I. PERFIL DE VELOCIDAD PARA UN FLUIDO DE VISCOSIDAD

VARIABLE EN UN TUBO VERTICAL

1. MARCO CONCEPTUAL

1.1. BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Primero se selecciona una envoltura delgada de fluido que tenga la misma

geometría que el objeto sobre el cual se hace el balance. La ecuación para el flujo

rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que

actúan sobre el volumen)

1.2. FLUJO DE UN FLUIDO UN TUBO VERTICAL

Este tipo de flujo se presenta en diversa aplicaciones donde se requiere que el

fluido tenga altos tiempos de resistencia en el tubo, ya sea con la finalidad de

propiciar una reacción química o de transferir calor en forma adecuada

Figura N° 1: Flujo a través de un tubo circular y condiciones de

frontera

Entrada Salida

Transporte

molecular

Transporte

convectivo

Presión en la

superficie anular

Fuerza

gravitacional

Primeramente, planteamos el balance de cantidad de movimiento para un fluido en

un tubo vertical:

Los términos convectivos son normalmente iguales, por lo cual la diferencia se

anula, luego, la ecuación anterior se divide por y luego se toma el límite:

Luego:

(1)

1.3. FLUIDO NEWTONIANO

Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante

en el tiempo. Los fluidos newtonianos son uno de los fluidos más sencillos de

describir. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra

su velocidad de deformación es lineal. El mejor ejemplo de este tipo de fluidos es

el agua en contraposición al pegamento, la miel o los geles y sangre que son

ejemplos de fluido no newtoniano. Un buen número de fluidos comunes se

comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y

temperatura: el aire, el agua, la gasolina, el vino y algunos aceites minerales.

Matemáticamente, el rozamiento en un flujo unidimensional de un fluido

newtoniano se puede representar por la relación:

Ley de Newton de la Viscosidad

Dónde:

Es la tensión tangencial ejercida en un punto del fluido o sobre una superficie

sólida en contacto con el mismo, tiene unidades de tensión o presión

Es la viscosidad del fluido, y para un fluido newtoniano depende sólo de la

temperatura

Es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección al plano en el que

estamos calculando la tensión tangencial

1.4. FLUIDO DE VISCOCIDAD VARIABLE

Como se aclaró anteriormente la viscosidad solo depende de la temperatura, y

dicha dependencia está dada por la ecuación de Arrhenius:

Dónde:

Viscosidad dinámica

Constantes independientes del líquido.

Temperatura absoluta

Pero a su vez, en la transferencia de calor, la temperatura depende de la posición,

así que la ecuación anterior puede adaptarse de la siguiente manera:

Donde alfa es parámetro con unidades de temperatura. Para el caso que venimos

analizando la viscosidad estaría dad por:

Así, para un fluido de viscosidad variable, la expresión de rozamiento en un flujo

unidimensional estará dada por:

2. CÁLCULOS

2.1. PERFIL DE VELOCIDAD MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE UN

SISTEMA DE 10 ECUACIONES

La ecuación (1) representa la ecuación deferencial del fluido vertical hacia abajo

en un tubo por efecto de la gravedad y la diferencia de presiones. Derivando la

ecuación (1):

(2)

Ahora planteamos la ecuación para un fluido de viscosidad variable:

, derivando: (3)

(4)

Reemplazando (3) y (4) en la ecuación (2), resulta:

(5)

Si :

(6)

Reemplazando en la ecuación (6) en (5):

(7)

Discretizando la ecuación (7):

(8)

Ahora evaluamos la ecuación (8) para 10 puntos:

Para:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Conocido de las condiciones de frontera

Este sería el sistema de 10 ecuaciones a resolver para hallar el perfil de velocidad.

2.2. PERFIL DE VELOCIDAD MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE UN

SISTEMA DE 20 ECUACIONES

La ecuación (1) representa la ecuación deferencial del fluido vertical hacia abajo

en un tubo por efecto de la gravedad y la diferencia de presiones. Derivando y

despejando la ecuación (1):

(1)

(9)

Ahora planteamos y despejamos la ecuación para un fluido de viscosidad variable:

(10)

Discretizando (9):

(11)

Discretizando (10):

(12)

Ahora evaluamos la ecuación (11) para 10 puntos (de 1 a 10):

Conocido de las condiciones de frontera

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ahora evaluamos la ecuación (12) para 10 puntos (de 1 a 10):

:

:

:

:

:

:

:

:

:

3. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES ENCONTRADAS

Ahora se reemplazarán los siguientes valores a las ecuaciones encontradas:

(Parámetro)

Para la solución de los sistemas de ecuaciones se recurre al software Polymath

3.1. APLICACIÓN MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 10

ECUACIONES

# Programa de cálculo del perfil de velocidad de un fluido con viscosidad variable# Ecuaciones del balance de cantidad de movimientof(V0) = (V1 - 2 * V0 + V0) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V0 - V0) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (0 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V1) = (V2 - 2 * V1 + V0) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V1 - V0) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (1 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V2) = (V3 - 2 * V2 + V1) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V2 - V1) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (2 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V3) = (V4 - 2 * V3 + V2) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V3 - V2) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (3 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V4) = (V5 - 2 * V4 + V3) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V4 - V3) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (4 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V5) = (V6 - 2 * V5 + V4) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V5 - V4) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (5 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V6) = (V7 - 2 * V6 + V5) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V6 - V5) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (6 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V7) = (V8 - 2 * V7 + V6) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V7 - V6) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (7 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V8) = (V9 - 2 * V8 + V7) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V8 - V7) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (8 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)f(V9) = (V10 - 2 * V9 + V8) / ((Dr) ^ 2) - alfa * (V9 - V8) / (2 * R * Dr) + DP * exp(alfa * (9 * Dr) / R) / (2 * mu0 * L)alfa = 0.1 # Parámetro del modelo viscosidad variableDr = 0.1 # Incremento radial, cmR = 1 # Radio del tubo, cmmu0 = 0.2 # Parámetro de la viscosidad, cp.

