Capıtulo 1

Transformada de Laplace

La tranformada de Laplace (T.L) es un tipo especial de transformacion integral. En general,una transformada integral es una asociacion entre la funcion

Y (s) =

∫Iy(t)k(s, t)dt (1.1)

con la funcion y(t) para alguna funcion fija k llamada nucleo y algun rango fijo I de integracion.Para mas detalle ver [2].Como se indica en [1], las transformadas integrales responden a la pregunta: ¿que tanto se”parece” una funcion dada y(t) a una funcion estandar particular ?

En este curso, la transformada de Laplace la utilizamos principalmente en la resolucion deproblemas de valor incial para

L[y] = f(t) t > 0, (1.2)

con L operador diferencial con coeficientes constantes. Ya disponemos de herramientas paraestudiar este tipo de problemas, mediante el uso de la transformada de Laplace muchos re-sultados se pueden obtener de manera mas facil y directa. Otras aplicaciones las veremos enla ultima seccion.Para la presentacion de definiciones y propiedades de la T.L seguimos principalmente las ideasdadas en [1].

1.1. Definicion y ejemplos basicos.

En lo que sigue consideramos f(t) funcion real definida para todo t ≥ 0.

Definicion 1.1.1 La funcion F (s) Transformada de Laplace de la funcion f(t) se definepor

F (s) =

∫ ∞0

f(t)e−stdt (1.3)

para todo s > 0 (en el que converge la integral impropia).

1

Observacion 1.1.1 Es importante recordar que la integral impropia de la definicion de Trans-formada de Laplace debe interpretarse como:∫ ∞

0f(t)e−st dt = lım

b→∞

∫ b

0f(t)e−st dt

Y el resultado de esta integral es una funcion en la variable s lo que explica la notacionF (s) = L(f(t))

En relacion a (1.1), el nucleo en la T.L es la funcion k(s, t) = e−st y el rango de integracionI = [0,∞[.

Ejemplo 1.1.1 Por simplicidad comenzamos presentando la T.L de la funcion y(t) = 1.Directamente la integral

∫∞0 1 · e−stdt es divergente para todo s ≤ 0. Para s > 0 se tiene∫ ∞

01 · e−stdt = lım

b→∞

∫ b

01 · e−stdt = lım

b→∞−e−st

s

∣∣∣∣b0

= lımb→∞

(1

s− e−bt

s

)=

1

s.

De este modo, la transformada de Laplace de la funcion y(t) = 1 es la funcion F (s) =1

sdefinida para s > 0.

Conociendo la forma que tienen las soluciones de las EDOs homogeneas L[y] = 0 a conti-nuacion presentamos las transformadas de Laplace de las funciones e−at, t, sin bt, con a, bnumeros reales. Los casos restantes los completamos mas adelante con propiedades de estetipo de transformada integral.

Ejemplo 1.1.2 Calculemos la T.L de la funcion y(t) = e3t. Comenzamos buscando donde laintegral es divergente. De la forma

∫∞0 e−st · e3tdt =

∫∞0 e(3−s)tdt, si el exponente es positivo

la integral diverge. Por lo tanto F (s) no esta definida para s ≤ 3.Para s > 3 consideremos∫ ∞

0e3t · e−st =

∫ ∞0

e(3−s)tdt = lımb→∞

e(3−s)t

3− s

= lımb→∞

e(3−s)b

3− s− 1

3− s=

1

s− 3.

La T.L de la funcion y(t) = e3t es la funcion F (s) =1

s− 3con s > 3.

Observacion 1.1.2 De manera similar, para s > a la funcion F (s) =1

s− aes la T.L de la

funcion f(t) = e−at, con a ∈ R.

Asi, para s > −2 la funcion F (s) =1

s+ 2es la T.L de f(t) = e−2t. Notar que la T.L de la

funcion f(t) = 1 se obtiene considerando a = 0.Recuerde que en la definicion de la T.L utilizamos los valores de s para los cuales la integralen (1.3) sea convergente.

2

Ejemplo 1.1.3 Calculemos la T.L de la funcion y(t) = t, con t ≥ 0. En este caso utilizamosintegracion por partes. Para s > 0 se tiene∫ b

0t · e−stdt =

−be−bt

s+

1

s

∫ b

0e−stdt

=−be−bt

s− 1− e−bs

s2.

Por otra parte, para s > 0 se tiene lımb→∞ be−bs = 0. Por lo tanto∫ ∞

0t · e−stdt =

1

s2

Luego, para s > 0 la funcion Y (s) =1

s2es la T.L de y(t) = t.

Ejemplo 1.1.4 Como ultimo ejemplo en esta seccion, calculamos la T.L de y(t) = sin(2t).Nuevamente vamos a utilizar integracion por partes.∫ b

0e−st sin(2t)dt = −1

2(e−sb cos(2b)− 1)− s

2

∫ b

0e−st cos(2t)dt. (1.4)

De manera similar ∫ b

0e−st cos(2t)dt =

e−sb sin(2b)

2+s

2

∫ b

0e−st sin(2t)dt.

Reemplazando en (1.4)

s2 + 4

4

∫ b

0e−st sin(2t)dt =

1

2(1− e−sb cos(2b))− s

4e−bs sin(2b).

