Apndices i

APNDICES

Apndice A: Manual de usuario de 62 i i i

Apndice A: Manual de usuario del programa 62

La presente gua para el usuario realiza una descripcin sucinta de las capacidades del programa 62, queesperamos que sea suficiente para trabajar con l sin dificultades. Cuando en el texto se marca unapalabra con cursiva y negrita, se quiere indicar que bajo dicha denominacin se puede encontrar eneste manual informacin adicional relevante para la consulta que se est realizando.

El programa est organizado en dos conjuntos de mens o secciones. El primer conjunto, denominadoGENERACION Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS, permite la definicin y manipulacin desecuencias; la segunda seccin, DISEO DE SISTEMAS DISCRETOS, facilita el diseo y anlisisde sistemas discretos definidos por ecuaciones en diferencias finitas lineales y de coeficientesconstantes.

En la tabla de contenido se menciona cada una de las opciones de los mens lo que, adems desuministrar una indicacin de la pgina donde se describe su finalidad y su uso, la ubica en elprograma. Localizada una opcin en la tabla de contenido, la denominacin del epgrafe corresponde alnombre del men en el que se encuentra la opcin en el programa; finalmente, el nombre del captuloproporciona la seccin del programa donde est situado el men. As, por ejemplo, la opcin "Generarperiodicidad" se halla en el men "Tratamiento" de la seccin "Generacin y tratamiento desecuencias", o el procedimiento "Test de filtrado" est incluido en el men "Archivo" de "Diseo desistemas discretos". Algunas opciones dan paso a un submen; esta circunstancia se indica en la tablade contenido con el smbolo *; las posibles elecciones deben consultarse en la parte del documentodedicada a describir la opcin.

Es importante que el lector dedique especial atencin a la informacin contenida en esta gua, ya queun aprovechamiento eficaz de 62 slo se consigue tras un conocimiento detallado de todas suscapacidades. Para facilitar la introduccin al trabajo con 62, se incluye en el captulo IV una guasobre las operaciones ms habituales.

El hardware necesario para que el programa acte correctamente es un PC 386 SX o superior, condisco duro y al menos 512 kbytes de memoria RAM. Un coprocesador matemtico hara que ciertosclculos costosos y las representaciones grficas fuesen prcticamente instantneas. Aunque no esimprescindible que la pantalla sea en color, resulta muy conveniente para algunas presentaciones; tales el caso cuando se procede a la comparacin de secuencias o de sistemas.

Apndice A: Manual de usuario de 62 v

CONTENIDO

I.- ESTRUCTURA Y PROCEDIMIENTOS GENERALES ..................................................... ixI.1 Invocacin del programa .................................................................................... ixI.2 Acceso a los mens y submens ......................................................................... ixI.3 Introduccin de datos.......................................................................................... xI.4 Placa con m DSP................................................................................................ x

II.- GENERACIN Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS.................................................. xiiiII.1.- Generacin................................................................................................. xiii

Seales*................................................................................................ xivRespuestas impulsionales*........................................................................ xivVentanas*............................................................................................... xvEcuacin en diferencias finitas..................................................................... xvEditar secuencia........................................................................................ xv

II.2 - Tratamiento................................................................................................ xviCombinacin lineal ................................................................................. xviProducto................................................................................................ xviConvolucin lineal .................................................................................. xviFiltrado ................................................................................................. xviMediana................................................................................................. xviMuestra a muestra*.................................................................................. xvix[-n] .................................................................................................... xviiRetardo................................................................................................. xviiDesplazamiento circular ........................................................................... xviiGenerar periodicidad ................................................................................ xviiFFT..................................................................................................... xviiDFT .................................................................................................... xviiPrediccin lineal.................................................................................... xviiiDiezmado............................................................................................. xviiiIntercalado de ceros ................................................................................ xviiiPolmetro ............................................................................................ xviii

II.3.- Representar*............................................................................................. xviiiComparar secuencias* .............................................................................. xixLmites ................................................................................................. xix

v i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Tarjeta grfica......................................................................................... xixImpresora............................................................................................... xix

II.4.- Archivo...................................................................................................... xxLeer secuencia.......................................................................................... xxDirectorio ............................................................................................... xxBorrar secuencia ....................................................................................... xxGuardar secuencia ..................................................................................... xxEditar comentario ..................................................................................... xxActualizar directorio................................................................................. xxiImprimir secuencia .................................................................................. xxiTest D/A ............................................................................................... xxiConversin D/A...................................................................................... xxiSalir ..................................................................................................... xxi

II.5.- Sistemas.................................................................................................... xxiIII.- DISEO DE SISTEMAS DISCRETOS..................................................................... xxiii

III.1.- Tipo*..................................................................................................... xxivIII.2.- IIR: aproximacin*................................................................................... xxivIII.3.- Datos..................................................................................................... xxiv

Especificaciones ..................................................................................... xxvMostrar especificaciones .............................................................. xxvFiltro IIR: Respuesta frecuencial ................................................... xxvFiltro FIR: Respuesta frecuencial ................................................. xxviFiltro FIR: Respuesta impulsional ............................................... xxviFuncin de transferencia.............................................................. xxviMostrar datos del filtro .............................................................. xxvii

Funcin de transferencia......................................................................... xvxiiVolver a especificaciones ........................................................... xxviiEditar ceros y polos .................................................................. xxviiEditar coeficientes.................................................................... xxviiiSistema inverso ...................................................................... xxviiiConexin cascada .................................................................... xxviiiConexin paralelo ................................................................... xxviii

III.4.- Grficas.................................................................................................. xxixAtenuacin........................................................................................... xxixMdulo de la respuesta frecuencial ............................................................ xxixFase de la respuesta frecuencial................................................................. xxixRetardo de grupo .................................................................................... xxxRespuesta impulsional ............................................................................ xxxDiagrama de ceros y polos........................................................................ xxxComparar sistemas*................................................................................ xxxLmites ................................................................................................ xxxTarjeta grfica....................................................................................... xxxiImpresora............................................................................................. xxxi

Apndice A: Manual de usuario de 62 v i i

III.5.- Archivo.................................................................................................. xxxiLeer sistema......................................................................................... xxxiDirectorio ............................................................................................ xxxiBorrar sistema...................................................................................... xxxiiGuardar sistema.................................................................................... xxxiiActualizar directorio.............................................................................. xxxiiImprimir sistema.................................................................................. xxxiiTest de filtrado..................................................................................... xxxiiFiltrado analgico................................................................................. xxxiiDemostraciones*................................................................................. xxxiiiSalir ................................................................................................. xxxiii

