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Tópicos de algebra Agosto 2016

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Laboratorio #1 Algebra de Matrices

I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices

A.- (2 −2 1

−3 −1 −11 2 0

) B.-(1 −2 −33 0 20 4 −1

) C.-(1 32 2

−2 −1)

D.- (3 72 4

) E.- (−121

) F.- (5 39 4

)

1) 3𝐴 + 3𝐵

2) 𝐵𝐸

3) 𝐶𝐷 + 𝐹

4) 𝐹 − 𝐷

5) 𝐴𝑡𝐵𝑡

6) (𝐷𝑡 + 𝐹𝑡)D

7) 3𝐴𝑡 − 𝐵

II.- Siendo A = (1 −13 20 4

) B = (3 −21 4

−1 2) halle la matriz x según

sea el caso.

1) 3 𝑥 -2A = B 2) 𝑥 +2B = A

III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición

A = (2 −3

−1 4)


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Laboratorio #2 Formas Reducidas

I.- Obtener la Forma Reducida Inferior (FRI) y la Forma Reducida en Escalón

(FRE) de las siguientes matrices:

1) A= (1 7 −35 −2 26 4 9

0 −6

14 10−8 1

) 4) D= (6 23 34 6

1 41 53 5

)

2) B=(2 1 −34 −2 53 2 −7

) 5) E= (

2 −13 −23 −13 7

)

3) C= (

−2 35 −24 −3

−5 27 36 5

−3 2 2 4

) 6) F= (

3 24 −11 −2−1 3

)

II.- Hallar la inversa, si existe, utilizando transformaciones elementales.

1) A= (3 6 92 4 67 −9 5

)

2) B= (2 3 18 4 3

−2 5 −1)

3) C= (2 1 −13 2 54 −3 6

)

4) D= (

2 33 67 14

2 31 53 5

6 12 5 4

)


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Laboratorio #3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales mediante el método indicado.

1) Método: Gauss – Jordán.

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9

−𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −5

2) Método: Gauss.

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5

5𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −6

3) Método: Cualquiera.

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9

3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 8

4) Método: Inversa de la matriz de coeficientes.

3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3

−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

5) Método: Gauss.

𝑥 + 2𝑧 = 12

−𝑦 + 𝑧 = 7

𝑥 + 3𝑦 = −4


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Laboratorio #4 Determinantes

I.- Dando el determinante: |

5 42 31 6

8 15 29 2

7 1 3 6

|

1.- Los menores: M13, M22, M32, M44

2.- Los cofactores: C11, C23, C33, C42

II.- Calcula los siguientes determinantes utilizando el desarrollo Laplace (Menores)

1) |3 0 92 1 25 3 3

| 4) |

|

4 𝑥 −916 −3 5𝑥 −5 9

−10 8

9 0𝑦 2

3 1 22 6 07 9 2

8 58 1𝑥 3

|

|

2) |

1 46 −2

−9 −1

3 23 0

−5 7 8 5 −3 4

| 5) |

|

2 −1 31 0 24 2 −1

1 43 −20 2

5 1 0−2 −1 3

0 1−4 −2

|

|

3) |𝑥 + 1 −2 4

6 𝑥 − 3 89 −6 𝑥 − 4

|

III.- Hallar el valor de la “x” que satisface lo siguiente.

1) |𝑥 − 4 2

2𝑥 − 3 5| 2) |

𝑥 − 1 1 83 𝑥 + 1 70 0 𝑥 − 2

|


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IV.- Halle la inversa de las siguientes matrices, si existe, utilizando determinantes.

1.- |1 2 31 1 20 1 2

| 3.- |

1 11 21 −1

1 1

−1 22 1

1 3 3 2

|

2.- |1 2 −13 2 32 2 1

|


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Laboratorio #5 Solución de sistemas de

ecuaciones lineales por determinantes.

I.- Resolver el sistema dado por el método indicado.

1)

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5−𝑥 + 2𝑧 = 3

2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 4 Cramer.

2)

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3𝑤 = 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑤 = 54𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 − 𝑤 + 6

Cramer.

3)

10x + 3y – z = 52x + 3y − z = 8

−𝑥 + 𝑦 = 3 Inversa.

