1. INTRODUCCIN

LaTeoradeJuegossedesarrollcon el simple hecho de que unindividuose relacionara con otro u otros. Hoy en da, es fcil enfrentarse cotidianamente a esta teora, en cualquier momento, tenemos por ejemplo cuando nos inscribimos en un nuevo semestre en launiversidad, cuando la directiva toma la decisin sobre el monto que se va a cobrar, la directiva est realizando unjuegocon susclientes, en este caso los alumnos. Parael hombrela importancia que representa laTeora de Juegoses evidente, pues a diario se enfrenta a mltiples situaciones que son juegos.Actualmente la Teora de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio

2. NTRODUCCIN A LA TEORA DE JUEGOS

Los psiclogos destacan la importancia del juego en lainfanciacomo medio de formar lapersonalidady de aprender de forma experimental a relacionarse ensociedad, a resolverproblemasy situaciones conflictivas. Todos los juegos, deniosy de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, sonmodelosde situaciones conflictivas ycooperativasen las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real.

El estudio de los juegos ha inspirado a cientficos de todos los tiempos para el desarrollo deteorasy modelosmatemticos. Laestadsticaes una rama de lasmatemticasque surgi precisamente de los clculos para disearestrategiasvencedoras en juegos de azar. Conceptos tales comoprobabilidad, media ponderada ydistribucino desviacin estndar, son trminos acuados por la estadsticamatemticay que tienen aplicacin en elanlisisde juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y econmicas en las que hay que adoptar decisiones y asumirriesgosante componentes aleatorios.

Pero la Teora de Juegos tiene una relacin muy lejana con la estadstica. Suobjetivono es el anlisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratgicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones econmicas como en laspolticaso sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjuncin de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamientoque es estratgico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.

La Teora de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticacin matemtica y ha mostrado una gran versatilidad en la resolucin de problemas. Muchos campos de laEconoma(EquilibrioGeneral, Distribucin deCostos, etc.), se han visto beneficiados por las aportaciones de estemtodode anlisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulacin el nmero de cientficos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son slo economistas y matemticos sino socilogos, politlogos, bilogos o psiclogos. Existen tambin aplicaciones jurdicas: asignacin de responsabilidades,adopcinde decisiones de pleitear o conciliacin, etc.Hay dos clases de juegos que plantean una problemtica muy diferente y requieren una forma de anlisis distinta:

1. Si los jugadores pueden comunicarse entre ellos y negociar los resultados se tratar de juegos con transferencia deutilidad(tambin llamados juegos cooperativos), en los que la problemtica se concentra en el anlisis de las posibles coaliciones y su estabilidad.2. En los juegos sin transferencia de utilidad, (tambin llamados juegos no cooperativos) los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos; es el caso de los juegos conocidos como "laguerrade los sexos", el "dilema del prisionero" o elmodelo"halcn-paloma".

3. ORIGEN DE LA TEORIA DE JUEGOS

La Teora de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clsico"The Theory of Games Behavior",publicado en 1944. Otros haban anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya haba puesto los fundamentos en el artculo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareci el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendi cun potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas.Durante las dos dcadas que siguieron a laSegunda Guerra Mundial, uno de los progresos ms interesantes de la Teora Econmica fue la Teora de los Juegos y el comportamiento econmico, publicada en un libro de este titulo bajo laautoridadconjunta de Jhon Von Neumann y Oskar Morgenstern. Actualmente, el consenso parece ser que la Teora de los Juegos es ms relevante al estudio de problemas comerciales especficos que a la teora econmica general, por que representa un enfoque nico al anlisis de las decisiones comerciales en condiciones de intereses competitivos y conflictivos.

En los ltimos aos, sus repercusiones en la teora econmica slo se pueden calificar de explosivas. Todava es necesario, sin embargo, saber algo de la cortahistoriade juegos, aunque slo sea para entender por qu se usan algunos trminos.