L = 20 # Longitud del tubo, cm.DP = 500 # Diferencia de presiones, g/cm.seg2V10 = 0 # valor conocido de las condiciones de fronteraV0(0) = 0V1(0) = 0V2(0) = 0V3(0) = 0V4(0) = 0V5(0) = 0V6(0) = 0V7(0) = 0V8(0) = 0V9(0) = 0

Obteniéndose:

Variable Value

1 V0 35.96395

2 V1 35.33895

3 V2 34.07955

4 V3 32.17622

5 V4 29.61934

6 V5 26.39917

7 V6 22.50585

8 V7 17.92942

9 V8 12.65979

10 V9 6.686757

3.2. APLICACIÓN MEDIANTE LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 20

ECUACIONES

# Programa de cálculo del perfil de velocidad de un fluido con viscosidad variable# Ecuaciones del balance de cantidad de movimientof(tau1) = 1 * (tau1 - tau0) + tau1 - (DP * Dr * 1) / Lf(tau2) = 2 * (tau2 - tau1) + tau2 - (DP * Dr * 2) / Lf(tau3) = 3 * (tau3 - tau2) + tau3 - (DP * Dr * 3) / Lf(tau4) = 4 * (tau4 - tau3) + tau4 - (DP * Dr * 4) / Lf(tau5) = 5 * (tau5 - tau4) + tau5 - (DP * Dr * 5) / Lf(tau6) = 6 * (tau6 - tau5) + tau6 - (DP * Dr * 6) / Lf(tau7) = 7 * (tau7 - tau6) + tau7 - (DP * Dr * 7) / Lf(tau8) = 8 * (tau8 - tau7) + tau8 - (DP * Dr * 8) / Lf(tau9) = 9 * (tau9 - tau8) + tau9 - (DP * Dr * 9) / Lf(tau10) = 10 * (tau10 - tau9) + tau10 - (DP * Dr * 10) / Lf(V1) = Dr * tau1 + mu0 * exp((-alfa * 1 * Dr) / R) * (V1 - V0)f(V2) = Dr * tau2 + mu0 * exp((-alfa * 2 * Dr) / R) * (V2 - V1)f(V3) = Dr * tau3 + mu0 * exp((-alfa * 3 * Dr) / R) * (V3 - V2)f(V4) = Dr * tau4 + mu0 * exp((-alfa * 4 * Dr) / R) * (V4 - V3)f(V5) = Dr * tau5 + mu0 * exp((-alfa * 5 * Dr) / R) * (V5 - V4)f(V6) = Dr * tau6 + mu0 * exp((-alfa * 6 * Dr) / R) * (V6 - V5)f(V7) = Dr * tau7 + mu0 * exp((-alfa * 7 * Dr) / R) * (V7 - V6)f(V8) = Dr * tau8 + mu0 * exp((-alfa * 8 * Dr) / R) * (V8 - V7)f(V9) = Dr * tau9 + mu0 * exp((-alfa * 9 * Dr) / R) * (V9 - V8)f(V10) = Dr * tau10 + mu0 * exp((-alfa * 10 * Dr) / R) * (V10 - V9)Dr = 0.1 # Incremento radial, cmDP = 500 # Diferencia de presiones, g/cm.seg2L = 20 # Longitud del tubo, cm.alfa = 0.1 # Parámetro del modelo viscosidad variableR = 1 # Radio del tubo, cmmu0 = 0.2 # Parámetro de la viscosidadV1(0) = 0V2(0) = 0V3(0) = 0V4(0) = 0V5(0) = 0V6(0) = 0V7(0) = 0V8(0) = 0V9(0) = 0V10(0) = 0V10 = 0 # valor conocido de las condiciones de fronteratau0 = 0 # valor conocido de las condiciones de fronteratau1(0) = 0tau2(0) = 0tau3(0) = 0

tau4(0) = 0tau5(0) = 0tau6(0) = 0tau7(0) = 0tau8(0) = 0tau9(0) = 0tau10(0) = 0

Obteniéndose:

Variable Value

1 V0 36.87848

2 V1 36.24720

3 V2 34.97195

4 V3 33.03984

5 V4 30.43782

6 V5 27.15259

7 V6 23.17071

8 V7 18.47848

9 V8 13.06205

10 V9 6.90732

11 tau1 1.25000

12 tau2 2.50000

13 tau3 3.75000

14 tau4 5.00000

15 tau5 6.25000

16 tau6 7.50000

17 tau7 8.75000

18 tau8 10.00000

19 tau9 11.25000

20 tau10 12.50000

3.3. ESBOZADO DEL PERFIL DE VELOCIDAD CON LOS PUNTOS

ENCONTRADOS

Los valores tabulados y graficados en el software Excel dan como resultado:

Vsistema de 20 ecuaciones

sistema de 10 ecuaciones

0 36.87848 35.963951 36.24720 35.338952 34.97195 34.079553 33.03984 32.176224 30.43782 29.619345 27.15259 26.399176 23.17071 22.505857 18.47848 17.929428 13.06205 12.659799 6.90732 6.68675710 0.00000 0.000000

II. CÁLCULO DEL PERFIL DE TEMPERATURA EN UNA ALETA CÓNICA

Balance de Energía:

(Entrada de energía por conducción) - (salida de energía por conducción) - (salida de energía por convección) = 0

¿¿

¿

El área lateral viene dado por:

AL=2.π . y .∆ x

Aplicando límite cuando ∆ x →0

lim∆ x→ 0

¿¿¿

d ( Ax . qx)dx

=−2.π . y . h . (T−T ∞ )… (1 )

Expandiendo la expresión(1 )

A( x ).( d qx

dx )+qx .( d A( x)

dx )=−2. π . y . h . (T−T ∞ )… (2)

Pero, como el área es variable:

A(x)=π y2

y=mx+b

d (A( X ))dx

=2.π . y .dydx

…(3)

dydx

=m…(4 )

Reemplazando (4) en (3):

d (A( X ))dx

=2.π . y .m

Por la ley de fourier:

qx=−KdTdx

… (5 )

Derivando respecto a x:

ddx

(qx )=−Kd2Td x2

… (6 )

Reemplazando la ecuación (2):

(−KdTdx ) . (2. π . y .m )+(π y2 ) .(−K

d2Td x2 )+h .2.π . y (T−T∞ )=0… (7)

Dividiendo (7) entre (−πk y2)

(−KdTdx ) . (2. π . y .m )

−k y2π+

(π y2 ) .(−Kd2Td x2 )

−k y2 π+

h.2 . π . y (T−T ∞ )−k y2π

=0

2my

dTdx

+ d2Td x2

−h .2 (T−T∞ )

ky=0

Acomodando los términos:

Por tanto:

m=∆ y∆ x

=−( R1−R2 )

L

b=R1

y=−( R1−R2L ) x+R1

Condiciones de frontera:

x=0 , T=T w

x=L ,dTdx

=0

d2Td x2

+ 2mmx+b ( dT

dx )−2.h . (T−T ∞ )k (mx+b )

=0… (8 )

Discretizando la expresión (8):

T i+1−2T i+T i−1

∆ x2+ 2m

mi∆ x+b (T i−T i−1

∆ x )−2.h . (T i−T ∞ )k (mi ∆x+b )

=0

Multiplicando por ∆ x2

T i+1−2T i+T i−1+2m

mi ∆ x+b.∆ x .(T ¿¿ i−T i−1)−

2.h . (T i−T ∞ )k (mi∆ x+b )

