UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

FISICA DE SEMICONDUCTORES 299002_142

Aporte Trabajo Colaborativo 1

Realizado por:Joaqun Alberto Cujar MorenoCdigo (1.096.223.840)

Yond, Colombia2013TRABAJO COLABORATIVO 1

GUA DE ACTIVIDAD:

Fase 1. Participacin en el foro de trabajo colaborativo 1

Actividades: Ingresar al foro de trabajo colaborativo 1, leer las instrucciones de participacin y el saludo de bienvenida del director de curso. Hacer clic en responder al mensaje y cambiar el asunto del mensaje con el ttulo: Presentacin _ nombre, por ejemplo: presentacin _ Andrs. Hacer una breve presentacin. Leer las presentaciones de sus compaeros y dar respuesta a los mismos.

Fase 2. Produccin intelectual.

1. Los estudiantes buscarn las ecuaciones exactas que estn relacionadas con los siguientes conceptos:

1.1 Principio de incertidumbre (versin de posicin y versin de energa).

Esta teora contempla la caracterstica de la dualidad onda-partcula (la luz presenta las propiedades de una partcula, as como las de una onda), que Einstein haba intuido como necesaria, y el principio de incertidumbre, que establece que la exactitud de los procedimientos de medicin es limitada. Adems, esta teora supona un rechazo fundamental a la nocin estricta de causalidad. Sin embargo, Einstein mantuvo una posicin crtica respecto a estas tesis hasta el final de su vida. Dios no juega a los dados con el mundo, lleg a decir. El hecho de que una partcula parezca poseer cierto grado de incertidumbre acerca del lugar donde se encuentra es solo parte del problema. La partcula parecera estar insegura de qu es ella misma, porque en ciertas ocasiones presenta las caractersticas de una partcula y en otras las caractersticas de una onda. Cmo explica la fsica cuntica, esa aparente paradoja nos lleva a un debate que ha durado los ltimos 300 aos, comenzando con Isaac Newton. En 1690 Huygens propuso que la luz se transmite en ondas esfricas que se propagan a partir de una fuente luminosa. Newton rechaz la teora ondulatoria y en 1704 propuso que la luz estaba compuesta por partculas diminutas. Un siglo despus otro fsico, Thomas Young, inclin la balanza a favor de Huygens probando que la luz posea ciertas propiedades que slo era posible asociar con una onda. Esto era as debido a que la luz en un famoso experimento conocido como el experimento de las dos ranuras, produca interferencia, y para los fsicos, cuando dos fenmenos interfieren entre s se dice que se propagan en el espacio como una onda. Cmo fue esto? Young coloc una pequea fuente luminosa que proyectaba su luz a travs de dos delgadas ranuras practicadas en un trozo de material opaco. Esta luz luego de pasar por las ranuras, se proyectaba en una pantalla. Young comprob que en lugar de haber dos franjas de luz en la pantalla, como debera ocurrir si la luz fueran partculas que viajan en lnea recta, haba una serie de franjas brillantes y oscuras de diferentes intensidades.

