Villanueva Zuloeta Giancarlo 20141413D.

Rojas López José Armando 20141093J.

Carhuay Trujillo Edgar Alexander 20141286B.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Integrantes:

INTRODUCCIÓNEn el siguiente laboratorio veremos unas de las formas de movimiento principales que se encuentran en la naturaleza. Su característica distintiva es un patrón repetitivo, el sistema adopta la misma configuración, en cierto momento, que mostraba antes.

El comportamiento periódico y repetitivo es quizás más ubicuo que la traslación y la rotación. Son acontecimientos periódicos, las estaciones, la noche y el día, las fases de la luna, las mareas y el respirar. Nos comunicamos por medio de vibraciones al generar oscilaciones periódicas de la presión de aire con nuestras cuerdas vocales y esas oscilaciones periódicas las siente el tímpano ,cuyas vibraciones finalmente excitan respuestas bien definidas del sistema nervioso.

El comportamiento oscilatorio es muy común, debido principalmente a que es la respuesta natural de casi cualquier sistema al cual, en un equilibrio estable se le perturbe, sin embargo no cualquier sistema en equilibrio esta necesariamente en equilibrio estable. Por tanto nuestra primera tarea al estudiar el movimiento oscilatorio será analizar el equilibrio del mismo.

MOVIMIENTO PERIODICO EFECTUADO POR LAS BOLAS AL INTERACTUAR

MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN CUERPO CON RESPECTO A UNA POSICION DE EQUILIBRIO

OBJETIVOS1. Determinar el periodo y la frecuencia de un sistema que

efectúe un movimiento armónico simple, teórica y experimentalmente.

2. Tener los conocimientos básicos de un sistema armónico simple.

3. Aplicar las ecuaciones de un sistema armónico simple, obtener los resultados a partir de los datos experimentales.

4. Obtener mejor rendimiento por parte de nosotros los estudiantes observando la experiencia, comprendiendo y comprobando la teoría vista en clase.

5. Determinar la constante de rigidez del resorte.6. Comprobar la relación entre el periodo, la masa y la

constante de rigidez de un sistema masa resorte.7. Verificar las ecuaciones de movimiento masa-resorte.

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

Movimiento

Es un movimiento unidimensional.

Es periódico Es oscilatorio

Es aquel movimiento donde existen fuerzas disipativas o de resistencias que ejerce el medio.

Movimiento oscilatorio amortiguado

Movimiento Oscilatorio Armónico simple

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

Oscilaciones : Variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema

Movimiento OscilatorioLos fenómenos oscilatorios o vibratorios se presentan en física con mucha frecuencia. Ejemplos de movimientos oscilatorios son los péndulos de los relojes, que oscilan de izquierda a derecha, o los objetos colgados de un muelle, que oscilan arriba y abajo, o incluso otros como las vibraciones de las moléculas en el interior de los cuerpos.

En todos los casos, la partícula material realiza un movimiento de vaivén, con una cierta amplitud, en torno a un punto que tomamos como origen llamado posición de equilibrio. El movimiento oscilatorio cuyo origen se encuentra en el punto medio de su trayectoria (lo que implica que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales) se conoce como movimiento vibratorio.

En la naturaleza se observa también oscilaciones no mecánicas como pueden ser los cambios de temperatura a lo largo del día, que oscilan en torno al valor medio. En este caso no oscila una partícula sino el valor de una cierta magnitud física, como la temperatura. Estas oscilaciones no mecánicas se visualizan con más dificultad que las oscilaciones mecánicas, por lo que utilizaremos en general un modelo mecánico.

Cuando una partícula realiza un movimiento oscilatorio, las magnitudes que lo caracterizan (posición, velocidad, aceleración, etc.) se repiten a intervalos regulares de tiempo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio es periódico y al tiempo de repetición se le llama período (T). Hemos de tener en cuenta que hay movimientos periódicos como el que realiza la Luna alrededor de la Tierra o el de la Tierra alrededor del Sol, que no son oscilatorios porque la partícula no toma valores máximos y mínimos en torno a la posición de equilibrio.

