UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINSITRATIVAS

CARRERA CONTABILIDAD Y AUDITORIA

ASIGNATURA:

MATEMATICAS II

CARPETA DE TRABAJOS AUTONOMOS

NOMBRE: PAMELA SANCHEZ MENESES

CURSO: CA2-5

INGENIERO: FRANCISCO BAHOMONDE

QUITO-ECUADOR

PAMELA SANCHEZ

UNIDAD V

TEMA:OPTIMIZACION DE FUNCIONES

5.1 TRAZADO DE CURVAS MAXIMOS Y MINIMOS

5.2 CONCAVIDAD PUNTOS DE INFLEXION DE USO DE DERIVADAS GRAFICAS EN GRAPMATICA, MATHAB .ETC

5.3 DEFINICION DE OPTIMIZACION

5.4 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION CON APLICACIÓN DE DERIVADAS OPTIMIZACION DE COSTOS, UTILIDADES, ETC.

NETGRAFIA

http://www.infoadcom.com/LuisRoche/optimizacion%20funciones.htm

http://www.vitutor.com/fun/5/b_a.html

http://www.youtube.com/watch?v=_VW3hAY8-DI

PAMELA SANCHEZ

OPTIMIZACION DE FUNCIONES

¿Qué es optimización?

La definición de optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca. 

La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc.

¿Para qué sirve la optimización?

Es aplicable principalmente para áreas como la Economía, pero aún cuando no estemos interesados en estudiar eso, nos es útil porque en nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuáles elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos más de lo que podría haber sido de realizar una simple operación.

Necesitas saber...

Derivadas: Herramienta que indica velocidades de cambio de una función. Si esta función ilustra un fenómeno, la derivada ilustra los cambios de la variable dependiente respecto a la independiente.

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

PAMELA SANCHEZ

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE FUNCIONES

Una caja cubierta ha de hacerse con u pedazo de cartón cuadrado de 18 * 18 cm recortado y un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblado las aletas que puedan para formar los lados.¿Cuáles son las dimensiones de la caja que tienen un volumen máximo?

DATOS:Caja abiertaVolumen v= área x altura

GENERACION DE Variablesa: base de la cajah: lados de la caja

v=area×altura

v=(418−2 x )2 xv=(324−72+4 x2) xv '=324 x−72 x2+4 x3

v ' '=−144+24 (3)v ' '=−72¿

v '=324−144×12 x2

v ' '=−144−24 xv '=0

12 x2−144 x+324=0

x2−12 x+27=0

x2−12 x+27=0( x−a ) ( x−3 )=0x1=9cmono!−¿x2=3cm

Resolución: La caja de máximo volumen que se puede hacer con el cartón de 18 x 18cm2 es de:

Base: 12 x 12 v=12 x 12 x 3 = 432 cm2

Altura: 3

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x x

18cm

18 cm(18 – 2x)

GRÄFICO

PAMELA SANCHEZ

Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 2800cm3, el material para la tapa y el fondo de la caja cuesta $2 por cm2

a) ¿Puede constituirse la caja con menos de $300.00?

DATOS Volumen v=280cm3Material: tapa: $2/cm2

Fondo

Lados: 1/cm2

Capital: $300.00

GENERACION DE VARIABLES a = ancho baseh = altura de la caja

v=area×alturav=a×h

v=a2×hv=f (a ,n )

v=a2×h=280

h=280

a2

c '=4a2+1120 a−2

8a=1120

a2

a3=11208

c ' '=8+ 22405 ,193

c '>0mí nimo

Costo=C tapa+Cbase+C lados

C=2a2 ∙2+4ah ∙ l

C=4 a2+4ah

C=4 a2+4a( 280

a2 )C=4 a2+ 1120

aC=4 f (a)a=5 ,19cm

h=280

5 ,192

❑

cm=10 ,39cm

C=4 (5 .19)2+ 11205 .19

c=$323 .53

Solución: No se puede construir lacaja con $300

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Se pretende cerca un campo rectangular junto a una vía pero utilizarlo como parqueadero, Área de terreno debe ser 5000m2 a.- ¿Cuáles deben ser las dimensiones de lote con el fin de minimiza el costo del cercamiento?.

