7 9 8 <9 <7 <8 7 9 5

f lhjr 3 3 3 433 433 433 7 9 8

ehwýq 6/: 7/7 7 /9

# 68 ) 6 8 / +

&,+ + -. / /

%9

636 6 9" <

" * + 1 + $+ 2 + + 4 + ,+ 8 $ ,+ + , ,+ + -9. * ,+ -/. ( / + 6 8 9 ( 6 6 , *$ / , + $ , $ * ( 6 /$ 6 $ *0 + / $ + /

! 714 # ,$ $ / / 6 3 ! 713 / / ,+ 0 R @ &

S62


8 K O u

u D F6@| 6@| J6@| 0 FJ FS

5 4/38 4/33 3 /:;87 ;3/6:8 3 /7 5;/:38 3/45858 3/3384<: 488< /4644

4/58 3 /98958 3/958 3/639:< ;3/6:8 3 /7 5;/:38 3/53347 3/3384<: 488< /4644

3/8 3 /5958 3/58 3/37<3; ;3/6:8 3 /7 5;/:38 3/83435 3/3384<: 488< /4644

3/365 3 /349; 3/349 3/333534 ;3/6:8 3 /7 5;/:38 :/;5;85 3/3384<: 488< /4644

3/33; 3 /3375 3/337 4 /5899h08 ;3/6:8 3 /7 5;/:38 64 /6473 3/3384<: 488< /4644

3 /3334 3/3333858 3 /33338 4 /<968h0< ;3/6:8 3 /7 5;/:38 5838 /45 3/3384<: 488< /4644

# 68 0/ /

$ * , $ * + /$ SJoo

@ &

S62 $ 0 ( / 9 ,

* + * + $ 6 + - $ 1<<:.( /$

+ * 0 $ + 2$ + ?t

@or@,, &

S62 $ 9 ( $ , $ / / / 9 * , $ / 6 0 +$ $ 8 9 + / /

9 +$ / +

636 H I+

0 * + , 1>1$5 / , $ + + ( 8 + 341 775 8 @ - ; 77=. +


& 68 8 * + ,/

$ +$ ,$ + # ( 9"

, 8 H H(!1=<C:5 * + 6 +

/ ( 2 1 8$ * / F'

1F / 2> = 1 0 =:$52N , * /

1F / >$42 + 1 0 42$<7N$ /$ @ *

1F 9 :$31N + /


'

2F / 2> = 2 0 3=$>2N , * /

2F / >$42 + 2 0 3=$>2N$ /$ @ *

2F 9 <$<5N + /

; 7751 8 ; 7752$ 7754 7753 + 2 + 0 ; 7752 / + 2 * ( / + ( ; 7753 / + 2 + $ $ @

, + + $ +$ ,$ ( ; 777$ 77:$ 77< 7:> 7 R

B "

$ * + 1 $ 8 + " $ ; 777 77: + 2 ; 77<

7:> + 1$ + , , * / * $ P P ; 777 77<


& 6)8 D

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Desplazamiento

Car

ga [K

g]

M1-SDIM1-10%DIM1-20%DIM1-30%DIM1-40%DIM1-50%DI

& 68 * + 1

)) FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Desplazamiento

Car

ga [K

g]


& 638 * + 1

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Desplazamiento

Car

ga [K

g]


& 6,8 * + 2


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Desplazamiento

Car

ga [K

g]

S20SDIM2-60%DIM2-70%DIM2-80%DIM2-90%DIM2-100%DI

& 63-8 * + 2

)3 FDSÐWXOR :1 HMHPSORV QXPÌULFRV

+

0 !

6

/ , / , $ $ 8 8 , + ,$ 8 ,$ , )( $ (*+ (2 - 0 I**J$ I*J * ( 6 $ $ 6 4$ 3$ = 5

6

( / , / 6 , " / , 8 6 -

. , ,6 - ; 1. " 8 '# H$ |$ -6 . * H Hf

25<

- DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

0Ω – Configuración

de referencia

0t – Tiempo de

referencia

tΩ – Configuración actual

XX ,1

2e

0tt =

0ΩP

YX ,2

ZX ,3

xX

P’

1e

3e

t

tΩ

& 68 8

, 8 * 8 $ , ; 1 !

2 8 , 6 - ,. / F

2 2 -1.

2 - 6 . 8 + | $ 6

8 , - ; 1. 8 / F

2 2 -2.

2 - 6 . H 6

- . / , 6 -8 !. -

D151 HFXDFLRQHV GHO PRYLPLHQWR

. + 6 6 F

L 6 H L H -4.

, M F

L3 H -3.

,

66 %

" 8 + , 6 8 + , + 6 / 8

- . - H. 6 - ; 2. + 6 8 " $ $ / , F

& H H -=.

H H -5.

66 J <

( % 8 F

f% .

.% H %%

.

.% H -7.

$ % 8 H , / $ % % 8 F

% .

.H% H %

.

.H% H -:.

DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

t

33 , xX

3e

1e 2e

11 , xX

0t

Px

X

tΩ

P’u

0Ω

22 , xX

& 68 # +

66 D

" 8 ( / F

H . H.H

-<.

( - -3. .F

( H H H -1>.

66 !

, L 8

H .

.-11.

-5. ,

D151 HFXDFLRQHV GHO PRYLPLHQWR

& 68 ) ,

H .

.-12.

( , / F

3 > .#.

-14.

( ; 4 6 8 + 6 + , " ,$ 6 +$ , 6 8 + , +

+ + -13.

*# , $ H$ 6 $ 8 ,$ -11. + , + ,

DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

66 /# 6 % !

# 8 +Cf 8 8 ++2 + 6 8 , - ; 3. F

+Cf + ! +2 + -1=.

, 8 8 + + + + 8 8/ F

+C + ! +2 + -15.

! F

"#$ ) )!)( )*

! ( C -17.

/ ) ( * $ , F

"#$ +C

+Cf-1:.

( -1:. , , 5 8 , "#$ #

-1:. $ "#$ 8 * 6 $ ,6 8 "#$ + 8 , * $ 9 $ "#$ $ , $ 8

"#$ 2 -1<.

