INTTRODUCCION

La vida esta llena de conflicto y competencia. Los numerosos ejemplos que

involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares,

campañas políticas, competencias deportivas, campañas de publicidad y

comercialización entre empresas de negocios que compiten, entre otros. Una

característica básica en muchas de estas situaciones, es que el resultado final

depende, en primer lugar, de la combinación estratégica seleccionadas por los

dversarios.

La teoría de juegos es una teoría matemática que estudia las características

generales de las situaciones competitivas como estas de manera formal y

abstracta. Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de

los adversarios.

Por ello este trabajo está diseñado para que el estudiante adquiera conocimientos

en la Teoría de Juegos su desarrollo, diseño y aplicación en las diferentes áreas.

Los contenidos incorporan en el proceso de formación destrezas y hábitos para el

trabajo profesional del Ingeniero Industrial, ya que este participará en la

planificación, estudio, dirección, evaluación y control de los diferentes métodos,

procesos y sistemas de producción de bienes y servicios útiles a la comunidad,

con el fin de optimizar el uso de recursos humanos y materiales; creando así, un

individuo de elevada calidad ciudadana y alto grado de competencia técnica.

OBJETIVO

“Aplicar la teoría de juegos para reducir el riesgo en la toma

de decisiones en situaciones competitivas”.

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 1

TEORIA DE JUEGOS

EJEMPLO # 1

ESTRATEGIA PURA:

“Compañía contra sindicato”

En el año 2011 el sindicato de La Iberica entro en huelga, exigiendo el

aumento de cuatro soles diarios, la instalación de un comedor, refrigerio

para los trabajadores del turno noche y un centro médico

Simulando el problema como si fuese un caso actual

Teniendo la suposición de hubiéramos formado parte del grupo de gerentes

que está a cargo determinar la estrategia que deben seguir durante las

negociaciones. Después de considerar la experiencia en otros años, se está

de acuerdo en que las estrategias factibles para la compañía son:

C1 = Negociaciones agresivas. (si o si)

C2 = Método lógico, de razonamiento.

C3 = Estrategia conciliatoria

C4 = Estrategia permisiva

¿Cuál es la mejor estrategia para la compañía?

Solución:

La respuesta dependió de la estrategia que elija el sindicato, la cual no se conoce.

Pero se puede suponer, por los antecedentes del sindicato, que puede usar uno

de los siguientes procedimientos:

U1 = Negociaciones agresivas.

U2 = Método lógico, de razonamiento.

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 2

U3 = Estrategia conciliatoria

U4 = Estrategia permisiva

Ahora hay que considerar las consecuencias de cada una de las estrategias,

condicionadas por el hecho de que el sindicato adopte una de sus estrategias

posibles. Con ayudar de un mediador externo, logramos construir la siguiente

tabla # 1:

Tabla # 1: “Ganancias condicionales del sindicato (costos para la

compañía en soles)”

Estrategia

s

del

Sindicato

Estrategias de la Compañía Mínimos

de las

filas

C1 C2 C3 C4

U1 0.5 2.5 3.5 4 4

U2 2 2.5 3 3.5 3.5

U3 1 2 2.5 3.5 3.5

U4 0.5 1 1.5 4 4

Máximos

de las

columnas

0 2.5 3.5 2

Haciendo uso de la estrategia Minimax, la compañía podría adoptar la estrategia

que minimice el mayor aumento de salarios que tendría que otorgar, sin importar

la acción del sindicato. Si el sindicato sigue esta regla, escogería la estrategia que

maximizara el aumento mínimo de los salarios.

En el ejemplo, la estrategia Minimax para la compañía es C3, con aumento de

salarios máximo de 12 centavos; para el sindicato sería U1, con aumento mínimo

de 12 centavos. En la tabla # 1, los 12 centavos son el máximo de la columna C3 y

el mínimo de la fila U1, por lo que es la solución de equilibrio para esta situación.

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 3

0.5

4

En términos de la teoría de juegos, 12 es el valor del juego. Las estrategias puras

(U1 , C3) proporcionan el equilibrio de este caso, ya que si la compañía usa C3 , la

mejor defensa del sindicato es U1 ; si el sindicato escoge U1 , C3 es la mejor

defensa de la compañía.

ESTRATEGIA MIXTA:

Ejemplo:

Siguiendo con el ejemplo de la “Compañía contra sindicato” si modificamos los

datos con sólo cambiar una de las cantidades y hacemos que la intersección de

C3 y U3 , fuese ahora + 19 centavos, en lugar de + 10 centavos (ver tabla # 2 ),

vemos que + 12 centavos ya no sería el máximo de la columna, como se muestra

en la tabla # 1. Ahora C2 es la estrategia que minimiza la pérdida máxima de la

compañía; el máximo del sindicato es aún U1 .Sin embargo, la intersección de

estas estrategias no es un punto de equilibrio, porque + 15 centavos no es el

máximo de la columna y el mínimo de la fila. Las estrategias puras (U1 , C2) ya no

son un par de equilibrio.

