CENTRO DE EDUCACION ARTISTICA “DAVID ALFARO SIQUEIROS”

TRABAJO DE ALGEBRA

JOHANA JAZMIN RASCON RENTERIA 1 A

Profesor: Víctor Manuel Morales Arzaga

Objetivos

El realizar este trabajo permite poner en práctica todas las cosas aprendidas en clase y darnos cuenta si en realidad lo aprendimos, en caso de que no, este trabajo funciona como un repaso general para ayudarnos a dominar lo que no haya quedado claro.

1

Índice Pág.

Introducción……………………………………………………. 3

Suma………………………………………………………………. 4

Resta………………………………………………………………. 5

Multiplicación…………………………………………………… 6

División……………………………………………………………. 9

Productos Notables……………………………………………… 11

Factorización……………………………………………………. 14

Fracciones algebraicas………………………………………… 17

Ecuaciones lineales…………………………………………….. 19

Ecuaciones de segundo grado…………………………………28

Conclusiones finales……………………………………………….32

2

I.- Introducción

Conceptos:

Algebra: El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. El término proviene del latín algĕbra que, a su vez, deriva de un vocablo árabe que significación “reducción” o “cotejo”.

Termino algebraico: Un término algebraico es toda expresión matemática en donde aparezca una incógnita, la cual se denomina por una letra del abecedario (factor literal)

Expresión algebraica: Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Exponente: Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza un término como factor para multiplicarse por sí mismo.

Grado: Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal.

3

2) Resolver

Suma

Un terreno triangular tiene las siguientes medidas: 4 x+5 ,2 x2+2 ,3−x

2 x2+2 4 x+5

3 x2−x

P=5 x2+3 x+7

(5a2−2a3+a )+ (4 a+3a2 )+(5 a3−2a+7 ) (3a−2a3+5 )= 1a3+8a2+6a+12

( 34x2−4

3x+2)+( 1

6x−2

5x2+7

8 )=−74x2−7

6x+ 23

8

(4 y−5 z+3 )+(4 z− y+2 )+(3 y−2 z−1 )=6 y−3 z+ y

( 12m2+3

5m−4

7 )+( 38m−5

4 )+( 53m− 3

10m2)=

(2 pq−3 p2q+4 pq2)+( pq−5 p q2−7 p2q)+¿)= 6 pq−11 p2q+3 p q2

4

RestaA cierto terreno en forma triangular, se le quiere quitar una parte de su perímetro para achicar su area.

(5 x2+3x+7 )−(2 x+4 x2−3 )=1 x2+1 x+4

a) (5m+4 n )−(8n−7 )+( 4m−3n+5 )−(−6m+4 n−4 )=¿ 15m−11n+8

b) ( 4m4−3m3+6m2+5m−4 )−(6m2−8m2−3m+1 )=¿ 4m4−9m3+14m2+8m−5

c) (6 x5+3 x2−7 x+2 )−(10 x5+6 x3−5 x2−2x+4 )=¿ −4 x5+8x2−5 x−6

d) (−x y4−7 y3+x y2 )+(−2 x y 4+5 y−2 )− (−6 y3+x y2+5 )=¿ −3 x y 4−1 y3+3+5 y

e) ( 16x+ 3

8y−5)−( 8

3y−5

4 )+( 32x+ 2

9 )=¿ 53x−55

24−127

36

f) ( 13−4 x+ 4

5y )+( 1

8y−3

2+ 5

3x )−( 4

7y−3

3x )=

−76

+ 143x

99280

y

Multiplicación5

a) (-) (-) = +(+)(+)= + Ejemplo: (-7x) (+5x) = -35 x2

(-)(+)= -(+)(-)= -

b) La ley distributiva dice que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. Ejemplo: 4 x (2 +3)= 4x2+4x3

c) Los exponentes: en la multiplicación los exponentes de las mismas literales se suman.División: Los exponentes de las mismas literales se suman, si queda residuo se indica donde estaba el mayor.Potencia: La potencia de un número está indicada por un exponente. El número se multiplica las veces que indica el exponenteRadical: Indica el número de veces que un numero se ah multiplicado por si mismo.

d)(2a3+6 a2−4a ) (5a2−7 )

Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de signos10−14+30−42−20+28

Los exponentes de las mismas literales se suman

10a5−14a4+30a4−42a3−20a3+28a2

Se aplica la ley distributiva Se simplifica sumando términos semejantes.

