trabajo final microeconomia avanzada lugon

8/13/2019 Trabajo Final Microeconomia Avanzada Lugon

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EJERCICIO CALIFICADO

MICROECONOMA AVANZADAMDULO 5

Ciclo 2013-2

Curso:Microeconoma AvanzadaProfesor: Alejandro Lugn

Integrantes:Carlos Rodrguez Espejo 20073156

Fernando Alarcn Delgado 20070808

Wilfredo Bacilio Alarcn 20133198

Walter Ysique Quesqun 20044845

2 13


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9 de Diciembre del 2013

Trabajo Calicado Mdulo 5

Microeconoma Avanzada

Contents

I Problema 17.D.1 2

A Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Pregunta 22.C.4 7

A Parte (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8B Parte (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9C Parte (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

III Bibliografa 13

Abstract

1


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I. Problema 17.D.1

Considere una economa con dos dotaciones y dos consumidores. Ambosconsumidores tienen preferencias homotticas con elasticidad de sustitucin con-stante. Esta elasticidad de sustitucin es la misma para ambos consumidores yes pequea (por ejemplo: los bienes son casi perfectamente complementarios).Especicamente las utilidades tienen la siguiente funcin:

U1(x11; x21) = (2x11+x

21)

1

U2(x12; x22) = (x12+ 2x

22)

1

Con las siguientes dotaciones para los consumidores:

!1 = (1; 0) !2 = (0; 1)

A. Solucin

Hallamos, primero, las demandas marshallianas de cada individuo, a travsde un proceso de maximizacin de su utilidad sujeto a una restriccin presupues-taria. Para el primer individuo, tenemos que:

M ax (2x11+x21)

1

s:a p1x11+p2x21= p1

Dado que la restriccin presupuestaria se debe cumplir con igualdad, planteamosel Lagrangeano para el consumidor 1:

L= (2x11+x21)

1

+(p1p1x11p2x21)

Condiciones de primer orden:

@L

@x11=

1

(2x11+x

21)

1

1

2x111

(p1) = 0 (1)

2


4/14

@L

@x21=

1

(2x

11+x

21)1

1 x121 (p2) = 0 (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) tenemos que:

x11=

p12p2

11

x21 (3)

Reemplazando en la restriccin presupuestaria tenemos que:

p1

p12p2

11

x21+p2x21= p1

x21

p1

p12p2

11

+p2

!= p1

x21= p1

p1

p12p2

11

+p2

(4)

Asimismo, remplazando la demanda de el bien 2 en la ecuacin (3):

x11=

p12p2

11 p1

p1

p12p2

11

+p2

x11= p1

p1+p2

p12p2

11

(5)

Anlogamente, el Consumidor 2, se enfrenta al mismo problema de maxi-mizacin:

M ax (x12+ 2x22)

1

3


5/14

s:a: p1x12+p2x22 = p2

Se plantea el Lagrangeano:

L= (x12+ 2x22)

1

+ (p2p1x12p2x22)

Las condiciones de primer orden son:

@L

@x12=

1

(x12+ 2x

22)

1

x112 (p1) = 0 (6)

@L

@x22=

1

(x12+ 2x

22)

1

2x122 (p2) = 0 (7)

Utilizando las dos ecuaciones anteriores tenemos que:

x12=

2p1p2

11

x22 (8)

Reemplazando en la restriccin presupuestaria:

p1

2p1p2

11

x22+p2x22= p2

x22= p2

p1

2p1p2

11

+p2

(9)

Reemplazandox22en la ecuacin (8):

x12=

2p1p2

11 p2

p1

2p1p2

11

+p2

4


6/14

x12= p2

p1+p2 2p1p2 11 (10)

Dado que ya calculamos las demandas marshallianas de cada uno de losindividuos, a continuacin, procedemos a calcular la funcin exceso de demanda:

Excesos de demanda para el consumidor 1 (normalizando p2 = 1, es decir,lo tomamos como numerario):