Tabla # 2: “Ganancias condicionales del sindicato (costos para la

compañía en centavos)”

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 4

Reducimos la tabla # 2 a las estrategias que se muestran en la tabla # 3. Esto se

hace por medio de la eliminación sucesiva de las estrategias dominadas .La

estrategia U4 del sindicato es dominada por U1, por lo cual puede U4 eliminarse. La

estrategia C1 de la compañía es dominada por C2 o C3; por lo tanto, también C1

puede eliminarse. Con lo anterior, queda la estrategia U2 del sindicato, dominada

por U1, y las únicas estrategias que quedan para el sindicato son U1 y U3. Al llegar

a ese punto, la estrategia C2 domina a C4y las únicas estrategias para la

compañía son C2 y C3, (Ver la tabla # 3).

Tabla # 2: “Estrategias no dominadas”

Ahora el objetivo es obtener una

estrategia mixta que mejore la posición de las dos partes con respecto a las

estrategias puras disponibles. Entonces, tenemos:

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 5

Estrategia

s

del

Sindicato

Estrategias de la Compañía Mínimos

de las

filas

C1

3

C2 C3 C4

4

U1 + 20 c. + 15 c. + 12 c. + 35 c.

U2 2 + 25 c. + 14 c. + 8 c. + 10 c. + 8 c.

U3 + 40 c. + 2 c. + 19 c. + 5 c. + 2 c.

U4 1 -5 c. + 4 c. + 11 c. 0 -5 c.

Máximos

de las

columnas

+ 40 c. + 19 c. + 35 c.

Estrategia

s

del

Sindicato

Estrategias de la

Compañía

C2 C3

U1 + 15 c. + 12 c.

U3 + 2 c. + 19 c.

+15 c.

+12 c.

A) Análisis de Probabilidades:

C2 C3 PO

U1 15 12 P1 17/20

U3 2 19 1- P1 3/20

QO Q1 1 – Q1

7/20 13/20

Valor de U1 = Valor de U3

V U1 = V U3

15 Q1 + 12 (1 – Q1) = 2 Q1 + 19 (1 – Q1)

15 Q1 + 12 – 12 Q1 = 2 Q1 + 19 – 19 Q1

12 + 3 Q1 = 19 – 17 Q1

20 Q1 = 7

Valor de C2 = Valor de C3

V C2 = V C3

15 P1 + 2 (1 – P1) = 12 P1 + 19 (1 – P1)

15 P1 + 2 – 2 P1 = 12 P1 + 19 – 19 P1

2 + 13 P1 = 19 – 7 P1

20 P1 = 17

B) Análisis de cruce de Probabilidades:

C2 C3 PO

U1 15 12 3 17/20

U3 2 19 17 3/20

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 6

Q1 = 7 20

P1 = 17 20

20

QO 13 7

7/20 13/20

Valor de juego para el Sindicato:

V = 15 (17/20) + 2 (3/20) = 13.05

V = 12 (17/20) + 19 (3/20) = 13.05

Valor de juego para la Compañía:

V = 15 (7/20) + 12 (13/20) = 13.05

V = 2 (7/20) + 19 (13/20) = 13.05

La cifra de 13.05 es una medida de la utilidad esperada y como tal, nos lleva a la

conclusión de que la estrategia mixta da como resultado el menor costo máximo

para la compañía y el mayor aumento mínimo para el sindicato (en función de la

utilidad esperada o, lo que es igual en este ejemplo, el valor monetario esperado).

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 7

EJEMPLO # 2

En la siguiente matriz de resultados para A y B, las cantidades son

utilidades que gana A y pierde B para cualquier intersección de estrategias:

B1 B2

A1 10 6

A2 8 12

A. ¿Cuál es la mayor ganancia mínima segura que puede obtener A si

sigue una estrategia pura?

B. ¿Cuál es la menor pérdida máxima en que puede incurrir B si sigue

una estrategia pura?

C. ¿Cuál es la estrategia mixta para A?

D. Si A y B usan estrategias mixtas ¿Cuál es el valor de juego?

Solución:

A. ¿Cuál es la mayor ganancia mínima segura que puede obtener A si

sigue una estrategia pura?

B1 B2 Min PO

A1 10 6 6 0

A2 8 12 8 Maximin 1

Max 10 12

Minimax

QO 1 0

La mayor ganancia mínima segura que puede obtener A es de 8; como

estrategia pura.

B. ¿Cuál es la menor pérdida máxima en que puede incurrir B si sigue

una estrategia pura?

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 8

B1 B2 Min PO

A1 10 6 6 0

A2 8 12 8 Maximin 1

Max 10 12

Minimax

QO 1 0

La menor pérdida máxima segura que puede incurrir B es de 10; como

estrategia pura.

