proposiciones saia, uft
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD FERMINTORO
DECANATO DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MANTENIMIENTO MECANICO
PROPOSICIONES.
FRANK PEREZ
C.I. 6.603.128
PROPOSICIONES.
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto
a ser calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas
cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
1: Verdadero
0: Falso
Ejemplos:
Los siguientes enunciados son proposiciones:
Coro es un municipio de Miranda (falso).
Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero).
El hidrógeno es un gas (verdadero).
Algunos estudiantes son universitarios (verdadero).
Todo estudiante es universitario (falso).
Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s,
t, ya que las letras mayúsculas las usaremos para denotar los
conjuntos.
Ejemplos:
P: La matemática es una ciencia.
q: 2 es un número impar.
r: mañana es 27 de junio.
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual
denotaremos por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera;
y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones anteriores,
podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.
Operaciones Veritativas.
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos
diremos que es una proposición atómica o simple; y en el
caso contrario, diremos que es una
proposición molecular o compuesta.
Ejemplos de Proposiciones Atómicas
-Coro es un municipio de Miranda.
-Los estudiantes de UFT son aplicados.
-El oxígeno es un gas.
-Algunos estudiantes es indagador.
-Todo estudiante universitario es inteligente.
A continuación daremos una tabla de los conectivos que se
usarán y la operación que se realiza con cada uno de ellos
para formar nuevas proposiciones. Estas operaciones son
llamadas operaciones veritativas. Aquí g y t representan dos
proposiones cualesquiera.
CONECTIVO OPERACIÓN SIMBOLICAMENTE SE LEE
¬ NEGACION ¬ gNO g o NO ES CIERTO
g^ CONJUNCION g ^ t g y tv DISYUNCION g v t g o t
--> CONDISIONAL g --> t g implica t
<-->BICONDISIONA
L g <--> t g si y solo si t
vDISYUNCION EXCLUSIVA g _v_ t o g o t
Los Conectivos Logicos.
La Negación.
Tabla de verdad de los conectivos logicos
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición
identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p",
"es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación
de dicha proposición.
P ¬P p q1 0 V F0 1 F V
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es
verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa.
Ejemplo
Si p es la proposición.
P: Barcelona es un estado Oriental.
Entonces su negación se puede expresar de las siguientes
formas:
~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.
~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.
~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
~ p: De ninguna manera Barcelona es un estado Oriental.
La Conjunción.
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de
p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor
lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:
p q P ^ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Ejemplo
Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
r: Miranda nació en Coro.
Entonces
1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió
en Colombia.
Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.
Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.
La Disyunción Inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de
p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor
lógico está dado por la tabla siguiente:
p q p v q1 1 11 0 10 1 10 0 0
Ejemplo
Si,
p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto.
q: La estatua de Miranda está en Caracas.
r: El Chorro de Milla está en Carabobo.
Entonces,
1. p v q: La estatua de la Divina Pastora está en
Barquisimeto o La estatua de Miranda está en Caracas.
VL(p v q)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
2. q v r: La estatua de Miranda está en Caracas o El chorro
de Milla está en Carabobo.
VL(q v r)= 0, ya que VL(q)= 0 y VL(r) = 0.
La Disyunción Exclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción
exclusiva de p y q es la proposición p v q, que se lee "o p o
q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras
palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los
valores de p y q son iguales.
VL(p v q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).
p v qV F VF V VV V FF F F
Ejemplo
Si,
p: 17 es un número primo.
q: 17 es un número par.
r: 17 es mayor que 2.
Entonces
p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1, ya que
VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2
VL(p v r) = 0, ya que VL(p) = 1 y VL(r) = 1
El Condicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional
con antecedente p y consecuente q es la proposición p ® q,
que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado
por la siguiente tabla:
p q p --> q p q p --> qV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V V 0 1 1
F F V 0 0 1
Ejemplo
Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).
Condición Necesaria y Condición Suficiente
El condicional es una de las proposiciones más
importantes en la matemática, ya que la mayoría de teoremas
vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente
es llamado hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional
puede ser expresado también con las llamadas condiciones
necesarias y suficientes. El antecedente es la condición
suficiente y el consecuente la condición necesaria.
Así el condicional A ® C puede ser leído de las siguientes
maneras:
1. Si A entonces C
2. C es condición necesaria para A
3. Una condición necesaria para A es C
4. A es condición suficiente para C
5. Una condición suficiente para C es A
6. C si A
7. A sólo si C
8. A solamente si C.
El siguiente ejemplo fue tomado del libro "Fundamentos de
la Matemática", de Jorge Saenz. Sean las proposiciones:
t: La figura es un rectángulo.
c: La figura es un cuadrado.
r: La figura es un rombo.
d: La figura es un cuadrilátero.
Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones:
1. La figura es un cuadrado sólo si la figura es un
rectángulo.
2. Una condición suficiente para que la figura sea un rombo
es que la figura sea un cuadrado.
3. Una condición necesaria para que la figura sea un
rectángulo es que la figura sea un cuadrilátero .
4. Que la figura sea un cuadrado es condición necesaria
para que la figura sea un rombo y un rectángulo.
Solución
a) c ®t b) c ®r c) t ®d d) (r ^ t) ®c .
Condicionales Asociados
Dado un condicional p®q podemos asociarles los
siguientes condicionales:
1. Directo: p ®q
2. Recíproco: q ®p
3. Contrarrecíproco: ~ q ®~ p
4. Contrario: ~ p ®~ q
El Bicondicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se
llama Bicondicional de p y q a la proposición p « q, que se lee
"p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para
q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
p q p<->q1 1 11 0 00 1 00 0 1
o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) =
VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ¹ VL(q)
Ejemplo.
Consideremos las siguientes proposicones:
a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3
c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3
d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3.
Entonces
VL(a)=1, VL(b)= 0, VL(d) = 0
Formas Proposicionales
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los
conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t,
etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo
t® (q Ù ~ r) ~ [(p« s)Ù (r« q)] son formas proposicionales y
podemos decir, para ser más preciso que las variables
proposicionales también son formas proposicionales.
Ejemplo
. Construir la "Tabla de Verdad" para las proposiciones dadas:
(p® q) Ù ~ (p ® r)
Solución
(p ® q) Ù ~ (p ® r)
1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0
Tablas de Verdad de las formas proposicionales
Tablas de verdad
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad
de una proposición compuesta y depende de las
proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad específico
para cada proposición; es este caso es necesario elaborar
una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes
combinaciones de valores de verdad que pueden
presentarse. Las posibilidades de combinar valores de
verdad dependen del número de proposiciones dadas.
Para una proposición (n=1), tenemos 21 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n=2), tenemos 22 =4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8
combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones
Ejemplo
Dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de
valores de verdad:
Pasos para construir la tabla:
(Ø p Ù q) Û (p Þ Ør)
1. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones
2. Determinamos las combinaciones:
p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
3. Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la variables sus valores de verdad :
Tautologias y Contradicciones
Proposición Tautológica o Tautología
Definición: Es aquella proposición molecular que es
verdadera (es decir, todos los valores de verdad que
aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente
de los valores de sus variables.
Ejemplo
Probar que P Ú ~ P es una tautología
P Ú ~ P 1 1 0 0 1 1
Contradicción.
Definición: Es aquella proposición molecular que siempre es
falsa (es decir cuando los valores de verdad que aparecen en
p q r (¬p ^ q) <--> (p --> ¬r)V V V F F V V V F FV V F F F V F V V VV F V F F F V V F FV F F F F F F V V VF V V V V V V F V FF V F V V V V F V VF F V V F F F F V FF F F V F F F F V V
su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los
valores de sus variables proposicionales que la forman. Por
ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es
una contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al
método de las tablas de verdad.
Ejemplo
Probar que p Ù ~ p es una contradicción
p Ù ~ p
1 0 0
0 0 1
Leyes del Algebra de Proposiciones
1. Leyes Idempotentes
1.1. pÚ p º p
1.2. pÙ p º p
2. Leyes Asociativas
2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
3. Leyes Conmutativas
3.1. P Ú q º q Ú p
3.2. P Ù q º q Ù p
4. Leyes Distributivas
4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P Ú F º P
5.2. P Ù F º F
5.3. P Ú V º V
5.4. P Ù V º P
6. Leyes de Complementación
6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido)
6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)
6.3. ~ ~ P º P (doble negación)
6.4. ~ V º F, ~ F º V
7. Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q
Otras Equivalencias Notables
a. p® q º ~ p Ú q (Ley del condicional)
b. p« q º (p® q) Ù (q® p) (Ley del bicondicional)
c. p Ú q º ( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p ) (Ley de disyunción
exclusiva)
d. p® q º ~ q® ~ p (Ley del contrarrecíproco)
e. p Ù q º ~ ( ~ p Ú ~ q )
f. ( (p Ú q ) ® r ) º ( p ® r ) Ù (q ® r ) (Ley de demostración
por casos)
g. (p® q) º (p Ù ~ q® F) (Ley de reducción al absurdo)
Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros
pueden ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar
que el bicondicional correspondiente es una tautología.
