UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALESESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

TRABAJO GRUPAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL - TAMAÑO DE MUESTRA

Distribución Normal

1.- Bases de la regla empírica. En los ejercicios a - d, calcule el área bajo la curva indicada de la distribución normal estándar, después conviértala en porcentaje y complete el espacio en blanco. Los resultados conforman la base de la regla empírica explicada.

a) Aproximadamente 68.26% del área está entre z=-1 y z = 1 (o dentro de una desviación estándar a partir de la media).

Z=-1 =0.1587Z=1 =0.8413

Z=1 –z=-1 =0.6826

b) Aproximadamente 95.44% del área está entre z-2 y z = 2 (o dentro de 2 desviaciones estándar a partir de la media).

Z=-2 =0.0228Z=2 =0.9772

Z=2 –z=-2 =0.9544

c) Aproximadamente 99.74% del área está entre z=-3 y z= 3 (o dentro de 3 desviaciones estándar a partir de la media).

Z=-3 =0.0013Z=3 =0.9987

Z=3 –z=-3 =0.9974

d) Aproximadamente 99.96% del área está entre z =-3.5 y z=3.5 (o dentro de 3.5 desviaciones estándar a partir de la media).

Z=-3.5 =0.0002Z=3.5 =0.9998

Z=3.5 –z=-3.5 =0.9996

2.- Cálculo de probabilidad. En los ejercicios, suponga que las lecturas de termómetros se distribuyen normalmente, con una media de 0° y una desviación estándar de 1.00°. Calcule la probabilidad indicada, donde z es la lectura en grados.

a) P(_1.96 > z > 1.96)

Solución:

Identificamos: P= [-1.96 > Z > 1.96] = P (Z>1.96) - P (Z>-1.96) =Según Tabla Normal estándar N (0,1)

= 0.975 – 0.025 = 0.95

La probabilidad que Z se encuentre entre -1.96 y 1.96 es de 0.95

b) P(z > 1.645) Solución

1 - P(z ≤ 1.645) = 1- 0.95 = 0.05

La probabilidad que Z sea mayor de 1,645 es 0.05

c) P(z < -2.575 o z > 2.575)

Solución

P(z < -2.575) +P( z > 2.575) =P(z < -2.575)+1- P( z ≤2.575)=0,0051+1-0,995 =0,0101

La probabilidad que Z sea o menor que -2.575 o mayor que 2,575 es 0.0101

d) P(z <1.96 o z > 1.96)

Solución P(z <1.96) +P( z > 1.96) P(z <1.96) +1 - P( z ≤1.96) 0,975+1-0,975 =1

La probabilidad que Z sea o menor que 1.96 o mayor que 1.96 es 1

3.- Puntuaciones de CI. En los ejercicios, suponga que sujetos adultos tienen puntuaciones de CI distribuidas normalmente, con una media de 100 y una desviación estándar de 15 (como en la prueba Wechsler). (Sugerencia: Dibuje una gráfica en cada caso).

a) Calcule la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un CI menor que 130.

Solución

X=Coeficiente Intelectual

P (CI<130) =P(X<130)

= P (X−μσ <

130−10015 ) = P (Z<2)

Identificamos el área en la tabla de distribución normal estándar es cuyo valor es 0,9772 El Coeficiente intelectual de una persona adulta menor a 130 es 97.72%

b) Calcule la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un CI mayor que 131.5 (el requisito para ser miembro de la organización Mesa, que agrupa a personas con un elevado cociente intelectual).

Solución

P (CI>131.5) =1 - P(X<131.5)

= 1- P (X−μσ <

131.5−10015 ) = 1 - P (Z<2.1) =1 -0.9821

Identificamos el área en la tabla de distribución normal estándar es cuyo valor es 0,0179 El porcentaje para ser miembro de la organización Mesa, que agrupa a personas con un

elevado cociente intelectual es 1.79%

c) Calcule la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un CI entre 90 y 110 (denominado rango normal).

Solución

P (90<CI<110) = P(X<110)-P(X<90)

= P (90−10015 <

X−μσ <

110−10015 )

= P (−0,666< Z<0,666) = P (Z<0,666 ¿−¿ P (Z<-0,666)= 0,7454 - 0,2546 =0,4908

Existe una posibilidad que un 49.08% estén en cierto rango considerado normal

d) Calcule la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un CI entre 110 y 120 (denominado normal brillante).

Solución

P (110<CI<120) = P(X<120)-P(X<110)

= P (110−10015 <

X−μσ <

120−10015 )

= P (0,666< Z<1,333) = P (Z<1,333¿−¿ P (Z<0, 666) = 0, 9082 - 0, 7454 =0, 1628

Existe una posibilidad que un 16,28% estén en cierto rango considerado normal brillante.

