trabajo de isotropia

Isotropía anisotropía

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PRESENTACIÓN

Un medio es denominado isótropo si sus propiedades físicas son idénticas en todas las direcciones. Un sistema será calificado de isótropo si sus propiedades físicas (macroscópicas) son invariantes en relación con una dirección particular, y por lo tanto, si ninguna de ellas posee dependencia direccional. En el caso en que una sola de sus propiedades sea direccional, el sistema cesa de ser isótropo; es anisótropo. Se dirá también que una magnitud física es anisótropa, o isótropa, según que dependa o no de la dirección según la cual se mide. En el sentido primitivo y restringido del término, la isotropía y la anisotropía son propiedades de los cuerpos o conjuntos macroscópicos. En esta acepción general, al ser el tiempo y el espacio magnitudes físicas, y por ello medibles, se habla frecuentemente de su isotropía o de su anisotropía.


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CONCEPTOS DE ANISOTROPÍAY DEISOTROPÍA

Anisotropía:

Laanisotropíaes unacaracterísticasegúnlacual, determinadas propiedades deuncristal dependen

delaorientaciónquese considere.Así,laconductividadeléctrica,calorífica, dilatacióntérmica,

velocidad depropagación delaluz,etc.,sonmuydiferentessegúnladirecciónquesetomeen cuenta. En

elcasodela propagacióndela luz en elinterior de un cristaldecuarzo,por ejemplo,su velocidad

dependerádela direcciónquelosrayossiganensuinterior. Estructuralmente,ladistancia

entrelosnudosvecinosdeunaredcristalinanoesconstante,ydependendeladirección,deahí que

dependiendodeladirecciónvaríenlas propiedadesdelcristal.Engeneralloscristalesson

anisótropos;loquecaracteriza el estadocristalinoes laanisotropíadiscontinua. La anisotropía es unaconsecuencia delaestructura internadelmineral. Sicarecedeorganización

interna(mineralesamorfos)osipresentaunaorganizaciónmuyregularsonisótropos,losdemás

sonanisótropos. Lospertenecientes alrestodelossistemas cristalinos(hexagonal,trigonal, tetragonal,rómbico,

monoclínicoy triclino) son anisótropos,las disposiciones desus elementos constituyentes

varíancon la direcciónypor tantosuelasticidadparalas ondasluminosas tambiénes diferente.

Anisotropía, propiedadquepresentaciertoscuerposconsistentes en ladependencia desus

propiedades deladirecciónqueenellos seconsidere. Elfenómeno dela anisotropíaes debidoalaordenaciónespacialdelosátomosenlaredcristalinay

afectaalas propiedades mecánicas,eléctricas yópticas delosmateriales.

Enlamayoríadelas aplicacionesdelasaleacionesnoesprecisotenerencuentaelhechodeque tantolas

propiedadeselásticascomolas plásticas están determinadas por elcomportamientode muchos

granos individuales,cada uno deloscualeses anisótropo. Las aleaciones corrientes están

constituidaspormillonesdepequeñoscristalesy,siestánorientadosalazar,laspropiedades

mediassonlasmismasentodaslasdirecciones.Sinembargo,comoresultadodelosprocesosde

colada,laminadootratamientos térmicos,esposible quelos granosde una barrapolicristalina adopten


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una orientación casi idéntica en cuyo caso la barra presentará un comportamiento

anisótropoque,por ejemplo, puedehacer aumentarengranmedidasurigidezen una dirección. Encuanto alas propiedadeseléctricas, un aspectointeresante delaresistividad essu dependencia

deladireccióndelacorriente eléctrica enlos monocristalesdemetales nocúbicos. Estaanisotropíadelaresistividadseutilizaen dispositivos eléctricosespeciales.

Algunosmaterialesson ópticamenteanisótropos,es decir,lavelocidad delaluzdependedela

direcciónenqueéstase propague atravésde ellosyestodalugar alfenómenodeladoble refracción.

Otros materiales anisótropos, como la turmalina o la materia plástica transparente llamada

polaroid, sólo transmiten la luz orientada en ciertas direcciones de manera que convierten la luz

nopolarizadaenluzpolarizadaypuedenfuncionarcomo polarizadores. Lassustanciasisotrópicas presentansiempre el mismocomportamientoindependientementedela

dirección,mientras queenlasanisotrópicaslas propiedades varíanconla dirección.Enel casodela

luz,loscristales anisótropos presentan distintos valores desus índicederefracción enfunción dela

direcciónenquesobre laluz al atravesar el cristal.

