tpjulio2014aprobadohp

Problema 1

a) Determinar y graficar la región comprendida por

y R1, siendo R1 la recta que pasa por r1 y r3 ri z1n , z1 0 6 i , n 3

y R2, siendo R2 la recta que pasa por r1 y r2 ri z1n , z1 0 6 i , n 3

z i 4

b) A dicha región aplicarle una transformación por inversión

c) Completar la siguiente tabla:

Plano z Plano w

y R1

y R2

z i 4

d) Graficar la región obtenida junto al gráfico del punto a

Pautas de desarrollo: para cada curva usar parametrizaciones válidas en el intervalo [0, 1] y distinguirclaramente las ecuaciones de transformación, las ecuaciones originales y las transformadas. Realizar conclu-siones relativas a la región obtenida y la original. Se evaluarará, además, el uso del software y los gráficos.

Problema 2

Dado el sistema m 2 xt t2 c xt

t+k x(t) = F(t) / m=1, k=1, c=1 , x0

t0, x00, Fmax=1, resolverlo para

los siguientes valores de entrada de F(t)a) F(t) = Fmaxb) F(t) = Fmax. tc) F(t) = Fmax. sin(t)

Graficar las 3 respuestas por separado con cada función de entrada. La escala de t debe ser de máximo 30. Determinar cual de las tres entradas produce una respuesta amortiguada.

Pautas de desarrollo: desarrollar el procedimiento aplicado para la resolución de los tres ítems. Claridad enlos gráficos realizados con el software. Justificación de la respuesta.

2

Problema 3

a) Encontrar los valores de s y t para que el valor principal de

an 5 5 3

s t 2 sea 52 3 1 21 5

2 3 1 20 b) Una vez hallado estos valores, encontrar los otros valores de an.c) A continuación escribir en complejos la región del plano

encerrada por las curvas que unen los puntos an del item anterior.d) A esta región aplicarle, en forma independiente:

i) Una rotación de 135º alrededor del eje X, en sentido antihorario.ii) Una rotación de 60º alrededor del eje Y, en sentido horario.

Pautas de desarrollo: claridad en los procedimientos. Justificación de los pasos realizados. Claridad en losgráficos realizados con el software.

Problema 4

Determinar la magnitud de la velocidad del fluido que sale de una fuente situada en z0= 6+2i y de intensidad = 2 en el punto de intersección entre su línea equipotencial es tangente al eje imaginario y dicho eje.

a) Graficar la posición de la fuente en el plano.b) La línea equipotencial tangente.c) Magnitud y dirección de la velocidad.

Pautas de desarrollo: Considerar escalas y orientaciones convenientes a fin de visualizar todas las figuras.Realizar conclusiones. Se evaluarará, además, el uso del software y los gráficos.

3

PROBLEMA 1

a)Determinar y graficar la región comprendida por

y < R1, siendo R1 la recta que pasa por r1 y r3/ ri =z1n

, z1 = 0- 6 Â, n = 3

y<R2, siendo R2 la recta que pasa por r1 y r2/ ri=z1n

, z1 = 0- 6 Â, n = 3

†z+Â§>4

b) A dicha región aplicarle una transformación por inversión

c) Completar la siguiente tabla

Mediante el teorema de Moivre, obtengo las raices de la siguiente variable compleja

Z1 = 0 − 6 �

−6 �

r = Abs@Z1D6

θ = Arg @Z1D

−π

2

n = 3

3

K0 = 0

0

K1 = 1

1

K2 = 2

2

r 0 = r3

∗ CosBHθL + 2 ∗ π ∗ K0

nF + I Sin BHθL + 2 ∗ π ∗ K0

nF

61ê3 −�

2+

3

2

r 1 = r3



nF

� 61ê3

r 2 = r3



nF

61ê3 −�

2−

3

2

P1 = 8Re@r 0D, Im @r 0D<

:35ê6

22ê3, −

31ê3

22ê3>

P2 = 8Re@r 1D, Im @r 1D< êê N

80., 1.81712<P3 = 8Re@r 2D, Im @r 2D<

:− 35ê6

22ê3, −

31ê3

22ê3>

Una ves obtenidas las raíces, las defino como puntos en el plano. Las cuales son P1, P2 y P3.

