trabajo externo de calculo2

5/6/2018 Trabajo Externo de Calculo2 - slidepdf.com

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Trabajo ExternoCalculo II

Independencia de la Trayectoria

Nombres:

-Eduardo Chi

-Priscilla Garnica

-Nicolle Cabezas

-Francisco Peregue

-Rodolfo Quijon

-Gonzalo Guajardo



Independencia de la trayectoria.

Integral de línea independiente de la trayectoria

Integrales de línea

Sea un función vectorial (o campo vectorial)

F ( x , y , z) = F x ( x , y , z) x + F y ( x , y , z) y + F z( x , y , z)

definida en el espacio (o en cierta región del espacio), y sea una curva (o camino) C contenida en esa región,que va desde un punto a a un punto b.

Consideramos una partición de C , esto es consideramos los puntos P i de la curva de forma tal que el primerode ellos, P 1, coincida con a y el último con b y construyamos los vectores que van desde un punto de la

partición al siguiente. Notaremos a estos vectores s. Ahora para cada elemento de la partición formemos el producto escalar entre el valor del campo en el punto inicial y el correspondiente s.

Se define como la integral de línea (o integral curvilínea) de a a b a lo largo de la curva C como el siguientelímite

Escribiremos este límite en la siguiente forma

que se lee integral de línea (o curvilínea) de a a b a lo largo de la curva C .



I.- Integral de línea independiente de la trayectoria.

Definición:

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo,esto es:

Entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

´ ´ Con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente delcamino entre a y b. Por esta razón, un campo vectorial que es el gra diente de un campo escalar, es llamadoindependiente de la trayectoria.

Consideremos la integral de línea sobre la trayectoria de un campo vectorial =( , que se

obtiene del gradiente de un campo escalar, . Se dice que es un campo conservativo. En estecaso:

Por lo tanto:



Es decir la integral de línea es independiente de la trayectoria. Otra manera de expresar este resultado es:

Es independiente de la trayectoria si y solo si existe , tal que:

De aquí tenemos:

Propiedades:

1- Teorema fundamental de las integrales de línea:

Si es independiente de la trayectoria en una región que contiene a C y y son puntos inicial y final de C, entonces existe una función U tal que:

y

2- Si F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral�c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F (x, y) = s f (x, y) para alguna función escalar f.

3- Sea continuo en una region abierta y conexa D, y sea C una curvaregular parte en D con extremos y . Si F(x,y)=f(x,y) entonces :

Ejemplos:

1) Para el campo de fuerzas dado por: ��

Probar que es independiente del camino y calcular el trabajo realizado por F sobre un

objetivo que se mueve por una curva C desde (0, hasta (1,,3).



Solución:

Expresando el campo de fuerzas en la forma F(x,y,z)=M+N +P, tenemos M= �� , N= �� , y P=2. Entonces:

��

Por lo tanto F es conservativo. Si f es una función potencial de F, entonces:

�� Integrando con respecto a x, y , z por separado, tenemos:

��

Comparado estas tres versiones de podemos concluir que: ��

Asi pues, el trabajo realizad por el campo F a lo largo de cualquier curva C desde (0,, 1) hasta(1,,3) es :

�� e



2- Sea . Demuestre que es independiente de la trayectoria C

que pasa por dos puntos dados

Solución:

3.- R ealizar los pasos necesarios para saber si la integral es independiente de la

trayectoria o no.

Solución:

Para saber si la integral propuesta es independiente de la trayectoria, debemos averiguar si el integrando esuna diferencial exacta.

Identificamos P y Q

Luego obtenemos y verificar si son iguales; en tal caso, la integral será independiente de la trayectoria.



Tenemos:

Por lo tanto:

es independiente de la trayectoria.

Campo gradiente. Función potencial.

Definición:

Sea ó con abierto. Si existe tal que en U, diremos que es un

potencial para y que es un campo gradiente, también es llamado campo conservativo

Propiedades:

Luego sea un potencial para sobre U.