.∆ x2=0¿

Evaluando los valores de i:

i=1

T 2−2T1+T 0+2m

m .1. ∆ x+b.∆ x . (T¿¿1−T0)−

2.h . (T 1−T ∞ )k (m .1 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=2

T 3−2T2+T 1+2m

m .2.∆ x+b.∆ x .(T ¿¿2−T1)−

2.h . (T2−T ∞ )k (m .2 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=3

T 4−2T 3+T2+2m

m .3 .∆ x+b.∆ x .(T ¿¿3−T 2)−

2.h . (T3−T∞ )k (m .3 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=4

T 5−2T 4+T3+2m

m .4 .∆ x+b.∆ x .(T¿¿ 4−T3)−

2.h . (T 4−T ∞ )k (m .4 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=5

T 6−2T5+T 4+2m

m .5 .∆ x+b.∆ x .(T ¿¿5−T 4)−

2.h . (T 5−T ∞ )k (m .5 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=6

T 7−2T6+T 5+2m

m .6 .∆ x+b.∆ x .(T ¿¿6−T5)−

2.h . (T 6−T ∞ )k (m .6 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=7

T 8−2T7+T 6+2m

m .7 .∆ x+b.∆ x .(T ¿¿7−T6)−

2.h . (T 7−T ∞ )k (m .7 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=8

T 9−2T8+T 7+2m

m .8 .∆ x+b.∆ x .(T ¿¿8−T 7)−

2.h . (T 8−T ∞ )k (m .8 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

i=9

T 10−2T 9+T 8+2m

m .9 .∆ x+b.∆ x .(T¿¿9−T 8)−

2.h . (T 9−T∞ )k (m .9 .∆ x+b )

. ∆ x2=0¿

i=10

T 11−2T 10+T 9+2m

m .10 .∆ x+b.∆x .(T ¿¿10−T 9)−

2.h. (T 10−T ∞ )k (m .10 .∆ x+b )

.∆ x2=0¿

Adicionalmente:

T 0=T w

dTdx

=0→T 11=T 10

Ordenando y llevándolo a una forma general:

T i+1−2T i+T i−1+2mi∆ x

m . i .∆ x+br(T¿¿i+1−T i)−

2.h .∆ x2 (T i−T ∞ )k ( mi .∆ x+b )

=0¿

T i+1−2T i+T i−1+2mi∆ x

m . i .∆ x+br(T¿¿i+1−T i)=

2.h .∆ x2 (T i−T ∞ )k ( mi .∆ x+b )

¿

Haciendo:

Ai= 2m∆ xmi ∆ x+b

; Bi=2h(∆ x )2

k (mi∆ x+b)

Por tanto:

T i+1 (1+Ai )−T i (2+Ai+Bi )+T i−1=−T ∞ .Bi …(I )

Con:

Ai=−2(R1−R2

L )∆ x

−(R1−R 2L )i ∆ x+R1

Bi=2h(∆ x )2

k (mi∆ x+b)

Donde la ecuación (I) nos permite hallar el perfil de temperatura.

PROBLEMA.

DATOS PARA LA RESOLUCIÓN:

TW=200 ° C = 473K

T a=25 ° C=298k

L=10cm=0.1m

R1=1.5cm=0.015m

R2=2.5 cm=0.025m

K=40 w

m0C

h=60 w

m2 °C

RESOLUCIÓN:

RESOLVIENDO CON LA AYUDA DEL PROGRAMA POLYMATH 6.1

DE LAS ECUACIONES ANTERIORES:

T 2−2T2+473+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 1−473)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 1−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 3−2T2+T 1+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T2−T 1)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T2−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 4−2T 3+T2+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 3−T 2)

( (−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 3−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 5−2T 4+T3+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 4−T3)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 4−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 6−2T5+T 4+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 5−T 4)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 5−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 7−2T6+T 5+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 6−T 5)

( (−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 6−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 8−2T7+T 6+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 7−T 6)

( (−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T7−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 9−2T8+T 7+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 8−T 7)

( (−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T8−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 10−2T 9+T 8+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 9−T 8)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 9−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 11−2T 10+T 9+2∗(−0.1 )∗0.1∗(T 10−T 9)

((−0.1 )∗0.1∗2.5)−2.60 . (T 10−298 )∗(0.1)2

40 ( (−0.1 )∗0.1+2.5 )=0

T 11=−6040

∗¿(T 10−T 9) + T10

T 11=−12

*T 10+32

T 9

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES TENEMOS:

T1 = 459.1708186; T2 = 447.1723768; T3= 436.8748197; T4= 428.1677420; T5=420.9590140; T6= 415.1738186; T7 = 410.7538887; T8=407.6569379; T9=405.8562801; T10=405.3406325; T11=406.1141039

ORDENANDO DATOS:

L(M) TEMPERATURAS T-TINFERIOR.0 459.1708186 434.1708186

0.01 447.172376 422.1723760.02 436.874819 411.8748190.03 428.167742 403.1677420.04 420.959014 395.9590140.05 415.173818 390.1738180.06 410.753888 385.758880.07 407.656937 382.6569370.08 405.85628 380.856280.09 405.340632 380.3406320.1 406.114103 381.114103

Perfil De Temperatura Vs Longitud

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

406.114103

Perfil de Temperatura

Series2

Longitud(m)

Tem

pera

tura

Uniendo cada punto en el gráfico: del perfil de temperatura inferior vs longitud.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12350

360

370

380

390

400

410

420

430

440

III. Aleta de Tronco de Cono llevado a una aleta Cilíndrica

Balance de Energía

¿¿lim

∆ x→0¿¿¿

m

qx .( d A(x )

dx )=−2. π . y .h . (T−T ∞ )

qx .( d A(x )

dx )+A ( x ) .( d qx

dx )=−2.π .h . y . (T−T ∞ )

Como el área es variable:

A(x)=π y2 y=mx+b

d (A( X ))dx

=2.π . y .dydx

=2.π y (m)

Reemplazando:

π . y2( d qx

dx )+qx .2π ym=−2.π .h . y . (T−T ∞ )

Sabiendo:

qx=−KdTdx

ddx

(qx )=−Kd2Td x2

Ordenando: d2Td x2

+ 2my

dTdx

=2hky

(T−T ∞ )

Se sabe que: y=mx+b

Por tanto: m=∆ y∆ x

=−(R1−R 2)

L;b=R1 ; y=

−(R1−R2)L

. x+R1

Con las condiciones de frontera:

x=0 , T=T w

x=L;dTdx

=0ó−KdTdx

=h (T−T ∞ )

Discretizando se tiene:

T i+1−2T i+T i−1

∆ x2+ 2m

mi∆ x+b (T i−T i−1

∆ x )−2.h . (T i−T ∞ )k (mi ∆x+b )

=0

Ahora si quiere llevar de una cónica a una cilíndrica:

b=R2 y m=0

Quedando de la forma: T i+1−2T i+T i−1

∆ x2= 2.h

R2 . k. (T i−T ∞ )

Reordenando la misma ecuación:

T i+1−(2+ 2h . (∆ x2 )R2 . k )T i+T i−1=

−2.h . ( ∆ x )2

R2 . k.T ∞

Esta ecuación nos permite calcular el perfil de temperatura a lo largo de la aleta cilíndrica.

