Trabajo y energía

Contenido

• Trabajo por fuerza constante: Definición. Unidad de medida, trabajo positivo, negativo o nulo.

• Trabajo realizado por varias fuerzas.• Trabajo realizado con fuerzas variable en trayectoria

rectilínea• Trabajo en trayectoria curva• Teorema del Trabajo y Energía cinética: a. Definición de

energía cinética. b. fuerza constante, c. fuerzas variables, d. limitaciones.

• Potencia: definición. Potencia media. Potencia instantánea. Unidades de medida.

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El trabajo realizado por una fuerza consante F que se

mueve un desplazamiento s está definido por:

el producto de la componente de la fuerza en la dirección del

desplazamiento por la magnitud del desplazamiento

donde es el ángulo de la dirección de la fuerza y la

dirección del movimiento.

s ( o escribiremos d) es el desplazamiento.

sFsFW )cos(

Trabajo (realizado por una fuerza constante)

s

5

Unidades de

medida del

trabajo :

El trabajo es una magnitud escalar

Si F tiene la misma dirección que el desplazamiento,

entonces = 0°, y W= Fs

Sistema de unidades Trabajo

SI Joule (J) 1 J= 1N m

Británico libra·pie

cgs Ergio= dina·cm

Otros eV (electronvolt)

1J=0.7376 lb·pie ; 1 lb·pie= 1.356 J ; 1eV=1.60x10-19 J

El trabajo puede ser:a. Trabajo positivo: la fuerza tiene la misma dirección que el desplazamiento.b. Trabajo negativo: la fuerza tiene dirección opuesta al desplazamiento.c. Trabajo nulo: el desplazamiento es cero, o la fuerza es cero, o son

perpendiculares la direcciones de la fuerza y el desplazamiento.

Ángulo ϴ Cos ϴ Trabajo Conclusión

Entre 0° y 90° Mayor que 0 Positivo La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento

Entre 90° y 180° Menor que 0 Negativo La fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento

90° 0 Nulo La fuerza tiene una componenteperpendicular al desplazamiento

En el movimiento circular, el trabajo realizado por la fuerza centrípeta es cero, ¿por qué?

7

No se realiza trabajo en la para

moverla horizontalmente (¿por

qué?)

Se realiza trabajo al levantar la

caja (¿por qué?)

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Trabajo negativo y trabajo total

Trabajo total (o neto) realizado por varias fuerzas:

a. Método 1. El trabajo total realizado por las fuerzas sobre el

cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por las

fuerzas individuales:

b. Método 2. Buscar la fuerza neta y aplicar la definición

321 WWWWW itotal

sFW

sFW

)cos(

9

Ejemplo : Suponga que usted hala un paquete con una

fuerza de 98 N que forma un ángulo 55° respecto a la horizontal

por una distancia de 60m. ¿Cuál es el trabajo total realizado por

usted sobre el paquete?

Obsérvese que (F cos) es la componentede la fuerza en la dirección del movimiento. (en la dirección del desplazamiento del paquete)

Solución

JW

mNW

FdW

3490

55cos6098

cos

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Problema: Una fuerza F = (6ˆi - 2ˆj) N actúa en una partícula que

adquiere un desplazamiento r = (3ˆi +ˆj) m. Encuentre el trabajo

realizado por la fuerza en la partícula.

Ejemplo : Un bloque de masa 0.23 kg se deliza hacia abajo en un

plano inclinado en 25° a una velocidad constante. El bloque se deliza

1.5 m. ¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza normal, por la gravedad,

y por la fricción? ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque?

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La fuerza normal

La fuerza de fricción

NmgF

mgF

maF

rf

rf

95.025sen8.923.0sen

0sen

NmgF

mgF

maF

n

n

04.225cos8.923.0cos

0cos

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Trabajo realizado por cada fuerza

Trabajo realizado por la fuerza normal:

Trabajo realizado por la fuerza de fricción:

Trabajo realizado por la fuerza gravitacional

Entonces, el trabajo total o trabajo neto es:

JdFW nn 090cos5.104.2cos

JdFW frfr 40.1180cos5.195.0cos

JmgddFW gg 40.165cos5.18.923.0coscos

0neto n fr gW W W W J

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Gráfico fuerza-posición

El trabajo realizado por una fuerza es igual al área debajo de la

curva y el eje x (si el área se encuentra debajo del eje x este

trabajo es negativo)

Fuerza constante

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Trabajo realizado por fuerza

variable

xFWf

i

x

x

x

0lim

f

f

i

i

xx

x xxxx

F x F dx

f

i

x

x

x

W F dx Trabajo realizado por una fuerza variable, desplazamiento rectilíneo

Trabajo realizado por fuerza variable en cualquier trayectoria

𝑊 = 𝑃1

𝑃2 𝐹 ⋅ 𝑑 𝑙

Trabajo realizado por una fuerza variable en una trayectoria curva

Esta integral se denomina integral de línea.

Sólo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, realiza trabajo sobre la partícula.

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Ejemplo: Una fuerza actúa en una partícula varía con x, como se

muestra en la figura .Calcule el trabajo realizado por la fuerza al moverse

la partícula desde x = 0 to x = 6.0 m.

Solucion El trabajo realizado es igual al área debajo de la curva

entre x= 0 to x= 6.0 m. Esta área es igual al área de un retácgulo entre

x= 0 a 4 m más el área del trígulo entre x= 4 a 6m. El área del

rectángulo es (5.0 N)(4.0 m) = 20 J, y el área del triángulo es

½(2m)(5N)=5J. Entonces, el trabajo total es =25J

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Problema: Un objeto está sometido a una fuerza como se muestra

en la figura. ¿Cuál es el trabajo entre 0 a 1.00m?

