trabajo de grado - javeriana

Trabajo de Grado

Optimización de pórticos planos en acero utilizando un algoritmo PSO auto adaptado

Autores:

Luis Carlos Cely Engativa

Carlos Alberto Coll Cristancho

Director:

Jesus Daniel Villalba Ingeniero civil., M.Sc., D.Sc.

Pontificia universidad Javeriana

Facultad de ingeniería

Carrera ingeniería civil

Bogotá D.C Enero de 2016

3

Tabla de contenidos__________________________________

Resumen…………………………………………………………………………………….…13

Abstract………………………………………………………………………………………..15

1. Introducción…………………………………………………………………………………..17

1.1. Justificación……………………………………………………………..………..20

1.2. Objetivos……………………………………………………………………..….23

2. Marco teórico……………………………………………………………………………..….25

2.1. Análisis y diseño estructural……………………………………………………..……25

2.2. Método matricial de rigidez……………………………………………………..…….25

2.3. Metodología de diseño por factores de carga y resistencia (LRFD)………..…...............28

2.3.1. Estados límites de resistencia……………………………………………....……...30

2.3.2. Compresión……………………………………………………………....……….30

2.3.2.1. Pandeo por flexión(PF)……………………………………….……...……32

2.3.2.2. Pandeo por torsión(PT)……………………………………..…………..…32

2.3.3. Flexión…………………………………………………………...…………..……33

2.3.3.1. Estado limite fluencia por flexión(F)…………………………………..…..34

2.3.3.2. Estado limite pandeo lateral-torsional (PLT)……………...…………….....34

2.3.4. Flexo-Compresión……………………………………………………………..….35

2.3.5. Cortante……………………………………………………………….………..…36

2.4. Principios de optimización …………………………………………………………....36

2.5. Particle Swarm Optimization (PSO)……………………………………………….......37

2.5.1. Ecuaciones para actualizar velocidades y posiciones……………………………….38

2.6. Adaptive Particle Swarm Optimization (APSO)……………………………………….39

4

3. Metodología………………………………………………………………………………...43

3.1. Variables de diseño…………………………………………………………………44

3.2. Función objetivo……………………………………………………………………44

3.3. Restricciones…………….…………………………………………………………..45

3.4. Algoritmo optimización………………………………………………………..…….48

3.5. Análisis matricial……………………………………………………………………..49

3.6. Acople del algoritmo…………………………………………………………………50

4. Ejemplos numéricos…………………………………… …………………………………....53

4.1. Resultados………………………………………………………………………………..53

4.2. Análisis de resultados…………………………………………………………………….65

4.3. Convergencia y variables del algoritmo…………………………………………………....67

5. Conclusiones………………………………………………………………………………….73

6. Bibliografía……………………………………………………………………………………75

7. Anexos………………………………………………………………………………………...77

5

Lista de figuras

Figura 1. Matriz rigidez elemento viga

Figura 2. Matriz rigidez elemento columna

Figura 3. Descripción movimiento de partículas (Blondin, 2009)

Figura 4. Diagrama de flujo del (APSO) de optimización (Zhan, 2009)

Figura 5. Geometría viga-columna (E. Dogan, M.P. Saka, 2012)

Figura 6. Diagrama de acople programa de análisis con algoritmo APSO

Figura 7. Descripción gráfica del pórtico de tres elementos

Figura 8. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de tres

elementos

Figura 9. Descripción gráfica del pórtico de seis elementos

Figura 10. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de seis

elementos

Figura 11. Descripción gráfica del pórtico de nueve elementos

Figura 12. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de nueve

elementos

Figura 13. Descripción gráfica del pórtico de quince elementos

Figura 14. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de quince

elementos

6


Figura 16. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de treinta

elementos

Figura 17. Descripción gráfica del pórtico de treinta y cinco elementos

Figura 18. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de treinta y

cinco elementos

Figura 19. Descripción gráfica del pórtico de cuarenta y dos elementos

Figura 20. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de cuarenta y

dos elementos


Figura 22. Grafica de relación de pesos y número de partículas para el pórtico de cincuenta

elementos

Figura 23. Relación número de partículas óptimo dependiendo del número de elementos

Figura 24. Relación número de partículas óptimo dependiendo del número de grupos

Figura 25. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Figura 26. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Figura 27. W vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Figura 28. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

Figura 29. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

Figura 30. W vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

7

Figura 31. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

Figura 32. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

Figura 33. W vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

8

Lista de tablas

Tabla 1. Glosario de variables metodología LRFD

Tabla 2. Estrategia de control de c1 y c2 (Zhan, 2009)

Tabla 3. Resumen de resultados obtenidos

Tabla 4. Resultados obtenidos pórtico tres elementos

Tabla 5. Resultados obtenidos pórtico seis elementos

Tabla 6. Resultados obtenidos pórtico nueve elementos

Tabla 7. Resultados obtenidos pórtico quince elementos

Tabla 8. Resultados obtenidos pórtico treinta elementos

Tabla 9. Resultados obtenidos pórtico treinta y cinco elementos

Tabla 10. Resultados obtenidos pórtico cuarenta y dos elementos

Tabla 11. Resultados obtenidos pórtico cincuenta elementos

Tabla 12. Numero de partículas óptimo dependiendo del número de elementos

Tabla 13. Numero de partículas óptimo dependiendo del número de grupos

9

Lista de ecuaciones

Ecuación 1. Ecuación de equilibrio

Ecuación 2. Ley de Hook

Ecuación 3. Fuerza en un nodo

Ecuación 4. Diseño para Estados Límite de Resistencia

Ecuación 5. Resistencia nominal fuerza a compresión

Ecuación 6. Esbeltez local aleta

Ecuación 7. Esbeltez local aleta

Ecuación 8. Esbeltez local alma

Ecuación 9. Esbeltez local alma

Ecuación 10. Esbeltez en longitud

Ecuación 11. Primera condición geométrica caso 1 pandeo por flexión

Ecuación 12. Segunda condición geométrica caso 1 pandeo por flexión

Ecuación 13. Esfuerzo pandeo elástico

Ecuación 14. Esfuerzo de pandeo por flexión caso 1

Ecuación 15. Esfuerzo de pandeo por flexión caso 2

Ecuación 16. Primera condición geométrica caso 2 pandeo por flexión

Ecuación 17. Segunda condición geométrica caso 2 pandeo por flexión

10

Ecuación 18. Esfuerzo pandeo elástico para pandeo por torsión

Ecuación 19. Esfuerzo crítico pandeo torsión

Ecuación 20. Límite de esbeltez para una aleta compacta

Ecuación 21. Límite de esbeltez para un alma compacta

Ecuación 22. Parámetro de esbeltez límite para el alma de un elemento compacto

Ecuación 23. Relación altura espesor

Ecuación 25. Resistencia nominal estado limite fluencia por flexión

Ecuación 26. Ecuación límite de longitud Lp

Ecuación 27. Ecuación límite de longitud Lr

Ecuación 28. Radio efectivo de giro usado en el cálculo de Lr

Ecuación 29. Resistencia nominal a flexión caso (b) estado limite pandeo lateral torsional

Ecuación 30. Resistencia nominal a flexión caso (c) estado limite pandeo lateral torsional

Ecuación 31. Esfuerzo crítico pandeo lateral torsional

Ecuación 32. Momento nominal final pandeo lateral torsional

Ecuación 33. Flexo-compresión caso (1)

Ecuación 34. Flexo-compresión caso (2)

Ecuación 35. Resistencia nominal fuerza cortante

Ecuación 36. Resistencia nominal fuerza cortante reducida

11

Ecuación 37. Condición para almas de miembros de perfiles laminados para el cálculo de

Cv

Ecuación 38. Actualización velocidad partículas PSO

Ecuación 39. Actualización de posición partículas PSO

Ecuación 40. Distancia entre partículas

Ecuación 41. Calculo parámetro adaptivo peso inercial partícula

Ecuación 42. Función objetivo

Ecuación 43. Restricción de diseño estructural para cortante

Ecuación 44. Restricción de diseño estructural para flexión

Ecuación 45. Restricción de diseño estructural para compresión

Ecuación 46. Restricción de diseño estructural para flexo compresión

Ecuación 47. Restricción de diseño estructural para deriva

Ecuación 48. Restricción de proceso constructivo para columnas subsecuentes

Ecuación 49. Restricción de proceso constructivo para columnas subsecuentes

Ecuación 50. Condición primera penalización

Ecuación 51. Primera penalización

Ecuación 52. Penalización de la función objetivo con respecto al número de restricciones

violadas.

