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DEFINICION NUMEROS COMPLEJOS Se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, que verifica la propiedad: i² = − 1 Un número imaginario puro es un múltiplo de la unidad imaginaria de la forma bi, donde b pertenece a los reales e i es la raíz cuadrada de menos uno. pueden hacerse las 4 operaciones racionales de suma, diferencia, producto y cociente de dos números imaginarios puros, solo que el producto y el cociente dan como resultado números reales. Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. Dado que un número real es de distinta naturaleza que un número imaginario puro, se define un número complejo z como la suma de un número real y uno imaginario puro de la siguiente forma: z = a + bi, con a y b números reales e i es la raíz cuadrada de menos uno.

REPRESENTACIÓN BINOMIAL

CADA COMPLEJO SE REPRESENTA EN FORMA BINOMIAL COMO:

z = a + iba es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:

a = Re(z)

b = Im(z)

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. En la parte horizontal o eje real, se colocan los números reales; en el eje vertical o eje imaginario, van los números imaginarios puros.

Dado que cada número complejo consta de una parte real y una imaginaria, puede representarse geométricamente cada número complejo por sus coordenadas en el plano complejo, similarmente al plano de coordenadas cartesianas.

Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter. Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

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Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r.

Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

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Propiedades de la suma de números complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

·

Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):

(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0

Ejemplo: El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0

Propiedades del producto de complejos

· Conmutativa Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:

(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi ) Ejemplo:

Asociativa Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:

[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]

Ejemplo:

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· Elemento neutro

El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno.

Distributiva del producto con respecto a la suma

El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.

El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·).

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b).

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado φ.

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo φ:

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Veamos cómo obtenemos esa expresión:

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia de la siguiente manera:

z = rcisφ

en la que r = Mod {z} y φ = Arg {z} representan el módulo y argumento respectivamente.

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Obsérvese que para definir un número complejo se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo φ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos φ al intervalo [-π, π] y a éste φ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

1

2 2 2

2 2

( ) ( )z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i

z c di c di c di c d z

Ejemplo. Dados 1 2 3z i y

2 1 2z i , halle: (a) 2z y (b) 1

2

z

z.

(a) Como 2 1 2z i entonces

2 1 2z i

(b) Para hallar 1

2

z

z multiplicamos y dividimos por el conjugado

2z .

1

2

2

2 2

2 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )

1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )

2 4 3 6 8 8 1

5 5 5( 1) (2)

z i i i i i

z i i i i i

i i i ii

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Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica.

Sean cisu r y cisv s , entonces cisuv rs . En otros términos:

cos( ) sin( )uv rs i

Demostración:

2

cis cis

cis cis

cos sin cos sin

cos cos cos sin sin cos sin sin

cos cos sin sin (cos sin sin cos )

cos( ) sin( )

( ) cis( )

u v r s

rs

rs i i

rs i i i

rs i i

rs i

rs

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

Ejemplo. Sea 2cis4

u y 3 cos 34 4 4

v i sen cis .

Entonces 6cis(0) 6 cos(0) sin(0) 6uv i

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con

la suma de vectores. Dados dos vectores y su

suma es

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo

representa, es decir, si , entonces el módulo de es

.

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del

eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

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Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso

de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejo.

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación 2 0ax bx c es negativo, debe sustituirse

el signo negativo por 2i y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la

ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2 2 6 0x x .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 20

2(1) 2 2x

Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 220i .

Por lo tanto:

22 20 2 20 2 2 51 5

2 2 2

i ix i

Así, las raíces complejas de la ecuación son: 1 1 5x i y 2 1 5x i .

Fórmula de Moivre

El módulo de una potencia cuya base es un número complejo, es otro complejo cuyo módulo se obtiene elevando el módulo al exponente correspondiente y cuyo argumento se obtiene multiplicando el argumento por el exponente. Es decir,

Demostración: (Ra )n = Ra · Ra ..... Ra = (R · R ... R)a + a ... + a = (Rn )n a Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

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Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

f(t) = z eiωt

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C ..

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

CUESTIONARIO ¿QUE ES UN NUMERO COMPLEJO? R: Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios. ¿EN QUE RAMA DE LA INGENIERIA TIENEN APLICACIONES LOS NUMEROS COMPLEJOS Y PARA QUE SIRVEN? R: Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables).

el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

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RESOLVER EL SIGUIENTE EJEMPLO MEDIANTE LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS.

R.

Resolución:

DADO EL SIGUIENTE EJEMPLO RESOLVERLO POR EL METODO DE LA SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

R. Ejemplo:

(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i

(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) =

= (3i + 6) + (-12 - 11i ) = - 6 - 8i

Aplicar la fórmula de Moivre para hallar la expresión de sen 4x y de cos 4x en función de las razones trigonométricas de x.

R: Resolución:

Se considera el complejo 1x. Calculando su cuarta potencia:

(1x)4 = 14x = cos 4x + i sen 4x

Pero 1x = cos x + i sen x, con lo que (1x)4 = (cos x + i sen x)4.

Aplicando el binomio de Newton a esta expresión:

(cos x + i sen x)4 = cos4x + 4i cos3x · sen x + 6 cos2x(i sen x)2 +

+ 4 cos x · (i sen x)3 + (i sen x)4

Pero i 2 = -1, i 3 = i 2 · i = -1 · i = -i e i 4 = i 2 · i 2 = (-1) (-1) = 1

Así:

(cos x + i sen x)4 = cos4x + 4i cos3x · sen x - 6 cos2x · sen2x - 4 cos x · sen3x i + sen4x

La parte real de este número es:

cos 4x = cos4x - 6cos2x · sen2x + sen4x

Y la parte imaginaria es:

sen 4x = 4cos3x · sen x - 4cos x · sen3x