PROBLEMAS DESARROLADOS

1. Sea definida por: .Grafique

las curvas de nivel para c=0 y c=1 .Describa el dominio de y halle el rango de .

Solución:

El dominio es tal que:

2. Sea

hallar el dominio de z para que sea una

función y esbozar su grafica:

Solución:

según el rango de z, escogemos ciertos valores para las curvas de nivel:

Con ello y

4. Demostrar que las ecuaciones: ; ; ; y

; ; representan la misma superficie.Sean la ecuaciones parametricas:

I) ; ;

Llevando a ecuaciones cartesianas: …(a)

II) ; ;

Llevando a ecuaciones cartesianas: …(b)

Entonces:(a)=(b)

Representan la misma curva

5. Se da la parabola P = y el punto B (0,b,0). Determinar el lugar y = 0

geométrico de las perpendiculares comunes al eje OZ y las generatrices del cono que tienen por vértice el punto B y por directriz la parábola P.

Según el grafico vemos que :P = hk + luDonde u =(u1 ,u2 ,0 ) y u .v =0→(u1 ,u2 ,0 ) . (2x ,2b,2z) = 0 →u1. x =u2 .b→u = (b,x,0) .

√x2 + b2

P = (0,0,h) + ( b, x, 0) . │x│ . √x2 + b2 √x2 + b2

Sea la recta L:t(2x,0,2z)+(0,b,0),Será de la forma (2tx , -2tb + b , 2at) :→2zt = h ; 2tx = -xb2/x2 + b2

→2t = -b2 /x2 + b2

sabiendo que z = x2/2p: h = -x2b2/2p(x2 + b2)Finalmente el L.G:P = (- xb2 /x2 + b2 , -x2 b/x2 + b2

, -x2b2/2p(x2 + b2)) = (x’ , y’ , z’)Donde si elevamos

( -xb 2 ) 2. + ( -x 2 b ) 2 = x 2 b 4 + b 2 x 4 = x’2 + y’2 = b 2 x 2 . = -2pz’(x2 + b2)2 (x2 + b2)2 (x2 + b2)2 x2 + b2

Podemos ver que esto es una circunferencia en el espacio pero oblicuo

7. parábola situada en el plano ZX, de parámetro 2p, eje X y cuyo vértice tiene la abscisa a, gira alrededor del eje OZ .Hállese la ecuación de la superficie de revolución generada.

Solución:

9. Hallar la superficie podaria del paraboloide

hiperbolico:

Respecto del vértice:

Solución:

Además es fácil de calcular la ecuación del plano tangente:

despejando los puntos obtenidos y reemplazando en la ecuación del plano e del paraboloide hiperbólico, dado que pertenece a ambas:

De las ultimas ecuaciones se deduce que:

Esta ultima ecuación es según el desarrollo del problema la podaria del paraboloide

hiperbólico

10. Determinar la podaria del elipsoide:

, respecto del foco.

Sea la ecuación del PLANO TANGENTE a la elipsoide

P:

La distancia entre el foco y el plano es:

d= b 2 -c 2 . y 0/b

U= pero ;

d. U= d= b2-c2. y0/b

Entonces(x,y,z) = (0, b2-c2,0) + b2-c2. y0/b

11. Demostrar que el lugar geométrico de las proyecciones del centro de un

elipsoide , sobre sus planos tangentes tiene la ecuación:

. Es la superficie llamada de Elasticidad de Fresnel.

Sea la elipsoide:

Sea la ecuación del PLANO TANGENTE a la elipsoide

P:

……..entonces:

;

Reemplazando en la ecuación de la superficie: ……….(I)

Reemplazando en la ecuación del plano tangente:……………..(II)

De (I) y (II):

12. Escribir las ecuaciones de un toro que se obtiene al girar la circunferencia : x = a + bcosu , y = 0, z = bsenu, (b<a) alrededor de del eje OZ.

