22. Halle la ecuación de la recta tangente a x2 + y2 - 4x - 6y = 12, en el punto

de (-2,6)

Solución:

1º completando cuadrados para:

X2 + y2 - 4x - 6y = 12

Queda

C: (2,3) ⋀ 𝑟 = 5 𝑝 = (−2, 𝑐)

�⃗� = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℒ.

⟹ �⃗� = 𝐶𝑝⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑝 − 𝐶 = (−4,3)

⟹ ℒ: 𝑃1. �⃗� = 𝑃. �⃗�

⟹ ℒ𝑇: 4𝑋 − 3𝑌 = −26

23. halle la ecuación de la circunferencia concéntrica a X2 +Y2 = 9 y

tangente a X - 2Y +10 = 0

Solución

ℒ ∶ 𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0

C : X2 +Y2 = 9 C=(0,0)

Pero d[𝐶; ℒ] = 𝑟 = 10

√5

Pues: d[𝐶; ℒ] = |𝑥−2𝑦+10|

√12+(−2)2 =

10

√5

⟹ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐶1 = X2 + Y2 = 20

24. Halle el menor Angulo en el centro de la circunferencia x2 + y2 + 6x - 2y -

15 = 0, determinado por los radios con extremos en el eje Y.

Solución

Completando cuadrados:

C: (x + 3)2 + (y - 1)2 = 25

C = (-3,1) ; r = 5

C ^ eje Y ⟹ 𝑥 = 0

⟹ 𝑌2 − 2𝑌 − 15 = 0

⟹ 𝑃 = (0,5) 𝑄 = (0,−3)

Sea m= pendiente de 𝐶𝑃̅̅̅̅ =4

3

𝑚1 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑄̅̅ ̅̅ = -4/3

⟹ tan𝜃 = 𝑚 − 𝑚1

1 + 𝑚 𝑚1= −

24

7

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (−24

7)

25. Encuentre el punto de tangencia de la recta x+2y = 10 con la circunferencia x2 +

y2 - 2x - 4y = 0

Solución

ℒ = 𝑥 + 2𝑦 = 10

En ℒ ∶ 𝑥 = 10 − 2𝑦 … . . (𝐼𝐼)

Reemplazando en C: (10-2y)2 + y2 - 2 ( 10 - 2y ) - 4y = 0 …..(I)

Resolviendo (I) tenemos Y=4

Reemplazando en (II) tenemos x= 2

⟹ 𝑃 = ( 2 ; 4 )

26. Una circunferencia de radio 2√2 tiene su centro en la recta 4x +3y =2y es

tangente a, la recta x + y = -4 halle dicho centro.

C

P

Q

Y

X

C

-3

1

Solución

ℒ ∶ 4 𝑥 + 3𝑦 = 𝐿1

C = ( h ; k ) ∈ ℒ ∶ 4ℎ + 3𝑘 = ℒ … . . (1)

r = 2√2 = d [(𝐶, ℒ1] = |ℎ+𝑘+4|

√2= ℎ = −𝑘 … . (2)

h + k = -8…………(3)

de (1) y (2)

C= (26,-34) de (1) y (3) C = (12,-2)

27. Halle el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangencial el

eje Y y que pasen por (1,0)

Solución.

D[𝐶; 𝑒𝑗𝑒 𝑦] = 𝑑 [𝑐; (1; 0]

|𝑥| = √(𝑥 − 1)2 + 𝑦2

Y2 = 2x -1

X

Y

C

rX

rX

(1,0)

28. si el punto (8+√3 , 7) la ecuación de la circunferencia x2 + y2 -16x - 12y +

96 = 0 halle la pendiente de la recta tangente que pasa por este punto.

Solución

C = x2 + y2 -16x - 12y +96 = 0

Completando cuadrados se tiene:

C= (𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 6)2 = 4 , 𝐶 = ( 8, 6 ), 𝑟 = 2

P = (8+√3 , 7 )

Sea

�̅� = 𝐶𝑝̅̅̅̅ = √3 , 1 )

�̅� = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎 �̅�

�̅� = (−1, √3 ) ∈ ℒ𝑇 ⟹ 𝑚 = −√3 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ℒ𝑇

29. Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia el

segmento que une los puntos de contactos se llama CUERDA DE CONTACTO

DE P. si P= (x1, y1 ) es un punto exterior a la circunferencia x2 + y2 = r2,

demuestre que la ecuación de la cuerda de contacto de P es xx1 +yy1 = r2.

Demostración

Sea Q ∈ ℒ ∩ ℒ𝑇

⟹ 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥, 𝑦)

𝑝 = (𝑥1, 𝑦1)

La ecuación de la recta que pasa por P y Q

Tiene �̅� = 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = (𝑦 − 𝑦1 ; 𝑥 − 𝑥1)

⟹ ℒ𝑇 = 𝑄. �̅� = 𝑃. �̅�

⟹ ℒ𝑇 = 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

P

X

Y

Q

⟹ ℒ𝑇 = 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2

30. dada la circunferencia x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 , halle los valores de m

para los cuales las rectas de la familia y= mx +b;

a) cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes.

Solución.