13

RESUMEN_________________________________________

En la ingeniería estructural lo primordial es definir los elementos adecuados para la configuración de

una estructura en particular, buscando que estos elementos cumplan con las solicitaciones de

resistencias, deformaciones y rigidez. Desde el año 1900 se ha venido investigando la optimización

de estructuras por diferentes autores, en las últimas décadas se han cambiado las metodologías

tradicionales por numerosos algoritmos de optimización basados en técnicas metaheurísticas los

cuales sirven como herramienta para solucionar problemas en diferentes campos. En el presente

trabajo se propondrá una metodología de optimización para el diseño estructural de pórticos en

acero planos, la cual será orientada específicamente a minimizar el peso de los perfiles de acero

estructurales tipo w con ayuda del algoritmo “Adaptive Particle Swarm Optimizaction” (APSO).

Adicionalmente se determinara si existe una relación entre el número de partículas (N) y el número

de elementos a utilizar para la configuración de los pórticos para generar un algoritmo auto adaptado

total.

Palabras clave: Optimización, estructuras, Adaptive Particle Swar Optimization, algoritmo, pórticos

planos de acero, auto-adaptado

15

ABSTRACT_________________________________________

In the structural engineering the main idea is to define the appropriate elements for the configuration

of any structure, looking for these elements that satisfy the requirements of resistances, deformations

and stiffness. Since de year 1900 it has been developed many different ways to do the process of

optimization in structures by many authors, in last decades the traditional methodologies have

changed and they have been replaced by numerous algorithms of optimization based on

metaheuristics techniques which serve as tool to solve problems in different fields. In the present

document a methodology of optimization will be proposed for the structural design of gantry flat

steel structures, Which will be orientated to minimize specifically the weight of the Steel frames W-

sections, using the algorithm Adaptive Particle Swarm Optimization (APSO), also the relation

between the number of particles (N) and the number of elements will be determined to make an

algorithm completely self-configured.

Keywords: optimization, structures, Adaptive Particle Swarm Optimization, algorithm, gantry flat

steel structures, self-adaptive

17

1. INTRODUCCION_______________________________

En la ingeniería estructural se pueden relacionar directamente los costos totales de los proyectos

con el tamaño y material de los elementos a utilizar para la configuración de una estructura en

particular. Teniendo en cuenta esto, es importante comenzar a implementar alternativas de diseño

utilizando procesos de optimización en los cuales los elementos utilizados cumplan con las

solicitaciones de resistencias, deformaciones y rigidez. Por esta razón, en las últimas décadas se han

propuesto numerosos algoritmos de optimización que sirven como herramienta para solucionar

problemas en diferentes campos. El proceso de optimización estructural en el presente trabajo será

orientado específicamente a minimizar el peso de los perfiles de acero estructurales tipo w

comerciales en Estados unidos utilizados para sistemas de pórticos planos.

La optimización de estructuras ha sido una disciplina ampliamente estudiada por numerosos

investigadores desde principios del siglo 20. Uno de los primeros trabajos relacionado con este tema

fue el libro titulado “The limits of economy of material in frame-structures (Michell, 1904). En este, se

implementó el criterio de optimización para reducción en el peso cerchas con restricciones de

esfuerzos y un tipo de condición única de carga, convirtiéndose en uno de los pioneros en la

implementación de la optimización en estructuras.

En estas últimas décadas se han empezado a implementar diferentes algoritmos optimizadores

basados en técnicas metaheuristicas los cuales se basan en principios heurísticos que según Zanakins

y Evans, 1981, “la heurística son procedimientos simples, a menudo basados en el sentido común, que se supone que

ofrecerá una buena solución (no necesariamente la óptima) a problemas difíciles de un modo fácil y rápido”. Las

técnicas metaheuristicas son procedimientos de búsqueda que tampoco garantizan el valor más

óptimo del problema considerado y que también se basan en la aplicación de reglas relativamente

sencillas, pero a diferencia de los heurísticos, las técnicas metaheuristicas tratan de evitar estancarse

18

en óptimos locales orientando la búsqueda en cada momento dependiendo de la evolución del

proceso en que se encuentre. Un ejemplo de algoritmos que usan las técnicas metaheuristicas son el

algoritmo genético (GA) y el algoritmo de Harmony search (HS), los cuales han venido siendo

investigados y aplicados en diferentes campos como la física, química economía y la ingeniería

estructural ya que han demostrado buenos resultados y fácil adaptación para diferentes enfoques y

objetivos con costos computacionales reducidos. Entre estos algoritmos se encuentra el algoritmo de

optimización llamado “Adaptive particle swarm optimization” (APSO), propuesto por Zhan, et al

en el año 2009 el cual realizó modificaciones con respecto a algunos parámetros del algoritmo para

mejorar los procesos generando que estos fueran evolucionarios dependiendo del estado de

búsqueda en el que se encuentre, demostrando con esto una mejor exploración en el espacio

multidimensional de búsqueda obteniendo mejores convergencias y por ende resultados, y eficiencia.

El PSO fue presentado por primera vez en 1995 por Kennedy & Eberhart, esta técnica está basada

en la interacción social de algunas especies y en cómo resuelven situaciones diarias en su habitad,

entre ellas aves, peces e insectos; Es una de las metodologías de enjambres inteligentes más

implementada en diferentes áreas, demostrando una gran capacidad de adaptación e implementación

para diferentes problemáticas de la vida real que requieran optimización. Este algoritmo realiza un

sistema de búsqueda implementando individuos los cuales son representados como partículas los

cuales se mueven en un espacio de búsqueda, donde los movimientos futuros de los individuos

están afectada por una velocidad la cual a su vez es influenciada por el conocimiento particular de

cada uno de los individuos, el conocimiento y la comunicación global de la población sobre la

exploración de su espacio de búsqueda.

En el presente trabajo se propondrá una metodología de diseño estructural para pórticos planos en

acero, por medio de un programa de análisis y diseño estructural funcionando conjuntamente con el

algoritmo optimizador APSO nombrado anteriormente con un auto adaptado total refiriéndose a

19

encontrar si existe una relación entre el número de elementos que conforman la estructura y el

número de partículas que usa el algoritmo para cualquier configuración de pórticos mejorando la

eficiencia y el rendimiento, reduciendo el costo computacional del programa buscando obtener de

forma iterativa y con una búsqueda inteligente la configuración óptima y a la vez segura para

cualquier tipo de pórticos, todo con el fin de tener estructuras más livianas, eficientes y seguras con

un menor costo de ejecución de obra.

1.1. Justificación

La economía es un factor importante en cada obra de ingeniería civil siendo el peso de la estructura

el que determina gran parte del presupuesto total de la obra. Al tener una estructura robusta y

pesada se necesita una mayor cantidad de materiales para su construcción y también esta deberá

tener una cimentación acorde a su tamaño para poder soportar las cargas que debe transmitir al

suelo esta estructura.

Existen diferentes métodos de optimización los cuales pueden ser de tipo determinístico o

heurístico, esto depende de los criterios que se usen para la determinación de la mejor solución del

problema. Los métodos heurísticos, han tomado fuerza a nivel investigativo ya que permite

encontrar soluciones simplificadas a problemas complejos.

Se han realizado numerosos estudios a nivel internacional relacionados con la optimización de

estructuras y específicamente de sistemas a porticados en acero, donde aplican los algoritmos

metaheurísticos con el objetivo principal de minimizar el peso total de la estructura. Entre estos

encontramos (E. Dogan, M.P. Saka, 2012) utilizando el PSO, (D. Safari, 2011)usando el (GA) y

(Saka, 2009) con el (HS), mientras que estudios como los de (Zhan, 2009) y (Yang, 2010) usaron un

PSO modificado, demostrando mejores resultados en la convergencia ya que se piensa que el PSO

estándar pude quedar fácilmente atrapado en un valor local óptimo cuando se resuelven problemas

20

multimodales complejos, por ende evadir el valor local optimo y la velocidad acelerada de

convergencia se han vuelto los principales metas de modificación en el PSO estándar.

La optimización en el diseño de estructuras metálicas es requerida en Colombia para volver más

viable esta alternativa de construcción ya que los perfiles de acero en el país son muy costosos y

muchas veces se descarta esta metodología por esta razón.

Para que esta metodología de construcción sea una alternativa más funcional, eficiente y económica

en comparación con otros métodos de construcción, es necesario abordarla no solo desde la parte

netamente teórica en el diseño, sino que es fundamental optimizar los procesos y metodologías, y así

que la construcción en acero sea más competitiva a nivel nacional e internacional; Para poder lograr

esto, el proceso de optimización debe empezar desde la parte del diseño estructural, esta es la etapa

crucial donde se realizan las definiciones más importantes ya que se dimensionan los perfiles que van

a ser utilizados para soportar las cargas solicitadas, si este proceso se logra optimizar garantizando su

funcionalidad, operatividad y seguridad, se obtendrán estructuras más livianas que cumplan con los

requisitos sismo resistentes.

