trabajo no.1 métodos numéricos

7/24/2019 Trabajo No.1 Mtodos numricos

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METODOS NUMERICOS

TRABAJO COLABORATIVO 1

EULIDES ANTONIO ROJAS LNDARTECODIGO: 91523967

GELVER YESID RIVERA RAMOSCODIGO: 1.04.49.124

!EYDE "INILLA ANTONIOC#DIGO: 1.033.707.371

BYRON ESNEYDER $ANDI%O MORALES

GRU"O: 100401&95

TUTOR

MARTIN GOME' ORTI'

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BASICAS(

TECNOLOGIA E INGENIERIASE"TIEMBRE)14)2015


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INTRODUCCION

El presente documento proyecta la Unidad con 6 ejercicios propuestos, sedesarrollaran los contenidos de:

1. Exactitud,2. Precisin y Redondeo3. Mtodo de !iseccin". Mtodo de la re#la $alsa

Mtodo de %e&ton' Rap(son, Mtodo iterati)o de punto $ijo. El mtodo de !iseccinsuele recomendarse para encontrar un )alor aproximado del cero de una $uncin, ylue#o este )alor se re$ina por medio de mtodos m*s e$icaces

+os mtodos %umricos son tcnicas mediante las cuales es posi!le $ormularpro!lemas y comparten una caracterstica en com-n ue in)aria!lemente se de!ereali/ar un !uen n-mero de tediosos c*lculos aritmticos. Pueden Manejar sistemas deecuaciones #randes, no linealidades o #eomtricas complicadas, comunes en lain#eniera.

+os mtodos numricos re$uer/an la compresin de las matem*ticas, por ue

pro$undi/a en los temas ue de otro modo resultaran o!scuros, esto aumenta lacapacidad de comprensin y entendimiento en la materia.


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EJERCICIOS A DESARROLLAR

1. Desde su campo de formacin plantee y de solucin a dos ejemplos sobre lostipos de errores (error absoluto relati!o error relati!o apro"imado error portruncamiento y por redondeo# teniendo en cuenta la precisin y e"actitud de losmismos.

Error absoluto y Error Relativo

Error Absoluto = Valor Real Valor Aproximado 8846 m 8800 m = 46m Error Absoluto

Error Relativo = Error Absoluto 46 = 0,0052 Valor Real 8846

Redondeo 42.000 EA= 42.!5 42.000

E"emplo# 42.!5m EA= !5m ER = !5$run%amiento 42.!5 =

0,0046 .100=0,46

42.000EA Y ER Igual

Redondeo 500 EA = 4!0 500& = '0mER = 0

490=0,0204 .100=2,04

4!0m

$run%amiento 400 EA= 4!0 400 = !0m

ER =

90

490 0,1836 .100=18,36


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(al%ular el valor absoluto ) relativo de dondep=e y p=2.718 si p es el valor calculado

Error absoluto

Valor real e valor%al%ulado 2.718

Ea=2.718

e =2.718281828

Ea=|e2.718|=2.81828459x 104

Error relativo

Er=2.718281828

e

=0.3678423998Er=|e2.718281828|

e

=1.036x 104

Error por truncamiento y por redondeo

Hallar 5 redondeada a centsimas

5=2,23606 79

2.24cota deerror :0.005

(al%ule f(x )=x36.1x2+3.2x+1.5 en x=4.71

valor x x2 x3

6.1x2 3.2x f=(4.71 )

exacto 4.71 2,211841 104.487111 135.32301 15.072 14.2638993 cifrastruncamiento

4.71 2.21 104 134 15.0 13.5

3 cifrasredondeo

4.71 2.22 104 134 15.1 13.4


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Er=|14.263899+13.514.263899 |=0,05truncamiento

Er=

|14.263899+13.4

14.263899 |=0.06 redondeo

f(x )=x36.1x2+3.2x+1.5

f=(4.71 )=( (4.716.1 ) 4.71+3.2 ) 4.71+1.5

f=(4.71)=14.2truncamiento

f=(4.71 )=14.3redondeo

E"emplo por trun%amiento

Aproximo#

=n=1

1

n2=1+

1

4+

1

9+

1

16+

(al%ulando suma in*inita

s6=

n=1

61

n2=1+

1

4+

1

9+

1

16+

1

25+

1

36=1.491389

Valor exa%to#

=n=1

1

n2=

2

6,

Error absoluto

e6=

2

61.491389=0.153545

Error relativo

r6= e

6

=0.153545

2

6

= 0.0933=9.33 (on errores de redondeo ) trun%amiento in*eriores


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$. Construir un cuadro comparati!o de los m%todos para calcular la ra&' de unaecuacin teniendo en cuenta el n)mero de iteraciones condicionesapro"imaciones (formula# ilustr*ndolo con al menos un ejemplo.

