trabajo probabilidad

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NOMBRE: FERNANDO CHACÓN JAVIER FAREZ LUKAS MATUTE JONNATHAN JARA FREDY CAÑAR MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEMA: DEBER PROFESOR: ING. FREDY RIVERA FECHA: 23/05/2014

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Page 1: Trabajo probabilidad

NOMBRE:

FERNANDO CHACÓN

JAVIER FAREZ

LUKAS MATUTE

JONNATHAN JARA

FREDY CAÑAR

MATERIA:

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

TEMA:

DEBER

PROFESOR:

ING. FREDY RIVERA

FECHA:

23/05/2014

Page 2: Trabajo probabilidad

1. Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que esta:

a) a la izquierda de z = –1.39;

𝑃(𝑧 < −1.39) = ∅(−1.39) = 0.0823

b) a la derecha de z = 1.96

𝑃(𝑧 > 1.96) = 1 − ∅(1.96) = 1 − 0.9750 = 0.0250

c) a la derecha de 0.89

𝑃(𝑧 > −0.89) = 1 − ∅(−0.89) = 1 − 0.1867 = 0.8133

d) entre z= -2.16 y z= -065

𝑃(−2.16 < 𝑧 < −0.65) = ∅(−2.16) − ∅(−0.65) = 0.2643 − 0.1540 = 0.2490

e) entre z=-0.48 y z=1.74

𝑃(−0.48 < 𝑧 < 1.74) = ∅(1.74) − ∅(−0.48) = 0.9591 − 0.3156 = 0.6435

2. Calcule el valor de z si el area bajo una curva normal estándar.

a) a la derecha de z es 0.3622;

𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.3622 → 𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 1 − 0.3622 = 0.6378

= 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378

= 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378

= 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378 − 0.5000

= 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1378

𝑍𝑜 = 0.35 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.

b) a la izquierda de z es 0.1131;

𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1131 = 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.1131

= 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 1 − 0.1131 = 0.8869

= 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869

= 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869

= 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869 − 0.5000

= 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.3869

−𝑍𝑜 = 1.21 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.

𝑍𝑜 = 1.21

c) entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838;

𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.4838 = 𝑍𝑜 = 2.14 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.

d) entre –z y z, con z > 0, es 0.9500

Page 3: Trabajo probabilidad

𝑃(−𝑍0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.9500 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) =0.9500

2= 0.4750

𝑍𝑜 = 1.96 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.

3. Dada una distribución normal con μ = 30 y σ = 6, calcular:

a) el área de la curva normal a la derecha de x = 17;

𝑍 =17 − 30

6= −2.1666 = −2.17(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)

𝐴 = 0.4850

b) el área de la curva normal a la izquierda de x = 22;

𝑍 =22 − 30

6= −1.3333 = −1.33(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)

𝐴 = 0.4082

c) el área de la curva normal entre x = 32 y x = 41;

𝑍1 =32 − 30

6= 0.1111 = 0.11(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)

𝐴1 = 0.0438

𝑍2 =41 − 30

6= 1.8333 = 1.83(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)

𝐴2 = 0.4664

El área entre x1y x2 es:

𝐴2 − 𝐴1 = 0.4664 − 0.0438 = 0.4226

d ) el valor de x que tiene 80% del área de la curva normal a la izquierda;

𝐴 = 0.3 = 0.2995 𝑍 = 0.84

𝑍 =𝑥 − 𝜇

𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇

𝑥 = (6 ∗ 0.84) + 30 = 35.04

e) los dos valores de x que contienen 75% central del área de la curva normal.

𝐴 = 0.375 = 0.3749 𝑍 = 1.15

𝑍 =𝑥 − 𝜇

𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇

𝑥1 = (6 ∗ 1.15) + 30 = 36.9

𝑥2 = (−6 ∗ 1.15) + 30 = 23.1

4. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200

mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación

estandar igual a 15 mililitros,

a) que fracción de los vasos contendrá mas de 224 mililitros?

Page 4: Trabajo probabilidad

𝑍 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

224 − 200

15= 1.60

𝑃(𝑥 > 224) = 𝑃(𝑧 > 1.60)

= 𝑃(𝑧 > 0) − 𝑃(0 < 𝑧 < 1.60)

= 0.5000 − 0.4452

= 0.0548 ≈ 5.48%

b) cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?

𝑍1 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

191 − 200

15= −0.60

𝑍2 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

209 − 200

15= 0.60

𝑃(191 < 𝑥 < 209) = 𝑃(−0.60 < 𝑧 < 0.60)

= 𝑃(−0.60 < 𝑍 < 0) + 𝑃(0.60 < 𝑍 < 0)

= 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) + 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60)

= 2 ∗ 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) = 0.4515

c) cuantos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 230 mililitros para las

siguientes 1000 bebidas?

