transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2d
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Las diapositivas muestran ejemplos sobre transformaciones lineales en 2D, en específico, la reflexión y la rotación. Estas representaciones matriciales tienen una gran aplicabilidad en las matemáticas y su entendimiento facilita la comprensión para otros espacios vectoriales.TRANSCRIPT
Transformaciones Lineales-Reflexión y Rotación en R2-
Representación Matricial
José Luis MoralesUniversidad de América Latina
UDAL
Introducción a las Transformaciones Lineales
• Son funciones que transforman (o mapean) un espacio vectorial V en un espacio vectorial W. este tipo de función se denota por: T:VW.
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REFLEXION
Castillo de Urquhart.El Lago Ness, Escocia [1]
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-REFLEXIÓN
• Reflexión respecto al eje x• Reflexión respecto al eje y
y
x
(x,y)(-x,y)y
x
(x,y)
(x,-y)
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-REFLEXIÓN
[−1 00 1] [𝑥𝑦 ]=[−𝑥𝑦 ]
[−1 00 1] [34 ]=[ (−1 ) (3 )+(0)(4)
(0 ) (3 )+(1)(4) ]
[−1 00 1] [−34 ]=[34]
Reflexión respecto al eje y
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con respecto al eje y
[−1 00 1] [34 ]=[−34 ]
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se llega al vector inicial
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-REFLEXIÓN
[1 00 −1] [𝑥𝑦 ]=[ 𝑥−𝑦 ]
[1 00 −1] [34 ]=[ 3−4 ]
[1 00 −1] [ 3−4]=[34 ]
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con respecto al eje x
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se llega al vector inicial
[1 00 −1] [34 ]=[ (1 ) (3 )+(0)(4)
(0 ) (3 )+(−1)(4)]
Reflexión respecto al eje x
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-REFLEXIÓN
[−1 00 −1] [𝑥𝑦 ]=[−𝑥− 𝑦 ]
[−1 00 −1] [34 ]=[−3−4 ]
[−1 00 −1] [−3−4 ]=[34 ]
[−1 00 −1] [34 ]=[ (−1 ) (3 )+(0)(4 )
(0 ) (3 )+(−1)(4 )]
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con respecto a la recta y=-x
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se llega al vector inicialReflexión respecto a la recta y=-x
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-REFLEXIÓN
[0 11 0 ][𝑥𝑦 ]=[𝑦𝑥 ]
[0 11 0 ][34]=[43 ]
[0 11 0 ][43 ]=[34 ]
[0 11 0 ][34]=[ (0 ) (3 )+(1)(4)
(1 ) (3 )+(0)(4)]
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la reflexión con respecto a la recta y=x
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Tomando ahora el vector reflejado, se llega al vector inicial
Reflexión respecto a la recta y=x
ROTACION
Autor: Escher [2]
Matrices Elementales de Transformaciones Lineales en el Plano-ROTACIÓN
[ c os𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃 c os𝜃 ][𝑥𝑦 ]=[𝑥 ′𝑦 ′ ]
Rotación en 2D [− 12 − √32
√32
−12
] [34 ]≅ [−4.960.6 ]
[− 12 −√32
√32
−12
] [34 ]=[(− 12 )(3 )+(− √32
)(4)
(√32 ) (3 )+(− 12)(4) ]
Ejemplo: sea v=(3,4) aplique la rotación para =120°
Sustituyendo y realizando operaciones
Se obtiene (ver gráfico)
Nota: para regresar a la posición inicial aplicar la operación otras dos veces al vector
Referencias
• Grossman, S.L. (2011). Matemáticas 4, Álgebra Lineal. México, D.F.: McGraw-Hill
• Lay, D.C. (2006). Linear Algebra and its applications. United States of America. Pearson Addison Wesley
• Poole, D. (2011). Álgebra Lineal, Una introducción moderna. México, D.F.: Cengage Learning
• Williams, G. (2008). Linear Algebra with applications. United States of America. Jones and Bartlett Publishers
• 1. Imagen tomada de la página www.sobreturismo.es• 2. Imagen tomada de www.marvin.com.mx