El presente trabajo de investigación está orientado a optimizar las metodologías del diseño

estructural de los pórticos en acero a nivel funcional y operativo, desarrollando una metodología de

optimización basada en los fundamentos de un algoritmo metaheuristico (APSO), con la cual se

busca obtener el mejor conjunto de perfiles para un pórtico plano en relación a las solicitaciones de

carga que actúan sobre la estructura buscando minimizar el peso total de la estructura.

Se garantizara que el programa obtendrá la mejor configuración de perfiles que cumplan con las

solicitaciones, restricciones y desplazamientos permitidos para el diseño estructural con base en la

NSR-10 título F, razón por la cual se verá un mejoramiento en el proceso de diseño estructural lo

que se traduce en una reducción de material y por ende del costo total de la estructura.

21

Finalmente en la documentación revisada se encontró una brecha en la escogencia de número de

partículas utilizadas para el sistema de búsqueda tanto ya que estas varian según el autor, siendo

escogidas en algunos casos de manera aleatoria sin especificar la razón de la utilización de este

número como se puede evidenciar en el trabajo de (E. Dogan, M.P. Saka, 2012)y (Wang, 2011) , por

esta razón en el presente trabajo se buscara encontrar si existe una relación entre el número de

partículas y el número de elementos que conforman los pórticos, con esta relación, se generara un

programa auto adaptado total mejorando su eficiencia para su implementación y reduciendo costos

computacionales, también ayudara a que el usuario que no tenga un conocimiento previo del

funcionamiento del algoritmos pueda utilizarlo fácilmente sin tener que modificar nada de sus

parámetros de funcionamiento.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Desarrollar una metodología para la optimización de pórticos planos en acero basada en el

algoritmo PSO

1.2.2. Objetivos específicos

Formular el problema de optimización asociado a pórticos planos en acero

Acoplar el algoritmo de optimización con el programa de análisis estructural

Determinar si existe una relación entre el número de elementos que conforman el pórtico y el

número de partículas (N) que utiliza el algoritmo PSO

23

2. MARCO TEORICO______________________________

2.1. Análisis y diseño estructural

En el diseño estructural lo fundamental es la búsqueda de secciones adecuadas para cada miembro

de la estructura, ya sea un elemento viga o columna, con el fin de aprovechar de la mejor manera

posible los recursos disponibles. Estos elementos están sometidos a diferentes solicitaciones de

carga, esfuerzos y deformaciones que ocasionan las fuerzas externas impuestas y generadas por su

peso propio. Para el presente trabajo las restricciones de diseño estructural fueron determinadas con

base en la normativa o código sismo resistente colombiana del 2010 (nsr-10) título F el cual hace

referencia a las estructuras metálicas.

2.2. Método Matricial de rigidez

El método matricial de rigidez consiste en describir matemáticamente una estructura continua por

medio de un modelo matemático discreto con múltiples ecuaciones simultáneas, concentrando la

masa de los elementos estructurales en los nodos.

En este método se realizan unas hipótesis básicas: se asume que el comportamiento de la estructura y

los materiales es lineal, materiales homogéneos e isotrópicos. Se realizan estas hipótesis para la

formulación de la ecuación de equilibrio la cual es usada para cualquier elemento, sección, nodos,

barra y conjunto (Ec. 1), la ecuación de compatibilidad del problema para los elementos de la

estructura y las condiciones de contorno y por último la ley de comportamiento o ley de Hook (Ec.

2) que relaciona las tensiones con las deformaciones (Datum, 2014).

24

Lo principal es asignar a cada elemento una matriz de rigidez local para cada elemento, que

dependerá de sus condiciones de conexión con los otros elementos por ejemplo si es una

articulación o un nodo rígido, la forma de la barra, si esta es curva o recta y las condiciones elásticas

del material que conforman los elementos, para cada tipo de elemento existe una matriz particular,

para este caso que son elementos de barra se tienen dos tipos de matrices (Figura1). De igual forma

con las fuerzas aplicadas sobre cada elemento se construye el vector de fuerzas nodales que

dependen de las fuerzas externas.

Después de asignar una matriz de rigidez (K) a cada elemento que conforma la estructura, se

relacionan los desplazamientos (d) de los nodos con las fuerzas externas (F) necesarias para generar

estos. La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los

nodos de la estructura mediante la siguiente ecuación:

Figura 1. Matriz rigidez elemento viga

25

A partir de este conjunto de matrices se procede a ensamblar la matriz global del sistema la cual

relaciona la conectividad de los elementos con otras, también relacionando las fuerzas aplicados a los

nodos con los desplazamientos.

Finalmente, se construye un sistema de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas, el

número de incógnitas dependen del número de nodos, el cual es de 3N para problemas de pórticos

en 2D. Este sistema puede ser dividido en dos sistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:

Sistema 1: agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que solo contiene

desplazamientos como incógnita.

Sistema 2: agrupa las ecuaciones restantes, una vez resuelto el sistema 1 después de ser

subsistido sus valores en el sistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones como

incógnitas restantes.

Una vez resuelto el sistema 1 que encuentra los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el

sistema 2. Finalmente, a partir de las ecuaciones, desplazamientos y fuerzas nodales se encuentran los

esfuerzos en los nodos de las barras a partir de las cuales pueden conocerse los esfuerzos internos en

los elementos en cualquier punto de la estructura.

Figura 2. Matriz rigidez elemento columna

26

2.3. Metodología de diseño por factores de carga y resistencia (LRFD)

Glosario de variables:

Para un mejor entendimiento se presenta un glosario en (Tabla 1) con las variables utilizadas en las

ecuaciones de esta metodología de diseño con una breve descripción de estas, entre ellas,

propiedades geométricas de los perfiles, resistencias y esfuerzos.

Variable Descripción

Ru Resistencia requerida

Rn Resistencia nominal

F Factor de reducción

FRn Resistencia de diseño

Pu Resistencia requerida carga axial

Pn Resistencia nominal carga axial

Fcr Esfuerzo critico

Ag Área bruta

b Base

h Altura

tw Espesor alma

Pn Resistencia nominal a la compresión

Fcr Esfuerzo critico de pandeo

Ag Área bruta de la sección

E Módulo de elasticidad de acero (200GPa)

Fy Esfuerzo de fluencia del acero

Fe Esfuerzo critico de pandeo elástico

Cw constante de alabeo (6.95*?10?^10)

G modulo elasticidad al corte del acero

Kz 1.0

Zx modulo plástico de la sección alrededor del eje x (mm3)

Lb longitud viga o longitud comprendida entre dos puntos que están arriostrados

Lr limite longitud

C 1 para perfiles en I

J constante torsional (mm4)

Sx modulo elástico sección alrededor del eje x (mm3)

ho distancia entre centroides de aletas (mm)

Cv 1.0

Aw área del alma (mm2) D*tw

Tabla 1. Glosario de variables metodología LRFD

27

El LRFD (Load and Resistance Factor Design) que en español traduce a diseño por factores de carga

y resistencia es una de las principales metodologías para el cálculo de estructuras metálicas. Este

método se basa particularmente en el criterio de los estados límites, los cuales se refieren a las

capacidades de la estructura o los elementos que dejan de cumplir la función para la cual fue

diseñada. Es la metodología de diseño por la cual se rigen el titulo F de la NSR-10 colombiana.

Existen dos tipos de estados límites:

Estados límites de servicio: es el comportamiento de la estructura debido a cargas

normales de servicio e implica el control de las deflexiones, vibraciones y deformaciones

permanentes

Estados límites de resistencia: se basa en la seguridad o en cuanto resiste la estructura

incluyendo las resistencias plásticas, de pandeo, fractura de un miembro a tracción, de fatiga, etc.

Siguiendo el criterio de estados limites, una estructura debe ser capaz de resistir las cargas de servicio

y diseño de manera que se cumplan los requisitos de funcionalidad para la cual fue construida. El

método LRFD es aplicado a cada estado limite y el diseñador no tiene que utilizar datos estadístico,

sino debe seguir reglas establecidas para la determinación de resistencias y usar diversos factores de

carga y su respectiva verificación del diseño se lo realiza de la siguiente forma:

2.3.1. Estados límites de resistencia

Las verificaciones que realizaron con base en la norma sismo resistente nsr-10 título F (AIS, 2010)

las cuales son las siguientes:

28

2.3.2. Compresión

La compresión es revisada en los elementos que están sometidos a fuerzas axiales, para este caso de

estudio los elementos sometidos a estas cargas son únicamente las columnas.

Para la resistencia a compresión primero se debe determinar si el elemento es con elementos esbeltos

o no esbeltos, luego se procede a determinar los estados limites, si es con elementos no esbeltos se

revisa pandeo por flexión (PF) y pandeo por torsión (PT), si el elemento es esbelto se revisan los

estados limites PF, PT y pandeo local (PL).