6 & < * ** / / , * , *" , ,+$ / $ 8 6F

D161 IXHU]DV \ PHGLGDV GH WHQVLÖQ

2e

0t

2X

1X

3X

Q

´Q

´R

t

P

´P

F

1e

3e dV

0dV

( )1Xd( )2Xd

( )3Xd( )1xd

( )2xd S

S ′

R

( )3xd

& 68 D ,

;+ $ $ ,+ ;+ $ ,+

,+;+

8 ( ,+

,+ 8$ ,+ 8$ /

66 /:<

; = $ 9 ,+ ,+ ,+ 8 0 8 9 ,+ # 9 9 ! 9 9 !

) DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

2x

x

3x

1e 2e

3e

t

n n−

´t

P

´P

1f

2f

3f

1f

2f

3f

& 68

* 9 9 ! 9 ! ( *$

$ $9 ! $ 9 ! F

! ! -2>.

66 #

, F 0 " 8, #$ $ F

4

! +

G+C

G (+C -21.

F4

! ! +

! G+C

! G (+C -22.

,*$ G G $ 8 , # * -21.

D161 IXHU]DV \ PHGLGDV GH WHQVLÖQ

-22. $ ( #

66 /:<

$ ,+ 8 ! * / F

! ! -24.

% $ ,

/ /:<

+ , ,2 ,$ * F

! ! -23.

( F

! ! -2=.

# 24 ! ,+ 8 8 ! ( ! ! ( / ; 5 ( $ 22 8 $ 2$ $ 2$ 2$ 2 / ,+ 9

/:<

# 6$ * F

'

W!W

!W

-25.

!W

!W

2!W

* ( W

8

3 DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

& 6)8 * *

!W

!W

2!W

;5 / ,+ 9 8 9 M ,+

66 9K::L

24 ,+ 8 8 * 0 $ ,+ 9 8 ! 8,$ 8 * " + / 8 8 ! 8 , +J ,$ F

+

+f

+

+f! -27.

" 8 # 8 ,- ; 7.$ + +2 8 $ 8 +J + +2 + $ F

++f + !2 -2:.

" ,$ + +2 , + +2 8 , F

D161 IXHU]DV \ PHGLGDV GH WHQVLÖQ ,

& 68 0 I**J

!+ + ! 2 -2<.

+ 8 , 0 A F

!( "#$ 3A ! ( -4>.

/ ($ F

A!+ 5+ ! +2 5++f -41.

5 "#$

+

+J! 5 A+ -42.

; $ 27$ + F

53A+ + 53A -44.

)(7: # 0 I**J +$ 8 , $ *$ + ,

3- DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

0 I**J 8 + , 9 / 0 I**J , 6 8 + 8 , , + 8 $ F

3 -43.

3 5 !"

3A -4=.

66 K::L

' , + I**J $ 8 F

5 -45.

# 6 I**J F

'

) W!W

!W

7: ) W/

* W F

) W 5W

6 G

, $ (*+ 6

8 , f )$ , 8 , |$

, 6 ) -47.

)rF

$ 3

U3

a!Ua -4:.

D171 RSHUDFLRQHV GH WUDQVSRUWH GH WHQVRUHV 3

,y )y A -4<.

) F

$ 3

U3 3

a3!Ua -3>.

, 3A ) 3 -31.

( E6 , ,$

8 , |$ ) 8 f

) 6 , -32.

8 ,r 9F

!Ua 3

U3 3

a3$ -34.

)y 3 ,y 3A -33.

, F

! 3

U3

a$ -3=.

) A , -35.

+ (*+ 6 (2

6 $

,F

6 3A3 -37.

6 A -3:.

F

6 5

6 533A -3<.

5 6 A -=>.


Z1

Z2

Z3

X1

X2

X3

x1

x2

x3

Ωo

ΩtConfiguraciónMaterial (original)

Configuracióndeformada

eX1

eX2eX3

eΩt

ConfiguraciónIntermedia

J

iiJ

X

xF

∂∂=

J

Ke

pKJ

X

XF

∂∂=

Ke

ieiK X

xF

∂∂=

J

Ke

Ke

ipKJ

eiKiJ

X

X

X

xFFF

∂∂

∂∂==

& 638 8 $ ,

6 /0 # 0 6 % 9

/ , , ( / + , e R

I -1<5>. ( -1<5<. -1<71. * -)6 )$ 1<<4. / / ,

8F f$ e| , | ( 8 e| / 8 ; : , 8 ( F

.

. e R -=1.

e R / /

D181 FLQHPÄWLFD GHO SUREOHPD HODVWRSOÄVWLFR1 GHVFRPSRVLFLÖQ PXOWLSOLFDWLYD 3

, / e + / , 8 , / 8

66 !

( ; < 6 8 $ 6 , + - +

+ +.

+ - +- + +. *

8 , / , -13. F

+ + + 3+ -=2.

0 F

+2 + + +A + +A +

+ A 3 + -=4.

$ $

+?2 + + +A + 3 +A 3 +

+ 3A 33 + -=3.

, -)(. -=4. -=3.

+2 +?2 + A + + + + A

! "'2

+ + + -==.

( -==. 8 6 *(# *# 0(; F

H

'7( A ! "

)8* -=5.


t

22 , xX

( )t,XF

33 , xX

0tQ’

X x

dS

dsQ

P’P

O

xd Xd

2e 1e

3e

& 6,8 " 8 , +

, 8 + - . -=4. -=3.

+2 +?2 + + + 3A 33 + + 3A 3

! "'2

+ + + -=7.

( -=7. 8 6 *# '# *# F

H

'( 3A 3 ! "

3

)* -=:.

8 / F

1 A -=<.

4

58 , /

8 8 , F


= = 1 A -5>.

= 8 8 , -|.

4

5

/ = 8 , + $ , )( F

H

-51.

H

3

-52.

" 8 8 ,F

A -54.

-53.

/ * *)$ / , )(" 8 8 + F

e e 3 eA -5=.

e

e3 -55.

R

e3 3

-57.

( e3 + *) /

66 5 0

! 1 8 $ ,

3) DSÌQGLFH D1 HOHPHQWRV GH PHFÄQLFD GHO FRQWLQXR HQ JUDQGHV GHIRUPDFLRQHV

lf el| l|

Ua'8AU

8a gu' 8 eg

A 8

eu Ke

3' 8 e

g3A

Cgu 8 eu

3

RUa' 8

RgU

A eCgu 8

RUa KRgu

3' 8R

gU3A

CUa 8RUa

3 K

3' 8U

3ACUa 8 e

a3

.Ua'2EUa3CUa .gu'

2

kgu3 KRgu

3l

e'2 3EK

3

.RUa'

2

RUa3CUa .

gu'

2

kCgu3 KRgu

3l

eR'

2

k Ke

33 K

3l

.eUa'

2 Ua3

RUa .

egu'

2 gu3Cgu e

e'

2

k3 Ke

3l

.Ua'.eUan.

