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Tomo 2

Tom

o 2

Tomo 2

Equipo técnico autoral y de diagramación

Diseño y revisión de diagramaciónFrancisco René Burgos Álvarez Judith Samanta Romero de Ciudad Real

Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA).

Primera edición c 2018.Segunda edición c 2020.Derechos reservados. Prohibida su venta y su repro-ducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del MINED.

Ana Ester Argueta ArandaErick Amílcar Muñoz Deras

Reina Maritza Pleitez VásquezDiana Marcela Herrera Polanco

Francisco Antonio Mejía RamosNorma Elizabeth Lemus MartínezSalvador Enrique Rodríguez HernándezCésar Omar Gómez Juárez

Imagen de portada con fines educativos, en ella se pueden apreciar transformaciones de figuras, proporciones y potencias de números. La imagen se construye a partir de una secuencia de cuadrados.

Carla Evelyn Hananía de VarelaMinistra de Educación, Ciencia y Tecnología

Wilfredo Alexander Granados PazDirector Nacional de Educación Media (III Ciclo y Media)

Interino Ad Honorem

Janet Lorena Serrano de LópezDirectora Nacional de Educación Básica

Interina Ad Honorem

Ricardo Cardona AlvarengaViceministro de Educación y de Ciencia y Tecnología Ad Honorem

Félix Abraham Guevara MenjívarJefe del Departamento de Educación en Ciencia,

Tecnología e Innovación (Matemática)

Gustavo Antonio Cerros UrrutiaJefe del Departamento de Especialistas en Currículo de Educación Media

Santiago Alfredo Flores AmayaDirector Nacional de Prevención y Programas Sociales

Interino Ad Honorem

Roberto Alejandro Rivera CamposGerente de Educación en Ciencia, Tecnología e Innovación

Corrección de estiloMónica Marlene Martínez Contreras

Marlene Elizabeth Rodas RosalesAna Esmeralda Quijada Cárdenas

372.7M425 Matemática 7 [recurso electrónico] : guía metodológica: tomo 2

/ Ana Ester Argueta,Aranda ... [et al] ;Diagramación Francisco René Burgos Álvarez, Judith SamantaRomero de Ciudad Real,. -- 2a. ed.. -San Salvador, El salv. : Ministerio de Educación (MINED), 2020.

s/v 1 recurso electrónico, (248 p. ; ilus. ; 28 cm. – (Esmate) Datos electrónicos (1 archivo : pdf, 14.21 mb ) . -- http://www.

mined.gob.sv

ISBN 978-99961-355-5-2 (E-Book)

1. Matemáticas-Libros de texto. 2. Matemáticas-Enseñanza --Guías I.

Argueta Aranda, Ana Ester, coaut. II. Título.BINA/jmh

Carla Evelyn Hananía de VarelaMinistra de Educación, Ciencia y Tecnología

Ricardo Cardona AlvarengaViceministro de Educación y de Ciencia y Tecnología Ad Honorem

Estimados docentes:

Reciban un cordial saludo, por medio del cual les expresamos nuestro agradecimiento por la importante labor que realizan en beneficio de la ciudadanía salvadoreña.

Como Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (MINEDUCYT) a través del Proyecto de Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemática en Educación Básica y Educación Media (ESMATE) hemos diseñado para ustedes la Guía metodológica para la asignatura de Matemática, que se convertirá en una herramienta importante para la labor docente que realizan día con día.

El objetivo principal de este recurso es brindarles orientaciones concretas para el desarrollo de las clases de esta asignatura y lograr así una mejora significativa en los aprendizajes de los estudiantes salvadoreños.

Es importante destacar que la Guía metodológica está en correspondencia con las clases propuestas en el Libro de texto y Cuaderno de ejercicios diseñados para los estudiantes, concretizando de esta manera lo establecido en el Programa de estudio de Matemática.

No dudamos que aprovecharán al máximo este recurso y estamos seguros de que pondrán todo su esfuerzo y dedicación para seguir contribuyendo al desarrollo de nuestro querido país.

Atentamente,

Unidad 5Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 1: Igualdad de expresiones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 2: Ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 3: Aplicación de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de la Unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba del segundo trimestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidad 6Proporcionalidad directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 1: Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 2: Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 3: Aplicación de la proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de la Unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidad 7Gráfica de faja y circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 1: Gráfica de faja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 2: Gráfica circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de la Unidad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidad 8Figuras planas y construcción de cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 1: Movimiento de figuras en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 2: Círculos, segmentos y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lección 3: Planos, cuerpos geométricos, área total del prisma, pirámide y cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de la Unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba del tercer trimestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba final de 7° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 9 13 43 59 62

65 69 96107117

121124133141

145 149163

188213 216222

229

Índice

5 Guía Metodológica

Unidad 5. Ecuaciones de primer grado

– Conocerlaspropiedadesdeunaigualdadmatemáticayutilizarlasparalaresolucióndeunaecuaciónde primer grado.

– Identificar por iniciativa propia situaciones del entorno en las que a través del planteamiento ysolucióndeunaecuacióndeprimergradosepuedadarrespuestaaunainterrogantequesepresente.

Relación y desarrollo

Competencias de la Unidad

Unidad 3: Ecuación cuadrá-tica• Ecuacióncuadrática• Aplicaciones de la ecua-cióncuadrática

Unidad 4: Función cuadráti-ca de la forma y = ax2 + c• Funcióny = ax2• Funcióny = ax2 + c

Séptimo grado Noveno grado Primer año de bachillerato

Unidad 5: Ecuaciones de pri-mer grado• Igualdad de expresiones matemáticas

• Ecuacióndeprimergrado• Aplicación de ecuaciones

de primer grado

Unidad 2: Sistemas de ecua-ciones de primer grado con dos incógnitas• Métodos para resolver

ecuaciones de primer grado condosincógnitas

• Aplicación de las ecuacio-nes de primer grado con dosincógnitas

Unidad 2: Operaciones con polinomios y números com-plejos• Productos notables y fac-torización

• Divisióndepolinomios• Ecuación cuadrática y nú-

meros complejos

Octavo grado

6

Lección Horas Clases

1. Igualdad de expresiones matemáticas

1 1.Igualdaddedosexpresionesnuméricas

1 2. Igualdad de dos expresiones algebraicas

2.Ecuacióndeprimergrado

1 1.Solucióndeunaecuación

1 2. Propiedades de la igualdad

1 3.Solucióndeecuacionesaplicandolapropiedad1delas igualdades


1 5.Métododetransposicióndetérminos



1 8.Solucióndeecuacionesaplicandomásdeunapropiedad

1 9.Solucióndeecuacionesconincógnitasenambosmiembros

1 10.Practicaloaprendido

1 11.Solucióndeecuacionesconsignosdeagrupación

1 12.Ecuacionesconsoluciónfraccionariaydecimal

1 13.Ecuacionescontérminosycoeficientesdecimales

1 14.Ecuacionescontérminosycoeficientesfraccionarios

1 15.Practicaloaprendido

Plan de estudio de la Unidad


Lección Horas Clases

3.Aplicacióndeecuacionesdeprimer grado

1 1.Aplicacióndeecuacionesutilizandounapropiedaddelas igualdades

1 2.Aplicacióndeecuacionesutilizandomásdeunapropiedad de las igualdades

1 3.Aplicacióndeecuacionesqueincluyenunaincógnitaentérminosdeotra

1 4.Aplicacióndeecuacionesconvariablesenambosmiembros

1 5.Aplicacionesensituacionesdedistancia,velocidadytiempo

1 6. Aplicaciones en situaciones de proporcionalidad directa, parte 1



1 Prueba de la Unidad 5

1 Prueba del segundo trimestre

25 horas clase + prueba de la Unidad 5 + prueba del segundo trimestre

8

Lección 1: Igualdad de expresiones matemáticasPlantearlarelacióndedosexpresionesmatemáticasquerepresentanlamismacantidad,utilizandoparaelloelsímbolo de igualdad: =.

Lección 2: Ecuación de primer gradoAbordar la solución de una ecuaciónyelusodelaspropiedadesdeuna igualdad matemática para determinar lasolucióndeunaecuación.Enestalecciónseestudiaránecuacionesconcaracterísticasespecialescomolasqueincluyensignosdeagrupación,lasquetienensoluciónfraccionariaodecimal,contérminosycoeficientesdecimalesyporúltimocontérminosycoeficientesfraccionarios.

Lección 3: Aplicación de ecuaciones de primer gradoEstalecciónesdesumaimportanciaporqueplantealaecuacióndeprimergradocomounaherramientapararesolverproblemascuyasoluciónesdifícildeencontrarsinelusodeunaincógnita.Enesesentido,durantelaclasehayquehacerénfasisnosoloenlamaneraderesolverunaecuaciónsinotambiénenlamaneradecómoplantearunaecuaciónparaunadeterminadasituación.

Puntosesencialesdecadalección


88

El signo (=) es un símbolo matemático utilizado para representar la igualdad de dos expresiones numé-ricas.

3 = 3 1 + 1 + 1 = 3 1 + 1 + 1 = 2 + 1

Observa las siguientes balanzas y escribe las igualdades representadas en cada una de ellas:

33

Balanza 1 Balanza 2

1 1

1

3

Balanza 3

1 1

1

2 1

Llena los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad.

a) 6 + 1 = 5 + __ b) 8 − __ = 5 c) 2 + __ = 3 + __ d) 8 − __ = 4 + __

Solución.

a) 6 + 1 = 5 + 2 b) 8 − 3 = 5 c) 2 + 3 = 3 + 2 d) 8 − 3 = 4 + 1

En los literales c) y d) puede haber más de una solución, por lo que la presentada es solo una opción.

1. Llena los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad.

2. Llena los recuadros con un número para que se cumpla la igualdad.

a) 7 + __ = 10 b) __ + __ = 9 c) 8 + __ = 4 + __

d) 12 – __ = 5 e) 20 – __ = 15 f) 3 − __ = 5 − __

a) = 5 b) − 13 = 15 c) − = 17 d) − = 3 + 8

e) − = 7 + 5 f) − = 8 + 6 g) − = 9 + 7 h) − = 9 + 9

1.1 Igualdad de dos expresiones numéricas

5 28 20 3

3 2

7

7

5 1 3

15 4

14 2 21 7 17 1 20 2

2 6

1 Igualdad de expresiones matemáticas

Indicador de logro

Fecha:

10

E

R

P

S

U5 1.1

a)6+1=5+2b)8−3=5c)2+3=3+2d)8−3=4+1

B1. B2. B3.3 = 3 1 + 1 + 1 = 3 1 + 1 + 1 = 2 + 1

1. a) 3 b) 7, 2 c) 2, 6 d)7e)5f)1,3

2. a) 5 b) 28 c) 20, 3 d) 15, 4 e)14,2f)21,7g)17,1h)20,2

Observalassiguientesbalanzasyescribelasigualdades representadas en cada una de ellas:

Tarea: página 90 del Cuaderno de Ejercicios.