Ejemplo
a. Probar la primera Ley de De
Morgan: ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
b. Probar la Ley del contrarrecíproco: p® q º ~ q® ~ p
Solución
Debemos probar que los siguientes bicondiconales son
tautologías:
a. ~ ( P Ú q ) « ~ P Ù ~ q b. (P ® q) « ( ~ q ® ~ p)
0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1
Equivalencia e Implicación lógica.
Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice
que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B,
y se escribe:
A => B si el condicional A® B es una tautología
Ejemplo
Dos implicaciones lógicas muy conocidas son las leyes de
simplificación y adición, las cuales probaremos a
continuación.
(Ley de Simplificación) Probar que p Ù q implica
lógicamente a p; o sea, ( p Ù q ) => p
(Ley de Adición) Probar que p implica lógicamente a p Ú q;
o sea, p => ( p Ú q )
Solución
Debemos probar que (p Ù q) ® p y p ® (p Ú q) son
tautología
Definición (Proposiciones Equivalentes)
Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A
es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es
equivalente a B, y escribimos
A º B o A Û B,
Si y sólo si la forma bicondicional A Û B es una tautología.
Ejemplo
( Ley del condicional ) Probar que p ® q es lógicamente
equivalente
a ~ p v q; esto es, (P ® q) º (~ P Ú q)
Solución
Debemos probar que (P ® q) « (~ P Ú q) es una tautología.
Razonamientos
Definición: Un razonamiento o una inferencia es la
aseveración de que una proposición, llamada conclusión es
consecuencia de otras proposiciones dadas
llamadas premisas.
Forma Proposicional de un Razonamiento
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y
conclusión C lo escribiremos en forma proposicional como:
P1
P2
P3
P4
.
.
.Pn
----
c
Ejemplo
El siguiente es un razonamiento:
Si hoy es domingo, entonces mañana habrá examen.
Si hoy es sábado, entonces mañana no hay examen.
Hoy es domingo.
Luego, mañana habrá examen.
Este razonamiento lo podemos simbolizar de la manera
siguiente:
Premisa 1: d ® e
Premisa 2: s ® ~ e
Premisa 3: d
----------------------.
Conclusión: e
Donde:
d: hoy es domingo
s: hoy es sábado
e: mañana habrá examen
Definición: Diremos que un razonamiento
es válido o correcto si la conjunción de premisas implica
lógicamente la conclusión, en otro caso se dice que
es no válido.
Un razonamiento que no es válido es llamado falacia.
Para saber si un razonamiento es válido utilizaremos una
serie de pasos lógicos, tomando en cuenta las premisas para
llegar a la conclusión. Este procedimiento es
llamado demostración.
Métodos de Demostración
Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una
implicación:
P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la
premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las
que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades
demostradas previamente.
Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de
demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional
equivalente a p® C nos proporciona la Ley del
contrarrecíproco: P ® C º ~ C ® ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de
demostración, llamado el método del contrarrecíproco, según
el cual, para demostrar que pÞ C, se prueba que ~ C Þ ~ P.
Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que
la proposición p Þ q es tautológicamente equivalente a la
proposición (p Ù ~ q) Þ (r Ù ~ r) siendo r una proposición
cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de
verdad.
Inferencia
1. Modus Ponendo Ponens(MPP)
(p q) p => q p q p ---------- q
2. Modus Tollendo Tollens (MTT)
(pq) ^ ~ q => ~ p p q ~ q ----------- ~ p
3. Silogismo Disyuntivo (S.D)
(p q) q p p q p q ó q p(p q) p q -------- --------- p q
4. Silogismo Hipotético(S.H)
(p q) (q r) (p r) p q q r ---------- p r
5. Ley de Simplificación
p q p p q ó p q
p q
p q q
6. Ley de la Adición
p p q q p q
p o q
------- ------
p q p q
7. Ley de Conjunción
( p ) ( q) ( p q)
p q --------- p q
Circuitos Logicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los
podemos identificar con una forma proposicional. Es decir,
dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito;
o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional
correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra
proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más
sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.
Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie.
la cual se representa como p q
Conexión en paralelo la cual se representa por p q
Estas representaciones nos servirán de base para la
correspondencia entre los circuitos y las proposiciones.
Ejemplo
Construir el circuito correspondiente a cada una de las
siguientes expresiones:
p (q r)
Solucion.
p (q r) .