C. ¿Cuál es la estrategia mixta para A?

B1 B2 PO

A1 10 6 P1 1 / 2

A2 8 12 1- P1 1 / 2

QO Q1 1 – Q1

3 / 4 1 / 4

Valor de A1 = Valor de A2

V A1 = V A2

10 Q1 + 6 (1 – Q1) = 8 Q1 + 12 (1 – Q1)

10 Q1 + 6 – 6 Q1 = 8 Q1 + 12 – 12 Q1

6 + 4 Q1 = 12 – 4 Q1

8 Q1 = 6

Valor de B1 = Valor de B2

V B1 = V B2

10 P1 + 8 (1 – P1) = 6 P1 + 12 (1 – P1)

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 9

Q1 = 3 4

10 P1 + 8 – 8 P1 = 6 P1 + 12 – 12 P1

8 + 2 P1 = 12 – 6 P1

8 P1 = 4

El estrategia mixta para A es de 1 / 2

D. Si A y B usan estrategias mixtas ¿Cuál es el valor de juego?

B1 B2 PO

A1 10 6 4 1 / 2

A2 8 12 4 1 / 2

QO 2 6

3 / 4 1 / 4

Valor de juego para el Sindicato:

V = 10 (1/2) + 8 (1/2) = 18/2 = 9

V = 6 (1/2) + 12 (1/2) = 18/2 = 9

Valor de juego para la Compañía:

V = 10 (3/4) + 6 (1/4) = 36/4 = 9

V = 8 (3/4) + 12 (1/4) = 36/4 = 9

El valor de juego es 9

EJERCICIO:

Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor número de cuenta

habientes en un poblado del occidente del país: Banco "Le cuido su pisto" el

primero, y Banco " Le Guardo su Plata" el segundo; para el logro de su objetivo

cada uno aplica las estrategias siguientes:

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 10

8

P1 = 1 2

1. Sorteo de electrodomésticos

2. Tasa de interés más alta

3. Sorteo de dinero en efectivo

Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomésticos atrae 200 cuenta

habientes más que el primero, cuando este ofrece lo mismo, 1000 más cuando el

primero ofrece tasa de interés mas alta y 800 menos cuando el primero ofrece

sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de interés más

alta atrae 1300 más cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 700

más cuando el primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece

sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece sorteo de dinero en

efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos,

1500 más cuando el primero ofrece tasa de interés más alta y 850 menos cuando

el primero ofrece lo mismo.

1. ¿Que banco es el ganador del juego?

2. ¿Qué estrategia debe aplicar cada banco?

3. ¿En un año cuantos meses debe aplicar cada estrategia?

4. ¿Cuántos cuenta habientes atrae más el banco ganador?

5. Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo

de electrodomésticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes más que el

primero. ¿Cuales serán las nuevas respuestas?

R = BCO. "LE CUIDO SU PISTO"

C = BCO. "LE CUIDO SU PLATA"

Estrategias: X1 Y1 – sorteo de electrodomésticos

X2 Y2 – tasa de interés más alta

X3 Y3 – sorteo de dinero en efectivo

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 11

CONSTRUIR MATRIZ DE JUEGO

C CF

Y1 Y2 Y3 < FILA

X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = 800

R X2 -1000 -700 -1500 -1500

X3 800 900 850 800

> COLUMNA 800 900 2000

MINMAX = 800

MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 800

800 = 800 VALOR DE JUEGO = 800

RESPUESTAS:

1. Favorece al Bco. "Le cuido su pisto".

C= Utiliza estrategias Y1 = sorteo de electrodomésticos

2. R = Utiliza estrategias X3 = sorteo dinero en efectivo

C = 12 meses

3. R = 12 meses

4. 800 Clientes

5. R => X3

C => Y1

C CF

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 12

Y1 Y2 Y3 < FILA

X1 -200 -1300 2000 -1300 MAXMIN = - 800

R X2 -1000 -700 -1500 -1500

X3 800 900 850 800

> COLUMNA 800 900 2000

MINMAX = 800

MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = no hay

-800 = -200 VALOR DE JUEGO = si hay SIMPLEX

SIMPLEX

EN FUNCION "Y" (MAXIMIZACIÓN)

F.O.MAX = Y1 + Y2 + Y3

SUJETO A: (Restricciones)

1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1 Ü siempre será 1 porque la

probabilidad no

2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1 puede ser mayor a 1

3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1

CONVERTIR EN ECUACIONES AGREGANDO VARIABLES DE

HOLGURA

4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0

5. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 = 1 Ü siempre será 1 porque la

probabilidad no

6. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 = 1 puede ser mayor a 1

7. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 = 1

8. Y1; Y2 & Y3 ³ 0

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 13

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

-200 -1300 2000 1 0 0 1

-1000 -700 -1500 0 1 0 1

-800 900 850 0 0 1 1

-1 -1 -1

EN FUNCIÓN "X" (MINIMIZACIÓN)

F.O.MINZ = X1 + X2 +X3

SUJETO A:

1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1

2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1

3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1

4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0

CON LOS COEFICIENTES DE LAS DESIGUALDADES LA MATRIZ INICIAL

Y1 Y2 Y3 C

-200 -1300 2000 1

-1000 -700 -1500 1

-800 900 850 1

-1 -1 -1

DETERMINAR LA TRANSPUESTA

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 14

Y1 Y2 Y3 C

-200 -1300 2000 1

-1000 -700 -1500 1

-800 900 850 1

-1 -1 -1

 CONSTRUIR PRIMER TABLERO SIMPLEX, AGREGÁNDOLE 1 MATRIZ

IDENTIDAD

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

-200 -1300 2000 1 0 0 1 R/MAX

-1000 -700 -1500 0 1 0 1

-800 900 850 0 0 1 1

-1 -1 -1 0 0 0 0

MIN Z Þ VALOR DE

JUEGO

SE SUMA UNA CONSTANTE PARA ELIMINAR LOS SIGNOS NEGATIVOS

(EN ESTE 1500 Þ K 1500 QUE ES EL MÁS NEGATIVO)

E.P.

