trabajo práctico nº1: operaciones con numeros complejos

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Dto. Ing. Mecánica

Cálculo Avanzado. 3º nivel Ing. Mecánica. Profesor: Mg. Ing. Carlos Vera.

Trabajo Práctico Nº1: OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS 1ª) Dados los siguientes números complejos, realizar las operaciones que se indican en la forma trigonométrica y polar.

iziziziz

iziziziz

izizzz

312226388

232362521

3243

1211109

8765

4321

−=+−=−−=+=

−=+−=+=+=

=−==−=

( ) ( )

( )7

12

7

9

34856

64

696

3

6

537

105

97

8

612

8

104621

.)..)))())(

.)))..

)

.)).).)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

zz

zz

lzzzkejdi

zzhzz

gzfzzzz

e

zzz

dzz

czzbzza

2º) Calcular los valores de que satisfagan las siguientes ecuaciones: z

( ) ( )

( )

( )( )iizifii

izie

izidiiizc

iizzibiiza

−+=−=+++

+=+=++

+−=−+−+=++

1.1.)11

23.)

24.1)2

2)

7232)23)1()



3º) Sea iyxz += calcular:

zz)hz)gz)fzz)e

zz)dz.z)czz)bzz)a

+−

+−+

2

2

4º) Hallar todas las raíces de las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) 08.5)

032)

043)

0)

049)02)

2

2

23

3

23

=+++−

=++

=+−

=−

=−=+

izizf

zzd

zzze

izzc

zbzza

5º) Dados: ( )1111 θθρ sen.icosz += y ( )2222 θθρ sen.icosz += verificar que:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]21212

1

2

121212121 θθθθ

ρρ

θθθθρρ −+−=+++= sen.icoszz)bsen.icoszz)a

6º) Calcular todas las raíces en cada caso. w

( )51

31

3

43

232216)27)31)

11)4)1)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

−+−

ifeid

iiciba

7º) Teniendo en cuenta los complejos del ejercicio 1º), calcular los valores principales (VP) de:

( )

( ) ( ) 9386

59

10315

)4)(.))

)2ln(ln)).ln())ln()

zzz fzzezd

zczzbza

−

−+



8º) Resolver las siguientes ecuaciones para : z

i)zln()ci)zln()bi)zln()a 34 2

2 3 −=+=−=π

Trabajo Práctico Nº2: TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO – FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 9º) Determinar analíticamente las regiones en el plano complejo que definen las siguientes expresiones.

332

31

10

12

2

5263

1

13

2

11

1

23

2

231

1

2

32

114

202

2

>−

≤≤

≤≤

<−−−

≤−+≤

≥

=+−

+≤+

+<

<

+

=−

<<

≤−<

>−+

=

<+<<+≥+

3

2

22

2

3

1

<

=

−+

<

≤ − ≤≤≤<≥

z)x

)zIm()t

)izRe()p

iziz)l

iz)

)zIm()

)izIm()zRe()

ziz)

z)v

)zRe()r

)zRe()n

zz)j

)zarg()u

iz)q

iziz)m

)zIm()i

)izzIm()h)zarg()zIm()f)zRe()e

)zRe()d)zIm())zIm()b)zRe()a

ππ

ππ

w

s

o

k

)zIm(

i

g)

c π

π π

10º) Escribir la ecuación de: a) circunferencia unidad b) disco cerrado, centro (-2+3i), 3=ρ c) circunferencia centro (1+i), 2=ρ d) disco abierto, 4=ρ , centro (0,1) 11º) Calcular en las siguientes ( if +−1 ) ( )zf .

1 1

2 2 22

2 +=++=+

=−= ze)z(f)dzz)z(f)cz

)z(f)bzz)z(f)a



12º) Determinar el dominio de las siguientes ( )zf .