Fig.1: Grafica que recrea el experimento realizado por Young en 1801.Su conclusin fue que este era un patrn de interferencia que solo se explica por el supuesto de que la luz que pasa por las ranuras tiene caractersticas ondulatorias. Esta versin se acept y dur otros cien aos, hasta que aparecieron dos fenmenos que no se podan explicar con los conceptos de la fsica clsica. El primero consisti en el problema de la radiacin del cuerpo negro, fenmeno estudiado por Planck, mientras que el segundo era el llamado efecto fotoelctrico, fenmeno estudiado por Einstein, donde este propone nuevamente el concepto de la luz como compuesta por partculas. Louis de Broglie plante el enigma siguiente: si as como las ondas podan comportarse como partculas (la luz), podra ser que las partculas (los electrones) se comportaran como ondas? Hizo un bosquejo matemtico de este fenmeno que ms tarde fue comprobado experimentalmente. Se comprob entonces que el universo estaba compuesto por entidades cunticas que a veces podan comportarse como ondas y a veces como partculas. (Se comprueba la dualidad onda-partcula).Para resolver la aparente paradoja de la dualidad onda-partcula del universo, algunos fsicos (ntese el ingenio y la audacia para proponer algo tirado de los pelos) sugirieron que tal vez no deba pensarse que la materia est formada por ondas de materia, sino ms exactamente, como ondas de probabilidad. Este concepto significa que lo que pasa a travs de las ranuras en el experimento de las dos ranuras es una onda de probabilidades, lo que realmente describe matemticamente es la probabilidad de encontrar el fotn o el electrn (la entidad cuntica) en un lugar definido. Hay una cierta probabilidad de encontrar la partcula aqu u otra probabilidad de encontrarla ms all, y en principio podra estar en cualquier parte del universo, por supuesto con diferente probabilidad de que esto as ocurra. Esto que lleg a ser una de las interpretaciones ms aceptables de la fsica cuntica, trajo consigo consecuencias perturbadoras para nuestra comprensin de la realidad.Heisenberg comenz a considerar este problema: cmo describir la posicin de la partcula microscpica?, Cul es el procedimiento indicado para determinar dnde est una partcula? La respuesta obvia es sta: observarla. Pues bien, imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electrn. Si lo queremos ver debemos proyectar una luz o alguna especie de radiacin apropiada sobre l. Pero un electrn es tan pequeo, que bastara un solo fotn de luz para hacerle cambiar de posicin apenas lo tocara. Y en el preciso instante de medir su posicin, alteraramos sta. Aqu nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como el objeto que medimos; y no existe ningn agente medidor ms pequeo que el electrn. En consecuencia, nuestra medicin debe surtir, sin duda, un efecto nada desdeable, un efecto ms bien decisivo en el objeto medido. Podramos detener el electrn y determinar as su posicin en un momento dado. Pero si lo hiciramos, no sabramos cul es su movimiento ni su velocidad. Por otra parte, podramos gobernar su velocidad, pero entonces no podramos fijar su posicin en un momento dado.Heisenberg demostr que no nos ser posible idear un mtodo para localizar la posicin de la partcula subatmica mientras no estemos dispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posicin exacta. Es un imposible calcular ambos datos con exactitud al mismo tiempo, es decir, afirma que no es posible especificar con exactitud simultneamente la posicin y el momento lineal de una partcula subatmica, que no es ms, que le hecho de que cada partcula lleva asociada consigo una onda, lo que impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posicin y su velocidad.Es natural pensar que si una partcula est localizada, debemos poder asociar con sta un paquete de ondas ms o menos bien localizado. Un paquete de ondas se construye mediante la superposicin de un nmero infinito de ondas armnicas de diferentes frecuencias. En un instante de tiempo dado, la funcin de onda asociada con un paquete de ondas est dado por:

Donde k representa el nmero de onda.

Y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o nmero de ondas) que varan desde cero a ms infinito ponderadas mediante el factor g (k). El momento de la partcula y el nmero de ondas estn relacionados ya que:

De lo cual se deduce que,

Queda claro que para localizar una partcula es necesario sumar todas las contribuciones de las ondas cuyo nmero de onda vara entre cero e infinito y por lo tanto el momento:

Tambin vara entre cero e infinito. Es decir que est completamente indeterminado. Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice como estn distribuidas las contribuciones de las ondas con nmero de ondas k dentro del paquete.

Fig.2: Graficas de diferentes tipos de ondas

En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el espacio x, tiene contribuciones prcticamente iguales de todas las ondas con nmero de ondas k. En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posicin del paquete de ondas, tambin es posible definir el nmero de ondas (o el momento) de la partcula. En el ltimo caso vemos que para definir bien el momento de la partcula, entonces su posicin queda completamente indefinida.

Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal comoen el espacio de momentos. La expresin matemtica que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es:

Si queremos determinar con total precisin la posicin:

De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.En sntesis, se puede describir que el principio de incertidumbre postula que: En la mecnica cuntica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, los valores de dos variables cannicas conjugadas (posicin-impulso, energa-tiempo, etc.) de forma que una medicin precisa de una de ellas implica una total indeterminacin en el valor de la otra. Matemticamente, se expresa para la posicin y el impulso en la siguiente forma:

x, incertidumbre en la medida de la donde p, incertidumbre en la medida del posicin; impulso; para la energa, E, y el tiempo, t, se tiene; en ambas h/2t E relaciones el lmite de precisin posible viene dado por la constante de Planck, h.