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 15

1300 200 3500 1 0 0 1 (1/3500)

500 800 0 0 1 0 1

700 2400 2350 0 0 1 1

-1 -1 -1 0 0 0 0

C.P.

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

13/35 2/35 1 1/3500 0 0 1/350 (2350)(1)

500 800 0 0 1 0 1

-1210/7 15860/7 0 -47/70 0 1 23/70 (7/15860)

-22/35 -33/35 0 1/3500 0 0 1/3500

C.P.

1/3500 2/35 = 0.005

1 800 = 0.000125

23/70 15860/7 = 0.0000145

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

298/793 0 1 6/19825 0 -1/39650 11/39650

444900/793 0 0 188/793 1 -280/793 701/793

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 16

-121/1576 1 0 -47/158600 0 7-15860 23/158600 (-2/35)(-80)

-111/1586 0 0 1/158600 0 33/79300 67/158600 (33/35)

A B C D

C.P. PARA COMPROBAR LA SUMA DE LAS VARIABLES (A+B+C)

DEBE SER IGUAL A & D

11/39650 / 298/793 = 0.0007382

= 0.00157

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 C

1 0 793/298 3/3725 0 -1/14900 11/14900 (-444900/793)

(121/1586)(1111/1586)

0 0 222450/149 -32/149 1 -47/149 70/149

0 0 121/596 -7/29800 0 13/29800 0.00020134

0 0 1111/596 0.000570469 0 0.000369127 0.000939597

X1 X2 X3

A. VALOR DE JUEGO = 1/ Z = 1/0.000939597 = 1064.286072 –k = - 435.71

1500

GANA EL BANCO C (LE CUIDO SU PISTO)

B. ¿QUÉ ESTRATEGIAS VAN APLICAR C/U DE LOS COMPETIDORES?

C. R X1 = 0.00570469 sorteo electrodomésticos

X2 = 0

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 17

X3 = 0.00369127 sorteo de dinero en efectivo

C Y1 = 11/14900 sorteo de electrodomésticos

Y2 = 0.00201342 tasa de interés más alta

Y3 = 0

EL BANCO R PARA MINIMIZAR SUS MÁXIMAS PÉRDIDAS UTILIZARÁ

LAS ESTRATEGIAS SORTERO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y SORTEO

DE DINERO EN EFECTIVO.

EL BANCO C PARA MAXIMIZAR SUS MÁXIMAS GANANCIAS UTILIZARÁ

LA ESTRATEGIA DE SORTEO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y LA DE

TASA DE INTERÉS MÁS ALTA.

D. EN UN AÑO CUANTOS MESES APLICARÁ CADA ESTRATEGIA

EN FUNCIÓN DE "R"

ESTRATEGIA RESULTADOS DEL SIMPLEX

XN = XN (VJ) Valor de Juego: Se utiliza el valor que

resulte antes de restarle K

en función de "c"

Yn = Yn (VJ)

X1 = 0.0057069 (1064.286072) = 0.607142211

X2 = 0 estos deben sumar 1

X3 = 0.00369127 (1064.286072)=0.328

1.00

X1 = 61% Þ 7 mesas

X2 = 0

X3 = 39% Þ 5 meses

12 meses (1 año)

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 18

 Y1 = 11/14900 (1064.286072) = 0.79 Þ 9 meses

Y2 = 0.000020 (1064.286072) = 0.21 Þ 3 meses

1. 12 meses

0.79 * 12 = 9

0.21 * 12 = 3

d. CUANTOS CUENTAHBIENTES MÁS ATRAE

436 CUENTAHABIENTES MÁS (ES EL V.J. FINAL)

ESTRATEGIA DE VON NEWMAN

El general Luis Valdivia López tenia la opción de llevar su producción para el

reconocimiento de sus nuevos clientes, en este caso le ofrece que lleve la

producción por tres rutas que son Y1, Y2, Y3 una vez localizado se verá cual de las

tres rutas escogidas por el general será la mejor.

