UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES ECONOMICAS Y DE NEGOCIOSCEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ

TRABAJO COLABORATIVO 1

PROBABILIDADGRUPO 100402_306

TUTORA:LUIS ALEXANDER SARAVIA ROA PRESENTADO:LUCY STELLA BELTRAN CIFUENTESCC. 51.793.602

BOGOTA, MARZO 06 DE 2015

INTRODUCCIONEn muchos campos de la actividad humana se trabajan fenmenos que posee algunos grados de incertidumbre y en un importante nmero de situaciones se llega a decisiones soportadas en el estudio de tales hechos.El economista estudia la oferta y la demanda de un producto y establece alguna relacin funcional sin llegar a determinar exactamente la interaccin entre las dos, la incertidumbre se presenta debido a la alcatoriedad del fenmeno que se observa, pero adems por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar los parmetros que determinen ese estado de naturaleza, se requiere por lo tanto de un procedimiento estructurado, sistematizado, formalizado, es decir cientfico, para manejar la incertidumbre y que adems permita cuantificar los diversos niveles de esta.El ser humano ha tratado de medir su nivel de incertidumbre, tal medida se conoce como probabilidad.Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, esta se debe explicar en trminos numricos, para ello se debe conocer reglas y operaciones de la probabilidad.

DEFINICION DE ESPACIO MUESTRALEl espacio muestral o espacio de muestreo denotado por (E, S, o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio, por ejemplo si el experimento consiste en lanzar dos monedas al espacio, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), y (cruz, cruz)} un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de -algebra,1 llamndose a los sucesos que contengan un nico elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso sacar cara en el primer lanzamiento, o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estara formado por los sucesos elementales {(cara, cara), (cara, cruz)}.Los espacios de muestreos aparecen de forma natural en una aproximacin elemental de probabilidad, pero son tambin importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, , pero define un conjunto de sucesos de inters, la -algebra F, por la cual se define la medida de probabilidad P.

Tipos de espacio muestral: Discretos: Continuos: Discretos son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es finito o infinito numerablesEspacio probalistico discreto, es aquel cuyo espacio probalistico es discreto. Podemos diferenciar varios tipos de espacio probalistico discreto.Espacio probalistico discreto equiprobable Su espacio muestral es infinito de tamao n La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

Espacio probabilstico infinito Su espacio muestral es discreto infinito Hay al menos dos sucesos elementales que cumplen

Procesos estocsticos infinitos y diagrama de rbolUn procesos estocstico es una sucesin finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un No. Infinito de resultados posibles, se representan con diagrama de rbol.Ejemplo: Se lanza una moneda y un dado de seis caras. La probabilidad de obtener un resultado particular corresponde a la multiplicacin de sus probabilidades. Es decir la probabilidad de obtener cara y un tres ser:

Espacio probalistico infinito contableAquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable, por ejemplo La probabilidad de que salga cara en la primera tirada La probabilidad de que salga nuevamente cara en la segunda tirada La probabilidad de que salga nuevamente cara en la tercera tirada Continuos: son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es infinito incontableEspacio probalistico continuo Espacio muestral infinito no numerable. No es posible observar puntos concretos, se asigna intervalos Po lo tanto la funcin P, est definida sobre intervalos

Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes fsicaParticionesEs posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una participacin sobre se define como un conjunto numerable:

Ejemplo:En el caso experiment aleatorio lanzar un dado, el espacio muestral del experimento seria . Por otro lado cambiamos ligeramente la experiencia pasando en el nmero resultante de la suma de dos dados, entonces tenemos dos posibles espacios mustrales para modelar nuestra realidad: La leccin del espacio muestral es un factor determnate para realizar el clculo de la probabilidad de un suceso.

FACTORIAL DE UN NMEROEl factorial de un entero positivo, factorial de n o n factorial se define en principio como el productos de todos los nmeros enteros positivos desde 1 (es, decir, los nmeros naturales) hasta n por ejemplo

Simbologa n!= n(n-1) (n-2),1 n 1La operacin factorial aparece en muchas reas de las matemticas, particularmente en combinatoria y anlisis matemtico. De manera fundamental, factorial de n representa el nmero de formas distintas de ordenar n objetivos distintos (elementos sin repeticin). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, la notacin actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.La definicin de funcin factorial tambin se puede extender a nmeros no naturales, manteniendo sus probabilidades fundamentales, pero se requiere matemticas avanzadas, particularmente en anlisis matemtico.La funcin factorial es formalmente definida mediante el producto

La multiplicacin anterior se puede simbolizar, tambin utilizando el operador productorio.