1.2 Frecuencia exacta a la que un electrn en un nivel de energa n salta para convertirse en electrn de conduccin.

1.2.1 Generalidades. Entre los conocimientos actuales o no sobre el tomo, que han mantenido su veracidad, se consideran los siguientes: Aspectos bsicos:

1. La presencia de un ncleo atmico con las partculas conocidas, la casi totalidad de la masa atmica en un volumen muy pequeo.

2. Los estados estacionarios o niveles de energa fundamentales en los cuales se distribuyen los electrones de acuerdo a su contenido energtico.

3. La dualidad de la materia (carcter onda-partcula), aunque no tenga consecuencias prcticas al tratarse de objetos de gran masa. En el caso de partculas pequeas (electrones) la longitud de onda tiene un valor comparable con las dimensiones del tomo.

4. La probabilidad en un lugar de certeza, en cuanto a la posicin, energa y movimiento de un electrn, debido a la imprecisin de los estudios por el uso de la luz de baja frecuencia.

Fue Erwin Schodinger, quien ide el modelo atmico actual, llamado "Ecuacin de Onda", una frmula matemtica que considera los aspectos anteriores. La solucin de esta ecuacin, es la funcin de onda (PSI), y es una medida de la probabilidad de encontrar al electrn en el espacio. En este modelo, el rea donde hay mayor probabilidad de encontrar al electrn se denomina orbital.

El valor de la funcin de onda (x, y, z, t) asociada con una partcula en movimiento est relacionada con la probabilidad de encontrar a la partcula en el punto (x, y, z) en el instante de tiempo t. En general una onda puede tomar valores positivos y negativos. Por ejemplo la onda:

En general una onda puede representarse por medio de una cantidad Compleja:

Piense por ejemplo en el campo elctrico de una onda electromagntica. Una probabilidad negativa, o compleja, es algo sin sentido. Esto significa que la funcin de onda no es algo observable. Sin embargo el mdulo (o cuadrado) de la funcin de onda siempre es real y positivo.

Por esto, a se le conoce como la densidad de probabilidad.

Probabilidad (x, y, z, t) l (x, y, z, t)

Nmeros Cunticos: Son cuatro (04) los nmeros encargados de definir la funcin de onda (PSI) asociada a cada electrn de un tomo: el principal, secundario, magntico y de Spin. Los tres (03) primeros resultan de la ecuacin de onda; y el ltimo, de las observaciones realizadas de los campos magnticos generados por el mismo tomo.

Nmero cuntico principal: Es un criterio positivo, representado por la letra "n", indica los niveles energticos principales. Se encuentra relacionado con el tamao. En la medida que su valor aumenta, el nivel ocupa un volumen mayor y puede contener ms electrones, y su contenido energtico es superior. Sus valores pueden ser desde 1 hasta infinito.

Nmero cuntico secundario: Representado por la letra "I", nos indica la forma que puede tener el espacio donde se encuentra el electrn. El valor que se le asigna depende del nmero principal; va desde cero (0) hasta n-1. Se ha conseguido que para dos (02) electrones que pertenecen al mismo nivel energtico (igual "n"), las diferencias en valores de "I", se expresan en diferencias de contenidos energticos, debido a esto reciben la denominacin de subniveles de energa con un aumento progresivo en la medida que "I" aumenta de valor.

Nmero cuntico magntico: Representa las orientaciones que pueden asumir los diferentes orbitales frente a un campo magntico; el smbolo utilizado es "m"; y los valores que tienen son los nmeros orbitales enteros que van desde -1 hasta +1. Los nmeros de valores que pueden tener "m" indican los nmeros de rbitas que puede contener un sub-nivel de energa.

Nmero cuntico de spin: Tiene dos (02) valores permitidos +1/2 y -1/2. Estos valores representan el movimiento del electrn, tipo de rotacin sobre su eje, con dos (02) nicas posibilidades y opuestas entre s, haca la derecha o haca la izquierda. Cada uno de los orbitales puede contener dos (02) electrones, uno con cada spin. De estar los dos (02), el momento magntico se anula, es cero, esto sucede debido a lo apuesto.