III.4.- Secuencias ............................................................................................ xxxiiiIV.- GUIA PARA LAS OPERACIONES MAS HABITUALES............................................ xxxv

IV.1 Generacin de seales.................................................................................. xxxvIV.2 Observacin de seales................................................................................ xxxvIV.3 Enventanado de seales............................................................................... xxxviIV.4 Representacin de la transformada de Fourier .................................................. xxxviIV.5 Realizacin de sistemas sencillos ................................................................ xxxviiIV.6 Generacin de filtros FIR e IIR sencillos ...................................................... xxxviiIV.7 Filtrado de una seal ................................................................................ xxxviii

Apndice A: Manual de usuario de 62 i x

I. Estructura y procedimientos generales

I.1 Invocacin del programa

El programa se invoca escribiendo 62 en la lnea de comandos del sistema operativo. Normalmenteseleccionar los colores que mejor se adapten al sistema en el que funcione, pero en caso de que no seaas, se deber invocar al programa con el parmetro MONO (62 MONO), que lo forzar a utilizarcolores ms distinguibles. Este ser el caso tpico de un ordenador con tarjeta color y monitormonocromo.

I.2 Acceso a los mens y submens

El programa est organizado en dos conjuntos de mens. Cuando se invoca el programa se accededirectamente a la seccin GENERACION Y TRATAMIENTO DE SECUENCIAS, que permite lamanipulacin de secuencias. El acceso a la seccin DISEO DE SISTEMAS DISCRETOS, quepermite el diseo y anlisis de sistemas discretos, se explica ms adelante.

La comunicacin entre el usuario y el programa se realiza siempre mediante ventanas, ya sean menso submens o ventanas de dilogo. Las ventanas se abren mediante y se cierran con.

La lnea superior de la pantalla presenta la paleta de mens. Se selecciona un men situando sobre elmismo mediante los cursores horizontales la barra de seleccin (cuya posicin se indica con vdeoinverso). Los cursores verticales permiten el desplazamiento entre las opciones de un men, mientrasque la tecla activa la opcin sealada por la barra de seleccin. Alternativamente, unmen puede activarse pulsando y su inicial (por ejemplo, + para la opcinGeneracin).

Cuando se selecciona la opcin "Sistemas", se cambia la configuracin de la pantalla y se entra en elconjunto de mens DISEO DE SISTEMAS DISCRETOS. Se retorna al men de trabajo consecuencias seleccionando el men "Secuencias".

x Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

I.3 Introduccin de datos

Para introducir o editar el valor de un parmetro debe situarse previamente la barra de seleccin sobre elmismo en la ventana de dilogo. Si se desea introducir un valor nuevo, se teclea ignorando el quehubiese. Sin embargo, si slo se quiere modificar o editar el valor ya existente, al pulsar la tecla se entra en modo edicin y se activan los cursores horizontales que permiten desplazarsehasta las cifras que se desee alterar; en este caso la tecla faculta la insercin de caracteres y latecla los suprime; adems, pulsando se borra el valor numrico que est editndose,mientras que un segundo recupera el valor existente antes de comenzar la edicin. Un culmina la introduccin o edicin de un dato y un la anula, con lo que serecupera el valor previo caso de que lo hubiese. Cuando se concluye la edicin tras borrar el valornumrico con un , el valor del parmetro queda indefinido.

Se acepta la notacin cientfica exponencial. Es decir, para entrar el valor cuatro mil tanto podemosteclear 4000 como, simplemente, 4E3. Los exponentes pueden ser tanto positivos como negativos yla "e" mayscula o minscula. En el modo edicin los datos pueden indicarse tambin medianteexpresiones matemticas tales como 2^3*cos(2*pi/3) o log(tan(pi/3)); el programa acepta las funcioneshabituales en una calculadora de bolsillo. Las unidades de los parmetros son seleccionadasautomticamente por el programa, y se indican en la ventana de dilogo. Cuando el valor de unparmetro est limitado, el margen correspondiente se indica tambin en la ventana. Dado que lafrecuencia y la pulsacin son dos formas alternativas de especificar el mismo parmetro, aparecensiempre juntas en las ventanas de dilogo de tal manera que, si se proporciona valor a una de ellas, laotra queda determinada automticamente; de este modo se queda en libertad de especificar frecuencia opulsacin a conveniencia.

La informacin numrica suministrada al programa mediante una ventana de dilogo es operativa,segn los casos, cuando se da la orden de ejecucin de una operacin o se pulsa . En esteltimo caso, si una ventana de dilogo se cierra con , la operacin de entrada de datos quedaanulada.

Si el valor introducido no est dentro de los mrgenes adecuados para ese parmetro, el programa nosproporcionar un mensaje de error.

I.4 Placa con m DSP

El programa dispone de opciones que permiten invocar diversos procedimientos que se ejecutan en laplaca EVM, incorporada en los PC del laboratorio. Esta placa incluye un m DSP TMS320C30, unchip de conversin A/D y D/A TLC32044 y un amplificador analgico LM386. Las especificacionesentrada/salida de la placa son las siguientes:

a) Mrgenes para la tensin de entrada: 1,5 V.b) Mrgenes para la tensin de salida: 6,5 V.

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c) Frecuencia de corte de la banda de paso del filtro antialiasing/reconstructor:Fc = 7,5 MHz / (2 a 80).

d) Frecuencia de muestreo Fm = 7,5 MHz/(2 a b) < 19,2 kHz.e) Convertidores A/D y D/A de 14 bits.f) Filtro paso alto cancelador de continua incorporado.g) Filtro corrector de salida sen(x)/x incorporado.

Los parmetros a (1 a 31) y b (1 b 63) son dos enteros que permiten especificar a la placa lafrecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtro antialiasing. Por ejemplo, para trabajar conuna frecuencia de muestreo de 8 kHz constituyen una eleccin tpica a = 13 y b = 36, lo que suponeuna frecuencia de muestreo real de 8,013 kHz y una frecuencia de corte para el filtro de 3,606 kHz

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II. Generacin y tratamiento de secuencias

Una secuencia es un conjunto ordenado de nmeros. En este programa, de nmeros complejos.