Considerendo s > 0 y tomando b→∞ finalmente obtenemos∫ ∞0

e−st sin(2t)dt =2

s2 + 22.

Luego, para s > 0 la funcion Y (s) =2

s2 + 22es la T.L de y(t) = sin(2t).

Remarcamos: De manera similar, para s > 0 la funcion Y (s) =a

(s2 + a2es la T.L de la

funcion y(t) = sin(at), con a ∈ R.

Remarcamos: No toda funcion y(t) permite definir una funcion en variable s por medio dela relacion (1.3). Un ejemplo se obtiene tomando la funcion y(t) = et

2, t > 0. Por el tipo de

crecimiento de esta funcion se tiene∫∞0 et

2−stdt es divergente para todo s ∈ R.

En relacion al comentario anterior, entregamos una definicion sobre funciones y(t) que nospermitara asegurar que existe 0 < s0 < ∞ tal que la integral en (1.3) es convergente paras > s0

3

Definicion 1.1.2 Se dice que f : [a, b] → R, es seccionalmente continua o continua portramos ssi

1. f es continua en todos los puntos del intervalo [a, b], salvo a lo mas en un numero finitode ellos.

2. Todos los puntos t0 de discontinuidad de f, son discontinuidades de tipo salto de lon-gitud finita, es decir, en los puntos de discontinuidades se tiene que los siguientes doslımites, existen:

lımt→ t−0

f(t) = f(t−0 ) ∈ R y lımt→ t+0

f(t) = f(t+0 ) ∈ R

Observacion 1.1.3 Para las funciones seccionalmente continuas o continua por tramos te-nemos que:

1. El salto de discontinuidad mide |f(t+0 )− f(t−0 )|

2. Si f(t+0 ) = f(t−0 ), entonces f es continua en t0. Si esto sucede en todos los puntos dediscontinuidad, significa que f es continua en el intervalo [a, b]. Por lo tanto, f continuaen [a, b] ⇒ f seccionalmente continua en [a, b].

3. Si f es seccionalmente continua en [a, b], entonces

∫ b

af(t) dt existe y es independiente

de los valores que toma f en los puntos de discontinuidad.

4. Si f y g son seccionalmente continuas en [a, b] con f(x) = g(x) ∀x excepto en los

puntos de discontinuidad, entonces

∫ b

af(t) dt =

∫ b

ag(t) dt.

Definicion 1.1.3 Se dice que f es seccionalmente continua en R+0 si f es seccionalmente

continua en [0, t0] ∀t0 > 0.

Definicion 1.1.4 Sea y(t) continua por tramos en [0,∞[. Diremos que es de orden expo-nencial si existen α, K constantes positivas tal que |y(t)| ≤ Keαt ∀t > 0.

Notamos: Sea y(t) de orden exponencial. Entonces se cumple∣∣∣∣∫ b

0y(t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

0|y(t)|e−stdt

Si |y(t)| ≤ Keαt para t > 0, entonces para todo b > 0 se tiene∣∣∣∣∫ b

0y(t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ K ∫ b

0e(α−s)tdt =

K

α− s(e(α−s)b − e(α−s)0).

Utilizandio criterio de comparacion y convergencia absoluta sobre integrales impropias, de ladesigualdad anterior se tiene

∫∞0 y(t)e−stdt es convergente para todo s > α. Luego, para toda

funcion de orden exponencial es posible definir su T.L.Para terminar esta seccion remarcamos que la transfomada de Laplace define una operacionque convierte una funcion y(t) en una funcion Y (s). Por lo general, se utiliza la letra L pararepresentar esta transformacion, es decir escribimos Y (s) = L[y] con Y (s) definida en (1.3).

4

Ejemplo 1.1.5 Las siguientes funciones son de orden exponencial:

1. f(t) = 1

2. f(t) = tn con n ∈ N

3. f(t) = eat con a ∈ R

4. f(t) = sen(at) con a ∈ R

5. f(t) = cos(at) con a ∈ R

6. f(t) = tn sen(at) con a ∈ R, n ∈ N

7. f(t) = ebt tn sen(at) con a, b ∈ R, n ∈ N

Ejemplo 1.1.6 Las siguientes funciones no son de orden exponencial:

1. f(t) = et2

2. f(t) =4

t2

3. f(t) = tg(t)

Teorema 1.1.1 Si f es seccionalmente continua y de orden exponencial en R+0 entonces

existe un valor a > 0 tal que f tiene T.L. para s > a.

Demostracion Como f es de orden exponencial, existen constantes positivas a,C tal que

|e−stf(t)| = e−st|f(t)| ≤ Ce−st eat = Ce−t(s−a)∫ ∞0|e−stf(t)| dt ≤

∫ ∞0

Ce−t(s−a) dt = lımb→∞

∫ b

0Ce−t(s−a) dt =

C

s− a

Por lo tanto, por criterio de comparacion para integrales impropias, la integral

∫ ∞0|e−stf(t)| dt

converge.