Z1(p1; 1) =

24

p1

p1+ p12 1

1

1; p1

p1 p12 1

1 + 1

35

(11)

Excesos de demanda para el consumidor 2 (tomando a p2= 1como numer-ario):

Z2(p1; 1) =

" 1

p1+ (2p1)1

1

; 1

p1(2p1)1

1 + 1 1

# (12)

Sumando los excesos de demanda del bien 1 e igualando a cero:

p1

p1+

p12

11

1 + 1

p1+ (2p1)1

1

= 0

p12

11

p1+ (2p1)

1

1

+p1+

p12

11

p1+

p12

11

p1+ (2p1)

1

1

= 0

Operando la expresin anterior, obtenemos:

2

1

1p

1

1

1 p1 2

1

1p

1

1

1 2 1

1p1

1

1 +p1+ 2 1

1p1

2

1

1

= 0

5


7/14

Y simplicando algunos trminos:

2 1

1p

11

1 p1p1

1

1 p1

1

1 +p1+ 2 1

1p1

1

1 = 0

Se observa que p1 = 1es solucin a esta ecuacin, en efecto:

2

1

1

(1)21 (1)

2

1 + 1 + 2 1

1 (1)1

1 = 0 (13)

Lo cual demuestra que el vector de precios (p1; p2) = (1; 1)es un equilibrio.

Para demostrar que existen mltiples equilibrios, seguimos los siguientes pa-sos. Primero, probaremos que(p1; p2) = (1; 1)es un equilibrio regular1 , esto es,

probar que la matriz de precios D Z(p1; p2) = h @Zij@pj i(L1)(L1) (el nmero debienes es L = 2) es no singular, es decir,

DZ(p1; p2)es diferente de cero.En efecto, como L = 2 y (p1; p2) = (1; 1): DZ(1; 1) =

h@Z11@p1

i11

, as, slo

necesitamos derivarZ11(p1; 1)con respecto a p1 y luego evaluar en p1 = 1.Partimos de:

Z11 = p1

p1+ (p1=2)1

1

1

Derivando:

@Z11@p1 (p1; 1) = h

p1+ p12

1

1

i p1 h1 + 11

p12

1

11

12ih

p1+p1

2

11

i2 :Evaluando enp1 = 1 :

@Z11@p1

(1; 1) =

h1 +

12

11

i 1

h1 +

11

12

11

1 12

ih

1 +12

11

i2 :@Z11@p1

(1; 1) =

12

11

11

12

11h

1 +

12

1

1

i2 =12

11

h1 11

ih

1 +

12

1

1

i2 :@Z11@p1

(1; 1) =12 11 h

1ih

1 +12

11

i2 >0:1 Cabe sealar que, en una economa regular con la normalizacin pL = 1, el nmero de

equilibrios es nito.

6


8/14

Como DZ(1; 1) es una matriz de un slo elemento, entonces coincide con sudeterminante, as:

DZ(1; 1)= @Z11@p1 (1; 1)=

12

11

h 1

ih

1 +12

11

i2 >0:Por lo tanto, (p1; p2) = (1; 1) es un equilibrio regular de la economia. En-

tonces, podemos calcular el{ndice p:

index (p = (1; 1)) = (1)L1signDZ(1; 1) ; (14)

en este caso L = 2(el nmero de bienes), y comoDZ(1; 1)

> 0, le asignamos

el valor +1, luego, remplazando en la ecuacin (14), se tiene:

index (p = (1; 1)) = (1)(+1) =1: (15)

Segn el Teorema de ndices, establece que para cualquier economa regularse cumple: X

fp:Z(p)=0;pL=1g

index p = +1: (16)

Como ya tenemos que parap= (1; 1), suindex(p) =1, una manera que el Teo-rema de ndices se cumpla es tengamos almenos un par de equilibrios regularesen la que cada uno tenga como index(p) = +1, es decir:

index (p) = (1) + (+1) + (+1) = +1: (17)

As, existen por lo menos 3 equilibrios regulares, en particular, debe existirun nmero impar de precios de equilibrio.

