2.- TRACTAMENT DE LES INCERTESES ENLES MESURES EXPERIMENTALS

ÍNDEX DEL TEMA: 1.Plantejament de l'estudi 2. Incerteses absolutes i incerteses relatives 3.Formalisme numèric d'una xifra afectada d'incertesa

3.1. Format numèric d'una incertesa 3.2. Incertesa i xifres significatives

4.Classificació de les incerteses i/o errors. Orígens. 5.Propagació d'incerteses

5.1. Producte per una constant sense error 5.2. Elevació a una potència 5.3. Funcions d'una variable 5.4. Funcions de múltiples variables no correlacionades 5.5. Funcions de múltiples variables correlacionades 5.6. Propagació d'incerteses relatives en el producte i el quocient

6.Font principal d'incertesa. Estimació ràpida de la incertesa 7. Incerteses en les gràfiques científiques

7.1. Barres d'error en les gràfiques 7.2. Incerteses en els paràmetres d'ajust

1. Plantejament de l'estudiEls procediments de mesura comporten, intrínsecament, la incorporació de incerteses i errors en les dades obtingudes. Aquests errors es propaguen, mitjançant els càlculs efectuats en els tractaments de dades, fins als resultats finals que, consegüentment, venen afectats d'incerteses i errors. El que cal que el científic tingui en compte és:

• identificar els mecanismes que fan aparèixer incerteses en els procediments demesura, sent capaç de minimitzar, en la mesura del que és possible, la magnitud d'aquests incerteses

• conèixer els mecanismes com es propaguen les incerteses en els càlculs• expressar convenientment els resultats del experiments

Qualsevol dada numèrica ens és donada amb una certa incertesa que es reflecteix en

número finit de xifres significatives. Exemple:• Distància Barcelona Vilanova i la Geltrú: 47,1 km. Podeu provar d'obtenir

altres valors directament a GoogleMaps• Càrrega de l'electró: -1,602 176 565(35) × 10-19 C• Longitud d'un determinat bolígraf: 14,3 cm• Massa d'un adult, en concret, en un moment concret: 78,6 kg• Intensitat d'un determinat so: 74,2 dB (ho mesuren els mòbils)• ....

OBSERVACIÓ 1: Les incerteses en les dades no són exclusives ni dels laboratoris ni de la vida quotidiana. Fins i tot les dades d'un problema acadèmic (d'electromagnetisme) venen donades amb una incertesa, tot i que poden no procedir de cap mesura. Per exemple, els següents dos enunciats s'han de prendre com a diferents:

• Una càrrega de 3 μC es troba en el vèrtex....• Una càrrega de 3,000 μC es troba en el vèrtex....

Nosaltres ens centrarem en les incerteses associades a les dades mesurades als laboratoris i els tractaments formals corresponents

OBSERVACIÓ 2: Una determinada incertesa, en una dada mesurada o en un resultat, pot venir:

• originada directament en la pròpia mesura (incertesa “directa” de la mesura dela dada)

• “propagada” per càlcul des de les mesures als resultats (propagació d'incerteses). Tractarem aquesta propagació més endavant

OBSERVACIÓ 3: No totes les incerteses tenen el mateix origen:• En la de la longitud del bolígraf, ve donada per la poca resolució del regle

mil·limetrat usat en la seva mesura• En la distància Barcelona-Vilanova, la incertesa ve donada per l'ambigüetat

del concepte de distància entre dues ciutats “extenses” en la seva àrea

2. Incerteses absolutes i incerteses relativesHi ha dues formes habituals de presentar una quantitat acompanyada d'incertesa

• Incertesa absolutaIndica el rang, al voltant del valor nominal on, raonablement, podria trobar-se,de fet, el valor “real”.S'indica, formalment, amb la lletra delta minúscula acompanyant la quantitat ala que fa referència. Així, si la magnitud afectada d'error és f, la seva incertesaabsoluta s'indica com a δf.A la pràctica, s'escriu: f±δf.

Pel que fa a les unitats físiques, una magnitud i la seva incertesa absoluta, tenen les mateixes:

[δ f ]=[ f ]

Exemple: una càrrega Q=3,000μC, que vingués acompanyada d'una incertesa absoluta δQ=±0,005 C , s'escriuria:

Q = (3,000 ± 0,005) μCQ = 3,000 ± 0,005 μC

• Incertesa relativaIncertesa que es quantifica en relació amb el propi valor de la magnitud. Per a referir-nos a ella, s'acostuma a emprar la lletra èpsilon minúscula:

ε f≡δ f

f, εm≡

δmm

, ...

