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7/21/2019 Trab Final Mecánica. Santiago Fernandez.pdf

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“Minimización de la Energía Potencial del Sistemapara colisiones elásticas de esferas”

Santiago Fernandez

INTRODUCCIÓN

Este trabajo se realiza en el marco de la asignatura Mecánica, que se cursa en el tercer añode la Licenciatura en Ciencias Básicas, en el Instituto de Ciencias Básicas de la Universidad Nacionalde Cuyo.

En el mismo se busca profundizar y analizar el problema sobres colisiones de nanoesférasde comportamientos elásticos lineales, contacto sin fricción y bajo la interacción de diferentespotenciales (Van der Waals, exponencial, lineal y en nuestro caso Lennar-Jones), bajo simulacionescomputacionales. En principal problema que sale a la luz como resultados de las investigaciones esla desviación de la razón entre el área de contacto de un modelo continuo y el modelo simuladopor esferas compuestas por átomos. Para esferas de muy poco átomos la razón entre estos dosmodelos difiere hasta 300%.

El objetivo de este trabajo es analizar la variación de los saltos de la energía potencialdespués de la colisión y ver si al finalizar la simulación se puede minimizar la energía potencial porun ajuste iterado de las coordenadas atómicas dándole una tolerancia de cambio a las energías ya las fuerzas.

RESUMEN DEL PAPER

“ Descripción del contacto adhesivo de esferas con potenciales de interacción arbitrario"

1-

Modelado de contacto adhesivo de esferas

El modelo asume que:-Los sólidos tiene un comportamiento elástico lineal-El radio de curvatura del cuerpo es largo comparado al tamaño de contacto, y a la distancia a laque decae la interacción.- El contacto es sin fricción, y los sólidos tienen igual módulo de Young o razón de Poisson

Si consideramos el caso de un cuerpo rígido asimétrico que presenta una deformación

elástica plana (en el caso de dos esferas

+

; con Y=E, razón de

Poisson ν y parámetro mecánico

. En el punto de contacto de contacto el radio de

curvatura es R, y la sección transversal en coordenadas cilíndricas es z(r)=r2/2R. Asumiendo unazona de contacto de radio a, como resultado de la interacción entre las superficies, y unadistribución de presión radial –p(r).

Usando la notación en donde: P es la fuerza externa aplicada en la esfera en dirección z; δ es el desplazamiento relativo de la parte deformada del cuerpo en la dirección z, μ es ladeformación normal a la superficie del plano; y σ es la distribución de tensión normal en lasuperficie del plano.

Con las hipótesis anteriores, el problema se plantea en términos de condiciones decontorno mixtas en la superficie del plano; tenemos entonces



Si p=0 encontramos la solución de Hertz

Si describimos el efecto de la distribución de tensiones fuera de la zona de contacto (p≠0)

obtenemos la solución completa por superposición lineal. Considerando dos cuerpos cuasi planoscon una zona de contacto circular, formando de esta manera una grieta simétrica al eje de radioobtenemos

Si suponemos que la deformación de la superficie de la esfera baja la tensión externa p esigual a la deformación de una superficie plana en las mismas condiciones, entonces la solucióncompleta se da simplemente por la superposición lineal de las dos soluciones paramétricasanteriores.

Finalmente podemos definir la brecha entre las superficies como

Hasta este punto las ecuaciones se escriben en términos de una distribución de tensiónarbitraria fuera de la zona de contacto.

Consideremos un potencial de interacción arbitrario. Entonces, al presentarse el potencialde interacción V(D) por dos superficies planas separadas por una distancia D, la autoconsistenciase tiene si en todas partes, la separación de la tensión local es igual a

Con

También introducimos la energía de adhesión como

Con el fin de comparar el efecto de diferentes tipos de potenciales de interacción, senormaliza a la unidad de amplitud a distancia cero (J0=f(0)) y se introduce una longitud dedecaimiento típico d=w/J0 que se utiliza para normalizar la brecha entre las superficies [μ]. Ladistancia radial se normaliza a la de radio de contacto a y se denota s=r/a



En la terminología de Hughes lleva el nombre de modelo de restricción autoconsistente(RSCM). En primer lugar el límite JKR se obtiene fácilmente a partir de las ecuaciones, sin embargo,Hughes recupera el límite DMT sólo por integración numérica, con un potencial de interaccióndad, del caso límite relevante.