1.1Expresaigualdadesdedosexpresionesnuméricas.

PropósitoSecuencia

P , S Plantear igualdadesnuméricasapartirde la intui-ción.

C Establecerqueel símbolo (=)seutilizapara indicar larelacióndedosexpresionesnuméricasquerepresentanlamismacantidad.

Enlaclase3.1de laUnidad4setrabajóporpri-meravezelconceptodeunaigualdadmatemáti-ca,asíquelosestudiantesyatienenunaideadelasigualdadesdeexpresionesmatemáticas.Porlotanto, esta clase estará dedicada solo al plantea-mientodeigualdadesdeexpresionesnuméricas.

Aldesarrollarlaseccióndeproblemas,hacerénfasisenqueparalosliteralesdelc)alh)lasoluciónplanteadanoeslaúnica.

33

Balanza1 Balanza2

1 1

1

3

Balanza3

1 1

1

2 1


89

Uni

dad

5

Solución.

Representa la igualdad matemática de las expresiones que están en los platillos de la siguiente balanza.

10 10

5

x 3 =

x + 3 = 10 + 10 + 5

Para escribir simbólicamente que dos expresiones algebraicas representan el mismo valor también se usa el signo (=).

Representa la igualdad matemática de las expresiones que están en los platillos de la siguiente balanza.

54

x

2x 30 =

2x + 30 = x + 4 + 5

Representa la igualdad matemática de las expresiones que están en las siguientes balanzas:

a)

c)

b)

d)

10x

4x 2x

8

2 6

=

3x 86 4=

4x 3 39=

=

1.2 Igualdad de dos expresiones algebraicas

x + 8 = 10 4x + 3 = 39

3x + 6 = 8 + 4 4x + 2 = 2x + 6

1

Indicador de logro

Fecha:

12

R

P

S

EU5 1.2

Representa la igualdad matemática delasexpresionesqueestánenlosplatillosdelasiguientebalanza.

x + 3 = 10 + 10 + 5

2x + 30 = x + 4 + 5

a) x + 8 = 10 b) 4x + 3 = 39

c) 3x + 6 = 8 + 4 d) 4x + 2 = 2x + 6


1.2 Expresa igualdades de dos expresiones algebraicas.

PropósitoSecuencia

P , S Plantearigualdadesqueincluyenexpresionesalge-braicasapartirdelaprácticadelaclaseanterior.

C Establecerqueel símbolo (=)seutilizapara indicar larelacióndedosexpresionesalgebraicasquerepresentanlamismacantidad.

Dadoqueenlaclaseanteriorsoloseplantearonigualdadesdeexpresionesnuméricas,paralacla-se de hoy se ampliará el planteamiento de unaigualdadqueincluyeexpresionesalgebraicas.

Sepuedenutilizarcartelesconlailustracióndelasbalanzasparael P yel E .

10 10

5

x 3 =

54

x

2x 30 =


90

Representa el total de dinero con billetes de $5.

Una persona llega a la ventanilla de un banco para cobrar un cheque de 470 dólares. Después de recibir 300 dólares en billetes de 100, la cajera le informa que solo tiene billetes de 5 dólares. ¿Cuántos billetes de 5 dólares recibirá?

Si se usa x para representar el número total de billetes de $5, se puede formar una igualdad usando números y una variable. Como hay que igualar el total de billetes de 100 y 5 dólares con 470 dólares, se puede formar la siguiente igualdad: 5x + 300 = 470.

Para encontrar la cantidad de billetes de 5 dólares, se necesita conocer el valor de x en la igualdad: 5x + 300 = 470.

Para encontrar el valor de x se puede sustituir algunos valores aproximados y al efectuar la operación se debe verificar si cumple con el valor que se encuentra en el miembro derecho (470).

Cuando el valor de x es 34, el valor que se tiene en el miembro izquierdo es igual al valor del miembro derecho, por tanto, se cumple la igualdad matemática establecida en la ecuación. Con lo que se conclu-ye que se recibirán 34 billetes de 5 dólares.

Valor de x Miembro izquierdo 5x + 300

Resultado delmiembro izquierdo

si x = 31 5 × 31 + 300 455si x = 32 5 × 32 + 300 460si x = 33 5 × 33 + 300 465si x = 34 5 × 34 + 300 470si x = 35 5 × 35 + 300 475si x = 36 5 × 36 + 300 480

La igualdad de dos expresiones matemáticas que incluye una variable se llama ecuación. En una ecuación al valor desconocido que se representa por una variable se llama incógnita. El valor numérico de la incógnita que cumple con la igualdad se llama solución de la ecuación y al proceso para encontrarla se le llama resolver la ecuación.

¿Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución el valor de 5? (Sustituye el valor)

2 × 5 + 3 = 1110 + 3 = 11

13 ≠ 11

Por tanto, 5 no es solución de la ecuación del literal a.

b) 3x − 8 = 7 c) 8x + 9 = 17 d) 4x − 8 = 4a) 2x + 3 = 11

2.1 Solución de una ecuación

5 es solucióndelaecuación

5 no essolucióndelaecuación

5 no essolucióndelaecuación

2 Ecuación de primer grado

Portanto,noessolucióndelaecuacióndelliterala.

Indicador de logro

Fecha:

14

a),c)yd)5noessolucióndelaecuación.

b)5essolucióndelaecuación.

S

RPU5 2.1

Se cobrarán $470. Se reciben $300 en billetes de 100yelrestoenbilletesde$5.¿Cuántosbilletesde$5 se recibirán? x cantidaddebilletesde$5

¿Cuáleselvalordex en 5x + 300 = 470?

Por tanto: x es 34.

Por tanto, 5 es solución de laecuación.

2.1Identificasiunvaloressolucióndeunaecuación.


PropósitoSecuencia

P , S Determinarelvalordelaincógnitautilizandotablas;esdecir,enestecasosebuscaqueelestudiantedetermineelnúmerodebilletesatravésdelensayoyerror,organi-zandolosresultadosenunatabla.

C Establecerelsignificadodeecuación,incógnitaysolu-cióndeunaecuación.Almismotiemposeestablecequealprocesoqueserealizaparadeterminarlasolucióndeunaecuaciónselellamaresolver la ecuación.

Losestudiantesyasehanfamiliarizadoconelcon-ceptodeigualdadmatemática(planteamientodelarelacióndedosexpresionesnuméricasoalge-braicas que representan la misma cantidad), seaprovecha esta clasepara la introducciónde lostérminosecuación, incógnita, solución y resolu-ción de una ecuación.Lostérminosdemiembroizquierdoymiembroderechoyaseabordaronenlaclase3.1delaUnidad4,encasodequeloses-tudiantespresentendificultadespararecordarlos,selespuedeorientarparaquerevisenlaclasean-tes mencionada.

Solucióndealgunosítems:

b) 3x – 8 = 73 × 5 – 8 = 7 15 – 8 = 7 7 = 7

c) 8x + 9 = 178 × 5 + 9 = 17 40 + 9 = 1749≠17

d) 4x – 8 = 44 × 5 – 8 = 4 20 – 8 = 412≠4

Por tanto, 5 no essolucióndelaecuación.

Valor de xMiembroizquierdo

5x + 300Resultado del

miembroizquierdo

si x = 31 5 × 31 + 300 455si x = 32 5 × 32 + 300 460si x = 33 5 × 33 + 300 465si x = 34 5 × 34 + 300 470si x = 35 5 × 35 + 300 475si x = 36 5 × 36 + 300 480


91

Uni

dad

5

Dada la ecuación 2x + 1 = 7, determina el valor de x, imaginando la ecuación como el equilibrio de una balanza. Una x se representa con una bolita y una unidad con un cubo.

2x + 1 = 7

Una igualdad matemá� ca se man� ene cuando:1. En ambos miembros se suma el mismo número o expresión. Si A = B, entonces A + C = B + C.2. En ambos miembros se resta el mismo número o expresión. Si A = B, entonces A − C = B − C. 3. En ambos miembros se mul� plica el mismo número o expresión. Si A = B, entonces A × C = B × C.4. En ambos miembros se divide por el mismo número (diferente de cero) o expresión. Si A = B, y C diferente de cero, entonces A ÷ C = B ÷ C. 5. Se intercambia el miembro izquierdo y derecho. Si A = B entonces B = A.

A las afi rmaciones anteriores se les llama propiedades de una igualdad.

Escribe la propiedad u� lizada en la solución de la siguiente ecuación en el paso de color rojo:

Escribe la propiedad u� lizada en la solución de las siguientes ecuaciones en el paso de color rojo:

3x + 2 = 413x + 2 − 2 = 41 − 2

3x = 39Propiedad 2

3x ÷ 3 = 39 ÷ 3x = 13

Propiedad 4

a) 5x + 4 = 49

5x + 4 − 4 = 49 − 4

5x ÷ 5 = 45 ÷ 55x = 45

x = 9 x = 12

12 x − 1 + 1 = 5 + 1

12 x × 2 = 6 × 2

b) 12 x − 1 = 5

12 x = 6

2.2 Propiedades de la igualdad

2x = 6

x = 3

Quitando un cubo en ambos lados de la balanza.

Quitando una bolita a un lado y los tres cubos que le correspon-den en el otro.

...

...

Puedes quitar objetos en cada lado de la balanza pro-curando mantener el equili-brio.

Propiedad 2

Propiedad 4

Propiedad 1

Propiedad 3

2

Indicador de logro

Fecha:

16

S R

PU5 2.2

E

2x + 1 = 7

Para 2x+1=7,¿cuáleselvalordex? x una bolita una unidad un cubo.

Quitando un cubo en ambos lados de labalanza.

Dividiendo en dos partes igualescadaunodelosladosyquitandounaparte de estas en cada lado.

2x = 6...

...x = 3

3x + 2 = 413x+2−2=41−2 Propiedad 2 3x = 39

3x ÷ 3 = 39 ÷ 3 Propiedad 4 x = 13

a) Propiedad 2 Propiedad 4

b) Propiedad 1 Propiedad 3


2.2Identificalaspropiedadesdeunaigualdadmatemática.

Propósito

Secuencia

P , S Identificarlaspropiedadesdeunaigualdadatravésdelaintuición.Enelcasoparticulardelasituación,deberáidentificarlacantidaddeobjetosquetienequeirretirandocadavezenlabalanzaparaquesemantengaenequili-brio. En el segundo paso de la S sedebeenfatizarqueelnúmerodeobjetosencadaladodelabalanzasehadivididoendospartesigualesyluegoseharetiradounadelaspartes.

C Establecerlaspropiedadesdeunaigualdad.Enestepuntosedebeexplicarqueesaspropiedadessonlasherra-mientasautilizarpararesolverunaecuación.

Enlaclaseanteriorseestudióelconceptoderesolucióndeunaecuación,yparaestaclasesepresentanlaspropie-dadesdeunaigualdadmatemáticacomoherramientasparalaresolución.