G1 = ListPlot @8P1, P2, P3, P1 <, Joined → True , PlotRange → 88−2, 2 <, 8−2, 2 <<D

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Convierto la ecuación compleja de †z + I§ < 4 a su ecuación cartesiana y la grafico en el plano cartesiano. Hayque tener en cuenta que la ecuación solamente cambia respecto al del enunciado en que se cambia el > por el <

G2 = ContourPlot @8x^2 + Hy + 1L^2 4<, 8x, −3, 3 <, 8y, −3, 3 <, Axes → True D

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

si unimos los puntos que obtuve del teorema de Moivre, podemos ver que se define un triángulo. La cual en elsiguiente gráfico logramos ver la intersección entre dicho polígono y la circunferencia que nos dieron como

2

dato.

Show@8G2, G1<D

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Armo rectas en función de x de dos de los lados del triángulo. Empezando, calculo las pendientes de dichasrectas.

P1 − P2

:35ê6

22ê3, −

31ê3

22ê3− 61ê3>

P2 − P3

−1.73205

m2=31ê3

22ê3+ 61ê3 ì 35ê6

22ê3êê N

1.73205

Conlaspendientesy lospuntosqueobtuve, reemplazoenla siguienteecuación:y = m* Hx - x0L+ y0

Recta 1 :

y1 = FullSimplify Am1∗ Hx − 0L + I61ê3ME êê N

1.81712 − 1.73205 x

Solve @y1 0D88x → 1.04912<<

3

Plot @y1, 8x, −4, 4 <, PlotRange → 88−5, 5 <, 8−5, 5 <<D

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Recta 2:

y2 = FullSimplify Bm2∗ x − −35ê6

22ê3+ −

31ê3

22ê3F êê N

1.81712 + 1.73205 x


-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Solve @y2 0D88x → −1.04912<<Grafico las 2 rectas y la curva positiva de la circunferencia en el plano cartesiano.

Plot B:y1, y2, 4 − x^2 − 1>, 8x, −2, 2 <, PlotRange → 88−4, 4 <, 8−4, 4 <<F

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

4

Grafico por separa las regiones que comprenden cada recta.

a = RegionPlot A91.8171205928321397` − 1.7320508075688772` x − y > 0<,

8x, −5, 5 <, 8y, −5, 3 <, AxesLabel → 8"Re", "Im" <, Axes → True D

b = RegionPlot A91.81712059283214` + 1.7320508075688772` x − y > 0<,


5

c = RegionPlot A9x^2 + Hy + 1L^2 − 4 > 0<,


En el siguiente gráfico obtenemos la región encerrada entre la circunferencia y el polígono. Podemos ver queencierra dos regiones.Una región queda encerrada por las 2 rectas y la curva positiva de la circunferenca. Y la otra región es laintersección de las rectas con la curva negativa de la circunferencia.

RegionPlot @9 1.8171205928321397` − 1.7320508075688772` x − y > 0 &&

1.81712059283214` + 1.7320508075688772` x − y > 0 && x^2 + Hy + 1L^2 − 4 > 0<,8x, −5, 5 <, 8y, −5, 3 <, AxesLabel → 8"Re", "Im" <, Axes → True D

Por lo hablado en la mesa de final, trabajamos con la región que comprende la parte positiva de la curva de la

6

circunferencia.

In[1]:= RegionPlot B:1.8171205928321397` − 1.7320508075688772` x − y > 0 &&

1.81712059283214` + 1.7320508075688772` x − y > 0 && 4 − x2 − 1 − y 0>,

8x, −5, 5 <, 8y, −5, 3 <, AxesLabel → 8"Re", "Im" <, Axes → True F

Out[1]=

Curva positiva

y3 = 4 − x2 − 1

−1 + 4 − x2


-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

En el siguiente paso obtenemos los puntos de intersección entre las rectas y la curva.

Solve @y1 == y2D88x → 0.<<

7

Solve @y1 y3D88x → 0.509927<<Solve @y3 y2D88x → −0.509927<<

Puntos de intersección entre las funciones

PX1 = 0

0

PX2 = 0.5099268397535566`

0.509927

PX3 = −0.5099268397535566`

−0.509927

Magnitud entre los distintos puntos

A = Abs@PX1− PX2D0.509927

A1 = Abs@PX2− PX3D1.01985

A2 = Abs@PX3− PX1D0.509927

long = PX1+ PX2

0.509927

long1 = PX2+ PX3

0.

long2 = PX3+ PX1

−0.509927

RECTA1 :X1 = (A/2)*Cos[Pi*t] +desplazamientoY1 = y2[X1]

X1 = HA ê 2L ∗ Cos@Pi ∗ t D + long ê 2

0.254963 + 0.254963 Cos@π tDY1 = 1.8171205928321397` − 1.7320508075688772` X1

1.81712 − 1.73205 H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL

CURVA 2 :