Continuant amb l'exemple anterior, εQ≡δQQ

=0,00017 , si es dóna en “tant

per u”. o bé εQ≡δQQ

=0,017 % , si es dóna en “tant per cent”

Amb la qual cosa, la forma de donar el valor de la càrrega, amb la seva incertesa seria:

Q = 3,000 μC ± 0,017%o, també:

Q = 3,000 μC ± 0,00017

3. Format numèric d'una quantitat afectada d'incertesa.

3.1 Format numèric d'una incertesaLa incertesa (tant si és absoluta com relativa) es dóna solament amb una sola xifra significativa, excepte en aquelles incerteses en les que la primera xifra, diferent de zero, és 1. Això és degut a que la pròpia incertesa és una dada que, pel seu propi caràcter, no pot estar donada amb precisió.

• Exemples d'incerteses absolutes expressades correctament:◦ δQ= ±0,0005μC◦ δQ= ±0,15μC◦ δQ= ±15μC◦ δQ= ±5μC◦ δQ= ±5·10-6C◦ δQ= ±1,5·10-6C◦ δV= ±1,5·103V

• Exemples d'incerteses absolutes expressades incorrectament:◦ δV= ±0,531V (la incertesa s'està donant amb 3 xifres significatives)◦ δV= ±1,531V (la incertesa s'està donant amb 4 xifres significatives)

◦ δV= ±1,500000V (la incertesa s'està donant amb 7 xifres significatives, tot i que pugui no semblar-ho)

◦ δV= ±0,53V (la incertesa, no comença per 1, i s'està donant amb 2 xifres significatives)

• Exemples d'incerteses relatives expressades correctament:◦ εQ=0,015%◦ εQ=0,018◦ εQ=0,09%◦ εQ=0,03◦ εQ=0,015 · 10−2%◦ εQ=0,09 ·10−2 %◦ εQ=0,06 · 10−2

• Exemples d'incerteses relatives expressades incorrectament:◦ εQ=0,035 %◦ εQ=0,048◦ εQ=0,08435 ·10−2 %◦ εQ=0,090 · 10−2%◦ εQ=0,076 · 10−2

3.2 Incertesa i xifres significativesCom s'expressa la xifra, amb la seva incertesa? Criteri: La darrera de les xifres significatives de la quantitat afectada d'incertesa és la mateixa que la darrera xifra de la incertesa absoluta

◦ Q= 12,0064μC±0,0005μC. Alternativament: Q= 12,0064(5)μC◦ Q= 12,64μC±0,15μC. Alternativament: Q= 12,64(15)μC◦ Q= 784μC±15μC. Alternativament: Q= 784(15)μC.◦ Q= 9924μC±5μC. Alternativament: Q= 9924(5)μC◦ Q= 3371·10-6C±5·10-6C. Alternativament: Q=3371(5)·10-6C◦ Q= 337,1·10-6C±1,5·10-6C. Alternativament: Q= 337,1(15)·10-6C◦ V= 4,2·103V±1,5·103V. Alternativament: V= 4,2(15)·103V

Models amb incerteses relatives. Es manté el mateix criteri: solament una xifra, llevat que comenci per 1 (que en seran dues)

◦ Q= 12,0064μC ± 3 10-3 %◦ Q= 12,64μC ± 0,0016

Models on la incertesa no es correspon amb les xifres significatives del valor numèric.

◦ Q= 12,0064μC ± 9 10-8 %◦ Q= 12,64μC ± 0,0016

◦ Q= 12,0064μC ± 9 10-2 %◦ Q= 712,64μC ± 0,02◦ Q= 12,0μC ± 0,0002

Exercici: comprovar que, efectivament, la incertesa relativa no es correspon amb les xifres significatives amb les que es dóna el valor

4 Classificació de les incerteses i/o errors. OrígensDos grans grups per a fer laclassificació:

• Incertesa◦ Incapacitat per a obtenir una

mesura o un resultat mésacurat

◦ Queda caracteritzat pel marge d'incertesa

◦ Origen 1: manca de resolucióde l'aparell (o elprocediment) de mesura

◦ Origen 2: efecte físic demecanisme aleatori que“dispersa” el resultat de lamesura al voltant del “valorsense efecte dispersiu”. Esparla d'Error aleatori. Enveurem exemples. Eltractament estadístic esdesenvoluparà en el capítol 3