Tres ejemplos de movimiento vibratorio

“Muestra de Movimiento Oscilatorios verticales y de un péndulo simple”

Se llama oscilación o vibración completa al movimiento realizado durante un período, es decir, una ida y una vuelta, tal y como se indica en la figura:

Una magnitud importante en un movimiento oscilatorio periódico es su frecuencia, que se define como el número de oscilaciones que realiza la partícula en la unidad de tiempo. Se mide en s-1 o hertzios (Hz) en honor al físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894).

Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo más habitual es el movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.). Un movimiento es armónico cuando la función que lo representa es armónica como es el seno o el coseno. Podemos dar una primera definición de m.a.s. como un movimiento periódico, vibratorio y que puede ser representado por una función armónica

2.- CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

A] ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Para deducir la ecuación que rige el m.a.s. empleamos la relación que existe entre él y el movimiento circular uniforme que también es periódico.

El m.a.s. de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

Tomamos el punto O’ como origen del sistema de referencia. Supongamos que la partícula que recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = 0 su proyección será el centro de la circunferencia O’. Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las sucesivas posiciones 1, 2, 3, ... en el diámetro se obtienen las posiciones correspondientes 1’, 2’, 3’,... Si observas la figura comprobarás que

El m.a.s. se obtiene proyectando un movimiento circular uniforme.

cuando se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo transcurrido es de un período, y el movimiento vibratorio ha realizado una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten.

En la figura anterior vemos que a un desplazamiento angular t, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que:

xt = A sen t

En la figura siguiente está representado el diagrama x-t de este movimiento. En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la posición P (se ha recorrido previamente un ángulo ), el valor de x será:

x t=A sen (ωt+ϕ ) Ecuación general del M.A.S

Gráfica x-t del m.a.s.

El m.a.s. es una proyección del movimiento circular uniforme

El significado físico de las magnitudes que intervienen en la ecuación anterior es el siguiente:

Elongación (x). Es la distancia que en un instante separa al punto vibrante de la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda.

Amplitud (A). Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Fase en cualquier instante (t + ). Nos da el estado de movimiento en ese instante. Fase inicial (). Su valor determina el estado de vibración para t = 0. En ese caso,

x = A sen t.

Pulsación o frecuencia angular (). Representa la velocidad angular constante del movimiento hipotético que hemos proyectado.

Período (T). Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa.

Frecuencia (f). Es el número de vibraciones realizadas en 1 s. Representa la rapidez con que tienen lugar la vibraciones. La pulsación, el período y la frecuencia se encuentran relacionados por las expresiones:

f= 1T

; T=1f

; ω= 2πf

La elección de la función seno en la ecuación del m.a.s. significa suponer que en el instante inicial (t = 0) la partícula se encuentra en el punto de equilibrio, siendo la fase inicial = 0 y la ecuación: xt = A sen t. En el caso de que en el instante inicial la partícula se encuentre en el punto de elongación máxima

positiva, = π2 rad siendo

x t=A sen (ωt+ π2

)= A cos ω t

El cuadro siguiente resume todas las situaciones que pueden presentarse.

Origen de tiempos Fase inicial (rad) Ecuación del m.a.s.

t=0

= 0 x = A sen t

t=0

= /2

x = A sen (t + /2)

x = A cos t

t=0

=

x = A sen (t + )

x = A sen t

t=0

= 3/2

x = A sen (t + 3/2)

x = A cos t

B] ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD

En un m.a.s. la dirección de la velocidad es la de la recta en la que tiene lugar el movimiento y su sentido es el mismo que el de éste. Su valor se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación x = A sen t:

v t=dxdt

=Aωcosωt

La gráfica representa la velocidad en función del tiempo. También podemos expresar la velocidad en función de la posición:

v t=Aω√1−sen2ωt=ω√A2−A2 sen2ωt=ω√A2−x2

Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que:

sen2t + cos2t = 1

Consecuencias:

La velocidad del m.a.s. es una función en la que sus valores se repiten periódicamente. El valor de la velocidad depende de la posición de la partícula.

Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos, lo cual resulta lógico ya que en dichos puntos se invierte el sentido del movimiento y la velocidad pasa de ser positiva a negativa, o viceversa.

C] ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN

La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo: v t=Aωcosωt

a t=dvdt

=−Aω2 senωt ; como x= Asenω t ⇒ at=−ω2 x

La gráfica representa la aceleración en función del tiempo.

Consecuencias:

La aceleración del m.a.s. es una función en la que sus valores se repiten periódicamente.

El valor de la aceleración depende de la posición de la partícula, es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.

Diagrama v-t del m.a.s.

La velocidad y la aceleración dependen de la elongación.

Es nula en el centro y máxima en los extremos.

El m.a.s. es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario.

En la tabla siguiente se indican los valores más representativos para la posición, la velocidad y la aceleración en un m.a.s. en el que la fase inicial es nula. Así mismo, se representan simultáneamente las variaciones de dichas magnitudes en función del tiempo.

Elongación Velocidad Aceleración

0 0 A (máxima) 0

T4

A (máxima) 0 -A2 (máxima)

T2

0 -A (máxima) 0

3T4

-A (máxima) 0 A2 (máxima)

T 0 A (máxima) 0

3.- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. EL OSCILADOR ARMÓNICO.

Al colgar un cuerpo de masa m de un muelle o resorte, de masa despreciable y longitud l0, se estira hasta una longitud l. El alargamiento que experimenta es l = l – l0.

Diagrama a-t del m.a.s. El movimiento vibratorio la aceleración depende del desplazamiento.

Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la fuerza recuperadora Fr del muelle que

equilibra a la anterior, cumpliéndose que:

Fuerza deformadora = fuerza recuperadora

P = Fr

Según la ley de Hooke, el alargamiento producido (l) es proporcional al peso: P = k l

pudiéndose obtener a partir de esta expresión la constante recuperadora k=mg

Δl .

Al aplicar verticalmente hacia abajo una fuerza externa Fext, el muelle se deforma una cantidad adicional x siendo ahora que fuerza deformadora P + Fext = k l + k x ,

cumpliéndose de nuevo que P + Fext = Fr

Al soltar el cuerpo, como la fuerza recuperadora es mayor que el peso, comienza a desplazarse hacia la posición de equilibrio con una fuerza resultante F que es la que produce el movimiento:

F = Fr - P = P + Fext - P = Fext = k x

y teniendo en cuenta que la fuerza provoca siempre una disminución del desplazamiento, F y x tienen sentido contrario:

F = k x

expresión que permite conocer la fuerza máxima al iniciarse el movimiento. En general para que una fuerza produzca un m.a.s. ha de ser, en todo instante, proporcional al desplazamiento del móvil y de sentido contrario.

Al soltar el cuerpo, la fuerza recuperadora tiende a llevarlo a la posición de equilibrio.

Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - x tenemos:

F=−kxF=ma=m(−ω2 x ) } ⇒ k =mω2

Si sustituimos por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

k=m 4 π 2

T 2 ⇒ T=2π √mk

Se observa que el período con el que vibra el resorte no depende de la longitud del muelle en reposo, ni de la amplitud de las oscilaciones.

Conclusiones:

La fuerza elástica que produce el movimiento armónico es F=−kx .

El valor de la constante resulta ser k =

FdeformadoraΔl

El valor de la frecuencia depende de la constante recuperadora:

k =mω2

ω=2πf } de donde f = 12 π √ km

Este análisis del movimiento permite dar la siguiente definición: El movimiento armónico es producido por una fuerza central de dirección constante y proporcional a la elongación.