C= (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 4

ℒ ∶ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑒𝑛 𝐶 𝑦 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜

C: (1+m2) x2 + (2mb - 6m - 2) x + b2 - 6b + 6 = 0….(I)

⟹ 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ≠ ⟹ b2 − 6b + 6 < 0

⟹ 𝑏 ∈ < 3 − √3, 3 + √3 >

b) son tangentes con la circunferencia.

Solución:

Para que ℒ sea tangente ⟹ b2 − 6b + 6 = 0 ⟹ 𝑏 = 3 ± √3 ⟹ 𝑚 =(𝑏−3)

3

c) no tienen ningún punto común con la circunferencia.

Solución

b2 − 6b + 6 = 0 ⟹ 𝑏 ∈ < −∞, 3 − √3 > ∪ < 3 + √3;∞ >

𝑚 = 𝑏 − 3 ± √𝑏2 − 6𝑏 + 6

3 ⟹ ℒ ∩ 𝐶 = ∅ 𝑠𝑖

𝑚 ∈ < −∞ ; 𝑏 − 3 − √𝑏2 − 6𝑏 + 6

3 > ∪ <

𝑏 + 3√𝑏2 − 6𝑏 + 6

3 ; +∞ >

31. halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 - 8x +

y2 - 6x + 20 = 0 , trazadas desde el punto (9,8).

Solución

Sea ℒ𝑇 ∶ 𝑦 = 𝑚𝑥 + +𝑏 ; 𝑝 = (9,8) ∈ ℒ𝑇 ∶ 8 = 9𝑚 + 𝑏

⟹ ℒ𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 8 − 9𝑚 𝑒𝑛 𝐶 𝑦 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜

(1+m2)x2 + (10m – 15 m2 -8 )x +81m2 -90m 36 = 0

Pero por condición de tangencia A=0

⟹ 𝑚 =1

2 ⟹ ℒ𝑇: 𝑥 − 2𝑦 = −7

a=(3,5), m= 2

ℒ𝑇: 2𝑥 − 𝑦 = 10 𝑦 ℒ𝑇 ∩ 𝐶 = 𝑄 = (6,2)

32. dadas las circunferencias x2 + y2 =16 y x2 + y2 + 4x + 8y = 80 y el

punto A = (4,-12) ,encuentre el área del triangulo ABC, si se sabe que está

inscrito a una de las circunferencias y circunscrito a la otra.

Solución

C1 ∩ 𝑒𝑗𝑒 𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑢 ⟹ 𝑥 = ±4

Donde 4 es la abscisa de A

⟹ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 ⟹ 𝐵(4; 𝑛)

Satisface a c2 pues B ∈ 𝐶2 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠

4 2+n2+4(4)+8n-80 = 0

⟹ 𝑛2 + 8𝑛 − 48 = 0

(n+12)(n-4)=0

⟹ 𝐵; (4,4)

Para n=-12 ⟹ 𝐴 = (4;−12)𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁 𝑑𝑒 𝐵 𝑒𝑠 4 𝑦 𝑟1 = 4

⟹ 𝐶 = (𝑚; 4) ∈ 𝐶2 ⟹ 𝑚2+42 + 4𝑚 + 32 − 80 = 0

⟹ 𝑚2 + 4𝑚 − 32 = 0 ⟹ 𝑚 = −8

C=(-8;4)

B

A

C

Y

X

4

C

1 C2

4

Area =1/2 |𝐴𝑐⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⊥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = 96 𝑢2

33. Desde el punto (k,-12) con k negativo, se trazan rectas tangentes a la

circunferencia x2+y2-2x-1= 0, el segmento determinado por el punto de

tangencia y el punto a mide 3√2 . ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 estas rectas

tangentes.

Solución

C: ( x – 1 )2 + y2 =2

C = (1,0), r = √2

A = (k;-2)

⟹ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 3√2

⟹ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 𝑟 = √2 ⟹ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|2+ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|

2= |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|

2 𝑑𝑒 𝐷𝑂𝑁𝐷𝐸 𝑘 − 1 = ± 4

⟹ 𝑘 = 5 , 𝑘 = −3

Como k< 0 ⟹ 𝐴 = (−3,−2) ∈ ℒ𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

⟹ ℒ𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3𝑚 − 2

En C: (1+m2)x2 +2(3m2-2m-1)x +9m2 -12m+3 =0

Si ℒ1 𝑜 ℒ2 es tangente haciendo

A= 0 ⟹ (7𝑚,−1)(𝑚 − 1) = 0

ℒ𝑇: 𝑌 =1𝑥

7−

11

7 𝑦 ℒ𝑇

⊥ ∶ 𝑦 = 𝑥 + 1

𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎

34. encuentre la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas

2x+y=8, 2x+y =13 y cuyo centro se encuentra sobre la recta

L= {(2,4) +𝑡(1,8)

𝑡𝑡 ∈ 𝑅}

Solución

ℒ1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 = 8

ℒ2 = 2𝑥 + 𝑦 = 13 , 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℒ1 ∥ ℒ2 ⟹ 𝑟 = 1

2 𝑑[ℒ1 , ℒ2] =

5

2√5= 5√2

Y ℒ = 8𝑥 − 𝑦 = 12 (ℎ; 𝑘) ∈ ℒ ∶ 8ℎ − 𝑘 = 12…… . (1)

r = √5

2= 𝑑[𝐶, ℒ1] =

[2ℎ+𝑘−8]

√5

⟹ 2ℎ + 𝑘 = 8 −5

2…… . . (2)

De (1) y (2)

A

Y

X

B

(K,-1)

ℒ1

ℒ2

C

1 0

B

h = 9

4 ∧ 𝑘 = 6

C: (x −9

4)2 + (𝑦 − 6)2 =

5

4

35. desde el punto A= (4,2) se han trazado tangentes a la circunferencia

x2+y2 = 10 halle el ángulo formado por ellas.