92

1. Completa el espacio en las soluciones de las siguientes ecuaciones:

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

−2 + x 2 = 4 2x = 6

b) −2 + x = 4x − 3 + = −8 +

x = –5

d) x − 3 = −8x − 4 + = 3 +

x = 7

a) x − 4 = 3x − 7 + 7 = −2 + 7

x =

c) x − 7 = −2

a) x − 4 = 5 b) −7 + x = 3 c) x − 9 = −5 d) x − 6 = −10

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x – 3 = 2 b) –6 + x = 1 c) x – 7 = –4 d) x – 4 = –8

x – 3 + 3 = 2 + 3x = 5

a) x – 3 = 2

Se suma 3 en am-bos miembros.




–6 + x + 6 = 1 + 6x = 7

b) – 6 + x = 1x − 7 + 7 = –4 + 7

x = 3

c) x – 7 = –4x − 4 + 4 = –8 + 4

x = –4

d) x − 4 = –8

Para resolver ecuaciones como las anteriores se aplica la Propiedad 1 de una igualdad, se suma en ambos miembros un mismo número, de manera que solo quede la incógnita en un miembro de la ecuación.

Por ejemplo: x − 3 = 2 x − 3 + 3 = 2 + 3

En la clase 2.2 se aprendió a transformar la ecuación de tal forma que x se encuentre en un miembro y un número en el otro miembro, por ejemplo: x = 5, x = 7, x = 3 y x = –4 a este proceso se le llama resolver la ecuación, y también recibe el nombre de “despejar x”.

2.3 Solución de ecuaciones aplicando la propiedad 1 de las igualdades

4 4 + +

53 3

x = 9 x = 10 x = 4 x = –4

2

Indicador de logro

Fecha:

18

Resuelve:a) x−3=2b)−6+x = 1 c) x−7=−4d)x−4=−8

S

RP

U5 2.3

b)−6+x = 1−6+x + 6 = 1 + 6 x = 7Se suma 6 en ambos miembros. d) x−4=−8 x −4+4=−8+4 x = –4Se suma 4 en ambos miembros.

a) x−3=2 x−3+3=2+3 x = 5Se suma 3 en ambos miembros.c) x−7=−4 x −7+7=−4+7 x = 3Se suma 7 en ambos miembros.

1.a)4y4b)+y+ c)5d)3y3

2. a) x = 9 b) x = 10 c) x = 4 d) x = –4


2.3Resuelveunaecuacióndeprimergradosumandolamismacantidadenambosmiembros.

PropósitoSecuencia

P , S Aplicarlapropiedad1deunaigualdadpararesolverlasecuaciones. Losestudiantesenestemomentoya co-nocen laspropiedadesdeuna igualdadyhanpracticadolaidentificacióndelaspropiedadesenlasolucióndeunaecuaciónenlaclaseanterior;portanto,seesperaqueten-ganlaoportunidadderesolverlasecuacionesplanteadas.

C Establecerquepararesolverecuacionescomolaspre-sentadas en P seaplicalapropiedad1;enestepuntoesimportanteseñalarquealprocesoquesesigueparaque x se encuentre en unmiembro y un número en el otromiembro se le llama resolver la ecuación, o despejar la incógnita.

En la clase anterior se presentaron las propiedades de una igualdad, y específicamente se trabajó laidentificacióndeellasenlasolucióndeunaecua-ción.Porloqueapartirdeestaclasesecomenzaráatrabajarensusaplicaciones,demodoqueseuti-lizarálapropiedad1pararesolverecuaciones.


2. a) x – 4 = 5 x – 4 + 4 = 5 + 4 x = 9

d) x – 6 = –10 x – 6 + 6 = –10 + 6

x = –4


93

Uni

dad

5

a) x + 2 = 3 b) 4 + x = 9 c) x + 7 = 4 d) x + 4 = −8


¿Qué número se debe restar para despejar x ?

Despejar la incógnita consiste en llegar a una expresión de la forma x = , es decir que x tenga coeficiente 1.

Se resta 4 en ambos miembros.

9 − 44 + x − 4 =5x =

b) 4 + x = 94 − 7x + 7 − 7 =–3x =

c) x + 7 = 4–8 − 4x + 4 − 4 =–12x =

d) x + 4 = −83 − 2x + 2 − 2 =1x =

a) x + 2 = 3




Para resolver ecuaciones como las anteriores se aplica la Propiedad 2 de una igualdad, es decir se resta en ambos miembros un mismo número, de manera que solo quede la incógnita en un miembro de la ecuación.

Por ejemplo: x + 2 = 3 x + 2 − 2 = 3 − 2


a) x + 4 = 5x + 4 – = 5 –

x = 1

c) x + 7 = 2x + 7 – 7 = 2 – 7

x =

b) 2 + x = 42 + x 2 = 4 2

x = 2

a) x + 8 = 13


b) 7 + x = 10 c) x + 9 = 5 d) x + 6 = −10

x =x + 3 – = – 8 –

d) x + 3 = – 8


4 4

3 3

– –

–5

x = 5 x = 3 x = –4 x = –16

–11

2

Indicador de logro

Fecha:

20

S

RPU5 2.4

Resuelve:a) x + 2 = 3 b) 4 + x = 9 c) x + 7 = 4 d) x+4=−8

1.a)4y4b)–y– c) –5 d) –11

2. a) x = 5 b) x = 3 c) x = –4 d) x = –16

a) x + 2 = 3 x + 2 – 2 = 3 – 2 x = 1


c) x + 7 = 4 x + 7 – 7 = 4 – 7 x = –3


b) 4 + x = 94 + x – 4 = 9 – 4 x = 5Se resta 4 en ambos miembros. d) x + 4 = –8x + 4 – 4 = –8 – 4 x = –12Se resta 4 en ambos miembros. Tarea: página 95 del Cuaderno de

Ejercicios.

2.4Resuelveunaecuacióndeprimergradorestandolamismacantidadenambosmiembros.

PropósitoSecuencia

P , S Aplicar la propiedad 2 de una igualdad para resol-ver las ecuaciones. En estemomento los estudiantes yaconocenlaspropiedadesdeunaigualdadyhanaplicadolapropiedad1pararesolverecuacionesenlaclaseanterior;portanto,seesperaquetenganlaoportunidadderesolverlasecuacionesplanteadas.Encasodequelosestudiantespresentendificultadespararesolverlasecuaciones,puedeorientarlosparaqueseapoyendela informaciónquesepresentaenelrecuadrodepresaberyeldepista.

C Establecerquepararesolverecuacionescomolaspre-sentadas en P se aplica la propiedad 2.

Anteriormente se aplicó la propiedad 1 de unaigualdad para resolver una ecuación de primergrado,porloqueenestaclaseseresolveránecua-ciones aplicando la propiedad 2.


2. a) x + 8 = 13 x + 8 – 8 = 13 – 8 x = 5

d) x + 6 = –10 x + 6 – 6 = –10 – 6 x = –16


94

Resuelve la ecuación: x − 3 = 4.

Paso 1A x se le resta 3 y esto es igual a 4.

Paso 2Se suma 3 en ambos miembros para preservar la igualdad matemática.

Paso 3−3 y 3 se eliminan en el miembro izquierdo y solo queda la incógnita; en el miembro derecho solo quedan cantidades conocidas.

Observa que en el paso 3, el 3 está sumando en el miembro derecho.

x − 3 = 4

x − 3 + 3 = 4 + 3

x = 4 + 3x = 7

Para la ecuación anterior el número 3 restaba en el miembro izquierdo y pasó al miembro derecho a sumar:

Se puede resolver una ecuación realizando directamente del paso 1 al 3. Cuando un término pasa de un miembro al otro con el signo cambiado se le llama transposición de término.

x − 3 = 4

x = 4 + 3

Resuelve por transposición la ecuación:

Al resolver la ecuación se tiene:

El 5 estaba sumando en el miembro izquierdo y pasa al miembro derecho restando.

x + 5 = 12

x = 12 – 5

x = 7

x + 5 = 12

Resuelve por transposición las siguientes ecuaciones:a) b) c) d)

e) f) g) h)

2 +

5 –

2

5

3

5

x

x

x − 5

x + 3

–1 + x

4 + x

x

=

=

=

=

=

=

=

x =

x – 1 = 3

x + 6 = 8

–2 + x = 4

2 + x = 4

2.5 Método de transposición de términos

x = 4 x = 457

x = 6

32

x = 2 x = 1 x = 2

2

Indicador de logro

Fecha:

22

E

S

R

PU5 2.5

Resuelve:x−3=4

Observaqueenelpaso3,el3estásumandoen el miembro derecho.

El 5 estaba sumando en el miembro iz-quierdoypasaalmiembroderecho res-tando.

a)5y7 b)x = 4c) x = 4 d) x = 6e)3y2 f)x = 2g) x = 1 h) x = 2

x−3=4

x−3+3=4+3x = 4 + 3x = 7

Paso 1

Paso 2

Paso 3

x + 5 = 12

x = 12 – 5x = 7


2.5Resuelveunaecuacióndeprimergradorealizandolatransposicióndetérminos.

PropósitoSecuencia

P , S Resolver la ecuación utilizando la propiedad 1 deunaigualdad;cuandosehadeterminadolasolucióndebeseñalarseelhechodequeenelpaso3delprocesoseob-serva cómo el 3 que estaba restando en elmiembro iz-quierdopasóa sumaralmiembroderecho. Si estepasonoestáexplícitoenelprocesodesoluciónentoncesdebeescribirseenlasoluciónplanteadaenlapizarraparaquetodoslosestudiantespuedanobservar.

C Establecerquehayunmétodoprácticopararesolverlaecuación,elcuáltienecomonombretransposición de tér-minos.Señalarquelatransposicióndetérminosesunafor-maprácticadeaplicarlapropiedad1y2deunaigualdad.

Enlasclases2.3y2.4sehanaplicadolaspropieda-des1y2respectivamentepararesolverunaecua-cióndeprimergrado;porloqueenestaclasesepresenta el método de transposición de términos comouna formapráctica de la aplicación de laspropiedades1y2enlaresolucióndeecuacionesde primer grado.


b) x – 1 = 3 x = 3 + 1 x = 4

f)x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2


95

Uni

dad

5

1. Completa el recuadro en las soluciones de las siguientes ecuaciones:


a) x = 219

x × = 2 × 19

x = 18

c) – x = 316

– × = 3 × x6x =

f) = –5x3x = –5 ×

x = –15

g) – x = 415x = 4 ×

x = –20

e) x = 214

x = 2 ×

x = 8

h) – = –63x5x = –6 ×

x = 10

a) 14 x = 3 b) x4 = 9 c) –

27 x = 4 d) –

5x4 = –10

b) = –7x3

x × = –7 × 13

x = –21

x = –7 13

d) – = –82x3

– x × = –8 × 23x = 12

– x = –8 23

Resuelve las siguientes ecuaciones :

a) 15 x = 10 b) 23 x = 6 c) –

x2 = 6

¿Qué operación se debe aplicar en am-bos miembros para despejar x? (Despe-jar x implica que tenga coefi ciente 1).