Observacion 1.1.4 El teorema anterior es una condicion suficiente pero no necesaria para la

existencia de la T.L. de una funcion. Vemos que existe la L(1√t), aunque la funcion f(t) =

1√t,

no es de orden exponencial pues tiene una discontinuidad en t = 0, claramente vemos que noexisten a,C ∈ R+ tal que t

12 ≤ Ceat. Vemos que

L(1√t) =

√π

s, t > 0.

5

1.2. Propiedades basicas.

Teorema 1.2.1 Si f es una funcion seccionalmente continua y de orden exponencial, en-tonces:

lıms→∞

L(f(t))(s) = lıms→∞

F (s) = 0

Demostracion Como |f(t)| ≤ Ceat ∀t > 0 se tiene:

|F (s)| =∣∣∣∣∫ ∞

0e−stf(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0

e−st |f(t)| dt ≤∫ ∞0

e−stCeat dt

luego |F (s)| ≤ C∫ ∞0

e−(s−a)t dt =C

s− a

por lo tanto lıms→∞

|F (s)| ≤ lıms→∞

C

s− a= 0 ⇒ lım

s→∞|F (s)| = 0

1.2.1. Linealidad

Sean f(t), g(t) tal que L[f ], L[g] existen para s > s0. Por lo tanto, para s > s0 se cumple

L[f + g] = L[f ] + L[g]L[c · f ] = cL[f ] con c ∈ R

Estos resultado (de linealidad) se obtiene utilizando algebra de lımites.

Ejemplo 1.2.1 Busquemos la T.L de la funcion f(t) = 2e−2t + 5 cos(8t).

Sabemos L[e−2t] =1

s+ 2para s > −2. Por otra parte, L[cos(8t)] =

s

s2 + 82para s > 0.

Luego L[2e−2t + 5 cos(8t)] = 2L[e−2t] + 5L[cos(8t)] =2

s+ 2+ 5

s

s2 + 82para s > 0.

1.2.2. Transformada de Laplace de la derivada.

Teorema 1.2.2 Consideremos y(t) es una funcion diferenciable por tramos y de orden ex-ponencial. Supongamos tambien que y′ es de orden exponencial, para todo t > 0. Entonces secumple:

L[y′] = sL[y]− y(0). (1.5)

La relacion anterior es valida para todo s tal que L[y] exista.

Para obtener el resultado dado en (1.5) consideramos integracion por parte.∫ b

0e−sty′dt = e−sby(b)− y(0) + s

∫ b

0e−sty(t)dt. (1.6)

6

Como y(t) es de orden exponencial, existen M, K constantes positivas tal que |y(t)| ≤ eMt

para t > K. Tomando s > M se cumple∣∣∣∣ lımb→∞

e−sby(b)

∣∣∣∣ ≤ lımb→∞

e−(s−M)b = 0.

Finalmente, como existe s0 > tal que L[y] esta definida para s > s0, utilizando algebra delımite en (1.6) se tiene∫ ∞

0e−sty′dt = s

∫ ∞0

e−sty(t)dt− y(0) para s > s0,

obteniendose el resultado dado en (1.5).

Ejemplo 1.2.2 Sea y(t) = t. Como y′(t) = 1 y sabiendo que se cumple L[1] = 1/s paras > 0, utilizando el resultado anterior se tiene L[1] = sL[t]− 0. Luego L[t] = 1/s2 para s > 0.

Ejemplo 1.2.3 Sea y(t) = sin(t). Sabemos L[y(t)] = 1/(s2 + 1) para s > 0. Como y′(t) =cos(t), utilizando el resultado anterior se tiene L[cos(t)] = sL(sin(t))− sin(0).Luego L[cos(t)] = s/(s2 + 1)

Remarcamos: De manera similar podemos obter la T.L de la n-esima derivada. Ejemplo:Bajo las condiciones necesarias

L[y′′] = L[(y′)′] = sL[y′]− y′(0)= s(sL[y]− y(0))− y′(0)= s2L[y]− sy(0)− y′(0)

Para que la realcion anterior sea valida debemos pedir que la funcion y′ sea de orden expo-nencial.

Teorema 1.2.3 Consideremos y(t), y′(t), . . . , y(n−1) de orden exponencial. Supongamos y(n)(t)existe para todo t > 0. Entonces se cumple

L[y(n)] = snL[y]− sn−1y(0)− sn−2y′(0)− · · · − y(n− 1)(0). (1.7)

La demostracion se obtiene por induccion. Aquı y(k) denota la derivada de orden k.

Nota Pareciera que para determinar las transformadas de Laplace de funciones, deberemoscalcular siempre integrales impropias. Esto no es ası: una de las ventajas que tiene la trans-formada de Laplace son sus variadas propiedades que estudiaremos a continuacion, y que nospermitiran hacer uso de las transformadas de funciones conocidas. Para ello, es convenientenotar que solo con la definicion, hemos construıdo la siguiente tabla de transformadas deLaplace:

7

f(t) F (s) = L(f(t))

11

ss > 0

t1

s2s > 0

tnn!

sn+1s > 0

sen(at)a

s2 + a2s > 0

cos(at)s

s2 + a2s > 0

eat1

s− as > a

Comentario: Sea f(t) continua en [0,∞[. Consideremos la funcion f(t) =∫ t0 f(v)dv. Por

medio del primer Teorema fundamenteal del calculo integral (ver [3] Cap. 5.7.) se cumpleh′ = f(t). A partir de lo anterior y utilizando el resultado en (1.7) se tiene

L[h′] = sL[h]− h(0).