RUa .gu'.

egun.

gu e'e

ene

R

# 68 / 6 /

! 1 R ) H* -1<71. "J -1<7>. , )( -)6)$ 1<<4.

66 D !

8 f , 8 e| , | 8 8 ( -( $ 1<<>. +/ ( ( ( 8 $ 8 8 ( ( F

< 6

.

.H

6

-5:.


f e| |

Ua (gu <R

gu

+ <

=

Ua

e

Ua

R

Ua(gu (

e

gu(

R

gu+ +

e

+R

# 68 / / D ,

6

6 * ,G E

3 + (

< -5<.

< -7>.

< -71.

! 2 ,

+ 2

0

26 2 ( / $ / 6$

6 M $ 6

M - $ 1<5<. -( $ 1<<>.-' $ 1<:<. 6

26 0 / / , F

N +1C -%1.

8 +$ N 6 68 8 +$ I**J$ , $ , 68$ @ 4

4" + 8 ( , 8 +

2:<

,- DSÌQGLFH E1 WHUPRGLQÄPLFD

( , -%1. F

f f +1C 5 -%2.

f 8 , $ 6 68 8 , $ 0 I**J$ , )($ , 68$ @ 5 , 5 "#$ " 8 * 6 ? * + 8 8

+ 8 , $ 6* + F

8_es

N -%4.

_es

-%3.

6 68 ( 6 ? * + -%4. F

8 N -%=. -%5.

& + -%3. -%2. / , 6 ? * +

f

f +1C 5 -%7.

f f +1C f f -%:.

( , ,

a 5$ < $ f 5

8 , $ 5 "#$ _T

_Tf O 5

+ ( Y 50 ,

$ 4

W 4$ %

4

W 4&

4 4W ! "

+4@M,

4M

4

M

E161 IXQFLÖQ GH HQHUJÐD OLEUH GH KHOPKROW] ,

8 +1C -%<.

/ , 6 ? * +

26 & # ?:

( 6 ? * + 8 + 8

8 8 e N -%1>.

, e /$$ $ * 6 $ $ / + $ 8 6 8 F

e -%11.

, ) (e 8 , /

26 %" # # #

8 / , e + 8 F

e R

3

|

f

R+H -%12.

R , / 8 $ + *) R , / 8 + 8 , / , )( 8 F

e R

|

f

R

+H -%14.

R , / 8 * *)

, DSÌQGLFH E1 WHUPRGLQÄPLFD

266 ? 6

, 6 * 6 / / / 6 $ F

8 e - 8e e 8R - -%13.

e - e e R - -%1=.

( -%13. -%1=. / * 8 * 6 $ , /$ , 6 + #* * * + $ $ )6 ) W ' -1<<1$1<<2. ( -1<<>. ' -1<:<. (-1<<4.

26 H 0 # - $ 1<5<. -' $ 1<:<.$ F

+

+H$ $? -%15.

6 $ 6T+ 6 $?

6T

6o

w+ ;

7

^

w! +? !, - %15.

8 / , -%1. /$ -' $ 1<:<.F

N

-%17.

! 8 6 ? * + -%4. F

8

-%1:.

E191 H[SUHVLÖQ GH OD GLVLSDFLÖQ ,

, / 8 F

f

f -%1<.

26) 1

( 6 6 ? * + 8 + -%1>. , -%11.F

8 .8

. ee

.8

.

.8

. -%2>.

.

.ee

.

.

.

. -%21.

/ & + -%2>. -%1:. , 6 ? * +F

.8

. ee

.8

.

.8

.

-%22.

' 8 +$ F

.8

. ee

.8

.

.8

.

-%24.

! , e R$ -%24. F

.8

. e

e

.8

.

R .8

.

-%23.

, / $ + -%21. -%1<. $ F

, DSÌQGLFH E1 WHUPRGLQÄPLFD

f .8

.e

ef

.8

.

Rf .8

.

-%2=.

( -%23. -%2=. #* 8 " + F

0 e $ + -%23. /$ # 6 F

.8

. e .8

.-%25.

8 + /

0 / $ , F

6 R Y

Yk

w w

-%27.

, / -%2=. e

$ $ + -%2=. / $ $ F

5

.

.e .8

.-%2:.

0 / $ , F

6

R f Y

Yk

w w

-%2<.

+ /

' 4

/6

( 6 + / , /$ /$ /$ /$ $ ( 6 # , + I* -1<=:. @$ * / , --( **$ 1<7:.$ -**$ 1<::.$-**$ 1<::.$ -" K$ 1<:7M " K$ 1<:7..$ + F

/ -**$1<::.$ -( **$ 1<7:.$ -" K$ 1<:7. , ,$ 6 -" K$ 1<:7.$ -' $ 1<<>. / 6 + 0 8 + + $ , /$ + , $ * ( 6 + /$

2<=

,) DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

$ , + * 6 -' $ 1<<>. * ,

/6 ' 4

9 * -**$ 1<::.$ -**$ 1<::.$ -" K$ 1<:7.$-" K$ 1<:7. + $ $ / 6 / I* -1<=:. * ,

, -&$ 1<54.$ -(E ?*$1<73.$ -&$ 1<54.$ , -" $ 1<<<.$ , -( 0 $ 1<7<. ,/ *-($ 1<:3.$ -&$ 1<:3.$ -& $1<:3. 9 -#$ 1<:=.$ -# **$ 1<:=.;6$

8 6 $ / $ 6 $ + , ,$

.3 -1.

.3 0 $ +$ . + $ -1. F

+ -2.

+ $ * , + 6 , /

F161 HQHUJÐD OLEUH GH KHOPKROW] \ HFXDFLÖQ FRQVWLWXWLYD

" ε " ε

σ σ σ σ

Espacio Real Espacio Efectivo

SC sC

!"# $ % & ' ( !)"

* * $ + (

!