Esbeltez local

La esbeltez local de los elementos debe evaluarse para el alma y la aleta del perfil.

Aleta

Aleta no esbelta (Ec. 6)

Aleta esbelta (Ec. 7)

Alma

Alma no esbelta (Ec. 8)

Alma esbelta (Ec. 9)

29

Si el alma y la aleta son no esbeltas, el elemento será no esbelto, de lo contrario si alguno de ellos es

esbelto el elemento será no esbelto.

Esbeltez en longitud

La esbeltez en longitud se evalúa con la siguiente ecuación.

No esbelto en longitud (Ec. 10)

2.3.2.1. Pandeo por flexión (PF)

El pandeo generado por los esfuerzos de flexión se debe calcular con las siguientes ecuaciones

dependiendo del caso que se determine por las condiciones geométricas del perfil.

Caso 1

Cuando ó

Caso 2

Cuando ó

30

2.3.2.2. Pandeo torsión (PT)

El estado límite de resistencia, correspondiente al pandeo por esfuerzos de torsión, se calcula con la

siguiente ecuación. Para este caso de estudio, los perfiles cumplen con la característica de ser

elementos de simetría doble.

2.3.3. Flexión

Para encontrar la resistencia máxima a flexión de los elementos, se deben revisar los valores límites

de la relación ancho espesor para los elementos tanto del alma como de la aleta.

Aleta

Alma

31

Si el alma y la aleta las dos son compactas, el elemento es compacto, de lo contrario si alguno de los

dos es no compacto el elemento será no compacto.

Si el elemento es compacto en la aleta y el alma se debe revisar los estados límites de fluencia por

flexión (F) y estado límite de pandeo lateral torsional (PLT)

2.3.3.1. Estado limite fluencia por flexión (F)

Después de haber realizado la evaluación de la esbeltez de los elementos del pórtico, se obtiene el

momento que resiste cada elemento con la siguiente ecuación.

2.3.3.2. Estado limite pandeo lateral-torsional (PLT)

Para poder calcular el pandeo lateral torsional se deben encontrar primero las variables (esta

propiedad geométrica del perfil se encuentra en la base de datos utilizada sin embargo se presenta la

ecuación como se debe calcular), Lp y Lr; Con estas variables es posible conocer que caso de los

presentados a continuación es el que se cumple para así calcular el momento nominal que resiste

cada elemento.

32

En este estado límite se deben revisar tres casos para poder calcular el momento nominal con la

ecuación adecuada, estos casos son presentados a continuación.

(a) Si

(b) Si

(c) Si

2.3.4. Flexo-compresión

Este estado límite de resistencia es de gran importancia ya que en este se puede observar que tanto

está trabajando el elemento con respecto a la resistencia nominal de estos dos esfuerzos combinados

(flexión y compresión). Si la sumatoria de las fuerzas actuantes sobre el perfil es igual a 1.0, este

elemento estaría trabajando al 100%

33

Para caso (1)

Para caso (2)

2.3.5. Cortante

Las ecuaciones utilizadas para saber el cortante nominal de los elementos las determinan las

características geométricas y mecánicas del perfil como puede ser observado en las siguientes

ecuaciones:

2.4. Principios de Optimización

Desde los inicios de la historia humana, el hombre siempre se ha enfrentado a situaciones donde

requiere la selección de una alternativa entre varias opciones, esto con el fin de solucionar una

problemática en particular. No obstante, en algunos casos no basta con elegir una alternativa que

cumpla simplemente con lo requerido, sino se hace necesario escoger la mejor de todas las opciones

posibles, o la que requiere menos recursos para obtener un resultado.

34

Por esta razón, surge el concepto de la optimización que se refiere al mecanismo de buscar valores

máximos y mínimos de una función o proceso buscando el mejor elemento de un conjunto de

posibles soluciones. Para esto se deben emplear métodos de optimización que permitan conocer los

mejores candidatos de solución entre un conjunto de variables.

2.5. Particle Swarm Optimization (PSO)

Entre los algoritmos de optimización está el “particle swarm optimization” (PSO), el cual fue

presentado por (Kennedy & Eberhart) por primera vez en 1995. El PSO es un algoritmo basado en

la interacción social de algunas especies como aves, peces e insectos, y en cómo resuelven situaciones

diarias en su habitad. El enjambre (swarm) será representado por un (N) número de partículas que

estarán moviéndose en un espacio multidimensional. El proceso de búsqueda consiste en que cada

posición de la partícula representa un posible candidato de solución y en cada iteración las partículas

moviéndose de una posición a otra, gracias a la velocidad de cada partícula que le indicará a la

partícula hacia donde debe moverse y se generará una nueva posición, acorde a los conocimientos de

la partícula (Pbest) y el conocimiento global del enjambre (Gbest). Además, el proceso es controlado

por cuatro parámetros: el peso (W), parámetro cognitivo (C1) y parámetro social (C2) y el número de

partículas (N). Estos parámetros no necesariamente son constantes durante todo el proceso sino que

pueden variar.

El algoritmo se puede describir en los siguientes pasos:

Definir un número N de partículas para la población

Definir las posiciones y velocidades iniciales

35

Evaluar la calidad de la solución correspondiente a cada partícula

Determinar el Pbest para cada partícula

Determinar el Gbest

Modificar velocidades y posiciones para cada partícula

Verificar criterios de parada, si no ir al paso de evaluar la calidad de la solución

correspondiente a cada partícula

2.5.1. Ecuaciones para actualizar velocidades y posiciones:

La posición y velocidad de las partículas se ven afectadas por los parámetros cognitivos mencionados

anteriormente, en la Figura 3 se presenta la descripción de cómo se mueven las partículas al cambiar

su velocidad en el espacio de búsqueda.

Figura 3. Descripción movimiento de partículas (Blondin, 2009)

36

Dónde:

W=factor de peso inercial

C1=parámetro cognitivo

C2=parámetro social

r= numero aleatorio (0-1)

Pbest= mejor solución partícula

Gbest= mejor solución del enjambre

2.6. Adaptive Particle Swarm Optimization (APSO)

El PSO estándar puede quedar fácilmente atrapado en un valor local óptimo cuando se resuelven

problemas multimodales complejos, por ende evadir el valor local óptimo y la velocidad acelerada de

convergencia se han vuelto las principales metas de corrección en el PSO estándar. Para lograr estas

dos metas, se debe controlar sistemáticamente los parámetros del algoritmo como el del peso inercial

y los coeficientes de aceleración y también se necesita añadir unos operadores auxiliares de búsqueda.

La auto adaptación que se realizó en el APSO fueron los parámetro peso inercial (w), y los

coeficientes de aceleración de auto cognitivo (c1) y el de influencia social (c2) los cuales dependerán

del estado de búsqueda en el que se encuentran las partículas en los diferentes, como se muestra en

la (Figura. 4) exploración (a), explotación (b), salto (d, e) y convergencia (f)

37

Figura 4. Diagrama de flujo del (APSO) de optimización (Zhan, 2009)

38

La Figura 4 ilustra el funcionamiento del algoritmo optimizador mostrando en la etapa donde se

estiman los parámetros evolucionarios, que dependen del valor de f, se determina el estado

correspondiente mediante lógica difusa y a partir del estado evolucionario del proceso se calculan los

nuevos valores w, c1 y c2. Las adaptaciones que se realizaron para con este fin son las siguientes:

Adaptación para el peso inercial (w): El peso inercial en el PSO es usado para balancear

las habilidades de búsqueda global y local, varias investigaciones han demostrado que el valor de w

debe ser alto en la etapa de exploración y pequeño en la etapa de explotación. El factor evolucionario

f comparte algunas características con el w, por esto f es también relativamente grande durante el

estado de exploración y se vuelve relativamente pequeño en el estado de convergencia, por esto sería

beneficioso permitir a w que siga el estado evolucionario usando la siguiente ecuación:

Control de los coeficientes de aceleración (C1, C2): estos dos son dos diferentes

mecanismos de aprendizaje y deben ser modificados por separado dependiendo del estado de

búsqueda en el que se encuentre la población, la estrategia a utilizar para cada estado de búsqueda se

muestra en la (Figura. 5) donde se puede ver el comportamiento a seguir de los parámetros c1 y c2

acorde al estado de búsqueda en el que estén.

Estado Estrategia C1 C2

Exploración 1 Incrementa Disminuye

Explotación 2 Incrementa ligeramente Disminuye ligeramente

Convergencia 3 Incrementa ligeramente Incrementa ligeramente

"Jumping-out" 4 Disminuye Incrementa

Tabla 2. Estrategia de control de c1 y c2 (Zhan, 2009)

39

3. METODOLOGIA________________________________

En el presente capítulo se muestran todos los pasos necesarios a seguir para la formulación, acople

del algoritmo PSO auto-adaptado y desarrollo del programa de análisis y diseño estructural de los

pórticos en 2D de acero.