El programa tiene presente en memoria hasta un mximo de cuatro secuencias, cuya descripcin estdispuesta en pantalla permanentemente (salvo cuando se realizan representaciones grficas) y que sehan numerado del 1 al 4. La secuencia activa se selecciona con las teclas F1, F2, F3 o F4, con lo quequeda la informacin correspondiente destacada mediante video inverso en la pantalla. Esta secuenciaser la entrada a las operaciones que realiza el programa sobre una sola secuencia (edicin, tratamiento,representacin grfica, edicin de comentario, guardar secuencia, etc.); cuando el tratamiento afecta avarias secuencias, stas son solicitadas por una ventana de dilogo. La generacin, los tratamientos yla lectura de una secuencia se llevan a cabo cuando se selecciona la secuencia destino mediante una delas teclas F1 a F4.

Toda secuencia lleva asociada un comentario descriptivo. Este comentario es proporcionado por defectopor el programa, pero tambin es susceptible de ser introducido por el usuario a travs de la opcinEditar comentario del men Fichero. Este comentario permanece en pantalla como parte de lainformacin correspondiente a una secuencia.

La longitud mxima permitida para una secuencia es de 1024 muestras, estando el ordinal limitadoentre -512 y 511.

Una secuencia puede ser guardada en un fichero en disco. El nombre del fichero debe ajustarse a lasconvenciones del sistema operativo, recibe la extensin SEC y forma parte de la informacin sobre lasecuencia que se presenta en pantalla cuando sta se encuentra en memoria del programa. El programaconserva un Directorio de las secuencias almacenadas en el fichero SECUENS.DIR.

II.1 Generacin

Este men es el dedicado a la generacin de secuencias, tanto tengan el carcter de seales, seanrespuestas impulsionales de filtros sencillos o ventanas. En este men se utilizan tres denominacionesque conviene definir:

x i v Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Longitud de una secuencia: nmero de muestras de la misma cuyo valor se conserva enmemoria. Cuando se genera una secuencia de longitud L, el ordinal se toma siempre no negativo,comenzando en el origen y finalizando en L-1.

Posicin (de un pulso, de una ventana): ordinal de la secuencia en la que comienza.Duracin (de un pulso, de una ventana): nmero de muestras del pulso o la ventana; el resto

de muestras hasta completar la longitud total de la secuencia toman el valor cero.Por ejemplo, la secuencia

x[n] = { 1 m n m+d-1 0 0 n m-1, m+d n L-1

es un pulso rectangular con longitud L, en la posicin m y duracin d.

SealesPermite la generacin de mltiples secuencias. Secuencias bsicas en el anlisis de sistemas discretoscomo

Impulso unidadEscaln unidad

Secuencias con formas de onda elementales:Pulso rectangularPulso triangularPulso en rampa

susceptibles de generar ondas peridicas mediante la opcin correspondiente del men Tratamientos.Secuencias relacionadas con el anlisis frecuencial:

Sinusoide amortiguadaExponencial compleja

cuya forma de onda se encuentra descrita en la ventana de dilogo correspondiente. Una secuenciaconstituida por pulsos rectangulares con polaridades positiva o negativa equiprobables:

Tren aleatorio de pulsosSecuencias obtenidas a partir de 5 posibles elecciones de

Segmento de VozY, por ltimo, secuencias en las que la amplitud de las muestras sigue una distribucin gaussiana conuna potencia seleccionable

Ruido blanco gaussiano

Respuestas impulsionalesMediante este men se pueden generar la respuesta impulsional h[n] de filtros con fase lineal y cuyarespuesta frecuencial corresponde a los siguientes tipos:

Paso bajoPaso altoElimina bandaPaso bandaTransformador de Hilbert

Apndice A: Manual de usuario de 62 x v

La respuesta impulsional se genera mediante el enventanado (rectangular) del desarrollo en serie deFourier de la respuesta frecuencial ideal. Mediante ventana de dilogo se solicita la longitud de lasecuencia y la frecuencia de corte en el caso de filtros paso bajo o paso alto, o la frecuencia central yancho de banda de la banda de paso de un filtro paso banda o Transformador de Hilbert, o de la bandaatenuada en el supuesto de un filtro elimina banda.

VentanasEstas secuencias juegan un papel importante en el procesado de seales en tiempo discreto y, enconsecuencia, el programa nos proporciona el juego de las ventanas ms habituales en los libros detexto. Supuesto que la duracin de las mismas es de L muestras situadas entre el ordinal 0 y L-1, lasdistintas formas responden a las expresiones:

Rectangular: w[n] = 1Hamming: w[n] = 0,54 - 0,46 cos (2p n/(L-1))Blackman: w[n] = 0,42 - 0,5 cos (2 p n/(L-1)) + 0,08 cos (4 p n/(L-1))

Kaiser: w[n] = Io[b (1-[(n-a )/a ]2)]

Io(b )donde a =(L-1)/2 y b es un parmetro que determina el compromiso de la ventana de Kaiser entre laanchura del lbulo principal y la amplitud del lbulo secundario de su transformada de Fourier; losvalores usuales para b se mueven entre 0,3 y 6.

Ecuacin en diferencias finitasCrea una secuencia de la longitud especificada que, a partir de la posicin m dada, responde a laecuacin en diferencias:

y[n-m] = a y[n-m-1] + b y[n-m-2] + c para n m

con la duracin que se indique. Las condiciones iniciales de la ecuacin son los valores de la secuenciay[m] e y[m+1]

Editar secuenciaLa opcin permite la creacin de una secuencia dando valor a sus muestras, y la edicin de unasecuencia preexistente. Esta opcin acta sobre la secuencia seleccionada. Al entrar en la mismaaparece una ventana que muestra los elementos de la secuencia (si ya ha sido definida) y los comandosbsicos de esta opcin:

: que permite insertar una muestra ante la muestra seleccionada.: que permite borrar la muestra seleccionada. Longitud: que permite definir y/o modificar la muestra inicial y la longitud de la

secuencia. Rellenar: que proporciona un mismo valor a un conjunto de muestras sucesivas. Muestra: que accede al valor de una muestra concreta.

Los datos proporcionados con estos comandos se aplican mediante la barra . Para crear unsecuencia se define su longitud; se genera as una secuencia cuyas muestras son todas nulas, y cuyaedicin permite proporcionarles los valores deseados. Los cursores verticales y las teclas y

x v i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

facilitan el desplazamiento por la ventana de edicin. La posicin del cursor que indica lamuestra seleccionada se indica mediante video inverso. La creacin o edicin de la secuencia quedavalidada cuando se selecciona la secuencia destino.