!todos para calcular ra"#+,TODO D, -I,CCION/0onsiste en considerar un inter)alo xi, xs en el ue se #arantice ue la $uncin tiene ra/.

El se#mento se !isecta, tomando el punto de !iseccin xr como aproximacin de la ra/

!uscada.

e identi$ica lue#o en cu*l de los dos inter)alos est* la ra/.

El proceso se repite n )eces, (asta ue el punto de !iseccin x rcoincide pr*cticamente con el

)alor exacto de la ra/.

+,TODO N,0TON R23ON

Entre los mtodos de aproximaciones sucesi)as para encontrar al#unas de las races de una

ecuacon al#e!raica o tracendente, el de %e&ton'Rap(son es el ue presenta mejores

caractersticas de e$iciencia, de!ido a ue casi siempre con)er#e a la solucin y lo (ace en un

n-mero reducido de iteracines.

Este mtodo es aplica!le tanto en ecuaciones al#e!raicas como tracendentes y con l es

posi!le o!tener races complejas.

4al )e/, de las $rmulas para locali/ar races, la $rmula de %e&ton'Rap(son sea la m*s

ampliamente utili/ada. i el )alor inicial para la ra/ es xi, entonces se puede tra/ar una

tan#ente desde el punto 5xi,$xi de la cur)a. por lo com-n, el punto donde esta tan#ente cru/a

el eje x representa una aproximacin mejorada de la ra/.

Ejemplo:+olu%in#

f(x )=x+1.2x20.9x3

f' (x )=1+2.4x2.7x2

-tera%in 0#


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x1=x

0

f(x )

f' (x )=1.84

1.84+1.2 (1.84 )20.9 (1.84 )3

1+2.4 (1.84 )2.7 (1.84 )2

x1=1.84 0.2962

3.7251

x1=1.84(0.0795 )=1.84+0.08

x1=1.92

-tera%ion #

x2=x

1

f(x)

f'(x )

x2=1.92

1.92+1.2 ( 1.92 )20.9 ( 1.92 )3

1+2.4 (1.92 )2.7 (1.92 )2

x2=1.92

0.02644.3453

=1.920.0061

x2=1.91

Ep=|xr nxr vxr n |100=|1.911.92

1.91 |100=0.52

-tera%ion 2#


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x3=x

2f(x)

f'(x )

x3=1.911.91+1.2 (1.91 )

2

0.9 (1.91 )3

1+2.4 (1.91 )2.7 (1.91 )2

x3=1.91 0.02

4.27=1.91+0.0047

x3=1.915

Ep=|xr nxr v

xr n |100=|1.9151.91

1.915 |100=0.26

-tera%ion #

x3=x

2f(x)

f'(x )

x4=1,915

1.915+1.2 (1.915 )20.9 ( 1.915 )3

1+2.4 (1.915 )2.7 ( 1.915 )2

x4=1.9150.00484.3055

=1.9150.001

x4=1.914

Ep=|xr nxr vxr n |100=|1.9141.915

1.914 |100=0.05$A%SS&JORDA'


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Es una )ariacin de la eliminacin #aussiana. +a principal di$erencia consiste en ue el mtodo

de 7auss'8ordan cuando se elimina una inc#nita no slo se elimina de las ecuaciones

si#uientes sino de todas las otras ecuaciones. 9e esta $orma, el paso de eliminacin #enera una

matri/ identidad en )e/ de una matri/ trian#ular.

E"emplo#

R1

, R2

, R3[

1 4 75 7 14 4 6]

1

5

4]R25R1

[ 1 4 70 13 34

4 1 6] 1

0

4]R2( 113 ) [ 1 4 7

0 1 34

13

4 1 6] 104 ]

R3+4R

1

[

1 4 7

0 1 34

13

0 15 22

]

1

0

0

]R

3+15R

2

[

1 4 7

0 1 34

13

0 0 22413

]1

0

0

]

R3( 13224 ) [

1 4 7

0 1 34

13

0 0 1] 100]R23413 R3 [1 4 70 1 00 0 1] 100]

!4Y7"=1!4 (0 )7 (0 )=1

se o#tiene:!=1 $Y=0 $ "=0

()ODO DE $A%SS&SEIDEL


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Es similar en proceso al mtodo simple de iteracin de punto $ijo usado en la seccin .1 en la

solucin de races de una ecuacin. Recurdese ue la iteracin de punto $ijo tiene dos

pro!lemas $undamentales: l al#unas )eces no con)er#e.