4)

2x + 4y – 6z = 22x + 3y − z = −5

x + 2z = 0

Inversa.

5)

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2− 3x − 2z + 3w = 0

4x + 2y + 5z − 3w = 1− x + 6y – 2z – w = −2

Elegir método.

6)

x + y + z − 2w = −4−2y + z + 3w = 4

2x + y − z + 2w = 5 x − y + w = 4

Elegir método.


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II.- Determina los valores de k tales que el sistema dado tenga: a. Solución única.

b. Ninguna Solución.

c. Una infinidad de soluciones.

1)

2x + y + k = 1−2x − 3y + z = k

3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 + 2

2)

Kx + y + 3z = 0x + ky + 2z = 1

x + ky + 3z = k − 1


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Laboratorio #6 Fracciones Parciales

I.- Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes.

1) 𝑥3+4𝑥2−5𝑥+10

(𝑥2+2𝑥+1)(2𝑥2+3𝑥+1) 4)

14𝑥−25

(𝑥2−25)(2𝑥2+4)

2) 5𝑥2+20

𝑥3+ 3𝑥2−33𝑥+35 5)

𝑥3+ 8𝑥+4

(𝑥+1)(𝑥4−𝑥3)

3) 𝑥2+20𝑥−15

(2𝑥+25)(5𝑥−2)(𝑥2−4𝑥+4)

II.- Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada.

1) 7𝑥2+8

𝑥3+8𝑥2+16𝑥 4)

3𝑥4−12𝑥3+4𝑥2+11𝑥+4

𝑥(𝑥2−3𝑥−2)2

2) 𝑥2+8𝑥+2

𝑥3+2𝑥2+2𝑥 5)

𝑥4−10𝑥2+3𝑥+1

𝑥2−4

3) 𝑥3−2𝑥2+𝑥−5𝑥4

(𝑥2−1)(𝑥2−5𝑥+4)


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Laboratorio #7 Logaritmo

I.- Expresar el logaritmo dado en término de logaritmos más simples.

1) 𝑙𝑜𝑔b√𝑥𝑏23

𝑦4

2) 𝑙𝑛 ( 𝑤3𝑦3𝑧𝑥 )

3) 𝑙𝑜𝑔√𝑥(𝑥2−4)

(𝑥3+7)(𝑥−1)

4) log2 (𝑥2−9)(𝑥+2)2

√(𝑥3+1)

5) log5 𝑥5(𝑥𝑛−1−8)

√(𝑥−10)(𝑥7−1)𝑦

II.- Expresar como un solo logaritmo.

1) 2x – ln(x − 1) − ln(x + 1)

2) 3log 𝑥 + ylog 3 − log(2𝑥 − 3𝑧) − 1

3) 3log2(𝑥 + 2) − log2(𝑥2 + 1) − 6

4) x ln 4 + y ln 3 + z ln 2

5) 5log3 𝑧 − 1

3log3 4 −

1

3log3(𝑥2 + 2)

6) log5(𝑥 + 5) + log5(𝑥 − 5) + 1 − 11

5log(3𝑥 − 1)

7) 3 ln x + 1

2ln y +

1

2− (x + 1) ln 5 − y ln y


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8) log𝑎(𝑥 + 𝑦) − 1

3log𝑎(𝑥2 + 6) + 𝑒𝑥 − 1

III.- Expresa “x” en términos de “y”.

1) 3log3 𝑥 − 3log3 𝑦 = log3 𝑥 + log3 𝑦

2) ln(10 − x) = y + ln 10

3) 4𝑦 + 7 = 3𝑥

3𝑥−7

4) 2𝑦 = 2𝑥− 2−𝑥

3


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Laboratorio #8 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

I.- Resuelve las siguientes ecuaciones.