GENERACION DE VARIABLES X= dimensiones del terreno Datos:Longitud=x+x+ y¿2 x+ yL=f (x , y)

L=2 x+ y

L=2 x+5000x

L=2 x+5000x−1

L'=2 ∙5000 x−2

L' '=10000 x−3

L'=0

2+5000

x2=0

x2=50002

x2=2500x=∓50

y=5000x

y=500050

y=100

Área=x – y=5000

y=500x

L' '>0mínimoL❑=2 x+ y¿2 (50 )+10c¿200mínimo

GRÁFICO

PAMELA SANCHEZ

Un terreno rectangular va a cercase y dividirse en 3 parte iguales por 2 cercas paralelos a uno de los lados. Se va a usar: Un total de 800cm de cerca, encuentre las dimensiones del tercero para que su área 500 máximos.

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DATOS800cm de cerca

GENERACION DE VARIABLES L=a+a+a+a+l+l

L=4a+2l=800−−≫ l=800−4a2

L=f (a ,l)A=l ∙ aA=f (a)

A=( 800−4 a2 )a A=400a−2a2

A'=400−a

A' '=−4A '=0O=400−4a

a=4004

a=100

A' '<0→Aϵm

l=800−4002

l=200

Conclusión: Las dimensiones del terreno son de l = 200 a = 600

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GRÁFICO

PAMELA SANCHEZ

El propietario de una licorería espera vender 800 botellas de un vino blanco popular. El costo del uno es de $0.85 por botellas, los derechos de pedidos son se $10.00 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante todo el año es de $10.00. El uno se consume a una taza uniforme durante todo el año y cada despacho llego apenas ha terminado de usar la anterior.a.- ¿Cuántas botellas debe pedir el dueño en cada despacho para reducir el mínimo sus costos?b.- ¿Con qué frecuencia debe pedir el uno?

Botellas $800/añoCosto botellas $0.85 / botellaDerechos despacho $10 / botellaCosto almacenado $0.40 / botella

Genero variables

X: numero de botellas por perdido

Costo total: costo botella + Costo de pedido + Costo almacenamientoCT = 0.85 (x) 10

Costo por pedido=( 800x )10

Costo por almacenimiento=0.40 x

CostoTotal=0.85x+ 800x

+0.40 x

CostoTotal=1.25 x+ 8000x

C .T .=1.25x+8000 x−1

C .T .=1.25x+8000 x−2

C ' ' T .=16000 x−3

C ' ' T .=0

0=1.25−8000

x2

x2=80001.25

X=∓80X=80botellas

PAMELA SANCHEZ

Resolución: El número de botellas por periodo es de $80.00 por lo que se obtiene un costo mínimoGRÄFICO

PAMELA SANCHEZ

En un laboratorio se aplica un agente antibacterial experimental a una población de 100 bacterias. Los datos indican que el número de bacterias t horas después de introducir el agente esta dado por:

N=12100+110 t+100 t 2

121+t 2

¿Para que valor t se presenta el numero máximo de bacterias en la población? Cual le s el numero máximo

VariablesT= número máximo de bacterias

N=12100+110 t+100 t 2

121+t 2

N=f (t) t=0N=100bacterias

N= (121+ t2 ) (110+200t )−¿¿

N '=−200 t3−220 t2−24000 t+110

( 121+ t2 )2

N '=110 (121−t 2)(121+ t2)2

N '=0

110 (121−t 2 )(121+t 2)2 =0

13310−110 t2=0

−110 t 2=−13310

t 2=13310110

√ t2=√121t=11

N=12100+110 (11 )+(11)2

121+(11)2

Conclusión: Después de 11 horas el número máximo de bacterias es de 331.

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GRÄFICO

PAMELA SANCHEZ

Una compañía desea alquilar sus unidades solamente a grupos de 40 o más personas, si un grupo obtiene exactamente 40

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personas a cada uno de le cobra $60.00. Sin embardo en grupos más grandes la tarifa de todos se reduce en 0.50 c/u que pase de 40.

¿Qué tamaño de grupo producirá las mayores ingresos para la compañía de buses.