, ( -& . /

f 0

f , ( -& .

$ . & , ( 1 /

f

f #

f %2 % ' /

" DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

3

4 ( 3 ( 1 5 !3!/

)

f "

2 ( /

f !

6 ) (

f

f 7

7 . ,/

8 ',

7 ( !)8

f f f

f

$ 7 ( ( . (9 ( . . (

F171 FULWHULR GH GDÔR ,,

/6 / 4( F / 8 ( @ , 8F

3 ) ) -12.

) , f f ( ) *# ! + , , 8 $ , $ , f 8 f( -12. 8 6 ,

8 ) f + -12. / F

3 ) ) -14.

,

/6 =< # 6 8 $ / F

+ . 3 ) .)

+ )+)

-13.

, / + 8 $ I*!EF

3 ) 3 ) -1=.

( -1=. " 3 ) 8

-- DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

-1=. -13.+ , / /( 8

-15.

2 $ $ 1= 3 ) 8 -12.F

3 ) ) ) -17.

! 3 ) ) -15. F

) -1:.

& + -13. F

+ + )+)

) + ) + ) -1<.

# 6 H F

| (&+f(&+ ) r

H -2>.

/6) 4 - -1>..

+f +f -21.

& + + -13. F

+f + )+)

) f -22.

! ) ) )

) .)

. -24.

& + -22. F

F1:1 SDUWLFXODUL]DFLÖQ GHO FULWHULR GH GDÔR1 DEODQGDPLHQWR H[SRQHQFLDO -

+f + )+)

.)

.

f -23.

# F

| +f + )+)

f .)

.

-2=.

/6 46 #9 1

( , 8 > 1 # ' -1<<>.

f

= 3

o

of f -25.

) )f

)= 3

f -27.

/ 6 , ) f -14. $ f f I*!EF

3 ) )f

)= 3

f -2:.

# 6 ) f ) ,

3 ) ) ) f -2<.

# ) f f

/63 46 #9

" , 8 , > 1

- DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

o

f

o

f -4>.

)

f

-41.

/ 6 , ) f -14. $ f f I*!EF

3 )

f

-42.

# 6 $ $ ) f )

/6,

/6,6 ' H < M

" K -1<:7. + ,$ F

) 8f

f -44.

-2=.$ F

| +f + )+)

)f

f -43.

% 0 H < M

/ - -<.. + ! ) " K -1<:7. F

) 8f

f

f| f f

| ) f -4=.

F1<1 SDUWLFXODUL]DFLÖQ GH OD QRUPD -

f| & +

6 ? *+ - -=.. F

8f

f

f

f2

f

) f

2

f

) 2 -45.

( -1<.

"f

"f

8f+

"f

)2

+ )+)

+) -47.

! 8 ) -27. F

"f

) 2 + )

)2 )

9999"f

"

f

) ) +)

)2 )

9999"f

"

f

) ) f= 3

f+)

) 2 )) f= 3

f999"

f

1 ) 2

99999"

f

) f

2= 3

f9999"f

2

) 2 1 ) 2

) f

2

) f

2

2

) f

2

( / 6 s 6 $ F

) f

2

s

s

Ef2

2

-4:.

0 , ) - -27..$ / -1<.$

)

f

) )f

-4<.


(

3f

f

3f

f

)2

+ )+)

+) -3>.

) 2 )

99993f

f

3f

f

) ) f

+)

) 2 )

99993f

f

) 2

) f)

99993f

f

) 2

f

9999993f

f

) 2

) f)

99993f

f

) f2

2

) f2

2

) f2

-31.

( / 6 s 6 $ F

) f2

s

) f2

s-32.

--27.. --41.. " K-1<:7. F

| +f = 3

f )

f )

) 2 f

)f

-34.

| +f ) f

) 2 f

)f

-33.

-34. -33. ( 6 , )


/6,6 ' = < '

( + + , F

) -3=.

$ --27.. - -41.. F

| +f = 3

f )

f )

) 2 f

)

-35.

| +f ) f

) 2 f

)

-37.

/6,6 ' 4

$ $ + @ +, F D $ * $ !$ #E0

/ @ D '

, , D 1<14 /$ / , 52 @ 5 0 -12. , F

3 ) )

22 2 2 2

-3:.

2 ' , , / -3:.

52 -3<.

-) DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

/ ':9/#

$ , 1774 , * 1::2$ / F * 6 ' + $ / 6 52 5 @ + 6 $ ,+ ( F

3 ) )

6 ' 6

-=>.

$ ' * 6 6 / + 6 ,

@$ 52 / F

3 ) ) @6

52

6

' 6

-=1.

/ %E9

$ , #E 0 1<=2$ * ( , / 8 D $ , */ @ , / + - 6 52 * 6 '$ + 6 5 " / , / F

3 ) ) -@ 52 -=2.

- , 6 D


% 0

/ F

) f|

-=4.

f| ( 6

? *+ - -=.. F

8f

f

f

f2

f

) 2

f-=3.

( -1<.

8f

+

)2

f

+ )+)

+) -==.

! 8 ) -27. F

"f

) 2

f+ )

+

)2

f )

,99999"

f

"

f

)

f ) +)

+

)2

f )

,99999"

f

"

f

f

) ) f= 3

f+)

f

) 2 )) f= 3

f999"

f

f

1 )2

99999"

f

) f

2= 3

f9999"f

2

f

) 2

f

1 )2

) f

2

) f

2

2 ) f

2

f

( / 6 s 6 $ F

) f2

f

s

fs

Ef2

2

-=5.

-3 DSÌQGLFH F1 PRGHOR GH GDÔR

0 , ) - -27..$ / -1<.$

)

f

) )f

-=7.

(

3f

f

3f

f

)2

f

+ )+)

+) -=:.

1

)2

f )

2999993f

f

3f

f

f

) ) f

+)

1

)2

f )

2999993f

f

f

) 2

) f)

99993f

f

)2

f

f

9999993f

f

f

) 2

) f)

99993f

f

) f2

2f

) f2

2f

) f2

f-=<.

( / 6 s 6 $ F

) f2

f s

) f2

sf-5>.

.)

..)

.f

.f

. f

.)

.f-51.

--27.. - -41..

F1<1 SDUWLFXODUL]DFLÖQ GH OD QRUPD -,

| +f = 3

f )

f )

) 2

f

f

.)

