UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

VICE-RECTORADO ACADEMICO

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Ingeniería

ALGEBRA LINEAL

Actividad N°4 5%

Nombres y Apellidos:____ Victor Jose Santeliz Salcedo_____ CI:_24157864 ___

Seccion:________________________ Fecha:___09/02/2015___________

Facilitador: Prof. José E. Linárez

Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y

enviarlos al link correspondiente hasta el 09/02/2015 pueden enviarlas utilizando

cualquier argumento, escaneo, Word, entre otros.

1. Sea 𝑇: 𝑅2 → 𝑀3𝑥1(𝑅) definida por 𝑇(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏

2𝑎−𝑏

)Determine si t es lineal. 5

puntos.

Sean:

𝑢 = (𝑎1, 𝑏1) ∈ 𝑅2 ∧ 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2) ∈ 𝑅2, 𝛼𝜖𝑅

Entonces: 𝑢 + 𝑣 = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) ∧ α𝑢 = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1)

i. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) = (

(𝑎1 + 𝑎2) + 2(𝑏1 + 𝑏2)

2(𝑎1 + 𝑎2)

−(𝑏1 + 𝑏2))

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (

(𝑎1 + 2𝑏1) + (𝑎2 + 2𝑏2)2𝑎1 + 2𝑎2

−𝑏1 − 𝑏2

)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (𝑎1 + 2𝑏1

2𝑎1

−𝑏1

) + (𝑎2 + 2𝑏2

2𝑎2

−𝑏2

)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑎1, 𝑏1) + 𝑇(𝑎2, 𝑏2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

Por tanto se cumple la primera condición.

ii. 𝑇(𝛼𝑢) = 𝑇(𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1) = (𝛼𝑎1 + 2𝛼𝑏1

𝛼𝑎1

−𝛼𝑏1

)

𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼 (𝑎1 + 2𝑏1

2𝑎1

−𝑏1

)

𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑎1, 𝑏1)

𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢)

Por tanto se cumple la segunda condición.

De i y ii T es una transformación lineal.

2. Determinar si 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3 dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 𝑧2) es una transformación

lineal. 4 puntos

Contra ejemplo:

Sean:

𝑢 = (1, 3, −2) ∈ 𝑅2 ∧ 𝑣 = (3, −4, 1) ∈ 𝑅2, entonces:

𝑢 + 𝑣 = (1 + 3, 3 − 4, −2 + 1) = (4, −1, −1)

𝑇(𝑢) = 𝑇(1, 3, −2) = (1,0, (−2)2) = (1 ,0, 4)

𝑇(𝑣) = 𝑇(3, −4, 1) = (3, 0, 12) = (3 ,0, 1)

𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = (1 ,0, 4) + (3 ,0, 1) = (1 + 3 ,0 + 0, 4 + 1)

𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = (4 ,0,5)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(4, −1, −1) = (4, 0, (−1)2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (4, 0, 1) ≠ (4 ,0,5)

𝑇(𝑢 + 𝑣) ≠ 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

De lo anterior T no es una transformación lineal.

Profesor: José E Linárez