X2 = HA1 ê 2L ∗ Cos@Pi ∗ t D + long1 ê 2

0. + 0.509927 Cos@π tD

8

Y2 = 4 − X2^2 − 1

−1 + 4 − H0. + 0.509927 Cos@π tDL2

RECTA 3

X3 = HA2 ê 2L ∗ Cos@Pi ∗ t D + long2 ê 2

−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDY3 = 1.81712059283214` + 1.7320508075688772` X3

1.81712 + 1.73205 H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLRegion1 = ParametricPlot @88X1, Y1 <, 8X2, Y2 <, 8X3, Y3 <<,

8t, 0, 1 <, PlotRange → 88−3, 3 <, 8−3, 3 <<, AxesLabel → 8"Re", "Im" <D

-3 -2 -1 1 2 3Re

-3

-2

-1

1

2

3Im

b) Inversión

La transformación por inversión tiene la siguiente forma:

W =1ZØ Z distinto de (0;0) , donde:

Z = X + ÂY

W = U + Â V

9

Entonces podemos decir que:

U =X

X 2+Y2

V =-Y

X 2+Y2

Realizamos lo expuesto sobre las funciones del contorno de la región:

Inversión en el contorno recto:

U1 =X1

X12 + Y12

H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL ëIH1.81712 − 1.73205 H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL2 + H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL2M

V1 =−Y1

X12 + Y12

−H1.81712 − 1.73205 H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL ëIH1.81712 − 1.73205 H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL2 + H0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL2M

Inversión en el contorno curvo:

U2 =X2

X22 + Y22

H0. + 0.509927 Cos@π tDL ì −1 + 4 − H0. + 0.509927 Cos@π tDL22

+ H0. + 0.509927 Cos@π tDL2

V2 =−Y2

X22 + Y22

−−1 + 4 − H0. + 0.509927 Cos@π tDL2

−1 + 4 − H0. + 0.509927 Cos@π tDL22

+ H0. + 0.509927 Cos@π tDL2

Inversión en el contorno recto :

U3 =X3

X32 + Y32

H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL ëIH1.81712 + 1.73205 H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL2 + H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL2M

V3 =−Y3

X32 + Y32

−H1.81712 + 1.73205 H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL ëIH1.81712 + 1.73205 H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDLL2 + H−0.254963 + 0.254963 Cos@π tDL2M

Finalmete obtenemos la inversión de la región:

10

Region2 =

ParametricPlot@88U1, V1<, 8U2, V2<, 8U3, V3<<, 8t, 0, 1<, PlotRange → 88−1, 1<, 8−2, 0<<,PlotStyle → 8Blue, Red, Green<, AxesLabel → 8"Re", "Im"<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0Re

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

Im

C) Completar la siguiente tabla :

11

d) Grafica de la región original y la región invertida:

Show@Region1, Region2, PlotRange → 88−2, 2 <, 8−2, 2 <<D

-2 -1 1 2Re

-2

-1

1

2Im

12

Problema 2

Dado el sistema m

d2

xHtLdt2

+ bdxHtL

dt+ k x HtL = Fmax � m = 1, k = 1, c = 1,

dxH0Ldt

= 0, x H0L = 0, Fmax = 1, resolverlo para los siguientes valores de entrada de F HtL

a. F HtL = Fmax

b. F HtL = Fmax.t

c. F HtL = Fmax.Sin HtL

Graficar las 3 respuestas por separado con cada función de entrada. La escala de t deber

ser de máximo 30. Determinar cual de las tres entradas produce una respuesta amortiguada.

Pautas de desarrollo : desarrollar el procedimiento aplicado para la resolución de los tres ítems. Claridad en los

gráficos realizados con el software. Justificación de la respuesta.

Para determinar la respuesta temporal del sistema, primero identifico que se trata de una ecuación diferen-

cial de segundo orden, no homogenea,

Para encontrar la solución general de la ecuación diferencial, usamos la transformada de Laplace. Teniendo

en cuenta el enunciado para cada ítem.

Utilizando los comandos, nos quedaría de la siguiente forma :