Como h(0) = 0 se cumple L[h] = L[f(t)]/s para s > 0. Escribimos el resultado anterior comosigue:

L[∫ t

0f(v)dv

]=

1

sL[f(t)].

El resultado anterior puede facilitar y omitir algunos calculos por ejemplo fracciones parciales(Ver [3]).

Ejemplo 1.2.4 Obtener f(t) tal que L[f(t)] = 1/(s(s2+1)). Escribimos L[f(t)] = 1sL[sin(t)].

Por medio del resultado anterior se tiene f(t) =∫ t0 sin(v)dv, es decir, f(t) = 1− cos(t).

El comentario anterior se puede generalizar con el siguiente teorema, lo cual lo anterior es elcaso de a = 0:

Teorema 1.2.4 Si f es de orden exponencial, entonces

∫ t

af(v) dv es de orden exponencial

y se tiene que :

L[∫ t

af(v)dv

]=

1

sL[f(t)]− 1

s

∫ a

0f(v) dv

8

1.3. Aplicacion a problemas de valor inicial (primera parte).

Por medio de las propiedades basicas que se acaban de presentar ya estamos en condicionesde presentar la aplicacion principal de la T.L.

Comencemos con el siguiente problema de valor inicial

dy

dt= 5y + 7e3t, y(0) = 2. (1.8)

De la igualdad se debe cumplir

L[dy

dt

]= 5L[y] + 7L[e3t].

Utilizando la condicion y(0) = 2 y el Teorema 1.2.2 obtenemos L[dy

dt

]= sL[y]− 2. Luego

sL[y]− 5L[y] = 2 + 7/(s− 3).

Notamos que resolver (1.8) se reduce a buscar una funcion y(t) tal que su T.L sea de la forma

2

s− 5+

7

(s− 5)(s− 3).

Utilizando fracciones parciales (ver [3] capıtulo 7) se tiene

1

(s− 5)(s− 3)=

1

2(s− 5)− 1

2(s− 3).

De lo anterior, buscamos y(t) tal que

L[y(t)] =11

2(s− 5)− 7

2(s− 3).

Sabemos L[e5t] = 1/(s − 5) y L[e3t] = 1/(s − 3). Utilizando las propiedades de linealidad setiene

L[11e5t/2− 7e3t/2] =11

2(s− 5)− 7

2(s− 3).

Luego y(t) =11e5t

2− 7e3t

2, t > 0 es la solucion de (1.8).

1.3.1. Inversa

En el ultimo paso del resultado anterior no fuimos muy cuidadosos. Debemos tener presenteque dos funciones distintas pueden tener la misma T.L. Basta tomar dos funciones f(t), g(t)que coicidan en [0,∞[ salvo en t0 > 0. Como la T.L se define por medio de una integral estadiferencia no se alcanza a notar.

Vemos que la aplicacion L no es inyectiva, puesto que si f, g son dos funciones que poseenT.L. y que difieren en un numero finito de puntos, entonces sus respectivas transformadascoinciden. Por lo tanto:

L(f) = L(g) ; f(t) = g(t)

Por lo tanto, L no es inyectiva. Sin embargo, tenemos el siguiente teorema

9

Teorema 1.3.1 Sean f, g funciones tales que L(f) = L(g). Entonces, f(t) = g(t) ∀t > 0,excepto a lo mas en un numero finito de puntos de discontinuidad.Esto nos permite y facilita el calculo de la T.L. de funciones como el de sus inversas.

Definimos lo que entenderemos por tranformada de Laplace inversa.

Definicion 1.3.1 Consideremos Y (s) definida en ]s0,∞[ y y(t) definida en [0,∞[ funciones.Asumimos y(t) continua. Diremos que y(t) es la tranformada de Laplace inversa deY (s) si se cumple

L[y(t)] = Y (s) para s > s0.

La notacion para esta relacion es la siguiente L−1[Y (s)] = y(t) y esta bien definida (comotransformada) solo si y(t) es continua.

Remarcamos: Si L−1 esta bien definida corresponde ser una transformacion lineal. Esto esuna consecuencia directa de la linealidad de la T.L.

Si volvemos al P.V.I (1.8) se tiene y(t) = L−1[ 2

s− 5+

7

(s− 5)(s− 3)].

Ejemplo 1.3.1 Resolver el P.V.I

dy

dt= 10y + 3t, y(0) = 6. (1.9)

Utilizando T.L obtenemos

L[y(t)] =−6

s− 10+

3

s2(s− 10).

De la definicion de la T.L inversa, buscamos y(t) tal que

y(t) = L−1[−6

s− 10+

3

s2(s− 10)

].

Por linealidad tenemos

y(t) = −6L−1[

1

s− 10

]+ 3L−1

[1

s2(s− 10)

].

Por otra parte1

s2(s− 10)=

1

100(s− 10)− 1

100s− 1

10s2.