10a5+16 a4−62a2+28a2 Polinomio de 5º Grado

e) Resuelve las siguientes multiplicaciones:

6

(2 x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )=¿ 4 x4−8 x3−5 x2+17 x+6

(3 x−1 ) (4 x2−2 x−1 )=¿ 12 x3−10x2−1 x+1

( 43a2−5

4a−1

2 )( 25a+ 3

2 )=¿ 815a3+ 12

6a2+ 83

40a−3

4

(9 xy−4 x2 y ) ( 2x y2+6x2 y2 )=¿ −24 x4 y3+66 x3 y3+18 x2 y3

(5m21−3m3

2 ) (4m4−3−2m5 )=¿ 20m2

1−10m211−12m12

−1+6m317

( 25z2−1

3+ 4

9 )( 37z2−7

2z−3)=¿

635z4−54

35z3− 1

30z2

(3 y−5 ) (2 y+4 )=6 y2+2 y−20

(3 x2−x+7 ) (5 x+2 )=15 x3+1 x2+33x+14

(4 ab+3b ) ( 6a2b−2ab2 )=24 a3b2−8a2b3+18a2b2−6a b3

d) Un terreno rectangular mide 2 x – 4 metros de largo y 5 x+3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área?

5 x+3

2 x−4

(5 x+3 ) (2 x−4 )=10x2−14 x−12

e) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta ¾ x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?

A: 3x(5) = 15x

B: (4x+2) (3)= 12x+6 27 x+214x+6

C: 34

x(7) = 214x

7

DIVISIÓN

División algebraicaEs la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente.

PropiedadesSi la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.

Elementos de la divisiónDIVIDENDO: Es el número que se desea dividir.DIVISOR: Es en cuantas partes se quiere dividir.COCIENTE: Es en cuantas veces se ha dividido.RESTO O RESIDUO: Es lo que sobra de la división.SIGNOS:El SOLIDUS es el símbolo de la división cuando los operandos se escriben en línea horizontal. (Parece 7 acostado)OBELUS o signo de división es el símbolo representado por una línea y dos puntos (uno arriba y otro abajo)

8m9n2−10m7n4−20m5n6+12m3 n8

2m2n3= 4m7−5m5n−10m3 n3+6mn5

20 x4−5 x3−10x2+15 x−5 x

=4 x3−x2−2x+3

4 a8−10a6−5a4

2a3= 2a5−5a3−5

1a

2 x2 y+6 xy2−8 xy+10 x2 y2

2 xy=x+3y-4+5xy

14 y2−71 y−337 y+3

=2 y−11

8

Si un espacio rectangular tiene un área de 6 x2−19x+15y la

anchura es 3x – 5 ¿Cuánto mide la base?

6 x2−19x+153 x−5

=2x-6

CONCLUSIONES:Llegue a la conclusión de que las operaciones algebraicas pueden estar presentes en nuestro día a día y ni siquiera lo notamos.

9

PRODUCTOS NOTABLES

Es la multiplicación de expresiones algebraicas especiales mediante la aplicación de reglas para obtener el resultado.

Reglas para desarrollar los diferentes tipos de productos notables:

Binomios a una potencia

Los binomios a una potencia es la multiplicación de (n) veces un mismo binomio.

Binomio al cuadrado

¿

Cuadrado del 1er termino ¿

Doble producto de los dos términos (3 x ) (+2 )=6 x (2 )=12x

Cuadrado del 2º termino ¿

(Se obtiene un Trinomio cuadrado perfecto) R= 9 x2+12x+4

Binomio al cubo

¿

Cubo del 1er termino¿

Triple producto del cuadrado del 1er termino por el segundo

¿

Triple producto del cuadrado del 2º termino por el primero

(5)2=25 (3 )=75 (3 )=225 Cubo del 2º termino

(5)3=125

R= 2 7 x6+13 54+2252+125

Binomios a potencia superior

10

El 2º termino empieza con potencia 0 y aumenta hasta la potencia indicada

El 1er termino comienza con la potencia indicada y disminuye hasta 0

Binomios con término común

(2 x+2 )(2x−5)

Cuadrado del termino común ¿

Suma (o resta) de los términos diferentes por el común3−5=2 (2x )=−4 x

Producto de los diferentes3x5= -15

R= 4 x2−4 x−15

Binomios conjugados(3 x+5 )(3 x−5)

Cuadrado del 1er termino

(3 x )2=9 x2

(-) Menos cuadrado del 2º termino¿

R=9 x2−25

11

(3a+4 )2 =9a224 a+16

(2 x2−5 )2= 4 x 4−20x2+25

(7m+8n )2 =49m2+56mn+64n2

(4 a+5 )3 = 64a3+240a2+300a+125

(2a3−7 )3 = 8a9+84 a6+294a3−343

(5m+4 )3= 125m3+300m2+240m+64

(2 x+3 ) (2 x+5 )= 4 x2+16 x+15

(x2−1 ) (x2+1 )= x4−1

(m+4 ) (m−2 )= m2−2m−8

(3a−7 ) (3a+7 )= 9a2−49

(5a+3b ) (5a−2b )= 25a2−1ab+6b

( 4 x3+3 ) ( 4 x3−3 )=16 x6−9

(a2−1 ) (a2−4 )=a4+5a2+4

CONCLUSIONES

Los binomios conjugados se enlazan con la factorización directamente, aunque yo pienso que no tienen un uso tan común en el día a día fue interesante descubrirlos