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2

2 1 3 1

z z za ) f z b ) f z c ) f z d ) f zi z i z

+= = = =

zz z+ + + +

13º) Dadas las siguientes funciones ( )zfw = , encontrar ( )u( x,y ) Re z= y

. ( )v( x,y ) Im z=

2 2

1

2

12 1

1

122

z iz

za )w d )wb )w z iz c )w iz zz z

ze )w f )w e g )w e h )w ez

zi )w i z j )w z i k )w z.e l )wz

π

−

= == + + = ++

= = =

+= = + = =

z=

14º) Dadas y ( )u( x,y ) Re z= ( )v( x,y ) Im z= , encontrar ( )zfw = . (Recordar

que2

z zx += ;

2z zy

i−

= )

( ) ( )

( ) ( )2 22 2 1 2

a )w x y i x y

b )w xy x i y y x

= − + +

= + − + + −



Trabajo Práctico Nº3: LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS 15º) Calcular si existen los siguientes límites:

( )22

234

24

222/

2

2

1)4)(32() 52823)

1)

)1.(

)4).(32()2

4)1(2) .)

4/

−+−

−+−+−

++−

+−+

+++

→→

→

→

−→→

izizzlímf

izzzzzlíme

zzzlímdzi

izzlímcz

izizlímbzzlíma

iziz

eziz

iziz

iπ

16º) Verificar la existencia o no de los siguientes límites.

( )

2 2

1 02 2 23 1

2 22

0 20

. 1) 3 4 ) .1

2) 3 . .1

x xy y

xy

x x ya lím x y i b lím iy yx y

senx x yc lím y ix sen x

→ →→ →

→→

y⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ −+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ −⎢ + ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ++ −⎢ ⎥+⎣ ⎦

17º) Determinar para que valores son discontinuas las siguientes ( )zfw = .

zzzfc

zzfb

zzzfa )Re()()

11)()

1)() 34 =

−=

+=

18º) Verificar la continuidad de las siguientes ( )zf en los puntos que se indican.

i--1zen ; 22

32)() 2zen ;)()

2izen ;

2z si 4

2 z si 24z

)() 0zen ;0z si 30 z si

)()

22

2

2

=++

−==−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

≠−+

=⎩⎨⎧

==≠

=

zzzzfdizzfc

ii

iizzfb

zzfa



Trabajo Práctico Nº4: FUNCIONES ANALITICAS 19º) Determinar cuales de las siguientes ( )zf cumplen con las ecuaciones de Cauchy –

Riemann. Expresar la derivada en la forma yui

yv

xvi

xuzf

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

= ..)(' .

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+===

=−=−=

+=+==

=−++=−=

−

12

3

21

35 2

2

2

32

22

zzIm)z(f)le.e)z(f)kzRe)z(f)j

)zRe(z)z(f)izzi)z(f)h)zIm()zRe()z(f)g

)zIm(z)z(f)fiyx)z(f)ez

)z(f)d

)zRe(iz)z(f)ciizz)z(f)bzz)z(f)a

iyx

20º) Dadas las siguientes , verificar si cumplen con las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares.

( )zf

( )

( ) ( )[ ]ρi.senρe)d)f()sen(i.(θ)c)f(

zi.Argρ)b)f(za)f(z)

θ lnlncos, )cos,

ln, 8

+=−=

+==

−θρρθ

ρθρ

θρ

21º) Dadas y ( )u( x,y ) Re z= ( )v( x,y ) Im z= verificar si son armónicas.

( )

( )222

2332

) 2cos.)

3) 232)

cos..) )

yxvfyeue

xyxudyxyxyuc

yysenyxevbxyua

x

x

−==

−=−+=

−== −

22º) Dada : ( )u( x,y ) Re z=

• Verificar que es armónica • Hallar la función armónica conjugada ( )yxv , más general • Construir ( ) ( ) ( )yxivyxuyxf ,,, += • Expresarla en función de z



( ) xyyyxudyxuc

yxxubyxua

+++−=−=

+==

23) 12)

) .)

