UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN

Catedrático: Ing. Tomas Salazar

Presenta: Martin Antonio Galvez

Antiguo Cuscatlan, 10 de Junio de 2013

En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente “x” está dividida en intervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica. El método de cuadratura Gaussiana o cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales. En Métodos numérico una cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así por Carl Friedrich Gauss. Es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:

Donde, Wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x)-

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

Las fórmulas particulares de Cuadratura de Gauss se denominan de igual forma fórmulas de Gauss-Legendre. Esta clase de técnicas que permiten utilizar valores de f(x) en abscisas desigualmente espaciadas, y que se encuentran determinadas por ciertas propiedades de familias de polinomios ortogonales.

Como fue el caso para el desarrollo de la regla trapezoidal, el objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma

A=w1F ( z1 )+w2F ( z2)

Donde las w son coeficientes a ser determinados. Sin embargo, en contraste con la regla trapezoidal que usa los puntos extremos fijos x0 y x1, este método escoge dos puntos interiores xC y xD, que al trazar una línea recta por estos dos puntos, y que se extiende hasta los extremos del intervalo se forma un trapezoide. Se escogen adecuadamente los puntos internos de modo tal que el área del trapezoide resultante da la integral exacta. El método de Gauss consiste esencialmente en seleccionar los puntos internos xC y xD adecuados. La técnica utilizada genera la formula:

∫−1

1

F ( z )dz=F ( z1 )+F ( z2 )

Donde z1 = -0.57735 y z2 = 0.57735 respectivamente. El integrando f ( x )dx

en términos de la nueva variable queda

∫a

b

f ( x )dx≈b−a2 [F ( b−a2

(−0 .57735)+ a+b2 )+F ( b−a2

(0.57735 )+ a+b2 )]

Este método salvo porque se tiene que calcular el valor de la función en un valor irracional de z, es muy simple y trabaja perfectamente para funciones cúbicas.

La cuadratura Gaussiana se preocupa en escoger los puntos de evaluación de una manera óptima. Esta presenta un procedimiento para escoger los valores x1, x2, ... , xn en el intervalo [a, b] y las constantes c1, c2, ... , cn que se espera minimicen el error obtenido al realizar la aproximación.

Para determinar los puntos xi donde debe evaluarse la función y los factores de peso ci se usa un procedimiento de coeficientes indeterminados

Estos coeficientes también se pueden obtener mediante el polinomio de Legendre, por esta razón a este método se le suele llamar también cuadratura de Gauss-Legendre.

Cuadratura Gauss Legendre

El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo.f(x)=Pn(x)+Rn(x)

Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es el residuo originado por la aproximación.Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello se puede hacer un sencillo cambio de variable de la siguiente forma:

Así se tiene que.

 L1 es el polinomio de Legendre: 

 Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:

 Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura, se tiene:

 Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculados por la formula:

 Las funciones Ω(t) son funciones positivas integrales asociadas a la propiedad de ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria son justamente las raíces de estos mismos polinomios ortogonales, raíces utilizadas en el desarrollo:

 Dependiendo del intervalo (a,b), también llamado dominio, se selecciona el tipo de polinomio que satisfaga la ecuación general del método de Romberg.Finalmente el resultado de la integral es:

 POLINOMIOS DE LEGENDRE:

Dominio (1,1), función de peso Ω(x)=1

 

 

Otras cuadraturas GaussianasLas técnicas de cuadratura Gaussiana pueden ser utilizadas para otro tipo de polinomios ortogonales. De las numerosas familias existentes, tres tienen un uso relativamente común. Se trata de las cuadratura de Gauss-Tchebychef, Gauss-Laguerre y Gauss-L’Hermite. Todas se diferencian fundamentalmente

por tener las raíces ubicadas en dominios distintos y tener funciones de peso también diferentes.

EJEMPLOS:Método de cuadratura: Gauss-Legendre (MetGaLeg)Demostrar que para una cuadratura de Gauss-Legandre, los coeficientes para una colocación de tres puntos para zi y (t)i son los de la tabla expuesta en el párrafo correspondiente:

Solución:Se calcularan primero las raíces del polinomio de Legendre que anulan el residuo en tres puntos:

 Siendo las raíces: 0, +Los factores de peso se obtienen integrando los polinomios de Lagrange para caca uno de los valores que anuló el residuo.

 

Resolviendo se obtiene:

𝝎1 = 8/9

𝝎2 = 𝝎3 = 5/9

EJEMPLO 2:Aproximamos 

 

usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en: 

 

Tenemos ahora que 

 Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula de un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 · 2 - 1 = 3 o menor 

 

Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.

 

 

Este sistema de ecuaciones tiene solución única 

 

La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado 3 

 

Caso general Para n 2 e intervalo [-1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces.Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas 

 Así:Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:

 

 

y se aplicara sobre la nueva integral.