Posición general: anisotropía

Paralaluzquellegueencualquierotradireccióndepropagaciónelmineral secomportacomo

anisótropoyel valordel índice derefracciónvariaconla dirección. En la siguiente figura se representaen negro la posición de isotropía, ya considerada. Laflecha

rayadarepresentaladirecciónde propagaciónmientras quelosdiámetroshorizontalesrepresentan

lasdirecciones devibración,convalordelíndiceconstante,iguala"nomega"(parasimplificarel

diagramalosíndicessehanrepresentadocomo"omega"y"épsilon" envez de"n omega"y"n épsilon"

comoenrealidadcorresponde).


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Sienvez de propagarselaonda enla direcciónvertical,lohace ahoraenposiciónhorizontal,

perpendicularalplano del dibujo,segúnlaflecharoja,lasondasqueviajanporesterayoyque

habránsufridoladoblerefracciónpresentaunosvaloresde"n"correspondientesalossemiejesde

lasecciónperpendicular aestapropagación.Estasecciónserála dibujadaenrojo,convalores para

cadaondade"nepsilón"y "nomega",losejesprincipalesdelelipsoideyportantoconlosvalores

extremos.Serálatallade máximaanisotropía,cualquierdireccióndepropagaciónperpendicular al

ejeóptico(cualquierdirecciónde propagacióncontenida enel planohorizontal). Silaluz incidedemanera inclinada(decolor azul, enlafigura),las ondas quevibranen direcciones

perpendicularestendránunosvalores de"n"representados por elcorteal elipsoideendirección

perpendicular. Losvalores delosíndicessonenestecaso"n epsilónprima"y "nomega".Esta

posiciónpresentaunaanisotropíamedia(epsilónprima- omega<epsilón- omega). Paraconocerelvalor delosíndicesderefraccióndelasdosondasquesepropagansegún una

determinadadirección(recordemos,vibrandoperpendicularmente,entresíyala delapropagación)

enuncristaluniáxicobastatrazarunplanoperpendicularaestadireccióndepropagaciónquecorte

alaindicatrizópticaporsucentro.Lossemiejesdelasecciónresultanterepresentalosvaloresde los"n"

delas dos onda

Un material es anisótropo cuandosuspropiedadesdependende la orientaciónsegún la cualse hace la medición de ellas.

Tomemos el ejemplo de un cristalCCCydesusdirecciones [100] y [110].Nótesequeelordenamiento atómicoalolargodeestasdirecciones esmuydiferente.Porello,simedimos el módulo elástico E según una dirección [100], se obtiene un valor muy distintodeaquelqueseobtiene según una dirección [110]. Y esto ocurrecon cualquierpropiedad que consideremos, tal como resistividad eléctrica, susceptibilidad magnética, coeficiente de dilataciónlineal,etc.Tal diferentecomportamiento tambiénse da para losplanoscristalinos;porejemplo, sólo losplanos{111}son planosde deslizamiento en un cristalmetálico CCC.

Así, los monocristales son esencialmenteanisótropos.

Texturasno cristalinas

En materialescomo la madera o bien un material compuesto formado por una resinareforzada confibrasde vidrioalineadas,se tendránpropiedades muydiferentessegún sisemidealo largode lasfibrasobienenotra dirección.Ahíhay unaformade anisotropía que se debea textura por fibras.

Isotropía:

Un materiales isótropo cuando suspropiedadesnodependende la dirección según la cual ellas son

Medidas. Es decir, cuando una propiedad tiene elmismovalor independiente de la direcciónsegún la cual sehacelamedida.

Los materialesamorfos(o no cristalinos) sonestrictamente isótropos. Ellose debe a que nopresentan direccionesque difieranentre síensu tipode ordenatómicolineal,por no haberorden cristalino.


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Isotropíaporcompensación en policristales:

Frecuentemente en ingeniería, particularmente para aplicaciones estructurales,seemplean policristales. En ocasiones,los policristales formados por muchosgranos (granosque son monocristales anisótropos), pueden ser considerados,en promedio, como isótropos, según severá.