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Trabajo realizado por un resorte

sF kx Donde k es una consante

positiva (denominada

constante elástica)

2

max

1

2sW kx

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Teorema del Trabajo y la Energía Cinética

El trabajo total realizado por una fuerza neta sobre unapartícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula:

Wtotal = K = Kfinal - Kinicial

2 21 1

2 2total f iW mv mv

Teorema del trabajo y energía cinética para fuerza constante

• Consideremos una fuerza F constante que forma un ángulo θ=0º,

F

x

cos

cos0º

W F x

W F x

W F x

F ma Sustituyendo en la ec. anterior

W ma x

Como F= constante, a es const y el movimiento es rectilíneo uniformente variado. Entonces:

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

1 1

2 2

f o

f o

f o

f o

v v a x

v va x

v vW m

W mv mv

21

2K mvDenominemos a K energía cinética,

Teorema de trabajo-energía: “el trabajo realizado por la fuerza neta sobreUna partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula”

f oW K K

W K

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Energía cinética

La energía cinética se define:

m = masa

v = magnitud de la velocidad

La unidad de medida en el SI es el Joule (J).

La energia cinética es una magnitud escalar.

La energía cinética siempre es no-negativa (cero o positiva)

2

2

1 mvK

Teorema del trabajo y energía cinética para fuerza variable para movimiento rectilíneo

• Consideremos una fuerza variable F.

• La aceleración es, aplicando la regla de la cadena,

• El trabajo total por la fuerza neta Fx es:

,xx x

x x xx x

dv dxa v

dt dt

dv dv dx dva v

dt dx dt dx

2 21 1

2 2

f f f

o o o

f

o

x x x

xtotal x x x

x x x

x

total x x f o

x

total f o

dvW F dx ma dx mv dx

dx

W mv dv mv mv

W K K K

Teorema de trabajo-energía para movimiento en una curva

• Sea F una fuerza variable, y ф el ángulo entre F y dl, siendo dl un elemento de desplazamiento a lo largo de la curva de P1 a P2.

• Sea dW el elemento de trabajo realizado sobre la partícula durante dl, entonces:

• El trabajo total realizado por F sobre la partícula al moverse de P1 a P2 es:

cosdW F dl Fdl F dl

2 2

1 1

cos

P P

P P

W F dl F dl

• Como la fuerza F es prácticamente constante en cualquier segmento infinitesimal dl de la trayectoria, podemos aplicar el teorema trabajo-energía de la partícula a cada segmento. Es decir:

• La suma de estos trabajos infinitesimales de todos los segmentos de la trayectoria es igual al cambio total de energía cinética en la trayectoria.

dW F dl

total f iW K K K

26

Ejemplo : ¿Cuánto trabajo se requiere para detenerun automóvil de masa de 1000 kg viajando a 28 m/s?

Solución:

JW

W

mvmvKEW if

5

22

22

109.3

)28)(1000(2

1)0)(1000(

2

1

2

1

2

1

Análisis en tres dimensiones

• En tres dimensiones resulta:

f f f f

i i i i

x y z

x y z

r x y z

x y z

r x y z

F F i F j F k

d r dxi dy j dzk

dW F d r F dx F dy F dz

W dW F dx F dy F dz

28

Ejemplo : Un esquiador de 58 kg se desliza en una

pendiente de 25° por encima de la horizontal. Una fuerza de fricción cinética de 70 N se opone al movimiento. Cerca de la parte más alta de la pendiente la rapidez del esquiador es de 3.6 m/s. ¿Cuál es la rapidez en el punto más bajo a 57 m cuesta abajo?

Trabajo neto= Wf+Wg :

Solution:

JW

dfW

f

rf

399015770

180cos

sin 25. cos0

cos25 cos90 0

58 9.8 0.42 57 13690

g

g

g

W mg d

W mg d J

W J

JWnet 9700

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Por el Teorema del trabajo y la energía cinética:

2 2

2 2

2

2

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2 9700(3.6) 18.6 /

58

f i

f i

f i

f

W K mv mv

mv W mv

Wv v

m

v m s

30

Ejemplo: Un ciclista de 65 kg corre una bicicleta de 10.0 kg con

una rapidez de 12 m/s.

(a) ¿Cuánto trabjo deben realizar los frenos para detener la

bicicleta con el ciclista?

(b) ¿Qué tan lejos viaja el ciclista si toma 4.0 s llegar al reposo?

(c) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de frenado?

a) Fricción = sólo la fuerza horizontal

Wneto = Kf -Ki <0

Wneto = 0 – (1/2) m vi2

Wneto = (1/2) (10+65) (12)2

Wneto = 5400 kg m 2 /s 2 = 5400 J

Solution:

31

c) Fuerza de frenado

Wneto = Fneta d = FFriccion d

FFriccion = Wneto /d = (5400)J/(24 m) = 225 N

b) Encontramos la aceleración

v = v0+at

0 = v0 + at,

a= v0/t

a = 12/4 = 3 m/s2

x= x0+v0 t+(1/2)at2

x= 0 + (12)(4) + (1/2)(-3)(4)2

x= 48 -24 = 24 m

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Potencia es la rapidez con que se realiza un trabajo.

Potencia

Tiempo

TrabajoPotencia

( ) (potencia instantánea)Trabajo d

Potencia F Fv F vTiempo t

• Potencia media

• Potencia instantánea

media

WP

t

lim

0

W dWP

t t dt

Unidades de potencia

La unidad SI de potencia es el watts" (W).

Otras unidades de potencia:

Unidad de energía expresada en unidades de potencia:

WattSegundo

Joule1

1

1

1 550 / 746

1 1000

hp pie lb s W

kW W

1 3.6kWh MJ

El kWh= kilowatt-hora, es una unidad de energía

Preguntas