4.- EL PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple o matemático está constituido idealmente por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible, de masa despreciable, capaz de oscilar libremente en el vacío. Al separar el péndulo de la vertical un ángulo se pone a oscilar en torno a la posición central.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso y la tensión de la cuerda. El peso puede descomponerse en sus dos componentes rectangulares:

Una fuerza normal a la trayectoria F’ = mg cos , en la dirección del hilo, que equilibra a la tensión de la cuerda.

Una fuerza tangencial a la trayectoria F = mg sen , que es la que origina el movimiento oscilante, pudiendo escribirse que:

F=−mg sen ϕ ; siendo ϕ= x

l

para indicar que dicha fuerza es de sentido contrario al de la elongación, ya que al dirigirse siempre hacia la posición de equilibrio, O, tiende a disminuir el valor de .

El movimiento no es vibratorio, pues la fuerza recuperadora, aunque tiene sentido contrario al desplazamiento, es proporcional al seno del desplazamiento y no al desplazamiento. Sin embargo, si suponemos oscilaciones de pequeña amplitud, en las que el valor del ángulo sea inferior a 10º (ver tabla), puede sustituirse el valor del seno por el valor del ángulo expresado en radianes:

sen = (rad) con lo que tendríamos:

F=−mgϕ=−mgxl

=−kx

Siendo la constante recuperadora es k=mg

l

Según esto, la fuerza que provoca el movimiento del péndulo es una fuerza variable, atractiva hacia un punto fijo (posición de equilibrio), directamente proporcional a la elongación y de signo contrario a ella.

Teniendo en cuenta que:

grados

rad

sen diferencia

%

0

2

5

10

15

0

0’0349

0’0873

0’1745

0’2618

0

0,0349

0’0872

0’1736

0’2588

0

0

0’13

0’5

1’14

Las oscilaciones de un péndulo son vibraciones si el ángulo es menor a 10º

Que es la expresión matemática del período de un péndulo simple en función de su longitud y de la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia, siempre que se trate de pequeñas oscilaciones.

5.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO

Recibe el nombre de oscilador mecánico todo sistema material que esté animado de movimiento armónico. La energía mecánica que posee es cinética porque hay movimiento y potencial porque el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa, siendo la energía potencial una característica de este tipo de fuerzas como veremos más adelante.

A] Energía cinética

Si tenemos en cuenta que la energía cinética es Ec=

12mv2

, y que la velocidad vale

v=Aω cos ω t, se deduce:

Ec=12mv2=1

2mA 2ω2cos2ωt=1

2kA 2cos2ωt=1

2kA 2(1−sen2ωt )=1

2k (A2−x2)

La energía cinética:

Es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Ec=12k ( A2−x2 )

Depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la trayectoria, cuando x = 0.

Es periódica.

B] Energía potencialLa energía potencial elástica almacenada en el oscilador, para una elongación determinada x, viene dada por:

La energía potencial:

Es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Depende de la posición. Tiene su valor máximo en los extremos.

Es periódica.

C] Energía mecánica

Es la suma de las energías cinética y potencial:

Em = Ec + Ep = 12k ( A2−x2 )+ 1

2k x2=1

2 k A2

La energía mecánica total de un oscilador armónico simple permanece constante a lo largo de su movimiento y es proporcional al cuadrado de su amplitud. Esta energía coincide con la energía potencial cuando x = A y con la energía cinética cuando x = 0. En los demás puntos la energía mecánica del oscilador será de los dos tipos, transformándose uno en otro en el transcurso del movimiento.

Las representaciones gráficas de las energías cinética y potencial en función del desplazamiento ponen de manifiesto que ambas energías son siempre positivas y que su

suma en todo momento es igual a

12k A2

.

E p=12k x2

Transformaciones energéticas en el movimiento del péndulo simple.

Variación de la energía con la elongación

Materiales:

RESORTE

4 PESAS DE DIFERENTES

CRONOMETRO

PAPEL MILIMETRADO

SOPORTE UNIVERSAL

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