1) log(25 − 𝑥3) − 3log(4 − 𝑥) = 0

2) log[𝑥(𝑥 + 3)] = log(𝑥 + 1)2

3) 2log 𝑥 − log𝑥

10= 3

4) log12(𝑥2 − 11𝑥 + 40) = 1

5) log3(𝑥 + 8) − log3(𝑥 + 5) = 2

6) log5(𝑥 + 6) − log5(4 + 𝑥2) = 1

7) log(35 − 𝑥3)

log(5−𝑥)= 3

8) 1

2(log2 𝑥 + log2 𝑦 ) = 1

9) 6𝑥2= 68𝑥+9

10) 5𝑥+1 = 4

11) √3𝑥−32𝑥−1= √27

12) 2𝑥+1 + 2𝑥 + 2𝑥−1 = 28

13) 𝑒𝑥 − 5𝑒−𝑥 + 4𝑒−3𝑥 = 0

14) 𝑒2𝑥 − 9𝑒𝑥 + 20 = 0


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15) 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥 + 1 = 0

16) 2𝑒3𝑥 − 7𝑒2𝑥 + 8𝑒𝑥 − 3 = 0

17) 2𝑒4𝑥 + 𝑒3𝑥 − 8𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 + 6 = 0

18) 𝑒5𝑥 + 𝑒4𝑥 − 17𝑒3𝑥 + 11𝑒2𝑥 − 8𝑒𝑥 + 60 = 0


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Laboratorio # 9 Permutaciones y combinaciones

I.- Simplifica la expresión dada.

1) 10!

8!

2) 5!

3!

3) 3!2!

5!

4) (n−1)!

n!

5) n!

(n+3)!

II.- Halla "n" o "r" si:

1) 𝑃(𝑛, 2) = 6

2) 𝑃(𝑛, 3) = 2𝑃(𝑛, 2)

3) 3𝑃(𝑛, 2) + 10 = 𝑃(2𝑛, 2)

4) 𝑃(𝑛, 𝑟) = 20 𝑦 𝐶(𝑛, 𝑟) = 10

III.- Resuelve

1) De cuantas maneras se puede acomodar una reunión de 10 personas

a. En una fila de 10 sillas.

b. Alrededor de una mesa redonda.

2) Si no se permiten repeticiones, cuantos números de 3 dígitos se pueden

formar con 2, 3, 5, 6, 7,9.

3) De cuantas formas puede escogerse un comité compuesto de 4 hombres y

3 mujeres de un grupo de 8 hombres y 6 mujeres?


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4) Cuantas señales diferentes cada una de 6 banderas colgadas en una línea

vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas idénticas y 3 azules

idénticas?

5) Cuantas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra

"Estadísticas"?

6) Una urna contiene 5 bolsas. Hallar el número de pruebas ordenadas de

tamaño 2.

a. Con sustitución.

b. Sin sustitución.

7) Una delegación de 6 estudiantes de una escuela se selecciona todos los

años para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes, de

cuantas maneras puede escogerse la delegación si hay 20 estudiantes

elegibles?

8) De cuantas maneras se pueden repartir 9 dulces entre 3 niños si el mayor

recibe 3 y cada uno de los otros recibe 2.

9) De cuantas maneras 5 niños 4 niñas pueden sentarse en una fila, si los

niños se sientan juntos y las niñas también.

10) En una clase hay 15 estudiantes, de cuantas maneras los 15 estudiantes

pueden presentar tres pruebas diferentes si cada prueba corresponden 4

estudiantes.


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Laboratorio #10 Probabilidad

Resuelve los siguientes problemas.

1) Si tres esferas son tomadas aleatoriamente en una urna con seis blancas y

cinco negras. ¿Cuál es la posibilidad de que sea una blanca y dos negras?

2) Un comité de cinco se selecciona de un grupo de seis hombres y nueve

mujeres. ¿Si la selección es hecha aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad

de que el comité consista de tres y dos mujeres?

3) Una urna contiene ocho esferas rojas y cuatro esferas blancas. Suponga que

tenemos dos esferas sin remplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las dos

esferas sean rojas?

4) En un jugo de baraja de naipes, se reparten en orden las cartas a los

jugadores; M, S, E, O (13 cartas a cada uno). Si M y S tienen ocho espadas

entre sus veintiséis cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador E tenga

solo tres de las cinco espadas restantes?

5) ¿Cuántas señales distintas existen de nueve banderas que se acomodan

en una línea de un conjunto de cuatro blancas, tres rojas, dos azules, tres

rojas, dos azules, si todas las banderas del mismo color son idénticas?