En primer lugar, se muestra la formulación de la función objetico, que es el punto fundamental de

partida para el desarrollo de cualquier problema de optimización. Se especificarán las restricciones a

las que está sujeta el problema, las cuales para el diseño se realizaron con base en la norma técnica

Colombia nsr-10 título f, el cual es el correspondiente a estructuras metálicas. A parte de estas

restricciones también se tuvieron en cuenta restricciones en el proceso constructivo, las cuales son

muy relevantes para que las soluciones que se obtengan con el programa adquieran coherencia y

lógica en cuanto al proceso de construcción de pórticos metálicos. También se mostrara cómo se

evalúa la calidad de las soluciones encontradas y la definición correspondiente de las variables que

están involucradas.

Posteriormente de tener toda esta información recopilada, se procedió a realizar el programa de

análisis estructural el cual fue hecho por medio del análisis matricial, para un sistema de pórticos

programado en MatLab, Esto para que el programa fuera autónomo y no necesitara de programas de

análisis externos para su ejecución. Después de tener el programa de análisis estructural, se procedió

a realizar el programa de diseño estructural también en MatLab. Al tener estos dos programas

trabajando conjuntamente, se procedió a acoplar el algoritmo optimizador PSO y se realizaron las

pruebas necesarias de calibración y validación, finalmente se modificaron las variables cognitivas en

el algoritmo PSO para que este fuera auto-adaptado.

40

3.1. Variables de diseño

Las variables de diseño estructural se refieren a la geometría de los elementos estructurales las cuales

son tomadas de una base de datos en la que se encuentran los perfiles compactos que se pueden

encontrar en el mercado americano. Se utilizó esta base de datos americana ya que en Colombia la

disponibilidad de perfiles metálicos no es muy variada; Sin embargo, cualquier base de datos puede

ser incorporada al programa cumpliendo el mismo orden en que están organizadas las características

geométricas de los perfiles y cambiando los límites de búsqueda del código.

Las variables de diseño para nuestro problema definen los grupos de elementos estructurales que el

usuario determina como iguales, un ejemplo de esto es que las columnas y las vigas de un piso del

pórtico deben ser consideradas como un solo grupo para el adecuado funcionamiento del programa

(es posible que sea utilizado el mismo grupo en diferentes pisos del pórtico).

3.2. Función objetivo

En primera instancia para un problema particular de optimización se debe definir su función

objetivo, que en este caso consiste en la minimización del peso total de la estructura. Cabe notar que

lo que se va a optimizar para este problema son los elementos estructurales, esto significa no tomar

en cuenta partes de la estructura, que también, afectan su peso como las conexiones. La función

objetivo se puede describir de la siguiente forma:

41

Minimizar:

W

Dónde:

= Densidad del acero

A= Área de cada elemento

L= Longitud de cada elemento

np= Numero de partículas

3.3. Restricciones

Las restricciones, utilizadas para determinar si los elementos cumplen con los requerimientos de

cargas fueron obtenidas del título F de la norma vigente aplicada NSR-10 y se pueden dividir en dos

grupos: Restricciones de diseño estructural y restricciones de proceso constructivo. Es importante

mencionar que no se tomaron en cuenta en las restricciones de diseño estructural las deformaciones

máximas por servicio que exige la norma NSR-10.

Restricciones de diseño estructural

Las restricciones de diseño estructural utilizadas fueron las siguientes:

Cortante:

Dónde: Vu es obtenido del análisis matricial y Vn es calculado con la ecuación Ec.35. La variable ne

corresponde al número de elementos del pórtico estudiado.

42

Flexion:

Dónde: Mu es obtenido del análisis matricial y Mn de las ecuaciones Ec.25, Ec.29, Ec.30 ó Ec.32

(dependiendo del caso).

Compresión:

Dónde: Pu es obtenido del análisis matricial y Pn es calculado con la Ecuación 5.

Flexo-Compresión:

Para evaluar los esfuerzos de flexo-compresión del elemento fue necesario estudiar dos casos:

Caso 1. Cuando:

Caso 2. Cuando:

Donde los valores de compresión y flexión son hallados de la misma forma a la anterior mencionada,

siendo X y Y la dirección de estos esfuerzos en los ejes coordenados utilizados para orientar el plano.

La variable ne corresponde al número de elementos del pórtico estudiado.

43

Deriva

Se revisa el porcentaje de deriva entre un piso y el otro utilizando la siguiente formula

Donde Δi es la deformación lateral por piso y hi=altura por piso. Se deben verificar todas las

condiciones de los elementos por separado y verificar que cumplan estas restricciones de diseño

estructural establecidas en el titulo F de la nsr-10 colombiana.

Restricciones de proceso constructivo

Se debe obtener un resultado que cumpla las restricciones de proceso constructivo que se describirán

a continuación para que el pórtico hallado tenga lógica, coherencia constructiva y pueda ser posible

su construcción.

Altura de las columnas subsecuentes:

Base de la columna y viga en contacto:

Figura 5. Geometría viga-columna (E. Dogan, M.P. Saka, 2012)

44

Se revisa la altura del perfil (Di) de las columnas teniendo que ser menor o igual a la anterior a

medida que se aumenta de piso con respecto a la columna inmediatamente inferior para que haya

una distribución adecuada de esfuerzos entre estos elementos, también se revisa que la base de la

viga sea menor que la base de la columna para que pueda existir una conexión entre estos elementos,

como se muestra en la (figura. 2). Las variables nc y nv significan número de columnas y numero de

vigas respectivamente.

3.4. Algoritmo de optimización

El algoritmo de optimización que se utilizara es el algoritmo PSO auto adaptado (Zhan, 2009) el cual

fue facilitado por parte del ingeniero Jesús Daniel Villalba.

Para el proceso de prueba y análisis del programa de análisis y diseño estructural acoplado con el

algoritmo optimizador (APSO) se definió un tamaño del enjambre (N) de 5, 10, 15 y 20, estos fueron

tomados basándose en la escogencia de estos tamaños en trabajos de autores que han utilizado este

versión del PSO o la original.

Para garantizar que los resultados que arroje el algoritmo cumplan todas las restricciones anteriores

se trabajan dos penalizaciones en el código. La primera penalización se realiza antes del comienzo del

proceso iterativo la cual aumenta el tamaño del perfil utilizado dependiendo de si cumple o no

cumple las restricciones, esto hace que el espacio de búsqueda se vea reducido a partículas que

45

posiblemente cumplan con todas las restricciones, la fórmula de la primera penalización es la

siguiente:

Dónde:

Mz_Pos(k,g)= Corresponde a la posición de cada grupo para cada partícula en las posiciones k y g

siendo número de grupos y numero de partículas respectivamente.

La segunda penalización se lleva a cabo dentro del proceso iterativo, más específicamente en la

función del programa llamada “eval_costo”, la cual está para que cuando algún elemento de cada

partícula incumpla una de las restricciones propuestas aumente el peso de esta partícula de una

manera significativa con el fin de asegurar que el peso mínimo encontrado por el algoritmo se

cumple cuando el número de restricciones violadas es 0. Esta penalización se lleva a cabo de la

siguiente forma:

Donde W es el peso total de la partícula, ρ es la densidad del acero utilizado, A y L el área y la

longitud de cada elemento respectivamente y la variable NVR es el número de restricciones violadas

por cada partícula y NRT el número de restricciones totales que restringen el problema.

Otra cosa importante a mencionar del algoritmo de optimización es el criterio de parada, este va a

ser el número de iteraciones máximas en que se lleva a cabo el procedimiento, este valor fue definido

como 50 iteraciones ya que a esta altura se ve un estado de convergencia en las partículas utilizadas y

no varía el peso de la estructura considerablemente.

46

3.5. Función análisis matricial

El análisis estructural para conocer las cargas a las que están sometidas los elementos que componen

el pórtico, fue realizado con una función creada en MatLab, esto con el fin de que el programa fuera

autónomo, es decir que no necesite programas externos. Esta función recibe la configuración de los

perfiles, la geometría del pórtico, las cargas sobre la estructura y nos da como resultados los

desplazamientos en cada nodo además de las fuerzas a las que está sometido el pórtico.

3.6. Acople del algoritmo

Al final de esta sección se presenta un diagrama de flujo (Figura.) que explica de manera esquemática

cómo funciona el programa al verse acoplado el algoritmo con el programa de análisis estructural.

El primer paso fue introducir la información del pórtico, en esta encontramos cada elemento con sus

características de módulo de elasticidad, esfuerzo de fluencia (Fy), nodos (final e inicial), longitud de

cada elemento y el grupo al que pertenece.