Particularmentecuando la estructura de un policristal está recocida,se pueden tenergranoscon las siguientes trescaracterísticas de estos:

Finos: el tamañode granoes suficientemente pequeño como para que,en la secciónconsiderada haya muchos granos. De formaequiaxial: enelmaterialno hay direccionespreferencialesalmirar losgranos,por ejemplo,enun microscopio óptico. Con orientaciones cristalinas al azar: por ejemplo,en unpolicristalde cobre, de estructura CCC, losejesOX-OY-OZ de distintos granos, ejes correspondientesa lasaristasde las celdas cristalinas respectivas, están orientados al azar.

Consideremos un policristalpara el cualsecumplen las tres condiciones anteriores.Ahora midamosalguna propiedad según dos direcciones diferentes del policristal, bajo la

Condiciónde que talesdirecciones consideren muchosgranosa lo largoy que ellasnoseancristalográficamente equivalentes. Entonces,las medidas demódulode Young,por ejemplo, corresponderána unpromediosobre muchos granos en cadacaso, dando un valorresultante,unpromedio,queserá el mismo según lasdosdireccionesdel material.Asíse tendráisotropía por compensación.

Anisotropíaportextura, en policristales:

Cuando un monocristales sometido,por ejemplo,aunesfuerzode tracciónodecompresiónque genere deformaciónplástica pordeslizamiento, suestructura cristalina se reorienta respectodeleje delesfuerzo,buscando ciertas orientaciones determinadas, ya noalazar. Cabe recordar elcasode la probeta monocristalina deZn, apropiadamenteorientaday sometidaa tracciónvista enclase.Esa muestra, presenta deslizamiento,pero,además, rota enrelaciónconla máquina de tracción;estoes,se orienta preferencialmente.

Nótese que cadagranode unpolicristal estambiénun monocristal,de modoque cadagranode unpolicristaltambiénse reorientará. En consecuencia, cuando un policristalde granosorientados inicialmente alazar esdeformado plásticamente, con ladeformación plástica losgranos tenderána orientarse de unacierta manera.De modoquela estructuracristalina finalnoserá alazar. Porotra parte, la formaexterna de los granos tambiénseveráafectada por la deformaciónen frío: en particular, un grano inicialmente equiaxial,deformado por deformaciónplástica,quedará alargadoenelsentidodelalaminación ymás planoen el plano delaminación.

Por loanterior,unmaterial policristalino que inicialmente cumpla lastres condiciones anteriores, yque, por ende,fueseisótropo por compensación,al deformarlo plásticamenteen fríoadquiriráuna texturapordos factores:

- lasestructurascristalinastendrán orientacionespreferenciales,ya noal azar;estose puededeterminarpor difracción de rayosX. - la forma de los granos quedará alargada segúneleje de deformación (forma noequiaxial);estose puede determinarpormicrosopíaóptica.

Por losdosfactoresanterioresde textura, elmaterialdeformado plásticamente en frío será anisótropo.

Hay muchasaplicacionesenque interesa la isotropía. Por ejemplo,para obtener productos adecuadospor embutido profundo, proceso empleado parahacerollas,vainillas,etc,apartir de planchas, se requiere que las planchas presentes similares propiedadesmecánicasalolargoy alo


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anchode la plancha.Una forma de controlar la isotropía enplanchas,es realizando ensayosmecánicos, empleandoprobetascortadasa0º,45ºy 90º con el ejedelaminación. Homogeneidad

Otra propiedadrelevantede un material es su homogeneidad oheterogeneidad. Un materiales homogéneo cuando el valor de una propiedadesel mismo independientemente dellugardonde se hace la medida.Nóteseque un material puedeserhomogéneoy anisótropo;por ejemplo, es el caso de una buena madera.Lo contrario ahomogéneo es heterogéneo.

En cursos de Mecánica de Sólidos, comounode Resistenciade Materiales, frecuentemente se supone que los materiales son isótropos (por compensación)yhomogéneos.