Buscamos y(t) tal que:

y(t) =600

100L−1

[1

s− 10

]− 3

100L−1

[1

s

]− 3

10L−1

[1

s2

].

Por separado tenemos

L−1[

1

s− 10

]= e10t, L−1

[1

s

]= 1, L−1

[1

s2

]= t.

Luego y(t) =603

600e10t − 3

100− 3t

10. es la solucion de (1.9).

10

Teorema 1.3.2 Sea Y (s) = L(f), entonces L[tf(t)] = −dY (s)

dsDemostracion

dY (s)

ds=

d

ds

∫ ∞0

f(t)e−st dt =

∫ ∞0

f(t)d e−st

dsdt = −

∫ ∞0

t f(t) e−st dt = −L[tf(t)]

Corolario 1.3.1 Sea Y (s) = L(f), entonces L[tnf(t)] = (−1)ndnY (s)

dsn

Ejemplo 1.3.2

L−1(

s

(s2 + 4)2

)=

vemos que se cumple qued

ds

(2

s2 + 4

)= − 4s

(s2 + 4)2⇒ L−1

(s

(s2 + 4)2

)=sen(2t)

4

Ejemplo 1.3.3

L−1[ln

(s+ 1

s+ 4

)]=

claramente vemos que Y (s) = ln

(s+ 1

s+ 4

)= ln(s+ 1)− ln(s+ 4)

dY

ds=

1

s+ 1− 1

s+ 4⇒ L−1

[dY

ds

]= e−t − e−4t = −ty(t) ⇒ y(t) =

−e−t + e−4t

t, t > 0

Por otro lado tenemos que lımt→0+

−e−t + e−4t

t= lım

t→0+(e−t − 4 e−4t) = −3 aplicando la regla

de L´Hopital, por lo tanto, la funcion continua es y(t) =

−3 si t = 0

e−4t − e−t

tsi t > 0

1.4. Propiedades de la transformada de Laplace y algunos re-sultados basicos.

1.4.1. Desplazamiento sobre el eje t.

Teorema 1.4.1

Sea g(t) = u(t− a) f(t− a) =

0 si t ≤ a

f(t− a) si t > a, a ≥ 0

una funcion continua por tramos de orden exponencial. Entonces

L[g] = e−as L[f ].

11

Sea g(t) = ua(t) · f(t− a). Calculamos

L[g(t)] =

∫ ∞0

ua(t)f(t− a)e−stdt =

∫ ∞a

f(t− a)e−stdt.

Utilizamos la sustitucion y = t − a. Se tiene dt = dy, si t = a entonces y = 0 y t → ∞entonces y →∞. Luego

L[g(t)] =

∫ ∞0

f(y)e−s(y+a)dy = e−as∫ ∞0

f(y)e−sydy

= e−asL[f(t)]

Teorema 1.4.2

Sea g(t) = u(t− a) f(t) =

0 si t ≤ a

f(t) si t > a, a ≥ 0

una funcion continua por tramos de orden exponencial. Entonces

L[g] = e−as L[f(t+ a)].

Sea g(t) = ua(t) · f(t). Calculamos

L[g(t)] =

∫ ∞0

ua(t)f(t)e−stdt =

∫ ∞a

f(t)e−stdt.

Utilizamos la sustitucion y = t − a. Se tiene dt = dy, si t = a entonces y = 0 y t → ∞entonces y →∞. Luego

L[g(t)] =

∫ ∞0

f(y + a)e−s(y+a)dy = e−as∫ ∞0

f(y + a)e−sydy

= e−asL[f(t+ a)]

Ejemplo 1.4.1

L[u(t− π)sent] = e−πsL[sen(t+ π)] = e−πsL[−sent] = − e−πs

s2 + 1

por otro lado,

L[u(t− π)sen(t− π + π)] = L[u(t− π)(−sen(t− π)] = −e−πsL[sent] = − e−πs

s2 + 1

1.4.2. Desplazamiento sobre el eje s.

Comencemos con el siguiente problema

Ejercicio 1.4.1 Obtener L−1[2/(s2 + 2s+ 10)].

12

Para este problema tenemos Y (s) = 3/(s2 + 2s + 10) = 3/((s + 1)2 + 32). Por otra parte,tenemos L[sin(3t)] = 3/(s2 + 9). Notamos que por medio de un traslado podemos relacionarambas funciones.

En terminos generales este tipo de problemas los podemos abordar de la siguiente manera:Consideremos y(t) con transformada de Laplace Y (s). De la defincion

L[eaty(t)] =

∫ ∞0

eaty(t)e−stdt =

∫ ∞0

y(t)e−(s−a)tdt

Tomando la sustitucion s′ = s− a obtenemos

L[eaty(t)] =

∫ ∞0

y(t)e−s′tdt = Y (s′) = Y (s− a).

De este modo se tiene:

Teorema 1.4.3 Sea f una funcion continua por tramos y de orden exponencial. Sea F (s) latransformada de Laplace de f , y sea c una constante. Entonces:

Si L[f(t)] = F (s), entonces L[eatf(t)] = F (s− a)

Volviendo al Ejercicio, por medio del resultado anterior tenemos:

L[sin(3t)] = 3/(s2 + 9), entonces L[eat sin(t)] = 3/((s− a)2 + 9).