32

22

23º) Dada : ( )v( x,y ) Im z=

• Verificar que es armónica • Hallar la función armónica conjugada ( )yxu , más general • Construir ( ) ( ) ( )yxivyxuyxf ,,, += • Expresarla en función de z

senysenhxvdyxyxyvc

yxyvbxxyyxyva

.) 232)

) 322)

32

2222

=−+=

+=−+−−=

24º) Dada analítica, tal que ( )zf ( )[ ] 32'Re += yzf , ( ) if 40 −= , ( ) 0=if :

• Hallar ( ) ( ) ( )yxivyxuyxf ,,, += • Expresarla en función de la variable “z” • Calcular ( )if +2

25º) Dada f(z) analítica, tal que ( )[ ] 22 343'Re yyxzf −−= , ( ) 01 =+ if , : ( ) 51 =−f

• Hallar ( ) ( ) ( )yxivyxuyxf ,,, += • Expresarla en función de la variable “z” • Calcular ( )if +2

Trabajo Práctico Nº5: FUNCIONES ELEMENTALES 26º) Determinar las componentes ( )yxu , y ( )yxv , de las ( )zf indicadas. Expresar,

en el caso que sea posible, su derivada como yui

yv

xvi

xuzf

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

= ..)(' .



)z(senh)z(f)h)iz(senh)z(f)g

)izcos()z(f)f)z(sen)z(f)e

e.z)z(f)de.z)z(f)c

e)z(f)be)z(f)a

ziz

izz

==

==

==

==

2

32

32

27º) Calcular en las anteriores, de ser posible, el valor de ( )zf ( )if 21+ . 28º) Calcular en las anteriores, de ser posible, el valor de ( )zf ' ( )if 21' + . 29º) Dada , determinar y ( )zf ( )yxu , ( )yxv , . Expresar su derivada en la forma

yui

yv

xvi

xuzf

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

= ..)(' .

( ) zzLnzwdizLnzwc

zLnzwbzLnzwa

).()() )()

)1()() )()() 2

=+=

+==

30º) Calcular de ser posible, en las ( )zf anteriores, el valor de ( )if +1 , 31º) Calcular de ser posible, en las ( )zf ' anteriores, el valor de ( )if −' . 32º) Probar que

)zcos()izcosh()hisenz)iz(senh)g

)zcosh()izcos()f)z(isenh)iz(sen)e

)z(tg)z(tg)dee)c

)z(sen)z(sen)b)izcos()izcos()a

zz

==

==

==

==



33º) Calcular todos los valores de z tales que:

iztgczbzsena 2)() 5)cos() 2)() ===

34º) Calcular el valor principal (VP) de:

iii icibia ++ 22 ) ) )1)(

iziizhizg

iefeeed zzz

π−=−−=−=

+−=−==

2)ln()32)ln()3)ln()

43) 2) 3) 3

35º) Demostrar que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=

−

−

−

−

−

zzLn.)z(tgh.P.V)e

zzLn)z(cosh.P.V)d

zzLn)z(senh.P.V)c

ziziLn.i)z(tg.P.V)b

z.izLn.i)z(cos.P.V)a

11

21

1

1

2

1

1

21

21

1

21



Trabajo Práctico Nº6: INTEGRALES EN EL CAMPO COMPLEJO 36º) Representar las siguientes curvas en el plano complejo.