Datos:Solamente 40 o másExactamente 40$60.00 c/u (incierto)Mucho más 40 $0.50 c/u

Variables:X= personas i= ingresosI=(40+x )(60+0.50 x)I=2400+20 x+60 x−0.5 x2

I=2400+40 x−0 .5x2

I '=40−x

I '=−1

I '=040−x=0x=40

I ' '<0 I máximoG=40+xG=40+40G=80

Conclusión: Para obtener ingresos máximos la compañía de buses debe llevar grupos de 80 personas.

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GRÁFICO

PAMELA SANCHEZ

Un estudio de eficiencia del turno matinal (8:00 am-12:00a.m) en una fábrica india que un trabajador promedio que llega a los 8:00am había producido:

Q ( t )=−t3+ 92t2+15 t unidades

T horas después

a) ¿En qué momentos de la mañana opera el trabajador con la eficiencia máximo?.

b) ¿En qué momento de la mañana opera el trabajador con la eficiencia mínima?.

GENERACION DE VARIABLES t= horas

Q ( t )=−t3+ 92t2+15 t

Q' (t)=−3t 2+9 t+15

Q' ' ( t )=−6 t+9

Q'=0

−3 t 2+9t+15=0→3(−t2+3 t+5)

t=+b∓√b2−4ac2a

t 1=−3+√9+20

−2

t 1=−1.19

t 2=−3−√9+20

−2

t 2=4.19

Conclusión: El trabajador opera con eficiencia pasado el horario matinal es decir a las 12:19 GRÁFICO