Factorización12

Métodos de factorización

Trinomios cuadráticos

a) Trinomio Cuadrado Perfecto.- No existe factor común; los extremos tienen raíz cuadrada exacta y el término central es el doble producto de dichas raíces.b) .- No tiene factor común, ni es TCP. Se factoriza a 2 binomios con termino común.c) No tiene factor común ni s TCP. Se factoriza por agrupación.

La factorización es el cambio de una expresión algebraica en el producto de 2 ó más factores.

Factorizar:

a¿25a2−64b2=(5a+8b )(5a−8b) b¿8m2−14m−15=(2m−5 )(4m−6)

c ¿ x2−15x+54=( x+6 )(x+9)

13

Agrupación.- No existe factor común; la expresión se divide en parejas comunes (al

Diferencia de cuadrados.- Es un binomio donde los términos se restan y tienen raíz cuadrada. Se factoriza a binomios conjugados.

Factor Común.- El método que debe “probarse” en primer lugar. Se aplica cuando todos los términos tengan una misma variable y/o sus coeficientes sean múltiplos de un mismo número.

d ¿5 x2−13x+6=(5 x−2 )(5−3)

e ¿27 a9−b3=(3 a3−b )¿

f ¿5a2+10 a=5a (a+2)

g¿n2−14 n+49=¿

h¿ x2−20 x−300=( x−30 )(x+10)

i ¿9x6−1=(3 x3−1 )(3 x3+1)

j ¿64 x3+125= (4 x+5 )(16 x2−20 x+25)

k ¿ x2−144=( x−12 )(x+12)

l ¿2x2+11 x+12=(2x+4 )(x+3)

m ¿4 x2 y−12x y2

n¿ xw− yw+xz− yz=(w+z )(x− y )

o¿ x2+14 x+45=( x+5 )(x+9)

p¿6 y2− y−2=(3 y−2 )(2 y+1)

q¿ 4m2−49=(2m+7 )(2m−7)

r ¿ x2−x−42=( x+6 )(x−7)

s¿2m2+3m−35=(2m−7 )(m+5)

t ¿ a2−24 a+199=(a−17 )(a−7)

Factorización en la aplicación de soluciones de ecuaciones cuadráticas

Para la solución de ecuaciones cuadráticas podemos emplear la factorización, consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Conclusión:

Este tema nos sirve en lo que vimos después como las fracciones algebraicas y además se relaciona casi directamente con lo que

14

habíamos visto antes. A pesar de no ser muy buena me pareció interesante aprender este tema.

Fracciones Algebraicas

xx2+8 x+16

=(x−4)(a+4)

15

4 x2−20 xx2−4 x−5

= 4 x(x+1)

3a−9b6a−18b

=12

x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6+5

3 x2+2 x−1=

(3 x )(x+5)(4−x )(3 x−1)

7 x+21

x2−16 y2∗x2−5 xy2+4 y2

4 x2+11−3=

(7)(x− y )(x+4 y )(4 x−1)

x2−3 x−10x2−25

∗2 x+10

6 x+12=1

2

x−42 x+8

∗4 x+8

x2−16=

(4 )(x+2)(2)¿¿

3x−15x+3

÷12 x+184 x+12

=(12)(x−5)(6)(2 x+3)

4 x2−9x+3 y

÷2 x−3

2 x+6 y=(2)(2 x+3)

x2−14 x−15x2−4 x−45

÷x2−12x−45x2−6 x−27

=(x+1)(x+5)

a−3

a2−3 a+2− 9

a2−4a+3= 4a+9

(a−2)(a−1)(a−3)

mm2−1

+ 3mm+1

= 3m2−2m(m+1)(m−1)

2aa2−a−6

− 4a2−7a+12

= 2a2−12a−8(a+2)(a+3)(a+4 )

2m2−11m+30

− 1m2−36

+ 1m−25

= 2m2−12a−8(m−5)(m+6)(m−6)(m+5)

x

x2−5x−14+ 2x−7

= 3 x+4(x+2)(x−7)

Fracción compleja:

16

Fracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.

Conclusión:

Conforme vamos viendo temas diferentes, lo que hemos visto antes me va pareciendo igual de importante, porque todo se relaciona. Aunque la verdad me parece muy difícil emplear este método en la vida cotidiana, me pareció interesante saberlo.

