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Cálculo Diferencial Agosto 2018

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Laboratorio # 1 Desigualdades

I .- Encontrar valores de “x” que satisfacen simultáneamente las dos condiciones. 1) [2𝑥 − 3] − 9 ≤ 1 y 2𝑥 + 8𝑥 + 6𝑥 + 3 < 10

2) 3𝑥 − 6 >1

2 y 𝑥 − 2 ≥

1

6

3) 𝑥 − 1 ≤1

3 y 𝑥 + 1 >

1

4

4) 3 < 𝑥 < 9 y 𝑥 + 5 ≥ 10

5) 3

2𝑥 + 4 ≤ 10 y 3𝑥 − 9 < 9

II. - Determina los valores de que satisfagan al menos una de las condiciones. 1) 3𝑥 + 2 < 2 ó 4𝑥 + 5 < −4 2) 4𝑥 + 1 < −3 ó 3𝑥 − 5 > 1

3 )1

2𝑥 + 3 > 1 ó 𝑥 + 3 < 2𝑥 − 1

4) 7𝑥 − 4 > 5 ó 3𝑥 + 2 > 7 5) 8𝑥 + 7 > 4 ó 𝑥 + 2 < −3

III. - Hallar los valores para los cuales puede cambiar de signo la expresión dada.

1) 2𝑥+14

3

2) (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)2 3) 𝑥3 − 𝑥2

4)10

7𝑥 +

4

7𝑥 + 2 +

1

5

5) 2𝑥2 + 5𝑥 − 12

6) 4𝑥2 − 9 7) 𝑥2 + 3𝑥 − 4 8) 6𝑥2 + 𝑥 − 2

9) 6𝑥2+𝑥−2

4𝑥2−𝑥−3

10)(𝑥 + 1)(𝑥2 − 1)(𝑥 − 2)


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Laboratorio # 2 Inecuaciones

I.- Resolver la desigualdad dada. Escribir la solución con la notación de intervalos y representarlo gráficamente. 1) 3𝑥 − 11 < 4 2) 1 − 𝑥 ≤ 2 3) 2𝑥 + 1 < 5𝑥 − 8

4) 1

𝑥< 4

5) |3𝑥 − 3| > 6 6) |4 − 2𝑥| ≤ 2 7) (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) > 0 8) −2 < 1 − 5𝑥 ≤ 3 9) 𝑥2 + 𝑥 < 0

10) (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)2(2𝑥 − 1) > 0 11) −2𝑥2 + 3𝑥 − 8 < 0

12) |𝑥

2+ 7| < 2

13) 3𝑥 − 4 ≤ 6 − 7𝑥 ≤ 3𝑥 + 6 14) 11 > 4𝑥 − 9 ≥ −3

15) 3

𝑥+5> 2

16) 𝑥

𝑥+1>

𝑥−1

𝑥+2

17) |𝑥2 − 𝑥 − 6| ≤ 0

II. - Resuelve para 𝑥. 1) |3𝑥 + 4| − 5 = 0 2) |2𝑥 − 3| = 𝑥 III.- Despejar 𝑥 de la desigualdad dada y escribir la solución usando notación de valor absoluto. 1) 2𝑥2 + 5𝑥 > 3

2) 𝑥−1

𝑥+2< 0

3) 𝑥2 + 2𝑥 − 3 > 0 4) −3 < 4 − 6𝑥 < 2 5) −1 < 𝑥 − 5 < 1


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Laboratorio # 3 Funciones I

I.- Determinar cuáles de las siguientes gráficas representan una función.

1) 3)

2) 4)

II.- Determinar si la ecuación dada, representa una función. 1) −𝑥2 + 3 − 𝑦 = 0 2) −3𝑥 + 2 = 2𝑦 3) |5𝑥| = −𝑦 − 3 4) 2𝑦 = 𝑥 + 3

5) 𝑦 − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 6) 𝑦 = 9𝑥2 − 4 7) 𝑦2 − 𝑥2 = 1 8) 𝑥2𝑦2 − 𝑥2 + 4𝑦2 = 0

9) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 10) 𝑦 + 1 = (𝑥 + 2)3 11) 𝑦2 = 𝑥 − 4

III.- Calcula las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔, 𝑓 ÷ 𝑔, 𝑓 ° 𝑔, especificando el dominio en cada caso. 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2

3) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 1 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥

5) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 18

𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1 6) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

𝑔(𝑥) =𝑥+3

2


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Laboratorio # 4 Funciones II

I .- Para la función dada obtener 𝑓(0) y los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓(𝑥) = 0.

1) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥

2) 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

2𝑥+3

3) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 2 4) 𝑓(𝑥) = 2|𝑥 − 1|

5) 𝑓(𝑥) =(𝑥−1)

𝑥2+2

6) 𝑓(𝑥) =𝑥2+2𝑥−3

𝑥−1

7) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 21 𝑠𝑖 𝑥 = 2

8) 𝑓(𝑥) = {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −1

(𝑥 + 2)2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥

9) 𝑓(𝑥) = −12

𝑥2−𝑥−6

II.- Calcular 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ, ℎ ≠ 0 si

1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 8

2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4

2𝑥−1

3) 𝑓(𝑥) = |3 − 2𝑥| + 4

4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6

5) 𝑓(𝑥) =1

√𝑥+2

III.- Determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos. 1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 2) 𝑓(𝑥) = −|𝑥 + 3|

3) 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥3−𝑥

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 + 1 5) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2

6) 𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥4+1

7) 𝑓(𝑥) =3𝑥

𝑥3−1

8) 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥2 9) 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1| − 3 10) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 + 2𝑥2 − 1


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Laboratorio # 5 Gráfica de funciones

I.- Trazar la gráfica de la función dada señalando su dominio y rango.

1)𝑓(𝑥) = {𝑥2−1

𝑥−1, 𝑥 ≠ 1

2, 𝑥 = 1

2) 𝑓(𝑥) =4−𝑥2

2−𝑥

3) 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 1| 4) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 4

5) 𝑓(𝑥) = √5 − 3𝑥 6) 𝑓(𝑥) = 9𝑥 − 𝑥2

7) 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥−2

𝑥−1

8) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2 9) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 5

10) 𝑓(𝑥) = |3𝑥 + 4|

11) 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 < 0

𝑥, 𝑥 ≥ 0

12) 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 < 0

1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

2 − 𝑥2, 𝑥 > 1

13) 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 ≠ 510, 𝑥 = 5

14) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 13

15) 𝑓(𝑥) = √16 − 3𝑥2 16) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − |𝑥 − 3| 17) 𝑓(𝑥) = −|𝑥 − 4| + 6


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Laboratorio # 6 Limites

I.- Evaluar el límite indicado. 1) lim

𝑥→ −5(17)

2) lim𝑥→6

√2𝑥 − 5

3) lim𝑥→ −1

𝑥3+1

𝑥2−1

4) lim𝑥→0

1

𝑥[(𝑥 + ℎ)3 − ℎ3]

5) lim𝑥→5

√𝑥+4−3

𝑥−5

6) lim𝑥→4

[√𝑥

𝑥+5(

𝑥2−16

𝑥−4)

2

]

7) lim

𝑥→7(cos 𝜋)

8) lim𝑥→0

𝑥+5

3𝑥

9) lim

𝑥→0[ 𝑥3(𝑥4 + 2𝑥3)−1]

10) lim𝑥→1

4−√𝑥+15

𝑥2−1

11) lim𝑥→0

( 𝑥2+3𝑥−1

𝑥 +

1

𝑥 )

12) lim𝑥→0+

−1

√𝑥

13) lim𝑥→∞

2𝑥

√3𝑥2+1

14)lim𝑥→0

√𝑥+1−1

𝑥

15) lim𝑥→−2

𝑥2−𝑥−6

𝑥+2

16)lim𝑥→0

(1−𝑥2)

𝑥

17) lim𝑥→−∞

|𝑥−5|

𝑥−5

18) lim𝑥→−2

𝑥2−𝑥−6

𝑥2−5𝑥−14

19)lim𝑥→3

[(𝑥 + 6)5

2 ∙ (2𝑥 + 2)1

3]

II.- Trazar la gráfica de la función, por medio de asíntotas.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥

2) 𝑓(𝑥) =𝑥

1+𝑥

3) 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥+2

4) 𝑓(𝑥) =1−2𝑥

𝑥+1

5) 𝑓(𝑥) =3

5−𝑥

6) 𝑓(𝑥) = √𝑥

𝑥−1

7) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2+1

8) 𝑓(𝑥) =4𝑥2−25

2𝑥−5


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Laboratorio # 7 Continuidad

I .- Determina los valores de x para las cuales es discontinua la función dada.