PAMELA SANCHEZ

PAMELA SANCHEZ

UNIDAD VI

TEMA: CÁLCULO INTEGRAL

6.1 DEFINICIONES

6.2 TECNICAS DE INTEGRACION

6.3 FORMULAS DE INTEGRACION

6.4 METODO DE INTEGRACION (SUSTITUCION )

6.5 INTEGRAL DEFINIDA

6.6 AREA ENTRE CURVAS

6.7 EXCEDENTES DE CONSUMIDORES Y PRODUCTOS

NETGRAFIA

http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/ci.pdf

http://www.ditutor.com/metodos/calculo_integral.html

http://ed21.webcindario.com/id341.htmhttp://integrals.wolfram.com/index.jsp

PAMELA SANCHEZ

CÁLCULO INTEGRAL

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Teoría

se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

PAMELA SANCHEZ

INTEGRALES

Reglas para integrar

1.- Regla de un exponente

∫undu= un+1

n+1+C

2.- Regla del logaritmo natural

∫ duuu

=lnu

y ’=1u

y=∫ 1udu=∫ 1

udu=lnu

3.- ∫ exdx=ex

4.- ∫ dx=x

EJERCICIOS DE CÁLCULO INTEGRAL

y=x3

dydx

= ddx

x3

❑=3 x2

❑

dydx

= y '=3 x2

❑dy=3x2dx

y=∫3 x2dx

y=3∫ x2dx

¿3x2+1

2+1

¿ 33x3

❑

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∫(u+v+w)dx

∫udx+∫ vdx+∫wdx

∫(x2/3−1x+5+√ x)+dx

¿∫ x2/3dx−∫ 12

dx❑+∫ 5dx+∫ x1 /2dx

¿ x2 /3+1

23+1

−lnx+5∫ dx+ x1/2+1

12+1

+C

¿ x5 /3

53

−lnx+5 x+ x3 /2

32

+C

y=3 x5/3

5−lnx+5 x+ 2

3x3 /2+C

∫ xdx

√2x2+1=∫

duy

√u=

14∫

du

u1/2=14∫u1 /2du

u=2x2+1du=4 x+dx

xdx=duy

=14∫

u−12

+1

12+1

❑+C=14u1 /2

1/2+C=

12u1/2

❑ +C

∫(3ex+ 2x−1

2x2)dx

¿3∫ ex dx+∫ 2xdx−∫ 1

2x2dx

¿3∫ ex dx+2∫ dxx

−12∫ x2dx

¿3ex+2 lnx−12x2+1

2+1+C

¿3ex+2 lnx−16x3+C

∫ 3 x5+2 x−5x3 dx

¿∫ (3 x5+2x−5 )x−3dx

¿∫3 x5 ∙ x−3dx+∫2 x . x−3dx−∫5 . x−3dx

¿3∫ x2dx+2∫ x−2dx−∫ . x−3dx

PAMELA SANCHEZ

¿3x3

3+2

x−1

−1−5

x−2

−2+C

¿ x3−2 x−1+ 52

x−2

❑+C

Sustitución

∫ x2 x+1

dx

u=2x+1→u−1

2=x

du=2dx

dx=du2

¿∫u−1

2dx

ux

¿12∫

u−12

dx

ux

¿ 14∫

u−1u

du

¿ 14∫( uu−1

u )du¿ 1

4∫

du

❑−14∫ du

u

¿ 14u−1

4lnu+c

¿ 14

(2x+1 )−14

ln (2x+1 )+C

∫( ex2 +x √x❑ )dx

¿ 12∫ ex dx+∫ x ∙ x1 /2dx

¿ 12∫ ex dx+∫ x ∙ x1 /2dx

¿ 12lnx+ x1+1

1+1∙x1/2+1

1/2+1+C

PAMELA SANCHEZ

¿ 12lnx+ x3

3+C

¿ 12lnx+ 1

3x3+C

∫ 3 x

x2−1dx

u=x2−1du=2 xdx

xdx=du2

¿∫ 32u

du2

¿ 32∫

duuu

¿ 32lnu+C

¿ 32

ln (x2−1)+C

PROBLEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL

En los problemas 57 y 58 d1/dg es una función de ingreso marginal. Encuentra la función de demanda

57)dγdq

= 20c

(q+2 )2

dγ= 20c

(q+2)2dq

u=(q+2 )du=qdq

dq=duq

dγ=∫ 20

u2

duq

¿ 200q ∫u2du

¿ 200q

u−1

−1=−200

qu−1+C

¿−200q

(q+2 )−1

❑+C

58)dγdq

= 900

(2q+3 )3

dγ= 900

(2q+3)3dq

u=(2q+3 )du=2dq

dq=du2

dγ=∫ 900¿¿ ¿

¿ 900

u3

du2

=450∫ u−3du

¿450u−2

−2du=−450

2u−2+C

¿−225u−2+C

PAMELA SANCHEZ

En los problemas dc/dq es una función de costo marginal. Encuentre la función de costo total, si los costos fijos en cada caso son 2000.

dcdq

= 20q−5

u=q−5du=dq

dc= 20q−5

dq

CT=∫ 20q−5

dq

CT=∫ 20udu=20∫ du

u¿20 lnu+C¿20 ln (q−5 )+CCT=20 ln (q−5 )+2000

1) Función de costodcdq

=10− 100q+10

u=q+10du=dq

C=10− 100q+10

dq

C=∫10−100u

du

C=10∫ du−100∫ du

C=10u−100 lnu+CC=10 ( (100 )+10 )−100 ln ¿50=10 ( (100 )+10 )−100h¿C1=1520.05

2) Función de costo

dcdq

=10q2−3998q+60

a.- 40 unidades CH

CH=100(40)2−3998 ( 40 )+60

(40)2−40 (40 )+1

PAMELA SANCHEZ

CH=140

b)

CT=100q2−3998q+60q2−40q+1

=∫ 100q2−3998(0.07)u

+60du

2 (0.07 )−40=∫ 0.49−279,86¿

u+60=du

u¿

u=q2−40q+1→q=0.07du=(2q−40 )dqu=q2−40+1

¿−219.6739.86 ∫ du

u¿5.50 lnu+c

¿5.50 ln (q2−40 q+1 )+10000

¿5.50 ln (( 40 )2−40 (40 )+1 )+10000

CT=55000

3) Función de costo

dcdq

= q10

√q √0.09q3/4+4

cn= q10

√25√0.04 ¿¿

¿ q10

(5 ) (2.10 )

¿9.49

4) Valor de la tierra

v '= 8 t 3

√0.2 t 4+8000

dvdt

= 8 t 3

√0.2 t 4+8000dt

dv=∫ 8 t

√udu

0.8 t 3

PAMELA SANCHEZ

¿ 8 t3

0.8 t3∫ du

u

¿100 lnu+C

¿100 ln (0.2 t 4+800 )+C

Si t=10C1=500

CT=100 ln (0.2 (10 )4+8000 )500

CT=100 ln 10000+500CT=1421.03

La tierra dentro de 10 años costará: 1421.03

5) Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es:

v(t )=(3+2t+3 t2)m / min

¿Qué distancia recorre el objeto durante el segundo minuto?