1.2.2 Efecto fotoelctrico. El efecto fotoelctrico consiste en la emisin de electrones por un material cuando se le ilumina con radiacin electromagntica (luz visible o ultravioleta, en general). A veces se incluyen en el trmino otros tipos de interaccin entre la luz y la materia: Fotoconductividad: es el aumento de la conductividad elctrica de la materia o en diodos provocada por la luz. Descubierta por Willoughby Smith en el selenio hacia la mitad del siglo XIX.

Efecto fotovoltaico: transformacin parcial de la energa luminosa en energa elctrica. La primera clula solar fue fabricada por Charles Fritts en 1884. Estaba formada por selenio recubierto de una fina capa de oro.

El efecto fotoelctrico fue descubierto y descrito por Heinrich Hertz en 1887. La explicacin terica solo fue hecha por Albert Einstein en 1905 quien bas su formulacin de la fotoelectricidad en una extensin del trabajo sobre los cuantos de Max Planck. Ms tarde Robert Andrews Millikan pas diez aos experimentando para demostrar que la teora de Einstein no era correcta, para finalmente concluir que s lo era. Eso permiti que Einstein y Millikan compartiesen el premio Nobel en 1921 y 1923 respectivamente.

Fig.3: Diagrama del efecto fotoelctrico.

Los fotones tienen una energa caracterstica determinada por la frecuencia de onda de la luz. Si un tomo absorbe energa de un fotn que tiene mayor energa que la necesaria para expulsar un electrn del material y que adems posee una velocidad bien dirigida hacia la superficie, entonces el electrn puede ser extrado del material. Si la energa del fotn es demasiado pequea, el electrn es incapaz de escapar de la superficie del material. Los cambios en la intensidad de la luz no modifican la energa de sus fotones, tan slo el nmero de electrones que pueden escapar de la superficie sobre la que incide y por lo tanto la energa de los electrones emitidos no depende de la intensidad de la radiacin que le llega, sino de su frecuencia. Si el fotn es absorbido parte de la energa se utiliza para liberarlo del tomo y el resto contribuye a dotar de energa cintica a la partcula libre. En principio, todos los electrones son susceptibles de ser emitidos por efecto fotoelctrico. En realidad los que ms salen son los que necesitan menos energa para salir y, de ellos, los ms numerosos.

En un aislante (dielctrico), los electrones ms energticos se encuentran en la banda de valencia. En un metal, los electrones ms energticos estn en la banda de conduccin. En un semiconductor de tipo N, son los electrones de la banda de conduccin que son los ms energticos. En un semiconductor de tipo P tambin, pero hay muy pocos en la banda de conduccin. As que en ese tipo de semiconductor hay que ir a buscar los electrones de la banda de valencia.

A la temperatura ambiente, los electrones ms energticos se encuentran cerca del nivel de Fermi (salvo en los semiconductores intrnsecos en los cuales no hay electrones cerca del nivel de Fermi). La energa que hay que dar a un electrn para llevarlo desde el nivel de Fermi hasta el exterior del material se llama funcin trabajo, y la frecuencia mnima necesaria para que un electrn escape del metal recibe el nombre de frecuencia umbral. El valor de esa energa es muy variable y depende del material, estado cristalino y, sobre todo de las ltimas capas atmicas que recubren la superficie del material. Los metales alcalinos (sodio, calcio, cesio, etc.) presentan las ms bajas funciones de trabajo. Aun es necesario que las superficies estn limpias al nivel atmico. Una de la ms grandes dificultades de las experiencias de Millikan era que haba que fabricar las superficies de metal en el vaco.

Los fotones del rayo de luz tienen una energa caracterstica determinada por la frecuencia de la luz. En el proceso de fotoemisin, si un electrn absorbe la energa de un fotn y ste ltimo tiene ms energa que la funcin trabajo, el electrn es arrancado del material. Si la energa del fotn es demasiado baja, el electrn no puede escapar de la superficie del material. Aumentar la intensidad del haz no cambia la energa de los fotones constituyentes, solo cambia el nmero de fotones. En consecuencia, la energa de los electrones emitidos no depende de la intensidad de la luz, sino de la energa de los fotones individuales.