1.- Función objetivo

Y1 Y2 Y3

4 7 2 1

5 8 3 1

2 1 4 1

[1 1 1]

Estandarizar

Max (Z) = Y1 + Y2 + Y3 + U1 + U2 + U3

2.- Restricciones

4Y1 + 7Y2 + 2Y3 <= 1

5Y1 + 8Y2 + 3Y3 <= 1

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 19

2Y1 + 1Y2 + 4Y3 <=1

3.- Solución Simplex

Cj 1 1 1 0 0 0 Ratiock kk b Y1 Y2 Y3 U1 U2 U3  

0 U1 1,0 4 7 2,0 1,0 0,0 0,0 0,30 U2 1,0 5 8 3,0 0,0 1,0 0,0 0,20 U3 1,0 2 1 4,0 0,0 0,0 1,0 0,5

Zj -> 0 0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 El+Cj - Zj 1 1 1,0 0,0 0,0 0,0 <R+

0 U1 1,0 0 -9,0 -8,5 1,0 -0,5 0,0 -0,11 Y1 5,0 0 5,5 -13,0 0,0 1,0 -0,5 -0,40 U3 1,0 1 0,5 2,0 0,0 0,0 0,5 0,5Zj -> 0,6 0 5,5 -13 0,0 1,0 -0,5 El+

Cj - Zj -> 1,00 -4,50 14,00 0,00-

1,00 0,50 <R+0 U1 1,0 0,0 14,4 0,0 1,0 -1,0 0,0 indef1 Y1 5,0 -2,8 8,8 0,0 0,0 1,0 -1,0 -5,01 Y3 0,5 0,5 0,3 1,0 0,0 0,0 0,3 2,0Zj -> 5,5 2 9,0 1,0 0,0 1,0 -0,8  Cj - Zj  -1 -8 0 0 -1 1 <=(S.O)

0 U1 1,0 -134 14,4 0,0 1,0 -1,0 0,0 0,01 Y1 5,0 12,0 8,8 0,0 0,0 1,0 0,0 0,40 U3 2,0 2,0 1,0 3,0 0,0 0,0 1,0 1,0Zj -> 7,0 12,0 8,8 0,0 0,0 1,0 0,0  

Cj - Zj -

11,0 -7,8 1,0 0,0 -1,0 0,0 <=(S.O)0 U1 1,0 -192 14,40 0,0 1,0 -1,3 0,0  1 Y1 5,0 6,13 8,8 0,0 0,0 0,0 0,3  1 Y1 1,0 0,7 0,3 1,0 0,0 0,0 0,3  Zj -> 6,0 6,8 9,1 1,0 0,0 0,0 0,7  Cj - Zj  -6 -8 0 0 0 -1 <=(S.O)

4.- Beneficio Neto

VB = ½ = 1/6 = 0.1667

VA = VB - Z

VA = 1-6

VA= -5

Si el general escoge la segunda ruta entonces la producción no llega bien a los

clientes y este tendrá una perdida de $.5’000.000.00

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 20

5.- Análisis

VB = ½ = 1/6 = 0.1667

VA = VB /Z

Optimizando las rutas escogidas para optimizar las ganancias llegando al

máximo rendimiento.

Y*= [ Y1 , Y2 , Y3] = [1 1 1]

G* = VY* = 0.17 [1 1 1] = [0.17 0.17 0.17 ]

X* = [X1 , X2 , X3]= [1 1 1]

Q *= VX* = 0.17[1 1 1]= [0.17 0.17 0.17]

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 21

CONCLUSIONES

El problema general de cómo tomar una decisión en un medio competitivo

es bastante común e importante.

La contribución general de la Teoría de Juegos es que proporciona un

marco conceptual básico para formular y analizar los problemas de cómo

tomar una decisión en situaciones sencillas.

Existe un gran abismo entre lo que la teoría puede manejar y la

complejidad de la mayor parte de las situaciones de competencia que

surgen en la practica.

Las herramientas conceptuales de la teoría de Juegos por lo general

desempeñan un papel suplementario cuando se aplican en las situaciones

de competencia que surgen en la práctica.

ANEXOS

Historia de la teoría de juegos

La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita

por James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una

solución minimax de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 22

de cartas le Her. Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos

en general hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques

de la théorie des richesses, de Antoine Augustin Cournot en 1838. En este

trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una solución que es una

versión restringida del equilibrio de Nash.

Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la teoría de

juegos realmente no existió como campo de estudio aparte hasta que John von

Neumann publicó una serie de artículos en 1928. Estos resultados fueron

ampliados más tarde en su libro de 1944, The Theory of Games and Economic

Behavior, escrito junto con Oskar Morgenstern. Este trabajo contiene un método

para encontrar soluciones óptimas para juegos de suma cero de dos personas.

Durante este período, el trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre todo, en

teoría de juegos cooperativos. Este tipo de teoría de juegos analiza las estrategias

óptimas para grupos de individuos, asumiendo que pueden establecer acuerdos

entre sí acerca de las estrategias más apropiadas.

En 1950, aparecieron las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se

emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND.

Alrededor de esta misma época, John Nash desarrolló una definición de una

estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde el óptimo no se había

definido previamente, conocido como equilibrio de Nash. Este equilibrio es

suficientemente general, permitiendo el análisis de juegos no cooperativos

además de los juegos cooperativos.

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 23

La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950,

momento en el cual los conceptos base, el juego de forma extensiva, el juego

ficticio, los juegos repetitivos, y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además,

en ese tiempo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de juegos en la

filosofía y las ciencias políticas.

En 1965, Reinhard Selten introdujo su concepto de solución de los equilibrios

perfectos del subjuego, que más adelante refinó el equilibrio de Nash. En 1967

John Harsanyi desarrolló los conceptos de la información completa y de los

juegos bayesianos. Él, junto con John Nash y Reinhard Selten, ganaron el Premio

Nobel de Economía en 1994.

