trabajo de elementos de seccion variable

8/10/2019 Trabajo de Elementos de Seccion Variable

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERINGENIERIA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS DE SECCIONES VARIABLESELEMENTOS DE SECCION VARIABLE

No siempre es posible o conveniente ampliar el sistema de coordenadas para loselementos de seccin variable, tal es el caso de los elementos con una variacincontinua en sus propiedades, como los mostrados en las fotos y guras acontinuacin, para estos resulta ms conveniente calcular los coecientes derigidez de la barra.

Prticos metlicos con barras e seccin !ariable

RELACION ENTRE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ DE BARRAS DE SECCIONVARIABLE

ANALIS ESTRUCTURAL I


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Ntese que en la gura anterior se ha denido un nuevo termino, el factor detransporte (ft1 ! ft1". #os factores de transporte sern de utilidad para elm$todo de %ross, para el &$todo de 'igidez no son de mucha utilidad. #os factores

de transporte, asociados con los grados de libertad de rotacin de una barra, sedenen del siguiente modo

)eorema de *+))

+l resultado anterior conrma que los coecientes de rigidez de una barra sonsim$tricos (-i/-i" y adems proporciona la relacin bsica entre los coecientesde rigidez y los factores de transporte.0ara una barra de seccin constante, sin deformaciones por cortante, se tiene

COEFICIENTES DE RIGIDEZ DE BARRAS DE SECCION VARIABLE:+isten muchos m$todos para calcular los coecientes de rigidez de una barra deseccin variable (2rea de &omentos, 3iga conugada, 4nalog5a de la %olumna, etc."en esencia son variaciones de los mismos conceptos centrales .0ara el calculo de larigidez al giro de barras de seccin variable.6no de los m$todos ms generales, para una viga de seccin variable, sindesplazamientos relativos entre sus etremos es el siguiente

a" 7e calcula la matriz de 8eibilidad de la barra para el sistema q ! d (en

este caso el sistema consiste en las rotaciones medidas en los etremos de

la barra". 0ara el calculo de esta matriz conviene usar trabao virtual , eneste caso fuerzas virtuales

#os coecientes de 8eibilidadde la barra, ignorando

las deformaciones por cortante, son



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RIGIDEZ AL GIRO MODIFICADA+n los casos en los cuales se desea ignorar algunos de los gdl de rotacin en losapoyos de los etremos de viga y en los apoyos articulados de prticos, esnecesario modicar la rigidez al giro de la barra.+n la deduccin que se presenta, se supone que se conoce la matriz de rigidez en el

sistema q! d indicado a continuacin

7uperposicin

0ero

%omprobemos los resultados aplicando la ecuacin anterior a una barra de seccinconstante

COEFICIENTES DE RIGIDEZ BARRAS CON DES!LAZAMIENTO RELATIVO7i hay desplazamientos relativos entre los etremos, entonces es necesario ampliarel sistema q ! d de las barras para incluir los mencionados desplazamientos.



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Nota ;11 y ft1 deben calcularse para el doble de la longitud de la barra(l".%omprobemos los resultados aplicando la ecuacin anterior a una barra deseccin constante

MOMENTOS DE EM!OTRAMIENTO EN BARRAS DE SECCION VARIABLE+isten numerosos m$todos para calcular los momentos de empotramiento de unabarra de seccin variable, todos son en esencia variaciones de los mismosconceptos.0ara el calculo de los momentos de empotramiento se puede usar el m$todo de8eibilidad tomando como redundantes las fuerzas (cortante y momento"en uno de

los empotramientos .4 continuacin se muestra la secuencia necesaria paracalcular los momentos de empotramiento utilizando el m$todo de 8eibilidad.

%ompatibilidad

+n algunos casos conviene tomar como redundante los momentos de etremo de labarra, la estructura primaria seria la mostrada a continuacin



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MOMENTOS DE EM!OTRAMIENTO EN BARRAS DE SECCION VARIABLE E"TREMO EM!OTRAMIENTO DESLIZANTE0resentamos solo el caso de una viga de seccin variable sim$trica con cargatambi$n sim$trica.

A!LICACI#N DE ESTRUCTURAS COM!UESTAS !OR BARRAS DE SECCION

VARIABLE

#as estructuras compuestas por barras de seccin variable son poco frecuentes ennuestro medio, pero podr5an presentarse por bsicamente dos razones

arquitectura (capillas, iglesias, etc." motivos estructurales, por eemplo en estructuras con grandes luces o conaltas sobrecargas, puede colocarse cartelas (incremento gradual del peralte"+n los etremos de las vigas, con la nalidad de disminuir las de8eiones ylos momentos positivos a costa de incrementar los momentos negativos. 4s5mismo las cartelas incrementan la rigidez lateral de los prticos anteacciones s5smicas.



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CARTELA

CON CARTELA

BARRAPRISMATICA

+stos casos tambi$n se presentan en losas armadas en dos sentidos que apoyandirectamente sobre columnas, donde con la nalidad de evitar que las columnasperforen a la losas, se ensancha el etremo superior de las columnas formandocapiteles (troncos cnicos o piramidales, los que las convierten en elementos deseccin variable.