IV. ALETA DE DISCO DE SECCION CONSTANTE

Balance De Cantidad De Energía

qr|r2πr 2B−qr|r+∆r2π (r+∆r )2B−2h2πr ∆ r (T−T a )

lim∆r →0

(¿qr|r+∆r2 π (r+∆r )2B−qr|r2 π 2B r

2π 2 B∆r)+4 πr ∆ rh¿¿¿

d (r qr)dr

+ hB

(T−T a )=0

Sabemos por fourier:

qr=−KdT

dr

Derivamos:

rhB

(T−T a )= ddr ( KrdT

dr )

d2TdT 2 +

dTrdr

− hKB

(T−T a)=0

Siendo las condiciones de frontera:

Condiciones de frontera 1: r=R1, T=Ta

Condiciones de frontera 2: dTdr

=0 ….. (a)

−k∗dTdr

=h(T−T a) …. (b)

Dependiendo del caso se puede aplicar la segunda condición frontera ya sea la parte (a) o la parte (b). Procedemos a discretizar la ecuación

T i+1−2T i+T i−1

( Δr )2+ 1

iΔr (T i+1−T i

Δr )= hkB

(T i−Ta )

(1+ 1i )T i+1−(2+ 1i + h ( Δr )2

kB )T i+T i+1=−h ( Δr )2

kB

De la primera condición de frontera:

i=1 :2T 2−(3+ h ( Δr )2

kB )T 1+T0=−h ( Δr )2

kBT a

i=2 : 32

T 3−( 52 +h ( Δr )2

kB )T 2+T 1=−h ( Δr )2

kBTa

i=3 : 43

T 4−(73+ h ( Δr )2

kB )T 3+T 2=−h ( Δr )2

kBT a

i=4 : 54

T5−( 94 +h ( Δr )2

kB )T 4+T3=−h ( Δr )2

kBT a

i=5 : 65

T 6−(115 +h ( Δr )2

kB )T 5+T 4=−h ( Δr )2

kBT a

A. PERFIL DE TEMPERATURA DE UNA SECCION DE AREA CONSTANTE:

.T a=25 ° C

K =40 W/m°C

H =60 W/m°C

T = 250

R1=¿0.015 m

.R2=0.025m

Perfil de temperatura cuando −kdTdr

=h (T−T a ) ,r=R

# Transferencia de calor de aleta en disco con convección:

f(T1) = 2 * T2 - (3 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T1 + T0 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T2) = (3 / 2) * T3 - (5 / 2 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T2 + T1 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T3) = (4 / 3) * T4 - (7 / 3 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T3 + T2 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T4) = (5 / 4) * T5 - (9 / 4 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T4 + T3 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T5) = (6 / 5) * T6 - (11 / 5 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T5 + T4 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)

T6 = T5 * (1 - h * dr / K) + h * dr * Tinf / K

K = 40 # W/m°Ch = 60 # W/m°CB = 0.05dr = 0.002Tinf = 25

T0 = TwTw = 250

T1(0) = 0T2(0) = 0T3(0) = 0T4(0) = 0T5(0) = 0

B. HALLANDO LA EFICIENCIA PARA TEMPERATURA MÁXIMA

Perfil de temperatura cuando dTdr

=0 ,r=R

# Transferencia de calor de aleta en disco con temperatura maxima

f(T1) = 2 * T2 - (3 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T1 + T0 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T2) = (3 / 2) * T3 - (5 / 2 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T2 + T1 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T3) = (4 / 3) * T4 - (7 / 3 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T3 + T2 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T4) = (5 / 4) * T5 - (9 / 4 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T4 + T3 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)f(T5) = (6 / 5) * T6 - (11 / 5 + h * dr ^ 2 / (K * B)) * T5 + T4 + h * (dr ^ 2) * Tinf / (B * K)

T6 = T5

K = 40 # W/m°Ch = 60 # W/m2°C

B = 0.05 # mdr = 0.002 # mTinf = 25 # °CT0 = TwTw = 250 # °C

T1(0) = 0T2(0) = 0T3(0) = 0T4(0) = 0T5(0) = 0

C. HALLANDO LA EFICIENCIA PARA TEMPERATURA MÁXIMA

De los datos obtenidos, calculamos por el método del trapecio:

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )drdr= Δr2 ( y0+ y5+2∑

i=1

4

y i)ri(m) Tº (C) T−T ∞ r (T−T ∞ )0.015 250 225 3.3750.017 249.5963 224.5963 3.818137

0.019 249.4079 224.4079 4.263750.021 249.3003 224.3003 4.71030630.023 249.2397 224.2397 5.15751310.025 249.2197 224.2197 5.60582

Ahora con los datos obtenidos,

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr=0.0022

¿

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr=0.04488

n=∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr

∫R1

R2

r (T p−T ∞ )= 2∗0.04488225(0.0252−0.0152)

n=0.9973

V. ALETA TIPO DISCO DE AREA VARIABLE

Balance de Energía

qr∨r∗AT−qr∨r+Δr∗AT−h∗A L (T−T h)=0

AL=2πrΔrsecθ

AL=4 πry=4 πr (mr+b )=4 π mr2+4πrb

θ=arctg ( B2(R2−R1))

ddr

( A i∗qr )=−4 πrΔrΔr

hsecθ (T−T a )=−4 πrsecθh (T−T a )

AT

d qr

dr+qr

d AT

dr=−4 πrsecθ (T−T a )

d AT

dr=8 πmr+4 πb=8π (mr+ b

2 )Reemplazando:

4 kπ (mr2+br ) d2T

d r2+8kπ (mr+ b

2 ) dTdr

=4 πhrsecθ (T−T a )

k

Ordenando:

d2T

dr2+2(mr+ b

2 )(mr2+br )

dTdr

=hrsecθ (T−T a )

k (mr2+br )

En el caso que m=0;

d2Tdr2

+ dTdr

= hkb (T−T a )

Haciendo que λ=hk

secθ

d2T

dr2+2(mr+ b

2 )(mr2+br )

dTdr

=λr (T−T a )(mr2+br )