• Error◦ Mesura mal presa, que no es

correspon a allò que s'hauriad'haver obtingut (tot i quesovint ho desconeixem)

◦ Sovint el marge d'error pot estar, raonablement, ben acotat. També es parlaria d'incertesa en la mesura

◦ La forma de donar l'acotació és la mateixa que amb les incerteses◦ E rror sistemàtic . Causat per un mal procediment de mesura (o de càlcul, o

d'ajust a a model físic). Si es pot s'ha de corregir actuant sobre el procés de mesura (o procés de càlcul). És el que més pròpiament s'identifica amb “error”

Observacions referents a error i incertesa:• Incertesa i error poden afectar, alhora, una mateixa mesura (vegeu figura)

Representació de incerteses i errors en el símil del tir a una diana. En a) els impactes s'acumulen sobre el blanc (no hi ha error) amb poca incertesa (dispersió). En b) tampoc hi ha error però les incerteses -tant en x com en y- sónsuperiors que en a). En c) la dispersió és igual que en a), però hi ha error (tant en x com en y). En el cas d) hi ha presents incerteses i errors, tant en x com en y

δ x

δ y

δ x

δ y

x−x 0

x−x 0

y−y0

y−y0

Errors

Ince

rtese

s

a) c)

b) d)

• Orígens diferents• No els hem de barrejar• Cadascun s'ha de tractar independentment• Sovint, en el llenguatge, es parla d'errors. Pel context hem de saber a què ens

estem referint

Orígens experimentals de les incerteses i els errors

• Incerteses per manca de resolució del dispositiu de mesura (Se suposa que l'aparell de mesura està ben calibrat i no dóna lloc a errors sistemàtics). Segurament la incertesa més evident. “Resolució” de la mesura. És molt comú. En l'exemple del problema d'electromagnetisme, i solament observant les dades:◦ Incertesa de 3μC = ±0,5μC◦ Incertesa de 3,000μC = ±0,0005μC

• Incerteses observables com a oscil·lacions de la lectura a l'aparell de mesura. També és molt comú. Origen aleatori (soroll).◦ incertesa (més gran que la deguda a les xifres significatives de l'aparell de

mesura)(el valor de la incertesa dependrà de quina “amplitud” tinguin aquestes oscil·lacions)

• Incertesa deguda a la no repetibilitat. Semblant a l'anterior. (tractament estadístic, al capítol d'estadística). En realitat, la incertesa anterior prové del fet que molts aparells, com ara els voltímetres, repeteixen contínuament la mesura i van actualitzant el resultat (a intervals aproximats d'un segon).

• Error: Desavinences entre dues mesures de la mateixa cosa fetes amb procediments diferents (cap d'ells millor que els altres. Si n'hi hagués un de millor, ens quedaríem amb ell)

• Incerteses amb origen humà (els sentits usats com a element de mesura). Ho experimentareu a la pràctica 3

• Error: amb origen humà (els sentits usats com a element de mesura)• Incerteses causades per la variabilitat de les mostres (en experiments en que

allò que s'estudia no és una mostra singular sinó una col·lecció)• Errors (no tant incertesa) en la mesura. El valor mesurat no es correspon al

“real”. Independentment de la incertesa en la mesura. Error sistemàtic. Sovint no tenim criteri per a identificar-lo i per a corregir-lo. Diferents causes:◦ Originades pel descalibratge dels aparells de mesura◦ Originades pel desconeixement/descontrol dels paràmetres físics (o

tecnològics) d'un determinat experiment (per exemple, la temperatura. En una R(T)

◦ Originades per un mal model d'ajust o una mala aplicació del model d'ajust en el tractament de dades. Les dades podrien estar ben preses, però el seu tractament podria conduir a resultat amb error

5. Propagació d'incertesesLes diferents xifres mesurades en un determinat experiment venen, tal com ja s'ha dit, acompanyades d'incerteses. El que es tractarà a continuació és la forma amb la que aquests incerteses en les mesures es traslladen als valors i als resultats que, per càlcul, s'obtenen a partir d'elles. Cassos:

• Producte per una constant sense error• Elevació a una potència• Funcions d'una variable• Funcions de múltiples variables no correlacionades• Funcions de múltiples variables correlacionades• Propagació d'incerteses relatives en el producte i el quocient• Paràmetres d'ajust