II.2 Tratamiento

Este men est destinado a proporcionar al programa la capacidad de manipulacin de secuencias. Cadauna de las opciones realiza una operacin elemental ms o menos compleja, cuya combinacin facultala realizacin de una gran variedad de tratamientos.

Combinacin linealRealiza la combinacin lineal de dos secuencias que se especifican mediante la ventana de dilogo, enla que tambin se tienen que indicar las constantes de proporcionalidad que afectan en la combinacin acada secuencia. Estas constantes son complejas y se indican en la forma binmica.

ProductoEfecta el producto de las dos secuencias indicadas en la ventana de dilogo. Es la opcincorrespondiente a la operacin de enventanado de una secuencia.

Convolucin linealConvoluciona linealmente las dos secuencias indicadas en la ventana de dilogo.

FiltradoFiltra la secuencia activa con el sistema presente en la seccin "Diseo de sistemas discretos". Lalongitud de la secuencia resultante es la misma que la correspondiente a la secuencia de entrada.

MedianaRealiza el filtrado de mediana de orden M (impar), parmetro que solicita. En el caso de tratar unasecuencia real, para cada ordinal n esta opcin toma las muestras n a n-M+1 de la secuencia, las ordenade menor a mayor y proporciona como resultado el valor de la muestra central. Cuando la secuencia escompleja, se procesan por separado las partes real e imaginaria.

Muestra a muestraSe realiza sobre cada muestra de la secuencia activa la operacin seleccionada. Las posibilidades que seofrecen son las siguientes:

ExponencialLogaritmo neperianoParte realParte imaginariaMduloFaseComplejo conjugado

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1/x[n]Signo x[n]x2[n]CosenoCuantificacin

Si la muestra es nula se asigna, por convenio, a la inversa y al signo el valor cero. En lacuantificacin se discretizan por separado las partes real e imaginaria de la muestra; cuando una de ellases nula, se cuantifica a la mitad del escaln cuntico y se aleatoriza el signo; si la secuencia esdeclarada real, la parte imaginaria no es tratada; el mximo nmero de bits aceptado para lacuantificacin es 16.

x[-n]Realiza la reflexin de la secuencia activa.

RetardoRetrasa la secuencia activa tantas muestras como especifica el retardo. Si el retardo que se indica esnegativo, se realiza un adelanto de un nmero de muestras igual al valor absoluto del retardoespecificado.

Desplazamiento circularConsidera que la ltima muestra de la secuencia activa es contigua en el tiempo con la primera (comosi la secuencia estuviese desarrollada sobre un cilindro). En estas condiciones realiza un retraso(desplazamiento positivo) o un adelanto (desplazamiento negativo) de tantas muestras como se indique.

Generar periodicidadA partir de la secuencia activa x[n] genera una secuencia y[n] de longitud, ordinal correspondiente a lamuestra inicial y perodo P que se elijan, haciendo uso de la expresin:

y[n] =

r=-

x[n+rP]

FFTRealiza la transformada discreta de Fourier (DFT) de la secuencia activa mediante el algoritmo de laFast Fourier Transform, cuando el nmero de puntos de la DFT es una potencia de 2. Se recomiendasu uso cuando se desee el clculo de la DFT de una secuencia, salvo que existan razones para hacer usodel clculo directo que utiliza la siguiente opcin.

DFTCalcula la transformada discreta de Fourier de la secuencia activa por aplicacin directa de la expresinque la define. Se debe reservar su uso para aquellos casos en que el nmero de puntos de la DFT quedesean calcularse es muy reducido, o cuando dicho nmero no puede ser una potencia de 2.

x v i i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Prediccin linealMediante el algoritmo de Levinson, determina los coeficientes de la prediccin lineal

x^[n] = -

i=1

P ai x[n-i]

que predice la muestra x[n] con el menor error cuadrtico. Toma como muestras de la correlacin de laseal x[n] las muestras de la secuencia activa entre los ordinales 0 y el orden P especificado para elanlisis. Proporciona como salida la secuencia {...,0, 1, a1, a2, ..., aP, 0, ...}, que se corresponde conla respuesta impulsional del filtro del error de prediccin; es decir, el sistema FIR que a la secuenciax[n] responde con la secuencia error de la prediccin:

e[n] = x[n] +

i=1

P ai x[n-i]

DiezmadoGenera una nueva secuencia y[n] conservando 1 muestra de cada N (relacin de diezmado) muestras dela secuencia activa x[n]. Se puede seleccionar la muestra M origen del diezmado. La operacinimplicada es:

y[n] = x[ n N + M ] 0 M N-1

Intercalado de cerosGenera una nueva secuencia intercalando N-1 (valor solicitado por la ventana de dilogo) ceros entrecada dos muestras de la secuencia activa. Esta operacin est involucrada en el proceso de interpolacinpor una relacin entera N.

PolmetroInvoca una ventana que proporciona media, energa y potencia de la secuencia activa la cual,excepcionalmente, puede ser cambiada desde esta opcin.

II.3 Representar

Este men facilita la visualizacin de las secuencias. Las distintas opciones permiten seleccionar lacaracterstica de las muestras de la secuencia que se desea representar:

Parte real e imaginariaParte realParte imaginariaMdulo y faseMduloFase

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Cuando se invoca una de sus opciones, la pantalla nos presenta una o dos grficas segn se solicite larepresentacin de un aspecto de la secuencia (por ejemplo, el mdulo de sus muestras) o de dos de ellos(por ejemplo, parte real e imaginaria de sus muestras). En caso de que se presenten dos grficas, lasuperior corresponder a la primera caracterstica de las muestras mencionada en la opcin seleccionaday la inferior a la segunda.

Comparar secuenciasLa opcin permite entrar en un submen cuyas opciones son las mismas que las de "Representar", conla excepcin de la opcin "Salir de comparar": la ventana se sobreilumina y la opcin "Comparardiseos" es sustituida por "Salir de comparar", que permitir salir de la ventana (modo alternativo parasalir de la ventana es pulsar la tecla ), lo que se advierte con un zumbido. Las secuencias seseleccionan con las teclas F1 a F4, y se indica esta seleccin en la lnea inferior de la pantalla. Unaseleccin indeseada se elimina con la tecla .

LmitesCuando se elige esta opcin, se abre una ventana de dilogo preparada para proporcionar los lmites alos ejes de representacin:

Eje de abscisas o de ordinales: primera muestra y ltima muestra.Eje de ordenadas: mximo y mnimo de la parte real,

mximo y mnimo de la parte imaginaria,mximo del mdulo.