dedt

=3+2t+3 t2

de=(3+2t+3 t2 )dt

e=∫3dt+∫ 2 tdt+∫ 3t 2

e=3∫dt+2∫ tdt+3∫ t 2

e=3 t+2t1+1

1+1+3

t2+ 1

2+1+C

e=3 t+ t2+t 3+C

e=t 3+t2+3 t+C

Sie=0 t=0

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0=C

e=(2)3+(2)2+3 (2)+C

e=18m /min

Conclusión: La distancia que recorre el objeto durante el segundo minutos es de 18m/min.

Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es (6q+1) dólares /unidad cuando se ha producido que unidades. El costo total incluido los costos indirectos de producción de la unidad.

¿Cuál es el costo total de los 10 primeras unidades?cm=6q+1CT=130/unidad

CT=dcdq

=6q+1

dc=6q+1dq

CT=∫ 6q+¿1dq¿

CT=6∫ qdq+¿1∫ dq¿

CT=6q1+1

1+1+q+C

CT=3q2+q+CSiq=1CT=130

130=3(1)2+1 (1 )+C1

130=3+1+C1

130−3−1¿C1

126=C1

CT=3 (10 )2+1 (10 )+126CT=$ 436,00

Conclusión: El costo total de las 10 primeras unidades es de $436.00

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INTEGRAL DEFINIDA

∫−1

3

(3 X2−x+6 )dx=[x3−x2

2+6 x ]

3

[ (3 )3− (3 )2

2+6 (3 )]— 13 —122+6(−1)

¿(40 ,50)−(−7 ,5)

¿48

∫0

1x3

√1+ x4dx=[ 1

2+(1+x 4)1 /2] ¿0

1

[ 12+(1+1)1/2]— [ 1

2+(1+0)1 /2]

¿( 12

√2)−( 12√1)

¿ 12√2−1

∫0

1

e5dx=e5∫0

1

dx

¿e5 x|01¿¿

PAMELA SANCHEZ

¿e5

∫0

12 x3+ xx2+x 4+1

dx=∫0

12 x3+x

μμ

2x+4 x3

μ=x2+x4+1dμ=(2x+4 x¿¿3)dx ¿

dx= dμ

2 x+4 x3

2 x3+x2x+4 x3∫ dμ

μ

¿ 2 x3+x2x+4 x3 lnμ+C

¿ x2

4 x2 ln (μ)

¿ x2

4 x2 ln (x2+x4+1 )

¿1/4 ln (x2+x4+1)0|10

¿ [ 14

ln (1+1+1 )]−[ 14

ln (1 )]¿ ln 3−ln 1

∫0

1

( 3x2−x+6 )dx

y=x3− x2

2+6 x| 3

−1

¿48

PAMELA SANCHEZ

∫0

1

(x1 /3−x−1/3) dx

¿x

13+1

13+1

−−x

−13

+1

−13

+1

y=34x

43 −3

2x

23

0=34x

43−3

2x

23

x43−2x

23=0

x2(x¿¿23−2)=0¿

x=0

x=∓2,82

∫1

¿8

( 34x

43−3

2x

23)

[ 34(8)

43 −3

2(8)

23 ]-[ 3

4(1)

43−3

2(1)

23 ]

∫1

2.82 [ 34

(2,82 )43 −

32

(2,82 )23 ]−[ 3

4(1 )

43−

32

(1 )23 ]

¿

=0.75

PAMELA SANCHEZ

Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es:

V (t )=( 3+2 t+3 t 2 )m /min

¿Qué distancia recorre el objeto durante el segundo minuto?

dedt

=3+2t+3 t2

de=(3+2t+3 t2 )dt

e=∫3dt+∫ 2 tdt+∫ 3t 2

e=3 t+2t1+1

1+1+3

t2+ 1

2+1+C

e=3 t+ t2+t 3+C

e=t 3+t2+3 t+C

Sie=0 t=0

0=C

e=(2 )3+(2 )2+3 (2 )+C

e=18m /min

Conclusión: La distancia que recorre el objeto durante el segundo minuto es de 18m/min