Según la figura se cumple : (en el triangulo sombreado)

(a - √x2 + y2) + z2 = b2

Esta ecuación es la superficie toroidal13. Sea la funcion f: A R2→R definida por la regla de correspondencia

Solución:

Hallando las derivadas parciales:

Se observa que las derivadas parciales existenHallando la diferenciabilidad:Usando:

; donde

Queda demostrar:

Sea :

Por lo tanto F(x,y) no es diferenciable en (0,0)

14. Sea la función definida por la regla de correspondencia:

Demuestre que f es diferenciable en (0,0).Solución:

Calculamos primero el vector en el punto (0,0), que según la

definición de derivadas parciales para este punto:

De manera análoga se obtiene:

Ahora pasamos a usar la definición de diferenciabilidad:

Tomamos por ejemplo:

17. Sea f: R2→R una función definida por x2+y2<1,derivable en ese dominio y tal que f(x,y≤ 1para todo (x,y). Demuestre que existe un punto (x0,y0)En el interior del circulo unidad tal que [ fx(x0,y0) ]2+ [ fy(x0,y0]2≤ 16.

Sea una superficie f(x,y)≤1 en la superficie se forma una curvaf(x0,y0)≤1 por el teorema del valor medio.f(x2)- f(x1) =f(x). (x2—x1) d= fx(x0,y0). (x2—x1)Si el valor de (x2—x1)=1/2 ; 2d= fx(x0,y0) ….()

Como -1≤ f(x2) ≤1 1≤ f(x1) ≤1 -2≤f(x2)- f(x1) ≤2

f(x2)- f(x1) ≤2; d≤2Nuevamente en () 2d= fx(x0,y0) 22 fx(x0,y0)Análogamente con y 22 fy(x0,y0)Elevando al cuadrado y sumando.fx(x0,y0)2+ fy(x0,y0)2 ≤ 16

19. Por la recta L cuya ecuación es: x = 2z – 1 ; y = -z + 2, Trazar planos tangente a lasuperficie S: x + y2 – 2z2 = 0

Soluciòn:

Sea la recta L (2z – 1 , 2 – z , z) = z(2 , -1 , 1) + (-1 , 2 , 0)La gradiente de f debe ser perpendicular al vector direccional de L :

f(x,y)ov = 0

→ f(x,y) = ( 1 , 2x , -4y)o(2 , -1 , 1) = 0

→2 – 2yo – 4zo = 0 ___(1)

También se cumple : [(xo , yo , zo) – (-1 , 2 , 0)]o f(x,y) =0

(xo + 1 , yo – 2 , zo)o(1 , 2yo , -4zo) =0

→ xo + 1 +2yo2 -4yo – 4zo2 = 0 / xo + yo2 – 2zo2 =0___(2)

1 – 4yo + 2(xo + yo2 – 2zo2) = xo

1 – 4yo = xo____(3)

Reemplazo (1) y (3) en (2):

1 – 4yo + yo2 – 2(i - yo)2/4 = 0

yo2 – 6yo + 1 = 0

yo = 3 + 2√2 → xo = -11 -8√2 ; zo = -1- √2

y1 = 3 - 2√2 → x1 = -11 +8√2 ; z1 = -1+ √2

Ya se halló los puntos de tangencia, las gradientes serán:

f(xo , yo) = (i , 6 + 4√2 , 4 + 4 √2) ; f(x1 , y1) = (1 , 6 - 4√2 , 4 - 4√2)

P1 : [(x , y , z) – (-11 - 8√2 , 3 + 2√2 , -1 - √2 )]o(1 , 6 + 4√2 , 4 + 4√2) =0

P2 : [(x , y , z) – (-11 + 8√2 , 3 - 2√2 , -1+- √2 )]o(1 , 6 - 4√2 , 4 - 4√2) =020. Demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos

interceptados sobre los ejes de coordenadas por el plano tangente a la superficie S:

es constante.

----------------------------(I)

=

Ecuación del Plano tangente: PLANO TANGENTE

…….analizando el problema:

P eje X Y =0 Z=0

2 2 3 32 , ,x u v y u v z u v

P eje Y Z =0 X=0

P eje Z Y =0 X=0

………..por condición del problema:

Sumando las 3 ecuaciones anteriores y utilizando la relación (I):

21. Usando la regla de la cadena, escribir la ecuación del plano tangente a la superficie: En el punto M (3; 5; 7).Solución:

Sea f x,y,z , 0

; ;

. . . 0

........ 1

. . .

