Repblica Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Defensa. Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas Nacional. Aguasay-Extensin. Aguasay, Edo, Monagas.

Prof.: Ricardo Vzquez.20.022.145.

Integrantes:Anni Ledezma CI. Rosangel Romero CI

22.706.542. Yessica Crespo CI 22.709.418.

Fecha de entrega: 23-11-11

Pg. Desarrollo . (3) 1) Cuadrado de una suma. (3) 2) Cuadrado de una diferencia. (4) 3) Producto de la suma por su diferencia. (5) 4) Producto de dos binomios. (6) 5) Cubo de un binomio (suma y diferencia) (7) 6) Factorizacin por diferencia de cuadrados (9) 7) Factorizacin por cuadrado perfecto. (11) 8) Factorizacin de trinomios de la forma: x2 + bx + c. (12) 9) Factorizacin por completacion de cuadrados.. (13) 10) Factorizacin empleando el mtodo de Ruffini. (15)

1) Cuadrado de una suma El cuadrado de la suma es igual al cuadrado de la primera cantidad ms el doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda.

a2 + 2ab+ b21. (7x+11)2

72 + 2.7x.11 + 112 = 49x2 + 154x +1212. (2x+3y)2

2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y23. (a2 x + by2 )2

(a2x)2 + 2.a2x.by2 + (by2)2 = a4x2 + 2a2bxy2 + b2y44. (3a3 +8b4)2

(3a3)2 + 2.3a3.8b4 + (8b4)2 = 9a6 + 48a3b4 + 64b85. (7a2b3 + 5x4)2

(7a2b3)2 + 2.7a2b3.5x4 + (5x4)2 = 49a4b6 + 70a2b3 x4 + 25x86. (am + an)2

(am)2 + 2.am.an + (an)2 =

a2m + 2amn + a2n

7. (a2 + bx+1)2

(ax)2 + 2. (ax)2.bx+1 + (bx+1)2 = a2x + 2.a2xbx+1 + b2x+28. (xa+1 + yx-2)2

(xa+1)2 + 2.xa+1.yx-2 + (yx-2) = 22a+1 + 2x2x+2 yx-2 + y2x-4

2) Cuadrado de una diferencia El cuadrado de la diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad.

(a-b)2 =a2-2ab +b2

1. (2a 3b)2

2a2 2.2a.3b + 3b2 = 4a2 12ab + 9b22. (4ax 1)2

(4ax)2 2.4ax.1 + 12 = 16a2x2 8ax + 1

3.

(3a3 5b2)2 (3a3)2 2.3a3.5b2 = 9a6 30a3b2 + 25b4

4. (x5 3ay2)2

(x5)2 2.x5.3ay2 + (3ay2)2 = x10 6x5ay2 + 9a2y4

5.

(a2 b4)2 (a2)2 2.a2.b4 + b4 = a4 2a2b + b8

6.

(xm yn)2 (xm)2 2.xm.yn + (yn)2 = x2m 2xmyn + y2n

7. (ax-2 -5)2

(ax-2)2 2.ax-2.5 + 52 = a2x-4 10ax-2 + 258.

(xa+1 3xa-2)2 (xa+1)2 2.aa+1.3xa-2 + (3x 9x2a-4a-2 2

) = x

2a+2

6x2a-1 +

3) Producto de la suma por su diferencia La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

(a+b) (a-b) = a2-b21. (x+y) (x-y) x2 xy + yx y2 = x2 y2

(x2)2 2.x2.y2 + (y2)2 = x4 2x2y2 + y42.

(x2 + a2) (x2 a2) x4 x 2 a 2 + a 2 x2 a 4 = x 4 a 4

3. (2a 1) (1 + 2a) 2a + 4a2 12 2a = 4a2 12 4. (1 3ax) (1 + 3ax) 12 + 3ax 3ax 3ax2 = 12 3ax2 5. (1 8xy) (8xy + 1) 8xy + 12 8xy2 8xy = 12 8xy26.

(6x2 m2x) (6x2 + m2x) 36x4 + 6m2x2 6x2m2 m4x2 = 36x4 m4x2

7.

(3xa 5ym) (3xa + 5ym) 9xa + 15xaym 15ymxa 25ym = 9xa 25ym

8.