Solución

Sea ℒ𝑇: 𝑌 = 𝑚𝑥 + 𝑦 , 𝐴 ∈ ℒ: 2 = 4𝑚 + 𝑏

⟹ ℒ𝑇: 𝑌 = 𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚

𝑒𝑛 𝐶: 𝑥2 + (𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚)2 = 10

⟹ (1 + 𝑚2)𝑥2 + (4𝑚 − 8𝑚2)𝑥 + (6𝑚2 − 16𝑚 − 16) = 0

Haciendo ∆ = 0 se obtiene m=3

∆ 𝑚1 = −1

3 ⟹

𝑚 − 𝑚1

1 + 𝑚𝑚1=

10

0= ∞

𝜃 = 90º

Grafico

ℒ𝑇1 𝜃

ℒ𝑇2

X

Y 𝑚1

𝑚2

1. halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curvax2+y2-xy +2x-2y-1= 0

de pendiente 3

Solución

Sea la ℒ𝑇: 𝑌 = 𝑚𝑥 + 𝑦 ,𝑚 = 3

⟹ ℒ𝑇: 𝑌 = 3𝑥 + 𝑏 Reemplazando y reduciendo en la curva

⟹ 7𝑥2 + (5𝑏 − 4)𝑥 + 𝑏2 − 2𝑏 − 1 = 0 por condición de tangencia ∆ = 0

Se obtiene

3𝑏2 − 16𝑏 − 44 = 0

⟹ 𝑏 = 22/3

ℒ𝑇: = 3𝑦 − 4𝑥 = 22 , 𝑏 = −2 ⟹ ℒ𝑇: 𝑦 = 3𝑥 − 1

2. halle las ecuaciones de las tangentes a la curva x2-2xy +y2+2y-6=0 trazadas

desde el punto (-7,-3).

Solución

ℒ: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , (−7;−3) ∈ ℒ: − 3 = −7𝑚 + 𝑏

ℒ𝑇: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 7𝑚 − 3; 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

(𝑚2 − 2𝑚 + 1)𝑥2 + 2𝑚𝑥 − 49𝑚2 + 56𝑚 − 21 = 0

Por condición de tangencia ∆ = 0

(2𝑚)2 − 4(𝑚 − 1)2(56𝑚 − 49𝑚2 − 21) = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 2/3

ℒ𝑇: 𝑦 =2𝑥

3+

5

3 𝑦 𝑚1 =

6

7 ⟹ ℒ𝑇

` ∶ 7𝑦 = 6𝑥 + 21

3. Para el punto (1,1) de la curva x2 +2xy+y2=0 halle las ecuaciones de las

rectas tangentes y normal en ese punto.

(1,1) ∈ 𝐶 𝑦 ℒ𝑇

ℒ𝑇 = x0x+ 2( 𝑦0𝑥+𝑥0𝑦)

2+ 𝑦0𝑦 −

6(𝑥+𝑥0)

2+

2(𝑦+ 𝑦0)

2= 0

donde (𝑥0 , 𝑦0) = (1,1) ⟹ ℒ𝑇: 𝑥 + (𝑥 + 𝑦) + 𝑦 − 3(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 0

⟹ ℒ𝑇: 3𝑦 = 𝑥 + 2 ,𝑚 =1

3

⟹ ℒ𝑇 = 3𝑥 + 𝑦 = 4

4. halle las ecuaciones de las rectas tangentes la curva 3xy+x-2y-1=0 que son

perpendiculares a la recta L : 2x-2y-7 =0

Solución

En ℒ: �̅� = (2;−2)𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℒ𝑇 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎

⟹ 𝑚 = −2

2= −1 𝑜 𝑠𝑒𝑎

ℒ𝑇: 𝑦 = −𝑥 + 𝑏 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 ∆ = 0 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑏 = 1

ℒ𝑇: 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑦 𝑏 = −1

3𝑏 , ℒ𝑇

` ∶ 3𝑥 + 3𝑦 = −1

5. Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 en el punto de contacto (x0,y0) está dado por xx0 +

yy0 + D(x+x0)/2 + E(y+y0)/2 + F = 0

Solución

Prueba por la ecuación de la recta tangente a la ecuación general de 2° grado

para B=0 se obtiene.

x x0+𝑦𝑦0+ 𝐷(𝑥+𝑥0)

2+

𝐸(𝑦+𝑦0)

2+ 𝐹 = 0