.f

-52.

| +f

) f

) 2

f

f

.)

.f

-54.

$ $

+ %

/0 0

%6

/ 8 + @ / + $ 8$ ,+

%6 >#

0 / / ,F + 8 , - ; #1. ( 6 / + *F 6 + /$ ,$ + 8

%66 / #

( 6 + / - ; #1. , , ( , 8 + / F

411

DSÌQGLFH G1 FÄOFXOR GHO PÖGXOR HOÄVWLFR GH XQ PDWHULDO FRPSXHVWR

Fibras

Matriz

FF

x

y

& %68

6%

6

6% 66+ -#1.

6+

6

6+ 66% -#2.

s ss

-#4.

6% 6+ , + $ s , 8$ 6 s R + 8 $ 6% 6+ + $ s 8 6 8 0 +( 6 + ,

-#2. -#4. F

6%

6

6% 66+ -#3.

ss

6

6+ 66% -#=.

%66 / >#

( ! 6 + $ F

G151 HFXDFLÖQ GH HTXLOLEULR

+ s s 66+ s 6s6+ -#5.

& + -#5. -#=. F

66% 6% 66+ -#7.

6ss

6+6 6+ 66%

6% 6+

6

6ss+

-#:.

! -#3. -#=. , %$ F

66%

66 6

&6

&s.s+

6%

6+

-#<.

( / F

6%

6+

+ &s.s+n.6&6

3&s.s+3.6&6nD26&s.s+66%

D6

3&s.s+3.6&6nD26&s.s+ss+66%

,-#1>.

%66

( + * / ?E +F

&,&, -#11.

/ F

.6

3ED62D6.6

3ED62

D6.6

3ED62.6

3ED62

.6

2EnD6

-#12.

( F

6%

6+

+.6

3ED62D6.6

3ED62

D6.6

3ED62.6

3ED62

, 6%

6+

-#14.

( + F

DSÌQGLFH G1 FÄOFXOR GHO PÖGXOR HOÄVWLFR GH XQ PDWHULDO FRPSXHVWR

6+ 66

626%

6

626+ -#13.

! -#1>. , / F

6ss+ 66 26ss+

ss+66% 66

26

6% 6

26

6+ -#1=.

6+ 666%

6ss+ 66 26ss+

-#15.

! 8 / % 66%$ / / F

% 6ss+ 66

ss+ 66 26ss+

6 ! ".%

6% -#17.

% 66

ss+ 66ss+ 66 26ss+

-#1:.

% / ( -#1:. 8 / , 8 + / , / @ , 8 ( ; 73 / , 8 " $ /$ 6 + ,6

2#!

$ K -1<:2. * , 8, 1 8 $ 2>$ 5>=X521

$ K -1<:3. J * , 8, 1 8 $ 22$ 34<X33<

$ " -1<<1. . * / 8< / =+$ 33-3.$ 1== X 1<>

$ " -1<<3. F & . * / 8< / =+$ 37-11.$=17 X =33

G $ % # % $ & I -1<7<. J , , * , 8 F * > .$ =$ 12<X131

*$ "$ $ % $ BEG+$ ' -1<7>. , *E * * 8 1 ? / 8$ 2$ 31<X3=1

$ & -1<<5. , 8 * , * , @ $ =:$ H =$ 1>1=X1>24

$ " -1<53. . * !* & !!;11:$ H"

" , ! -1<<3. ./ A **E$ 0F " , !

-K.$ $ 'L#*$ 0 $ "E*$ # -1<<>. ** , * *E , * /$ 23$ 11=< X 117:

*$ K $ ? $ K $ 0$ 0 ? -1<5<. ) / !*$ A$

41=

) ELEOLRJUDIðD

$ K$ $ ) $ I $ -1<71. " , * ) * ? ) ; ) * >

$ K I $ -1<74. !* , , , 8 / $ :$ 4=2 X 452

%$ K -1<<:. 1 / 9 ! ;

% $ ;$ ($ # K$ %$ K -1<<1. , , 1 )$ 7$ 5<4

% $ ; ($ K -1<:<. 0 * * , * F , , * * 1 * )$ =$ =1

%$ K ( -1<77. R *+ , G* 1 / $ 1<$ 5=1

%*$ I K -1<:2. > 8 ) 8 0? $

%$ 0 A & -1<7<. ; * 8 & "* -.$ > / > ) - 211X 244.F 0 0

%$ ($ 0 -1<7:. * ) ( H*? $

%$ R $ K -1<:3. , 8 , G* 1 $ 2>$ <4=

%EG+$ ? -1<5<. * , , * /$ 4$ 1<5X2>>

%$ K -1<:1. * , =$ 2=$ =5=X=:1

%$ K -1<::. , , * , , , 1 * )$ 3$ 2<X35

% $ #$ "$ " $ BE$ ; A$ $ ) -1<<2. #$ , $ 7=$ 271<X272=

ELEOLRJUDIðD

% $ " -1<<4. % ' 0*# *$ 0

% $ "$ '$ $ $ K -1<<<. G , , * @ $ 7>-5.$ 54=X535

%E$ % -1<:3. , * ) K #E & ! "* -.$ / * / 3 -Y1=. F

*$ ) ! '+$ -1<<5. , 1 * $ 44-2> 22.$2:<< X 2<4:

$ K -1<<=. # % # ( # % 0*# *$ 0

$ $ ' $ "$ '$ -1<<7. * - *. % -.$ A$111 1;/8 1 ;( /% 8 8 - 2><4X 21>>. %

$ $ ' $ "$ '$ -1<<7. / / * @ % -.$ A$111 1;/8 1 ;( /% 8 8 - 21>> X 21>:. %

$ $ ' $ "$ '$ -1<<:. 8 ( !* & 253$ H % $ % "

$ $ ' $ "$ '$ -1<<:. / 8 (# 9* > / =(*" > !* & 14<$ H % $ % "

$ $ ' $ "$ '$ -1<<:. / / * @ = 1 1 8$ 4-1.$ 1<X47

3 ELEOLRJUDIðD

$ $ ' $ "$ '$ -1<<<. , 1 * )

$ $ ' $ "$ '$ -1<<<. 0 , 0 F , -.$ 9 $1 / /8B/CDD+

$ $ ' $ "$ '$ -1<<<. 0 , 0 F 6 + -.$ 9 $1 / /8B(/CDD +

$ $ ' $ "$ '$ -2>>>. , , 8 , / / 8$ 1:=-2.$ 23=X277

$ $ B $ ;$ ' $ "$ $ K$ '$ -1<<<. " ,+ 8 & $ K #+$ ) % -.$ ) 1$ /% ?% 81F " H 6

$ ($ ' $ "$ &$ K$ 0Z$ "$ '$ -1<<:.