Se mul� plica por 5 en ambos miembros.

Se mul� plica por –2 en ambos miembros.

Se mul� plica por 32 en am-bos miembros.

a) x = 10

x × 5 = 10 × 5

x = 50

15

15

b) x = 6

x = 9

x × = 6 ×

x = 182

23

23

32

32

c) – = 6

x = – 12

– x = 6

– x × (– 2) = 6 × (– 2)

12

12

x2


Para resolver ecuaciones aplicando la Propiedad 3 de las igualdades, se mul� plica ambos miembros por el recíproco del coefi ciente de la incógnita. En el caso de que el coefi ciente que acompaña a la incógnita sea una fracción, primero se representa como la mul� plicación de un número fraccionario por la incógnita y luego, se realiza la mul� plicación del recíproco del número fraccionario en ambos miembros.

Una regla prác� ca para despejar la incógnita en los casos presentados anteriormente es escribir a la incógnita con coefi ciente 1 y mul� plicar el otro miembro por el recíproco del coefi ciente que tenía la incógnita originalmente.

Por ejemplo: 15 x = 10x = 10 × 5x = 50

9 9

3 3

(–6)

–18

4 3 –5

x = 12 x = 36 x = –14 x = 8

(–6)

(– 32 )(– 32 )

(– 53 )

2

Indicador de logro

Fecha:

24

S

RPU5 2.6

Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 15 x = 10 b) 23 x=6c)– x2 = 6

a) 15 x = 10 15x × 5 = 10 × 5 x = 50

Semultiplicapor5 en ambos miem-bros.

b) 23 x = 623 x × 32 = 6 × 32 x = 182 x = 9

Semultiplicapor32 en ambos miem-bros.

c)– x2 = 6– 12 x = 6– 12 x ×(–2)=6×(–2) x = –12

Se multiplica por –2en ambos miembros.

Despejar ximplicaquetengacoeficiente1.

1.a)9y9b)3y3c)(–6),(–6)y–18d)(– 32)y(–

32)

e) 4f)3g)(–5)h)(– 53)


2.6Resuelveunaecuacióndeprimergradomultiplicandolamismacantidadenambosmiembros.

Propósito

Secuencia

P , S Aplicarlapropiedad3deunaigualdadpararesolverlasecuaciones.Enestemomentolosestudiantesyacono-cenelrecíprocodeunnúmeroylaspropiedadesdeunaigualdad.Portantoseesperaquetenganlaoportunidadderesolverlasecuacionesplanteadas.Enc),silosestudiantesnotienendificultades,enlugardereescribirelmiembroizquierdoenformadeunproducto,semultiplicanpor–2ambosmiembros,paraqueeldenominadordelafracciónsea1yseelimineelsignonegativo.

C Señalarqueenelprocesodondelaincógnitaseencuentreenelnumeradordeunafracción,sedebereescribirlaecuacióndeformaquelafracciónquedeexpresadacomolamultiplicacióndeunafracciónporlaincógnita,comoenelcasodec).Tambiénhayqueexplicarquesepuedeaplicarlapropiedad3deunaformapráctica,enlaquesehacequeelcoeficientedelaincógnitasea1ysemultiplicaelnúmerodelotromiembroporelrecíprocodelcoeficienteoriginaldelaincógnita.Aesteprocesonoseledebellamartransposicióndetérminoyaqueelcoeficientenoesuntérmino.

Enclasesanterioressehanaplicadolaspropiedades1y2paralaresolucióndeecuacionesdeprimergradoyop-cionalmenteelmétododetransposición.Porloqueenestaclaseseaplicarálapropiedad3deunaigualdadpararesolverunaecuacióndeprimergrado.Aligualquesehizoconlaspropiedades1y2alofrecerunmétodoprácticodeaplicaciónconlatransposicióndetérminos,tambiénsepresentaunaformaprácticadeaplicacióndelapropie-dad3enlaresolucióndeunaecuacióndeprimergrado.


2. a) 14 x=3 d)– 5x4 = –10

x = 3 × 4 x = –10 × – 45 x = 12 x = 8


96

Un número mul� plicado por su “recíproco” es 1.Resuelve la siguiente ecuación: 7x = –21.

7x = –21 7x ÷ 7 = –21 ÷ 7

x = –3

Para resolver la ecuación se divide ambos miembros por el coefi ciente de la incógnita. De manera alter-na� va se puede aplicar la propiedad 3 u� lizando el proceso visto en la clase anterior.

7x = –217x × 17 = –21 ×

17

x = – 217x = –3

Aplicando la propiedad 4 Aplicando la propiedad 3

Para resolver ecuaciones aplicando la Propiedad 4 de las igualdades, se divide ambos miembros por el coefi ciente de la incógnita. En forma opcional se pueden resolver ecuaciones como la clase anterior, aplicando la Propiedad 3 mul� plicando ambos miembros de la ecuación por el recíproco del coefi cien-te de la incógnita.

Una regla prác� ca para despejar la incógnita en ecuaciones como la anterior, es escribir la incógnita con coefi ciente 1 y dividir directamente el otro miembro por el coefi ciente de la incógnita.

Por ejemplo: 7x = –21 x = –21 ÷ 7 x = –3


d) −x = 9a) 7x = 14 b) 5x = −20 c) −6x = 24

e) –5x = 25x = 25 ÷ (–5) x =

f) –3x = 27x = 27 ÷ x =

g) –x = 5x = 5 ÷ x =

h) –2x = –4x = –4 ÷ x =

b) 2x = 62x ÷ 2 = 6 ÷

x = 3

d) 6x = –186x ÷ 6 = –18 ÷

x =

a) 3x = 273x ÷ = 27 ÷

x = 9

c) 4x = 164x ÷ 4 = 16 ÷ 4

x =



x = 2

3 3 24

6–3

2

x = –4 x = –4 x = –9

(–3)–9

(–1) (–2)–5 –5

2

Indicador de logro

Fecha:

26

S

RPU5 2.7

Resuelve:7x = –21

Sepuederesolverdedosformas.

Con propiedad 4 7x = –217x ÷7=(–21)÷7 x = –3

Con propiedad 3 7x = –217x × 17 = –21 × 17 x =– 217 x = –3

Unnúmeromultiplicadoporsu“recíproco”es1.

1.a)3y3b)2c)4d)6y–3e)–5f)(–3)y–9g)(–1)y–5h)(–2)y2

2. a) 2 b) –4 c) –4 d) –9


2.7Resuelveunaecuacióndeprimergradodividiendoporlamismacantidadenambosmiembros.

Propósito

Secuencia

P , S Aplicarlapropiedad4deunaigualdadpararesolverlasecuaciones.Enestemomentolosestudiantesyaco-nocenelrecíprocodeunnúmeroylaspropiedadesdeunaigualdad.Portantoseesperaquetenganlaoportunidadderesolverlasecuacionesplanteadas;encasodequelosestudiantespresentendificultadespararesolverlas,puedeorientarlosparaqueseapoyendelainformaciónquesepresentaenelrecuadrodepresaber.Sepuedenaceptardossoluciones, aplicando la propiedad 4 o 3.

C Establecerqueenecuacionescomolaspresentadasen P seaplicalapropiedad4o3pararesolverlas;tambiénhayqueexplicarquesepuedeaplicarlapropiedad4deunaformaprácticaenlaquesehacequeelcoeficientedelaincógnitasea1ysedivideelnúmerodelotromiembroporelcoeficienteoriginaldelaincógnita.Aesteprocesonoseledebellamartransposicióndetérminoyaqueelcoeficientenoesuntérmino.

Paraestaclaseseaplicarálapropiedad4deunaigualdadpararesolverunaecuacióndeprimergrado.Aligualquesehizoconlaspropiedades1,2y3alofrecerunmétodoprácticodesuaplicaciónenlaresolucióndeunaecuacióndeprimergrado,tambiénsepresentaunaformaprácticadeaplicacióndelapropiedad4.


2. a) 7x = 14 x = 14 ÷ 7 x = 2

d) –x = 9 x=9÷(–1) x = –9


97

Uni

dad

5

Para poder aplicar la propiedad 3 o 4 solo tiene que haber un término en el miembro izquierdo.


a) 5x + 7 = –8 b) –2x – 6 = 10 c) x5 – 7 = 3

a) 5x + 7 = –85x = –8 – 75x = –15x = –15 ÷ 5 x = –3

b) –2x – 6 = 10–2x = 10 + 6–2x = 16

x = 16 ÷ (–2) x = –8

c) x5 – 7 = 3x5 = 3 + 7

x = 10 × 5 x = 50

x5 = 10

1. Completa el recuadro en las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) 4x + 3 = 154x = 15 –4x = 12

x = 12 ÷ x = 3

b) –2x – 6 = 10–2x = 10 + –2x = 16

x = 16 ÷ x =


a) 2x + 1 = 5 b) –x – 8 = 6 d) x2 – 3 = 4c) 2x15 – 4 = –8

c) – 8 = 4

x = 4 +

x = 12 ×

x =

x =

x10

1101

10

2.8 Solución de ecuaciones aplicando más de una propiedad

Para resolver ecuaciones como las anteriores se tiene que

1. Transponer las cantidades conocidas al miembro derecho.2. Realizar las operaciones indicadas.3. Aplicar la propiedad 3 o 4 para despejar x.

4

3 6 8

x = 2 x = –14 x = –30 x = 14

(–2)

–8

12

10

120

2

Indicador de logro

Fecha:

28

R

S

PU5 2.8

Resuelve:a) 5x + 7 = –8 b) –2x – 6 = 10 c) x5 – 7 = 3

a) 5x + 7 = –8 5x = –8 – 7 5x = –15 x = –15 ÷ 5 x = –3

b) –2x – 6 = 10 –2x = 10 + 6 –2x = 16 x=16÷(–2) x = –8

c) x5 – 7 = 3 x5 = 3 + 7 x5 = 10 x = 10 × 5 x = 50

Para poder aplicar la propiedad 3 o 4 solo tienequehaberuntérminoenelmiembroizquierdo.

1. a)3y4b)6,(–2)y–8c)8,12,10y120

2.a) x = 2b) x = –14c) x = –30d) x = 14


2.8Resuelveunaecuacióndeprimergradoaplicandomásdeunapropiedaddeunaigualdad.

PropósitoSecuencia

P , S Aplicar más de una propiedad de una igualdad para resolver las ecuaciones. En caso de que los estudiantespresentendificultadespararesolverlasecuaciones,puedeorientarlosparaqueseapoyendela informaciónquesepresentaenelrecuadrodepista.Hayquehacerénfasisenquenosepuedeaplicardirectamentelapropiedad3o4hastaquesetengaeltérminoconlaincógnitasoloenunode los miembros.

C Establecerlospasospararesolverecuacionescomolaspresentadas en el P .

