1)

a) la ecuación para la pendiente de la recta secante a la curva de la función y= f ( x ) queda indicada como:

mPQ=∆ y∆x

=y2− y1x2−x1

=f ( x )−f (30)

x−3

b)

2)

a)

v=∆s∆ t =

f (a+h)−f (a )( a+h )−a

b)

v=dxdt

=d ⌈ f (x )⌉dt

=f ' (a)

3)

En orden decreciente ósea de mayor a menor, la primera pendiente sería la de D que es la mayor, ya que este punto tiene mayor inclinación por lo tanto tiene mayor pendiente.

Segundo vendría el punto E, en este punto la pendiente es positiva y su inclinación es mucho menor que la inclinación de D, por lo que esta debería ser menor.

Tercero vendría la del punto C ésta pendiente es la recta Y=0, y toma todos los puntos de x por lo tanto su pendiente será nula y como resultado no presenta inclinación.

Cuarto vendría el punto A, este tiene una inclinación inversa (negativa) y como se sabe toda inclinación negativa, tendrá valores menores que 0.

Y por último vendría el punto B, este tiene la misma magnitud de inclinación que el punto E, no obstante, su inclinación sugiere que es una pendiente de mayor valor absoluto negativo.

5)

a)

y=f ( x )=x2+2x

y '=f ' ( x )=2 x+2

m=f ' (−3 )=2 (−3 )+2=−6+2=−4

b) para encontrar la ecuación se hará uso de la ecuación de punto pendiente:

y− y0=m ( x−x0 ); dondeP (−3,3 )entonces x0=−3 y y0=3

y−3=−4 (x−(−3 ) )→ y−3=−4 ( x+3 )→ y−3=−4 x−12→ y=−4 x−12+3

y=−4 x−9

C) para hacer la gráfica:

x y C10 120 -499 99 -458 80 -417 63 -376 48 -335 35 -294 24 -253 15 -212 8 -171 3 -130 0 -9-1 -1 -5-2 0 -1-3 3 3-4 8 7-5 15 11-6 24 15-7 35 19-8 48 23-9 63 27-10 80 31

-15 -10 -5 0 5 10 15

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

m1y

Axis Title

Axis

Title

6) y=f ( x )=x3

y '=f ' ( x )=3 x2

m=f ' (−1 )=3 (−1 )2=3

b) para encontrar la ecuación se hará uso de la ecuación de punto pendiente:

y− y0=m ( x−x0 ); dondeP (−1 ,−1 )entonces x0=−1 y y0=−1

y− (−1 )=3 (x−(−1 ) )→ y+1=3 ( x+1 )→ y+1=3 x+3→ y=3 x+3−1

y=3 x+2

c) para hacer la gráfica:

x y m15 125 174 64 143 27 112 8 81 1 50 0 2-1 -1 -1-2 -8 -4-3 -27 -7-4 -64 -10-5 -125 -13

-6 -4 -2 0 2 4 6

-150

-100

-50

0

50

100

150

Chart Title

7) y=f ( x )=1−2 x−3 x2

y '=f ' (x )=2−6 x=−6x−2

m=f ' (−2 )=−6 (−2 )−2=12−2=10

para encontrar la ecuación se hará uso de la ecuación de punto pendiente:

y− y0=m ( x−x0 ); dondeP (−2 ,−7 ) entonces x0=−2 y y0=−7

y− (−7 )=10 (x− (−2 ) )→ y+7=10 ( x+2 ) →y+7=10 x+20→ y=10 x+20−7

y=10 x+13

8) y=f ( x )= 1√x

= 1x1 /2

=x−1 /2

y '=f ' (x )=−12

x−32 = −1

2√ x3= −12 x√ x

m= f ' (1 )= −12 (1 ) √(1 )