4. DONDE SE APLICA LA TEORIA DE JUEGOSLa Teora de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economa es el principalclientepara las ideas producidas por los especialistas en Teora de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicacin de la Teora de Juegos tenemos:

a) En la Economa:No debera sorprender que la Teora de Juegos haya encontrado aplicaciones directas en economa. Esta tristecienciase supone que se ocupa de la distribucin derecursosescasos. Si los recursos son escasos es porque hay ms gente que los quiere de la que puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para un juego. Adems, los economistas neoclsicos adoptaron el supuesto de que la gente actuar racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economa neoclsica no es sino una rama de la Teora de Juegos.

En consecuencia slo se podan analizar juegos particularmente simples. Esto explica por qu elmonopolioy lacompetenciaperfecta se entienden bien, mientras a todas las dems variedades de competencia imperfecta que se dan entre estos dos extremos slo ahora se les est empezando a dar el tratamiento detallado que merecen.

b) En la CienciaPoltica:La Teora de Juegos no ha tenido el mismo impacto en la ciencia poltica que en economa. Tal vez esto se deba a que la gente se conduce menos racionalmente cuando lo que est en juego son ideas que cuando lo que est en juego es sudinero. Sin embargo, se ha convertido en un instrumento importante para clarificar lalgicasubyacente de un cierto nmero de problemas ms paradigmticos.

c) En la Biologa:EnBiologase ha utilizado ampliamente la teora de juegos para comprender y predecir ciertos resultados de laevolucin, como lo es elconceptode estrategia evolutiva estable introducido por John Maynard Smith en suensayo"Teora de Juegos y la Evolucin de la Lucha", as como en su libro"Evolucin y Teora de Juegos".

d) En laFilosofa:Los especialistas en Teora de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qu incluso el individuo ms egosta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus vecinos en una relacin a largo plazo redundar en su propio inters ilustrado. Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repeticin (juegos que los mismos jugadores juegan una y otra vez). Pocas cosas han descubierto en esta rea hasta el presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos aos articul los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, estn ahora firmemente basadas en modelos formales.

5. OBJETIVOS DE LA TEORA DE JUEGOSEl principal objetivo de la teora de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a lasaccionesde jugadores interdependientes.Un juego es cualquier situacin en la cual compiten dos o ms jugadores. El Ajedrez y el Pker son buenos ejemplos, pero tambin lo son el duopolio y eloligopolioen losnegocios. La extensin con que un jugador alcanza susobjetivosen un juego depende del azar, de sus recursos fsicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificacin de laaccinque ha de emprender un jugador en cada contingencia posible del juego.Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y estn bien informados. En particular, se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes, no solo para l, sino tambin para sus rivales, y que cada jugador conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias.Igualmente, en una gran variedad de juegos, el resultado es una variable aleatoria cuya distribucin de probabilidades debe ser establecida para que pueda ser posible una solucin para el juego. A este respecto, debe observarse que las decisiones de los jugadores interdependientes no se toman en un vaco y que los pagos resultantes de estas decisiones dependen de las acciones emprendidas por todos los jugadores. Esta interdependencia implica que puede ser inapropiado suponer que los pagos estn siendo generados por unprocesoprobabilista invariante que no es afectado por el curso de accin que uno escoja. En otras palabras, la accin que emprende un jugador puede dictar los actos de otros jugadores o influir en la probabilidad de que se comporten en una forma particular. Esta potencialidad de posibles efectos en los resultados es la que distingue la toma de decisiones enconflictosy latoma de decisionesen un medio incierto. Laclasems sencilla de modelo de juego rigurosamente adversario, en el que los resultados posibles son calificados en orden opuesto por los jugadores.Entre esta clase, l ms comn es el juego de suma constante, en el que la suma de las ganancias de los jugadores es igual, cualquiera que sea su distribucin entre ellos. Un caso especial, y el nico que consideraremos, de juegos de suma constante se llama juego de suma cero de dos personas.