II. Pregunta 22.C.4

El ordenamiento (o relacin de preferencias) Leximin en Rl ha sido men-cionado en el pie de pgina 11 del captulo 22, cuando se discuti la Funcin deBienestar Social (FBS) de tipo Rawlsiana. Su denicin formal es:

Dado un vector u = (u1; u2;:::;ul), sea ur Rl el vector de reordenamientono-decreciente de u: Es decir, las entradas de ur estn ordenadas de maneracreciente, y sus valores numricos son los mismos que parau:Decimos entonces,que el vector u es al menos tan bueno como el vectorbu en el ordenamientoleximin,si ur es al menos tan bueno comobur en el ordenamiento lexicogrco,introducido en el ejemplo 3.C.1.

7


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A. Parte (a)

Interprete el ordenamiento Leximin como un renamiento de larelacin de preferencias Ralwsianas.

Un ordenamiento de preferencias socialesRawlsianaomaximinordena jerrquica-mente las preferencias sociales en trminos del bienestar del individuo menosfavorecido (aquel con la menor utilidad). Este ordenamiento puede violar elprincipio de Pareto. Por su parte, un ordenamiento de las preferencias socialesde tipo leximinse puede interpretar como un renamiento a las preferenciasRawlsianas, ya que incorpora en el ordenamiento de las preferencias socialesun orden de tipo lexicogrco. Un ordenamiento leximin no puede violar elprincipio de Pareto.

En Rawls, tenemos que:

W(u1;:::;ul) = mini=1;:::;l

fuig

Ahora, veamos matemticamente que un ordenamiento leximin es un re-namiento a la relacin maximino rawlsiana. Para ello, denamos un vector deutilidad ordenado.

Denition 1 Vector de Utilidad Ordenado

Para cualquieru Rl, el vector de utilidad ordenado!u es denido como el

vector que obtenemos cuando reordenamos los elementos deuen orden creciente.Ejemplo: Seau = h4; 16; 0iel vector de utilidad, entonces!u =h0; 4; 16i:El ordenamiento leximin4

lse dene como:

u 4l

v,!u antecede lexicogrcamente a !v

Esto signica que:

!u =!v ; o

Existek ntal que

!ui = !vi ; para todo i < k; y!uk y1] _ [x1 = x2 ^ x2 y2]g.Esta preferencia no admite una representacin en funcin de utilidad.Probaremos por contradiccin:-Suponga que existe una funcin de utilidad representando a . As, para

cualquier xi 2 R, se tiene (x1; 1) (x1; 0) y as u(x1; 1) > u(x1; 0), pues urepresenta a.

Por la densidad del conjunto de los nmeros racionales Q en R, para cadaa; b2 R, existe unr 2 Q tal quea < r < b. Por lo tanto, existe unr(x1)2 Q Rtal que:

u(x1; 1)> r(x1)> u(x1; 0):::()

Luego, denimos la funcin r : R ! Q R y demostraremos que esta es

inyectiva, lo cual no es posible dado que Qes numerable y Rno lo es.En efecto:Seax1 6=x01 , sin prdida de generalidad, asumimos quex1 > x

01. Entonces:

r(x1)> u(x1; 0) ......... por ()> u(x01; 0)..............puesto que (x1; 0) (x

01; 0)

> r(x01)::::::::::por ()

Es decir, si x1 6= x01 ) r(x1) 6= r(x01), lo cual indica que la funcin r es

inyectiva.Por lo tanto este tipo de preferencias no se puede representar mediante una

funcin de utilidad.Asimismo, podemos demostrar tambin que un ordenamiento de preferencias

sociales leximin, no se puede representar a travs de una Funcin de BienestarSocial (FBS).

Consideramos el caso de dos individuos, es decir: n = 2, supongamos queexiste una FBS W(u1; u2)representando el ordenamiento leximn `.