Los electrones pueden absorber energa de los fotones cuando son irradiados, pero siguiendo un principio de "todo o nada". Toda la energa de un fotn debe ser absorbida y utilizada para liberar un electrn de un enlace atmico, o si no la energa es re-emitida. Si la energa del fotn es absorbida, una parte libera al electrn del tomo y el resto contribuye a la energa cintica del electrn como una partcula libre. Hertz haba observado que la chispa elctrica saltaba ms fcilmente entre dos esferas cargadas si estas eran iluminadas con la luz de otras chispas. Lenard, exponiendo placas de diferentes metales a luz ultravioleta, descubri que las mismas emitan electrones a los que denomin fotoelectrones. Estos experimentos de Lenard demostraron que:

a. La velocidad de los fotoelectrones depende de la frecuencia de luz empleada y no de su intensidad.

b. Hay una frecuencia umbral por debajo de la del cual no se produce emisin de electrones, independientemente de la intensidad de luz utilizada.

c. La emisin ocurre casi instantneamente con la iluminacin.

Este fenmeno desafi durante varios aos todo intento de explicacin a partir de las ecuaciones de maxwell. Una vez formulada la posible existencia de los fotones, Einstein explico este fenmeno y lo llam efecto fotoelctrico, como la colisin entre un fotn y un electrn ligado a un tomo. Este proceso es casi instantneo y en el parte de la energa del fotn hv, se emplea para vencer el campo creado en la superficie del metal y la restante para acelerar el electrn e impartirle una velocidad v. en smbolos:

Cuando la frecuencia es menor que, el fotn no tendr energa suficiente para vencer el campo de la superficie y no habr emisin. La mxima energa cintica Kmax de un electrn expulsado est dada por:

Donde h es la constante de Planck, f es la frecuencia del fotn incidente y es la funcin trabajo (a veces denotada por W), la cual es definida como la energa mnima requerida para remover un electrn desubicado desde la superficie de un metal dado. Entonces, la funcin trabajo puede ser escrito por:

Donde fo es la llamada frecuencia de umbral del metal. La mxima energa cintica Kmax de un electrn expulsado es entonces:

Ya que la energa cintica del electrn debe ser positiva, as como la frecuencia f debe ser ms grande que la frecuencia de umbral fo para que el efecto fotoelctrico pueda ocurrir.2 Los estudiantes deben escoger en total tres (3) de los ejercicios propuestos por el tomo III del libro de Alonso y Finn (Fsica: Fundamentos Cunticos y Estadsticos) (lo anterior se espera sobre todo para el tema b), de cualquiera de los seis (6) primeros captulos, pero escogindolos de al menos dos captulos diferentes.

Primer ejercicio

Encontrar la configuracin del estado fundamental de los siguientes tomos a) Si b) Mn c) Rb d) Ni

Escribir sus respectivos trminos en el estado fundamental

a) SI Configuracin estado fundamental = Termino en estado fundamental =

b) MN Configuracin estado fundamental = Termino en estado fundamental =

c) RB Configuracin estado fundamental = Termino en estado fundamental =

d) NI Configuracin estado fundamental = Termino en estado fundamental =

Segundo ejercicio Obtener la densidad total de energa de la radiacin de cuerpo negro en funcin de la temperatura Solucin: Como E(v) dv es la densidad de energa en el intervalo dv de la radiacin de cuerpo negro, la densidad total de energa es:

Podemos asignar (e) al area bajo la curva E(v) de la figura 1-4 del libro de fsica de Alonso y fin tomo 3. Introducimos la variable x=hv/kt y nos da

El valor de esta integral es 6.4938 por lo que E=a segn la ecuacin 1.2 del tomo 3 del libro de Alonso y finn Donde

Tercer ejercicio Se deja en libertad un electrn a una distancia muy grande de un protn. Hallar la longitud de onda del electrn cuando esta a: (a) 1m del protn, (b) 0.5 x (esta distancia es del orden de magnitud del radio de la rbita de un electrn en el estado fundamental de un tomo de hidrogeno) Solucin: El potencial a travs del cual se ha movido el electrn cuando est a una distancia r del protn es:

Donde r est en metros. Sustituyendo este valor en la ecuacin 1.46 contenida en el libro de Alonso y fin tomo 3; encontramos que la longitud de onda del electrn es:

Podemos deducir de este resultado que la longitud de inda disminuye a medida que el electrn se acerca al protn. La razn de esto es que el electrn se esta acelerando hacia el protn y su momento aumenta a medida que la distancia disminuye. Cuando el electrn es a 1m del protn la longitud de onda es cuando el electrn est a m del protn la longitud de onda es .