=−12

para encontrar la ecuación se hará uso de la ecuación de punto pendiente:

y− y0=m ( x−x0 ); dondeP (1,1 ) entonces x0=1 y y0=1

y− (1 )=−12 (x−(1 ) )→y−1=−1

2( x−1 )→y−1=−1

2x+ 12→ y=−1

2x+ 12+1

y=−12

x+ 32

11)

a)

y=f ( x )= 2(x+3)

y '=f ' (x )= f ' (2 )∗( x+3 )−f ' ( x+3 )∗(2 )( x+3 )2

=0∗( x+3 )−1∗(2 )x2+6 x+9

= −2x2+6 x+9

m=f ' (a )= −2(a)2+6 (a)+9

= −2a2+6 a+9

m= −2a2+6 a+9

= −2(a+3)2

b)

para i) x=−1

m= f ' (−1 )= −2(−1 )2+6 (−1 )+9

= −21−6+9

= −210−6

=−24

=−12

m=−12

Para ii) x=0

m= f ' (0 )= −2(0)2+6(0)+9

=−29

m=−29

Para iii) x=1

m=f ' (1 )= −2(1)2+6 (1)+9

= −21+6+9

=−216

=−18

m=−18

12)

a)

y=f ( x )=1+x+ x2

y '=f ' (x )=1+2x=2x+1

m=f ' ( a )=2 x+1=2 (a )+1=2a+1

m=2a+1

b)

para i) x=−1

m=f ' (−1 )=2 (−1 )+1=−2+1=−1

m=−1

Para esta pendiente la ecuación queda como: y=−x−1

para ii) x=−1/2

m=f ' (−1 /2 )=2 (−1 /2 )+1=−22

+1=−1+1=0

Para ésta pendiente la ecuación queda como: y=0

para iii) x=1

m=f ' (1 )=2 (1 )+1=2+1=3

m=3

Para ésta pendiente la ecuación queda como: y=3 x−3

C) los datos para la gráfica son:

x y pendiente 1 pendiente 2 pendiente 311 133 -12 0 3010 111 -11 0 279 91 -10 0 248 73 -9 0 217 57 -8 0 18

6 43 -7 0 155 31 -6 0 124 21 -5 0 93 13 -4 0 62 7 -3 0 31 3 -2 0 00 1 -1 0 -3-1 1 0 0 -6-2 3 1 0 -9-3 7 2 0 -12-4 13 3 0 -15-5 21 4 0 -18-6 31 5 0 -21-7 43 6 0 -24-8 57 7 0 -27-9 73 8 0 -30-10 91 9 0 -33-11 111 10 0 -36-12 133 11 0 -39-13 157 12 0 -42

Y la gráfica queda como:

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11-12-13

-100

-50

0

50

100

150

200

Chart Title

y pendiente 1 pendiente 2 pendiente 3

13)

a)

y=f ( x )=x3−4 x+1

y '=f ' (x )=3 x2−4

m=f ' (a )=3 x2−4=3 ( a )2−4=3a2−4

m=3a2−4

b)

para i) P (1,−2 )→x0=a=1

m=f ' (1 )=3(1)2−4=3−4=−1

m=−1

Para este punto la ecuación de la recta queda como: y=−x−1

Para ii) P (2,1 )→→x0=a=2

m=f ' (2 )=3(2)2−4=12−4=8

m=8

Para este punto la ecuación de la recta queda como: y=8x−15

C) para el gráfico los datos son:

x y m1 m2-1 4 0 -23-0,8 3,688 -0,2 -21,4-0,6 3,184 -0,4 -19,8-0,4 2,536 -0,6 -18,2-0,2 1,792 -0,8 -16,60 1 -1 -150,2 0,208 -1,2 -13,40,4 -0,536 -1,4 -11,80,6 -1,184 -1,6 -10,20,8 -1,688 -1,8 -8,61 -2 -2 -71,2 -2,072 -2,2 -5,41,4 -1,856 -2,4 -3,81,6 -1,304 -2,6 -2,21,8 -0,368 -2,8 -0,62 1 -3 12,2 2,848 -3,2 2,62,4 5,224 -3,4 4,22,6 8,176 -3,6 5,82,8 11,752 -3,8 7,43 16 -4 9