El mnimo del mdulo siempre es cero por defecto y la fase se representa siempre entre - p y p . Losvalores proporcionados mediante esta ventana, tal como se indica en la misma, se validan al pulsar.La ventana de dilogo ofrece tambin la opcin

Muestras como lneas / como puntosque define el modo en que se representan las secuencias. En el primero la representacin es la habitual,y se indica cada muestra con un trazo vertical. En el segundo cada muestra se representa mediante unpunto, interpolndose entre ellos; esta posibilidad es de utilidad en la representacin logartmica de laDFT. Se pasa de un modo a otro con la tecla .

Tarjeta grficaEsta opcin permite indicar al programa la tarjeta grfica de la que dispone el computador. En la mayorparte de las configuraciones el propio programa detecta correctamente la tarjeta en uso. Cuando no seaas o, por la razn que sea, interese especificar un modo grfico determinado, debe utilizarse estaopcin.

ImpresoraEsta opcin permite seleccionar entre una impresora de 8 agujas y una de 24 para la impresin decualquiera de las grficas que realiza el programa. La impresin se provoca pulsando la tecla (imprimir pantalla). La impresin se adapta a las caractersticas de la configuracin del computador,independientemente de la versin del sistema operativo.

x x Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

II.4 Archivo

Este men est dedicado a intercambiar las secuencias con el entorno de trabajo del usuario. Tantopermite la lectura o escritura de un fichero que contiene una secuencia, como la conversin D/A de lasecuencia activa o la impresin de la misma.

Leer secuenciaSu misin es realizar la lectura de un fichero conteniendo una secuencia. Cuando se invoca esta opcinse abre una ventana de dilogo que solicita el directorio y el nombre del fichero. A esta demanda sepuede responder con un nombre concreto (no es preciso incluir la extensin), en cuyo caso el programaprocede a la lectura del fichero en cuando se pulsa , ocupando el lugar de la secuenciaactiva. Si el nombre indicado contiene comodines (*), el programa suministra un Directorio detodos los ficheros que se adaptan al nombre escrito; en este caso los cursores verticales y las teclas y que ejecutan el salto de pgina del directorio, permiten situar la barra deseleccin sobre el fichero cuya lectura interesa; la seleccin de la secuencia destino mediante una de lasteclas F1 a F4 provoca la lectura del fichero.

DirectorioA travs de la correspondiente ventana de dilogo, se puede suministrar al programa el nombre deldirectorio en cuya relacin de ficheros de secuencias estamos interesados. Se puede especificar, ademsdel directorio, una clave de bsqueda de ficheros. El programa proporciona, junto con la lista deficheros solicitada, el comentario con la descripcin de su contenido. Cuando la longitud deldirectorio lo requiere, ste se organiza en pginas; las teclas y permiten eldesplazamiento a travs de ellas. En la esquina inferior izquierda de la ventana se muestra en todomomento el nmero de la pgina en que estamos, sobre el nmero total de pginas del directorio,mientras que en la cabecera de la ventana se indica la clave de bsqueda.

Borrar secuenciaActa en formar similar a Leer secuencia, salvo que como resultado la secuencia elegida es borradatras pulsar .

Guardar secuenciaEsta opcin faculta para conservar en un fichero la secuencia activa. Al ser invocada, se abren dosventanas de dilogo: la primera demanda directorio y nombre para el fichero (la extensin SEC esincluida por defecto) y la segunda permite la edicin del comentario descriptivo de la secuencia, quela acompaar en el fichero.

Editar comentarioEsta opcin permite proporcionar una descripcin de la secuencia activa. El programa facilita pordefecto tal descripcin, cuando crea la secuencia mediante el men "Generacin". Conviene editar elcomentario de una secuencia resultado de un tratamiento o una edicin, ya que la descripcin que ofreceel programa en el primer caso es "Secuencia que ha pasado por tratamiento (comentario provisional)",

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x i

y deja inalterado el comentario en el segundo. Este comentario se presenta en pantalla cuando lasecuencia est en memoria y se guarda con la secuencia cuando sta es grabada en un fichero.

Actualizar directorioLa necesidad y utilidad de esta opcin se debe al modo en que el programa trata el directorio deficheros. En realidad este directorio es un fichero especial generado por el propio programa; de modoque toda operacin que implique al directorio requiere la manipulacin de este fichero especial. Si porcualquier motivo este fichero se estropeara o se perdiera, a pesar de que nosotros siguiramos teniendointactas nuestras secuencias en el disco, stas no apareceran en el directorio del programa. Por ello,necesitamos para estos casos una opcin que nos permita actualizar el fichero directorio.Al seleccionar la opcin, se abre una ventana de dilogo para especificar el directorio que se deseaactualizar.Es interesante mencionar que es posible la lectura de un fichero que no figure en el directorio delprograma, si en la opcin "Leer secuencia" se especifica el nombre del fichero completo.

Imprimir secuenciaEsta opcin promueve la impresin de los valores de las muestras de una secuencia.

Test D/APermite comprobar el correcto funcionamiento de la placa EVM; inicializa los parmetros a y b (siestuvieran indefinidos) a los valores correspondientes a una frecuencia de muestreo de 8 kHz y realizala opcin Conversin D/A para producir la generacin de una sinusoide cuya frecuencia es Fm/4.

Conversin D/ASuministra la secuencia activa a la placa EVM, que realizar la conversin de la misma mediante unbucle infinito, de modo que tras la ltima muestra de la secuencia seguir la primera y assucesivamente. En otras palabras, se genera una seal peridica cuyo perodo se corresponde con lasecuencia elegida. Debe suministrarse al programa los valores para los parmetros a y b, que seencargan de especificar la frecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtroantialiasing/reconstructor.

SalirSu seleccin concluye la sesin de trabajo y produce la vuelta al sistema operativo al punto desdedonde se invoc el programa.

II.5.- Sistemas

La seleccin de este men da paso al conjunto de mens correspondiente al DISEO DE SISTEMASDISCRETOS.

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III.- Diseo de sistemas discretos

La seccin dedicada al manejo de sistemas se encuentra organizada del siguiente modo: las operacionesde entrada y salida se encuentran en el men "Archivo", el anlisis de la respuesta frecuencial, de larespuesta impulsional y del diagrama de ceros y polos en el men "Grficas" y la especificacin de unsistema en "Datos", juntamente con "Tipo" y "IIR: aproximacin". El programa trabaja con un solosistema (a excepcin de la opciones "Comparar sistemas" del men "Grficas", y "Combinacin encascada" y "Combinacin en paralelo" del men "Datos").