Discretizando:

T i+1−2T i−T i−1

( Δr )2+2(miΔr+ b

2 )iΔr (miΔr+br )

T i+1−T i

Δr−

λ (T i−T∞ )miΔr+br

=0

T i+1−2T i−T i−1+2(miΔr+ b

2 )i (miΔr+br ) (T i+1−T i )−

λ ( Δr )2 (T i−T ∞ )miΔr+br

=0

Haciendo:

Ai=2(miΔr+ b

2 )i (miΔr+br )

;B i=hsecθ ( Δr )2

k (miΔr+br )

Ordenando:

T i+1 ( A i+1 )−T i (2+A i+B i )+T i+1+T∞+Bi=0

Siendo que m:

m=

−B2

(R2−R1);b=B(1+ R1

2(R2−R1) )

A. PERFIL DE TEMPERATURA DE UNA SECCION DE AREA VARIABLE

.T a=25 ° C

K =40 W/m°C

H =60 W/m°C

T = 250

R1=¿0.015 m

.R2=0.025m

Perfil de temperatura cuando −kdTdr

=h (T−T a ) , x=R2

# Transferencia de calor en las aletas de disco variable con convección

f(T1) = T2 - 2 * T1 + T0 + 2 * (m * 1 * dr + b / 2) * (T2 - T1) / (1 * (m * 1 * dr + b)) - h * secX * dr ^ 2 * (T1 - Tinf) / (K * (m * 1 * dr + b))f(T2) = T3 - 2 * T2 + T1 + 2 * (m * 2 * dr + b / 2) * (T3 - T2) / (2 * (m * 2 * dr + b)) - h * secX * dr ^ 2 * (T2 - Tinf) / (K * (m * 2 * dr + b))f(T3) = T4 - 2 * T3 + T2 + 2 * (m * 3 * dr + b / 2) * (T4 - T3) / (3 * (m * 3 * dr + b)) - h * secX * dr ^ 2 * (T3 - Tinf) / (K * (m * 3 * dr + b))f(T4) = T5 - 2 * T4 + T3 + 2 * (m * 4 * dr + b / 2) * (T5 - T4) / (4 * (m * 4 * dr + b)) - h * secX * dr ^ 2 * (T4 - Tinf) / (K * (m * 4 * dr + b))f(T5) = T6 - 2 * T5 + T4 + 2 * (m * 5 * dr + b / 2) * (T6 - T5) / (5 * (m * 5 * dr + b)) - h * secX * dr ^ 2 * (T5 - Tinf) / (K * (m * 5 * dr + b))T6 = T5 * (1 - h * dr / K) + h * dr * Tinf / K

# Datos del problema:

secX = 0.5K = 40h = 60B = 0.05dr = 0.002Tinf = 25T0 = TwTw = 250R2 = 0.025R1 = 0.015m = -B/(2 * (R2 - R1))b = B * (1 + R1 / (2 * (R2 - R1)))

# Condiciones de frontera:

T1(0) = 0T2(0) = 0T3(0) = 0T4(0) = 0T5(0) = 0

B. HALLANDO LA EFICIENCIA PARA TEMPERATURA MÁXIMA

# Transferencia de calor con aleta en disco area variable con temperatura maxima:

f(T1) = T2 - 2 * T1 + T0 + 2 * (m * 1 * dr + b / 2) * (T2 - T1) / (1 * (m * 1 * dr + b)) - h * secx * dr ^ 2 * (T1 - Tinf) / (K * (m * 1 * dr + b))f(T2) = T3 - 2 * T2 + T1 + 2 * (m * 2 * dr + b / 2) * (T3 - T2) / (2 * (m * 2 * dr + b)) - h * secx * dr ^ 2 * (T2 - Tinf) / (K * (m * 2 * dr + b))f(T3) = T4 - 2 * T3 + T2 + 2 * (m * 3 * dr + b / 2) * (T4 - T3) / (3 * (m * 3 * dr + b)) - h * secx * dr ^ 2 * (T3 - Tinf) / (K * (m * 3 * dr + b))f(T4) = T5 - 2 * T4 + T3 + 2 * (m * 4 * dr + b / 2) * (T5 - T4) / (4 * (m * 4 * dr + b)) - h * secx * dr ^ 2 * (T4 - Tinf) / (K * (m * 4 * dr + b))f(T5) = T6 - 2 * T5 + T4 + 2 * (m * 5 * dr + b / 2) * (T6 - T5) / (5 * (m * 5 * dr + b)) - h * secx * dr ^ 2 * (T5 - Tinf) / (K * (m * 5 * dr + b))T6 = T5

# Valores del problema:secx = 0.5

K = 40h = 60B = 0.05dr = 0.002Tinf = 25T0 = TwTw = 250R2 = 0.025R1 = 0.015m = -B/(2 * (R2 - R1))b = B * (1 + R1 / (2 * (R2 - R1)))

# Condiciones de frontera:T1(0) = 0T2(0) = 0T3(0) = 0T4(0) = 0T5(0) = 0

C. HALLANDO LA EFICIENCIA PARA TEMPERATURA MÁXIMA

De los datos obtenidos, calculamos por el método del trapecio:

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )drdr= Δr2 ( y0+ y5+2∑

i=1

4

y i)ri(m) Tº (C) T−T ∞ r (T−T ∞ )0.015 250 225 3.3750.017 60.96245 35.96245 0.61136160.019 30.91955 5.91955 0.1124710.021 25.95361 0.95361 0.020020.023 25.14689 0.14689 0.00330.025 25.01604 0.01604 0.000401

Ahora con los datos obtenidos,

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr=0.0022

¿

∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr=0.0048696

n=∫R 1

R 2

r (T−T ∞ )dr

∫R1

R2

r (T p−T ∞ )= 2∗0.0048696225(0.0252−0.0152)

n=0.108214

Aleta de sección constante Aleta de sección variable

n=0.99733 n=0.108214

PODEMOS CONCLUIR QUE LA ALETA DE AREA CONSTANTE ES

MAS EFICIENTE

VI. Método de Ellis

El modelo de ELLIS precisa la obtención de tres valores experimentales, que dan tres puntos del reograma, es decir tres ecuaciones, y permiten obtener los parámetros. No admite la linearización logarítmica del -modelo de OSTWALD, aunque sí un tratamiento análogo para la fluidez diferencias, es decir, derivando.