Desde la clase 2.3 solo se han resuelto ecuaciones deprimergradoquerequierendelaaplicacióndeunasolapropiedad.Porloqueahorasetrabajaráconecuacionesenlasquesedebenaplicar2pro-piedadespararesolverlas.


2. a) 2x + 1 = 5 2x = 5 – 1 2x = 4 x = 4 ÷ 2 x = 2

d) x2 – 3 = 4

12 x = 4 + 3 12 x = 7 x = 7 × 2 x = 14


98


4 + 2x

4

3x 3x − 2x = 4 transponiendo 2x al miembro izquierdo.

x

=

=

Llena los espacios en blanco, en la solución de las siguientes ecuaciones:

a) b)2424 + x

5x x4x = 24

5x

x

==

= 6

– 24 − 3

3x + 246x − x

3xx

6x + 3=

==

=

21 7

3x

La transposición de términos es igualmente válida para términos que incluyen la incógnita.

Solución.

a) b)

24 24 − 324 + x 3x + 24

5x x 6x − 4x = 24 3x

x

5x 6x + 3

x

= =

==

= =

=

a) 2x = –3 + x b) x = –2x – 9 d) 8x + 2 = 3x + 7

1. Completa los recuadros en blanco, en la solución de las siguientes ecuaciones:

7x + 12 2x − 1112 −11 − 3

12 0

3x 9x + 33x − 0 9x 2x

x x

= =

= =

= =

= =

a) b)

c) –x – 2= –20 + 5x

Resuelve la ecuación: 3x = 4 + 2x

Para resolver una ecuación con la incógnita en ambos miembros se tiene que

1. Transponer todos los términos que tienen x al miembro izquierdo.2. Transponer todas las cantidades conocidas al miembro derecho.3. Realizar las operaciones indicadas. 4. Aplicar la propiedad 3 o 4 para despejar x.

2.9 Solución de ecuaciones con incógnitas en ambos miembros

–

x = –3 x = –3 x = 3 x = 1

–4x7x

–3

–147x–2

2

Indicador de logro

Fecha:

30

S R

PU5 2.9

Resuelvelaecuación:3x = 4 + 2x

3x = 4 + 2x ... Transponiendo3x −2x = 4 2x al miembro x =4izquierdo.

E a) 5x = 24 + x5x – x = 24 4x = 24 x = 6

b) 6x + 3 = 3x + 24 6x −3x =24−3 3x = 21 x = 7

1. a) 7x, –4x y –3 b) –, 7x,–14y–2

2. a) x = –3 b) x = –3 c) x = 3 d) x = 1

2.9Resuelveunaecuacióndeprimergradoconincógnitasenambosmiembros.


PropósitoSecuencia

P , S Aplicar las propiedades de una igualdad para resol-ver la ecuación. La solución de este tipo de ecuacionespuederepresentarproblemasyaqueeslaprimeravezquelos estudiantes aplicarán las propiedades de una igualdad utilizandounacantidaddesconocidarepresentadaporunavariable;portanto,sedebeenfatizarquelaspropiedadessiguensiendoigualmenteválidasenestoscasos.

C Establecer lospasospararesolverecuacionesquetie-nenincógnitasenambosmiembros.

Enestaclasesepresentanecuacionesquetenganincógnitasenambosmiembros.Alprincipioestetipodeecuacionespuedenpresentardificultadesalestudianteporelhechodequelaaplicacióndelas propiedades se hace utilizando una cantidaddesconocida (la incógnita), razón por la cual seabordaestetipodeecuacionesunavezqueloses-tudianteshanalcanzadociertogradodedominiode las propiedades de una igualdad.


2. a) 2x = –3 + x 2x – x = –3 x = –3

d) 8x + 2 = 3x + 7 8x – 3x = 7 – 2 5x = 5 x = 5 ÷ 5 x = 1


99

Uni

dad

5


a) x − 4 = 3 b) x − 2 = −5 c) x + 5 = 8

d) x + 6 = −2 e) 4x = 16 f) −2x = 8

g) 13 x = 5 h) −

12 x = 6 i)

14 x = 6


a) 3x + 8 = −4 b) 2 − 3x = 14 c) 5x + 7 = 32

d) −4x − 2 = −18 e) −2x − 7 = 1 f) 5x − 3 = 12


a) 2x − 3 = −x −9 b) 3 = 5x − 12 c) −3x − 11 = x + 5

d) 8x − 30 = 2x − 6 e) 11x − 15 = 12 + 2x f) x + 13 = 43 – 14x

2.10 Practica lo aprendido

x = 7 x = –3 x = 3

x = –8 x = 4 x = –4

x = 15 x = –12 x = 24

x = –4 x = –4 x = 5

x = 4 x = –4 x = 3

x = –2 x = 3 x = –4

x = 4 x = 3 x = 2

2

Indicador de logro

32


2.10Resuelveproblemascorrespondientesaecuacionesdeprimergrado.

1. a) x – 4 = 3 x = 3 + 4 x = 7


2. a) 3x + 8 = –4 3x = –4 – 8 3x = –12 x = –12 ÷ 3 x = –4

3. a) 2x – 3 = –x – 9 2x + x = –9 + 3 3x = –6 x = –6 ÷ 3 x = –2

c) x + 5 = 8 x = 8 – 5 x = 3

e) 4x = 16 x = 16 ÷ 4 x = 4

h)– 12 x = 6 x =6×(–2) x = –12

f)5x – 3 = 12 5x = 12 + 3 5x = 15 x = 15 ÷ 5 x = 3

f)x + 13 = 43 – 14x x + 14x = 43 – 13 15x = 30 x = 30 ÷ 15 x = 2


100

Para resolver una ecuación que incluye signos de agrupación como la anterior, se debe hacer lo siguiente:

1. Aplicar la propiedad distributiva para suprimir los paréntesis.2. Transponer todos los términos que tienen x al miembro izquierdo y todas las cantidades conocidas

al miembro derecho.3. Realizar las operaciones indicadas.4. Aplicar la propiedad 3 o 4 para despejar x.

Resuelve la ecuación: 2(x + 3) + 4 = 20 La propiedad distributiva establece quea(b + c) = a × b + a × c(b + c) × a = b × a + c × a

20202020 − 10105

202x + 2 × 3 + 4

2x + 6 + 42x + 10

2x2xx

2(x + 3) + 4======

=

666 + 28

3 + x − 5x − 2

x x

====

a) 3 + (x − 5) = 699

2–2

4 − x + 3−x + 7

−x x

==

==

b) 4 − (x − 3) = 9

–x = 9 – 7

Algunos ejemplos de solución de ecuaciones con signos de agrupación son:

1. Llena los espacios en la solución de las siguientes ecuaciones:


c) 2(x + 4) + 2 = 14

a) b)30 4730 4730 − 0 47 −08 −15

30 473x − + 12 −2x + + 5

3x + −2x + 3x −2x 3x −2x x x

3(x − 2) + 12 −2(x − 6) + 5= == == == == =

= =

d) −3(x − 1) − 2 = 10b) 5 − (x − 4) = 12a) 3 + 4(x − 2) = 7

2.11 Solución de ecuaciones con signos de agrupación

x = 3 x = –3 x = 2 x = –3

66

624

1217

1730

2

Indicador de logro

Fecha:

34

S R

PU5 2.11

EResuelve:2(x + 3) + 4 = 20

2(x + 3) + 4 = 202x + 2 × 3 + 4 = 20 2x + 6 + 4 = 20 2x + 10 = 20 2x =20−10 2x = 10 x = 5

Propiedaddistributiva: a(b + c) = a × b + a × c(b + c) × a = b × a + c × a

a)3+(x−5)=6 3 + x−5=6 x−2=6 x = 6 + 2 x = 8

b)4−(x−3)=94−x + 3 = 9−x + 7 = 9−x=9−7−x = 2 x=−2

1.a)6,6,6y24b)12,17,17y30

2. a) x = 3 b) x = –3 c) x = 2 d) x = –3


2.12Resuelveunaecuacióndeprimergradoqueincluyesignosdeagrupación.

Propósito

Secuencia

P , S Resolverlaecuación,primerorealizandoelproductoindicadoparaluegoresolverlaecuaciónresultantetalcomosehahechoenlasclasesanteriores.Enlaclase2.4delaUnidad4losestudiantesaprendieronlaformaderea-lizarelproductodeunaexpresiónalgebraicacondostérminosporunnúmero.Puededarsequealgunosestudiantesnorealicenelproducto,sinoquepasenel4arestaralmiembroizquierdoyluegodividanpor2enambosmiembrosyquedespuéspasenel3arestaralmiembroizquierdo.Encasodeloanterior,aceptarsusoluciónyaqueestotalmenteválida,yenlapizarrapuedenquedarescritasambassoluciones.Tambiénesrecomendableexplicaralosestudiantesquesepuedeutilizarcualquierletrapararepresentaralaincógnitayquenonecesariamentedebeserx.

C Enelnumeral1sepuedereferirtambiéncomopropiedaddistributivaalamultiplicacióndeunaexpresiónalgebrai-cacondostérminosporunnúmero.Sialgúnestudiantepresentalaformadesolucióndelaecuaciónenlaquenoserealizaelproductoindicado,entoncesenestepuntotambiénesimportantedecirqueesposibleresolverlaecuacióndeesaforma.

Unavezqueseresolvieronecuacionesdeprimergradoatravésdelautilizacióndirectadelaspropiedadesdeunaigualdad,secomenzaráconelestudiodeaquellasconcaracterísticasespeciales.Paracomenzarconestetipodeecua-ciones,enestaclasesetrabajanaquellasquepresentansignosdeagrupación.

Solucióndealgunosítems:2.a)3+4(x – 2) = 7 3 + 4x – 8 = 7 4x – 5 = 7 4x = 7 + 5 x = 12 ÷ 4 x = 3

d)–3(x – 1) – 2 = 10 –3x + 3 – 2 = 10 –3x + 1 = 10 –3x = 10 – 1 x=9÷(–3) x = –3


101

Uni

dad

5

a) 4x = 2 b) 5x + 1 = −6

Resuelve las siguientes ecuaciones:El cociente de dos números puede ser expresado como una fracción.

Cuando las respuestas son números fraccionarios también se pueden representar en forma de núme-ros decimales.

−7−7 ÷ 5

−6 −15xxx = – 75 o x = –1.4

5x==

=b) 5x + 1 = −6

2 ÷ 4 o x = 0.5

xx

==

a) 4x = 2

12

La solución de una ecuación de primer grado puede ser fraccionaria positiva o negativa, decimal posi-tiva o negativa.

Resuelve la siguiente ecuación: 8x + 10 = 3 − 6x.