1) 𝑔(𝑥) =7

9−𝑥2

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

3) 𝑓(𝑥) = { 1

2𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 2

3 − 𝑥, 𝑥 > 2

4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − cos 𝑥

5) 𝑓(𝑥) =𝑡𝑔 𝑥

𝑥+3

6) 𝑓(𝑥) =(𝑥−1)

𝑠𝑒𝑛 2𝑥

7) 𝑓(𝑥) = {|𝑥|

𝑥, 𝑥 ≠ 0

1, 𝑥 = 0

8) 𝑓(𝑥) = {𝑥2−1

𝑥−1, 𝑥 ≠ 1

2, 𝑥 = 1

9) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−2

10) 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥2−3𝑥−10

11) 𝑓(𝑥) = {−2𝑥 + 2, 𝑥 < 1

𝑥2, 𝑥 ≥ 1

II .- Determina los valores de a y k de modo que la función dada sea continua en los reales.

1) 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2 − 7, 𝑥 < 2

𝑘, 𝑥 = 2𝑎𝑥 + 1, 𝑥 > 2

2) 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 − 𝑘, 𝑥 < 1

5, 𝑥 = 12𝑎𝑥 + 𝑘, 𝑥 > 1


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III. - Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de c que satisfaga la conclusión del teorema. 1)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥, [−2, 3], 𝑘 = 8

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 2, [0, 3], 𝑘 = 4

3) 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥

𝑥−1, [

5

2, 4] , 𝐾 = 6

IV. Evaluar el límite indicado.

1) lim𝑥→0

2𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥

2) lim𝑥→0+

1−cos(√𝑥)

√𝑥

3) lim𝑥→0

1+𝑠𝑒𝑛 𝑥

1+cos 𝑥

4) lim𝑥→0

cos 2𝑥

cos 3𝑥

5) lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

5𝑥

6) lim𝑥→0

(1−𝑐𝑜𝑠 𝑥)2

𝑥

7) lim𝑥→0

3(1−cos 𝑥)

𝑥

8) lim𝑥→0

cos 𝑥−1

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

V.- Trazar dos periodos de la gráfica de las funciones siguientes.

1)𝑓(𝑥) = cos ( 𝑥

3 ) 2) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥 −

𝜋

3) 3) 𝑓(𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥


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Laboratorio # 8 Derivadas I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado.

1)𝑓(𝑥) =𝑥

(𝑥−1)2

2)𝑓(𝑥) =𝑥

2−tan 𝑥

3)𝑓(𝑥) =1+sen 𝑥

𝑥+cos 𝑥

4)𝑓(𝑥) =10

𝑥2+1

5)𝑓(𝑥) = (4 +1

𝑥) (2𝑥 −

1

𝑥2)

6)𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 7𝑥2)5

7)𝑓(𝑥) =𝑥2

(𝑥2+5)2

8)𝑓(𝑥) =𝑥2−10𝑥+2

𝑥(𝑥2+1)

9)𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 1)4(9 − 2𝑥)

10)𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 𝑥 − 8)−3

11)𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1 √3𝑥 − 13

12)𝑓(𝑥) = (𝑥+1

𝑥+3) (𝑥2 − 2𝑥 − 1)8

13)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − cos 𝑥

14)𝑓(𝑥) =√𝑥+1

√𝑥+3

15)𝑓(𝑥) = 1 + 7𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥

16)𝑓(𝑥) = csc 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥

17) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(4𝑥2 − 1)

18)𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos 3𝑥

19)𝑓(𝑥) = csc2 𝑥 − csc 𝑥2

20)𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3 𝑡𝑔2 𝑥

21)𝑓(𝑥) =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥2

22)𝑓(𝑥) =𝑥2+2

𝑥4−3𝑥2+1

23)𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 tan 𝑥

24) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)2(1 − 3𝑥)(𝑥 + 5)3

25)𝑓(𝑥) = (2𝑥

𝑥2+1)

2


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Laboratorio # 9 Aplicaciones geométricas de la derivada y derivación implícita

I.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Obtener el punto de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 6 en el cual la pendiente de la recta tangente sea igual a 5.

2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = −3𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 − 3, que pasa por el punto 𝑃(0, −3)

3) Hallar el punto de cada una de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥, en el

cual las rectas tangentes son paralelas.

4) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 4𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 1, paralelo al eje 𝑥 (2 soluciones) .

II.- Usar diferenciación implícita para obtener 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

1) 𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦= 𝑥

2) 𝑥𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)

3) (𝑥2 + 𝑦2)6 = 𝑥3 − 𝑦3

4) 𝑥3𝑦2 = 2𝑥2 + 𝑦2

5) 𝑥 + 𝑦 = cos (𝑥𝑦)

6) 1

𝑥2 +1

𝑦2 = 1

7) 2𝑥8 + 5𝑦 = 10

8) 𝑥

𝑥 − 𝑦+ 1 = 3

III.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado.