En esta segunda definicin el dominio de la funcin es el conjunto de los enteros no negativos y el condominio es el conjunto de los enteros positivos en este caso hay una sucesin recurrente, el clculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igual n! =(n-1)!n se nombra ecuacin recurrente2.Todas las funciones anteriores incorporan la premisa de que 0!=1Para cada nmero entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

Vlida para todo nmero mayor o igual que1. Asa se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque:

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1! = 1 ya que

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo de que tendremos que 0! corresponde a:

Aunque el argumento puede resultar conveniente, es importante tener en cuenta, que no es que un argumento informal y que la razn real por la cual se toma la convencin de 0! = 1 es por ser un caso especial de la conveniencia del producto vaco, usadas en muchas otras ramas de las matemticas.AplicacionesLas factoriales se usan mucho en la matemticas llamada combinatoria, a travs del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a+b) n.

De igualmente se puede encontrar en la derivacin por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de Newton:

Donde f(n) es la derivada ensima de la funcin fPor medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el clculo de las probabilidades, intervienen tambin en el mbito del anlisis, en particular a travs del desarrollo polinomial de las funciones (formula de Taylor). Se generaliza a los reales con la funcin gamma, de gran importancia en la teora de nmeros.Para valores grandes de n, existe una expresin aproximada para el factorial de n, dado por la formula Stirling:

El factorial de n es generalizado para cualquier numero real n, por la funcin gamma de manera que

Solo para n>0, se puede generalizar an ms, para todo nmero complejo z, que no sea igual aun entero no positivo, mediante la siguiente definicin:

Doble factorial

Ejemplo

La sucesin de dobles factoriales para Empieza as 1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840

La definicin anterior puede extenderse para definir el doble factorial de nmeros negativos

El doble factorial de un nmero negativo no est definidoAlgunas identidades de los dobles factoriales

La funcin factorial es fcilmente implementarle en distintos lenguajes de programacin. Se pueden elegir dos mtodos el iterativo, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada nmero natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la funcin factorial se llama a si misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

PROBABILIDAD CONDICIONALEs la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que tambin sucede otro evento B. La probabilidad condicionada se escribe P (A I B), y se lee la probabilidad de A dado BProbabilidad condicional bajo independencia estadstica

Probabilidad condicional bajo dependencia estadstica

No tiene por qu haber una relacin casual o temporal entre Ay B puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o puede ocurrir simultneamente. A puede causar B, viceversa o puede no tener relacin causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al mbito de la probabilidad. Pueden desempear un papel o no dependiendo de la interpretacin que se le d a los eventos.DefinicinDado un espacio de probabilidad, y dos eventos (o sucesos) con , la probabilidad condicional de A dado B est definida como:

Interpretacin:Tomando los mundos en los que B se cumple, se puede interpretar como la fraccin en los que tambin se cumple A, si el evento B es, por ejemplo tener gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza sera la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se est enfermo de gripe.Grficamente, si se interpreta el espacio de la ilustracin como el espacio de todos los mundos posibles, A seria los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B en el espacio en el que se tiene gripe. La zona roja de la interaccin representara los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso es decir la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, seria, sera la proporcin de mundos con gripe y dolor de cabeza (color rojo) de todos los mundos con gripe. El rea verde dividida por el rea de B. Como el rea roja representa ) y el rea de B representa a , formalmente se tiene que:

BA

, se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B, se cumple, la fraccin en los que tambin se cumple A. Propiedades

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

Independencia de sucesosDos sucesos aleatorios A y B son independientes si y solo si:

O sea que si A y B son independientes. Su probabilidad conjunta, Puede ser expresada como producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.Exclusividad mutuaDos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes si y solo si Adems, si entonces es igual a 0La falacia de la probabilidad condicionalLa falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que es casi igual la verdadera relacin entre es la siguiente