3 − 6x

−7

−7 ÷ 14

x = − 12 o x = −0.5

8x + 10

14x

x

x = − 714

=

=

=

Solución.


a) 6x = 2 b) 2x + 2 = 5 c) –25x – 8 = 4 – x

e) –9 = 3 + 5(x – 2) f) 8(4x – 1) – 4 = 3(1 – x) d) –2 + 7(x + 1) = 9

2.12 Ecuaciones con solución fraccionaria o decimal

13

x = 32x =12x = –

47

x = 37x =25x = –

2

Indicador de logro

Fecha:

36

S

PU5 2.12

EResuelve:a) 4x = 2 b) 5x+1=−6

a) 4x = 2 x = 2 ÷ 4 x = 12 o x = 0.5

b) 5x+1=−6 5x=–6−1 5x = –7 5 = –7 ÷ 5 x=– 12 o x = –1.4

Elcocientededosnúmerospuedeserexpresadocomounafracción.

8x +10=3−6x8x + 6x=3−10 14x=−7 x=−7÷14 x=− 714 x=– 12 o x = –0.5

R a) x = 13 b) x = 32 c) x =– 12d) x = 47 e) x =–

25f)x = 37


2.12Resuelveunaecuacióndeprimergradoquetienesolucionesfraccionariasydecimales.

PropósitoSecuencia

P , S Resolver lasecuacionescuyassolucionesson frac-cionariasodecimales.Porlogeneralseexpresalasoluciónenformadefracción.Cuandoestafracciónnorepresentaundecimalfinito,noesnecesariorepresentarloenlafor-ma decimal.

Siguiendo con las ecuaciones que presentan ca-racterísticasespeciales,enestaclasesetrabajanecuacionescuyasoluciónesfraccionaria.Laecua-ción puede ser de cualquiera de los tipos antesvistospero lo importanteeselhechodeque susoluciónesfraccionaria,positivaonegativa.


a) 6x = 2 x = 2 ÷ 6 x = 26 x = 13

f)8(4x –1)–4=3(1–x) 32x – 8 – 4 = 3 – 3x 32x – 12 = 3 – 3x 32x + 3x = 3 + 12 35x = 15

x = 1535

x = 37


102

Resuelve la ecuación: 0.25 − 0.02x = 0.03x + 0.2.


Resuelve la ecuación: 0.5x − 2.5 = 1.5.

0.03x + 0.2 3x + 2020 − 25–5

1

0.25 − 0.02x25 − 2x

−2x − 3x−5x

x = –5–5x

====

=

Si los números fueran enteros sería más fácil despejar x.

Cuando se mul� plica un número decimal por 10, 100 o por 1 000, se mueve el punto decimal a la derecha en función del número de ceros.

Ejemplos:• 0.5 × 10 = 5• 1.45 × 100 = 145• 0.642 × 1 000 = 642

a) 0.3x − 0.2 = 3.4 b) 0.05x − 0.15 = 0.5 c) 1.1x + 1.7 = 0.6x + 0.2 d) 0.02x + 0.04 = 0.18 − 0.05x

Todos los coefi cientes y términos decimales se transforman a números enteros al mul� plicar por 10 ambos miembros de la ecuación. Se debe mul� plicar todos los términos porque se aplica la Propiedad 3 de una igualdad.

Para conver� r en entero los números decimales en la ecuación, se eligió la potencia de 10 con igual can� dad de ceros que el término con mayor can� dad de cifras a la derecha del punto decimal.

Se puede resolver sin cambiar los decimales en enteros.0.5x − 2.5 = 1.5

0.5x = 1.5 + 2.5 0.5x = 4

x = 4 ÷ 0.5 x = 8

1.510 × 1.51540

8

0.5x − 2.510(0.5x − 2.5)

10 × 0.5x − 10 × 2.55x

x

====

=x = 40 ÷ 5

Para resolver ecuaciones que � enen coefi cientes y términos decimales es conveniente transformar a ecuaciones con coefi cientes enteros, mul� plicando cada uno de los términos por 10, 100, 1 000 o según el número máximo de decimales que presenten los términos, luego se despeja la x.

2.13 Ecuaciones con términos y coefi cientes decimales

Solución.

x = 12 x = 13 x = –3 x = 2

2

Indicador de logro

Fecha:

38

S

P EU5 2.13

Resuelve:0.5x−2.5=1.5

Sepuederesolverdedosformas:

Con decimales0.5x − 2.5 = 1.5 0.5x = 1.5 + 2.5 0.5x = 4 x = 4 ÷ 0.5 x = 8

Semultiplicapor1000.25−0.02x = 0.03x + 0.225−2x = 3x + 20 –2x − 3x = 20 – 25 –5x = –5 x = –5–5 x = 1

Cambiando a enteros 0.5x − 2.5 = 1.510(0.5x − 2.5) = 10 × 1.510 × 0.5x−10×2.5=15 5x = 40 x = 40 ÷ 5 x = 8Seeligiólapotenciade10conigualcantidaddecerosqueeltérminoconmayorcantidaddecifrasaladere-cha del punto decimal.

Si los números fueranenterosseríamásfácildespejarx.

R a) x = 12 b) x = 13

c) x = –3 d) x = 2

2.13Resuelveunaecuacióndeprimergradoconcoeficientesytérminosdecimales.


Propósito

Secuencia

P , S Resolverlaecuaciónconvirtiendolostérminosycoeficientesdecimalesaenteros.Losestudiantesyaconocenlaspotenciasde10ylaspropiedadesdeunaigualdadporloquecuentanconlasherramientasnecesariasparare-solverelproblema.Tambiénsepuedehacerreferenciaalosrecuadrosdepistaypresaberparaquelessirvancomoapoyo.Laecuaciónpuedeserresueltadeunasegundaformaenlaquenosemultipliqueporunapotenciade10,yentodoelprocesoserealicenoperacionescondecimales.Estasoluciónesigualmenteválida.

C Establecerqueunamaneraderesolverunaecuaciónquetienetérminosycoeficientesdecimalesesmultiplicarambosmiembrosporunapotenciade10.Sialgúnestudianteharesueltolaecuaciónsinmultiplicarporlapotenciade10,esimportanteaclararqueesteprocesoesigualmenteválido.

Paraestaclaseseabordalasolucióndeecuacionesquetienentérminosycoeficientesdecimales.Losestudiantesenprimariaaprendieronsobrelaspotenciasde10porloquesehaceusodeesehechoparamostrarlaformaderesolverunaecuaciónconestacaracterística.Opcionalmentesepuedemostrarlaformaderesolverlaecuaciónsinhacerusodelaspotenciasde10yutilizandolosconocimientosdeoperacionescondecimalesquelosestudiantesadquirieronen primaria.


a) 0.3x – 0.2 = 3.4 3x – 2 = 34 3x = 34 + 2 3x = 36 x = 12

d) 0.02x + 0.04 = 0.18 – 0.05x 2x + 4 = 18 – 5x 2x + 5x = 18 – 4 7x = 14 x = 2


103

Uni

dad

5

Para resolver ecuaciones con coeficientes y términos fraccionarios se convierten tanto los términos como los coeficientes en enteros, multiplicándolos por el mcm de los denominadores y luego se des-peja x.



El mcm de 3 y 6 es 6. El mcm de 2 y 4 es 4.

6 13 x – 5 = 6 × 16 x

2x − 30 = x2x − x = 30

4 × x – 22 = 4 × 14 x

Resuelve la ecuación: – x + 212 = 1

24x

a) 13 x − 5 = 16 x b)

x – 22 =

14 x

a) 13 x − 5 = 16 x b)

x – 22 =

14 x

No cometas el siguiente error:

–2(x + 2) = –2x + 2 ¡Es incorrecto! –2(x + 2) = –2x – 4 ¡Es correcto!

Para transformar dos o más fracciones en enteros, se multiplican por el mcm de los denominadores. En una ecuación al multiplicar ambos miembros por el mcm, se coloca el signo de agrupación.

Si los números fueran enteros sería más fácil despejar x.

a) 12 x – 3 = 14 x b)

34 x + 5 =

18 x c)

x – 33 =

16 x

d) 4 – x3 = x9 e)

35 x – 1 = –

310x f) –

x + 52 =

34

2.14 Ecuaciones con términos y coeficientes fraccionarios

Solución.

6 × 13 x – 6 × 5 = 6 × 16 x

63 x – 30 =

66 x

x = 30

42 (x – 2) =

44 x

2(x – 2) = x2x – 4 = x2x – x = 4

x = 4

– x + 212 = 1

24x24 × – x + 212 = 24 ×

124x

– 2412 (x + 2) = 2424x

–2(x + 2) = x –2x – 4 = x –2x – x = 4 –3x = 4 x = – 43

132x = –

109x =

x = 12 x = –8 x = 6

x = 3

2

Indicador de logro

Fecha:

40

E

S

R

PU5 2.14

Resuelve:a)13 x – 5 = 16 x b) x−22 =

14 x

mcm: 6

a) 13x – 5 = 16x

6 13x – 5 = 6 × 16 x

6 × 13x – 6 × 5 = 6 × 1 6 x

63x – 30 = 66x

2x – 30 = x 2x – x = 30 x = 30

mcm: 4 b) x−22 =

14x

4 × x−22 = 4 × 14 x4

2(x – 2) = 44 x 2(x – 2) = x 2x – 4 = x 2x – x = 4 x = 4

Se calculó el mcm de los denominadores paramultiplicarambosmiembros.

a) x = 12 b) x = –8c) x = 6 d) x = 3

– x + 212 = 1

24 x24× – x + 212 = 24 ×

124 x

– 2412 (x + 2) = 2424 x

–2(x + 2) = x–2x – 4 = x–2x – x = 4–3x = 4–x=– 43


2.14Resuelveunaecuacióncontérminosycoeficientesfraccionarios.

PropósitoSecuencia

P , S Resolver la ecuación convirtiendo los términos ycoeficientes fraccionarios a enteros. Los estudiantes yaaprendieronelcálculodelmcmylaspropiedadesdeunaigualdadporloquecuentanconlasherramientasnecesa-rias para resolver el problema. También se puede hacerreferencia al recuadro de pista para que les sirva comoapoyo.

C Esimportantehacerénfasisalosestudiantesdequenocometanelerror:–2(x + 2) = –2x +2,esdecir,elnúmerodebemultiplicarseporlosdostérminosdelaexpresiónal-gebraica, tal como se muestra en el libro de texto.