a) F (t) = Fmax

Simplify@LaplaceTransform@f''@tD + f'@tD + f@tD - 1 � 0, t, sD,

Assumptions ® 8f@0D � 0, f'@0D � 0<D1

sI-1 + s I1 + s + s2M LaplaceTransform@f@tD, t, sDM � 0

Solve@%, LaplaceTransform@f@tD, t, sDD

::LaplaceTransform@f@tD, t, sD ®

1

s I1 + s + s2M>>

Expand@InverseLaplaceTransform@%, s, tDD

::f@tD ® 1 - ã-t�2 CosB

3 t

2F -

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3>>

funcion1 = FullSimplifyB1 - ã-t�2 CosB

3 t

2F -

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3F

1 -

1

3ã

-t�2 3 CosB3 t

2F + 3 SinB

3 t

2F

Plot@funcion1, 8t, 0, 30<, PlotRange ® AllD

5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

b) F (t) = Fmax*t

Simplify@LaplaceTransform@f''@tD + f'@tD + f@tD - t � 0, t, sD,


sI-1 + s2 I1 + s + s2M LaplaceTransform@f@tD, t, sDM � 0



1

s2 I1 + s + s2M>>


::f@tD ® -1 + t + ã-t�2 CosB

3 t

2F -

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3>>

funcion2 = FullSimplifyB-1 + t + ã-t�2 CosB

3 t

2F -

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3F

-1 + t -

1

3ã

-t�2-3 CosB

3 t

2F + 3 SinB

3 t

2F


5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

c) F (t) = Fmax*Sin[t]

2

c) F (t) = Fmax*Sin[t]

Simplify@LaplaceTransform@f''@tD + f'@tD + f@tD - Sin@tD � 0, t, sD,


1 + s2I-1 + I1 + s + 2 s2

+ s3+ s4M LaplaceTransform@f@tD, t, sDM � 0



1

1 + s + 2 s2 + s3 + s4>>


::f@tD ® -Cos@tD + ã-t�2 CosB

3 t

2F +

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3>>

funcion3 = FullSimplifyB-Cos@tD + ã-t�2 CosB

3 t

2F +

ã-t�2 SinB 3 t

2F

3F

-Cos@tD +

1

3ã

-t�2 3 CosB3 t

2F + 3 SinB

3 t

2F


5 10 15 20 25 30

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Conclusiones :

Mediante los gráficos podemos decir:

-que en el punto a) se presenta un sistema sobreamortiguado, puesto que el sistema no es totalmente

oscilador.

-en el punto b) se refleja un sistema sin oscilaciones.

-en c) se puede apreciar que el sistema no está amortiguado, dado que se ve una onda sinoidal a lo largo del

gráfico.

3

Problema 3

a) Encontrar los valores de s y t para que el valor principal de an= 5 + 5 ä3

+Hs + t * äL2 sea

J 5

2* J 3 + 1N - 21N + J 5

2* J 3 - 1N + 20N * ä

b) Una vez hallado estos valores, encontrar los otros valores de an.

c) A continuación escribir en complejos la región del plano encerrada por las curvas que unen los puntos an

del ítem anterior.

d) A esta región aplicarle, en forma independiente:

i) Una rotación de 135º alrededor del eje X, en sentido antihorario.

ii) Una rotación de 60º alrededor del eje Y, en sentido horario.

a) Obtenemos las raices para k = 0

z = 5 + 5 ä

5 + 5 ä

r = Abs@zD

5 2

Α = Arg@zDΠ

4

n = 3

3

K0 = 0

0

r0 = r3

* CosBHΑL + 2 * Π * K0

nF + I SinB

HΑL + 2 * Π * K0

nF �� N

1.85398 + 0.496773 ä

La raíz obtenida es el punto ro. Armamos la ecuación an de la siguiente manera como nos dicta el enunciado:

an = r0 + Hs + t * äL2

H1.85398 + 0.496773 äL + Hs + ä tL2

Damos nombre al siguiente comando que es dato en el enunciado :

sea =5

2* J 3 + 1N - 21 +

5

2* J 3 - 1N + 20 * ä �� N

-14.1699 + 21.8301 ä

Ahora lo que hago es armar una nueva ecuación. Igualo las ecuaciones “an” con “sea” y paso sea para elprimer miembro:an=seaEntonces: an-sea=0

an - sea

H16.0239 - 21.3334 äL + Hs + ä tL2

El paso siguiente es despejar "s" y "t", nos queda de la siguiente forma:

Hs + ä tL2=-(16.0239-21.3334 ä)=-16.0239+21.3334 ä

Lo que sigue es pasar la potencia al cuadrado al segundo miembre como raíz cuadrada:

(s+ä t)= H-16.0239 + 21.3334 äL

El paso siguiente es despejar "s" y "t", nos queda de la siguiente forma:

Hs + ä tL2=-(16.0239-21.3334 ä)=-16.0239+21.3334 ä

Lo que sigue es pasar la potencia al cuadrado al segundo miembre como raíz cuadrada:

(s+ä t)= H-16.0239 + 21.3334 äL

Entonces tenemos que encontrar la raíz de otra variable compleja, llamando a la nueva variable compleja

como:

Z1 = -16.023854691452133` + 21.33335411684532` ä

-16.0239 + 21.3334 ä

Por lo tanto realizamos de nuevo el Teorema de Moivre para hallar su valor principal para k = 0

Ρ = Abs@Z1D

26.681

J = Arg@Z1D

2.21501

NuevaRaíz = Ρ * CosBHJL + 2 * Π * 0

2F + I SinB

HJL + 2 * Π * 0

2F

2.30837 + 4.62087 ä

De esta forma obtuvimos nuestra nueva raíz que reemplazaremos en (s + I t):

(s+ä t)=2.3083704461011445`+4.6208688369056015` ä

Separamos en parte real e imaginaria

s = 2.3083704461011445`

2.30837

t = 4.6208688369056015`

4.62087

Con los valores de s y t, ya obtenidos, reemplazo en an para k = 0 :

An = r0 + Hs + t * äL

4.16235 + 5.11764 ä

b) Una vez hallado estos valores, encontrar los otros valores de an.

K1 = 1

1

K2 = 2

2

r1 = r3


nF + I SinB

HΑL + 2 * Π * K1

nF �� N

-1.35721 + 1.35721 ä

r2 = r3


nF + I SinB

HΑL + 2 * Π * K2

nF �� N

-0.496773 - 1.85398 ä

2

An1 = r1 + Hs + t * äL

0.951162 + 5.97808 ä

An2 = r2 + Hs + t * äL

1.8116 + 2.76689 ä

c) A continuación escribir en complejos la región del plano encerrada por las curvas que

unen los puntos an del ítem anterior.

Escribimos los 3 puntos del plano compleja que forman un triángulo.

An

4.16235 + 5.11764 ä

An1

0.951162 + 5.97808 ä

An2

1.8116 + 2.76689 ä

PZ = 8Re@AnD, Im@AnD<

84.16235, 5.11764<

PZ1 = 8Re@An1D, Im@An1D<

80.951162, 5.97808<

PZ2 = 8Re@An2D, Im@An2D<

81.8116, 2.76689<

Graficamos los 3 puntos para ver la figura que forman.

ListPlot@8PZ, PZ1, PZ2, PZ<, Joined ® True,

PlotRange ® 880, 8<, 80, 8<<, AxesLabel ® 8"Re", "Im"< D

0 2 4 6 8Re0

2

4

6

8Im

Ahora teniendo como datos los puntos armo las ecuaciones de las rectas que encierran a la región en el

plano complejo.

RECTA1

PZ1 - PZ2

8-0.860436, 3.21119<

3

m1 = 3.211190518671778` � H-0.8604359062205815`L

-3.73205

y1 = FullSimplify@m1 * Hx - H0.9511616378036911`LL + 5.978077645203054`D

9.52786 - 3.73205 x

RECTA2

PZ2 - PZ

8-2.35075, -2.35075<

m2 = H-2.350754612451197` � -2.3507546124511967`L

1.


0.95529 + 1. x

RECTA3

PZ1 - PZ

8-3.21119, 0.860436<

m3 = H0.8604359062205811` � -3.211190518671778`L

-0.267949


6.23294 - 0.267949 x

Grafico las rectas en el plano

Plot@8y1, y2, y3<, 8x, -10, 10<,

PlotStyle ® 8Blue, Red, Green<, PlotRange ® 880, 8<, 80, 8<<D

0 2 4 6 80

2

4

6

8

PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE LAS RECTAS :

Hallo los puntos en las que se intersectan las 3 rectas mediante el comando Solve y luego

defino cada punto como PXn

Solve@y1 � y2D

88x ® 1.8116<<

4

Solve@y2 � y3D

88x ® 4.16235<<

Solve@y1 � y3D

88x ® 0.951162<<

PX1 = 0.9511616378036913`

0.951162

PX2 = 4.16235215647547`

4.16235

PX3 = 1.811597544024273`

1.8116

Parametrizo las rectas:

Obtengo la magnitud entre cada punto del eje de las abcisas y luego calculo su desplazamiento respecto alorigen.

A1 = Abs@PX1 - PX2D

3.21119

A2 = Abs@PX2 - PX3D

2.35075

A3 = Abs@PX3 - PX1D

0.860436

desplaz1 = PX1 + PX2

5.11351


5.97395


2.76276

Con la siguiente ecuación armo las rectas paramétricas de las caras del triángulo.