Y la gráfica queda como:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Chart Title

y m1 m2

14)

a)

y=f ( x )= 1√5−2x

= 1(5−2 x)1/2

y '=f ' (x )=f ' (1 )∗(5−2 x )

12−f '( (5−2x )

12 )∗1

¿¿

m=f ' (a )= 1(5−2(a))3/2

= 1(5−2a)3 /2

b)

Para i) P (2,1 )→x0=a=2

m= 1(5−2a)3/2

= 1(5−2(2))3/2

= 1(5−4)3 /2

= 1(1)3 /2

= 1√13

= 1√1

=11=1

m=1

para esta recta la ecuación queda como: y=x−1

Para ii) P (−2,1 )→x0=a=−2

m= 1(5−2a)3/2

= 1(5−2(−2))3/2

= 1(5+4)3/2

= 1(9)3/2

= 1√93

= 1√729

= 127

m= 127

para esta recta la ecuación queda como: y= 127

x+ 2927

c) los datos para la gráfica quedan como:

x y m1 m2-1 0,37796447 -2 1,03703704-0,5 0,40824829 -1,5 1,055555560 0,4472136 -1 1,074074070,5 0,5 -0,51 0,57735027 01,5 0,70710678 0,52 1 1

Y con estos datos la gráfica queda como:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Chart Title

Series2 Series4 Series6

Nota: en algún punto la ecuación con la pendiente m2 toca a la curva, pero queda en un punto muy alejado en el cual habría que tomar demasiados puntos y el comportamiento curvo de la función no se apreciaría.

15)

a) la velocidad inicial del automóvil fue cero, puesto el recorrido comienza en cero, eso quiere decir que el automóvil está detenido cuando comenzó el recorrido.

b) la velocidad en C fue mayor en que en B, puesto que en C la pendiente de la curva de la función posición está más inclinada en C que en B, esto sugiere que se alcanzó una mayor distancia en menos tiempo, que en B donde se alcanzó una menor distancia en más tiempo. En C la relación del diferencial de distancia al diferencial de tiempo fue mayor que la misma relación para el punto B.

c) El automóvil aceleraba en A, puesto el comportamiento casi recto de la curva que luego se vuelve inclinado sugiere que hubo un cambio de velocidad en ese mismo tiempo.

En B se nota que el avance de la posición en todo el intervalo de tiempo fue constante, lo cual no sugiere cambio de la velocidad con respecto al tiempo, en este punto el auto desaceleró para mantener una velocidad constante.

En C el automóvil nuevamente acelera, teniendo un cambio de velocidad en este intervalo, representado por un cambio en la dirección de la curva, que pasa de ser casi constante a cubrir mayor distancia en menos tiempo.

D) en D el auto se mantuvo en reposo, es decir no se efectuó desplazamiento alguno en el intervalo de tiempo. El auto se detuvo, bien para tanquear gasolina, para comer, por un semáforo, cualquiera que sea la razón.

16)

A partir de los datos de tiempo y con la ecuación para la posición de un tiempo dada como:

s (t )=X0+v∗t

Los datos para la tabla quedan como:

X(mi) T(min) v(mi/min)15 0 55

3315 60 553315 62 03315 88 09165 90 659165 93 0

Y la gráfica queda de la siguiente forma:

1 2 3 4 5 60

100020003000400050006000700080009000

10000

15

3315 3315 3315

9165 9165

Chart Title

X(mi) T(min)

t (min)

X(m

i)

17)