Parafinalizarconlasecuacionesquetienenalgu-na característica especial se trabaja con las quetienen términos y coeficientes fraccionarios. Losestudiantespreviamentehanaprendidosobreelmcm,por loquesehaceusodeesehechoparamostrarcómoresolverunaecuaciónconestaca-racterística. Básicamente la idea es convertir lasecuacionesdeestetipoenecuacionescontérmi-nosycoeficientesenteros.


a) 12 x – 3 = 14 x

4×( 12 x – 3) = 4 × 14 x

4 × 12 x – 4 × 3 = 4 × 14 x

2x – 12 = x 2x – x = 12 x = 12

f)– x + 52 = 34

4 × – x + 52 = 4 × 34

– 42 (x + 5) = 44 × 3

–2(x + 5) = 3 –2x – 10 = 3 –2x = 3 + 10 –2x = 13 x=– 132


104

2.15 Practica lo aprendido

Realiza lo que se te pide en cada numeral:


a) 3 + 4(x − 2) = −3 − 5(x − 5) b) 3x + 5(x + 2) = 4(x + 3) + 6

c) 5 − 4(3x + 1) = 1 + 4(2x + 20) d) 9(x − 3) = 2(x − 5) − 3

e) 5(2x − 3) − 6 = 4x + 3 f) 3(x − 2) + x = 5(x − 3) + 9

2. Resuelve:

a) 0.5x + 3 = 0.4x + 3.3 b) 3 + 0.8x = 2.4 + 0.9x

c) 0.2x − 0.03 = 0.17x + 0.21 d) 1.31x + 0.04 = 1.35x − 0.04

e) 0.05x − 0.034 = 0.015x + 0.0001 f) 2.25x + 1.97 = 3.75x − 4.03

3. Resuelve:

a) 12 x = 14 x +

52 b) –

x3 –

56 = –

43

c) – 14 x = 54 x +

58 d)

724 +

512 = 2x

e) x + 12 = x4 f)

5x – 43 = −

16

g) − x + 32 – x4 =

32 h)

x + 512 =

x + 724

x = 3 x = 2

x = –4 x = 2

x = 4 x = 0

x = 3 x = 6

x = 8 x = 2

x = 1 x = 4

x = 10

x = –2

x = –4 x = –3

512x = – 1748x =

32x =

710x =

2

Indicador de logro

42


2.14Resuelveproblemascorrespondientesaecuacionesdeprimergrado.

1.a)3+4(x –2)=–3–5(x – 5) 3 + 4x – 8 = –3 – 5x + 25 4x – 5 = –5x + 22 4x + 5x = 5 + 22 9x = 27 x = 3

1.f)3(x – 2) + x=5(x – 3) + 9 3x – 6 + x = 5x – 15 + 9 4x – 6 = 5x – 6 4x – 5x = –6 + 6 –x = 0 x = 0

3. h) x + 512 = x + 7

2424 × x + 512 = 24 ×

x + 724

2(x + 5) = x + 7 2x + 10 = x + 7 2x – x = 7 – 10 x = –3


2.f)2.25x + 1.97 = 3.75x – 4.03 225x + 197 = 375x – 403 225x – 375x = –403 – 197 –150x = –600 x = 4

2. a) 0.5x + 3 = 0.4x + 3.3 5x + 30 = 4x + 33 5x – 4x = 33 – 30 x = 3

3. a) 12 x = 14 x +

52

4 × 12 x = 4 × 14 x + 4 ×

52

2x = x + 10 2x – x = 10 x = 10


105

Uni

dad

5

Resuelve los siguientes problemas:

1. Un comerciante hace un balance de pérdidas y ganancias cada trimestre. Si en el primer mes tuvo una ganancia de 1,800 dólares, en el segundo mes una pérdida de 600 dólares, y en el total del tri-mestre tuvo una ganancia de 7,000 dólares, ¿cuánto había ganado o perdido en el tercer mes?

2. Al restarle 5 al número x, resultó –12. Determina el valor de x.

1.

2.

35

16 x

Sea x: El número de veces que ha usado la cancha.

R: Se ha usado 19 veces.

3535 − 1619

16 + xxx

===

Sea x: El número buscado.

R. El número es 5.

−3−3 + 85

x − 8xx

===

Antes de escribir la ecuación te puedes auxiliar de un gráfi co.

Resuelve las siguientes situaciones:

1. Para jugar en un campo de fútbol privado se paga una membresía de 16 dólares y por cada vez que se use se paga un dólar más, ¿cuántas veces se ha usado si se ha pagado 35 dólares?

2. Al restarle 8 al número x, resulta –3. Encuentra x.

x−3

−8

3.1 Aplicación de ecuaciones uti lizando una propiedad de las igualdades

Para resolver problemas mediante la aplicación de ecuaciones de primer grado se � ene que

1: Defi nir qué can� dad se representa con la incógnita.2: Escribir la ecuación.3: Resolver la ecuación.4: Dar la respuesta.

Ganó5,800dólares

Elvalordex es –7

3 Aplicación de ecuaciones de primer grado

Indicador de logro

Fecha:

44

S

RPU5 3.1

1.Sea x lapérdidaogananciaendólareseneltercermes.1,800+(–600)+x = 7,000 x = 5,800Ganó5,800dólares.

2.Sea xelnúmerobuscado. x – 5 = –12 x = –7Elnúmerobuscadoes–7.

Resuelve:1. Precio de membresía de la cancha: $16. Tarifaporuso:$1. ¿Cuántasvecessehausadosisehanpagado35dólares?2.Alrestarle8alnúmerox, resulta –3. Encuentra x.

1. Sea xelnúmerodevecesquehausadolacancha. 16 + x = 35 x = 35 – 16 x=19R.Sehausado19veces.2. Sea xelnúmerobuscado. x – 8 = –3 x = –3 + 8 x=5R.Elnúmeroes5. Tarea: página 107 del Cuaderno de

Ejercicios.

3.1Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuelveutilizan-do una propiedad de una igualdad.

PropósitoSecuencia

P , S Dar respuesta a las interrogantes de cada uno de losnumeralesatravésdelaaplicacióndeecuacionesdeprimergradoque se resuelvenutilizandounapropiedadde las igualdades; en la aplicación es importante elegirconvenientemente la cantidad que se representa con laincógnitayaclararquerepresentaalamisma.Tambiénesimportanteorientaralosestudiantessobrelaelaboracióndeungráficoodibujoquepuedeservir comounapoyopara encontrar una respuesta a la interrogante planteada.

En esta lección se trabajará la aplicación de lasecuaciones de primer grado a situaciones del en-torno.Pararesolverlasseutilizaunapropiedaddeuna igualdad.


1. Sea x lapérdidaogananciaendólareseneltercer mes.

1,800+(–600)+x = 7,000 1,800 – 600 + x = 7,000 1,200 + x = 7,000 1,200 + x = 7,000 x = 7,000 – 1,200 x = 5,800Ganó5,800dólares.

2. Sea x elnúmerobuscado. x – 5 = –12 x = –7Elnúmerobuscadoes–7.


106

Responde la pregunta en la siguiente situación:

Miguel tiene una plantación de papaya, él ha cortado 3 árboles debido a que estaban produciendo frutos de mala calidad. Cada uno de los árboles restantes tiene 5 papayas cada uno, produciendo una cosecha total de 355. ¿Cuántos árboles tenía Miguel al principio?

En la situación lo primero que se debe determinar es la variable, para luego establecer las cantidades que guardan una relación de igualdad. En este caso, la cantidad de árboles por la cantidad de papayas que produce un solo árbol es igual a la cantidad total de papayas producidas, de manera que el proceso de solución de la situación es:

Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones de primer grado:

1. En una microempresa se alcanzó la meta de venta y el dueño decidió pagar 50 dólares más de la base salarial a cada trabajador. Para pagar a 3 trabajadores se necesitó 1,425 dólares, ¿cuál es la base sa-larial de cada trabajador?

2. Antonio es ejecutivo de ventas de teléfonos, como no vendía; decidió hacer un descuento de 20 dó-lares, vendiendo así 12 unidades y la venta total alcanzó 2,400 dólares. ¿Cuánto costaba el teléfono antes del descuento?

3. Ana tiene una librería, ella obtiene $5 de ganancia por cada libro que vende y sus gastos mensuales de funcionamiento son de $200, ¿cuál es el mínimo número de libros que se debe vender?

Sea x : El número de árboles que tenía Miguel inicialmente.

R. 74 árboles

355

355

355 + 15

37074

5(x − 3)5x − 15

5x5xx

=

=

=

==

Cantidad de árboles de papaya x

Cantidad de árboles restantes x – 3

Cantidad de papayas 5(x – 3)

3.2 Aplicación de ecuaciones utilizando más de una propiedad de las igualdades

Labasesalarialdecadatrabajadores425dólares

Elteléfonosindescuentocuesta220dólares

Debevendercomomínimo41libros

3

Indicador de logro

Fecha:

46

S

RPU5 3.2

Se han cortado 3 árboles. Cada árbol restante tiene 5 papayas. La cosecha total después decortarlosárboleses355papayas.¿Cuántosár-boles había al principio?

La base salarial de cada trabajador es 425dólares.

El costo del teléfono sin el des-cuentoera220dólares.

3(x + 50) = 1,425

12(x – 20) = 2,400 x = 220

x = 425

1. Sea x la base salarial de cada trabajador.

2. Sea x el costo del teléfono sin des-cuento.

Sea x el número de árboles que teníaMiguelinicialmente.

R. 74 árboles

355355355 + 1537074

5(x −3)5x − 15

5x5xx

=====


3.2Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuelveutilizandomás de una propiedad de una igualdad.

PropósitoSecuencia

P Practicar la aplicación de ecuaciones que se resuelvenaplicando más de una propiedad a situaciones del entorno.

Paraestaclaseseaplicanecuacionesquerequie-renlautilizacióndemásdeunapropiedaddeunaigualdadparasusolución;sedifiereconlaestruc-turadelasclasesanterioresporelhechodequeno cuenta con una C ,peroestosedebeaqueenla clase anterior se establecieron los pasos para la aplicacióndeunaecuaciónpararesolverunpro-blema del entorno.


1. Sea x la base salarial de cada trabajador.

3(x + 50) = 1,425 3x + 150 = 1,425 3x = 1,425 – 150 3x = 1,275 x = 425

La base salarial de cada trabaja-dores425dólares.

2. Sea xelcostodel teléfonosindescuento.

12(x – 20) = 2,400 12x – 240 = 2,400 12x = 2,400 + 240 12x = 2,640 x = 220

El costo del teléfono sin el des-cuentoes220dólares.

3. Sea xlacantidadmínimadeli-brosquedebevender.

5x = 200 x = 200 ÷ 5 x = 40

Con40librosobtienejustamenteloqueinviertemensualmenteporloquedebevendercomomínimo41librosparaempezaratenerga-nancias.


107

Uni

dad

5

Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones de primer grado:

1. Una empresa que se dedica al transporte de mercadería cobra por peso en libras. Ellos trasportan 5 reproductores de DVD y 8 televisores LCD, que pesan en total 106 libras, y se sabe que un televisor pesa 10 libras más que un DVD. Al momento de facturar los trabajadores notan que olvidaron tomar el peso por unidad de cada tipo de electrodoméstico. ¿Cuál es el peso de un reproductor y un tele-visor?

2. La suma de dos números naturales consecutivos es 13, ¿cuáles son los números?

3. La suma de tres números consecutivos es 18, ¿cuáles son los números?

Responde la pregunta en la siguiente situación:

José trabaja a medio tiempo en una ferretería donde le pagan 4 dólares por día, si trabaja día de sema-na (de lunes a viernes); 6 dólares por día, si es fin de semana (sábado y domingo). Si en el mes trabajó 20 días y le pagaron 84 dólares, ¿cuántos días de semana y fines de semana trabajó?