5.1 Producte per una constant sense errorÉs el cas més senzill. Es dona el cas que efectuem una mesura i el resultat l'obtenimmultiplicant-la per una constant f (x)=k x . Exemple: en la mesura dels períodes de la pràctica 2, mesureu el temps, tN, corresponent a N períodes i determineu

T= tN

Com es determina la incertesa en T, δT , en funció de la incertesa en t, δ t ?La incertesa δ t fa que la mesura t estigui compresa en el rang t−δ t<t<t+δ t perla qual cosa T estarà comprès entre T min=

t−δ tN

i T max=t+δ t

N. Llavors

tN−δ t

N<T < t

N+ δ t

N, és a dir T−δ t

N<T <T+ δ t

N, que, comparant amb

T−δT <T <T+δT ens indica que

δT= δ tN

Tractament formal: L'expressió anterior és la que s'obté diferenciant T= tN

i

substituint els diferencials per les “deltes”. És lògic: és la forma amb la que varia una funció de proporcionalitat quan incrementem/disminuïm una mica el valor de lavariable independent.

Procediment molt lligat al càlcul diferencial. Concretament

δT= 1Nδ t=∂T

∂ tδ t és la versió “delta” de dT= 1

Ndt=∂T

∂tdt

Expressió formal correcta:Les incerteses són positives (són “mòduls”) per la qual cosa l'expressió de la incertesa que ho té en compte és:

δT= 1N δ t=∣∂T

∂ t ∣δ t=∣∂T∂ t δ t∣

5.2 Elevació a una potènciaVolem elevar una determinada quantitat experimental, x (una mesura o un resultat intermedi, en un càlcul) a una potència:

f (x)=xm

Exemple/exercici: La pràctica 2 quan determinem el període al quadrat a partir del període, f (T )=T 2 . Quina incertesa, δ(T 2) , acompanya T2 deguda a la incertesaamb la que s'obté T, δT ?El valor més gran de T2 és el que s'obté fent

(T +δT )2=T 2+2T δT +(δT )2≈T 2+2T δTEl valor més petit de T2 és el que s'obté fent

(T−δT )2=T 2−2T δT +(δT )2≈T 2−2T δTLlavors T 2−2T δT <T 2<T 2+2T δT amb la qual cosa δ(T 2)=2T δTSi es tractés d'una potència positiva qualsevol, m, tindríem

δ(T m)=m T m−1δTi més formalment, tenint present els resultats coneguts del càlcul diferencial, i fent la substitució dels diferencials per les “deltes” i tenint present que les incerteses sónquantitats positives s'obté:

δ(T m)=∣∂T m

∂TδT∣

Observeu que la incertesa té les mateixes unitats físiques que la funció

5.3 Funcions d'una variableAprofitant que, tal com s'ha vist, el formalisme de la propagació d'incerteses és anàleg al càlcul diferencial, podem escriure l'expressió general de la propagació d'incerteses en el cas d'una funció qualsevol d'una sola variable

δ f ( x)=∣∂ f (x)∂ x δ x∣

Observeu que l'expressió respecta perfectament les unitats físiques que puguin tenirx i f.

5.4 Funcions de múltiples variables no correlacionadesLa generalització al cas de funcions de varies variables és immediata. Suposem que una quantitat es determina a partir de varies mesures i/o altres quantitats, cadascunade les quals ve acompanyada de la seva incertesa. El càlcul diferencial mostra que

tindríem:

d f (x , y ,a ,m , ...)=∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy+ ∂ f∂a

da+ ∂ f∂m

dm+...

En aquesta expressió no podem substituir directament els diferencials per “deltes”Per a obtenir l'expressió per a les incerteses cal tenir present que:

• totes les contribucions, independentment de la forma funcional i/o signe de la derivada, contribueixen positivament a la incertesa de f, anàlogament a com les components d'un vector (tan les positives com les negatives) contribueixenal seu mòdul

• en tractar-se de variables independents (una de l'altra), cada una d'elles contribueix a la incertesa independentment de les altres variables, anàlogament a com les components d'un vector contribueixen al seu mòdul

És per aquestes raons que, pel que fa a la propagació d'incerteses, l'expressió de les “deltes” l'obtindrem calculant aquest “mòdul”:

δ f (x , y , a , m , ..)=√(∂ f∂ x )

2

(δ x)2+(∂ f∂ y )

2

(δ y)2+(∂ f∂ a )

2

(δ a)2+( ∂ f∂m)

2

(δm)2+...