En la década de 1970 la teoría de juegos se aplicó extensamente a la biología, en

gran parte como resultado del trabajo de John Maynard Smith y su concepto

estrategia estable evolutiva. Además, los conceptos del equilibrio correlacionado,

la perfección del temblor de la mano, y del conocimiento común fueron

introducidos y analizados.5

En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el

premio Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros

ejemplos de la teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a

la escuela del equilibrio.

En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwicz y Eric Maskin, recibieron el

premio Nobel de Economía por "sentar las bases de la teoría de diseño de

mecanismos."

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 24

La Teoría de Juegos

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos

para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los

llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores

estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y

observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos

pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos similares y, por lo tanto,

se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el

comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en

muchos campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó un crecimiento

sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von

Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo

a su aplicación a la estrategia militar —en particular a causa del concepto de

destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha

aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la

selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el

egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos se ha usado

en economia, ciencias políticas, ética y filosofía. Finalmente, ha atraído también la

atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y

cibernética.

Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de

juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras

palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los

beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de

las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la

teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el

matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para

comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría psicológica de

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 25

juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es

enteramente distinta.

Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en

particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto

con la teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de juegos ha

recibido la atención de la cultura popular. La vida del matemático teórico John

Forbes Nash, desarrollador del Equilibrio de Nash y que recibió un premio Nobel ,

fue el tema de la biografía escrita por Sylvia Nasar, Una mente brillante (1998), y

de la película del mismo nombre (2001). Varios programas de televisión han

explorado situaciones de teoría de juegos, como el concurso de la televisión de

Cataluña (TV3) Sis a traïció (seis a traición), el programa de la televisión

estadounidense Friend or foe? (¿Amigo o enemigo?) y, hasta cierto punto, el

concurso Supervivientes.

Tipos de juegos y ejemplos

La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos

particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se

define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:

Juegos simétricos y asimétricos [editar]

Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas

por jugar una estrategia en particular dependen sólo de

las estrategias que empleen los otros jugadores y no de

quién las juegue. Si las identidades de los jugadores

pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de

las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de

los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las

representaciones estándar del juego de la gallina, el

dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.2

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 26

E F

E 1, 2 0, 0

F 0, 0 1, 2

Un juego

asimétrico

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de

estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y

el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante,

puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por

ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos

de estrategias idénticos para ambos jugadores.

Juegos de suma cero y de suma no cero

En los juegos de suma cero el beneficio total para

todos los jugadores del juego, en cada combinación

de estrategias, siempre suma cero (en otras

palabras, un jugador se beneficia solamente a

expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el

juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero,

porque se gana exactamente la cantidad que pierde

el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace

unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el

empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto),

mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.

La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema

del prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen

resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un

jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo,

un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva,

donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se

hubiera dado la negociación.

Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se

puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio"

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 27

A B C

1 30, -30 -10, 10 20, -20

2 10, -10 20, -20 -20, 20

Un juego de suma cero

adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias

netas de los jugadores.

La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por

ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a

la derecha.

Juegos cooperativos

Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir.

La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La

plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.

Dos jugadores negocian qué tanto quieren invertir en un contrato. La teoría de la

negociación axiomática nos muestra cuánta inversión es conveniente para

nosotros. Por ejemplo, la solución de Nash para la negociación demanda que la

inversión sea justa y eficiente.

De cualquier forma, podríamos no estar interesados en la justicia y exigir más. De

hecho, existe un juego no-cooperativo creado por Ariel Rubinstein consistente en

alternar ofertas, que apoya la solución de Nash considerándola la mejor, mediante

el llamado equilibrio de Nash.

Simultáneos y secuenciales

Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven

simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de

otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los

jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este

conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en

algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no

realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones

disponibles eligió.

La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las

representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 28

representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos

secuenciales.

Juegos de información perfecta

Un juego de información imperfecta (las

líneas punteadas representan la ignorancia

de la parte del jugador 2)

Un subconjunto importante de los juegos

secuenciales es el conjunto de los juegos

de información perfecta. Un juego es de información perfecta si todos los

jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los

otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de

información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a

menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoría de los juegos

estudiados en la teoría de juegos son juegos de información imperfecta, aunque

algunos juegos interesantes son de información perfecta, incluyendo el juego del

ultimátum y el juego del ciempiés. También muchos juegos populares son de

información perfecta, incluyendo el ajedrez y el go.

La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que

es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador

conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las

acciones.

En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información

relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero

ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa

ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los

ven sólo como aproximaciones al juego realmente jugado.

John Conway desarrolló una notación para algunos juegos de información

completa y definió varias operaciones en esos juegos, originalmente para estudiar

los finales de go, aunque buena parte de este análisis se enfocó en nim. Esto

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 29

devino en la teoría de juegos combinatoria. Descubrió que existe una subclase de

esos juegos

que pueden ser usados como números, como describió en su libro On Numbers

and Games, llegando a la clase muy general de los números surreales.