1) 𝑥4 + 𝑦3 = 24, (−2, 2)

2) 3𝑦 + cos 𝑦 = 𝑥2, (1, 0)

3) 1

𝑥+

1

𝑦= 24, 𝑥 = 3

4) 1

𝑥+

3

𝑦= 1, (3, −3)

5) tan(𝑦) = 𝑥, (1,𝜋

4)


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IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente es horizontal. 1) (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 4

2) (𝑦 + 1)2 + 𝑥2 = 2𝑥

3) 5𝑥2 + 2𝑦2 = 2𝑥

4) (𝑦 − 3)2 + 3𝑥2 = 0

V.- Hallar y simplificar 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 .

1) 4𝑦3 = 6𝑥2 + 1

2) 𝑦2 − 𝑥2 = 𝑡𝑔 (2𝑥)

3) 𝑥3 + 𝑦3 = 27

4) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = 1

5) 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0

6) 4𝑥2 + 9𝑦2 = 36

7) 𝑦2 = 4𝑥 − 8


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Laboratorio # 10 Aplicaciones graficas

I .- Para la función dada obtener: a) Sus valores mínimos y máximos relativos b) Los intervalo donde es creciente y los cuales donde es decreciente. c) Sus puntos de inflexión d) Los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. e) Trazar la gráfica correspondiente.

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1 2) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)2

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥2+1

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥+4

√𝑥

5) 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3(1 − 𝑥)

6) 𝑓(𝑥) = 8𝑥1

3 + 𝑥4

3

7) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥; 𝑥 ∈ [0, 𝜋]

II. -Trazar la gráfica de una función continua 𝑓que cumpla las condiciones dadas.

8) 𝑓continua en todas partes. 𝑓(−1) = 0 𝑓(0) = 1 𝑓(1) = 2 𝑓′(𝑥) > 0 para toda 𝑥 ≠ 0 y 𝑓′(0) = 0 𝑓′′(𝑥) < 0 para 𝑥 < 0 y 𝑓′′(𝑥) > 0 para 𝑥 > 0

9) 𝑓 continua en todas partes 𝑓(−2) = 3 𝑓(2) = −1 𝑓′(𝑥) = 0 para 𝑥 > 2 𝑓′′(𝑥) < 0 para 𝑥 > 2

10) 𝑓continua en todas partes. 𝑓(0) = −2 𝑓(−2) = −6

𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 < 0 y 𝑓′(𝑥) < 0 para 𝑥 > 0 y 𝑓′(0) = 0 𝑓′′(0) < 0

11) 𝑓(−2) = 𝑓(4) = 0, 𝑓′(3) = 0, 𝑓′′(1) = 0, 𝑓′′(𝑥) < 0 para 𝑥 < 1 y

𝑥 > 2, 𝑓′′(𝑥) > 0 para 1 < 𝑥 < 2.


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Laboratorio # 11 Problemas de Optimización

I.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Se va a cercar un terreno rectangular de 2700m2 de área, y se utilizará una valla adicional para dividir el terreno a la mitad, es de $24 por metro colocado, y el costo de la cerca para los lados es de $36 por metro colocado. Estime las dimensiones del terreno de modo que el costo total del material para la cerca sea el mínimo.

2) Una página de un libro debe contener 27 pulgadas cuadradas de impresión. Los márgenes inferior, superior y de un lado medirán dos pulgadas y el del otro lado una. ¿De qué dimensiones debe ser la página para gastar la menor cantidad de papel?

3) Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288pulg3,

y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho. Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material.

4) Determine una ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 que tenga la pendiente mínima.

5) Se va a construir una ventana en forma de un rectángulo coronado por un semicírculo cuyo diámetro es igual al ancho del rectángulo si el perímetro de la ventana es de 16 pies. ¿Qué dimensiones admitirán la mayor iluminación?

6) Una hoja de metal con perímetro de 4 metros va a ser enrollada para formar la cara lateral de un recipiente cilíndrico. Encontrar las dimensiones del recipiente con el máximo volumen.

7) Se va a construir una caja rectangular abierta de base cuadrada y un volumen de 32,000 unidades cúbicas. Encontrar las dimensiones que requieran la menor cantidad de material.

8) Una página impresa va a tener márgenes laterales de 2 pulgadas y una pulgada en las partes superior e inferior. Determinar las dimensiones de la página más pequeña que contenga 32 pulgadas cuadradas de área impresa

9) Encontrar las dimensiones de la lata cilíndrica cerrada que requiera la menor cantidad de

material para que contenga un volumen de 32π unidades cúbicas.

10) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que pueda inscribirse en la parábola

con ecuación 𝑦 = 24 − 𝑥2

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