La respuesta del sistema a una secuencia se obtiene invocando la opcin Filtrado del men"Tratamiento" en la seccin dedicada a las secuencias.

La seccin DISEO DE SISTEMAS DISCRETOS dispone de dos modos de funcionamiento("Especificaciones" y "Funcin de transferencia"), que se distinguen por la forma en que se define elsistema en el men Datos. Debe sealarse que esta informacin se guarda con los dems parmetrosdel sistema si ste se conserva en un fichero; por consiguiente, si el sistema disponible ha sido ledode disco, el modo de trabajo del programa corresponder a la forma en que el sistema fue definido en sumomento.

El orden mximo permitido para un sistema es 32, lo que supone un nmero mximo de 33coeficientes para numerador y denominador de su funcin de transferencia.

Un sistema puede ser conservado en un fichero en disco. El nombre del fichero debe ajustarse a lasconvenciones del sistema operativo y recibe la extensin SIS. El programa conserva un directorio delos sistemas almacenados en el fichero SISTEMAS.DIR.

En esta seccin la pantalla ofrece en su lnea inferior una Lnea de estado, que nos indica en todomomento el nombre y el directorio del fichero correspondiente al sistema en memoria (llamadoNINGUNO por defecto, como ya se ver), as como el Tipo de filtro y la IIR: aproximacinempleada en el modo "Especificaciones". La lnea de estado se actualiza cada vez que ocurre algunamodificacin en los datos que presenta.

x x i v Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

III.1 Tipo

Este men est asociado al submen Especificaciones del men de "Datos", de tal manera quesolamente se puede acceder a su ventana de opciones si el programa est funcionando en dicho modo.Con este men se puede especificar el tipo de filtro (segn la configuracin de sus bandas) que se deseadisear. Las opciones posibles son:

Paso bajoPaso bandaPaso altoElimina bandaMultibandaTransformador de HilbertDerivador

Las tres ltimas opciones estn reservadas nicamente al diseo de filtros FIR, y se genera un mensajede error cuando se eligen para el diseo de un filtro IIR.

III.2 IIR: aproximacin

Al igual que el anterior, este men est asociado al submen Especificaciones del men de"Datos", de tal manera que solamente se puede acceder a su ventana de opciones si el programa estfuncionando en dicho modo. Con este men se puede determinar la aproximacin a utilizar en eldiseo de un sistema IIR a partir de un prototipo analgico mediante la transformacin bilineal. Lasopciones disponibles son:

ButterworthChebychevInversa ChebychevElptica

III.3 Datos

Este men es el que permite definir las propiedades del sistema que se disea. Presenta dos opcionesalternativas de trabajo, asociadas cada una de ellas a un submen. El modo que el programa toma pordefecto est asociado al submen que se denomina Especificaciones y donde el sistema se definepor las caractersticas frecuenciales. La alternativa la ofrece el submen Funcin de transferencia,en el que el sistema de describe en trminos de los coeficientes o ceros y polos de su funcin detransferencia. Mencin especial merece la opcin Filtro FIR: respuesta impulsional que,aunque se encuentra en el submen de "Especificaciones", su modo de trabajo comparte las propiedadesde los sistemas definidos mediante el submen "Funcin de transferencia".

Un sistema diseado en el modo "Especificaciones" es pasado automticamente al modo "Funcin detransferencia", con lo que se pierde el sistema que se encontrase previamente en dicho modo. Cuando

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x v

las especificaciones sean errneas y el sistema no se disee, en el modo "Funcin de transferencia" seconservar la informacin del sistema preexistente, pero no estar activo: no podr analizarse niutilizarse para filtrar seales, etc. Para activar de nuevo el sistema, deber entrarse en la opcin "Editarceros y polos" y salir con .

EspecificacionesEn este modo el programa espera que el usuario introduzca como especificaciones del filtro a calcularel Tipo de filtro, la IIR: aproximacin deseada y las frecuencias que delimitarn las bandas y/o lasatenuaciones requeridas en esas bandas, as como el orden. Frecuencias de corte, lmites para laatenuacin y el orden se proporcionan al programa mediante la ventana de dilogo de la opcin deFiltro IIR o FIR que se seleccione.A fin de entender el funcionamiento del programa, es importante saber que el clculo del filtro serealiza siempre que salimos de cualquiera de las ventanas ligadas a especificacin (tipo de filtro,aproximacin o ventanas de dilogo). En ese momento el programa comprueba que lasespecificaciones son correctas, generando un mensaje de error si no es as. La eventual incorreccinpuede ser tal, o ser simplemente fruto de que se estn modificando las especificaciones del filtro. Porejemplo, tras disear un filtro paso bajo y cambiar el tipo de filtro a un paso alto, el programa generaun mensaje de error porque las especificaciones de las frecuencias de corte de que dispone no pueden seradecuadas para un filtro paso alto; el problema se resuelve corrigiendo dichas frecuencias.Si las especificaciones para el sistema son correctas, el programa realiza los clculos de diseo y,como fondo del men de ventanas, dibuja la plantilla de la atenuacin correspondiente a lasespecificaciones frecuenciales introducidas. Esta plantilla nos orientar en el diseo de nuestro filtro.En negro aparecer la zona permitida para la grfica de la atenuacin, mientras que para las zonas nopermitidas se utilizan los colores verde y rojo (no hay distincin para monitores monocromo),indicando los mrgenes frecuenciales que son banda de paso y banda atenuada, respectivamente.Las posibles opciones de este submen son:

Mostrar especificacionesNos muestra el orden (calculado, si no fue especificado) o la longitud de la respuesta

impulsional, segn el caso, y el resto de las especificaciones frecuenciales

Filtro IIR: Respuesta frecuencialAl elegir esta opcin, se abre otra ventana que ofrece la posibilidad de especificar el filtro de

diversos modos. El programa admite las bandas de paso y las atenuadas pero no el orden (1 opcin), elorden y las bandas de paso (2 opcin), o el orden y las bandas atenuadas (3 opcin). La ventana dedilogo que aparece al elegir cualquiera de estas tres opciones es prcticamente idntica para todas ellas,siendo la nica diferencia que la barra de seleccin slo permite el desplazamiento a travs de los datosque el usuario puede introducir en cada caso, y que se hayan sealados en modo ms brillante. Se ayudaas a que no se den especificaciones incompatibles. En el lugar de los datos que no se pueden introduciraparece la palabra indefinido en un color ms oscuro que el resto. Puede que esta palabra aparezcatambin en el lugar de los datos permitidos, en color ms brillante, si es que stos no han sido anintroducidos (por ejemplo, al arrancar el programa). Hay datos que aparecen dos veces, numerados 1 y2 respectivamente. Es el caso de las frecuencias lmite de las bandas de los filtros elimina banda y paso

x x v i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

banda, o bien el caso de que queramos introducir diferentes atenuaciones en cada banda cuando hay dosdel mismo tipo (esto slo ser posible si en dichas bandas no hay comportamiento con rizado deamplitud constante). Siempre se entender que el parmetro numerado con 1 corresponde a la bandainferior, y el numerado con 2 a la superior.