2 0...... 2

,

g u v

f f ffx

x y z

g f f x f v f z

u u x u y u z u

fx fy fz o

g f f v f y f z

v v x v y v z v

fx fy fz

fx f

32

0

, , ,

// 3, 2,2

0

3; 1; 2 3;2;2 0

y fz fz fz fz

fx

Ecuacion del plano

x x fx

x y z

2 2 3 3

De los datos tenemos que :

x z

( , , ) ( , ) 0

Para el punto (3,5,7) se logra obtener2 valores par v 1 y

zu v y u v u v

f x y z g u v

u z

f

u

2

2

9

2 3 0

4 12 0.........(1)

Tambien

2 3 0

3 0.........(2)

De la ecuacion 1 y 2 se logra obtener que :

( ; ; ) ( ;z

zfx ufy u fz

zfx fy fz

ffx vfy v fz

vfx zfy fz

fx fy fz fz

34 ; )

f(x,y,z)//(-18,-3,4)

Luego la ecuacióndel plano será

(x-3;y-5;z-2)(-18;-3;4) 0

fz fz

22. Usando la regla de la cadena, escribir las oraciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie: x=2u-v , y=u-v , z=u.v en el punto M(u=2, v=1).

Solución:

23. Una gota de agua rueda cuesta abajo sobre la

superficie , comenzando

en el punto (1,4,6). ¿En qué punto alcanza al plano XY?

Solución:

Analizamos en el plano XY las curvas de nivel desde z=6 hasta z=0, así veremos que la partícula rodará siguiendo la dirección de máxima pendiente la cual es la dirección del gradiente, empezamos justo en el punto (1,4) y a partir de allí describe una curva

donde el vector tangente a dicha curva en ese punto

también es perpendicular a las curvas de nivel, es decir:

de donde si dividimos la derivada de y entre

la derivada de x, ambas derivadas implícitamente con el tiempo resulta una ecuación diferencial que es fácil de resolver, mediante variable reparable, con ello se tiene la ecuación de la curva:

donde además se consideraron las condiciones iniciales x=1 y y=4 , ahora según lo

que se esperaba esta curva que acabamos de hallar corta ortogonalmente a cada una de las curvas de nivel, con ello

se garantiza que siempre siga la dirección de máxima pendiente, cosa que por lógica debe hacer si sobre la partícula que recorre dicha curva solo actúa la fuerza de gravedad.

Ahora cuando la particula llegué al plano XY se topará con la recta y=2x, entonces en dicho punto:

24. Emplee la diferencial total para calcular aproximadamente el error máximo al calcular el área de una región triangular rectángula a partir de las longitudes de

sus catetos si miden 6uy 8u, respectivamente, con un posible error de 0,1u en cada medición. Halle también el error en porcentaje aproximado. Calcule aproximadamente, empleando la diferencial total, el error máximo al calcular la longitud de la hipotenusa del triangulo rectángulo. Halle también el error porcentaje aproximado.Sea el triangulo:

; ; ; Primera parte:

;Diferencial total:

Segunda parte:

Diferencial total:

Diferencial porcentual:

25. Cuando se conectan dos resistencias R1y R2, la resistencia dada por .

Si la medida de R1 es de 300 ohmios, con un error máximo del 2% y la de R2 es de 500 ohmios con un error máximo del 3%. Halle el error máximo de R.

2 2

2 2

De los datos ecuacion de la montaña: 3 2 1200 0

como: ( ) 1200 3 2

6 4

( 6 ;4 )

. La direccion de maxima pendiente será.