La ecuación para la velocidad instantánea en el tiempo dado se tiene como:

v=limh→

d (t+h )−d (t )h

a) Para t=2 s ; conH=40 t−16 t 2

v=limh→0

d (t+h )−d (t )h =lim

h→0

(40 (2+h )−16 (2+h )2 )−(40 (2 )−16 (2 )2 )h =¿ lim

h→ 0

(40 (2+h )−16(4+4h+h2))−(80−64 )h = lim

h→0

((80+40h)−(64+64 h+16h2))−(16 )h =lim

h→ 0

(80+40h−64−64 h−16h2 )−(16 )h =lim

h→0

(16−24 h−16h2 )−(48 )h = lim

h→0

16−24 h−16h2−16h =lim

h→

−24 h−16h2

h =limh→0

−24 hh −

16h2

h =−24−16 (0 )=−24¿

18)

La ecuación para la velocidad instantánea en el tiempo dado se tiene como:

v=limh→

d (c+h )−d (c)h

a) Para t=1 s ; conH=58 t−0.83 t2

v=limh→0

d (c+h )−d (c )h =lim

h→0

(58 (1+h )−0.83 (1+h )2 )−(58 (1 )−0.83 (1 )2 )h =¿ lim

h→0

(58 (1+h )−0.83(1+2h+h2))−(58−0.83 )h =lim

h→0

((58+58h)−(0.83+1.66h+0.83h2))−(57.17 )h =lim

h→0

(58+58h−0.83−1.66h−0.83h2 )−(57.17 )h =lim

h→0

(57.17+56.34h−0.83h2 )−(57.17 )h =lim

h→0

57.17+56.34h−0.83h2−(57.17 )h = lim

h→

56.34h−0.83h2

h =limh→0

56.34 hh −

−0.83h2

h =56.34−0.83 (0 )=56.34m / s¿

b) Para t=a;con H=58 t−0.83t 2

v=limh→0

d (c+h )−d (c )h =lim

h→0

(58 (a+h )−0.83 (a+h )2 )−(58 (a )−0.83 (a )2 )h =¿ lim

h→0

(58 (a+h )−0.83(a2+2ah+h2))−(58a−0.83a2 )h =lim

h→0

((58a+58h)−(0.83a2+1.66 ah+0.83h2))−(58a−0.83a2 )h =lim

h→0

(58a+58h−0.83 a2−1.66ah−0.83h2 )−(58 a−0.83a2)h =lim

h→0

58a+58h−0.83a2−1.66ah−0.83h2−58a+0.83a2

h =limh→0

58h−1.66 ah−0.83h2

h =limh→0

58hh −

1.66ahh −

0.83h2

h =limh→ 0

58−1.66a−0.83h=58−1.66a−0.83 (0 )=58−1.66a¿

c) Cuando la flecha toca la luna se tiene que h=0; reemplazando esta condición en la ecuación que describe la altura se tiene que:

h=0=58t−0.83t 2=t (58−0.83t )

ahora en t=0 ;cuando se lanza laflecha se tiene entonces que0=58−0.83 t

0.83 t=58→t= 580.83

=69.87 s

t=69.87 s→la flechaduraen el aire69.87 segundosd) Teniendo esto y con la ecuación para la velocidad dada para el tiempo t como

v=s ' ( t )=¿ 58−1.66a¿)

Evaluamos esta expresión en el tiempo en el que la flecha toca el suelo; óseat=69.87 s

v=s ' (69.87 )=58−1.66 (69.87 )=58−116

v=s ' (69.87 )=−58 s

20)

a) la ecuación que describe el desplazamiento se expresa como: s (t )=t2−8 t+18 y con la

ecuación de la velocidad media expresada como: v= s (t )−s(a)t−a

entonces para cada uno de los intervalos:

i) Para el intervalo de tiempos [3,4 ]:s (3 )= (3 )2−8 (3 )+18=9−24+18=3s (4 )=(4)2−8 (4 )+18=16−32+18=2

v=s ( t )−s(a)

t−a =¿2−33−2=

−11 =−1

ii) Para el intervalo de tiempos [3.5,4 ]:s (3.5 )=(3.5)2−8 (3.5 )+18=16−32+18=2.25s (4 )=(4)2−8(4)+18=9−24+18=2