Se puede demostrar que ambos casos los resultados JKR y DMT son incluidos como casoslímites de RSCM si se asume que el campo de tensión es continuo.

Al usar el modelo completo autoconsistente con un potencial de Lennar-Jones se debetener cuidado porque en este caso, el rango de las partes atractivas y repulsivas a menudo secorrelacionan debido a la expresión matemática de la interacción potencial. Cuando λ es grande, lagama normalizada de ambas partes es pequeña y el límite JKR debe ser recuperado. Pero por otraparte cuando λ es pequeño la parte repulsiva puede ser lo suficientemente grande como parainvalidar la hipótesis de Hertz, por lo que en este caso el límite DMT no se recupera.

2-

Soluciones numéricas y modelos aproximados

En esta sección se resuelven numéricamente las ecuaciones exactas del RSCM y luego se proponeuna aproximación adecuada. La validez de las soluciones será discutida en términos de la teoría

mecánica de la fracturaA)

Solución completa de RSCMSolución numérica: se consideran tres tipos de interacciones posibles para determinar la influenciade la naturaleza de la integración sobre la transición MYD. Las tres funciones para la derivada f delpotencial son

Para cada una de estas funciones, f(0)=1 y la energía de adhesión w=1. La ecuación de

VDW (Van del Waals) está restringida a una distancia que representa la separación de lassuperficies de contacto D0.

Cuando la función de presión f es una función escalonada, la transición MYD modela lainteracción particular debida a un menisco en el equilibrio termodinámico y se corresponde conuna dependencia lineal de la interacción potencia por unidad de superficie sobre una distancia.Como resultado, debido a la aproximación Derjaguin, si se mide la fuerza cuando las superficies enuna configuración esférica plana interactúan con el menisco, antes de establecer contacto, semide una fuerza lineal vs distancia.Discusión: normalizadas, la interacción lineal es de corto alcance, la de VDW de largo alcance y laexponencial reside en el medio. El gráfico fuerza vs desplazamiento para varios valores de λ en el

caso de VDW (la menos favorable numéricamente) se muestra en la Fig. 3. El comportamientogeneral de esta solución y la solución de la integración lineal es muy similar, pero aquí la dificultadnumérica cercana al límite JKR es rápidamente visible.

La fig. 4 la fuerza de empuje y el radio de contacto para carga c ero para variasinteracciones potenciales en función de λ. Notar que para VDW los valores límites analíticosmencionados anteriormente.

Se demuestra que la transición MYD es apenas sensible, a la naturaleza de la interacción.Pero la transición de DMT a JKR es levemente retrasado cuando el potencial tiene un alcancemayor. Los cálculos de orden de magnitud para determinar si se está en el límite JKR o DMT nodeberían verse afectados por el tipo de interacción.



B) Modelo aproximadosModelo: se define una distribución arbitraria de manera que, en forma reducida dependa de unúnico parámetro (en este caso el radio c en el que las tensiones desciendes a cero)

Este modelo MYD puede ser una buena aproximación de la solución exacta, ya que estádentro del 6% de la solución exacta para una interacción de VDW, si se considera la fuerza deempuje a lo largo de todo el intervalo de λ.Resultado: El contacto adhesivo entre dos cuerpos se modela como la propagación de una grieta.La esencia del enfoque de fractura es equilibrar la energía mecánica involucrada en la propagación

de la grieta, descrito por la velocidad de liberación de energía G y la energía de cohesión wgastada durante este proceso. La tasa de liberación de energía depende de la geometría y de lacarga. La estabilidad de la grieta se alcanza cuando su longitud es tal que G=w. En nuestroenfoque la energía de cohesión se sustituye por la energía de adhesión.