( 10;5) ( 60; 20)

. Si s

z x y

f xy z x y

f fx y

x y

f x y

a

f

b

2 22 2 2

2

e desplaza en la direccion este, es decir en le eje x u (1;0) 60

( 10;5 (60; 20)(1;0)

Es decir el alpinista sube.

c.- Si se desplaza en la direccion sud-oeste

u ( ; )

( 10;5)

Du

Du

2 22 2(60; 20)( ) 20 2

Es decir el alpinista deciende.

d.- Viajara en una superficie de nivel si

Du(-10;5) (60; 20) 0

sea u=(cos ;sin )

(60;-20)(cos ;sin ) 0

u

(3).

arctg

26. Solución:

S(A,W) = A / A = # libras de peso en el aire y A – W W= # libras de peso en el agua

∂ S = A – W – A = -W ^ ∂ S = A____ ∂ A (A – W)2 (A – W)2 ∂ W (A – W)2

dS = ∂ S . dA + = ∂ S . dW = -W____ . dA + A___ . dW ∂ A ∂ W (A – W)2 (A – W)2

dA = ΔA = 0,01 , dW = ΔW = 0,02 ^ A = 20 , W = 12

℮abs = 4,375 x 10-3

Da la diferencia total:

dS = -W . 1 . dA + 1 .dW ≤ -W . 1 . dA + 1 .dW S A A-W A-W A A – W A - W

℮% = dS ≤ W . dA + W . dW dA = 0.05% ^ dW = 0.167% Max S A-W A A – W W A W

℮% = 12 . 0,05% + 12 . 0.167% = 0.3255% Max 8 8

27. La ecuación de una montaña es , donde la distancia se mide en metros. el eje x apunta al este y el eje y al norte .un montañista se encuentra en el punto( -10,5.850) calcular:

a) Cuál es la dirección de la ladera mas pronunciada.b) Si el montañista se desplaza en la dirección este.¿asciende o desciende?c) Si el montañista se desplaza en dirección sur oeste.¿ascinde o desciende?.d)¿En qué dirección recorre una superficie de nivel?.

Solución:

2 2

2 2

De los datos ecuacion de la montaña: 3 2 1200 0

como: ( ) 1200 3 2

6 4

( 6 ;4 )

. La direccion de maxima pendiente será.

( 10;5) ( 60; 20)

. Si s

z x y

f xy z x y

f fx y

x y

f x y

a

f

b

2 22 2 2

2

e desplaza en la direccion este, es decir en le eje x u (1;0) 60

( 10;5 (60; 20)(1;0)

Es decir el alpinista sube.

c.- Si se desplaza en la direccion sud-oeste

u ( ; )

( 10;5)

Du

Du

2 22 2(60; 20)( ) 20 2

Es decir el alpinista deciende.

d.- Viajara en una superficie de nivel si

Du(-10;5) (60; 20) 0

sea u=(cos ;sin )

(60;-20)(cos ;sin ) 0

u

(3).

arctg

28. Hallar los valores de las constantes a, b y c tales que las derivadas direccional de la función definida por:

2 2 3( ; ; )f x y z axy byz cz x En el punto (1; 2;-1) tenga el valor máximo en la dirección paralela al eje z.

Solución:

2 2 2

2 2 2 3

2 2 2 3

Como a,b,c son constantes.

( , , )

3 2

( 3 ;2 2 )

(3 4 ;4 ;2 2 ) (0,01)

4 3 0

f x y z axy byz cz x

f f fay cz x zaxy bz by czx

x y z

f ay cz x axy bz czx

f c a a b b c k

a c

4 0 2 2

resolviendo el sistems de ecuaciones

3 3 , ,

32 8 8

a b b c k

k k ka b c

30. La ecuación definen z como función implicita de

x e y, sea z=f(x,y), Determinar las derivadas parciales en función

de las derivadas :

solución:

hacemos s=x+y+z y t=x2+y2+z2 y derivamos implícitamente con respecto a estas nuevas variables:

31. Si y , entonces las ecuaciones yse denominan ecuaciones de Cauchy-Riemann. Escribir

dichas ecuaciones en coordenadas polares, haciendo el cambio de variable: y

y Datos:

y

Se conoce:

……(I)

………(II)

…….(.III)

……..(IV)

Primer método:PRIMERO

……….(a)

……(b)

Utilizando los datos:

(b)*( )

……………(q)

(a)*

……………(r)

Sumando (r)y (q) y acomodando:

………..(s)

Reemplazando (s) en (b)

Entonces:

SEGUNDO:

……….(c)

…….(d)

Análogamente para : Entonces:

Segundo método

………………(m)

……………(n)

…………………...(p)

………………(q)

Utilizando lo datos en (m) y (q) :

=

……….(k)

Utilizando lo datos en (n) y (p) :

=

……………….(l)De (p) y (l) :

y

32. Si f es una función diferenciable de x e y, además u=f(x,y) , x=rcosθ, e y=rsenθ

demuestre que:

Solución:

Sea:

y Utilizando la regla de la cadena: 1)

2)

…….elevando al cuadrado:

……sumando ambas ecuaciones:

33. Sea definida por , determinar los extremos de f en el caso que existan, justifique sus respuestas.

Solución:Hallamos el vector gradiente y cada término de este se iguala a cero, para hallar los puntos críticos:

34. Usando la definición, determínese los valores extremos de la función f definida por

Soluciòn:

y

2 2 2

2 2 2

2 2 2

22

2 2 2

Sea el plano

1 0

1

La distancia al elipsoide es:

( 1)

1) ( , , )

La funcion condicion es

Ax By Cz

X y z

a b c

Ax By Czd

A B C

Ax By CzF x y z d

A B C

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1

Luego aplicando lagrange

1 2 2 ............1

1 2 2 .............2

1 2 2 .......

x y z

a b c

Ax By Cz xA

A B C a

Ax By Cz yB

A B C b

Ax By Cz zC

A B C c

2 42

0 2 2 2

.....3

luego se logra obtener resolviendo tenemos y reemplazando en la condicion

A aAa .......4

Aa + Bb + Ccx X

2 42

0 2 2 2

2 42

0 2 2 2

..........5 Y Aa + Bb + Cc

...........6 Z Aa + Bb + Cc

con los cuales calculaemos la distancia mas corta.

B bBb y

C cCc z

…….analizando:

;

Por lo tanto se trata de un mínimo absoluto, es el único punto estacionario que presenta esta función

35. Halle la distancia mas corta entre el plano Ax + By +Cz +1 = 0 y el elipsoide

Solución:

37. Un disco circular tiene la forma de la región limitada por la circunferencia , si T grados es la temperatura en cualquier punto (x,y) del disco, y

, encuentre los puntos más calientes del disco.

Solución:

Analizamos por partes, primero para el interior del disco aplicamos el criterio de máximos y mínimos con la matriz hessiana:

Ahora analizamos la restricción de los puntos para los cuales T(x,y) tiene valores extremos sujetos a la restricción de estar sobre la circunferencia dada:

38. Una empresa tiene tres fabricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la fabrica A produce x unidades B y unidades C z unidades.

2

costos de productos

fabrica A 3x 200

fabrica b

xu

y

2

2

2 2 2

y 400

fabrica C 2z +300

costo minimo total de productos f 3x +y +2z +900

u

zu

1100

* 6 2

6 1 3 2

2y 1 reempla

g x y z

f g x y z

x x y z

zando en 9

4z 1 200 , 600 y 3000

x y z

Emplee el método de lagrange para determinar como debe distribuírsela producción entre las tres fabrica a fin de minimizar el costo de producción total.

Solución:

40.- f(x,y) = 320y + 160x / f(x,y) = # de unidades producidas Y+2 x+4

X = # miles de euros en desarrollo

Y = # de euros en promociónVendera: f(x,y) , ganara : 150 . f(x,y)Inversión: 50 . f(x,y)_________________ Ganacia: 100 . f(x,y)a) Datos:x+y = 8000 € , debe ganar el máximo beneficio

∂f = 160 4 ^ ∂f = 320 2__ ∂x (x+4)2 ∂y (y+2)2

G(x) = x + y = 8000 ∂g = 1 ^ ∂g = 1 ∂x ∂yPara el máximo beneficio:

∂f = λ . ∂g ^ ∂f = λ . ∂g∂x ∂x ∂y ∂y

∂f = ∂f ; 1 = 1___∂x ∂y (x+4)2 (y+2)2

x+2 = y ^ x+y=8000

x = 3999

y = 4001

b) Nuevo dato:

X + y = 8100 ; para que siga ganándose el Máximo debe cumplirse x + 2 = y

2x + 2 = 8100X = 4049 ^ y = 4051

Dx = Δx = 4049 - 4001 = 50 ; dy = Δy = - 4001 + 4051 = 50

DG = 100 df = 100 (dx. 160 .4 + dy 320 . 2 ) (x+4)2 (y+2)2

= 100 ( 50 . 160 . d + 50 . 320 . 2 ) = 0.3994 (4003)2 (4003)2

Ese aumento en la inversión no incidirá casi nada ( ni en la mitad de un euro).