E"emplo#/artiendo de x = , ) = 21

[5x+2y=1x4y=0]

+olu%in

ebemos primeramente despe"ar de la e%ua%in la in%3nita %orrespondiente.

x=0.20+0.00x40y

y=0.00+0,25x+0.00y

Apli%amos la primera itera%in partiendo dex

0=1.00y y

0=2.00:

x1=0.20+0.00 (+1.000 )0.40 ( 2.00 )=0.600

y1=0.00+0,25 (0.600 )+0.00 (2.00 )=0.15

Apli%amos la se3unda itera%in partiendo dex

1=0.600y y

0=0.15:

x1=0.20+0.00 (0.600 )0. 40(0.15 )=0.26

y1=0.00+0,25 (0.26 )+0.00 (0.15 )=0.065

+%todo de Iteracin de punto fijoEn este mtodo e necesario reacomodar la ecuacin de modo ue podamos o!tener una

ecuacin de la $orma: x ; #x, ya sea despejando una x de la ecuacin ori#inal o sumando x aam!os lados de la misma. 7r*$icamente podemos usar el mtodo de las dos cur)as


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7ra$icar $x ; x y #ra$icar #x, el punto en donde se corten se proyecta so!re el eje x y se toma

como ra/ aproximada. En este mtodo la con)er#encia se da siempre y cuando #eri$icamos ue tiene una ra/ en 51,2 asi#nando )alores ar!itrarios en la $uncin:

x3+4x210

x f(x)

2 2

1 7

0 10

1 5

2 14

Utili/aremos las si#uientes $ormulas:

xr=xa+x#

2f(xa )f(xr ) Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) |

Iteracin 1

Datos:xa=1 x#=2 f(x )=x

3+4x210

Reempla/amos los datos

xr=1+2

2=1.5


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1.5

f(xr )=

f(xa )f(xr )=(5 )( 2.375 )=11.8750% xr sustituye A xa

Iteracin 4

Datos:xa=1.25 x#=1.5 f(x )=x

3+4x210


xr=1.25+1.5

2=1.375

Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.375 ) (1.25 )

(1.375 ) |=0.09090


13/27

1.375

f(xr )=

f(xa )f(xr )=(1.7969 )( 0.1621 )=0.29120 % xr sustituye A xa

Iteracin 6

Datos:xa=1.3125 x#=1.375 f(x )=x

3+4x210


xr=1.3125+1.375

2=1.34375

Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.3437)(1.3125 )

(1.34375 ) |=0.023219


14/27

1.3437

f(xr )=

f(xa )f(xr )=(0.84838 )(0.350982 )=0.29776>0 % xr sustituye A xa

Iteracin 7

Datos:xa=1.34375 x#=1.375 f(x )=x

3+4x210


xr=1.34375+1.375

2=1.359375

Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.359375) (1.34375 )

( 1.359375 ) |=0.01149425

1.359375

f(xr)=

f(xa )f(xr )=(0.350982 )(0.0964088 )=0.03383>0% xr sustituye A xa

Iteracin 8

Datos:xa=1.35937 x#=1.375 f(x )=x

3+4x210


xr=1.35937+1.375

2=1.367185

Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.367185) (1.359375 )

(1.367185 ) |=0.0057124


15/27

1.367185

f(xr)=

f(xa )f(xr )=(0.0964088 )(0.032355 )=0.003110 % xrsustituye A xa

Iteracin :

Datos:xa=1.36328 x#=1.367185 f(x )=x

3+4x210


xr=1.36328+1.367185

2=1.365233

Ep=|xr(Actual )xr(anterior )xr (Actual ) | Ep=|(1.365233)(1.36328 )

(1.365233 ) |=0.001430525


16/27

1.365233

f(xr)=

f(xa )f(xr )=(0.0321499 )(0.000049318 )=0.000001585


17/27

5. Usando el +%todo de la Re=la >alsa apro"imar la ra&' de ( #? @(4$(#@;6(## en el inter!alo A4 5B con a ? ;;;1

?plicamos la $rmula de la re#la $alsa

xi=f(a )#f(# )af(a )f(#)

Iteracin 1

a= 3

b=4

f(a)=19,0126

f(b)= -114,38018

a!emos ue tiene ra/ poruef(a)*f(b)0

@nter)alo [x1;a] =[3,1425 ; 3]