(2,-1) hasta (-1,-4) desde ; 3: )

oantihorari sentidoen recorrida )1( )

(2,5) hasta (0,1) desde ; 1: )

20 ; 21 )

0 ; 3e-i )22

- ; e2 )

; )(2.)cos()(: )21 ; 3.)(: )

0 ; )(.)cos()(: )

11 ; 3)(: )

2

itit

2

yxj

izh

xyi

teig

tfte

ttsenittzdttittzc

ttsenittzbtittza

it

+=

+−=

+=

≤≤−−=

≤≤+=≤≤+=

≤≤−+=≤≤−+=

≤≤+=≤≤−−=

γ

γ

γ

πγ

πγππγ

ππγγ

πγγ

37º) Calcular las siguientes integrales respecto de las curvas que se indican

∫ ≤≤+−γ

γ 10 , )1(:)( ; )1( ) ttitdzza

∫ ==γ

γ (1,2)zcon (0,1)z une que recta de segmento:)( ; ) 10tdzzb

∫ ==γ

γ (-1,0)zy 0),1(z ,x"" eje el sobre recta de segmento :)( ; ) 10tdzzc

∫ ===γ

γ (0,1)zy 0),1(z desde 1;z :)( ; ) 10tdzzd

∫ +==−γ

γ iitdzze 22z a z desde recta de segmento :)( ; )34( ) 10

∫+===

===+γ

γγγγγ

2zy 2z ,y"" eje el sobre recta de segmento 2;zy 0z ,x"" eje el sobre recta de segmento ; :)( ; 3 )

212

10121

itdzzf

∫ ==+−

γγ (-1,0)z a (1,0)z desde nciacircunfere de arco:)( ; )( ) 10

35 tdzzzg

∫

∫

++

===−

γ

γ

γγγγ

γ

; ;

(1,0)z a (5,0)z desde 23-z nciacircunfere la de arco ; 3

321

10

:)t(dze)i

:)t(zdz)h

z

iii 32z a 1z desde recta de segmento ;1z a 1z ,y"" eje el sobre recta de segmento ;1z a 0z ,x"" eje el sobre recta de segmento

32321

2101

+=+==+======

γγγ



∫+=−=

=−γ

γ

1zy 1z

desde horario sentidoen recorrida 11-z nciacircunfere la de arco ; 1

10 ii

:)t(zdz)j

38º) Para cada una de las siguientes funciones, y tomando en todos los casos la curva cerrada 1: =zγ , analizar:

1. si es posible aplicar el Teorema de la integral de Cauchy para calcular

∫γ dz)z(f .

2. calcular, en todos los casos, el valor de dicha integral.

zzfiz

zfhz

zsenzfg

zzffezzfe

zzfd

zzfczzzfbzzfa

z

=+

=+

=

−===

=+−==

)( ) 3

3)( ) 3)()( )

31)( ) .)( ) 1)( )

)Re()( ) 1)( ) )3cos()( )

2

2

3

39º) Calcular:

∫∫

∫∫

+

+

+

+

+−

π

π

i1

i-

2i

i-

3

i32

i1

21

0

3

)( ) )

3 )12 )

dzzsenhddzec

z)dzsen(b )dz z(za

zi

i



40º) Calcular el valor de las siguientes integrales a lo largo de la curva cerrada γ , recorrida en todos los casos en sentido positivo.

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=+

−=+

−+

=+++

=−

+=+

+=

+

=+−

=++

=

γγγ

γγγ

γγγ

γγγ

γγγ

γγγπ

5z: ;)1(z

34z )32iz: ;)9(

1z- )5.0iz: ;4)(z

23z )

12-z: ;2z-z

1z )1iz: ;1z

dz )211-z: ;

z-z13z )

5.1z: ;1z1z )1iz: ;

iz3dz )2z: ;

-zdz )

22222

23223

2

2

dzz

idzz

hdzz

g

dzz

fedzd

dzcba

41º) Dada zz

zzf−−

= 2

12)( , calcular ∫γ

dzzf )( a lo largo de las trayectorias que se muestran.

a) b) c)

42º) Calcular el valor de las siguientes integrales aplicando la fórmula de la integral de Cauchy, en los casos que sea posible. La curva γ se recorre en sentido positivo.