6) Se saca una bola de una caja que contiene cuatro bolas rojas y cinco verdes.

Encuentra la probabilidad de que:

a) Ambas sean rojas

b) Ambas sean verdes

c) Si la primea sea roja y la segunda sea verde.

7) Se sacan dos naipes de una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de

que ambas sean


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a) Reynas

b) Corazones

c) Del mismo palo

8) Encuentra la probabilidad de que cinco tiros de un dado salgan.

9) Se toma una carta al azar de una baraja de cincuenta y dos cartas y

enseguida se devuelve. Si esta acción se efectúa cuatro veces, encontrar la

posibilidad de que las cuatro cartas sean de los cuatro palos diferentes.

10) Una caja contiene 15 tornillos buenos y 3 defectuosos si se sacan tres

tornillos, Calcula la probabilidad de que ninguno esté defectuoso.


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Laboratorio # 11 Sucesiones

I.- Determina si la sucesión dada es monótona creciente, monótona decreciente

1) {𝑛𝑙𝑛(𝑛)−𝑛}

2) {1

𝑛!}

3) {𝑠𝑒𝑛2(𝑛) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑛)}

4) {(𝑛+1𝑛−1

)}

5) {1

(𝑛+22 )+(𝑛+2

3 )}

6) {(−1)2𝑛!∙ 𝑛!}

7) {𝑒−(2016𝑛

2015𝑛)}

8) {𝑒𝑛+𝑒−𝑛+|𝑒𝑛−𝑒−𝑛|

2}

9) {𝑒𝑛+𝑒−𝑛−|𝑒𝑛−𝑒−𝑛|

2}

10) {1

∑ (−1)𝑛 𝑛𝑛−𝑘𝑛𝑘=0

}

II.- Determinar si la sucesión dada es convergente o divergente.

1){𝑛}

2){𝑛2+1

𝑛2}

3){ln(𝑛)

𝑛3}

4){3𝑛

2(𝑛−1)+1}


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III.- Calcula el límite indicado

1) lim𝑥→∞

𝑥𝑛

𝑒𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ 𝑁

2) lim𝑥→∞

(𝑙𝑛 𝑥)𝑛

𝑥, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ 𝑁

3) lim𝑥→0

𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

1−𝑐𝑜𝑠 𝑥

4) lim𝑥→∞

𝑙𝑛 𝑥

𝑥𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ 𝑁

5) lim𝑥→1

1−𝑒𝑥−1

1−𝑥

6) lim𝑥→𝑒

ln(𝑥)−1

𝑥−𝑒

7) lim𝑥→0

𝑥𝑒𝑥

ln (𝑥+1)

8) lim𝑥→1

ln (𝑥)

𝑒𝑥−1


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Laboratorio # 12 Series

I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.

II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

1) ∑ 𝑛! 𝑥𝑛

∞

𝑛=0

4)

∑𝑥𝑛

(𝑛 + 1)2𝑛

∞

𝑛=2

2) ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

5)

∑𝑥𝑛

𝑙𝑛(𝑛)

+∞

𝑛=2

3) ∑ 𝑛(𝑥 − 1)𝑛

∞

𝑛=0

6)

∑𝑛! 𝑥𝑛

𝑛𝑛

+∞

𝑛=1

III.- Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además halle una serie de Maclaurin.

1) 𝑓(𝑧) = 1/𝑧 ; 𝑧0 = 1

2) 𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥); 𝑥 = 𝑒

3) 𝑓(𝑥) = sin(𝑥); 𝑥 =𝜋

6

1) ∑

3𝑛 + 2

𝑛8 + 3𝑛2 + 2𝑛

∞

𝑛=1

5)

∑1

𝑛(𝑛 + 1)

∞

𝑛=1

2) ∑

𝑛

𝑛 + 1

∞

𝑛=1

6)

∑1

𝑛 ∗ 𝑙𝑛(𝑛)

∞

𝑛=2

3) ∑

𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑛)

𝐶𝑜𝑠ℎ(2𝑛)

∞

𝑛=1

7)

∑1

3𝑒𝑛

∞

𝑛=1

4) ∑ (

5

2)

𝑛∞

𝑛=1

8)

∑22𝑛+3

9𝑛+1

∞

𝑛=1

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