, , " *$ '$ #E-.$ ) * > E /% -.F H$ % $ "

**$ K -1<::. * G*$ E E G* * $ ==$ 5= X 72

**$ K -1<::. * ( * /$ ==$ =< X 53

*$ ! R "G*E$ I -1<:1. ( , , * 8 * $ 14$ 441X43>

*$ A &$ K -1<:3. , * 4 1 ? / 8$ 2>$ 1<<1X2>>7

*$ K I$ *$ ; $ "$ ! -1<<7. , ,8 , * /$ 41-:.$ 7:: X :11

ELEOLRJUDIðD ,

*$ A ; ?$ # K -1<::. ) * HG REF"D

*$ A ; B* -1<<1. ) HG REF "D

*$ " -1<53. 8 * >, . 32 * /( 3 !* & &!"&3:4$ * &*$ , A$ A$ "

*$ " ?$ % 0 -1<54. " , * * * 1 $ 1-3.$ :<2X:<:

*G$ A $ " -1<<5. 0 , E * , J * , , /$ - 21=X223.

$ ? ( -1<=2. !* * * , * 8 3 )$ 4$ 72X7<

8 $ -1<<1. ?( ' * K*A W " (

$ A -1<<1. * , 8 , 8 / $ 25$ =24<X=2=4

#$ K & %E$ & -1<73. . * !* & D0731:$ D 0 * "

#$ K "* $ & % -1<:4. ? / * F B(" ? E! 0 ? " *$ G ,$ HG K

#;D(& -1<:4. ) ; F9 . !* $ "

#$ " %$ 0$ I$ ! $ & ( -1<52. ' * * , * $ 2<$ <5<X<7=

# $ ( ? -1<44. * (+ !* &37<$ H"

#$ -1<:=. 0 , F , G* 8 > /$ 21$ :7= X ::=

- ELEOLRJUDIðD

#$ **$ -1<:=. ' 8 F , / * /$ 3$ <= X 1>5

#* -1<74. J , G /$ 3>$ 1135X11=7

#$ ) -1<75. * %! , $ - 11<X 142. H* ?

$ ? ) -1<5<. , F 0

$ R$ ; -1<:3. !* , , , 8 / .$ 1>5$ 4==

* $ K # -1<=5. !* * , , )$$ 7< X 133

$ ? #$ ($ ? $ #G$ "$ B$ 0 # -1<<7. 8 , , 8 , ) GH . * * * 9

$ ? #$ B$ 0 #$ #G$ " -1<<:. 8 , , * , , 1 * * / ) *

;*$ K$ "*E$ I$ 0*$ $ "**$ " -1<<7. , * *+F !* $ 13:$ =4X 74

; $ A -1<5>. $ - 2>:X215. "D

) 0 $ # "$ K -1<<:. ( ,+ = 1 1 8$ 4-1.$ 7=X<=

)6 )$ -1<<4. F % ( * 0*# *$ 0

)6 )$ ' $ K -1<<1. * !* $ ! " $ 0 %

ELEOLRJUDIðD

)6 )$ ' $ K -1<<2. , , , , ? / 1 >)$ - 357X372.

)6 )$ ' $ V -1<::. @ / , /8B/ II

)$ & A -1<5:. " * /$ 2$ 3<:X=>1

)$ ! $ # -1<<4. 0 , , , -.$ ) * ? 1( * / 1/ D / /, - :< X <5. B+ "F , B+ A* 0 *(

)$ H*$ 0 -1<5=. * , 8 $ 4$ 4X241

)$ 0$ H -1<53. * , = / $ 1:$ 1<X2:1

)$ H*$ 0 -1<71. " E , 8 1 * 8 $ <$ 121<X122<

)$ -1<:1. HG REF 0

?*$ ? !$ E$ K %$ !$ " A -1<:2. *+ ,C, * , ) "* D 0 !+-.$ > * / - 1<7X213. !* H* F H*J

? $ K !$ " A -1<5<. 8: * * !* & 57324$ ; (

?$ & ; -1<54. 0 G 8 1 $1-12.$ 2:32X2:33

?*$ B -1<:>. ; , 8 /$ 1>2$ 42<X443

ELEOLRJUDIðD

? $ ; -1<<3. ' * * , * 8, = )$ 41<-" .$ 1124X112:

? $ ; %$ -1<<5. E , 1 $ JJ ? I$ - 12>< X 122>.

? $ ;$ %$ $ (E$ -1<<3. ; E 8 , 8, 8 / K $ 14-5.$ 741X73<

? $ & -1<3:. * , * @G , )= ; $ 1<4$ 2:1 X 2<7

? $ & -1<57. !* , G , / ) $ 1=$ 7<X<=

? $ & -1<71. . / . * ) ', 0

? $ & -1<7<. !* , / ) ) $ :=-1.$ 17< X 1<1

? $ & -1<<>. , * * / ) $ 4:-4.$ 3>= X 317

?J$ H K -1<3<. . * + 8$ ($ * 1 A F HG RE

?,$ H K -1<3<. . * ; + 8$* 1 A

?*$ ? -1<<4. , , , 8, * $ 75$4>31X4>=>

?*$ ! -1<:7. . > 8 / 0?

? $ # -1<:7. 1 / 0

? $ # -1<:7. / &$

?$ # ( -1<:3. ,$ J , , . =+$ 5$ 175 X :>

?*$ K A K$ ? -1<<>. , 8 G* , / * /$ <$ 14<X154

ELEOLRJUDIðD

G$ ) & -1<=:. ; * K ) H K ?J -.$ / ) * G ? /- ==7 X =<1. HG REF 0 0

K E$ -1<7<. > * "0 *

K$ & -1<7=. / * / HG REF )G?

K$ H I$ )$ A ?$ "$ A K -1<:=. H , J * G* JF AE H" -.$E2 / * / 9 ( &* $ ?