FRANJA

CENTRAL

capitel

ww

PLANTA PORTICO

EQUIVALENTE



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6n elemento prismtico de concreto armado cuya seccin transversal se agriete,trabaa como una barra de seccin variable, donde el momento de inercia en lazona gurada es menor al momento de inercia de la seccin bruta correspondientea la zona sin surar, pero tambi$n ocurre que en los nudos la barra cambiaabruptamente de peralte (el peralte de la viga pasa a ser la altura de la columna".

DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR EN VIGAS A CARTELADAS $!RISM%TICAS+l m$todo de %ross resulta conveniente para resolver vigas de seccin variable, ovigas no prismticas. +stos cambios se originan por que los momentos deempotramiento perfecto, las rigideces angulares, los factores de transporte y lasrigideces lineales no son iguales para vigas de seccin constante y para las vigas deseccin variable.

DETERMINACI#N DE &I' $ FI'



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para determinar la rigidez al giro (-i" y el factor de transporte (" en las barrasdeformables por 8ein, cuyo momento de inercia varia a lo largo de su longitud(", se utilizara el segundo teorema rea momento, que dice ? la distancia queeiste entre la prolongacin de la pendiente en ?@ hasta tocar con la elstica en ?i@(ti" es igual al momento esttico del diagrama 2rea>&omento con respecto al

etremo ?i@, y viceversa@.

L

I(i) (j)

'arra con e(e sensiblemente recto

+n la gura se observa1.> ti/A, ya que giro en /A.>ti/#, ya que giro en /1 por equilibrio

3/-i (1B"C#&("/ -i !3&("/-i ((#>">"C#

4plicando el segundo teorema 2rea>&omento respecto a ?i@ (brazo de palanca /D",se obtiene

Eonde -i, , + y # son constantes que pueden salir de la integral, obteni$ndosenalmente



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Nota para calcular se aplica la epresin que permite hallar , pero, debercambiarse el sentido de la integracin (desde hacia i". 4dems ntese que cuandola barra es prismtica ( ("//constante", resulta /1C.

+l clculo de -i se realiza aplicando el segundo teorema 2rea>&omento respecto aletremo ?@C brazo de palanca /#>"

Eonde se obtiene

Notas1.> se sobreentiende que ha sido calculado previamente.0ara determinar -i se aplica la epresin anterior, pero deber invertirse el sentidode la integracin (desde hacia i"F asimismo deber intercambiarse por fi. +n elementos prismticos (("//constante", /1C, por lo que -i/=+C#.=.> solo en barras que cumplan simetr5a en forma se cumple /fi y -i /;i.

+l procedimiento para calcular ;i y debe realizarse en forma tabulada, tal comose muestra en la gura.



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.> la longitud de la cartela /a#Eonde d/menor peralte

%onociendo ?a@ y ?dI @ (coecientes a dimensionales" se ingresa a las tablas paracalcular r,c y &, lo que permite obtener f,- y u, respectivamente.

DETERMINACI#N DEL !ERALTE $ DE LA LONGITUD DE LA CARTELA0ara determinar el peralte (ddI" y la longitud de la cartela (a#", se seguir lassiguientes recomendacionesVIGAS:

a" cartelas lineales. 0rolongar la cartela hasta que toque con el ee de lacolumna.

b" viga inclinada. nterceptar el ee de la viga con el de la columnaF por estepunto, trazar una l5nea perpendicular al ee de la viga, luego prolongar lacartela hasta que toque con esa l5nea.

c" cartelas que tocan tangencialmente a la columna. +n este caso, sereemplaza la cartela parablica por una cartela lineal cticia cuya pendientees 1


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a" cuando la columna es muy peraltada en relacin con la viga, o cuando lascartelas predominan hacia el lado de la viga, podr trabaarse como si lacolumna fuese una barra prismtica, mientras que la viga es el elemento deseccin variable.

b" 0ara evitar la duplicidad de cartelas en el nudo (por el lado de la viga y de lacolumna", algunos autores recomiendan trabaar con cartelas cticias conpendientes1


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7upngase que setiene una viga

doblemente empotrada de seccin variable, con un sistema cualquiera de cargas 0,

como se muestra en la gura L.M (a"7i las cargas son verticales, la viga tiene dosgrados de indeterminacin .Ee acuerdo con el m$todo de las fuerzas, para resolveresta viga se plantea primero una viga isosttica fundamental en la que se hayansuprimido las dos redundancias como la de la gura L.M(b".6sando el m$todo de NeKmar;, para que sea mas fcil el calculo de deformaciones,se determinan los giros en los etremos de la isosttica fundamental sueta alas

cargas 0. +stos giros se han denominado en la gura L.M(b".

%ontinuando con el m$todo de las fuerzas, se introducen ahora momentos unitariosen los etremos de la isosttica fundamental y se calculan, tambi$n con el m$todode NeKmar;, los giros en los etremos indicados en las guras L.M(c y d".#anotacin usada para estos giros es la misma que la usada en las seccionesprismticas.4 continuacin se plantean las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, quepara este caso debern epresar que los giros nales en los etremos 4 y * sonnulos, ya que estn empotrados. 0or lo tanto

'esolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las incgnitas que son,

respectivamente, los momentos de empotramiento perfecto en los

apoyos 4 y *. Eesde luego que este momento puede usarse tambi$n para vigas deseccin prismtica , pero para estas es mas fcil calcular los giros por el m$todo dela viga conugada o del rea>momento.Ee manera similar pueden determinarse la rigidez angular y el factor de transporte

en vigas de seccin variable.