Tomando a = −1 se obtiene el resultado. Luego L−1[3/((s+ 1)2 + 9)] = e−t sin(3t).

1.4.3. Multiplicacion por t.

Como mencionamos en la introduccion, la idea de presentar la T.L es estudiar (resolver)P.V.I para (1.2). A partir de los ejemplos que hemos presentado notamos que el desafıo fi-nal es obtener T.L. inversas. Para que los calculos sean mas directos necesitamos de maspropiedades.Por ejemplo, para buscar L−1[s/(s2 + 4)2] podemos utilizar fracciones parciales pero el resul-tado puede ser mas directo. En relacion a lo anterior presentamos el siguiente resultado sobreT.L.

Teorema 1.4.4 Sea F (s) transformada de Laplace de f(t), entonces L[t · f(t)] = −dFds

.

El resultado lo podemos obtener por calculo formal como sigue:

dY

ds=

∫ ∞0

y(t)∂e−st

∂sdt

= −∫ ∞0

t · y(t)e−stdt

= −L[t · y(t)]

13

En terminos rigurosos necesitamos de resultados de convergencia que no tenemos en este curso.No es el interes de este curso ser tan detallista y en los casos que utilizamos este resultado setienen todas las hipotesis necesarias para que sea cierto lo que estamos obteniendo, luego, nonos preocupemos mas de la cuenta.

Volvamos al problema L−1[s/(s2 + 4)2]. Notamos que se cumple

d

ds

(1

s2 + 4

)=

−2s

(s2 + 4)2.

Por otra parte L−1[1/(s2 + 4)] = sin(2t)/2. Luego, se tiene L−1[s/(s2 + 4)2] = tsen(2t)/4.

1.4.4. Sobre funciones periodicas

Consideremos y(t) funcion periodica con periodo T > 0, es decir, y(t + T ) = y(t) para todot ≥ 0. De la definicion tenemos

L[y(t)] =

∫ ∞0

y(t)e−stdt

=

∫ T

0y(t)e−stdt+

∫ ∞T

y(t)e−stdt

(1.10)

Consideramos η = t − T . Por lo tanto se tiene: dη = dt; si t = T entonces η = 0; si t → ∞entonces η →∞.Utilizando la periodicidad de y(t) se obtiene∫ ∞

Ty(t)e−stdt =

∫ ∞0

y(η + T )e−s(η+T )dη

= e−sT∫ ∞0

y(η)e−eηdη = e−sTL[y(t)]

Reemplazando en (1.10) y resolviendo para L[y(t)] obtenemos

L[y(t)] =1

1− e−sT

∫ T

0y(t)e−stdt para s > 0. (1.11)

1.4.5. Ejercicios.

Terminamos esta seccion con algunos ejercicios.

Ejercicio 1.4.2 Obtener L−1[3e−5s/(s2 + 2s+ 10)].

Del Ejercicio (1.4.1) tenemos L[e−t sin(3t)] = 3/(s2 + 2s+ 10). Luego

3e−5s

s2 + 2s+ 10= e−5sL[e−t sin(3t)].

14

Sea y(t) = e−t sin(3t). Utilizando el Resultado se tiene

L−1[e−5s/(s2 + 2s+ 10)] = u5(t) · y(t− 5),

y por lo tantoL−1[e−5s/(s2 + 2s+ 10)] = u5(t) · e−(t−5) sin(3(t− 5)).

Ejercicio 1.4.3 Obtener L−1[ln

(s2 + 1

s2 + 4

)].

Claramente la funcion Y (s) = ln((s2 + 1)/(s2 + 4)) no se parece en nada a las T.L. quehemos presentado (todas funciones racionales en s). Para abordar este problema comenzamosescribiendo Y (s) = ln(s2 + 1) − ln(s2 + 4) (bajo las condiciones necesarias para que ambasfunciones reales existan). Por lo tanto tenemos

dY

ds=

2s

s2 + 1− 2s

s2 + 4.

Sabemos L−1[2s/(s2 + 1)] = 2 cost y L−1[2s/(s2 + 4)] = 2 cos(2t). Por linealidad tenemos

L−1[dY

ds

]= 2 cost− 2 cos(2t),

Si y(t) = L−1[Y (s)], por lo anterior, la funcion y(t) se debe relacionar con 2 cost− 2 cos(2t).Especıficamente tenemos:

L[2 cost− 2 cos(2t)] =dY

ds= −L[t · y(t)],

es decir t · y(t) = 2 cost− 2 cos(2t). Para obtener y(t) debemos despejar, lo cual es valido solopara t > 0. Por otra parte tenemos

lımt→0

(2 cost− 2 cos(2t))′

(t)′= lım

t→0−2sent+ 4sen(2t) = 0.

Aquı f ′ indica derivada de la funcion f . Luego, por regla de L’Hopital se tiene

lımt→0

2 cost− 2 cos(2t)

t= 0.

Por lo tanto la funcion continua

y(t) =

0 si t = 02 cost− 2 cos(2t)

tsi t > 0

satisface y(t) = L−1[ln((s2 + 1)/(s2 + 4))].