1- Si entonces

2- Si es otro potencial para entonces 3- Si

Ejemplos:

1- Pruebe que la integral

es independiente de la trayectoria que une a los puntos (1,2) con (3,4). Calcule el valor de la integral.

a) Parametrizando el segmento

b) Utilizando la función potencial del integrando



Solución:

La integral será independiente de la trayectoria si el campo

Es conservativo. Como el campo es C

1

en bastara con comprobar que se cumple la condición

, . En efecto:

El campo es conservativo y la integral es independiente del camino.

a) Parametrizamos como el segmento que une el punto (1,2) con (3,4):

b) Calculamos la función (función potencial del campo F):

Luego



La integral, utilizando la función potencial, es:

2- Dado el campo de fuerzas a) Halle el trabajo realizado al mover un objeto el punto (0,0) al (2,0),

A lo largo de la semicircunferencia con b) Halle el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa.c) ¿Es F conservativo? Halle la función potencial de F.

Solución:

Vamos resolver primero el apartado c) porque si el campo es conservativo los otros dos apartados losresolvemos más fácilmente.

d) :

y el campo F es conservativo. Calculemos su función potencial

Luego

a) Como F es conservativo la integral es independiente de la trayectoria, únicamente depende delos puntos inicial y final. El trabajo realizado al mover el objetivo desde (0,0) hasta (2,0) será:

b) A lo largo de la circunferencia completa, como es una curva cerrada, el trabajo sera nulo:

Demuestre si el campo es o no conservativo



Desarrollo:

��

��

� �� Por tanto como

el campo no es conservativo

1.2-

1.2.1 condiciones para que un campo vectorial sea campo gradiente.

Sean conjunto abierto convexo. con derivadas continuas, entonces:

Entonces en , si , lo anterior asegura que:

es campo gradiente

1.2.2 Y para

1.2.3

Sea C una curva suave descrita por ahora sea continua, con abierto quecontiene a la curva C.

La integral de línea de a lo largo de C, es :

Entonces si tenemos:



Asi tenemos la siguiente notación:

1.2.4

Si C es una curva cerrada, entonces la integral de línea se anota , ahora si no se dice nada en contrario y

la orientación de C se considerara positiva, esto es, en sentido antihorario.



III.- Pruebe la siguiente propiedad física:

³el trabajo efectuado por un campo de fuerzas para mover una partícula que la traslada de un punto P1 hastaotro punto P2 es el cambio de energía cinetica de la particula entre estos dos puntos; y la suma de energíacinetica y de la energía potencial es constante´.

Concepto de energía cinética

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo dedicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

Hacemos el cambio de variable

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es iguala la masa por la aceleración tangencial.



En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y elcociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tar da en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

Fuerza conservativa. Energía potencial

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial yfinal de una función que solo depende de las coor denadas. A dicha función se le denomina energía potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Principio de conservación de la energía

Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a ladiferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partículaes igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía

E kA+E pA=E kB+E pB

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.



IV.- Un camión de minería, modelo Belaz 75600, lleva una carga máxima de 240 (ton) a lo alto de un tanqueatreves de de una estructura helicoidal; la estructura tiene un radio de 551 (m).

Al alcanzar la altura máxima de 90 (m) del tanque, la estructura da tres vueltas completas.

Calcularemos el trabajo realizado por el camión que lleva la carga a lo más alto del tanque, mediante

integrales de línea y así lograremos optimizar el tiempo utilizado en una empresa que desarrolla estaactividad.

De las especificaciones técnicas del camión se sabe que la potencia de este es 2610(kW)

Solución:

Sea F es el peso del camión;

Donde:

� ��

��

= 240000 *



De fisica sabemos que la potencia (P) es

Ya que conocemos la potencia del motor del camión, la cual es 2610000(W), y obtuvimos en el paso anterior el trabajo, podemos obtener el tiempo requerido para realizar esta actividad.

995(seg)

Que equivalen a 16(min).



V.- Bibliografía.

1. R onald Larson, calculo y geometría analítica, volumen II

2.- Sears F, Fisica Universitaria, volumen 1

3.- www.belaz-export.com/pdf/75600_es.pdf

4.- http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_lin_campv.pdf

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