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal (grado mayor= 1) representa una línea recta del tipo

17

y=a+bx a= ordenada al origen

(Intercesión en y)

b= pendiente

Existen dos tipos de ecuaciones lineales: una incógnita y dos incógnitas.

Existen cuatro tipos de resolución:

Suma-Resta: -Se elige una variable-Se cruzan los coeficientes cambiando el signo a uno de ellos-Se multiplican las ecuaciones-Se suma y/o se resta-Despejar la variable-Sustituir una de las ecuaciones para obtener el 2° valor

Igualación:-Despejar la misma variable-Igualar los despejes-Realizar el algebra para encontrar el valor-Sustituir en uno de los despejes

Método gráfico Determinante

Resolver:

18

a ) 4(2 x−3 )+5( x−1) = 7( x+2 )−(3 x+4 )x=3

b ) 5 x−34

+2x3

= x+12

x=1517

c ) 3(4 x+3 )+2 x−3(2−x )=2+3( x−4 )+5x−2

x=−53

d ) 2 x+57

−3 x5

=x+22

+3 x

x=13

e ) 5(2x−3)+4( x+1)−5 =2x−32

+x3

x=8776

Graficar:

a) y = 5x -1

Solución:

X= (0.2, 0.02)

b) y = 2x+3 Solución: x= (-1.5)

c) y = -1/2 x + 2

19

a ) 4(2 x−3 )+5( x−1) = 7( x+2 )−(3 x+4 )x=3

b ) 5 x−34

+2x3

= x+12

x=1517

c ) 3(4 x+3 )+2 x−3(2−x )=2+3( x−4 )+5x−2

x=−53

d ) 2 x+57

−3 x5

=x+22

+3 x

x=13

e ) 5(2x−3)+4( x+1)−5 =2x−32

+x3

x=8776

Solución: x=4

Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿qué precio pagó al proveedor?

$100

Resolver:

20

a ) 2 x−3 y=4x−4 y=7

a=55

x=105

g ) 2h−i =−53h−4 i =−2

h=185

i=145

21

b ) 4a+b=63a+5b=10

a=5−5

b=10−5

c ) m−n=33m+4n = 9

m=20 ¿17 ¿¿

¿n=2217

¿ ¿d ) 5 p+2q=−3 ¿ 2 p−q=3 ¿ p=39

¿q=219

¿ ¿e ) x+2 y=8 ¿ 3 x+5 y=12 ¿ x=−6411

¿ y=−1211

¿ ¿ f ) 3m+2n=7 ¿ m−5n=−2 ¿m=3117

¿n=1317

¿ ¿ g ) 2h−i =−5 ¿ 3h−4 i =−2 ¿h=185

¿ i=145

¿¿

22

Graficar los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.

A) Solución: (-1,-2)

C) Solución: (3,0)

E)

23

Solución: (-16,12)

G) Solución: (-3.6,-2.2)

Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos

24

recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

200 boletos para niños y 800 para adultos

25

ECUACIONES DE 2° GRADO

Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical, donde las raíces) son los puntos de intersección con X

Los números reales son el conjunto de todos los números pensables... incluye a los racionales (simples ----> -4, 0, 7/2, 156... ) y a los irracionales (los que tienen cifras decimales no periódicas infinitas ---> por ejemplo Pi o raíz cuadrada de 2)

Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo. A esto se le conoce como numero imaginario.

26

7 x2+21 x=0

x 1=0

x 2=−3

4 x2−16=0

x 1=2

x 2=−2

a2−3a+2=0

a1=3 .5

a2=2.5

9m2+2m−5=0

m1=2. 7535

m2=1. 2464

x2−3x=0

x 1=0

x 2=3

5 x2+10=0

x 1=1 . 4142

x 2=1 . 4142

7 y2−3 y+10=0

y 1=4 . 1758

y 2=1. 8241

2 t2+t+1=0

t 1=. 4114

t 2=1 .6614

8 x2−7x=0

x 1=0

x 2=−78

a2−25=0

a1=5

a2=−527

y=x2−1

X1= -1

X2=1

y=x2+5x+6

X1=-2

X2=-3

28

y=− x2−4

X1= 2

X2=-2

29

CONCLUSIONES FINALES

Como conclusión, tengo que al hacer este trabajo el profesor pretendió que pusiéramos en practica todo lo que nos enseñaba, pues al ser una materia que la mayoría considera difícil seria un desperdicio de tiempo solo ir a la clase y escuchar lo que el profesor dice si no lo ponemos en practica y a la siguiente semana se olvida. Aunque tengo ciertas dificultades con las matemáticas (sobretodo con el algebra) me pareció interesante descubrir que no son tan difíciles como uno piensa, y que pueden estar presentes hasta en lo mas cotidiano.

30