Las posiciones y las velocidades iniciales son generadas aleatoriamente y se pasan por una función

que evalúa las condiciones de proceso constructivo con el fin de que las partículas aleatorias cumplan

desde el comienzo estas restricciones. Posteriormente se actualizan las matrices de área e inercia

generadas con las nuevas posiciones de los perfiles.

Teniendo esta información el programa procede a calcular las fuerzas internas de cada elemento y los

desplazamientos para cada nodo por medio de la función que realiza el Análisis Matricial, obtenidos

47

ya estas variables se procede a la función que realiza la evaluación de las restricciones hallando los

valores de cortante, momento, compresión y flexo compresión nominales comparándolos con los

resultados de estos esfuerzos obtenidos del análisis matricial. Los desplazamientos de cada nodo

también son requeridos para posteriormente analizar la deriva. Si alguno de los elementos del pórtico

excede los valores nominales o deriva un contador introduce el número de restricciones que no

cumple cada partícula.

Al tener el número de restricciones se procede a aumentar los perfiles menores a la posición 100 en

30 con el fin de que los perfiles más pequeños aumenten su tamaño antes de empezar el proceso

iterativo y que al volver a evaluar las restricciones estas tengan mayor oportunidad de cumplir los

parámetros de resistencia.

Con la función de evaluar costo, se obtiene el peso de cada partícula tomando en cuenta las

restricciones violadas obtenidas nuevamente con las partículas actualizadas y entra esta población al

programa del PSO auto adaptado donde se actualizan las posiciones y velocidades (evaluando todas

las restricciones y el costo) a lo largo de cada iteración. Cuando el programa ejecuta el número

máximo de iteraciones este arroja el mejor resultado el cual es el peso mínimo “Gbest” de entre toda

la población de partículas que convergen al punto óptimo de la función objetivo.

En el siguiente diagrama (Figura.6) se muestra el orden de los procesos que realiza el algoritmo

cuando esta acoplado con el programa de diseño estructural.

48

Figura 6. Diagrama de acople programa de análisis con algoritmo APSO

49

4. EJEMPLOS NUMERICOS________________________

En este capítulo se muestran los resultados obtenidos por el programa de optimización para

diferentes configuraciones y tamaños de pórticos.

Con el fin de determinar si existe una relación entre el número de partículas, se siguió el mismo

procedimiento para todos los pórticos y se obtuvieron valores de pesos para los números de

partículas establecidos anteriormente. Es importante anotar que el programa para la toma de

resultados se ejecutó 10 veces y se tomó el valor mínimo encontrado por este.

4.1. Resultados

A continuación se presenta una tabla con los resultados obtenidos por cada pórtico con su

diferente número de partículas:

Valor mínimo (Kg)

Pórtico / Numero Partículas 5 10 15 20

NE 3 1326,40 1326,40 1326,40 1326,40

NE 6 4453,50 3833,30 4181,80 4181,80

NE 9 808,58 769,35 811,18 748,08

NE 15 16350,00 16740,00 14891,00 14021,00

NE 30 5661,00 6215,20 5713,40 5978,20

NE 35 11735,00 11735,00 12126,00 12812,00

NE 42 2936,00 2933,00 2936,50 2959,80

NE 50 12611,00 11445,00 11958,00 11794,00

Los resultados en esta sección serán presentados de la siguiente forma: primero se encuentra una

imagen que muestra las propiedades geométricas y las cargas a las que está sometido el pórtico,

después de esto, se mostrara una tabla con los resultados obtenidos por el programa (pesos

obtenidos con diferentes partículas y perfiles utilizados en cada solución) y por último, una

gráfica con los pesos mínimos dependiendo del número de partículas.

Tabla 3. Resumen de resultados obtenidos

50

Pórtico de 3 elementos (NE 3):

Este pórtico de un piso y una luz está conformado por tres elementos y dos grupos (en el dibujo del

pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está sometido están

divididas en puntuales y en distribuidas 25 KN y 30 KN/M respectivamente. Como se puede

observar en la Figura 8. y la Tabla 4. los resultados obtenidos con diferente número de partículas

fueron iguales, esto se debe a que al tener una cantidad de variables pequeña se reduce el tamaño de

la función objetivo y por tanto las probabilidades de que el algoritmo encuentre una configuración

de perfiles que sea mejor que la otra

2


51

Numero de partículas

Pórtico NE=3 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W18X65 W18X65 W18X65 W18X65

2 W18X71 W18X71 W18X71 W18X71

Peso (kg) 1326,40 1326,40 1326,40 1326,40


Este pórtico de dos pisos y una luz está conformado por 6 elementos y cuatro grupos (en el dibujo

del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está sometido

están divididas en puntuales y en distribuidas, 5 y 10 KN las puntuales como se puede ver en la

Figura 9 y 22 KN/M en las vigas. El peso mínimo encontrado por el algoritmo fue con 10 partículas

como se puede observar en la Figura 10. aunque analizando los perfiles obtenidos en la Tabla 5. se

Figura 8. Grafica de relación de pesos y número de partículas

para el pórtico de tres elementos

Tabla 4. Resultados obtenidos pórtico tres elementos

52

puede observar que el algoritmo tiende a estancarse en un óptimo local utilizando para varios

elementos el perfil W21X122

3800,00

3900,00

4000,00

4100,00

4200,00

4300,00

4400,00

4500,00

0 5 10 15 20 25

Pe

so t

ota

l (K

g)

Numero de paticulas (N)

Portico 6 elementos

3

Figura 9. Descripción gráfica del pórtico de seis elementos


para el pórtico de seis elementos

53


Pórtico NE=6 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W27X194 W21X93 W27X194 W21X122

2 W21X122 W14X109 W21X122 W21X122

3 W21X122 W24X131 W21X122 W21X122

4 W21X122 W24X131 W21X122 W21X122

Peso (kg) 4453,50 3833,30 4453,50 4181,80


Este pórtico de dos pisos y una luz está conformado por 9 elementos y cinco grupos (en el dibujo

del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está sometido

están divididas en puntuales y en distribuidas, 25 KN las puntuales como se puede ver en la Figura

11 y 40 KN/M en las vigas. En este pórtico se puede observar que al momento de aumentar el

número de grupos las configuraciones de las soluciones varían al ser comparadas entre ellas. Para

este caso en especial el número de partículas óptimo fue 20 con el que se encontró un resultado de

748,08 kg.

Tabla 5. Resultados obtenidos pórtico seis elementos

54

740,00

750,00

760,00

770,00

780,00

790,00

800,00

810,00

820,00

0 5 10 15 20 25

pe

so t

ota

l (K

g)

Numero de Particulas (N)

Portico 9 elementos

Series1

Figura 11. Descripción gráfica del pórtico de nueve elementos


para el pórtico de nueve elementos

55


Pórtico NE=9 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W10X26 W10X19 W10X19 W10X19

2 W10X19 W10X19 W10X19 W10X19

3 W8X13 W10X19 W10X19 W10X19

4 W10X19 W8X15 W10X19 W8X13

5 W10X19 W10X19 W10X19 W10X19

Peso (kg) 808,58 769,35 811,18 748,08


Este pórtico de tres pisos y tres luces está conformado por quince elementos y seis grupos (en el

dibujo del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está

sometido están divididas en puntuales y en distribuidas, 25 y 22 KN las puntuales y 37.9, 30.3, y

20.30 KN/M en las vigas como se puede ver en la Figura 13. Este caso encontró el valor mínimo al

momento de usar 20 partículas cómo es posible evidenciar en la Tabla 7. la cual también muestra una

gran variación entre los perfiles encontrados por el programa para cada uno de los elementos.

Figura 13. Descripción gráfica del pórtico de quince elementos

Tabla 6. Resultados obtenidos pórtico nueve elementos

56


Pórtico NE=15 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W27X235 W14X120 W14X90 W24X146

2 W27X194 W14X120 W14X90 W24X146

3 W27X178 W14X120 W14X90 W24X146

4 W14X48 W14X120 W12X79 W12X40

5 W8X28 W12X72 W10X77 W8X31

6 W27X178 W27X178 W27X194 W21X182

Peso (kg) 16350,00 16740,00 14891,00 14021,00

13500,00

14000,00

14500,00

15000,00

15500,00

16000,00

16500,00

17000,00

0 5 10 15 20 25

Pe

so t

ota

l (K

g)

Numero de particulas (N)

Portico 15 Elementos


para el pórtico de quince elementos

Tabla 7. Resultados obtenidos pórtico quince elementos

57


Este pórtico de tres pisos y tres luces está conformado por quince elementos y seis grupos (en el

dibujo del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está

sometido están divididas en puntuales y en distribuidas, 25 KN las puntuales y 50 KN/M en las

vigas como se puede ver en la Figura 15. En este caso como se puede observar en la Tabla 8. se ve

una mayor similitud en los resultados de 5, 10 y 15 partículas, siendo el valor mínimo 5661 kg con 5

y 10 partículas, por efecto del costo computacional se determinó que el número de partículas optimo

es 5.