I*$ ( -1<=:. ! , 1"2 ?2 B . ?2$ :$ 25 X 41

I8 $ 0 %$ -1<<4. , G* / ) $ 31-12.$1:=< X 1::5

I*$ " ?$ " -1<<=. * HG REF K*A "

I$ K -1<52. /, * ' !* & H&( =7=2$ " H &* (

I G*$ K $ " -1<<2. J , 32 ?>8/$ - 2>X22.

I$ -1<5>. * / $ 3$ 274

I$ ! &$ K -1<:3. * , $ 1:$ 254X272

(E$ ; ?*$ # -1<73. , ) = ; $- 424.

($ ? -1<5<. , 8 /8 * /$ 45$ 1X5

(E*E$ " ) -1<=7. ) * ) %*$ HG RE -1<5:.$ 2

ELEOLRJUDIðD

($ K -1<:3. ?G * ? 8 9$- 244X23=.

($ K -1<:=. * , , * 8 / .$ 1>7$ :4 X :<

($ K **$ K ( -1<7:. * - ,*. /% $ 2$ 417 X 45=

($ K 0 $ -1<7<. , , , 8 / .$ 1>1$ 2:3 X 2<2

(L$ ; ( $ # -1<:2. ?+ G , * 1 $ 1:$ 334X3=:

($ ($ &$ K$ $ " 0 -1<::. * , , 1 ? / 8$ 25$ 1:34X1:=3

($ ( -1<7=. 8 7 * L(. !* H* F H*J

((*$ ?$ %$ 0$ $ & $ %$ K K -1<7>. " , * G ) * 8 * 8 / 9 - 7=4X77<.

($ R$ HE$ !$ I*$ " -1<<4. # , , " , * -.$ ( / * / / $ 1:> - 11= X223.F " , *

($ I ?$ *$ & $ A$ -1<77. ** * , , / .= /8$ 33$ 554X575

($ ? -1<33. * #

( $ K -1<72. ' * , , *1 ? /$ -7.$ 247X2=3

( $ K -1<:=. . * 9* 3 # , $ , ,$ %E $ "

( $ K -1<<>. ) . 0 *$ "

ELEOLRJUDIðD

( $ K$ ' $ K$ ' $ "$ '$ -1<:<. , 1 * $ 2=-4.$ 2<<$425

($ % -1<<4. ># ( 0*# *$ H !

$ ( -1<5<. 1 / * / 0?

$ K -1<71. )% ! % 1/ F " D

$ K -1<72. )% ! % H <7 " (H "D

$ K ?*$ ! -1<<3. / * * HG REF# 0

*$ " 0 -1<:>. ;; 2 !* $ , ,

*G$ ; ( &G $ & # -1<<3. / 8 * ?

* $ K -1<:3. L%% %, %! %0*# *$ 0 $ 0 5

$ & # -1<=1. @ , * @ , /$ 1:$ 1>41X1>45

$ %$ '+$ $ "**$ ; -1<<>. ; , 8 * , 8 , 1 * ? / 8$ 2<$ 3:4X=13

$ ? "$ 0 -1<<:. * , * , G* $ 1=7$ 5< X <3

*$ ; -1<47. ; , , /$ =<$24=X25>

E* * $ H -1<54. 3 ) * / . *8$ * 4 H*J$ )F !* H*

) ELEOLRJUDIðD

H*$ 0 -1<=7. ' * * , * * M * /$ 13$ 45<X4:>

H$ ($ ' $ "$ '$ -1<<7. + * , 8 , # 'G$ '$ ? -.$ ) - 1213X121<.F H

H $ & % -1<:=. G , H ( & -.$ E2 / * / 9

H $ & % (*$ # & -1<73. 8 * , * /$ 31$ 177X1:4

H*E$ ! $ " -1<:4. , * , * E 8 > /$1:$ 24 X 44

H*E$ ! $ " -1<:4. 0* $ , 8 ,* 8 > /$ 1:$ 1X22

H*$ -1<<4. 0 , , , -.$ ) * ? 1* / 1/ D / /, - <7 X11>. B+ "F , B+ A* 0 * (

'$ -1<<2. 8 /% 8 > H 6

'$ $ H$ ($ ' $ " -1<<7. ) + , * * , , 1 * 8

'$ $ H$ ($ ' $ " -1<<7. / ; K ) H -.$/ DN - 2>5X211.

'$ $ ' $ "$ % $ "$ $ K -1<<1./ * * - O !* & 11$ H$ % $"

ELEOLRJUDIðD

'$ $ ! $ & ($ BEG+$ ' -1<<>. , , * ) I* ? -.$ 9"/ /F " D

'$ $ BEG+$ ' $ "+$ %$ ! $ & ( -1<<2. * , * 1 ? /8$ 44$ 43=X457

'+$ ; D $ D D -1<:2. / * & 0 *G

'L#*$ 0 $ -K.$ $ ;**$ ) K$ 0$ ? -1<<2. , , , G * /$ 25-14.$ 1:5> X1::3

' $ K$ $ $ ' $ "$ ( $ K -1<<>. E , * 9 *

' $ V $ -1<<<. 0

$

' $ " -1<::. F *( 0*# *$ 0

' $ " -1<:<. ?+ * - O!* & 2$ H %

' $ " -1<<1. / "# ?% * !* & 4$ H$ % "

' $ "$ % $ "$ $ K$ '$ -1<<=. , 8 $ 12-4.$23=X252

' $ "$ $ $ '$ -1<<<. ! , + 8 111 ? / / "

' $ "$ H$ ($ '$ -1<<=. + 6 + / C ? / $ - 344X34:.

3 ELEOLRJUDIðD

' $ "$ '$ $ $ K -1<<4. " , * , , , H F ? / A* #

' $ "$ '$ $ $ K$ % $ " -1<<4. 8 , , * -.$ ?1 * / B+ "F A*0 * (

' $ "$ '$ $ $ K$ % $ " -1<<5. , 1 $ 44-17.$ 2=>1X2=1:

'L&E$ % 0 -1<:<. !* , * , , , 1 ) 1 / 8$ 4:7C>2=$ 4<X3:

'+$ -1<:7. " , 8 , # & K 'G -.$ ) - 1717X17=5.