PAMELA SANCHEZ

APLICACIÓN

Hallar: la función f(x) cuyo tangente tiene m=3 x2+1 para cada valor de x cuya grafica pasa por el punto (2,6).

m=3 x2+1

Puntos: (2,6)

dydy

=3 x2+1

dy=3x2+1dx

y=∫3 x2+1dx

y=3∫ x2+1∫ dx

y=3x2+1

2+1+1 x+C

y=1 x3+1x+C

Puntos x=2 y=6

6=1 (2 )3+1 (2 )+C❑

6=8+2+C6−8−2=C−4=C

Función Y=x3+x−4

PAMELA SANCHEZ

RELACIÓN CON LA VELOCIDAD DE CAMBIO

Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiara a una razón de :2+6√ x p /mes con población actual 5000

t= q meses¿Cual será la población dentro de 9 meses?

Razón: 2+6√ x p /mes Pob. Actual: 5000 pt= q

dpdx

=2+6 √x❑

dp=2+6√ x dxp=∫2+6√x dx

p=∫2+612+dx

p=∫2dx+6∫ x1/2dx

p=2x+6x1 /2

12+1

+C

p=2x+4 x3 /2+CSi x=0P (0 )=2 (0 )+4 (0 )+C5000=CC=5000 p

p=(2x+4 x32+5000) p

P(x−q)=2 (9 )+4 (9)3/2+5000

P(x−q)=5126 personas

Conclusión: La población ha tenido una variación de 126 personas en 9 meses

PAMELA SANCHEZ

Costo MarginalUn fabricante ha encontrado que el costo marginal es 3q2−60q+400 (d ó lares )$ /unidad . Cuando se ha producido q unidades. EL costo total de producción de las 2 primeras unidades es de $900.¿Cuál es el costo total de producción de los 5 primeras unidades

Costo marginal: 3q2−60q+400q= unidades

C1=dcdq

=(3q2−60q+400 ) $unidades

dc=3q2−60q+400dq

dc=3q2−60q+400dq

c=∫3q2−60q+400dq

c=3∫q2dq−60∫ qdq+∫ 400dq

c=33q3−60

2q2+400 q+C

Modelo Costo

C=q3−30q2+400q+CSiq=2C=900

900=(2)3−30 (2)2+400 (2 )+C

900=688+C1

900−688=C1

212=C1

Siq=2C=900

900=(2)3−30 (2)2+400 (2 )+C

PAMELA SANCHEZ

900=688+C1

900−688=C1

212=C1

C=q3−30q2+400q+212

C(q=5)=(5)3−30 (5)2+400 (5 )+212

C (q=5 )= y1587

Conclusión:

El costo de fabricación 5 unidades es de $1587.00

PAMELA SANCHEZ

Hallar: la función f(x) cuyo tangente tiene m=3 x2+1 para cada valor de x cuya grafica pasa por el punto (2,6).

dydy

=3 x2+1

dy=3x2+1dx

y '=∫3 x2+1dx

y '=3∫ x2+1∫ dx

y '=3x2+1

2+1+1x+C

y '=1 x3+1x+C

Puntos x=2 y=6

6=1 (2 )3+1 (2 )+C❑

6=8+2+C

6−8−2=C

−4=C

Función

Y=x3+x−4

PAMELA SANCHEZ

Hallar: la función cuya tangente tiene una pendiente 4x+1 para cada valor de x y cuya gráfica pasa por el punto (1,2).

dydx

=4 x+1

dy=4 x+1dx

y=∫ 4 x+1dx

y=4∫ xdx+1∫ dx

y=4x1+1

1+1+x+c

y= 42x

2

+1x+c

y=2x2+x+c

Puntosx=1 y=2

2=2 (1 )2+1 (1 )+c

2=2+1+c2−2−1=c−1=c

Función

Y=2x2+x−1

V=−b2b

V= −12(2)

V=−1/4

V=−0,25

m=4 x+1

m=4(1)+1

m=5

PAMELA SANCHEZ

y− y1=m(x−x−1)

y−2=5 ( x−1 )

y=5 x−5+2

y=5 x−3

PAMELA SANCHEZ