transformada z francisco carlos calderón puj 2009
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Transformada Z
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2009
Objetivos
1.Definir la trasformada Z y estudiar algunas de sus propiedades.
2.Analizar sistemas discretos utilizando la transformada Z.
La transformada Z
nznx ny
nhnxny
kk
knxkhknhkxny
k
knzkhny
Sea La entrada a un SLIT, su salida
está determinada por:
Por lo tanto al reemplazar se obtiene:
La transformada Z
k
kn zkhzny
k
knzkhny
nzzHny
k
kzkhzH
Esta sumatoria de define como la trasformada Z de h[n].
La transformada Z
n
stts dtenTtnTxsX )()()(
Siendo Xs(s) la transformada de laplace de una señal muestreada mediante un tren de impulsos de periodo T
n
ts nTtnTxtx )()()(
)()( nTxnx t
n
snTts enTxsX )()(
sTez
n
nts znTxzX )()(
n
nznxzX )()(
La transformada Z
n
nznxzX )()(
0
)()(n
nznxzX
La transformada Z de una señal en tiempo discreto de define como:
Si la señal es causal, la transformada Z bilateral cambia a la transformada Z unilateral definida como:
zXnx
La transformada Z
n
nznxzX )()(
jerz
nj
n
enxX
)()(jez Si =>
n
njj ernxreX )(
n
njnj ernxreX )(
nj rnxFreX )(
Convergencia de la transformada ZPara que la transformada Z converja, es
necesario que la Transformada de Fourier de:
converja, por lo tanto la transformada Z, posea un intervalo de valores de z para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).
nrnx
Convergencia de la transformada Z
nuanx n 1 nuanx n
Hallar X(z). Hallar X(z).
az
z
azzX
11
1
az
az
z
azzX
11
1
az Con ROC
Ejemplo 2:
Con ROC
Propiedades de la ROC
i) La ROC de X(z) consiste de un “anillo” en el plano z centrado alrededor del origen.
ii)La ROC no contiene ningún polo.
iii) Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z = 0 ó z = . 1 zXnnx Z
11 zzXnnx Z zzXnnx Z 1
ROC = Todo el plano Z
ROC = Todo el plano Z, con excepción z=0
ROC = Todo el plano Z, con excepción z=
Propiedades de la ROC
iv) Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r0 también estarán en la ROC.
v) Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales 0 < |z| < r0 también estarán en la ROC.
Propiedades de la ROC
vi) Si x[n] es bilateral y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces ésta consistirá de un anillo en el plano z que incluya al círculo |z| = r0.
vii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito
Propiedades de la ROC
viii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, y si x[n] es derecha, entonces la ROC es la región en el plano z fuera del polo más alejado. Donde puede incluir o no a |z| = .
ix) Si la trasformada Z de x[n] es racional, y si x[n] es izquierda, entonces la ROC es la región en el plano z dentro del polo diferente de cero más interno. Donde puede incluir o no a z = 0.
Transformada Z inversa
dzzZXj
nx n 1
2
1
nj rreXFnx 1
22
1dereXrnx njjn
jerz
djzdejrdz j
Se acuerdan del teorema de los residuos???
Propiedades de la transformada Z • Linealidad:
• Desplazamiento de tiempo:
ZbYZaXnbynax Z ROCRR 21
00
nzzXnnx
ROC = R (Con posible adición o eliminación de cero o infinito.
Propiedades de la transformada Z• Escalamiento en Z
• Convolución zYzXnynx
ROCRR 21
00 z
zXnxz n
con ROC = |z0|R.
Propiedades de la transformada Z• Inversión en tiempo
• Conjugación
zXnx1
ROC = 1/R
zXnx
ROC = R.
Propiedades de la transformada Z• Diferenciación en e dominio de Z
• Teorema del valor inicial
dz
zdXznnx
ROC = R.
0,0 nnx 0lim xzXz
Si , entonces
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 8
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 10 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