Transformaciones ConformesEn la teora de funciones de variable compleja, se dice que una transformacin conforme es una funcin en . Para que una transformacin sea conforme la funcin debe ser analtica en un dominio y adems se debe cumplir que:

Propiedades de las transformaciones conformesLas transformaciones conformes tienen las siuientes propiedades: Curvas continuas en el plano se transforman en curvas continuas en el plano . Los ngulos entre dos curvas y cualquiera que se interceptan en el plano sern los mismos que formen las curvas transformadas y en el plano . Esto significa que los ngulos entre las curvas se conservan bajo la transformacin. El cambio de escala en la vecindad de puntos transformados es independiente de la direccin en la cual se mida. Cualquier funcin analtica en transforma en otra funcin Un ejemplo grfico de la segunda y la tercera propiedad es visible en las imgenes a continuacin:

En la primera imagen podemos observar a dos curvas y que forman un ngulo . En la imagen que le sigue, podemos observar que las curvas y no han sido alteradas bajo la transformacin , sin embargo es visible que la escala se conserva al igual que el ngulo .Caractersticas de las transformaciones conformesLas transformaciones conformes tienen caractersticas que podran ser clasificadas como propiedades, entre ellas destacan las siguientes: Traslacin: Una traslacin conforme es aquella en la que la transformacin realiza un desplazamiento de todos los puntos vistos en el plano , originando una transformacin de la forma . Se ilustra la forma de la transformacin en la siguiente imagen.

Rotacin: Una rotacin conforme, traslada por medio de un barrido radial los al punto visto en el plano . Para visualizar la transformacin, es bastante cmodo trabajar con la forma polar. Si , entonces la transformacin conforme , donde en su forma polar es . Es evidente que la transformacin conforme queda polarmente escrita como . Para ver grficamente una rotacin conforme podemos ver la siguiente imagen.

Entre otras transformaciones tenemos: Inversin: Es aquella que transforma los puntos del interior de un crculo unidad a su exterior y viceversa. A dicha transformacin se le conoce como Funciones Armnicas ConjugadasExisten funciones que en cursos anteriores se han estudiado con nombres particulares, unas funciones que son bastante estudiadas son las funciones armnicas que son aquellas que satisfacen la Ecuacin de Laplace. Podemos decir que si la funcin satisface:

Entonces la funcin es armonica. Sin embargo, esto no se restringe nica y exclusivamente para unas condiciones de borde como las que pueda originar el dominio . Cuando estamos en la teora de funciones de variable compleja, nace un nuevo concepto que son las funciones armnicas conjugadas. De vuelta al tema anterior, podemos decir que dada una funcin armnica si existe otra funcin armonica tal que:

Y adems es una transformacin conforme, entonces se dice que la funcin es la funcin armnica conjugada de .

Aplicaciones de las transformaciones conformesDesde el punto de vista de la ingeniera, las transformaciones conformes sirven para resolver muchos problemas relacionados con fsica y reas matemticas afines a la teora de funciones de variable compleja. Entre tantas aplicaciones, comentaremos las siguientes:Potencial electrostatico: Es una aplicacin que proviene de una manipulacin de la Ley de Coulomb. Comunmente se define una funcin proveniente de un gradiente de campo elctrico, a la que llamamos potencial complejo definida como:

Estas funciones estn sumamente relacionadas con la Ecuacin de Laplace.Flujo de Fluido Bidimensional:Es una aplicacin de mecnica de fluidos. Por la misma naturaleza que el caso anterior, esta ecuacin tambien depende de un gradiente que por medio de manipulaciones de las Ecuaciones de Navier-Stokes llegamos a la conclusin de que definen una funcin analtica que se llama flujo potencial. Cabe destacar que esta funcin de flujo de fluido bidimensional tambien relacionada con la Ecuacin de Laplace.Ecuacin de LaplaceLa Ecuacin de Laplace, es una ecuacin diferencial en derivadas parciales que ha aparecido en muchas aplicaciones como fsica y reas afines como lo es la mecnica de fluidos. La deduccin de esta ecuacin es sencilla ya que es consecuencia de buscar:

De la manipulacin de un campo vectorial llegamos a que la Ecuacin de Laplace es:

Cuando se agregan condiciones de borde, se origina un problema de valores de frontera. En el caso ms bsico, la Ecuacin de Laplace es til para calcular la distribucin de temperaturas en estado estacionario para una lmina que puede o no estar aislada. En variable compleja, la Ecuacin de Laplace puede obtenerse de una funcin analtica cuya parte real sea una funcin armnica.