(ax+1 2bx-1) (2bx-1 + ax+1) 2ax+1 bx-1 + a2x+2 4b2x-2 2ax+1 bx-1 = a2x+2 4b2x-2

4) Producto de dos binomios a. El primer producto es el producto de los primeros trminos de los binomios. b. El coeficiente del segundo trmino del producto es la suma algebraica de los segundos trminos de los binomios y en este trmino la X esta elevada a un

exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer termino del producto. c. El tercer trmino del producto es el producto de los segundos trminos de los binomios. (x + a) (x + b) = x2 + x (a+b) + ab1. (a2 + 5) (a2 9)

a4 + a2 (5-9) + 5.9 = a4 4a2 45

2.

(n3 + 3) (n3 - 6)

n6 + n3 (3-6) + 3.6 = n6 3n3 18

3. (ab + 5) (ab - 6)

ab2 + ab (5-6) + 5.6 = ab2 1ab 30

4.

(xy2 - 9) (xy2 12)

x2y4 + xy2 (-9-12) + 9.12 = x2y4 21xy2 108

5.

(a2b2 1) (a2b2 + 7)

a4b4 + a2b2 (-1+7) + 1.7 = a4b4 + 6a2b2 7

6.

(x3y3 - 6) (x3y3 + 8)

x6y6 + x3y3 (-6+8) + 6.8 = x6y6 + 2x3y3 48

7.

(ax 3) (ax + 8)

a2x + ax (-3+8) + (-3).8 = a2x +5ax -24

8.

(ax+1 -6) (ax+1 5)

a

2x+2

ax+1 (-6-5) + (-6). (-5) = a2x+2 11ax+1 30

5) Cubo de un binomio (Suma y Diferencia) El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad ms el triple del cuadrado de la primera por la segunda, mas el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, mas el cubo de la segunda.

(a+b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3 El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera

por la segunda, mas el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad. (a-b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b31. (a + 2)3

a3 + 3.a2.2 + 3.a.22 + 23 = a3 +6a2 + 12a + 8

2.

(x 1)3

x3 - 3.x2.1+ 3.x.12 13 = x3 3x2 + 3x 1

3.

(m + 3)3

m3 + 3.m2.3 + 3.m.32 + 33 = m3 + 9m2 + 27m + 27

4.

(n 4)3

n3 3.n2.4 + 3.n.42 43 = n3 12n2 + 48n 64

5.

(2x + 1)3

2x3 + 3.2x2.1 + 3.2x.12 +13 = 8x3 + 12x2 + 6x +1

6.

(1 3y)3 13 3.12.3y + 3.1.3y2 3y3 = 1 9y + 27y2 27y3

7.

(2 + y2)3 23 + 3.22.y2 + 3. (2y2)2 + (y2)3 = 8 + 12y2 + 6y4 + y6

8.

(1 2n)3 13 3.12. 2n + 3.1.2n2 2n3 = 1 6n + 12n2 8n3

9.

(4n + 3)3 4n3 + 3.4n2.3 + 3.4n.32 + 33 = 64n3 + 144n2 + 108n + 27

10. (a2 2b)3

(a2)3 3.a2.2b + 3.a2.2b2 2b3 = a6 6ab + 6a2b2 8b

11. (2x + 3y)3

2x3 + 3.2x2.3y + 3.2x.3y2 +3y3 = 8x3 +36x2y +54xy2 +27y312. (11 a2)3

113 3.112.a2 + 3.11. (a2)2 (a2)3 = 1331 363a2 + 33a4 a6 6) Factorizacin por diferencia de cuadrados

La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea,

(a+b) (a-b) = a2 - b2Regla: Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

1. a2b8 c2

-(ab4 + c) (ab4 c)2. 25x2y4 121

-(5xy2 + 11) (5xy2 11)3. 49x2y6z10 a12

-(7xy3z5 + a6) (7xy3z5 a6)4. 4x2n 1/9

-(2xn + 1/3) (2xn 1/3)5. 4x2 (x+y)2

4x2 (x+ y)2 = [2x+ (x+y)] [2x (x+y)] = (2x + x + y) (2x x y) = (3x+y) (x-y)

6. (a+b)2 (x+2)2

(a+b)2 (x+2)2 = [(a+b) + (x+2)] [(a+x) (x+2)] = (a+x+x+2) (a+x x 2) = (a+2x+2) (a2)7. 49a10n b12x/81

