UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

TRABAJO DE ESTADÍSTICA

FERMIN CHAVEZ REYES

2. C

1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una

campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el

producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

Datos:

n = 1000

x = 25

Donde:

x = ocurrencias

n = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuesta

Solución:

a)

a = 0,01

Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de

ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que

realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8

semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.

Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.

Datos:

(= 40

n = 8

Nivel de confianza del 99%

Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005

Solución:

H0: (= 40

H1: (> 40

Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7

a = 0,005

Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que

los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye

normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio,

una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su

hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población,

obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.

Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.

Datos:

n = 64

a = 5% = 0,05

Solución:

H0: (= 22

H1: (> 22

a = 0,05

Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo

de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña

publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el

departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados

aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de

estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar

= 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen

normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos.

¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?

Datos:

n = 51

Solución:

H0: (= 170000

H1: (< 170000

a = 0,05

Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las

próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200

individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un

nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0: μ ≥ 0.40 La abstención será como mínimo del 40%.

H1: μ < 0.40 La abstención será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptación

Para α = 0.01 , le corresponde un valor crítico: z α = 2.33 .

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3. Verificación.

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0 . Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%,

que la La abstención será como mínimo del 40%.

Un informe indica que el precio medio del bil lete de avión entre Canarias y

Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación t ípica de 40 €. Se toma

una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus

bil letes es de 128 €.

¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1 , la afirmación de

partida?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0: μ ≤ 120

H 1: μ > 120

2. Zona de aceptación

Para α = 0.1 , le corresponde un valor crít ico: z α = 1.28.

Determinamos el intervalo de confianza:

3. Verif icación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € .

4. Decisión

No aceptamos la hipótesis nula H0 . Con un nivel de significación del 10%.

Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es

2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven

estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6,

con un nivel de confianza del 95%?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0: μ = 6 La nota media no ha variado.

H1: μ ≠ 6 La nota media ha variado.

2. Zona de aceptación

Para α = 0.05 , le corresponde un valor crítico: z α /2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6-1,96 · 0,4; 6+1,96 · 0,4) = (5,22; 6,78)

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0 , con un nivel de significación del 5%.

Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de

ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que

realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8

semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.

Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.

Datos:

(= 40

n = 8

Nivel de confianza del 99%

Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005

Solución:

H0: = 40

H1: (> 40

Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7

a = 0,005

Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un

intervalo de

Confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestra valga 505,35 y la

desviación

Típica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de

extroversión tienen una

Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel

del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que

podríamos

Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación

puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por

debajo una

Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta

muestra

En la expresión del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta

muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )

En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen

una

Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel

del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que

podríamos

Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación

puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por

debajo una

Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta

muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )

Operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por

Debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del

95% la

Media de la población puede valer

32,7 ± 2 · 12,64 / 8

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16

Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas

por su

Entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26.

Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un

95% de

Confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para

este

Nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación

de la

Media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería

cronometrar?

SOLUCIÓN:

Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica,

utilizamos es

Estadístico pivote:

y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es:

¿Quién es en nuestro caso Es un valor tal que en la tabla de la

normal, sabemos que

Dado el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo:

(41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error.

El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11)

Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se

estima en

41,92 con un margen de error de ± 18,6 %