4.- Pesos al nacer. En Estados Unidos, los pesos al nacer se distribuyen normalmente, con una media de 3420 grs. y una desviación estándar de 495 grs. Si un hospital planea establecer condiciones especiales de observación para el 2% de los bebés menos pesados, ¿qué peso se utilizaría para establecer un punto de corte que separe al 2% de los bebés menos pesados de los demás?

Solución:

N(3420,495)

P(X<x)= P (Z<X−3420495 )= 0.5 + P (Z)= 0.02

P (Z)=0.02-0.5 =-0,48

Calculamos:

Z= (2.05−2.06 ) . (0.4798−0.48 )

(0.4803−0.4798)+2.05=2.054

Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -2.054.

Por lo tanto, el peso de los bebés más pesados será de:

-2.054=X−3420495

Despejamos x y obtenemos la solución a este problema: x = 2403.72

5.- Pesos al nacer. En Noruega los pesos al nacer se distribuyen normalmente, con una media de 3570 grs. y una desviación estándar de 500 grs. Repita el ejercicio 4 con los bebés que nacen en Noruega. ¿Difiere mucho el resultado del que se obtuvo en el ejercicio 4?

Solución:

N(3570,500)

Tipificamos:

P(X<x)= P (Z<X−3570500 )

Identificamos el valor Z en la probabilidad de 0.02

Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -2.054.

Por lo tanto, el peso de los bebés Noruegos más pesados será de:

-2.054=X−3570500

Despejamos x y obtenemos la solución a este problema: x = 2543

6.- Contacto visual. En un estudio de conducta facial, se toma el tiempo de contacto visual entre los participantes en un grupo de control, durante un periodo de 5 minutos. Los tiempos se distribuyen normalmente, con una media de 184.0 s y una desviación estándar de 55.0 s (según datos de “Ethological Study of Facial Behavior in Nonparanoidand Paranoid Schizophrenic Patients”, de Pittman, Olk, Orr y Singh, Psychiatry, vol. 144, núm. 1). Para una persona elegida al azar del grupo de control, calcule la probabilidad de que el tiempo de contacto visual sea mayor que 230.0 s, que es la media de los esquizofrénicos paranoides.

Solución:

Sea la variable aleatoria X, tiempo de contacto visual. El enunciado nos indica que se

distribuye normalmente, por lo que usaremos la distribución normal para hallar los

apartados requeridos.

N (184,55)

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X >. 230.0)

Tipificamos los datos dados:

P (z>230−18455

¿ = P (Z > 0,836)

Operando la desigualdad:

1 – P (Z ≤ 0.836) = 1- 0.798 = 0.202

La probabilidad del tiempo de contacto visual sea mayor que 230.0 s es de 0,202

7.- Temperaturas corporales. Con base en los resultados muestrales del conjunto de datos 2 del apéndice B, suponga que las temperaturas corporales humanas se distribuyen normalmente, con una media de 98.20°F y una desviación estándar de 0.62°F.

a. El hospital Bellevue en la ciudad de Nueva York establece que la temperatura más baja considerada como fiebre es de 100.6°F. ¿Qué porcentaje de personas normales y saludables se consideraría que tienen fiebre? ¿Sugiere este porcentaje que un punto de corte de 100.6°F es apropiado?

Solucion:

N (98.20 ; 0.62)

Tipificamos los datos dados:

X=100.6

P (z<100.6−98.20,62

¿ = P (Z <3.87) = 0.9994

La probabilidad de personas normales y saludables consideradas que tienen fiebre es

99.94% , y si podría ser apropiado como punto medio porque nos sugiere como

mínima temperatura que el paciente tendra fiebre.

b. Los médicos desean seleccionar una temperatura mínima como requisito para solicitar más exámenes médicos. ¿Cuál debe ser esa temperatura, si deseamos que sólo el 5.0% de las personas saludables la excedan? (Un resultado como éste es un falso positivo, lo que significa que el resultado de la prueba es positivo, pero el sujeto no está realmente enfermo).

Solucion:

P (Z≤ 0.05)= - 1.65 identificado en la tabla normal estándar.

P (z≤ x−98.20,62

¿ =

Reemplazamos x−98.20,62=1.65

X= 99.2 es la temperatura mínima que se espera que el 5% de personas sanas lo excedan.

8.- Duración de embarazos. La duración de los embarazos se distribuye normalmente, con una media de 268 días y una desviación estándar de 15 días.

a. Un uso clásico de la distribución normal está inspirado por una carta dirigida a “Dear Abby”, en la que una mujer afirmaba haber dado a luz 308 días después de una breve visita de su esposo, quien trabajaba en la Marina. Dada esta información, calcule la probabilidad de que un embarazo dure 308 días o más. ¿Qué sugiere el resultado?

Solución:

Sea la variable aleatoria X, duración del embarazo.