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=+−

=+

=−+−

=−

=−

=

=+

=−+

=+

γγγ

γγγ

γγγ

γπγγ

γγγ

γγγ

2.13-z: ;)1(

e )z: ;z.cos(z)

23z )5.03z: ;)127z

dz )

1z: ;2z

e )12-z: ;2z

e )21z: ;

1-3zcos(2z) )

1i-z: ;1

)2iz: ;4z

z )23-z: ;3z-z2z )

2

z

23

2

z

2

z

222

zzzidzh

zzg

dzz

fdzz

edzd

zecdzbdza

z



43º) Dada 1)3cos()( 2 +

=z

zzf , encontrar el valor de la ∫γ

dzzf )( a lo largo de las

trayectorias que se muestran. a) b)

44º) Aplicar la fórmula de la integral de Cauchy generalizada para calcular el valor de las siguientes integrales, si γ se recorre positivamente en todos los casos.

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=++

=+

=+−

+

=+−

+=

−=

=+

=+

=+

γγγ

γγγ

γγγ

γπ

γγ

γγπ

γ

γγγ

13z: ;.)(

)cos(. )41-z: ;.cos(z)z

2z- )23-z: ;).()2(z

e )

5.1z: ;).()2(z

e )31-z: ;)(z

sen(2z).e )211-z: ;

1)-(zcos(2z) )

2z: ;1)(z

e )3z: ;2zz

3z )2z: ;z

12z )

2

2

232

3z

32

3z

2

z

2

3

3z

233

2

dzezzzidzhdz

izzg

dziz

zfdzedzd

cdzbdza

z

Trabajo Práctico Nº7: TRANFORMADA DE LAPLACE

45º) Calcular la Transformada de Laplace de las siguientes funciones.

⎩⎨⎧

≥+<≤

=⎩⎨⎧

≥−<≤

=−+=

−=−+=−=

ππ

tsi et0 si

1 tsi 21t0 si 2

25

3546352

t253

2244

t)t(sen

)t(f)f)t(f)ee)tcosh(t)t(f)d

)t(sent)t(f)cte)t(senh)t(f)b)tcos(t)t(f)a

t

t



46º) Antitransformar

( )

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

113

1121

142

42

51

632201

32

144

1610

495

251

211124811

221

21

221

21

311

21

21

21

21

211

21

3

21

521

31

sssL)p

ss.s.ssL)o

ssssL)n

sssL)m

ssL)l

ssssL)k

ssL)j

sssL)i

ssL)h

ssL)g

sL)f

sL)e

sssL)d

ssL)c

ssL)b

sL)a

47º) Utilizando los teoremas de traslación, encontrar ( )sF y ( )tf según corresponda.

{ } { } { }

{ } ( ){ } ( ){ }

( ) ( )

( ) ( ){ }

( ){ }

( )

( ){ }( )

[ ] ( ){ }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−−

−

−−

−−

−

−

−−

−

−−−

−−

−−

4.)

)(2cos)

25)

1.3)

1)

2)

1)

3)

)

11)

541)

1061)

11)

21)

3cos.) 3.) .)

.) .) .)

21

21

2

21

21

2

21

3

21

21

21

41

31

2710

23610

sesLr

tUtLñ

ssLl

seLt

seLp

tUeLn

ssLk

tLs

seLo

tUtLm

ssLj

ssLi

sLh

sLg

teLftseneLeetLd

etLcetLbetLa

s

s

s

t

s

ttt

ttt

π

π

π

ππ

δ



48º) Utilizando transformación de derivadas, resolver los siguientes problemas de valores iniciales. En c), e), f) y g) determinar las respuestas de entrada y estado cero.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

4

4

) ' 1; 0 0

) ' 6 ; 0 2

) '' 5 ' 4 0; 0 1; ' 0 0

) '' 9 ; 0 0; ' 0 0

) '' 2. 2. ; 0 10; ' 0 0

) ' 4 ; 0 2

) '' 2 ' 0;

t

t

t

a y y y

b y y e y

c y y y y

d y y e y y

e y y sen t y y

f y y e y

g y y y

− = =

+ = =

+ + = = =

+ = = =

+ = = =

+ = =

+ + = ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3

0 1; ' 0 1

) '' 4 ' 4 ; 0 1; ' 0 0

si 0 1) ' ; 0 0;