'+$ 0$ -1<:2. * , * , ) = ; $ 4:4$ 1>1X12=

'+$ 0$ -1<:2. 0 /* /$ 1$ 14<X1=>

'+$ 0$ -1<:=. , *, 1 * ?/ 8 $ HG$ - 1=51 X 1=75.

'G$ # ($ K -1<72. , , 8, * 8 * > .$ =$ 12<X131

0$ H K -1<5<. , * /$ 4$ 4<:X311

0$ H K -1<7>. , G* * /$ 3$ 2>X43

0$ ( -1<3<. ! , * $ 24$ 4:1X4<=

0 $ & ! $ -1<:<. / 8, / * /. * " 0 *

0+ ;$ $ &6+ ;$ $ ?$ -1<<:. * ( : !* & >1>$# / 0

ELEOLRJUDIðD ,

0*$ H # &$ K -1<:=. , ** * , * 1 ? / 8$ 12$ 22>1X221<

0$ A "*$ 0 -1<<2. , * C * , / $ 27$ 25<=X27>3

0*$ H " &$ K -1<:2. !* 8 , 0*$ +FA , "

0*$ H " &$ K -1<:5. " , 8 * $$ 1>3$ 2:=X4>>

&$ [ -1<54. ' * , , ) / ) $$ - 4>7 X 41=.

&$ K -1<:3. ** * , * /$ =1$ 73=X7=1

&$ K -1<:=. ' * , H" -.$ E2 / * / 9 ( &* $ ?

&$ K -1<:7. + , G * , ? / $ 4$ 114X1:>

&$ K -1<:7. 8 * , G* * , 1 $ 2>$ ::1X:<5

&$ K $ ) *

&$ K 0*$ H -1<:3. @ , * , , ) GH * . / - =>2X=>=.

&$ -1<=2. " * * , * * * / )$ 41$ 1><X11<

&$ "E$ R -1<51. % * , , * * * /$ 2:$ 3>2X3>:

- ELEOLRJUDIðD

&$ ( -1<:3. ' ( 0*# *$ , !G$ "* ,

&$ ( $ K -1<:3. , / / 8$ 32$ 1 X 1:

&$ K & -1<5:. * * , * E * /$ 4=$475 X 4:5

&O$ -1<<4. , -.$ ) * ? 1 * / 1/ D / /, - 124 X 14>.B+ "F , B+ A* 0 * (

" $ ' -1<<:. F % ( 0*# *$ 0

" $ '$ ' $ "$ $ $ $ ' -1<<<. !** , * 9 $1 /

"*+0 $ -1<73. L * *\ 1 8 $ 12$ 441X4=1

"*+0 $ -1<:>. ; ? )$ 127$ * H* * "D $ %

"*+ 0 $ -1<:>. H* ;? ) " D %

"$ K ( -1<=<. ' , * !* & &23$ H"

" $ ( -1<:1. $ %

"$ ) -1<<4. !* , 8 , , 1 -.$ ) * ? 1* / 1/ D / /, -<7 X 11>. B+ "F , B+ A* 0 *(

ELEOLRJUDIðD

"* $ & # -1<52. * * /$ 2<$ =:2X=:4

"* $ & # -1<54. % , * 1 */ $ =$ 34<X33=

"**$ ; ($ # -1<7:. ;* 8 / .$ 1>=$ 232

"J$ ; -1<7>. M! %&, C : % % !* $ & " , 0

"$ K K$ K -1<:7. " , 1 $ 24$ :21X:3>

"$ K K$ K -1<:7. " 1 $ 24$ :31X:5<

"$ K ! $ & -1<:=. , / / 8$ 3:$1>1X11:

"$ K ?*$ ! -1<<:. 1 " D

"$ & K $ %E $ A $ $ ? ? -1<<:. 0 ,* * * , * 8 $1==$ 1:1 X 1<2

"*$ % -1<=4. " G , * , * * /$ 2>$ 2:5X2::

"$ -1<<2. ( "8 W !*

"$ -1<:=. 8 * )(> 3() ) * > 9 3 * $N > = !* $ "

"E$ R -1<51. % * , * 8/ 9$ :7$ 41X=5

"$ *$ K ( -1<:<. @G , *+ * * , 8 * /$ 24$ 1>>< X 1>2>

ELEOLRJUDIðD

"$ 0 -1<:2. )% L%% 0*# *$ 0 $ 0 5

"$ 0 -1<:4. ( * * * , ) /

"$ 0 -1<:7. L" .! * / $ * , *+ , *$ - 1<4X27<. "D $ %

" $ R$ D$ $ D*$ ) -1<<>. * 0

!*$ $ # -1<<7. "*E G * / ;$ 15-1:.$ 13:> X 13:2

!*E$ " AGEI$ " -1<=<. . * ) HGREF )G? $ 2

! $ !$ & -1<5>. . > . ?* 0*EC X " D $ %

!$ " A -1<73. * !* $H" & &71

!$ " A 0$ H K -1<55. , " A !$ K ? $ H K 0 -.$ / E2- 244X2=4.

!$ " A A$ -1<71. * , * , /$ =$ =:

D $ D -1<<4. / * ! ;

D$ ) B ;+*$ -1<<>. /$ =7$ =47

D$ ) B !*$ ) -1<<=. , , , 1 *)$ 11$ :57 X :<3

D$ ) B !*$ ) -1<<5. , 1 * )$ 12-1.$ 5< X <1

ELEOLRJUDIðD

A$ ; H$ % -1<=4. / * !* & 1:31$ ; ($ $ A

A*$ K -1<74. ** * , $$ 4>$ :=X<7

B $ ;$ $ K $ ' $ " -1<<:. ! , * *+ * H -.$ ) * > E /

B $ ;$ $ K $ ' $ " -1<<<. !6 *+ / & $ K #+$ ) % -.$ ) 1$ /% ?% 8 1F " H 6

BEG+$ ' ! $ & -1<<3. 8 /% 8 > $ G H )G ?

BEG+$ ' (,$ # -1<::. , * 1 ? / 8$ 25$ 115<X11:3

BEG+$ ' $ ! $ & ($ 0 $ 0$ '$ -1<<>. 0 G* F G $ 4=$ =>=X=22

BEG+$ ' $ ! $ & ($ !$ K -1<71. & * , * 1 ? / 8$ 4$27=X2<>

tratamiento numérico de los materiales compuestos · 2003. 10. 17. · materiales compuestos e....

Documents