15

Ejercicio 1.4.4 Considere y(t) = sin t/t para t > 0 y y(0) = 1. Hallar Y (s) = L[y(t)].

Para g(t) = t · y(t), tenemos L[g(t)] = −dYds

. Como g(t) = sin(t), entonces

dY

ds= − 1

1 + s2.

De este modo Y (s) = Y (0)−arctan(s). Por otra parte, la funcion y(t) es de orden exponencial,por lo tanto se debe cumplir lım

s→∞Y (s) = 0. Como lım

s→∞arctan(s) = π/2, entonces Y (0) = π/2.

Luego L[y(t)] = π/2− arctan(s)

Ejercicio 1.4.5 Calcular la T.L de la onda cuadrada

w(t) =

{1 si 2n ≤ t < 2n+ 1 para algun entero n−1 si 2n+ 1 ≤ t ≤ 2n+ 2 para algun entero n

Notamos que w(t) es periodica con periodo T = 2. Comenzamos calculando∫ 2

0w(t)e−stdt =

∫ 1

0e−stdt+

∫ 2

1(−1)e−stdt

= −1

s

((e−1·s − e0)− (e−2·s − e−1·s)

)=

e−2s − 2es + 1

s=

(e−2s − 1)2

s.

Utilizando (1.11) se tiene

L[w(t)] =1− e−2s

s, para s > 0.

Para terminar esta seccion consideremos el siguiente P.V.I.Resolver

dy

dt= 5y + f(t), y(0) = 4, (1.12)

con f(t) funcion discontinua definida como sigue

f(t) =

{0 si 0 < t < 38 si t ≥ 3

Notamos que la EDO la podemos estudiar para 0 < t < 3 y luego para t > 3. La idea esacortar los calculos y tener resultados que ayuden a obtener T.L. de funciones definidas portramos.

1.5. Transformada de Laplace de funciones discontinuas.

Consideremos la siguiente EDO de segundo orden

d2y

dt2+ y = f(t).

16

Para f(t) = 0 se tiene la EDO asociada al oscilador armonico no amortiguado. Para f(t)arbitrario, lo podemos entender como un agente externo reflejado en la modelacion. Si pen-samos que el agente externo comienza actuar a partir de t = t0 > 0, no es sorprendente quela funcion f(t) sea discontinua.

El objetivo en esta seccion es entregar herramientas de tal modo que para ciertas f(t) discon-tinuas el uso de la T.L. sea directo.

1.5.1. Transformada de Laplace de la funcion Heaviside(funcion escalon).

Para a ≥ 0, la funcion

ua(t) = u(t− a) =

{0 si t < a1 si t ≥ a

es llamada funcion Heaviside o funcion escalon. Otras notaciones para esta funcion son lassiguientes: µa(t); µ(t − a). Pueden haber otras pero estas son las notaciones mas frecuentes.Las funciones escalones pueden ser utilizadas para modelar el encendido de un interruptor.

Comenzamos obteniendo la T.L de estas funciones escalones unitarios.

L[ua(t)] =

∫ a

0ua(t)e

−stdt+

∫ ∞a

ua(t)e−stdt.

De la definicion la primera integral toma el valor cero. Por otra parte, para t ≥ a se tieneua(t) = 1, por lo tanto

L[ua(t)] =

∫ ∞a

e−stdt

= lımb→∞

∫ b

ae−stdt

= lımb→∞

e−as

s− e−sb

s.

(1.13)

Para s > 0 se tiene L[ua(t)] =e−as

s.

Volvamos al PVI (1.12). Directamente se tiene

sL[y]− 4 = 5L[y] + 8e−3s

s.

Por lo tanto

y(t) = −4L−1[

1

s− 5

]+

8

5L−1

[e−3s

1

s− 5

]− 8

5L−1

[e−3s

1

s

].

L−1[

1

s− 5

]= e5t; L−1

[e−3s

1

s

]= u3(t); L−1

[e−3s

1

s− 5

]= e5(t−3)u3(t)

y por lo tanto

y(t) = 4e5tu0(t)−8

5u3(t) +

8

5u3(t) · e5(t−3)

17

1.6. Delta de Dirac (funcion Impulso)

En esta parte introducimos una ”funcion”que puede ser utilizada para modelar forzamientosinstantaneos, por ejemplo el golpe de un martillo.

Definicion 1.6.1 Sea a > 0 una constante, y considere la funcion

δa(t) =

1

2asi −a ≤ t ≤ a

0 si t < −a o t > a

Note que ∀a > 0 : ∫ ∞−∞

δa(t) dt = 1

Se define la ”funcion”Delta de Dirac o funcion Impulso a aquella dada por:

δ(t) = lıma→0

δa(t)

Propiedades:

1. δ(t) = 0, ∀t 6= 0 y δ(t)→∞ para t = 0.

2.

∫ ∞−∞

δ(t) dt = 1

3. L(δ(t)) = 1

En efecto L(δ(t)) = lıma→0L(δa(t)) = lım

a→0

(eas − e−as

2as

)= 1

4.