v=s ( t )−s(a)

t−a =2−2.254−3.5 =

−0.250.5 =−0.5

iii) Para el intervalo de tiempos [4,5 ]:s (4 )=(4)2−8 (4 )+18=16−32+18=2s (5 )=(5)2−8(5)+18=9−24+18=3

v=s ( t )−s(a)

t−a =3−23−2=

11=1

iv) Para el intervalo de tiempos [4,4.5 ]:s (4 )=(4)2−8 (4 )+18=16−32+18=2s (4.5 )=(4.5)2−8(4.5)+18=9−24+18=2.25

v=s (t )−s(a)

t−a =2.25−24.5−4 =

0.250.5 =0.5

b)Para t=4 s ;cons (t )=t 2−8 t+18

v=limh→0

d ( t+h )−d (t )h

=limh→0

(( t+h )2−8 (t+h )+18)−(( t )2−8 (t )+18 )h

=¿ limh→ 0

( (t2+2 th+h2 )−8 t−8h+18 )−( t2−8 t+18 )h

=limh→0

(t2+2 th+h2−8 t−8h+18 )−(t 2−8 t+18 )h

=limh→0

t 2+2th+h2−8t−8h+18−t 2+8 t−18h

=limh→0

2 th+h2−8hh

=limh→0

2 thh

+ h2

h−8h

h=lim

h→ 02 t+h−8=lim

h→02t+ (0 )−8=2 t−8=8−8=0m

s¿

c) las pendientes para las rectas secantes vienen dadas por: m1=−1 ;m2=−0.5 ;m3=1 ;m4=0.5; y para cada una de estas pendientes puede hallarse una ecuación usando la ecuación de punto pendiente.

Y para la recta tangente tiene como pendiente:m5=0 ;Para ésta pendiente la ecuación de la recta queda como: y−0=m ¿4) → y=0

22)

como se observa en la gráfica el punto P está ubicado exactamente a la hora en la que se pone el pavo en la mesa; entonces la razón de cambio de la temperatura a la hora estará dada por las razones de la diferencia de temperatura a la diferencia de tiempo entre 0 y 60 minutos.

dTdt

= ∆T∆ t

=T2−T 1

t2− t1=75−168132−0

=0.7 ° F

Esto representa que el pavo se enfría (pierde calor y por ende temperatura) a una tasa de 0.7 ° F por minuto.

23)

24)

a) mediante la ecuación de la tasa promedio que se tiene como:

∆ y∆x

=f (x2 )−f (x1)

x2−x1

i) Desde 1991 hasta 1995:x2=1995→f (x2 )=839millares de personasx1=1991→f (x2 )=793millares de personas

∆ y∆x

= 839−7931995−1991

=464

=11.5millares de personasaño

ii) Desde 1993 hasta 1995:x2=1995→f (x2 )=839millares de personasx1=1993→f (x2 )=820millares de personas

∆ y∆x

= 839−8201995−1993

=192

=9.5millares de personasaño

i) Desde 1991 hasta 1995:x2=1997→f (x2 )=874millaresde personasx1=1995→f (x2 )=839millares de personas

∆ y∆x

= 874−8391997−1995

=352

=17.5millaresde personasaño

b) se toma el promedio de 1931 – 1995 y el de 1995 – 1997:

∆ y∆x

=11.5millares de personasaño

∆ y∆ x

=17.5millares de personasaño

ahora la razón instantánea de crecimiento viene dada por la ecuación:

lim∆ x→ 0

∆ y∆ x=

limx2→x1

f (x2 )−f (x1)

x2−x1=9.5+17.5

2 =272 =

13.5millares de personasaño

25)

a)

i) Para x2=105→f (x2)=C (x2 )=5000+10x2+0.05 x2

¿5000+10 x2+0.05x2=5000+10 (105 )+0.05 (105 )2

f (x2 )=6601.25

Para x1=100→f (x1 )=C (x1 )=5000+10 x1+0.05 x1¿5000+10 x1+0.05 x1=5000+10 (100 )+0.05 (100 )2

f (x2 )=6500

mediante la ecuación de la tasa promedio que se tiene como:

∆ y∆x

=f (x2 )−f (x1)

x2−x1=6601.25−6500

105−100=101.25

5= 20.25dolares

unidad de producto producido

ii) Para x2=101→f (x2 )=C (x2 )=5000+10 x2+0.05x2

¿5000+10 x2+0.05x2=5000+10 (101 )+0.05 (101 )2

f (x2 )=6520.05

Para x1=100→f (x1 )=C (x1 )=5000+10 x1+0.05 x1¿5000+10 x1+0.05 x1=5000+10 (100 )+0.05 (100 )2

f (x2 )=6500

mediante la ecuación de la tasa promedio que se tiene como:

∆ y∆x

=f (x2 )−f (x1)

x2−x1=6520.05−6500

101−100=20.05

1= 20.05dolares

unidad de producto producido

b)

calculando C (100 )=5000+10 (100 )+0.05 (100 )2=6500 y

C (100+h )=5000+10 (100+h )+0.05 (100+h )2

limh→0

C ( x+h )−C(x )h

=limh→0

C (100+h )−C (100)

h=limh→05000+10 (100+h )+0.05 (100+h )2−(6500)

h=limh→0

5000+1000+10h+0.05(10000+200h+h2)−(6500)

h=limh→0

5000+1000+10h+500+10h+0.05h2−(6500)

h=limh→0

6500+20h+0.05h2−(6500)

h=limh→0

20h+0.05h2

h=limh→0

20h

h+ 0.05h

2

h=lim

h→020+0.05h=lim

h→020+0.05 (0 )= 20dolares

unidad de producto producido

26)

La ecuación de Torricelli se plantea como:

∆V ( t)=100000(1− t60 )

2

Y la ecuación de drenado para un contenedor cilíndrico queda como:

∆V ( t )=limh→0

V (t+h )−V ( t )

h→∆V (t )=

limh→0

100000(1− t+h60 )

2

−100000(1− t60 )

2

h

¿limh→0

100000[(1−2∗t+h60

− t+h3600

2)−(1−2∗t60

− t3600

2)]h

=limh→0

100000[1−2∗t+h60

− t+h60

2

−1−2∗t60

− t60

2]h

=limh→ 0

100000[−t+h30

−(t+h )3600

2

+ t30

+ t 2

3600 ]h

=limh→0

100000 [−t30

− h30

− t 2+2th+h2

3600+ t30

+ t 2

3600 ]h

=limh→0100000 [−h

30− t 2

3600+ 2 th3600

+ h2

3600+ t2

3600 ]h

=limh→0

100000[−h30

+ 2 th3600

+ h2

3600 ]h

=limh→ 0

1000003600

h (−120+2t+h )

h=limh→0

1000h36

(−120+2 t+h )

h=limh→0

1000h36

(−120+2 t+h )

h=limh→0

1000

36(−120+2 t+h )=

limh→ 0

1000

36 (−120+2 t+ (0 ) )=100036 (−120+2 t )=100036

∗2 (−60+t )=200036

( t−60 )=5009

(t−60 ) gal /min

Los datos calculados para cada instante t se muestran en la siguiente tabla:

t caudal(gal/min) agua restante

0 -333,3333333 10000010 -277,7777778 69444,4444420 -222,2222222 44444,4444430 -166,6666667 2500040 -111,1111111 11111,1111150 -55,55555556 2777,77777860 0 0

De aquí se puede observar que la magnitud del caudal es más grande en el inicio del vaciado y disminuye de forma continua hasta un valor de 0, el símbolo negativo representa que esta cantidad se está escapando del cilindro, por lo tanto se está perdiendo.