6. ESTRATEGIAS REACTIVASCuando un juego se repite varias veces, cada jugador puede adoptar su estrategia en funcin de las decisiones que haya adoptado antes su oponente.Las estrategias reactivas son las que se adoptan en los juegos con repeticin y se definen en funcin de las decisiones previas de otros jugadores.El ejemplo ms conocido es la estrategia OJO POR OJO Supongamos que dos jugadores repiten de forma indefinida una situacin con pagos de forma del Dilema del Prisionero:

La estrategia reactiva es la TORITO. Esta estrategia consiste en hacer lo contrario que haga el oponente: "Si el otro jugador es leal en una jugada, yo le traicionar en la siguiente; si el otro jugador me ha traicionado, yo le ser leal a la siguiente oportunidad".En el primer caso son los comportamientos descritos por laLeydel Talin. En el despacho de un abogado, negociador profesional, haba un letrero que deca "Por las buenas soy muy bueno, por las malas soy an mejor". Al fin y al cabo, todos los humanos en alguna ocasin nos hemos comprometido con nosotros mismos a mantener esta estrategia en una situacin difcil en la que un oponente poda elegir entre hacernosdaoo respetarnos, y preveamos oportunidades para "devolverle la jugada".El segundo caso tambin es muy frecuente. Se trata de ese tipo de personas o comportamientos que enLatinoamricallaman "ser un torito" y enEspaa"ser un gallito"; es decir, alguien que semuestramuy agresivo pero al que "se le bajan los humos" si se le responde tambin con agresividad.

7. EL DUOPOLIO EN LA TEORA DE JUEGOS

En el oligopolio, los resultados que obtiene cadaempresadependen no slo de su decisin sino de las decisiones de las competidoras. El problema para elempresario, por tanto, implica una eleccin estratgica que puede ser analizada con lastcnicasde la Teora de Juegos.Supongamos que dosempresas, Hipermercados Xauen yAlmacenesYuste, constituyen un duopolio local en el sector de los grandes almacenes. Cuando llega la poca de las tradicionales rebajas de enero, ambas empresas acostumbran a realizarinversionesenpublicidadtan altas que suelen implicar la prdida de todo el beneficio. Este ao se han puesto de acuerdo y han decidido no hacer publicidad por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede obtener unos beneficios en la temporada de 50 millones. Sin embargo una de ellas puede preparar en secreto su campaa publicitaria y lanzarla en el ltimo momento con lo que conseguira atraer a todos los consumidores. Sus beneficios en ese caso seran de 75 millones mientras quela empresacompetidora perdera 25 millones.

Supongamos ahora otra situacin ligeramente diferente. Si ambas empresas se enredan en una guerra deprecios, haciendo cada vez mayores rebajas, ambas sufrirn importantes prdidas, 25 millones cada una. Han llegado al acuerdo de no hacer rebajas con lo que cada una podr ganar 50 millones. Si una de ellas, incumpliendo el acuerdo, hace en solitario una pequea rebaja, podr obtener un beneficio de 75 millones mientras que la otra perdera muchos clientes quedndose sin beneficios ni prdidas.

El razonamiento de los estrategas ser ahora diferente: "Si nuestros competidores

8. CLASES DE JUEGOS

a) El Dilema del PrisioneroDos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo delbanco,delitocuya pena es diez aos de crcel, pero no tienepruebas. Slo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilcita dearmas, cuyo castigo es de dos aos de crcel. Promete a cada uno de ellos que reducir su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco.Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para acusar al compaero. Llamaremos "traicin" a la estrategia alternativa.Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los aos de crcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente segn las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos.En vez de expresar los pagos en aos de crcel, podramos indicar simplemente el orden de preferencia de cada preso de los correspondientes resultados, con lo que el modelo pasa a tener aplicacin ms general.La aplicacin de la estrategia maximn conduce en este juego a un resultado subptimo. Al no conocer la decisin del otro preso, la estrategia ms segura es traicionar. Si ambos traicionan, el resultado para ambos es peor que si ambos hubieran elegido la lealtad. Este resultado es unpunto de equilibriode Nash y est sealado en la matriz mediante un asterisco.El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula, bipersonal, biestratgico y simtrico. Fue formalizado y analizado por primera vez por A. W. Tucker en 1950. Es posiblemente el juego ms conocido y estudiado en la Teora de Juegos. En base a l se han elaborado multitud de variaciones, muchas de ellas basadas en la repeticin del juego y en el diseo de estrategias reactivas.