Debe sealarse que los datos a introducir varan segn el tipo de filtro que hayamos escogido.La aproximacin de Chebychev necesita siempre como datos las frecuencias de corte de la banda depaso, la inversa de Chebychev necesita siempre las de la banda atenuada, y la aproximacin elptica (ode Cauer) requiere siempre las frecuencias de ambas. Estos requerimientos son independientes de laopcin que se haya escogido para introducir las especificaciones, as que aunque en dicha subopcin noest previsto en principio introducir esas frecuencias, el programa las pedir de todos modos. En laplantilla quedarn indicadas con flechas, en lugar de marcarse las zonas permitida y no permitida para lagrfica, puesto que las atenuaciones lmite no se conocen en esa zona.

Filtro FIR: Respuesta frecuencialMediante esta opcin se disean filtros FIR de fase lineal cuyo mdulo de la respuesta

frecuencial presenta rizado de amplitud constante en las bandas de paso y atenuadas. Se hace uso delalgoritmo de Parks y McClellan.

Los filtros paso bajo, paso alto, paso banda y elimina banda se especifican mediante susbandas de paso y atenuada(s) y la longitud para la respuesta impulsional del filtro. El valor adecuadopara la longitud de la respuesta impulsional se obtiene mediante un proceso de prueba y error: un valorreducido no permite satisfacer las especificaciones, un valor elevado proporcionar unas prestacionesexcesivas; en funcin de los requerimientos para la atenuacin, se han propuesto diversas estimacionespara la longitud de la respuesta impulsional que pueden usarse como punto de partida; en el captulo 5se ofrece la estimacin (5.32) basada en la frmula de Kaiser.

Para los transformadores de Hilbert, derivadores y filtros multibanda se especifican la longitudde la respuesta impulsional y los requerimientos para cada banda: si es banda de paso o atenuada, susfrecuencias de corte y el rizado en dB (si es una banda de paso) o la atenuacin mnima (si es una bandaatenuada). Cada banda se especifica mediante una ventana de dilogo; se recorren las diversas bandasmediante las teclas y , se aade una banda con y se elimina con ;las especificaciones se validan en su totalidad cuando se pulsa . El nmero de bandasespecificado para el filtro coincide con el nmero de ventanas activas. El programa gestiona los filtrosmultibanda, transformadores de Hilbert y derivadores del mismo modo y, cuando genera un mensaje, serefiere a cualquiera de ellos como multibanda.

Filtro FIR: Respuesta impulsionalPermite especificar una de las secuencias en memoria del programa como respuesta

impulsional de un filtro FIR. El sistema diseado tiene las caractersticas de un sistema definido en elmodo de funcionamiento "Funcin de transferencia". Por ello, una vez realizado el diseo, el programase sita en el submen "Funcin de Transferencia".

Funcin de transferenciaPermite acceder al modo de funcionamiento homnimo.

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x v i i

Mostrar datos del filtroEsta opcin suministra una lista completa y detallada de los parmetros del filtro: se muestra

el tipo de filtro, la aproximacin, sus especificaciones, los ceros y polos de la funcin de transferenciadel filtro, y los coeficientes de sus polinomios numerador y denominador. Todos estos datos sevisualizan sucesivamente por pginas, aunque el tipo de filtro, sus especificaciones y la aproximacinempleada permanecen constantemente en pantalla. Para pasar de pgina basta con apretar una teclacualquiera. Como siempre, pulsando en cualquier momento se sale de la opcin.

Funcin de transferenciaEn este modo de funcionamiento el sistema se especifica mediante los ceros y polos de su funcin detransferencia o los coeficientes de sus polinomios numerador y denominador. En consecuencia losmens "Tipo" de filtro y "IIR: aproximacin" no estn disponibles. A continuacin se describen lasopciones contempladas en este submen.

Volver a especificacionesPermite regresar al modo de funcionamiento alternativo. Se recupera el filtro que hubiese

diseado en dicho modo.

Editar ceros y polosAl entrar en esta opcin aparecen en pantalla tres ventanas, que muestran los valores de los

ceros, de los polos, y de la constante de la funcin de transferencia respectivamente. En todo momentola ventana que est activa (ventana cuyos valores se quieren editar), aparece sobreiluminada. Paracambiar la ventana activa, basta con desplazarse con las flechas horizontales, tal como se indica en laesquina inferior derecha de cada ventana.

Para editar ceros y polos se indica mdulo y fase para cada uno de ellos. Es importante saberque al introducir un cero o polo se especifica el factor (z-zk) para la funcin de transferencia:

H(z) = K z-(Q-P)

k=1

Q (z - ck )

k=1

P (z - dk)

Como las funciones de transferencia son funcin de z-1, la diferencia de grado entre el numerador y eldenominador implica la presencia de ceros o polos en el origen (z=0), que deben ser indicados. Si Q>P,habr Q-P polos en el origen; si P>Q, son P-Q los ceros en el origen.

Al desplazar con los cursores verticales hacia abajo la barra seleccionadora, sta slo avanzahasta una posicin despus del ltimo cero (o polo); ah se puede introducir una nueva raz.Alternativamente, puede situarse la barra seleccionadora en una posicin intermedia y pulsar para insertar ah el nuevo cero (o polo). Con la tecla se suprime la raz seleccionada.

La edicin de un cero (o polo) comienza con la especificacin de su mdulo y culmina con laindicacin de la fase. Si la fase es distinta de 0 o p el programa supone que se define un par de racescomplejas conjugadas. Una raz real negativa puede indicarse con mdulo negativo y fase cero.

x x v i i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Una vez acabada la edicin, el programa simplifica ceros con polos, si es que los hay iguales,y comprueba que no haya ningn polo con mdulo mayor que la unidad. Si as fuese, dar elcorrespondiente mensaje de error.