0 si 1

0 si t<1 ) ' , 0 0;

5 si t 1

) '' 4 2

y y

h y y y t y y

t ti y y f t y f t

t

j y y f t y f t

k y y sen t U t

= =

− + = = =

≤ <⎧+ = = = ⎨ ≥⎩

≤⎧+ = = = ⎨ ≥⎩

+ = −( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

; 0 1; ' 0 0

) ' 3 2 ; 0 0

3) '' ; 0 1; ' 0 02 2

) '' 4 ' 5 2 ; 0 0; ' 0 0

y y

l y y t y

m y y t t y y

n y y y t y y

π

δ

π πδ δ

δ π

= =

− = − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + = − = =



49º) Se tiene un termómetro de mercurio, en el que se considera que la rapidez de

expansión de éste,( )

dttdc

, es proporcional a la diferencia entre su temperatura, , y la

del medio ambiente . Considerando que la constante de tiempo del termómetro es y que es colocado en un ambiente en el cual la temperatura exterior es de ,

obtener la expresión de la respuesta

( )tc

( )tr3=T Cº20

( )tc . Graficar en MATHEMATICA. 50º) Una masa de 32 libras estira un resorte 2 pies. Si el peso se libera del reposo en la posición de equilibrio estático, determine la ecuación de movimiento si una fuerza ( )y t

( ) 20f t = t 5actúa en el sistema para 0 t≤ < y luego se la retira. Ignorar el

amortiguamiento. Graficar en MATHEMATICA. ( )tf 51º) Se tiene una masa de 1kg sujeta a un resorte cuya constante de rigidez es de 1N/m en un medio en el cual el amortiguamiento es despreciable. En 2 .t segπ= la masa es golpeada

con una fuerza instantánea de 4N. Hallar la ecuación de movimiento ( )y t si

a) la masa se libera desde el reposo 1 unidad debajo de la posición de equilibrio. b) la masa parte del reposo desde su posición de equilibrio.

Graficar ambas soluciones en MATHEMATICA

Trabajo Práctico Nº8: SERIES DE FOURIER 52º) Encontrar la Serie de Fourier de las ( )f t que se indican. Verificar los resultados con

la rutina de Series de Fourier de MATHEMATICA. Suponer en todos los casos ( ) ( )f t T f t+ = . Verificar el teorema de convergencia de las Series de Fourier y el

fenómeno de Gibbs en las series del inciso 1º), con S3 , S7 y S30. Graficar en MATHEMATICA.

)20( 2 ) t0 si ,

2

0t- si ,2 )

t0 si t,-

0t- si ,0 )

101011

)

t0 si t,

0t- si ,1 )

t0 si 1,

0t- si ,0 )

≤≤=⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤+−

<<+=

⎩⎨⎧

<≤<<

=⎩⎨⎧

<≤+≤≤+

=

⎩⎨⎧

≤<≤≤

=⎩⎨⎧

≤<≤≤

=

ttf(t)ft

tf(t)e

f(t)dt, si -t

t, si -tf(t)c

f(t)bf(t)a

ππ

ππ

πππ

ππ

ππ



53º) Determinar si las son pares ó impares. Desarrollar su Serie de Fourier según

corresponda. Suponer en todos los casos

( )tf( ) ( )f t T f t+ = .