Figura 15. Descripción gráfica del pórtico de 30 elementos

58


Pórtico NE=30 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W14X48 W14X48 W14X48 W10X77

2 W14X48 W14X48 W14X48 W10X49

3 W12X65 W12X65 W14X48 W10X49

4 W12X65 W12X65 W12X65 W10X49

5 W14X48 W14X48 W14X48 W10X77

6 W14X48 W14X48 W14X48 W12X40

7 W14X48 W14X48 W14X48 W18X71

8 W18X106 W18X106 W18X158 W18X71

Peso (kg) 5661,00 5661,00 5713,40 5978,20

5600,00

5650,00

5700,00

5750,00

5800,00

5850,00

5900,00

5950,00

6000,00

0 5 10 15 20 25

pe

so t

ota

l (K

g)

numero de particulas (N)

Portico 30 elementos


para el pórtico de treinta elementos

Tabla 8. Resultados obtenidos pórtico treinta elementos

59


Este pórtico de siete pisos y dos luces está conformado por treinta y cinco elementos y ocho grupos

(en el dibujo del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está

sometido están divididas en puntuales y en distribuidas, 25 KN las puntuales y 40 KN/M en las vigas

como se puede ver en la Figura 17. En este caso como se puede observar en la Tabla 9. se observa

un valor igual en los resultados de 5, 10 y 15 partículas siendo el valor mínimo 11735 kg, por efecto

del costo computacional se determinó que el número de partículas optimo es 5.

Figura 17. Descripción gráfica del pórtico de treinta y cinco elementos

60


Pórtico NE=35 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W10X30 W10X30 W10X30 W8X24

2 W10X26 W10X26 W10X26 W8X24

3 W10X26 W10X26 W10X26 W8X24

4 W16X57 W16X57 W16X57 W16X77

5 W16X57 W16X57 W16X57 W12X58

6 W16X57 W16X57 W16X57 W10X88

7 W10X26 W10X26 W10X26 W10X26

8 W10X26 W10X26 W10X26 W8X24

Peso (kg) 11735,00 11735,00 11735,00 12812,00

11400,00

11600,00

11800,00

12000,00

12200,00

12400,00

12600,00

12800,00

13000,00

0 5 10 15 20 25

Pe

so t

ota

l (K

g)


portico 35 elementos


para el pórtico de treinta y cinco elementos

Tabla 9. Resultados obtenidos pórtico treinta y cinco elementos

61


Este pórtico de seis pisos y tres luces está conformado por cuarenta y dos elementos y nueve grupos

(en el dibujo del pórtico se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está

sometido están divididas en puntuales y en distribuidas, 25 KN las puntuales y 50 KN/M en las vigas

como se puede ver en el dibujo. En este caso como se puede observar en la Tabla 10. se observa un

valor igual en los resultados de 5, 10 y 15 partículas siendo el valor mínimo 2936,50 kg, por efecto

del costo computacional se determinó que el número de partículas optimo es 5.

Figura 19. Descripción gráfica del pórtico de cuarenta y dos elementos

62


Pórtico NE=42 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W10X19 W10X19 W10X19 W10X19

2 W6X8.5 W6X8.5 W6X8.5 W8X13

3 W4X13 W4X13 W4X13 W8X13

4 W10X19 W10X19 W10X19 W10X19

5 W6X8.5 W6X8.5 W6X8.5 W8X13

6 W8X13 W8X13 W8X13 W8X13

7 W10X19 W10X19 W10X19 W10X19

8 W6X8.5 W6X8.5 W6X8.5 W8X13

9 W10X26 W10X26 W10X26 W6X12

Peso (kg) 2936,50 2936,50 2936,50 2959,80

29300

29350

29400

29450

29500

29550

29600

29650

0 5 10 15 20 25

Pe

so t

ota

l (K

g)



Series1


para el pórtico de cuarenta y dos elementos

Tabla 10. Resultados obtenidos pórtico cuarenta y dos elementos

63


Este pórtico de diez pisos y dos luces está conformado por cincuenta y once (en el dibujo del pórtico

se identifica a que grupo pertenece cada elemento). Las cargas a las que está sometido están divididas

en puntuales y en distribuidas, 25 KN las puntuales y 55 KN/M en las vigas como se puede ver en la

Figura 21. Este, al ser el pórtico con más elementos y grupos presenta más variación en los perfiles

escogidos por el algoritmo como se puede observar en la Tabla 11. El peso mínimo fue de 11445,00

kg, el cual fue obtenido con 20 particulas.


64

11200,00

11400,00

11600,00

11800,00

12000,00

12200,00

12400,00

12600,00

12800,00

0 5 10 15 20 25

Pe

so t

ota

l (K

g)




Pórtico NE=50 5 10 15 20

Grupo Perfiles

1 W12X40 W12X45 W12X40 W12X45

2 W12X40 W12X45 W12X40 W12X45

3 W12X40 W12X45 W12X40 W12X45

4 W12X40 W12X45 W10X49 W12X45

5 W12X40 W12X45 W10X49 W12X45

6 W12X40 W12X45 W12X40 W12X45

7 W12X40 W12X45 W12X40 W12X45

8 W12X40 W6X12 W12X40 W6X16

9 W12X40 W4X13 W10X19 W4X13

10 W18X65 W12X45 W10X19 W4X13

11 W12X40 W12X45 W12X45 W12X45

Peso (kg) 12611,00 11794,00 11958,00 11445,00


para el pórtico de cincuenta elementos

Tabla 11. Resultados obtenidos pórtico cincuenta elementos

65

4.2. Análisis de resultados

Para determinar si existe una relación entre el mejor número de partículas (con el que se consigue el

peso menor) usado dependiendo del número de elementos del pórtico se relacionaron la cantidad de

partículas y el número de elementos que compone el pórtico. Se observa que no existe una relación

directa entre el número de partículas y la complejidad del pórtico.

Una explicación posible a este fenómeno es que en alguna de las ejecuciones se haya empezado, por

ejemplo usando 5 partículas, con una población inicial aleatoria muy cercano a la óptima y esto no

suceda al aumentar las partículas haciendo que no se cumpla del todo la hipótesis anteriormente

dicha. Para comprobar si está tendencia es correcta se deberá entonces generar más ejecuciones del

algoritmo que las realizadas en este trabajo (10 ejecuciones). Los resultados se encuentran

consignados en la siguiente gráfica.

Elementos N optimo

3 5

6 10

9 20

15 20

30 5

35 5

42 10

50 20

Tabla 12. Numero de partículas óptimo dependiendo del número de elementos

66

Adicional a comparar los resultados obtenidos dependiendo del número de elementos, también se

relacionó el número de partículas con el número de grupos, esto con el fin de relacionar otra variable

de la que depende directamente la complejidad del problema; de igual forma no fue encontrada una

tendencia clara que permita encontrar una ecuación para obtener el número de partículas óptimo.

Los resultados obtenidos se evidencian en la siguiente gráfica:

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

Par

ticu

las

N

Numero de elementos

Elementos

Elementos

Grupos N optimo

2 5

4 10

5 20

6 20

8 5

8 5

9 10

11 20

Figura 23. Relación número de partículas óptimo dependiendo del número de elementos

Tabla 13. Numero de partículas óptimo dependiendo del número de grupos

67

4.3. Convergencia y variables del algoritmo

En esta sección se muestra la convergencia del programa y además como cambian los valores de las

variables C1, C2 y W a medida que avanzan las iteraciones y se van modificando los factores

evolutivos para tres pórticos de los anteriormente mostrados en los resultados.

Como se puede observar en las gráficas anteriormente mostradas, al comparar el valor mínimo

encontrado en la primera iteración con la última iteración podemos ver disminuciones de peso de un

orden del 50% en el pórtico de 42 elementos. Con respecto al W se puede observar que en las

primeras iteraciones el valor de este baja drásticamente y luego incrementa gradualmente hasta el

final de las iteraciones, mientras el C1 y el C2 son inversos el uno con respecto al otro, el ejemplo

más claro para explicar este se ve en la Figura 32. donde se muestra la gráfica obtenida para el

pórtico de 42 elementos.