Sea x : El número de días de semana que José trabajó.

R. 18 días semana y 2 días de fines de semana.

848484

−3618

84 − 120

4x + 6(20 − x)4x + 120 − 6x

120 − 2x

−2xx

−2x

===

==

=

Días de semana

Día de fin de semana

Número de días x 20 – x

Pago 4x 6(20 – x)

Pago Total 4x + 6(20 – x)

En la situación lo primero que se debe determinar es la variable, para luego establecer las cantidades que guardan una relación de igualdad; en este caso, la cantidad de dinero que gana José. Los días de trabajo en la semana, más lo que gana trabajando los días de fin de semana, es su pago mensual. De manera que el proceso de solución de la situación es:

3.3 Aplicación de ecuaciones que incluye una incógnita en términos de otra

Se dice que Diofantos resolvía ecua-ciones seleccionando incógnitas de manera muy efectiva.

Por ejemplo: “Hay dos números. Uno es 20 unidades mayor que el otro y la suma de ambos es 80. Encuentralos.” Para resolver esta ecuación, Diofantos consideró al número mayor “x + 10”, y al número menor “x – 10”.

Otro ejemplo: “Hay tres números. La suma de dos de estos tres núme-ros es 20, 30 y 40 respectivamente. Encuentra cada uno de los tres nú-meros”. Para resolver esto, él con-sideró la suma de tres números “x”, y representó los tres números como “x – 40”, “x – 30” y “x – 20”.

Keirinkan. (2015).Guía para el maestro.

Elreproductorpesa2librasyeltelevisor12libras

Losnúmerosson6y7

Losnúmerosson5,6y7

3

Indicador de logro

Fecha:

48

S

RPU5 3.3

Pago día de semana: $4 Pagodíadefindesemana:$6Sienelmestrabajó20díasylepagaron84dólares,¿cuántosdíasdesemanayfinesdesemanatrabajó?

Sea xelnúmerodedíasdesemanaqueJosétrabajó.

R.18díasdesemanay2díasdefinesdesemana.

844x+6(20−x) =844x+120−6x =84120−2x =

−36−2x =18x =

84−120−2x =Elreproductorpesa2librasyeltelevisor12 libras.

1. Sea x el peso de un reproductor de DVD.

Por tanto x + 10 el peso de un

televisor. 5x+8(x + 10) = 106

x = 2Pesodeuntelevisor x + 10 = 2 + 10 = 12

Tarea: página 109 del Cuaderno de Ejer-cicios.

3.3Aplicaunaecuacióndeprimergradoconunaincógnitaentérminosdeotraaunasituacióndelentorno.

PropósitoSecuencia

P Practicarlaaplicacióndeecuacionesqueseresuelvenaplicando más de una propiedad a situaciones del entor-no.Solucióndelosítems.

Siguiendoconlasecuenciadelaaplicacióndedi-ferentestiposdeecuacionesdeprimergradoasi-tuacionesdelentorno;paraestaclaseseutilizanecuacionesquetienenunaincógnitaentérminosde otra.


1. Sea x el peso de un reproduc-tor de DVD.

Por tanto: x + 10 el peso de un televisor.

5x+8(x + 10) = 106 5x + 8x + 80 = 106 13x = 106 – 80 13x = 26 x = 2Pesodeuntelevisor. x + 10 = 2 + 10 = 12El reproductor de DVD pesa 2 li-brasyeltelevisor12libras.

2. Sea xelprimernúmero. Por tanto: x +1eselotronúmero. x+(x + 1) = 13 x + x + 1 = 13 2x = 13 – 1 2x = 12 x = 6Elotronúmero: x + 1 = 6 + 1 = 7Losnúmerosson6y7.

3. Sea xelprimernúmero. Por tanto: x +1elsegundonúmeroy x +2eltercernúmero. x+(x +1)+(x + 2) = 18

x + x + 1 + x + 2 = 18 3x + 3 = 18 3x = 18 – 3 3x = 15 x = 5

Segundonúmero. x + 1 = 5 + 1 = 6Tercernúmero. x + 2 = 5 + 2 = 7


108

Responde la pregunta de la siguiente situación:

Carlos irá al gimnasio por 5 meses; le cobrarán 20 dólares por mes sin membresía, pero si la adquiere, pagará una cuota única de 30 dólares y 10 dólares por mes, ¿después de cuántos meses habrá gastado la misma cantidad de dinero con o sin membresía?, ¿le conviene pagar la membresía según el tiempo que ha planificado entrenar?

Responde la pregunta de cada una de las siguientes situaciones:

1. El parqueo privado A cobra una cuota de un dólar por hora y el parqueo B cobra 2 dólares por el de-recho de estacionamiento y 0.50 de dólar por cada hora que se utilice, ¿cuántas horas deben trans-currir para que el costo en ambos parqueos sea el mismo?

2. Marta renta un equipo multimedia a 20 dólares por día de uso, más una cuota única de 10 dólares cuando se retira el equipo del local. José tiene un negocio del mismo tipo en el que cobra 18 dólares por día de uso del equipo, más una cuota única de 26 dólares al retirarlo, ¿a los cuántos días el costo del alquiler es el mismo en los dos negocios?, si una persona desea alquilar el equipo por 5 días, ¿en qué negocio debe alquilarlo?

3. En una escuela hay dos cisternas, la primera tiene 200 galones, la segunda 328 y tienen una fuga de 2 y 4 galones, respectivamente por cada semana. Si las cisternas no tienen uso, ¿cuántas semanas tendrán que pasar para tener la misma cantidad de agua?

3.4 Aplicación de ecuaciones con variables en ambos miembros

Sea x: Cantidad de meses que han pasado hasta haber pagado la misma cantidad de dinero.

R. En el mes 3 el gasto es el mismo con o sin membresía. Para que le salga más barato le conviene ad-quirir la membresía dado que irá por 5 meses.

30 + 10x30303

20x20x − 10x

10xx

====

Sin membresía Con membresíaCuota única 0 30Cuota mensual 20 10Gasto Total 20x 30 + 10x

Como se busca el número de meses que pasan hasta haber gastado la misma cantidad de dinero indi-ferentemente de la modalidad, se establece que la incógnita representa el número de meses que han pasado. Luego, el gasto mensual que se tendría, según la modalidad sería de $20 o $10 por la cantidad de meses, según sea sin o con membresía respectivamente. La igualdad se establece entre el gasto total sin haber adquirido la membresía y si se adquiriera la membresía.

El costo es el mismo a las 4 horas

Elcostoeselmismoalos8días,por5díasesmejoralquilarconMarta

Alas64semanastendránlamismacantidad

3

Indicador de logro

Fecha:

50

S

RPU5 3.4

¿Después de cuántosmeses se habrá gastado lamismacantidaddedineroconosinmembresía?¿Conviene pagar la membresía según el tiempoquesehaplanificadoentrenar?

Sea x lacantidaddemesesquehanpasadohastahaberpagadolamismacantidaddedinero.

R. En el mes 3 el gasto es el mismo con o sin membresía.

Para que le salga más ba-rato le conviene adquirir lamembresíadadoqueirápor5 meses.

30 + 10x30303

20x20x−10x

10xx

====

El costo es el mismo a las 4 horas de uso.

1. Sea xlacantidaddehorasqueseusaelparqueo. x = 2 + 0.5x

x = 4

2. Sea xlacantidaddedíasqueseren-taelequipo. 20x + 10 = 18x + 26

x = 8 El costo es el mismo al rentarlo durante 8 días.

Marta: 110 José:116

Para5díasesmejoralquilarconMarta,porqueelcostoesmenor.


3.5Resuelveunasituacióndelentornoaplicandounaecuacióndeprimergradoconlaincógnitaenambosmiembros.

PropósitoSecuencia

P Resolversituacionesdelentornoaplicandoecuacionesqueseresuelvenutilizandomásdeunapropiedad.Solu-cióndelosítems.

En esta clase se usan ecuaciones con miembros en ambostérminospararesolverproblemasdelen-torno.


1. Sea xlacantidaddehorasqueseusaelparqueo.

x = 2 + 0.5x 10x = 20 + 5x 10x – 5x = 20 5x = 20 x = 4

El costo es el mismo a las 4 horas de uso.

2. Sea x la cantidad de días que serentaelequipo.

20x + 10 = 18x + 26 20x – 18x = 26 – 10 2x = 16 x = 8

El costo es el mismo al rentarlo du-rante 8 días.

Marta20x + 10 = 20 × 5 + 10 = 100 + 10 = 110José18x + 26 = 18 × 5 + 26 = 90 + 26 = 116Para 5 días es mejor alquilar conMarta,porqueelcostoesmenor.

3. Sea xlacantidaddesemanas.

200 – 2x = 328 – 4x –2x + 4x = 328 – 200 2x = 128 x = 64

Estaránalmismonivelen64 se-manas.


109

Uni

dad

5

w

Sea x : El número de minutos transcurridos mientras camina Julia.

Distancia = Velocidad × TiempoTiempo = Distancia ÷ VelocidadVelocidad = Distancia ÷ Tiempo

Cuando Julia alcanza a Marta es cuando las dos han caminado la misma distancia desde su casa.

Si el número de minu-tos que han transcurrido mientras camina Julia es x entonces el tiempo para Marta será x + 4 minutos.

Se define x como el número de minutos que camina Julia, luego se hace una tabla que resume los datos y por último se plantea y resuelve la ecuación.

Sabiendo que Julia alcanza a Marta en 6 minutos se debe comprobar si en efecto Julia alcanzaría a Mar-ta ajustándose a las condiciones de la situación. De manera que, si la distancia entre la casa y la escuela fueran 280 m, Julia no podría alcanzar a Marta porque, 6 × 50 = 300 m que es mayor que 280 m.

Marta JuliaVelocidad 30 m/min 50 m/minTiempo x + 4 xDistancia 30(x + 4) 50x

50x50x−120−1206

30 (x + 4)30x + 12030x − 50x

−20xx

=====

R. 6 minutos

Responde las preguntas de la siguiente situación:

Marta salió de su casa para la escuela. Julia, su hermana, salió 4 minutos más tarde. La velocidad de Marta fue de 30 m/min y la de Julia fue de 50 m/min. ¿En cuántos minutos alcanzó Julia a Marta? Si la distancia entre la casa y la es-cuela fueran 280 m, ¿Julia puede alcanzar a Marta en el camino?

Responde la pregunta de cada una de las siguientes situaciones:

1. a) Un vehículo sale de la ciudad “A” con una velocidad de 60 km/h; 2 horas más tarde sale de la mis-ma ciudad otro vehículo, siguiendo al primero, con una velocidad de 90 km/h, ¿en cuántas horas alcanza el otro vehículo al primero?

b) Si la distancia entre la ciudad A y una ciudad B fuera 350 km, ¿logrará el segundo auto alcanzar al primero?

tomo 2...u5 1.2 representa la igualdad matemáticade las expresiones que están en los platillos de...

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