RECTA PARAMÉTRICA 1

X1 = HA1 � 2L * Cos@Pi * wD + desplaz1 � 2

2.55676 + 1.6056 Cos@Π wD

Y1 = 6.232940637924018` - 0.2679491924311227` X1

6.23294 - 0.267949 H2.55676 + 1.6056 Cos@Π wDL



2.98697 + 1.17538 Cos@Π wD

5

Y2 = 0.9552895825070031` + 1.0000000000000002` X2

0.95529 + 1. H2.98697 + 1.17538 Cos@Π wDL



1.38138 + 0.430218 Cos@Π wD

Y3 = 9.527861203696855` - 3.732050807568875` X3

9.52786 - 3.73205 H1.38138 + 0.430218 Cos@Π wDL

Grafico las 3 rectas en el intervalo "w" [0, 1].

Observación : tuve que cambiar la letra del parámetro "t" por la letra "w", porque ya use dicha letra para

definir un comando.

ParametricPlot@88X1, Y1<, 8X2, Y2<, 8X3, Y3<<, 8w, 0, 1<,

PlotStyle ® 8Blue, Red, Green<, PlotRange ® 880, 8<, 80, 8<<D

0 2 4 6 80

2

4

6

8

6

Region1 = ParametricPlot3D@88X1, Y1, 0<, 8X2, Y2, 0<, 8X3, Y3, 0<<,

8w, 0, 1<, PlotStyle ® 8Blue, Red, Green<, AxesLabel ® 8"X", "Y", "Z"<D

1

2

3

4

X

3

4

5

6

Y

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Z

d) A esta región aplicarle, en forma independiente :

i) Una rotación de 135º alrededor del eje X, en sentido antihorario.

<< Quaternions`

El cuaternión que representa la rotación es :

Q = Quaternion@Cos@135D, Sin@135D, 0, 0D

Quaternion@Cos@135D, Sin@135D, 0, 0D

Conjugate@QD

Quaternion@Cos@135D, -Sin@135D, 0, 0D

q1 = Quaternion@0, X1, Y1, 0D

Quaternion@0, 2.55676 + 1.6056 Cos@Π wD, 6.23294 - 0.267949 H2.55676 + 1.6056 Cos@Π wDL, 0D


Quaternion@0, 2.98697 + 1.17538 Cos@Π wD, 0.95529 + 1. H2.98697 + 1.17538 Cos@Π wDL, 0D


Quaternion@0, 1.38138 + 0.430218 Cos@Π wD,

9.52786 - 3.73205 H1.38138 + 0.430218 Cos@Π wDL, 0D

La fórmula que realiza a rotación en sentido antihorario es : q*p*Conjugate[q]

ROTACIÓN 135º:

7

FullSimplify@Q ** q1 ** Conjugate@QDD


5.46121 - 0.423499 Cos@Π wD, -0.976678 + 0.0757381 Cos@Π wDDFullSimplify@Q ** q2 ** Conjugate@QDD


3.88069 + 1.15702 Cos@Π wD, -0.69402 - 0.20692 Cos@Π wDDFullSimplify@Q ** q3 ** Conjugate@QDD


4.30419 - 1.58052 Cos@Π wD, -0.769758 + 0.282659 Cos@Π wDD

Rotación de la recta 1

ROTX1 = -15.775495259335889` + 1.605595259335888` Cos@Π wD

-15.7755 + 1.6056 Cos@Π wD

ROTY1 = 21.91265520838248` - 0.4234987878798304` Cos@Π wD

21.9127 - 0.423499 Cos@Π wD

ROTZ1 = -3.918838742805401` + 0.0757381267442082` Cos@Π wD

-3.91884 + 0.0757381 Cos@Π wD


ROTX2 = -15.3452773062256` + 1.1753773062255979` Cos@Π wD

-15.3453 + 1.17538 Cos@Π wD

ROTY2 = 20.332136215071113` + 1.1570202054315324` Cos@Π wD

20.3321 + 1.15702 Cos@Π wD

ROTZ2 = -3.6361802057259243` - 0.20692041033526812` Cos@Π wD

-3.63618 - 0.20692 Cos@Π wD


ROTX3 = -16.95087256556149` + 0.4302179531102901` Cos@Π wD

-16.9509 + 0.430218 Cos@Π wD

ROTY3 = 20.755635002950946` - 1.5805189933113648` Cos@Π wD

20.7556 - 1.58052 Cos@Π wD

ROTZ3 = -3.711918332470133` + 0.2826585370794767` Cos@Π wD

-3.71192 + 0.282659 Cos@Π wD

8

Region2 = ParametricPlot3D@88ROTX1, ROTY1, ROTZ1<, 8ROTX2, ROTY2, ROTZ2<, 8ROTX3, ROTY3, ROTZ3<<, 8w, 0, 1<,

AxesLabel ® 8X, Y, Z<, AxesOrigin ® 80, 0<, PlotStyle ® 8Yellow, Orange, Purple<D

-17

-16

-15X

20

21

22

Y

-4.0-3.8

-3.6Z

ii) Una rotación de 60 º alrededor del eje Y, en sentido horario.