MÉTODO

La simulación se realizó bajo LAMMPS que es un código de dinámica molecular clásica, yun acrónimo de gran escala atómica/molecular. En la misma si hizo colisionar dos esferas de formaelástica con una velocidad de 0.005 cada una, bajo un potencial de interacción de Lennard-Jones,vale aclarar que para este potencial las unidades de los parámetros no están definidas. A las

esferas le dimos una configuración atómica cúbica fcc de arista 1.0675.Se realizaron dos corridas variando los radios de las esferas, en una se da un radio de 2.1

(150 átomos cada esfera) y en la otra se da un radio de 2.5 (256 átomos cada esfera).Ya que nuestro análisis está centrado en la variación de la energía potencial, le pedimos a

nuestro scrip que nos mostrara la energía potencias cada 1000 pasos durante un millón de pasos.Una vez terminado esto se le pide al mismo que realice una minimización de la energía potencialdel sistema, por el ajuste iterado de las coordenadas atómicas. Para ello se le dan 4 criterios deparadas (tolerancia detener la energía, tolerancia detener la fuerza, máximo de iteraciones delminimizador, máximo del número de evaluaciones de fuerza/energía). Las iteraciones se terminancuando uno de los criterios de parada se satisface. Este punto se espera que sea un mínimo localde energía potencial.

La función que se utiliza para la minimización de la energía potencial total del sistemacomo una función de las coordenadas átomo de N está dada por

A partir de la obtención de estos se analizara la diferencia energía potencial según tresparámetros, antes del choque, después del choque y después de la minimización. Para obtenerestos valores se realiza un promedio de las energías obtenidas en cada paso.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

A lo largo de las simulaciones (para los dos caos) se observas dos grandes saltos en lavariación de la energía potencial total del sistema. Se comienza con una energía potencial que semantiene prácticamente constante hasta antes del choque. Una vez que las esferas estánprácticamente unidas las energías potenciales comienzan a decaer hasta que una vez unidas laenergía queda oscilando con pequeñas amplitudes hasta antes de la realización de laminimización. El otro salto grande de energía sucede cuando se realiza la minimización de laenergía potencial del sistema, la cual decae rápidamente y luego se mantiene estable, esto no se



puede apreciar en los gráficos debido a que se corta la simulación una vez alcanzados algunos delos parámetros de parados como habíamos mencionado anteriormente.

En las Fig. A y Fig. B se muestra la variación de la energía potenciales a lo largo de toda lasimulación

Fig. A: PE vs Step. En la colisión de dosesferas elásticas de radio 2.5 bajo un

potencial de Lennard-Jones

Fig. B: PE vs Step. En la colisión de dos

esferas elásticas de radio 2.5 bajo un

potencial de Lennard-Jones

En las figuras C y D se hace un zoom en los últimos step de la simulación para ver mejor comodecae potencial en la etapa de minimización.

Fig. C: Decaimiento de la energía potencial

del sistema a partir de la minimización de

energía en el final de la simulación de la

colisión elástica de dos esferas de r=2.1



Fig. D: Decaimiento de la energía

potencial del sistema a partir de la

minimización de energía en el final de la

simulación de la colisión elástica de dos

esferas de r=2.

Para obtener los valores de los saltos de las energías potenciales definimos comoE1: Energía potencial antes del choque, E2: Energía después del choque y E3: Energía después de laminimización. Para obtener esto valores promediamos las energías de cada step.

Para las esferas r=2.1

E1= -5,68097 E2=-5.80202 E3=-5.95715 ∆E12= E2-E1=-0.12105∆E23= E3-E2=-0.15513

Para las esferas r=2.5E1= -6.058072 E2=-6.140195 E3=-6.248448 ∆E12= E2-E1=-0.082123∆E23= E3-E2=-0.108253

CONCLUSIONES

Como conclusión de este primer trabajo simplemente obtenemos que las energías

potenciales decaen notablemente después de realizar la minimización al final de la simulación,

casi el mismo orden de magnitud que del decaimiento después del choque.

Comparando estos dos radios vemos que si aumentamos el radio ambos saltos de

energías disminuyen en valor absoluto, lo que podría ser una solución de la desviación en el

tamaño del área de contacto para esferas pequeñas.

A modo de comentario para futuras investigaciones se podría analizar el la variación de

estos salto de energía en función de la variación del radio de las esferas. Y luego ver si hay alguna

variación del área de contacto después de la minimización de la energía potencial del sistema.

REFERENCIAS

Barthel E 1998 On the description of the adhesive contact of spheres with arbitrary interaction

potentials J. Colloid Interface Sci. 2007

Comunicación Privada con Dr. Eduardo M. Bringa

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