( ) [ ] ( ) [ ]

[ ] [

[ ] ( ) [ ]3,3- ;),- ;t0 si 1,t

0t-si ,1 )

1,1- ;1t0 si 1,t 0t1-si ,1

)2,2- ;2t0 si 1,

0t2- si ,1)

,- ;)1,1- ;)

ttfgt

f(t)e

tf(t)df(t)c

tttfbttfa

=⎩⎨⎧

≤<+≤≤+−

=

⎩⎨⎧

≤<+≤≤−

=⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=

==

πππ

π

ππ

]

54º) En las siguientes ( )f t , obtener el desarrollo de medio rango PAR e IMPAR. Suponer

en todos los casos ( ) ( )f t T f t+ = . Verificar con la rutina de MATHEMATICA.

⎩⎨⎧

≤<−≤≤

=⎩⎨⎧

≤<+−≤≤

=

⎩⎨⎧

≤<≤≤

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<+

≤≤

=

⎩⎨⎧

≤<≤≤

=⎩⎨⎧

≤<≤≤−

=

42 si ,2 2t0 si ,0

) 2t si ,2 t0 si ,

)

2t1 si ,2 1t0 si ,1

) 2t si 4,t2-

t0 si ,2

)

4t 2 si t, 2t0 si ,1

)

2t si 1,

t0 si ,1 )

ttf(t)f

tt

f(t)e

f(t)df(t)c

f(t)bf(t)a

ππππ

πππ

π

πππ

55º) Obtener la forma del ángulo de fase de la Serie de Fourier de f(t) y trazar 5 puntos del espectro de amplitud. Suponer en todos los casos ( ) ( )f t T f t+ =

)20( , ) t0 si ,

0t- si , )

2t si ,4 t0 si ,2

) 3)t(0 ,. )

2t0 si t,

0t2- si ,0 )

t0 si 1,

0t- si ,1 )

2 ≤≤=⎩⎨⎧

<<+−≤≤+

=

⎩⎨⎧

≤<+−≤≤

=≤=

⎩⎨⎧

≤<≤≤

=⎩⎨⎧

<<≤≤−

=

ttf(t)ft

tf(t)e

tf(t)dtkf(t)c

f(t)bf(t)a

ππππ

πππ

ππ

p



56º) Un sistema masa – resorte no amortiguado ( )mNkkgm /10 ;1 == se impulsa

mediante una fuerza externa, ( )f t ,de período T . Determinar la solución para el estado

estable considerando:

a) Que la extensión periódica de ( )f t se amplia al eje negativo de manera impar.

b) Que la extensión periódica de ( )f t se amplia al eje negativo de manera par.

( )

( )

1) ; T 2

5 si 02) ; T 2

5 si 2

f t t

tf t

t

π

ππ π

= =

≤ ≤⎧= =⎨− < ≤⎩

57º) Un sistema masa - resorte ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == mNkkgm /4 ;

161

es excitado por una fuerza

periódica no senoidal de expresión ( ) ttf .π= , 2=T .Determinar a) la solución para el estado estable; b) la frecuencia a la que entrará en resonancia el sistema. 58º) Determinar la respuesta del sistema masa – resorte – amortiguador ( )pulg.lb/ 100 ;pulg./.seg.lb 1,0 ;slug 3 === kcm en estado estacionario, para una

( )f t periódica, 1=T definida como

( )-20 si -1/2 0

5 si 0 1/ 2t

f tt≤ ≤⎧

= ⎨− < ≤⎩

Trabajo Práctico Nº9: PROBLEMAS DE CONTORNO- EC. DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

59º) Encontrar la distribución de tensiones rσ y θσ en un recipiente esférico de pared gruesa, si las condiciones son:

a) Presión externa uniforme Patm., presión interna uniforme -Pi. b) Presión externa uniforme Pe, presión interna uniforme Pi..

Ecuaciones de equilibrio:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

θσσσ

σσ

rr

rr

drdr

drd

rdr

d

2

042

2



60º) Un recipiente cilíndrico de pared gruesa se encuentra sometido a tensiones uniformes externas Pe e internas Pi. Encontrar su distribución de tensiones rσ y θσ .


⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

θσσσ

σσ

rr

rr

drdr

drd

rdr

d

2

032

2

61º) Encontrar la distribución de tensiones rσ y θσ para un disco que rota a velocidad angular ω . Verificar el valor de las mismas en el centro del disco y en la periferia.


( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

+−=+

θσρωσσ

ρωμσσ

22

222

2

33

rdr

dr

rdr

dr

drd

rr

rr

62º) Un anillo rotante de radio interior a y radio exterior b se encuentra girando a velocidad angular ω . Determinar la distribución de tensiones rσ y θσ . Determinar que ocurriría con las tensiones si el diámetro del hueco decrece infinitamente. 63º) Resolver los siguientes problemas a través del método de separación de variables (suponer en todos los casos la constante de separación = 2λ− )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

) )

0, 0) ; 0, ) ; 0

5, 0

u u u ua bx y x y

u tu u u uxc k k d k kux t x tt

x

∂ ∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

∂⎧ =⎪∂ ∂ ⎪ ∂ ∂∂= >

0=

= >⎨∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ =⎪∂⎩

64º) Encontrar la deflexión de una cuerda vibrante tensada en sus dos extremos ( 1 ; == cL )π , sujeta a las condiciones iniciales que se indican:



( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

<≤

<≤−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

<≤+−

<≤= tx

xu

lx

lxxubx

xu

lxlt

lxtxua 0, ;

0 si 1

20 si 1

0,) 00, ;

0 si

20 si

0, )

65º) Calcular las frecuencias naturales de vibración de las barras de las figuras mostradas, con las condiciones iniciales dadas en cada caso a)

0( ,0)) :

( ,0) 0

P xu xEAa CI

u xt

⎧ =⎪⎪⎨ ∂⎪ =⎪ ∂⎩

b)

( )

( ) (

( )

)

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=

=

00,

00,

..,..

0,0

xxu

xu

CI

tsenPtLxuAE

tu

CBω

66º) Determinar las frecuencias naturales torsionales de vibración de los ejes mostrados a continuación. a)

( ,0) 3 / = cte.

( ,0) 0

x r segt

CI

x

θ

θ

∂⎧ =⎪ ∂⎪= ⎨⎪⎪ =⎩

b)

( ,0) 0

( ,0) 3

xt

CI

x x

θ

θ

∂⎧ =⎪ ∂⎪= ⎨⎪⎪ =⎩



67º) Sea una viga de longitud L y su deflexión . Determinar la ecuación de movimiento vibratorio lateral y resolver para cada caso. Considerar

),( txu.cteIAE ==== ρ

a)

b)

c)

68º) Encontrar la temperatura de una barra aislada lateralmente, de longitud L y sujeta a las condiciones que se indican.

L1 si 0 x2) (0, ) ( , ) 0; ( ,0)

L0 si x L2

a u t u L t u x

⎧ ≤ ≤⎪⎪= = = ⎨⎪ < ≤⎪⎩

L0 si 0 x2) (0, ) 0; ( , ) 3; ( , 0)

Lx si x L2

b u t u L t u x

⎧ ≤ ≤⎪⎪= = = ⎨⎪ < ≤⎪⎩

L0 si 0 x2) ; ( ,0)

L1 si x L2

c Bordes aislados u x

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ < ≤⎪⎩

69º) Determinar la distribución de temperatura de estado estable ( )yxu , en una placa rectangular cuyas aristas verticales 0=x y ax = están aisladas y con las condiciones iniciales .Graficar ( ) ( ) 75,y 00, == bxuxu ( )yxu , utilizando MATHEMATICA.



70º) Determinar la distribución de temperatura de estado estable ( )θ,ru en una placa semicircular que se muestra en la siguiente figura.

71º) Determinar la distribución de temperatura de estado estable ( )θ,ru en un anillo circular mostrado en la siguiente figura.

trabajo práctico nº1: operaciones con numeros complejos

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