Reempla/amos


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x 2=(11,5136 )3(19,0126 ) 3 ,1425

(11,5136)19,0126= 3,36128

Iteracin 4

a= 3

b=x2=3,36128

f(a)=19,0126

f(b)= -6,03547

f (a)*f(b)0

@nter)alo[x3 ; a] =[3,27422 ; 3]

Reempla/amos


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x 4=(1,91417 ) 3(19,0126 )3 , 27422

(1,91417 )19,0126= 3,30491

Iteracin 6

a= 3

b=x4=3,30491

f (a)=19,0126

f (b)= -0,73424

f (a)*f(b)0

@nter)alo[x5 ; a] =[3,29357 ; 3]

Reempla/amos

x 6=(0,26344 ) 3(19,0126 )3,29357

( 0,26344 )19,0126= 3,29769


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Iteracin 8

a= 3

b=x6=3,29769

f(a)=19,0126

f(b)= -0,09642

f (a)*f(b)


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Iteracin 1

0on el )alor inicial dado se reempla/a en la ecuacin,

Iteracin $


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Iteracin 4

Iteracin 5

Respuesta

+ue#o de reali/ar las " iteraciones o!teni como resultado

+a ra/ es


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7. Usar el m%todo iterati!o de punto fijo para apro"imar la ra&' de

f(x )=x2

4xex

, comen&adocon x0=0,con5iteraciones .

+olu%in#

x24xex=0

x2ex=4x

x=x2

ex

4

g(x)=x

2ex

4

g (x )=1

4( 2xex )x 0=0

x1=g(x0 )=

e0

4

=1

4

=0.25x1=0.25

0.252e0.25

x2=g (x1)=

x2=0.179075195

0.1790751952e0.179075195

x3=g (x2 )=


24/27

x3=

0.0320679250,836043034

=0.200993776

x3=0.200993776

0.2009937762e0.200993776

x4=g (x3 )=

x4=

0.0403984980,8179175224

=0.194379756

x4

=0.194379756

0.1943797562e0.194379756

x5=g (x4)=

x5=0.0377834890,823345174

4=0.196390421

x5=0.196390421

0.1963904212

e0.196390421

x6=g (x5 )=

x6=

0.0385691970,8216913664

=0.195780542


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x6=0.195780541

Aproxima%in a la ra Valor aproximado

0

'0.25

'0.!05!5 !.67

'0.200!!6 0.!7

'0.!4!56 80.87

'!6!042 .027

'0.!580542 6.27

Valores aproximados

1|0.179075195+0.250.179075195 |=0.39606 39.6

2|0.200993776+0.1790751950.200993776 |=0.10905110.9

3|0.194379756+0.2009937760.194379756 |=0.808706 80.87

4|0.196390421+0.1943797560.190390421 |=0.01023 1.02

5|0.195780542+0.1963904210.195780542 |=0.1672216.72


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CONCUIEN,

El curso de Mtodos %umricos es la !ase $undamental para uien uiera ue

necesite (erramientas para resol)er operaciones, las cuales se conocen uepueden ser complicadas pero no uiere decir ue sean imposi!les de solucionar,y es a( donde se aplican los mtodos %umricos, y $acilitan el tra!ajo de cierta

manera.

+a aplicacin de los mtodos %umricos son muy )ariadas y necesarias,

especialmente para las in#enieras por lo tanto se puede concluir ue esinteresante su estudio y su manejo, el (ec(o de ue se tomen tan en cuenta loserrores, no nos acerca a la per$eccin pero al menos nos da una idea y de talmanera tomar decisiones in$ormadas y por lo tanto mejorarlas.


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?l reali/ar estos ejercicios se pone en pr*ctica los temas tratados re$erentes a

error a!soluto, error relati)o y los di$erentes mtodos iterati)os ue permiten la!-sueda de races, en este caso mtodo de !iseccin, %e&ton A Rap(son,

mtodo de la re#la $alsa entre otros

Bemos a$ian/ado nuestros conocimientos a la (ora de aplicar conceptos como

errores relati)os, a!solutos, y di$erentes mtodos para su resolucin.

RECERE%0@? D@D+@7R?C@0?

Duc(eli 0(*)e/, 0. 2F13. Mdulo de Mtodos %umricos. Uni)ersidad %acional?!ierta y a 9istancia, U%?9 A 0olom!ia. Pasto.

trabajo no.1 métodos numéricos

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