Ejemplo 3.

INTERPRETACIONES GRÁFICAS DE LAS CUADRATURAS GAUSSIANAS

También las cuadraturas gaussianas [6] son, como ocurría en el caso de las reglas numéricas de Newton-Cotes, de tipo interpolatorio (basadas en una aproximación de la función a integrar en un polinomio). Pero a diferencia de las reglas numéricas de Newton-Cotes, la cuadratura gaussiana determina primeramente que puntos del intervalo son más apropiados para evaluar la función. En este caso, los puntos no están espaciados uniformemente. En los casos en los que la función es desconocida, o se manejan tablas o listas de valores, la cuadratura gaussiana no es de aplicación.Habitualmente, en estas reglas, los nodos se presentan habiendo normalizado previamente el intervalo de integración. Mediante un cambio de variable, es

posible utilizar dichas fórmulas para cualquier integral definida que se proponga.El error de aproximación cometido al emplear la cuadratura gaussiana para n nodos, es inferior que el obtenido en las reglas numéricas de Newton-Cotes. Es el procedimiento numérico de obtención de la integral definida más popular y utilizado, en relación con el método de elementos finitos [7].En las figuras de la Tabla 3 se interpretan gráficamente las dos primeras y más sencillas reglas gaussianas. También es posible la generalización gráfica. El paso previo de la normalización contribuye a facilitar el empleo del CAD en los trazados, pudiendo aplicarse operaciones de medida guardadas y estandarizadas sobre las construcciones propias de cada problema técnico particular.

1 REGLA GAUSSIANA DE DOS NODOS f−c+ f c ; c=1

√3Segmentos (n): 2Nodos: 2

2 REGLA GAUSSIANA DE TRES NODOS5 f−c+8 f 0+5 f c

9; c=√ 3

5Segmentos (n): 3Nodos: 3

Tabla 3 – Interpretación gráfica de las reglas gaussianas

Aplicación de la cuadratura gaussiana a la Resolución Gráfica IntrínsecaEn la línea de trabajo que se sigue sobre diseño y aplicación de herramientas gráficas de Análisis Estructural, se emplea la Resolución Gráfica Intrínseca [8] para determinar el comportamiento mecánico de elementos resistentes lineales. En este contexto, y en el de los trabajos presentados en anteriores Congresos de Ingeniería Gráfica [9] y [10], se presenta aquí un ejemplo de aplicación del trazado gráfico de integración, empleando la interpretación gráfica de la cuadratura gaussiana para resolver un problema estructural elemental.Se trata de determinar los valores mínimos necesarios para generar la gráfica de esfuerzo cortante, sobre una barra horizontal, sometida a una acción fuerza uniforme de distribución parabólica. Se comparan los resultados obtenidos al emplear tanto la cuadratura gausiana de dos nodos como la de tres.

FICHA DE INTEGRACIÓN GRÁFICA ACCIÓN FUERZA UNIFORME PARABÓLICA EONDATOS

ACCIÓN SUBSISTEMA DEL EFECTO

FORMA Y MATERIAL

q y=4 q

L2x (L−x ) , Θz=0

k z=0 , Λ y=0

Longitud total: LMódulos de elasticidad: E=cteMomento de Inercia: Iz=cteProducto de inercia: Iyz=0Coeficientes de cortadura: z=yz=0

RESULTADOS

V y=4 q

3 L2x3−4q

2Lx2+C1=p1 ( x )+C1

PRIMERA INTEGRACIÓN ANALÍTICA

(REGLA GAUSSIANA DE DOS NODOS) PRIMERA INTEGRACIÓN GRÁFICA

Tabla 4 (I) Aplicación

(REGLA GAUSSIANA DE TRES NODOS) PRIMERA INTEGRACIÓN GRÁFICA

Tabla 4 (II) Aplicación

Se aprecia en las dos figuras cómo los valores de la ordenada en los extremos 0 y L de la barra son los mismos. Conocidos dichos valores, y aplicadas las condiciones de sustentación, es posible determinar también gráficamente el correspondiente trazado que determina el valor de la constante de integración C1, la cual, sumada a la función integrada p1(x), compone la gráfica de la primera componente del efecto, en este caso esfuerzo cortante Vy (ver [9], p.159 a 168).

En el ejemplo presentado se ha utilizado como función dato qy una parábola de segundo grado. Por tanto, por medio de las dos reglas empleadas se obtienen valores exactos. Si la función, dato es más compleja, debe elegirse aquella regla que equilibre la cantidad de trazados a efectuar, respecto a la precisión necesaria de cálculo. Aunque en todos los casos, los trazados son sencillos, cuando la regla a emplear aporta más precisión, el número de operaciones gráficas crece.