Exemple/exercici: Demostreu que, quan es tracta de suma ( f =x+ y+a+m ), la incertesa és δ f =√(δ x)2+(δ y)2+(δa )2+(δm)2

(i igualment amb la resta)

Exemple/exercici: Deduïu δT=δ tN

, suposant que T (t , N )= tN

però que N no té

error ( δN=0 )

Exemple/exercici: Per a mesurar el període, T, es fan N mesures d'un sol període (T1, T2, T3, ... TN ) i es fa la mitjana T 1234=

T 1+T 2+T 3+...+T N

N. Si la incertesa en

cadascuna de les mesures de períodes individuals és δ t Quant val la incertesa en la mitjana dels períodes? (Suposant que els Ti són variables no correlacionades)

Exemple/exercici. Per a obtenir el valor del període d'un pèndol, es mesura el tempscorresponent a N períodes, tN , i el període s'obté calculant T N=

t N

N. En aquest

procediment, la incertesa en t N és δ t N

• Quant val la incertesa en el període?Solució: δT N=

δ tN

N• Quant val la incertesa relativa en el període?

Solució: δT N

T N=δ tN /Nt N /N

=δ t N

tN

, que es va fent petita com més gran fem el

temps t N , és a dir, mesurem més períodes

Exemple/exercici. Alternativament, es proposa de mesurar el període del pèndol amb el següent procediment: es mesura el temps corresponent a un nombre de períodes n1=

N4

. S'obté t1 , amb una incertesa δ t 1=δ t N . Es repeteix aquesta

mesura 3 cops més, n2=n3=n4=N4

, obtenint-se t 2 t 3 i t 4 , amb unes

incerteses δ t 2=δ t3=δ t4=δ t1=δ tN . Per a cadascuna de les quatre mesures de t, s'obté un valor del període T 1 , T 2 ,T 3 i T 4 i el valor final del període, mesurat amb aquest segon mètode, s'obté fent la mitjana del resultats obtinguts

T 1234=T 1+T 2+T 3+T 4

4• Si resulta que t1=t 2=t 3=t 4=

tN

4, quant val T 1234 ?

Solució T 1234=t 1+t 2+t3+t 4

4=T N

• Quant valen les incerteses δT 1 ,δT 2 ,δT 3i δT 4 ?

Solució δT 1=δ t 1

n1=δ t N

N /4=4δT N=δT 2=δT 3=δT 4

• Quant val la incertesa, δ(T 1234) , en el període calculat? Suposi que les quatre incerteses no estan correlacionades. Solució:

δ(T 1234)=14 √(δT 1)

2+(δT 2)2+(δT 3)

2+(δT 4)2=1

4 √64(δT N )2=2δT N

• Exercici: Generalitzi el resultat obtingut al cas en que es facin, en lloc de 4, n mesures.

• Exercici: Indiqui quin és el resultat, i amb quina incertesa s'obté, si mesurem període individual a període individual (n=N)

5.5 Funcions de múltiples variables correlacionadesUn cas, que no és tan comú com l'anterior, es dóna quan les variables sí que estan correlacionades. Llavors l'expressió de la incertesa és:

δ f (x , y ,a ,m , ..)=∣(∂ f∂ x )(δ x)∣+∣(∂ f

∂ y )(δ y )∣+∣(∂ f∂ a )(δa )∣+∣(∂ f

∂m)(δm)∣+..

No obtenim el mòdul. Obtenim la suma dels valors absoluts de les componentsExercici/exemple: Aplicant l'expressió anterior a f (T )=T 2=T T obteniuδ(T 2)=2T δT Òbviament, les dues variables estan correlacionades (en realitat

són la mateixa, que apareix dues vegades)

Exemple/exercici: Per a mesurar el període, T, es fan N mesures d'un sol període (T1, T2, T3, ... TN ) i es fa la mitjana T 1234=

T 1+T 2+T 3+...+T N

N. Si la incertesa en

cadascuna de les mesures de períodes individuals és δ t Quant val la incertesa en la mitjana dels períodes? (Suposant que els Ti són variables correlacionades) Compari el resultat obtingut amb altres valors de la incertesa del període obtingudesanteriorment fent altres suposicions