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

Par

ticu

las

N

Numero de grupos

Grupos

Grupos

Figura 24. Relación número de partículas óptimo dependiendo del número de grupos

68

Pórtico de 6 elementos (NE 6)

Convergencia:

Parámetro Cognitivo C1 y parámetro social C2:

Figura 25. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Figura 26. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Pes

o m

ínim

o o

bte

nid

o p

or

la p

ob

laci

ón

(kg)

C1 y

C2

Iteraciones

Iteraciones

69

Peso W:


Convergencia:

Figura 28. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

Figura 27. W vs. Numero de iteración pórtico seis elementos

Pes

o m

ínim

o o

bte

nid

o p

or

la p

ob

laci

ón

(kg)

W

Iteraciones

Iteraciones

70


Peso W:

Figura 29. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

Figura 30. W vs. Numero de iteración pórtico quince elementos

W

C1 y

C2

Iteraciones

Iteraciones

71


Convergencia:


Figura 31. Peso mínimo vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

Figura 32. C1 y C2 vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

Pes

o m

ínim

o o

bte

nid

o p

or

la p

ob

laci

ón

(kg)

C

1 y

C2

Iteraciones

Iteraciones

72

Peso W:

Figura 33. W vs. Numero de iteración pórtico cuarenta y dos elementos

W

Iteraciones

73

5. CONCLUSIONES_______________________________

El desarrollo de la metodología fue exitoso debido a que al comparar los resultados obtenidos con el

programa, usando pórticos ya establecidos por autores que han trabajado en optimización integrando

otros algoritmos, son mejores los obtenidos con el algoritmo PSO auto adaptado. Un ejemplo de

esto es que se alcanzó un valor medio de 6726.4 kg y un valor mínimo de 5661 kg en el primer

ejemplo utilizado por Dogan con un algoritmo PSO normal (E. Dogan, M.P. Sakha, 2012) el cual

obtuvo un valor de 7533 kg.

Con los resultados obtenidos se logró demostrar que no hay una clara tendencia entre el número de

partículas a usar dependiendo del número de elementos/grupos de cada pórtico. Sin embargo se

sugiere el uso de 10 a 30 partículas y utilizar un número de ejecuciones mayor a 15 ya que al hacer el

ejercicio repetidas veces se puede encontrar un valor mínimo adecuado y evitar una prematura

convergencia.

En pórticos pequeños de pocos elementos o grupos, el número óptimo de partículas a usar es 5

debido a que los resultados no varían con respecto al número de partículas como se puede ver en el

siguiente caso y si aumentará el costo computacional como se puede ver en el pórtico de 3 elementos

(Figura.7).

Los pesos obtenidos con varias ejecuciones son diferentes debido a la convergencia del método,

también cabe resaltar que el hecho de que se cambie un solo perfil en una solución con respecto a

otra produce un cambio en el peso debido a que la función objetivo es directamente proporcional al

área de los perfiles utilizados. También el hecho de usar una mayor cantidad de grupos aumenta la

posibilidad de que el resultado varíe al paso de las ejecuciones.

75

6. BIBLIOGRAFÍA

acero, A. L. (2010). Especificacion ANSI/AISC. Santiago de Chile: ALACERO.

AIS. (2010). Reglamento colombiano de construccion sismo-resistente. En A. c. sismica, Titulo F

(pág. capitulo F.1).

Blondin. (2009). Particle Swarm Optimization. Londres: Lightbourn.

D. Safari, M. R. (2011). Optimum design of steel frames using a multiple-deme GA with improved

reproduction operators. Journal of constructional steel Research, 1232-1243.

Datum, A. (03 de Septiembre de 2014). Eadic. Recuperado el 15 de Noviembre de 2015, de

http://eadic.com/wp-content/uploads/2014/03

E. Dogan, M.P. Saka. (2012). Optimum design of unbraced steel frames to LRFD-AISC using

particle swarm optimization. Advances in Engineering Software, 27-34.

Galilei, G. (1638). discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove dcienze. Pisa, Italia.

Gholizadeh, S. (2014). Performance-based Optimum Design of steel frames by improved quantum

particle swarm optimization. Advances in structural Engineering, 232-244.

Michell, A. (1904). The limits of economy of material in frame-structures. Edinburgh: The london.

Saka, M. (2009). Optimum design of steel sway frames to BS5950 using harmony search algorithm.

Journal of constructional steel research, 36-43.

Saka, M. (2012). Mathematical and metaheuristic apllication in design optimization of steel frame

structures: an extensive review. Journal of structural engineering, 2-27.

Wang, J. (2011). Particle Swarm Optimization with Adaptive Parameters Control and Opossition.

Journal of Comptational Information System, 4463-4470.

Yang, B. (2010). Frame sizing and topological optimization using a modified particle swarm

algorithm. Second WRI BLobal Conference on Inteligent Systems (págs. 1-6). Tokyo: IEEE

Computer society.

Zhan, J. Z.-H. (2009). Adaptive Particle Swarm Optimization. IEEE Transactions on systems, man, and

cyvernetics, 35-47.

77

7. ANEXOS_________________________________________

7.1. Guía para utilizar el programa

En este anexo se presenta una guía con la información necesaria para poder introducir las variables e

información requerida por el programa de una manera adecuada y así asegurar su buen

funcionamiento. Además se incluye el ejemplo del pórtico más sencillo realizado para ilustrar de

mejor forma el procedimiento a seguir, el texto subrayado corresponde al ejemplo.

1. Información del material usado

Fy: Esfuerzo máximo de fluencia MPa.

El: Módulo de elasticidad en unidades KPa.

FY=420;

El=205000000;

78

2. Se introducen las primeras variables de geometría del problema

NS: Número de pisos.

NL: Número de luces.

NE: Número de elementos.

NN: Número de nodos.

NS=1;

NL=1;

NE=4;

NN=5;

3. Cargas Puntuales

NCP: Número de cargas puntuales.

CargasP: Matriz de cargas puntuales de tamaño (NCP, 3) en la primera columna de la matriz se

declaran los nodos que están cargados y en las columnas siguientes se introduce la carga puntual en

X y en Y si existe respectivamente (KN).

NCP=1;

CargasP=[2 100 0 0;];

79

4. Cargas distribuidas

NCD: Número de cargas distribuidas..

CargasD: Matriz de cargas distribuidas de tamaño (NCD, 3) en la primera columna de la matriz se

declaran los nodos que están cargados y en las columnas siguientes se introduce la carga distribuida

en Y y en X si existe respectivamente (no es necesario colocar el negativo para indicar que la carga en

Y va hacia abajo (KN/M).

NCD=2;

CargasD=[2 50 0;

3 50 0;];

5. Matriz de información

MI: matriz de información de tamaño (NE,7). En esta se introducen en las columnas

respectivamente la siguiente información: Número de elemento, nodo inicial, nodo final, longitud del

elemento, grupo al que pertenece, tipo de material (normalmente es uno y hace referencia al módulo

de elasticidad definido anteriormente, si se desea tener más de un módulo de elasticidad debe

declararse la variable El como un vector), tipo de elemento (si es columna 1, si es viga 2).

MI= [1 1 2 4 2 1 1;

2 2 3 2.5 1 1 2;

3 3 4 2.5 1 1 2;

4 5 4 4 2 1 1;];

80

6. Empotramientos

NVR: Nodos empotrados.

VR: Vector en el que se colocan los nodos empotrados.

NR= 2;

VR= [1 5];

7. Número de grupos

NV: Número de variables el cual corresponde al número de grupos.

NV=2;

8. Longitud de los grupos

MLG: Vector de longitud por grupo tamaño (NV,1).

MLG=[5 8];

9. Restricciones por vigas y columnas

RPC: Número de restricciones para columnas.

RPV: Número de restricciones por vigas.

Grupos_Vigas: Número de grupos de vigas.

RPV=1;

RPC=0;

Grupos_Vigas=1;

81

10. Matriz de información grupos de columna

MIGC: Se introduce en la primera fila las columnas que deben ser menores y abajo con las que van a

ser comparadas, el tamaño es (2,RPC).

MIGC=[2 3 5 6;

1 2 4 5;];

11. Matriz de información grupos de vigas

MIGV: Se introduce en la primera fila las vigas que van a ser comparados y en la fila de abajo las

columnas con las que deben ser comparadas, el tamaño es (2,RPV).

MIGV=[1 ;

2 ;];

12. Vector deriva

Deriva: En el vector se escriben los nodos del lado derecho con los que se van a evaluar la deriva.

Deriva=[4 5];

13. Variables para la ejecución

Se deben modificar las siguientes variables dependiendo de cómo quiera desarrollar el problema el

usuario:

NP: Número de partículas a utilizar

NEJ: Número de ejecuciones del programa

NMI: Número máximo de iteraciones

82

NP=5;

NEJ=10;

NMI=50;

Por último, se recomienda seguir el proceso nombrado anteriormente para la utilización adecuada del

problema, y se recomienda no modificar las variables que no se especifiquen en la guía.

trabajo de grado - javeriana

Documents