𝑍 =𝑥 − 𝜇

𝜎=

230 − 200

15= 2.00

𝑃(𝑥 > 230) = 𝑃(𝑍 > 2.00)

= 𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 2.00)

= 0.5000 − 0.4772

= 0.0228 ≈ 2.28%

d ) por debajo de que valor obtendremos el 25% mas bajo en el llenado de las bebidas?

Debemos encontrar el valor de Zo para para el cual 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑍𝑜 > 0.

𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 → 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.25

𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25

𝑃(𝑍 > 0) − 0.25 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜)

𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.5 − 0.25

𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25

Buscando en la tabla de valores el valor mas cercano de 0.25 es 0.2486 se tiene que Zo=0.67

asi:

−𝑍𝑜 =𝑥𝑜 − 𝜇

𝜎 𝑥𝑜 = 𝜇 − (𝑍𝑜 ∗ 𝜎)

𝑥𝑜 = 200 − (0.67 ∗ 15) = 189.95 ≈ 190

Page 5: Trabajo probabilidad

5. Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la

ciudad. El tiempo promedio para un viaje solo de ida es de 24 minutos, con una desviación

estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida

normalmente.

a) .Cual es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?

𝑃(𝑋 > 30) = 1 − ∅ [30 − 24

3.8] = 1 − ∅[1.58] = 1 − 0.9428 = 0.0572

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y el sale diario de su casa a las 8:45 a.m., .que porcentaje de

las veces llegara tarde al trabajo?

𝑃(𝑋 > 15) = 1 − ∅ [15 − 24

3.8] = 1 − ∅[−2.37] = 1 − 0.0089 = 0.991

c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., .cual

es la probabilidad de que se pierda el café?

𝑃(𝑋 > 25) = 1 − ∅ [25 − 24

3.8] = 1 − ∅[0.26] = 1 − 0.6038 = 0.3962

d ) Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos.

1 − ∅(𝑧) = 0.15∅(𝑧) = 0.85(𝑧) = 1.04

𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94

e) Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora

Del inciso a) P=0.0578 𝑃(𝑌 = 2) = 3𝐶2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925

6. La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una

media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100

kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean a los 50 kilogramos por

centímetro cuadrado más cercanos.

a) .Que proporción de estos componentes excede a 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado

de resistencia a la tensión?

𝜇 = 15.90 𝜎 = 1.5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 50 𝑒 = ±25

𝑃(𝑋 > 10150) = 𝑃(𝑋 ≥ 10175) = 1 − ∅ [10175 − 10000

100] = 1 − 0.9599 = 0.0401

b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la

tensión de entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado, .que proporción de piezas

esperaría que se descartara?

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200)

𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200) = 𝑃(9775 ≤ 𝑋 ≤ 10225)

= ∅ [10225 − 10000

100] − ∅ [

9775 − 10000

100]

= ∅[2.25] − ∅[−2.25] = 0.9756

𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 0.9756 = 0.0244

Page 6: Trabajo probabilidad

1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan

defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso

de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación

normal a la binomial para calcular

a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito;

b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de

componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos).

6.25 𝑛 = 100

a)

𝑝 = 0.01 𝜇 = (100)(0.01) = 1 𝜎√(100)(0.01)(0.99) = 0.995

𝑧 =(0.5 − 1)

0.995 𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑍 ≤ −0.503) = 0.3085

𝑧 = −0.503

b)

𝑝 = 0.05 𝜇 = (100)(0.05) = 5 𝜎√(100)(0.05)(0.95) = 2.1794

𝑧 =(0.5 − 5)

2.1794 𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑋 ≤ −2.06) = 0.0197

𝑧 = −2.06

2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del

proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos

6.26 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.1) = 10 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3

a) exceda los 13?

𝑧 =(13.5 − 10)

3 𝑃(𝑋 > 13.5) = 𝑃(𝑍 > 1.17) = 0.1210

𝑧 = 1.17

b) sea menor que 8?

𝑧 =(7.5 − 10)

3 𝑃(𝑋 < 7.5) = 𝑃(𝑍 < −0.83) = 0.2033

𝑧 = −0.83

3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón

delicada. De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la

probabilidad de que

6.27 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.9) = 90 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3

a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?

Page 7: Trabajo probabilidad

𝑧1 =(83.5 − 90)

3

𝑧1 = −2.17

𝑧2 =(95.5 − 90)

3 𝑃(83.5 < 𝑋 < 95.5) = 𝑃(−2.17 < 𝑍 < 1.83)

= 0.9664 − 0.0150 = 0.9514 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668

𝑧2 = 1.83

b) sobrevivan menos de 86?