La fórmula que realiza a rotación en sentido antihorario es : Conjugate[q]*p*q

El cuaternión que representa la rotación es :

Q2 = Quaternion@Cos@60D, 0, Sin@60D, 0D

Quaternion@Cos@60D, 0, Sin@60D, 0D

Conjugate@Q2D

Quaternion@Cos@60D, 0, -Sin@60D, 0D

ROTACIÓN 60 º :

FullSimplify@Conjugate@Q2D ** q1 ** Q2D


5.54786 - 0.430218 Cos@Π wD, 1.48448 + 0.932227 Cos@Π wDDFullSimplify@Conjugate@Q2D ** q2 ** Q2D


3.94226 + 1.17538 Cos@Π wD, 1.73427 + 0.682437 Cos@Π wDDFullSimplify@Conjugate@Q2D ** q3 ** Q2D


4.37248 - 1.6056 Cos@Π wD, 0.802044 + 0.249789 Cos@Π wDD

Rotación de la recta 1 independiente de la rotación anterior

NEWROTX1 = -12.844108040783272` + 1.30724510651894` Cos@Π wD

-12.8441 + 1.30725 Cos@Π wD

NEWROTY1 = 22.26031795311029` - 0.43021795311028965` Cos@Π wD

22.2603 - 0.430218 Cos@Π wD

9

NEWROTZ1 = -9.159428984058762` + 0.9322265648886878` Cos@Π wD

-9.15943 + 0.932227 Cos@Π wD


NEWROTX2 = -12.493832770181985` + 0.9569698359176532` Cos@Π wD

-12.4938 + 0.95697 Cos@Π wD

NEWROTY2 = 20.654722693774406` + 1.175377306225597` Cos@Π wD

20.6547 + 1.17538 Cos@Π wD

NEWROTZ2 = -8.909639628833999` + 0.6824372096639243` Cos@Π wD

-8.90964 + 0.682437 Cos@Π wD


NEWROTX3 = -13.801077876700925` + 0.3502752706012869` Cos@Π wD

-13.8011 + 0.350275 Cos@Π wD

NEWROTY3 = 21.084940646884696` - 1.6055952593358889` Cos@Π wD

21.0849 - 1.6056 Cos@Π wD

NEWROTZ3 = -9.841866193722687` + 0.24978935522476342` Cos@Π wD

-9.84187 + 0.249789 Cos@Π wD

Region3 = ParametricPlot3D@88NEWROTX1, NEWROTY1, NEWROTZ1<,

8NEWROTX2, NEWROTY2, NEWROTZ2<, 8NEWROTX3, NEWROTY3, NEWROTZ3<<, 8w, 0, 1<,

AxesLabel ® 8X, Y, Z<, AxesOrigin ® 80, 0<, PlotStyle ® 8Pink, Magenta, Cyan<D

-14

-13

-12

X20

21

22

Y-10.0

-9.5

-9.0

-8.5

Z

Gráfico de la ecuación paramétrica original y sus respectivas rotaciones.

10

Show@Region1, Region2, Region3, PlotRange ® AutomaticD

-15

-10

-5

0

X

0

5

10

15

20

Y

-10

-5

0

Z

11

PROBLEMA 4:

Determinar la magnitud de la velocidad del fluido que sale de una fuente situada en z0=6+2ä y de intensidad

Λ=2 en el punto de intersección entre su línea equipotencial que es tangente al eje imaginario y dicho eje.

a) Graficar la posición de la fuente en el plano.

b) La línea equipotencial tangente.

c) Magnitud y dirección de la velocidad.

Pautas de desarrollo: Considerar escalas y orientaciones conveniente a fin de visualizar todas las figuras.

Realizar conclusiones. Se evaluará, además, el uso del softwar y los gráficos.

Con los datos problema podemos deducir de que se

trata de un ejercicio de variables complejas aplicadas a Flujo de Fluidos.