(7a5n + b6x/9) (7a5n b6x/9)8. a2nb4n 1/25

-(anb2n + 1/5) (anb2n 1/5) 7) Factorizacin por cuadrado perfecto Se extrae la raz cuadrada al primer y tercer trminos del trinomio y se separa estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formando, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado.1. 49m6 70am3n2 + 25a2n4

(7m3 5an2)22. a2 + 24am2x2 + 144m4x4

144m4x4+ 24am2x2+ a2 (a + 12m2x2)2 a2 + 2.a.12m2x2 + (12m2x2)2 = a2 + 24am2x2 + 144am4x43. 1/25 + 25x4/36 x2/3

25x4/36 x2/3+1/25 (1/5 + 5x2/6)24. 4m(n-m) + 4m2 + (n-m)2

4m2-4m (n-m) + (n-m)2 4m2= 2m

(n-m)2= (n-m) 2.2m (n-m)= 4m (n-m) (2m2 (n-m))2 = 4m2-4m (n-m) + (n-m)25. 121 + 198x6 + 81x12

81x12+ 198x6+121 (11 + 9x6)2

6. 1 + 14x2y + 49x4y2

49x4y2+ 14x2y+1 (1 + 7x2y)27.

a2 + 2a(a+b) + (a+b)2 (2a + b)2

8.

a4 a2b2 + b2/4 (a2 b/2)2

8) Factorizacin de trinomios de forma x2 + bx + c a. El trinomio se descompone en dos factores binomios

cuyo primer trmino es x, o sea la raz cuadrada del primer termino del trinomio. b. En el primer factor, despus de x se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo trmino del trinomio por el signo del tercer trmino de trinomio. c. Si los dos factores binomios tienen en el medio signo iguales se buscan dos nmeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del

trinomio. Estos nmeros son los segundos trminos de los binomios. d. Si los dos factores binomios tiene en el medio signos distintos se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el segundo trmino del primer binomio, y el menor, el segundo trmino del segundo binomio.1.

a2 13a + 40 (a 5) (a 8)

2. n2 + 28n 29

(n + 29) (n 1)3.

n2 6n 40 (n 10) (n + 4)

4.

m2 + 13m 30 (m + 15) (m 2)

5.

a2 + 7 60 (a + 12) (a 5)

6.

a2 + 14a + 33 (a + 3) (a + 11)

7.

x2 5x 36 (x 9) (x + 4)

8.

a2 2a 35 (a 7) (a + 5)

9) Factorizacin por completacion de cuadrados1. m2 - 8m 1008

(m 36) (m + 28 ) 2. n2 + 43m + 432 (n + 27) (n + 16)3. x2 + 6x 216

(x + 18) (x 12)4. a2 66a + 1080

(a 36 ) (a -30 )5. m2 41m + 400

(m 25) (m 16)6. x2 + 50x + 336

(x + 42) 8x + 8)7. x2 + 15x/4 + 7/8

8. x2 + 54x 648

e. Factorizacin empleando el mtodo de Ruffini.1. 2x3 + 3x2 18x + 8

2= 1, 2. 8= 1, 2, 4, 8 1/1=1 1/2=1/2 2/1=2 2/2=1 4/1=4 4/2=2 8/1=8 8/2=4

2

3

-18

8

2 2

0 2 0 8 -4 2 0

4 7 1 0 -8 0

14 -4 4

-8 0

(x-2) (x-1/2) (x+4) (x+2)2. 10x4 20x2 + 10

10x4 + 0x3 20x2 + 0x + 10 10= 1, 2, 5, 10 10 1 0 0 -20 10 0 10 10 -10

-10

10 10 -10 -10 0 -1 0 -10 0 10 10 0 -10 0 1 0 10 10 10 10 0 -1 0 -10 10 0 (x-1) (x+1) (x-1) (x+1) (x+10) 3 3. x 7x 6 x3 + 0x2 7x 6 1= 1 6= 1, 2, 3, 6 1 -1 -2 3 0 0 -7 0 -1 1 -1 0 -2 1 -3 0 3 -6 1 -6 6 0

6 0

1

(x+1) (x+2) (x-3) (x+1)

4.

x3 8x2 + 17x -10 1= 1 10= 1, 2, 5, 10 1 1 -2 5 0 -8 0 1 0 1 0 17 1 -7 2 -5 5 -10 -7 -10 10 0

10 0

1

(x-1) (x-2) (x-5) (x+1)