𝑧 =(85.5 − 90)

3 𝑃(𝑋 < 85.5) = 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668

𝑧 = −1.50

4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud

informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes

funcionan muy bien para lograr que una persona este más tranquila y relajada”. De las

siguientes 80 personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que

6.28 𝜇 = 𝑛𝑝 = (80)(3 4⁄ ) = 60 𝜎 = √(80)(3/4)(1/4) = 3.873

a) al menos 50 tengan esta opinión?

𝑧 =(49.5 − 60)

3.873 𝑃(𝑋 > 49.5) = 𝑃(𝑍 > −2.71) = 1 − 0.0034 = 0.9966

𝑧 = −2.71

b) a lo sumo 56 tengan esta opinión?

𝑧 =(56.5 − 60)

3.873 𝑃(𝑋 < 56.5) = 𝑃(𝑍 < −0.90) = 0.1841

𝑧 = −0.90

5. Una empresa farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras

anticonceptivas no contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve

ineficaces. .Cual es la probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200

sean ineficaces?

6.32 𝜇 = 𝑛𝑝 = (200)(0.05) = 10 𝜎 = √(200)(0.05)(0.95) = 3.082

𝑧 =(9.5 − 10)

3.082 𝑃(𝑋 < 10) = 𝑃(𝑍 < −0.16) = 0.4364

𝑧 = −0.16

Aproximación normal a la binomial

Page 8: Trabajo probabilidad

1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan

defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso

de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación

normal a la binomial para calcular

a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito;

b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de

componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos).

2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del

proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos

a) exceda los 13?

b) sea menor que 8?

3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón delicada.

De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la probabilidad de que

a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?

b) sobrevivan menos de 86?

4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud

informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes funcionan

muy bien para lograr que una persona este mas tranquila y relajada”. De las siguientes 80

personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que

a) al menos 50 tengan esta opinión?

b) a lo sumo 56 tengan esta opinión?

Page 9: Trabajo probabilidad

5. Una empresa farmaceutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras anticonceptivas no

contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve ineficaces. .Cual es la

probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200 sean ineficaces?

Distribución gamma y distribución exponencial

1. En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente

una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9

millones de litros de agua, .cual es la probabilidad de que en cualquier dia dado el suministro de

agua sea inadecuado?

𝑃(𝑋 > 9) =1

9∫ 𝑥−

𝑥3

9

𝑑𝑥 = [−𝑥

3𝑒−

𝑥3 − 𝑒−

𝑥3]

∞9

= 4𝑒−3 = 0.1992

2. Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 y β = 1, calcule P(1.8 < X

< 2.4).

𝑃(1,8 < 𝑋 < 2,4) = ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 = [−𝑥𝑒−𝑥2.4

1.8

− 𝑒−𝑥]2.41.8

= 2.8𝑒−1.8 − 3.4𝑒−2.4 = 0.1545

3. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una

variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media μ = 6 y varianza σ2 = 12. a)

Calcule los valores de α y β.

b) Calcule la probabilidad de que en cualquier dia dado el consumo diario de energía exceda los

12 millones de kilowatts-hora.

A)

𝜇 =∝ 𝛽 = 6

𝜎2 =∝ 𝛽2 = 12

∝=6

𝛽

6𝛽 = 12

𝛽 = 2 ∝= 3

B)

Page 10: Trabajo probabilidad

𝑃(𝑋 > 12) =1

16∫ 𝑥2𝑒−

𝑥2 𝑑𝑟

12

𝑃(𝑋 > 12) =1

16[−2𝑥2𝑒−

𝑥2 − 8𝑥𝑒−

𝑥2 − 16𝑒−

𝑥2]

∞12

= 25𝑒−6 = 0.0620

4. El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable

aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. .Cual es la

probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en al menos 4 de los

siguientes 6 días?

𝑃(𝑋 > 3) =1

4∫ 𝑒−𝑥/4

3

0

𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥/4]30

= 1 − 𝑒−34 = 0.5276

𝑃(𝑌 ≥ 4) = ∑ 𝑏 (𝑦; 6, 1 − 𝑒−34)

6

𝑥=4

= (64

) (0.5276)4(0.4724)2 + (65

) (0.5276)5(0.4724) + (66

) (0.5276)6

= 0.3968

5. La vida, en anos, de cierto interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una

vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, .cual es

la probabilidad de que, a lo sumo, fallen 30 durante el primer año?

𝑃(𝑋 < 1) =1

2∫ 𝑒−

𝑥2

1

0

𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥2

]10

= 1 − 𝑒−12 = 0.3935

𝜇 = (100)(0.3935) = 39.35

𝜎 = √(100)(0.3935)(0.6065) = 4.885

𝑧 =30.5 − 39.35

4.885= −1.81

𝑃(𝑌 ≤ 30) = 𝑃(𝑍 < −1.81) = 0.0352