Nos piden obtener la siguiente probabilidad: P(X > 308)

Tipificamos los datos dados:

P ( Z > 308−26815

) =P(Z>2.67)

Operando la desigualdad:

P (Z > 2.67) = 1 – P (Z ≤ 2.67) = 1 – 0,9962 =0.0038

Se sugiere en el resultado sugiere que la duración del embarazo sea 308 días o mayor es muy poco ocurrente.

b. Si estipulamos que un bebé es prematuro cuando la duración del embarazo se encuentra en el 4% inferior, calcule la duración que separa a los bebés prematuros de aquellos que no lo son. Los bebés prematuros suelen requerir cuidados especiales y este resultado podría ser útil para que los administradores de hospitales planeen esos cuidados.

Solución:

Sea la variable aleatoria Y, bebés prematuros.

En este problema, nos dan los datos de la probabilidad y debemos hallar el valor de la variable aleatoria Y que lo satisfaga.

Tenemos: P (Y < . y) = 0.04

Tipificamos:

P (Z < y−26815

) =

En la tabla normal estándar buscamos el valor Z la probabilidad de 0.04

P (z) ≤ 0.04 = -1.75

Nos da un valor negativo, Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -1.751.

Por lo tanto, los bebés prematuros serán de:

-1.751 = y−26815

Despejamos y para obtener la solución a este problema: y = 241.735, es decir, para que un bebé sea prematuro debe nacer, aproximadamente, en 242 días o menos.

Tamaño de Muestra

9.- ¿Cuántos estudiantes debe tener una muestra, con el fin de estimar la proporción de estudiantes que tienen correo electrónico, en una cierta región rural con aproximadamente 8000 estudiantes? En un estudio previo, se halló que de 150 estudiantes, 120 tenían correo electrónico. Se desea tener un nivel de confianza del 95% y un error del 3% en las estimaciones.

Solución:

N=8000Significancia α = 0.05Confianza 1 – α =0.95e=0.03p=120/150 =0.8q=0.2

Si el nivel de confianza es 0.95 , hallando el valor en la tabla Z es 1.96

n 0 =Z2 PQ /e2

n 0 =(1.96)2(0.8)(0.2) /0.032

n 0 = 0,615/0.0009 =683.3 ≈ 683

Conociendo el tamaño de la población hacemos el ajuste correspondiente

n’ = n 0 /(1 + (n 0 -1)/N ) o n’ =n0

1+ n0−1N

n’ =683/(1+(683- 1)/8000)) = 683/1.08525 =629.3 ≈ 629 debería tener una muestra

10.- ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para estimar el nivel medio del consumo de proteínas de los adultos de una zona minera, si se desea tener un margen de error de 0.45 g/dl y un nivel de confianza del 95%?.

a) Por estudios previos, se sabe que el consumo de proteínas tiene una desviación estándar de 2.5 g/dl.

Solución

e = 0.45Confianza =1 – α =0.95σ =2.5Z=1.96

A continuación identificamos la formula

n = Z∝2 . σ 2 /e2

n = 1.962x 2.52/(0.452) =24.01/0.2025 =118.6 ≈ 118

La cantidad que debe tener el tamaño de muestra será 118 adultos de la minera

b) Suponga que en la zona minera existe 1300 adultos, ¿cuál debe ser el tamaño de muestra requerido?

Solución

e = 0.45Confianza =1 – α =0.95N=1300Z=1.96σ =2.5

A continuación identificamos la formula

n = NZ∝2 . σ 2 /((N-1) e2+Z2. σ 2)

n =31213/287.0575 =108.7 ≈ 109

La cantidad aproximada de la muestra conociendo la población será 109 adultos de la minera

11.- El director comercial de cierta compañía que realiza ventas por correo electrónico, desea precisar con mucho cuidado su política de crédito. Si el director desea tener un intervalo de confianza del 99% para la proporción de clientes que están al día en sus pagos. ¿Qué tamaño de muestra debe usar si se desea tener un margen de error del 4.5%? .

I.C =99%Z= 2.58E = 4.5

a) Suponga que en una muestra piloto de 35 clientes se halló que 8 clientes están al día en sus pagos.

n =35p=8/35=0.23q=0.77

A continuación identificamos la formula

n = p ± z√ pqn

n = 0.23 ± 2.58 √ 0.23x 0.7735n = 0,23 ± 2.58 √0.00506

n = 0,23 ± 0.18318

La proporción de Clientes que varían en sus pagos están entre (0.414 y 0.047)

n 0 =Z2 PQ /e2

n = 6.66(0.23)(0.77)/4.52

b) Suponga que existen 3500 clientes que realizan sus compras por correo. ¿Cuál será el tamaño de muestra para este caso?

N=3500n=?

n= N Z2PQ

(N−1 ) E2+Z2PQ

REEMPLAZANDO:

3500*0.058 =203n=203

c) Para un nivel de confianza del 95%, un tamaño de la población de 3500 clientes y considerando la estimación conservadora de p igual a 0.5. Complete el siguiente cuadro para estimar tamaños de muestra para diferentes valores de margen de error.

N=35001-α =95%P=0.5Q=0.5