∫ ∞−∞

f(t) δ(t) dt = f(0)

∫ ∞0

f(t) δ(t) dt = f(0)

5. L(f(t) δ(t)) = f(0)

Podemos generalizar la Delta de Dirac o funcion Impulso recien definida centrada en 0, a uncentro cualquiera c > 0 :

Definicion 1.6.2 Sea a, c > 0 constantes tal que c ≥ a, y considere la funcion

δa(t− c) =

1

2asi c− a ≤ t ≤ c+ a

0 si t < c− a o t > c+ a

Note que ∀a > 0 : ∫ ∞−∞

δa(t− c) dt = 1

Se define la ”funcion”Delta de Dirac o funcion Impulso a aquella dada por:

δ(t− c) = lıma→0

δa(t− c)

18

Propiedades:

1. δ(t− c) = 0, ∀t 6= c y δ(t)→∞ para t = c.

2.

∫ ∞−∞

δ(t− c) dt = 1

3. L(δ(t− c)) = e−cs

En efecto L(δ(t− c)) = lıma→0L(δa(t− c)) = lım

a→0

(e−cs

eas − e−as

2as

)= e−cs

4.

∫ ∞−∞

f(t) δ(t− c) dt = f(c)

∫ ∞0

f(t) δ(t− c) dt = f(c)

5. L(f(t) δ(t− c)) = e−csf(c)

Consideremos el siguiente sistema masa resorte amortiguado con forzamiento f(t):

d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 10y = δ(t− 5), (1.14)

con un forzamiento instantaneo en el instante de tiempo t = 5, De este modo, seguimostrabajando con el problema

L[d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 10y

]= e−5s

Como y(0) = y′(0) = 0, entonces tenemos:

L[y(t)] =e−5s

(s+ 1)2 + 32

De este modo:

y(t) =u5(t)

3

(e−(t−5)sen(3(t− 5))

)Remarcamos: La funcion y(t) no puede estar satisfaciendo una EDO en todo t > 0 ya queno es diferenciable en t = 5. Recordemos tambien que fue justo en ese momento donde sesaco del reposo al sistema.

19

1.7. Producto convolucion.

A continuacion una definicion que puede ser relacionada con la seccion pasada sobre el deltade Dirac.

Comencemos con un ejemplo. Supongamos que deseamos buscar

L−1 [Y (s)] , con Y (s) =3

(s2 + 9)(s+ 4).

Dejemos por un momento las fracciones parciales.Notamos Y (s) = L[sin(3t)] · L[e−4t]. Es tentador pensar L−1[Y (s)] = sin(3t) · e−4t. La funcionL−1[Y (s)] se relaciona con las funciones sin(3t), e−4t pero no corresponde ser el productoentre estas. Necesitamos de otro tipo de producto entre funciones. Ademas que

2

s3= L(t2) 6= L(t) · L(t) =

1

s2· 1

s2=

1

s4

Definicion 1.7.1 Sean f, g funciones definidas para t ≥ 0. La convolucion f ∗ g entref(t), g(t) es la funcion definida por:

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0f(t− η)g(η)dη

Ejemplo 1.7.1 Sean f(t) = sin(3t), g(t) = e−4t. De la definicion se tiene

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0sin(3(t− η))e−4ηdη

Utilizando cambio de variables u = t− η se tiene

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0sin(3u)e−4(t−u)du

= e−4t∫ t

0sin(3u)e4udu

=1

25(4 sin(3t)− 3 cos(3t)) +

3

25e−4t

Comentario: Utilizando cambio de variables en la integracion directamente se tiene

(f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t).

Remarcamos: Para f(t) = sin(3t), g(t) = e−4t estudiemos ahora L[(f ∗ g)]. Por definicion

20

tenemos:

L[(f ∗ g)] =

∫ ∞0

(1

25(4 sin(3t)− 3 cos(3t)) +

3

25e−4t

)· e−stdt

=4

25L[sin(3t)]− 3

25L[cos(3t)] +

3

25L[e−4t]

=3

25

(4

s2 + 9− s

s2 + 9+

1

s+ 4

)

=3

(s2 + 9)(s− 4)

= L[sin(3t)] · L[e−4t]

De manera general se tiene:

Resultado 1.7.1 Sean f(t), g(t) funciones con transformadas de Laplace F (s), G(s) respec-tivamente. Entonces L[f ∗ g] = F (s) ·G(s).

Para la obtencion del resultado anterior necesitamos de integrales dobles (impropias) materiaque veremos en el proximo curso. Por el momento solo utilizamos el resultado.Volviendo al delta de Dirac se tiene

L[δ0 ∗ f(t)] = L[δ0] · L[f(t)]

=e−0s

s· L[f(t)]

Utilizando L−1[e−t0sL[f(t)]]/s = ut0(t)f(t− t0), obtenemos

(δ0 ∗ f)(t) = f(t).

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Bibliografıa

[1] P.Blanchard, R.Devaney, G.Hall, Ecuciones diferenciales, International Thomson Editores,1999.

[2] J.Marsden, M.Hoffman, Analisis clasico elemental, Adisson-Wesley Iberoamerica, S.A.1998.

[3] S. Stein, A. Barcellos, Calculo y geometrıa analıtica (Vol1) quinta edicion, McGRAW-HILL, 1995.

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