Primero lo que vemos es que tenemos una fuente en z0 = 6 + 2 ä,

por la cual está brotando fluido con velocidad constante y donde Λ =

2 se llama la fuerza de la fuente. El potencial complejo es el siguiente :

f HzL = Λ Log@z - z0D

Reemplazando los datos del enunciado el potencial complejo nos queda de la siguiente manera :

f HzL = 2 Log@z - 6 + 2 äD

Mediante un comando, separamos la parte real e imaginaria de la ecuación :

ComplexExpand@2 * Log@ã, Hx - 6L + ä Hy - 2LDD

2 ä Arg@-6 + x + ä H-2 + yLD + LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E

Separamos las variables de la trayectoria y la línea equipotencial por separado. Quedando de la siguiente

manera:

F = LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E

LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E

Y = 2 * Arg@-6 + x + ä H-2 + yLD2 Arg@-6 + x + ä H-2 + yLD

a) Graficar la posición de la fuente en el plano.

Graficamos por separado las trayectorias y las líneas equipotenciales:

ContourPlotALogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E, 8x, -30, 30<,

8y, -30, 30<, AxesOrigin ® 80, 0<, AxesLabel ® AutomaticE

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

x

y

ContourPlot@2 * Arg@-6 + x + ä H-2 + yLD, 8x, -30, 30<,8y, -30, 30<, AxesOrigin ® 80, 0<, AxesLabel ® AutomaticD

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

x

y

b) La línea equipotencial tangente:

2

ContourPlot@8F � 3.57, Y � 1, Y � 2, Y � 3, Y � 4, Y � 5, Y � 6, Y � 7, Y � 8, Y � 9,

Y � 10, Y � 11<, 8x, -20, 20<, 8y, -20, 20<, AxesOrigin ® 80, 0<, AxesLabel ® AutomaticD

-20 -10 0 10 20

-20

-10

0

10

20

x

y

ContourPlot@8F � 3.583518938<, 8x, -1, 1<,

8y, -3, 3<, AxesOrigin ® 80, 0<, AxesLabel ® AutomaticD

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

Podemos ver que la línea equipotencial es tangente al eje de ordenadas cuando F � 3.583518938

3

Despejaremos el punto de intersección entre el eje de ordenadas y la circunferencia,

sabiendo lo anterior como dato :

F = LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E

x = 0

3.583518938 = LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E

SolveALogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E � 3.583518938 && x � 0, 8x, y<E

88x ® 0., y ® 2. - 0.00012814 ä<, 8x ® 0., y ® 2. + 0.00012814 ä<<

Podemos apreciar que el punto de intersección es aproximandemente el P (0, 2)

c) Magnitud y dirección de la velocidad.

c) Para hallar la magnitud de la velocidad que sale de la fuente entre el punto de intersección que se da entre

su línea equipotencial y el eje de las ordenadas (eje imaginario), realizo la derivada primera del potencial

complejo. Debiendo cumplir con las condiciones necesarias de Cauchy - Riemann para que existe dicha

derivada :

f(z)=F+äY=LogAH-6 + xL2+ H-2 + yL2E+2 ä Arg[-6+x+ä (-2+y)]

ux=2*Hx-6L

Hx-6L^2+Hy-2L^2

uy =2*Hy-2L

Hx-6L^2+Hy-2L^2

vx =-Hy-2L

Hx-6L^2+Hy-2L^2

vy =2*Hx-6L

Hx-6L^2+Hy-2L^2

Podemos ver que se cumplen las condiciones de Cauchy - Riemann,

siendo ux = vy y uy = -vx. Entonces existe una función derivada :

f ' HzL = ux +ä vx

Siendo esta derivada la velocidad compleja :

V HzL = vx +ä vy

Armo por separado una función para cada variable de vx y vy. Luego reemplazo el punto intersección en

dichas funciones para hallar la velocidad en ese punto

4

vx@x_, y_D :=2 * Hx - 6L

Hx - 6L2+ Hy - 2L2

vy@x_, y_D := -2 * ä Hy - 2L

Hx - 6L2+ Hy - 2L2

vx@0, 2D

-1

3

vy@0, 2D0

v = -1

3+ 0 ä

-1

3

vÓ¤ = Abs@vD

1

3

Finalmente obtengo la velocidad compleja llamada "v". La cual finalmente obtengo su magnitud utilizando

el comando del módulo

Conclusión :

mediante el gráfico esbozado podemos confirmar de que el pontencial de flujo se trata de una fuente para

z0, por donde brota fluido. Debido a que en ese lugar hay nulidad de color.

Se puede apreciar practicamente que las variables complejas pueden utilizarse en la modelización y el

análisis del flujo de fluidos o aerodinámica. Esta aplicación se logra suponiendo:

que el flujo del fluido es bidimensional, es decir que el movimiento del flujo se realiza en un plano,

que el flujo es estacionario, no se tiene en cuenta el parámetro tiempo y

que las componentes de la velocidad se derivan de un potencial complejo.

5

tpjulio2014aprobadohp

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