−dV z

dr=(φ0+φ1|τ rz|

α−1 )τ rz………… ………………………………………… ………... (1)

Balance de cantidad de movimiento

1r

d (r∗τ rz)dr

=Po−PL

L

d τ rz

dr=

Po−PL

L−1

r(τ xz)………………………… …………………………………… ..(2)

De (1)

τ rz=−

dV z

dr

(φ0+φ1|τ rz|α−1 )

…………………… ………………………………………… …. (3)

De (3) en (2):

ddr [ dV z

dr

(φ0+φ1|τ xz|α−1 ) ]= Po−PL

L−1

r(τ xz)

d τ rz

dr−1

r.

d V z

dx

(φ0+φ1|τ xz|α−1)

−Po−PL

L=0……… ……(4 )

Discretizando (1) y (4):

De (1)

dV z

dr+τ rz (φ0+φ1|τ rz|

α−1)=0

(V i−V i−1 )∆r

+τ i (φ0+φ1|τ i|α−1 )=0

i=1 : (V 1−V 0 )

∆r+τ1 (φ0+φ1|τ1|

α−1)=0

i=2 : (V 2−V 1 )

∆r+τ2 (φ0+φ1|τ 2|

α−1 )=0

i=3 : (V 3−V 2 )

∆r+τ3 (φ0+φ1|τ3|

α−1)=0

i=4 : (V 4−V 3 )

∆r+τ4 (φ0+φ1|τ4|

α−1 )=0

i=5 : (V 5−V 4 )

∆r+τ5 (φ0+φ1|τ5|

α−1 )=0

i=6 :

(V 6−V 5 )∆r

+τ 6 (φ0+φ1|τ6|α−1 )=0

i=7 :

(V 7−V 6 )∆r

+τ7 (φ0+φ1|τ7|α−1 )=0

i=8 :

(V 8−V 7 )∆r

+τ8 (φ0+φ1|τ8|α−1 )=0

i=9 :

(V 9−V 8 )∆r

+τ9 (φ0+φ1|τ9|α−1 )=0

i=10 : (V 10−V 9 )

∆r+τ10 (φ0+φ1|τ 10|

α−1 )=0

De (4)

d τ rz

dr−1

r.

d V z

dx

(φ0+φ1|τ xz|α−1)

−Po−PL

L=0

τ i−τ i−1

∆r− 1

i ∆ r .∆ r.

(V i−V i−1 )(φ0+φ1|τ i|

α−1 )−

Po−PL

L=0

τ i−τ i−1−1

i ∆ r.

(V i−V i−1)(φ0+φ1|τ i|

α−1 )−∆r (

Po−PL

L)=0

i=1 :

τ1−τ0−11∆r

.(V 1−V 0 )

(φ0+φ1|τ1|α−1)

−∆r (Po−PL

L)=0

i=2 :

τ 2−τ1−12∆r

.(V 2−V 1)

(φ0+φ1|τ 2|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=3 :

τ3−τ2−13∆r

.(V 3−V 2 )

(φ0+φ1|τ3|α−1)

−∆r (Po−PL

L)=0

i=4 :

τ 4−τ3−14 ∆r

.(V 4−V 3 )

(φ0+φ1|τ4|α−1)

−∆r (Po−PL

L)=0

i=5 :

τ5−τ4−15∆r

.(V 5−V 4 )

(φ0+φ1|τ5|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=6 :

τ 6−τ5−16 ∆r

.(V 6−V 5 )

(φ0+φ1|τ6|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=7 :

τ7−τ6−17 ∆r

.(V 7−V 6 )

(φ0+φ1|τ7|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=8 :

τ 8−τ7−18 ∆r

.(V 8−V 7 )

(φ0+φ1|τ8|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=9 :

τ 9−τ8−19∆r

.(V 9−V 8)

(φ0+φ1|τ9|α−1 )

−∆r (Po−PL

L)=0

i=10 :

τ10−τ9−1

10∆r.

(V 10−V 9 )(φ0+φ1|τ i|

α−1)−∆ r (

Po−PL

L)=0

fluido NEWTONIANO - La codificación en Polymath Professional es:

La tabla de velocidad vs. Radio es:

r Vz

0 134.75

0.1 132.3

0.2 127.4

0.3 120.05

0.4 110.25

0.5 98

0.6 83.3

0.7 66.15

0.8 46.55

0.9 24.5

1 0

La gráfica de velocidad vs. Radio :

Método 2º

−dV z

dr=(φ0+φ1|τ rz|

α−1 )τ rz………… ………………………………………… ………... (1)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

100

120

140

160

r

Vz

Balance de cantidad de movimiento

1r

d (r∗τ rz)dr

=Po−PL

L

d τ rz

dr=

Po−PL

L−1

r(τ xz)………………………… …………………………………… ..(2)

De (1)

τ rz=−

dV z

dr

(φ0+φ1|τ rz|α−1 )

…………………… ………………………………………… …. (3)

Reemplazamos:

d τ rz

dr=−(

(d V z

dr)'

(φ0+φ1|τ rz|α−1 )−(

d V z

dr)(φ0+φ1|τ rz|

α−1 )'

(φ0+φ1|τ rz|α−1)2

)

d τ rz

dr=

−φ1 ( α−1 )|τ rz|α−3

( τ xz )dτ rz

dr.d V z

dr−(φ0+φ1|τ rz|

α−1 ) d2V z

dr2

(φ0+φ1|τ rz|α−1 )2

φ1 (α−1 )|τ rz|α−3

( τ xz )d τ rz

dr.dV z

dr−(φ0+φ1|τ rz|

α−1 ) d2V z

dr2−

Po−PL

L−1

r(τ xz ) (φ0+φ1|τ rz|

α−1 )2=0…………………………(1)

dV z

dr+(φ0+φ1|τ rz|

α−1) τ rz=0…… (2)

Discretizando (1) y (2):

De (1)