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Denimos:= W(x; 4) W(x; 3)para todo x 2 [1; 2]Debido a que (x; 4) es leximinsuperior a (x; 3), esto es, (x; 3) (x; 4)

entonces > 0 para todox 2 [1; 2].

Luego denimosA(n) := fx2 [1; 2]= 1

ngpara cadan 2 N. Observe que

los conjuntos:

A(1) :=fx [l; 2]= 1g

A(2) :=fx [1; 2]=1

2g

A(3) :=fx [1; 2]=1

3g

Cubren el intervalo [1,2], As tenemos que por lo menos uno de ellos es unconjunto innito. Se puede escoger un n0 2 N, tal que A(no) es un conjuntoinnito. Adems, dado que (1,3) `(1; 4)y (2; 3)` (2; 4), entonces:

1 := W(1; 4) W(1; 3)> 1

n0

2 := W(2; 4) W(2; 3)>

1

n0

Esto es, {1,2} 2 A(n0). Para cualquier ; y 2 A(n0)con < y tenemos:

(x; 3)`(y; 4) ) W(x; 4)< W(y; 3) (*1)

) W(x; 4) W(x; 3)< W(y; 3) W(x; 3)

As tenemos que:

W(y; 3) W(x; 3)> W(x; 4) W(x; 3) 1

n0

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12/14

)W(y; 3) W(x; 3) 1

n0(*2)

Luego, considerando la sucesin nita:

1 = 1

< 2


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= [W(2; 3) W(1; 3)]:

)kX

i=2

[W(xi; 3) W(x

i1; 3)] = [W(2; 3) W(1; 3)]

Esto es un valor jo. Por lo tanto, la suma no es acotada y a la vez es unvalor jo. Lo cual es una contradiccin. Por lo tanto, no existe una Funcin deBienestar Social (FBS) W(u1; u2)representando el ordenamiento leximn ` :

C. Parte (c)

Muestre que el ptimo social del ordenamiento Leximin es Paretoptimo. Se puede asumir queI= 3:

Para resolver este item, primero presentamos las siguientes deniciones.

Denition 2 Vector de Utilidad Ordenado

Para cualquieru Rl, el vector de utilidad ordenado!u es denido como elvector que obtenemos cuando reordenamos los elementos deuen orden creciente.

Ejemplo: Seau = h4; 16; 0iel vector de utilidad, entonces!u =h0; 4; 16i:Denido ello, procedemos a demostrar que el ptimo social del ordenamiento

Leximin es Pareto ptimo.Supongamos que u es un ptimo leximin pero que no es un ptimo de

pareto.Comou no es un ptimo de pareto, entonces 9 u0 tal queu0 > u; u0 6=u:Aplicando un reordenamiento a los vectores de utilidad u0 yu, considerando

quej = min fij u0i> uig ;es decir:

u0i = ui ; para i < k

u0j >r

uj

Por ejemplo, para l = 3 ; se tiene u0 = (u01; u02; u03) y u = (u1; u2; u3) ;entonces si j = 2 ;al aplicar el reordenamiento se concluye en:

u01 = u1

u02 >r

u2

12


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As, se tiene que:

u0 %r

u

Lo cual contradice el hecho que u es un ptimo leximin. Por lo tanto, es unptimo de pareto. Q.E.D

III. Bibliografa

1. Debreu, G (1959): Theory of Value. Yale University Press.

2. Lugn, A. (2013): Introduccin a la Teora del Equilibrio General. Notas

de Clase. Maestra en Economa, PUCP.3. Mas-Colell, A.,M.D. Winston, J.R. Green (1995): Microeconomic theory.

Oxford University Press. 1995.

4. Moulin, H. (1991): Axioms of Cooperative Decision Making. EconometricSociety Monographs

5. Varian, H. (1992): Microeconomic Analysis, Third Edition. W.W Norton& Company, Inc.

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