Juegos de longitud infinita (SuperJuegos)

Por razones obvias, los juegos estudiados por los economistas y los juegos del

mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos. Los

juegos matemáticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de conjuntos

estudia juegos de infinitos movimientos, donde el ganador no se conoce hasta

que todos los movimientos se conozcan.

El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es la mejor manera de jugar

a un juego, sino simplemente qué jugador tiene una estrategia ganadora (Se

puede probar, usando el axioma de elección, que hay juegos —incluso de

información perfecta, y donde las únicas recompensas son "perder" y "ganar"—

para los que ningún jugador tiene una estrategia ganadora.) La existencia de tales

estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos

Aplicaciones

La teoría de juegos tiene la característica de ser un área en que la sustancia

subyacente es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, pero la

mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en

otras áreas. En algunas universidades se enseña y se investiga casi

exclusivamente fuera del departamento de matemática.

Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales caben

destacar las ciencias económicas, la biología evolutiva, la psicología, las ciencias

políticas, la investigación operativa, la informática y la estrategia militar.

Economía y negocios

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 30

Los economistas han usado la teoría de juegos para analizar un amplio abanico

de problemas económicos, incluyendo subastas, duopolios, oligopolios, la

formación de

redes sociales, y sistemas de votaciones. Estas investigaciones normalmente

están enfocadas a conjuntos particulares de estrategias conocidos como

conceptos de solución. Estos conceptos de solución están basados normalmente

en lo requerido por las normas de racionalidad perfecta. El más famoso es el

equilibrio de Nash. Un conjunto de estrategias es un equilibrio de Nash si cada

una representa la mejor respuesta a otras estrategias. De esta forma, si todos los

jugadores están aplicando las estrategias en un equilibrio de Nash, no tienen

ningún incentivo para cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejor que

pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.

Las recompensas de los juegos normalmente representan la utilidad de los

jugadores individuales. A menudo las recompensas representan dinero, que se

presume corresponden a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sin

embargo, puede no ser correcta.

Un documento de teoría de juegos en economía empieza presentando un juego

que es una abstracción de una situación económica particular. Se eligen una o

más soluciones, y el autor demuestra qué conjunto de estrategias corresponden al

equilibrio en el juego presentado. Los economistas y profesores de escuelas de

negocios sugieren dos usos principales.

Descriptiva

Un juego del ciempiés de tres fases.

El uso principal es informar acerca del

comportamiento de las poblaciones

humanas actuales. Algunos

investigadores creen que encontrar el

equilibrio de los juegos puede predecir cómo se comportarían las poblaciones

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 31

humanas si se enfrentasen a situaciones análogas al juego estudiado. Esta visión

particular de la teoría de juegos se ha criticado en la actualidad. En primer lugar,

se la critica porque los supuestos de los teóricos se violan frecuentemente. Los

teóricos de juegos pueden suponer jugadores que se comportan siempre

racionalmente y

actúan para maximizar sus beneficios (el modelo homo oeconomicus), pero los

humanos reales a menudo actúan irracionalmente o racionalmente pero buscando

el beneficio de un grupo mayor (altruismo).

Los teóricos de juegos responden comparando sus supuestos con los que se

emplean en física. Así, aunque sus supuestos no se mantienen siempre, pueden

tratar la teoría de juegos como una idealización razonable, de la misma forma que

los modelos usados por los físicos. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos

se ha seguido criticando porque algunos experimentos han demostrado que los

individuos no se comportan según estrategias de equilibrio. Por ejemplo, en el

juego del ciempiés, el juego de adivinar 2/3 de la media y el juego del dictador, las

personas a menudo no se comportan según el equilibrio de Nash. Esta

controversia se está resolviendo actualmente.

Por otra parte, algunos autores aducen que los equilibrios de Nash no

proporcionan predicciones para las poblaciones humanas, sino que proporcionan

una explicación de por qué las poblaciones que se comportan según el equilibrio

de Nash permanecen en esa conducta. Sin embargo, la cuestión acerca de

cuánta gente se comporta así permanece abierta.

Algunos teóricos de juegos han puesto esperanzas en la teoría evolutiva de

juegos para resolver esas preocupaciones. Tales modelos presuponen o no

racionalidad o una racionalidad acotada en los jugadores. A pesar del nombre, la

teoría evolutiva de juegos no presupone necesariamente selección natural en

sentido biológico. La teoría evolutiva de juegos incluye las evoluciones biológica y

cultural y también modela el aprendizaje individual.

Normativa

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 32

Por otra parte, algunos matemáticos no ven

la teoría de juegos como una herramienta

que predice la conducta de los seres

humanos, sino como una sugerencia sobre

cómo deberían

comportarse. Dado que el equilibrio de Nash constituye la mejor respuesta a las

acciones de otros jugadores, seguir una estrategia que es parte del equilibrio de

Nash parece lo más apropiado. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos

también ha recibido críticas. En primer lugar, en algunos casos es apropiado jugar

según una estrategia ajena al equilibrio si uno espera que los demás también

jugarán de acuerdo al equilibrio. Por ejemplo, en el juego adivina 2/3 de la media.