b) El modelo Halcn - Paloma Enel lenguajeordinario entendemos por "halcn" a los polticos partidarios de estrategias ms agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los ms pacifistas. El modelo Halcn-Paloma sirve para analizar situaciones deconflictoentre estrategias agresivas y conciliadoras. Este modelo es conocido en laliteraturaanglosajona como el "hawk-dove" o el "chicken" y enespaoles conocido tambin como "gallina".En la filmografa holywoodiense se han representado en varias ocasiones desafos de vehculos enfrentados que siguen este modelo. Los dos vehculos se dirigen uno contra otro en la misma lnea recta y a granvelocidad. El que frene o se desve ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desva...Tambin se ha utilizado este modelo abundantemente para representar unaguerra fraentre dos superpotencias. La estrategia Halcn consiste en este caso en proceder a una escalada armamentstica y blica. Si un jugador mantiene la estrategia Halcn y el otro elige la estrategia Paloma, el Halcn gana y la Paloma pierde. Pero la situacin peor para ambos es cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia Halcn. El resultado puede modelizarse con la siguiente matriz de pagos.

Obsrvense las sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el Dilema del Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han trocado las posiciones de los pagos 3 y 4, pero la solucin y el anlisis son ahora muy diferentes.Hay aqu dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por cada jugador son diferentes; en la matriz aqu representada esas soluciones estn marcadas con un asterisco. Comprubese, por el contrario, que en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash est en el punto en que ambos jugadores traicionan.Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aqu adquiere el orden en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el primero que juega, gana. El primero elegir y manifestar la estrategia Halcn con lo que el segundo en elegir se ver obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala. Juegos con Transferencia de Utilidad (Juegos Cooperativos)Si los jugadores pueden comunicarse entre s y negociar un acuerdo ANTES de los pagos, la problemtica que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalicin de parte de los jugadores, de que esa coalicin sea estable y de cmo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalicin para que ninguno de ellos est interesado en romper la coalicin.Juego 1.- Empecemos con el ejemplo ms sencillo. Supongamos que tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre s cien euros. Elsistemade reparto tiene que ser adoptado democrticamente, por mayora simple, unapersonaun voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres jugadores.Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33.Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50Carmen estar ms interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa an mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solucin. No hay ninguna coalicin estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habr una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayora.Definicin:En los juegos con transferencia de utilidad se llama solucin a una propuesta de coalicin y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalicin vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.

Juegos no cooperativos

Los juegos no cooperativos, tambin llamados juegos sin transferencia de utiidad, son los modelos de la teora de juegos en los que los jugadores no pueden hacer acuerdos previos.

Los juegos no cooperativos que reciben ms atencin de los tericos suelen ser bipersonales, es decir, con slo dos jugadores. Pueden ser simtricos o asimtricos segn que los resultados sean idnticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminucin por igual cuanta en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en funcin de sus decisiones. Cada jugador puede tener opcin slo a dos estrategias, en los juegos biestratgicos, o a muchas. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; stas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repeticin, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser tambin simples o reactivas, si la decisin depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

Los juegos no cooperativos ms estudiados son el 'dilema del prisionero' (Prisoners' Dilemma) y el 'halcn-paloma' (Chicken). Matriz de pagos para juegos bipersonales.En general no es posible saber cul es el pago para el jugador 2 conociendo solamente los pagos del jugador 1. Cuando el juego no es de suma cero una matriz con entradas unidimensionales no puede mostrar toda la informacin sobre los pagos; para lograrlo es necesario introducir un vector bidimensional (que representar el pago para el jugador 1 y 2 respectivamente) en cada entrada de la matriz. En frmulas, esto quiere decir que la matriz de pagos para un juego bipersonal en general est dada por:

Esto es, la entrada i,j ser el vector(a,b), dondeaes el pago para el jugador 1 ybes el pago para el jugador 2 cuando el jugador 1 elige la estrategiaiy el jugador 2 por su parte elige la estrategiaj.EjemploEn el juego de piedra papel o tijera se pueden cambiar los pagos para hacerlo un juego de suma distinta de cero. Supongamos que una persona externa al juego paga una unidad monetaria al ganador, mientras que el perdedor no paga nada. En caso de empate, ninguno de los dos gana nada. Si volvemos a numerar las estrategias piedra, papel y tijera con 1, 2 y 3 respectivamente entonces la matriz de pagos del juego est dada por:

Desde luego, la matriz de pagos de cualquier juego de suma cero puede expresarse del mismo modo, pero en esos casos habr informacin duplicada. En el primer ejemplo la matriz de pago general para juegos bipersonales resultara:

Notese que al ser de suma cero la segunda entrada de cada vector es justamente el inverso aditivo de la primera entrada. De ah que para juegos de suma cero sea suficiente conocer una sola de las componentes y que se elimine la otra.Matriz de pagos para juegos en forma extensivaMuchos de los modelos de la teora de juegos no se pueden expresar como un juego rectangular y es necesario plantearlos como juegos extensivos. En estos casos tambin existe una matriz de pagos asociada al juego y resulta ser la matriz de pagos del juego en suforma normal.

Matrices de pagos y equilibrios de NashEn muchas ocasiones la matriz de pagos de un juego es muy til para calcular susequilibrios de Nashenestrategias puras. En los juegos bipersonales de suma cero los equilibrios de Nash (si existen) se encuentran buscando entradas que sean puntos silla de la matriz de pagos. Intuitivamente, un punto silla de una matriz es aquella entrada que sea al mismo tiempo la menor de su rengln y la mayor de su columna.Para el caso de juegos rectangulares bipersonales de suma ditinta de cero, los equilibrios de Nash se suelen encontrar por simple inspeccin de la matriz recordando la definicin de equilibrio de Nash.EjemplosPiedra, papel o tijera.Consideremos nuevamente el juego de piedra, papel o tijera en su forma de suma cero. En este caso el juego no tiene equilibrios de Nash en estrategias puras, pues su matriz de pagos no tiene una entrada que sea simultneamente la menor de su rengln y la mayor de su columna.

Dilema del prisionero.Consideremos eldilema del prisionero, con dos estrategias cada uno (confesar (1)yno confesar (2)en ambos casos) y pagos dados por la matriz de pagos:

Las entradas representan el nmero de aos de carcel que recibir cada preso de acuerdo a la estrategia que hayan elegido por separado. Es claro que cada preso busca quedarse el menor tiempo en la crcel y por lo tanto su objetivo es minimizar los pagos dados por la matriz. Notemos que el pago por la estrategia (confesar, confesar) (representado por la entrada 2,2 en la matriz) es un equilibrio de Nash, pues ningn jugador puede mejorar su pago cambiando su estrategia mientras el otro mantenga la suya.

CONCLUSIONES

Algunas teoras buscan encontrar las estrategias racionales, que se utilizan en situaciones donde el resultado depende no solamente de las estrategias propias y las condiciones del entorno, sino tambin en las estrategias utilizadas por otros jugadores que posiblemente tienen objetivos distintos.

La Teora de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratgicas. La intuicin no educada no es muy fiable en situaciones estratgicas, razn por la que se debe entrenar. La Teora de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, entre las disciplinas tenemos: la Economa, laCienciasPolticas, la Biologa y la Filosofa.

Hay dos tipos de respuesta, la del tipo educativo, en la cual los jugadores suponen que tienen al equilibrio como el resultado de razonar cuidadosamente, y un segundo tipo de respuestas, las evolutivas, segn stas, el equilibrio se consigue, no porque los jugadores piensan todo de antemano, sino como consecuencia de que los jugadores miopes ajustan su conducta por tanteo cuando juegan y se repiten durante largos perodos de tiempo.