41. Dada la superficie S: , determinar el lugar geométrico de los

puntos de la superficie cuyo plano tangente dista una magnitud de 3 del origen. Las proyecciones del lugar sobre los tres planos coordenados, máximos y mínimos de la distancia del origen a los puntos de contacto.

Solución:

Nuestro objetivo es hallar los puntos generales (x,y,z) en la superficie tal que la distancia del origen al plano tangente sea igual a 3, es fácil darse cuenta que el plano tangente viene dado por:

Ahora la distancia del origen al plano esta dado por:

1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3 1 2 3

2

La ecuacio del plano es:

( ) ( ) ( ) 0

Hallamos las intersecciones con los ejes

...........(1)

...........(2)

n x a n y b n z c

n m n a n b n c

n n n a n b n c mn nn n p

n p

1 2 3

abc0

2

2 2

...........(3)

de (1,2,2,3,4) se obtiene que 1=

Luego

V= y la funcio condicion es 1=

Aplicando lagrange.

np ........(α) 3

mp ....

a b cm n p

a b cm n p

n a n b n c

a n m a

m b

2

...(β) 3

mn .......( ) 3

Luego reemplazando en la ecuacion del plano

( ) 0

n b

c n p c

c cx a y b z c

a v

42. Por un punto (a, b, c) hacer pasar un plano que delimite sobre el triedo de los ejes coordenados un tetraedro de volumen mínimo hallar la ecuación del plano.

Solución:

1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3 1 2 3

2

La ecuacio del plano es:

( ) ( ) ( ) 0

Hallamos las intersecciones con los ejes

...........(1)

...........(2)

n x a n y b n z c

n m n a n b n c

n n n a n b n c mn nn n p

n p

1 2 3

abc0

2

2 2

...........(3)

de (1,2,2,3,4) se obtiene que 1=

Luego

V= y la funcio condicion es 1=

Aplicando lagrange.

np ........(α) 3

mp ....

a b cm n p

a b cm n p

n a n b n c

a n m a

m b

2

...(β) 3

mn .......( ) 3

Luego reemplazando en la ecuacion del plano

( ) 0

n b

c n p c

c cx a y b z c

a v

44. Comprobar que el campo escalar tiene un punto estacionario en (1,1,1) y determinar la naturaleza de ese punto calculando los autovalores de su matriz hessiana.

Solución: Aplicamos gradiente igual a cero vector:

45. Determinar todos los valores extremos absolutos y relativos y los puntos de ensilladura para la función f:A R2→R definida por f(x,y)=xy(1-x2-y2) en la región cuadrada 0≤x≤1, 0≤y≤1 .

f(x,y)=xy(1-x2-y2) = xy – x3y – xy3 fx=y – 3x2y –y3 ; fy = x – x3 – 3xy2

Del criterio de la primera derivada tenemos que ambas derivadas parciales deben ser ceros así:y(1-3x2-y2)=0 ; x(1-x2-3y2)=0

Si: y=0 x=0 o x=1 de lo cual obtenemos dos puntos críticos(0,0)y(1,0)Ahora cuando el segundo término es cero tenemos1-3x2-y2 =0, 3x2+y2=1x=0 y y=1

, x2+3y2=1 x=1/2 y y=1/2Según nuestro análisis podemos notar que ya están incluidos los vértices excepto el punto (1,1)Resumiendo podemos dar todos los puntos críticos y sus respectivos valores y así poder indicar cuales son máximos y mínimos .(0,0) f=0 ; silla(1,0) f=0 ; silla(0,1) f=0 ; silla(1/2,1/2) f=1/4 ; maximo(1,1) f=-1 ; minimo