φ1 (α−1 )|τ i|α−3

( τ i)τ i−τ i−1

∆r.V i−V i−1

∆r−(φ0+φ1|τ i|

α−1 ) V i+1−2V i+V i−1

∆r2−

Po−PL

L− 1

i ∆ r .∆ r(τ i ) (φ0+φ1|τ i|

α−1)2=0

Para i=1

φ1 (α−1 )|τ1|α−3

(τ1 )τ1−τ0∆r

.V 1−V 0

∆r−(φ0+φ1|τ1|

α−1 ) V 2−2V 1+V 0

∆r2−

Po−PL

L− 11∆r .∆ r

( τ1) (φ0+φ1|τ1|α−1 )2=0

Para i=2

φ1 (α−1 )|τ 2|α−3

(τ 2)τ2−τ1∆r

.V 2−V 1

∆r−(φ0+φ1|τ2|

α−1 ) V 3−2V 2+V 1

∆r 2−

Po−PL

L− 12∆r .∆ r

(τ2 ) (φ0+φ1|τ2|α−1)2=0

Para i=3

φ1 (α−1 )|τ3|α−3

( τ3 )τ3−τ2∆r

.V 3−V 2

∆r−(φ0+φ1|τ3|

α−1) V 4−2V 3+V 2

∆r2−

Po−PL

L− 13 ∆r .∆ r

(τ 3) (φ0+φ1|τ3|α−1 )2=0

Para i=4

φ1 (α−1 )|τ 4|α−3

( τ4 )τ 4−τ3∆r

.V 4−V 3

∆r−(φ0+φ1|τ4|

α−1 ) V 5−2V 4+V 3

∆r2−

Po−PL

L− 14∆r .∆ r

( τ4 ) (φ0+φ1|τ4|α−1)2=0

Para i=5

φ1 (α−1 )|τ5|α−3

( τ5 )τ5−τ4∆r

.V 5−V 4

∆r−(φ0+φ1|τ5|

α−1) V 6−2V 5+V 4

∆r 2−

Po−PL

L− 15∆r .∆ r

( τ5 )(φ0+φ1|τ5|α−1 )2=0

Para i=6

φ1 (α−1 )|τ 6|α−3

( τ6 )τ6−τ5∆r

.V 6−V 5

∆r−(φ0+φ1|τ6|

α−1 ) V 7−2V 6+V 5

∆r2−

Po−PL

L− 16∆r .∆ r

(τ6 ) (φ0+φ1|τ6|α−1 )2=0

Para i=7

φ1 (α−1 )|τ7|α−3

( τ7 )τ 7−τ6∆r

.V 7−V 6

∆r−(φ0+φ1|τ7|

α−1 ) V 8−2V 7+V 6

∆r2−

Po−PL

L− 17∆r .∆ r

(τ7 ) (φ0+φ1|τ7|α−1 )2=0

Para i=8

φ1 (α−1 )|τ 8|α−3

( τ8 )τ8−τ7∆r

.V 8−V 7

∆r−(φ0+φ1|τ8|

α−1 ) V 9−2V 8+V 7

∆r2−

Po−PL

L− 18 ∆r.∆ r

(τ 8) (φ0+φ1|τ8|α−1 )2=0

Para i=9

φ1 (α−1 )|τ 9|α−3

( τ9 )τ9−τ 8∆r

.V 9−V 8

∆ r−(φ0+φ1|τ 9|

α−1) V 10−2V 9+V 8

∆ r2−

Po−PL

L− 19∆r .∆ r

(τ9 ) (φ0+φ1|τ9|α−1 )2=0

Para i=10

φ1 (α−1 )|τ10|α−3

(τ10 )τ10−τ 9

∆r.V 10−V 9

∆r−(φ0+φ1|τ10|

α−1 ) V 11−2V 10+V 9

∆r2−

Po−PL

L− 110∆r .∆ r

( τ10) (φ0+φ1|τ10|α−1 )2=0

De (2)

dV z

dr+τ rz (φ0+φ1|τ rz|

α−1)=0

(V i−V i−1 )∆r

+τ i (φ0+φ1|τ i|α−1 )=0

i=1 : (V 1−V 0 )

∆r+τ1 (φ0+φ1|τ1|

α−1)=0

i=2 : (V 2−V 1 )

∆r+τ2 (φ0+φ1|τ 2|

α−1 )=0

i=3 : (V 3−V 2 )

∆r+τ3 (φ0+φ1|τ3|

α−1)=0

i=4 : (V 4−V 3 )

∆r+τ4 (φ0+φ1|τ4|

α−1 )=0

i=5 : (V 5−V 4 )

∆r+τ5 (φ0+φ1|τ5|

α−1 )=0

i=6 :

(V 6−V 5 )∆r

+τ 6 (φ0+φ1|τ6|α−1 )=0

i=7 :

(V 7−V 6 )∆r

+τ7 (φ0+φ1|τ7|α−1 )=0

i=8 :

(V 8−V 7 )∆r

+τ8 (φ0+φ1|τ8|α−1 )=0

i=9 :

(V 9−V 8 )∆r

+τ9 (φ0+φ1|τ9|α−1 )=0

i=10 : (V 10−V 9 )

∆r+τ10 (φ0+φ1|τ 10|

α−1 )=0

SOLUCION ANALITICA DEL MODELO DE ELLIS

Dado por:

−dV z

dr=(φ0+φ1|τ rz|

α−1 )τ rz

Balance de cantidad de movimiento

1r

d (r . τ rz)dr

=Po−PL

L

d (r . τ rz)dr

=(Po−PL

L ) . r

r . τ rz=(Po−PL

L ) . r 22 +C1'

τ rz=( Po−PL

L ) . r2+C1

La ecuación de distribución del esfuerzo, de acuerdo a la ecuación, con C1=0(solución acotada en el campo real), está dada por:

τ rz=(Po−PL

2 L)r

Reemplazando en el modelo de Ellis:

−dV z

dr=φ0(Po−PL

2 L )r+φ1(Po−PL

2 Lr )

∝

Integrando:

Vz=−φ0(Po−PL

2 L ) r2

2−φ1( Po−PL

2 L )∝

( Rα +1

α+1 )+C2

Usando la condición de frontera: r=R, Vz=0

C2=φ0( Po−PL

2L ) r 22 +φ1( Po−PL

2L )∝

( Rα+1

α+1 )Por lo que la ecuación de velocidad es:

Vz=−φ0(Po−PL

2 L ) r2

2−φ1( Po−PL

2 L )∝

( Rα +1

α+1 )+φ0( Po−PL

2L ) r 22 +φ1( Po−PL

2L )∝

( Rα+1

α+1 )Fórmula para calcular las velocidades en diferentes puntos desde r=0 hasta r=1 con r=0.1

Vz=φ0 (P0−PL)∗R2

4 L [1−( rR )

2]+φ1[ (P0−PL)2 L ]

α

Rα+1

α+1 [1−( rR )

α +1]

Datos:

fi0 5

fi1 0

r 0

R 1

P0-PL 1960

alfa 1

L 20

Realizamos un cuadro, detallando desde r=0 hasta r=1 con un r=0.1

r Vz0 122.50.1 121.2750.2 117.60.3 111.4750.4 102.90.5 91.8750.6 78.40.7 62.4750.8 44.10.9 23.2751 0

Realizamos el perfil de velocidad

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

100

120

140

r

Vz

Hallamos el caudal:

Q=π∗φ0 (P0−PL)∗R4

8 L+π∗φ1( P0−PL

L )α

Rα +3

2 (α+3)

Q= 192.42255

Comparación de graficas:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

100

120

140

160

Solución AnalíticaSolucíon Numérica

Radio del perfil de velocidad

Velo

cidad

del

per

fil d

e ve

locid

ad

Denominación-AUTTOR-

FUNCION REOLOGICA VISCOSIDAD APARENTE

VISCOSIDAD DIFERENCIAL

N de parámetros

PRANDTL RYRING

τ=A∗argsh( 1B∗du

dy ) A∗argsh( 1B∗du

dy )dud y

A

B∗√1+( dudy )2

2−A ,B dudy

=B∗sh( τA )