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+n este caso, la rigidez lineal es el momento que se presenta en los

empotramientos si ocurre un desplazamiento lineal unitario entre los etremos de laviga .%onviene plantear la isosttica fundamental como un voladizo al que se aplicanprimero una carga unitaria y luego un momento unitario en el etremo libre(guras L.1A (b" y L.1A (c"". 0ara que la suma de las conguraciones de

deformaciones de estas dos guras, multiplicada la primera por una incgnita y

la segunda por otra incgnita , sea igual a la conguracin de la gura (L.1A(a"",

el sistema de ecuaciones de compatibilidad debe plantearse como

#a rigidez lineal ser el valor de la incgnita que multiplica al momento unitario

de la gura (L.1A(c"". 7e pueden obtener las rigideces correspondientes aplicandolos mismos principios anteriores. +n el caso de la rigidez lineal, bastara aplicar unmomento unitario en 4, calcular el giro que produce en este mismo apoyo, y porproporcin, calcular el momento que producir un giro unitario.+n el caso de la rigidez lineal basta aplicar una carga unitaria en *, calcular lade8ein que produce y por proporcin determinar la fuerza necesaria para producir

una de8ein unitaria .+l momento que es la rigidez lineal, puede obtenerse

despu$s por esttica.Oabiendo obtenido los parmetros mencionados, el &$todo de %ross se aplica de lamanera usual.+s importante observar que las vigas de seccin variable pueden resolversetambi$n por los otros m$todos, por eemplo el m$todo de deformaciones se puedeaplicar ya teniendo los momentos de empotramiento y las rigideces angulares ylineales .7i la isosttica fundamental planteada en el m$todo de las fuerzas es deseccin variable, sus deformaciones pueden calcularse por el m$todo de NeKmar; yseguir los otros pasos del m$todo como se eplic.

VIGAS DE SECCION VARIABLE) METODO DE *ARD$ CROSS+USO DETABLAS,



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+studiamos la solucin de vigas de seccin variable seg9n el m$todo de distribucinde momentos de Oardy %ross y con la ayuda de tablas de coecientes para vigas deseccin variable.#a mecnica es la misma salvo que los factores de transmisin, las rigideces y los

momentos de empotramiento perfecto son calculados a trav$s de tablas.

NP&+N%4#)6'4

/ Hactor o coeciente de transmisin

-/'igidez de distribucin de la viga respecto a uno de sus etremos'/%oecientes de rigidez de la viga respecto a uno de sus etremos este factorafecta a C#%/ %oecientes de momentos de empotramiento

E-e.p/o de 0so de ta1/a:

7upongamos la viga (estar empotrada en sus etremos y ser ancho constante"

%omo el acartelamiento es a lo largo de toda la vigaa#/Q , entonces a/QCQ/1RRRRRRRRRRR..(1"ddI/1.A > A.=A / A.MA pero d / A.=A entonces dI/A.MCA.=/RRRRRRRRR("Ee (1" y (" vamos ala tabla

RRRRRRR(


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7i el sistema tiene vigas de seccin constante, ancho compatible con el de los otroselementos y es del mismo material, tendr una 9nica - relativa calculable como

Eonde seg9n las restricciones del apoyo.

0or ultimo las tablas dan los valores para los momentos de empotramiento perfecto,eemplo 0 / 1S )PN 0#/ 1STQ/A )PN

b# / < entonces b / A.S

TABLAS



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CONCLUSIONES:

#as estructuras compuestas por barras de seccin variable son poco

frecuentes en nuestro medio, pero podr5an presentarse por bsicamente dos

razones

>arquitectura (capillas, iglesias, etc."

> motivos estructurales, por eemplo en estructuras con grandes luces o con altas

sobrecargas, puede colocarse cartelas (incremento gradual del peralte" +n los

etremos de las vigas, con la nalidad de disminuir las de8eiones y los momentos

positivos a costa de incrementar los momentos negativos. 4s5 mismo las cartelas

incrementan la rigidez lateral de los prticos ante acciones s5smicas.

+l m$todo de %ross resulta conveniente para resolver vigas de seccin

variable, o vigas no prismticas. +stos cambios se originan por que los

momentos de empotramiento perfecto, las rigideces angulares, los factores

de transporte y las rigideces lineales no son iguales para vigas de seccin

constante y para las vigas de seccin variable.

+stos casos de elementos de seccin variable se presentan tambi$n en losas

armadas en dos sentidos que apoyan directamente sobre columnas, donde

con la nalidad de evitar que las columnas perforen a la losas, se ensancha

el etremo superior de las columnas formando capiteles (troncos cnicos o

piramidales, los que las convierten en elementos de seccin variable.

trabajo de elementos de seccion variable

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