5.6 Propagació d'incerteses relatives en el producte i el quocientLes expressions de propagació d'incerteses anteriors es poden utilitzar per al càlcul de les incerteses relatives, i especialment als cassos de proporcionalitat directa i inversa, per als quals els resultats que s'obtenen són molt compactes, fàcils d'aplicari manejables.Si apliquem la fórmula de propagació d'incerteses a f (x , y , a , m)= x m

y aobtenim

δ f (x , y , a , m)=√(∂ f∂ x )

2

(δ x)2+(∂ f∂ y )

2

(δ y)2+(∂ f∂a )

2

(δ a)2+(∂ f∂m)

2

(δm)2

cosa que permet de determinar la incertesa relativa en fδ f

f= y a

x m √(∂ f∂ x )

2

(δ x)2+(∂ f∂ y )

2

(δ y)2+(∂ f∂a )

2

(δ a)2+(∂ f∂m)

2

(δm)2 , que

condueix a una expressió senzilla de recordar que, a la pràctica, ens permet fer una estimació més àgil dels errors en els cassos de productes i quocients:

δ ff

=√((δ x )x )

2

+((δ y)y )

2

+((δ a)a )

2

+((δm)m )

2

6. Font principal d'incertesa. Estimació ràpida de la incertesaTant en el cas d'incerteses de variables correlacionades com no correlacionades, sovint es presenta el cas en que, del conjunt de les variables independents d'un experiment, una d'elles és la que contribueix més clarament a la incertesa de la variable dependent

(∂ f∂ x )(δ x)≫(∂ f

∂ y )(δ y) ,(∂ f∂a )(δa ) ,(∂ f

∂m)(δm)

Llavors

δ f ≈∣∂ f∂ x ∣δ x

Per a, en cada cas, fer valer l'aproximació cal que numèricament es comprovi la desigualtat (o sigui prou evident el fet com per a que no calgui una demostració

formal)Cas particular: si es tracta de productes i/o quocients δ f

f=δ x

x

7. Incerteses en les gràfiques científiquesQuan els valors representats en una gràfica venen acompanyats d'incerteses, aquestes

1. poden incorporat-se a la representació gràfica2. comporten incerteses en la determinació dels paràmetres d'ajust “gràfic”

(lineal, exponencial, logarítmic)

7.1 Barres d'error en les gràfiquesLes incerteses s'acostumen a incorporar a lesgràfiques per a fer “visible” el fet que una incertesacomporta un marge, al voltant del valor “central”.Aixi doncs, la incertesa pren la forma de segmentsobre el punt representat: són les conegudes com a“barres d'error” La figura mostra un exemple degràfica amb barres d'errorOBSERVACIONS:

● Molt sovint, les gràfiques no incorporen lesbarres d'error.

● Els errors acostumen a ser massa petits per aser representats (la longitud de la barra seriamolt petita)

● Cada punt pot incorporar, a priori, duesbarres d'error: una per a la variableindependent (horitzontal) i l'altra per a lavariable dependent (vertical). A la pràctica,la de la variable independent no esrepresenta quasi mai (exemple de la figura)

● Cada barra d'error és, a priori, de longituddiferent per a cada punt de la gràfica (no ésel cas del nostre exemple).

● En el capítol d'estadística es detallarà quin ésel significat matemàtic de les barres d'error

7.2 Propagació d'incerteses. Cas delsparàmetres de regressió lineal

Les barres d'error en una gràfica comportenincerteses en els valors dels paràmetres de l'ajust.Per a determinar-les, sovint és suficient una

Representació gràfica amb barres d'error. Solament s'hi han fet figurar les corresponents a la variable dependent (cas molt habitual)

X (X)

Y (Y)

X (X)

Y (Y)

Representació gràfica amb barresd'error. S'hi han representat tres rectes d'ajust: la central tenint present els punts, una altra de major pendent, i una tercera de menor pendent, tenint en compte les barres d'error.

X (X

Y (

X (X)

Y (Y)

estimació gràfica (vegeu figura).Si, enlloc de gràficament, l'ajust es fa mitjançant algoritmes matemàtics (es veurà alproper capítol), les incerteses als paràmetres d'ajust també es poden estimar amb elscorresponents càlculs de propagació d'incerteses, tal com es veurà en el proper capítol.

Observació final: Resulta interessant consultar http://en.wikipedia.org/wiki/Propagation_of_uncertainty, referent a propagació d'incerteses

Cèsar Ferrater, Departament de Física Aplicada i Òptica, 2014