POWELL EYRING

τ=Cdudy

+A∗argsh( 1B∗du

dy )C+

A∗argsh( 1B∗du

dy )dudy

C+ A

B∗√1+( dudy )

2

3−A ,B ,C

SUTTERDY

τ=

M∗[ argsh(N dudy )

Ndudy

]P

∗du

dy0<P<1

[ argsh(N dudy )

Ndudy

]P 3−M , N ,P

PRANDTLτ=A∗sen−1( du/dy

C ) 2−A ,C

EYRINGτ=du/dy

B+C∗sen ( τ

A ) 3−A ,B ,C

VII. MEDELOS TEORICOS

MODELOS EXPERIMENTALES

Denominación-AUTTOR-

FUNCION REOLOGICA VISCOSIDAD APARENTE

VISCOSIDAD DIFERENCIAL

N de parámetros

NEWTON τ=μ∗dudy

μ μ 1−μ dudy

= τμ

BINGHAM τ=τ0+μ∗dudy

μ μ 2−τ0 , μ dudy

=(τ−τ0 )

μCASSON

τ1 /2=τ01 /2+μc∗( du

dy )1 /2 μc

2 μc2 2−τ0 , μc du

dy= 1

μc2∗(√τ−√τ0)

2

CASSON – GENERALIZADA N1

τ1 /n=τ01 /n+μc∗( du

dy )1/m

n>1m>14−τ0 , μc , n ,m du

dy= 1

μcm∗(τ1/n−τ0

1/n)m

CASSON – GENERALIZADA N2

τ 2/n=τ02 /n+μc∗( du

dy )1/m

n>2m>14−τ0 , μc , n ,m du

dy= 1

μcm∗(τ2/n−τ0

2/n)m

CASSON – GENERALIZADA N3 MODIFICADA

√τ=√τ0+μc∗√ μap

μap0

∗du

dyμap fase continua

μap0fase extrapolada

μc2∗μap

μap0

4−τ0 , μc , μap , μap0 dudy

=μap0

μap∗μc2∗(√τ−√τ0 )

2

HERSCHEL – BOLKEY N1

τ=τ0+( μ∗dudy )

1/m

μ1 /m∗dudy

1−mm

3−τ0 , μ ,m dudy

=(τ−τ0 )m

μ

HERSCHEL – BOLKEY N2

τ=τ0+

μ∗dudy

1+C∗(τ−τ0)n

μ

1+C(τ−τ0)n

4−τ0 , μ ,C ,n dudy

=1μ∗(1+C∗( τ−τ0 )n )∗(τ−τ0)

OSTWALD – DE WAELE - NUTTIN

τ=K∗( dudy )

n

0<n<1 K∗( dudy )

n−1

K∗n∗( dudy )

n−1 2−K ,n dudy

=( 1K )1/n

∗τ1/n

ELLIS – DE HAVEN

τ=

μ01+(C∗τn−1)

∗du

dy

n>1μ0

1+(C∗τn−1)

μ01+(C∗n∗τn−1)

3−μ0 ,C n dudy

= 1μ0

∗(1+(C∗τn−1))

STEIGER - ORI

τ=

1

(A∗τ2)+C∗du

dyC>0

1

(A∗τ2)+C

1

(3∗A∗τ2)+C

2−A ,C dudy

=(A∗τ3)+C

SISKOτ= A∗du

dy+B∗( dudy )

n

0<n<1 A+B∗( dudy )

n−1

A+B∗n∗( dudy )

n−1 3−A ,B ,n dudy

= τ

A+B∗( dudy )

n−1

FERRYS

τ=

μ

1+τG

∗du

dy

2−μ ,G dudy

=1μ∗¿)

REINER - PHILIPOPP

τ=[μ∞+

μ0−μ∞

1+( τA )

2 ]∗du

dyel exponente2 se generalizaan

μ∞+μ0−μ∞

1+( τA )

2

3−μ∞ , μ0 , A

dudy

=[ 1+( τA )

2

μ∞∗( τA )

2

+μ0 ]∗τ

REINER τ= du /dy

1μ∞

−( 1μ∞

− 1μ0 )∗e

−( τ2

x2)1

1μ∞

−( 1μ∞

− 1μ0 )∗e

−( τ2

x2)3−μ∞ , μ0 , x du

dy=[ 1μ∞

−( 1μ∞

− 1μ0 )∗e

−( τ2

x2)]∗τ

VILLIANSON

τ=

A∗dudy

B+dudy

+μ0∗du

dy

A

B+dudy

+μ03−μ∞ , μ0 , A du

dy= τ

A

B+dudy

+μ0

BRIANT

τ=

μ∞∗[1+ τ0n∗μ∞∗du

dy ]n

∗du

dy0<n<1

μ∞∗[1+ τ0n∗μ∞∗du

dy ]n 3−μ∞ , τ0 , n du

dy= τ

μ∞∗[1+ τ0n∗μ∞∗du

dy ]n

BELLET N1

τ=[μ∞+

μ0−μ∞

1+C∗τα−1 ]∗du

dy

α>1μ∞+

μ0−μ∞

1+C∗τ α−1

3−μ∞ , μ0 , α ,C dudy

=[ 1−C∗τα−1

μ∞∗C∗τ α−1+μ0 ]∗τ

BELLET N2

τ=

μ∞∗B∗( dudy )

n−1

+μ∞

1+B∗( dudy )

n−1 ∗du

dy

μ∞∗B∗( dudy )

n−1

+μ∞

1+B∗( dudy )

n−1

3−μ∞ ,B ,n

VIII. APLICACIONES DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS

Elaborar una relación de fluidos no newtonianos indicando a que modelo de

fluido no newtoniano obedece.

Clasificación de los fluidos no newtonianos:

MODELOS

Modelos de Ostwald de Waele o Ley de la Potencia:

Plástico de Bingham

Herschel- Bulkley

Casson

PARÁMETROS PARA LOS MODELOS EN ALGUNOS TIPOS DE FLUIDOS:

IX. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

J.F. Steffe (1992) Rheological methods in food process engineering. Ed. Freeman Press.

Lourdes consuelo quintans riveiro, reologia de productos alimentarios, universidad de Santiago de Compostela.

Fluidos newtonianos , La Plata: Universidad Nacional de La Plata - Facultad de Ingeniería

http://www.ing.unlp.edu.ar/dquimica/paginas/catedras/iofq809/apuntes/ Fluidos%20no%20newtonianos_R1.pdf