El dilema del prisionero presenta otro contraejemplo potencial. En este juego, si

cada jugador persigue su propio beneficio ambos jugadores obtienen un resultado

peor que de no haberlo hecho. Algunos matemáticos creen que esto demuestra el

fallo de la teoría de juegos como una recomendación de la conducta a seguir.

Biología

A diferencia del uso de la teoría de juegos

en la economía, las recompensas de los

juegos en biología se interpretan

frecuentemente como adaptación.

Además, su estudio se ha enfocado

menos en el equilibrio que corresponde a

la noción de racionalidad, centrándose en

el equilibrio mantenido por las fuerzas

evolutivas. El equilibrio mejor conocido en

biología se conoce como estrategia

evolutivamente estable, y fue introducido por primera vez por John Maynard

Smith. Aunque su motivación inicial no comportaba los requisitos mentales del

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 33

Cooperar Traicionar

Cooperar            2

2

            0

3

Traicionar            3

0

            1

1

El dilema del prisionero

Halcón Paloma

Halcón

            (V-

C)/2

(V-C)/2

            V

0

Paloma            0

V

            V/

2

V/2

Halcón-Paloma

equilibrio de Nash, toda estrategia evolutivamente estable es un equilibrio de

Nash.

En biología, la teoría de juegos se emplea para entender muchos problemas

diferentes. Se usó por primera vez para explicar la evolución (y estabilidad) de las

proporciones de sexos 1:1 (mismo número de machos que de hembras). Ronald

Fisher sugirió en 1930 que la proporción 1:1 es el resultado de la acción de los

individuos tratando de maximizar el número de sus nietos sujetos a la restricción

de las fuerzas evolutivas.

Además, los biólogos han usado la teoría de juegos evolutiva y el concepto de

estrategia evolutivamente estable para explicar el surgimiento de la comunicación

animal (John Maynard Smith y Harper en el año 2003). El análisis de juegos con

señales y otros juegos de comunicación ha proporcionado nuevas

interpretaciones acerca de la evolución de la comunicación en los animales.

Finalmente, los biólogos han usado el problema halcón-paloma (también conocido

como problema de la gallina) para analizar la conducta combativa y la

territorialidad.

Informática y lógica

La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la lógica

y la informática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de juegos.

Además, los investigadores de informática han usado juegos para modelar

programas que interactúan entre sí.

Ciencias políticas

La investigación en ciencias políticas también ha usado resultados de la teoría de

juegos. Una explicación de la teoría de la paz democrática es que el debate

público y abierto en la democracia envía información clara y fiable acerca de las

intenciones de los gobiernos hacia otros estados. Por otra parte, es difícil conocer

los intereses de los líderes no democráticos, qué privilegios otorgarán y qué

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 34

promesas mantendrán. Según este razonamiento, habrá desconfianza y poca

cooperación si al menos uno de los participantes de una disputa no es una

democracia. [1]

Filosofía

La teoría de juegos ha demostrado tener muchos usos en filosofía. A partir de dos

trabajos de W.V.O. Quine publicados en 1960 y 1967, David Lewis (1969) usó la

teoría de juegos para desarrollar el concepto filosófico de convención. De esta

forma, proporcionó el primer análisis del conocimiento común y lo empleó en

analizar juegos de coordinación. Además, fue el primero en sugerir que se podía

entender el

significado en términos de juegos de señales. Esta sugerencia se ha seguido por

muchos filósofos desde el trabajo de Lewis (Skyrms 1996, Grim et al. 2004).

Leon Henkin, Paul Lorenzen y Jaakko Hintikka iniciaron una aproximación a la

semántica de los lenguajes formales que explica con conceptos de teoría de

juegos los conceptos de verdad lógica, validez y similares. En esta aproximación

los "jugadores" compiten proponiendo cuantificaciones e instancias de oraciones

abiertas; las reglas del juego son las reglas de interpretación de las sentencias en

un modelo, y las estrategias de cada jugador tienen propiedades de las que trata

la teoría semántica –ser dominante si y sólo si las oraciones con que se juega

cumplen determinadas condiciones, etc.-.

En ética, algunos autores han intentado continuar la

idea de Thomas Hobbes de derivar la moral del interés

personal. Dado que juegos como el dilema del

prisionero presentan un conflicto aparente entre la

moralidad y el interés personal, explicar por qué la

cooperación es necesaria para el interés personal es

una componente importante de este proyecto. Esta

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 35

Ciervo Liebre

Ciervo 3, 3 0, 2

Liebre 2, 0 2, 2

La caza del ciervo

estrategia general es un componente de la idea de contrato social en filosofía

política (ejemplos en Gauthier 1987 y Kavka 1986).4

Finalmente, otros autores han intentado usar la teoría evolutiva de juegos para

explicar el nacimiento de las actitudes humanas ante la moralidad y las conductas

animales correspondientes. Estos autores han buscado ejemplos en muchos

juegos, incluyendo el dilema del prisionero, la caza del ciervo, y el juego del trato

de Nash para explicar la razón del surgimiento de las actitudes acerca de la moral

(véase Skyrms 1996, 2004; Sober y Wilson 1999).

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2 36