Lassustanciasisotrópicas presentansiempre el mismocomportamientoindependientementedela

dirección,mientras queenlasanisotrópicaslas propiedades varíanconla dirección.Enel casodela

luz,loscristales anisótropos presentan distintos valores desus índicederefracción enfunción dela

direcciónenquesobre laluz al atravesar el cristal. Laisotropía es lacaracterística de poseer iguales propiedades encualquier dirección.Cuandola

propiedad elasticidadsemanifiestaenigualmedida cualquierasealadirecciónenlaqueseha

producidoladeformaciónola direcciónenla quesedeforma, el material sedenominaisótropo.

Losminerales quecristalizanenelSistemaCúbico(o Regular),esdecir,eldemáximasimetría,con

susátomosoionesigualmentedistribuidosenlastresdirecciones principalesdel espacio,son isótropos.

Unmaterialesisótropocuandosuspropiedades no dependen deladirecciónsegúnlacualellas son

medidas.Esdecir,cuandounapropiedadtieneelmismovalorindependientedeladirecciónsegún lacual

se hacelamedida. Losmateriales amorfos(o nocristalinos)sonestrictamenteisótropos. Ello

sedebeaquenopresentandireccionesquedifieranentresíensutipodeorden atómicolineal,por nohaber

ordencristalino.Isotropíapor compensaciónenpolicristales

Frecuentementeeningeniería,particularmente paraaplicacionesestructurales,seemplean

policristales.En ocasiones,lospolicristalesformadospormuchosgranos (granosqueson

monocristalesanisótropos),puedenserconsiderados,en promedio,comoisótropos,segúnseverá.

Particularmentecuandolaestructura de unpolicristalestárecocida,sepuedentenergranosconlas

siguientestrescaracterísticasdeestos:Finos:eltamañodegranoessuficientementepequeño comopara


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que,enlasecciónconsi-deradahayamuchosgranos.De formaequiaxial:en elmaterial

nohaydirecciones preferencialesalmirarlosgranos, porejemplo,enunmicroscopioóptico.Con

orientacionescristalinas al azar:porejemplo,enun policristaldecobre,de estructuraCCC,los ejes OX-

OY-OZde distintos granos, ejescorrespondientesalas aristas delasceldascristalinas respectivas,

están orientadosalazar.Consideremos unpolicristalparaelcualsecumplenlastres condiciones

anteriores.Ahora midamos alguna propiedad segúndos direcciones diferentesdel

policristal,bajolacondicióndequetalesdireccionesconsiderenmuchosgranosalolargoyque ellas

noseancristalográficamenteequivalentes.Entonces,las medidas demódulo deYoung,por

ejemplo,corresponderán aunpromediosobremuchos granos encadacaso,dandounvalor resultante,

un promedio,queseráelmismosegúnlasdos direccionesdelmaterial.Asísetendrá

isotropíaporcompensación.

Posición deisotropía

Laluz quese propagaverticalmente, enla dirección deleje óptico(quecoincidecon elejedemayor

simetríacristalográfica, cuaternario en lafigura)vibraencualquiera delas direccionesrepresentadas

porlosdiámetrosdelacircunferencia ecuatorial,yportantoconigual"n"siempre(convalor "omega").

Unmedioes denominadoisótroposisuspropiedades físicassonidénticasentodaslasdirecciones.

Unsistemaserácalificado deisótroposisus propiedadesfísicas(macroscópicas) soninvariantesen

relaciónconuna dirección particular, y por lotanto,si ninguna de ellas posee dependencia

direccional. En elcaso en que unasola desuspropiedadessea direccional,elsistemacesadeser

isótropo;esanisótropo.Sedirátambiénqueunamagnitudfísicaesanisótropa,oisótropa,según

quedependaonodela direcciónsegúnlacualse mide.Enelsentido primitivoyrestringidodel

término,laisotropíaylaanisotropíasonpropiedadesdeloscuerposoconjuntos macroscópicos.En

estaacepcióngeneral,alser eltiempoy elespaciomagnitudes físicas,y por ello medibles,se habla

frecuentementedesuisotropíaodesuanisotropía.

Elespaciogeográficoes heterogéneoy anisótropo.Lasnociones de heterogeneidady anisotropía

sonpróximas enestecaso. Lanocióndehomogeneidaddescribelamayoromenorigualdaddelos

valoresde unavariable o deunacombinacióndecaracterísticas enunconjuntogeográfico.La

heterogeneidad del espacio geográfico reside, por lo tanto, en el hecho de que sus partes,

elementosolugares,son diferenciados. Suanisotropíahacereferenciaalas orientacionesenel

espacio,alas diferenciaciones que provienen de dependenciasdireccionalesconstitutivasdesu

estructuración.Nudos yejesjerarquizados queorganizanlosflujos decirculación,y gradientes y

disimetrías dantestimonio de estaanisotropía.

Encuantoal espacio geográfico,laisotropía(anisotropía)se definesiempre respecto de uncierto nivel deresolucióno degeneralizacióndelas unidadesgeográficas.Observadaa unaciertaescalay paraunnúmerolimitadodecriterios,esunamedida, siemprerelativa,delaindependenciadelas


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direcciones. Lacuestióndelaisotropíadelespacio geográficoseha planteadoendiferentes contextosdereflexiónyde acciónque dependendelregistrodelaespacialización.Deestemodo, todareflexiónsobrelaconstruccióndelaunidadde unterritoriotropiezaconla noción deisotropía cuandolaunidadestásubtendidaporlanecesariareduccióndelasdiscontinuidades.Labúsqueda delaunidadterritorial pasa engeneral,por ejemplo,porlanecesidaddepensarydepromoverun espacio homogéneodecirculaciónsolamentecontrastado porladistancia,oinclusoporlavoluntad dedaralasmallaspolítico-administrativaslamayorregularidadyneutralidadposibles.Porotra parte,la nocióndeisotropíaseencuentratambién en elfondodelaproblemáticadela“equidad territorial”,odimensiónespacialdelajusticiasocial.Estadimensióndesignaría unaconfiguración geográficasusceptiblede aseguraratodoslasmismascondiciones de accesoalosservicios públicos,alempleoyalasdiversasventajasdelavidaensociedad.Equidadterritorialeisotropía delespaciosevinculancuandolacuestión essaber sialgunas dimensiones dela anisotropíason portadorasde diferenciaciones injustas delaaccesibilidad.

Ecuaciones constitutivas

Para materiales elásticos:

Si la relación es lineal:

Enestaexpresión:EltensordecuartoordenCijkldelaspropiedadesdelmaterialomódulo elástico

(¿cuántas constantes materiales?). Utilizando la simetría del tensor de esfuerzo:

Prueba mediante ejemplo (generalizable):

loquegeneralizaelenunciado.Estoreduceelnúmerodeconstantesdematerialde81 a 54. De

modo similar, podemos utilizar la simetría del tensor de deformación.


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Estoreducedenuevoelnúmerodeconstantesdemateriala36.Parareduciraúnmás

elnúmerodeconstantesdematerialconsidere la conclusión de la primera ley para los materiales

elásticos, ecuación (1):

Estovuelveareducirelnúmerodeconstantesdemateriala21.Porlotanto,el material elástico lineal

anisotrópico más general tiene 21 constantes de material. Vamos a adoptar la notación

de Voigt:

Cuando el material tiene simetrías en su estructura, el número de constantes de material

se reduce aún más (véase Tratamiento unificado de este material). Vamos a concentrarnos

en el caso isotrópico:

Materiales elásticos lineales isotrópicos

El tensor isotrópico de cuarto orden más general:

Sustituyendo en:


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da:

Ejemplos:

Matrizde cumplimiento de un material elástico isotrópico

A partir de los experimentos descubrimos:


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En estas expresiones, E es el módulo de Young, v el ratio de Poisson yG el módulo de rigidez. Se denominan constantes técnicas, ya que se obtienen de experimentos. En

Tratamiento unificado demostramos que G =

escribir en la siguiente forma de matriz:

E

2(1+v)

. Estas expresiones se pueden


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Deformación de plano

En este caso consideramos situaciones en las que:

La inversión da la relación entre los esfuerzos y las deformaciones para ladeformación de plano:


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Conclusiones:

Bueno yo creo que tanto la isotropía como la homogeneidad son importantes, ya que tratan de temas relacionados, con esto me refiero a que la isotropía como su prefijo lo dice es la característica de tener elementos iguales, entonces se puede concluir que la esta, constituye una de las propiedades fundamentales del espacio. Y pues la homogeneidad es la característica que tiene una construcción en el cual sus partes no se ven, es decir, si se ven, pero forman parte del todo y resaltan en conjunto.

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