Editar coeficientesEl funcionamiento de esta opcin es equivalente al de la anterior. Aqu aparecen de nuevo tres

ventanas: una para los coeficientes del numerador de la funcin de transferencia, otra para eldenominador y otra para la constante, que es la misma que apareca en "Editar ceros y polos".Coeficientes y constante multiplicativa han de ser reales. Al editar los coeficientes debe saberse que elcoeficiente k-simo se corresponde con la potencia -k de z:

H(z) = K

k=0

Q bkz- k

k=0

P akz- k

Cuando se concluye la edicin de los coeficientes de la funcin de transferencia y se pulsa, primero aparece el mensaje "Calculando polos del sistema" y despus "Calculando cerosdel sistema". En esos momentos el programa normaliza a la unidad los trminos independientes denumerador y denominador, y calcula por mtodos numricos las races de ambos polinomios, lo cualllevar ms o menos tiempo dependiendo del grado de los mismos. Por ello, para modificarnicamente la constante multiplicativa, es recomendable utilizar la opcin de edicin de ceros y polos.

El programa realiza las mismas comprobaciones que en la opcin anterior.

Sistema inversoDetermina el sistema inverso del sistema actualmente existente. Para ello, intercambia entre

s los ceros y los polos e invierte la constante.

Conexin cascadaEsta opcin permite crear un nuevo sistema a partir de la conexin en cascada de dos, tres o

cuatro sistemas. Al accionar la opcin se pregunta el nmero de sistemas a combinar, para acontinuacin solicitar uno a uno el nombre de los ficheros donde se encuentre cada uno de lossistemas. Dichos nombres pueden indicarse en la forma habitual para las opciones que manejanficheros (vase Archivo). Tras recibir el nombre correspondiente al ltimo sistema, el programaprocede a calcular el sistema resultante, que somete a las comprobaciones de las opciones anteriores.

Conexin paraleloPermite crear un nuevo sistema como la conexin en paralelo de dos, tres o cuatro sistemas

que ya tengamos grabados en disco. El procedimiento es exactamente igual al anterior. La nicadiferencia es que al salir de la opcin deben recalcularse los ceros y polos a partir de los coeficientes dela nueva funcin de transferencia.

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x i x

III.4 Grficas

La representacin grfica permite visualizar las caractersticas frecuenciales y temporales de unsistema, as como su diagrama de ceros y polos.

Tras finalizar el trazado de la grfica correspondiente a la atenuacin, el mdulo, la fase y el retardo degrupo, en la esquina superior derecha de la pantalla aparece el mensaje "Pulsar para cursor". Alpulsar la letra C, aparece en pantalla un cursor en forma de lnea vertical que atraviesa la grfica dearriba a abajo y que puede desplazarse a lo largo de ella usando los cursores horizontales. A medida queel cursor avanza, en la esquina superior izquierda se nos muestra el valor de las coordenadas del puntode la grfica sobre el cual est. Las teclas < > y < fi > provocan que el cursor avance relativamentedeprisa; sin embargo, si se desea mayor precisin, puede conseguirse un avance ms lento mediante lascombinaciones de teclas +. El cursor puede ser ocultado, sin abandonar el modocursor, pulsando la tecla , tal como se advierte en la esquina superior derecha; el cursor se recuperaal pulsar cualquier tecla; esta opcin es interesante cuando se desea hacer un volcado de la grfica enimpresora pulsando . Las grficas correspondientes a la opcin comparar no disponen de lafacilidad de un cursor.

Pulsando cualquier tecla, excepto naturalmente, volvemos al men una vez finalizada la grfica.Pulsando se retorna antes de finalizar, con lo que se interrumpe la ejecucin de la grfica.

AtenuacinEsta opcin proporciona la atenuacin correspondiente a la respuesta frecuencial del filtro, definidacomo:

a (w ) = - 20 log (|H(ejw )|)

Ntese que el escalado vertical es doble, uno a la derecha y otro a la izquierda, correspondientes enprincipio a la banda de paso y a la banda atenuada, respectivamente. Mientras la atenuacin es inferioral lmite marcado para la banda de paso, la grfica se atiene a la escala de la izquierda; cuando excededicho lmite, la representacin se ajusta a la escala de la derecha. En el caso de que el sistemacorresponda al modo "Especificaciones", tambin se dibuja la plantilla.

Mdulo de la respuesta frecuencialProporciona el mdulo de la respuesta frecuencial del sistema. Hace uso de doble escala al igual que laatenuacin y, cuando es el caso, presenta la plantilla de la especificacin frecuencial.

Fase de la respuesta frecuencialLa fase de la respuesta frecuencial se puede observar con esta tercera opcin. sta se representa en elmargen de 180 , a la izquierda de la pantalla, y p rad, a la derecha; ello da lugar a una grficacircular, caracterizada por los saltos que aparecen en pantalla. As, por ejemplo, si la fase llega a -181 ,se representar en pantalla como +179 , lo que provoca una discontinuidad aparente en la grfica.

x x x Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Retardo de grupoEsta opcin presenta en pantalla el retardo de grupo del sistema.

Respuesta impulsionalEsta opcin presenta en pantalla la respuesta impulsional del sistema. Este mismo resultado puedeobtenerse mediante el Filtrado de una secuencia impulso unidad en la seccin "Generacin ytratamiento de secuencias".

Diagrama de ceros y polosEsta opcin ofrece en pantalla el diagrama de ceros y polos del sistema. Esta opcin ofrece la facilidadde un cursor circular. Con las teclas < > y < fi > se aumenta y reduce, respectivamente, la dimensindel radio del cursor. Las teclas < > y < fl > permiten desplazarlo angularmente; cada golpe de teclacorresponde a un grado sexagesimal.

Comparar sistemasCon esta opcin se puede visualizar la misma caracterstica de hasta cuatro sistemas que se hayangrabado previamente en disco. Al accionar la opcin se pregunta el nmero de sistemas a comparar,para a continuacin solicitar uno a uno el nombre de los ficheros donde se encuentre cada uno de lossistemas. Dichos nombres pueden indicarse en la forma habitual para las opciones que manejanficheros (vase Archivo). Tras recibir el nombre correspondiente al ltimo sistema, la ventana sesobreilumina y la opcin "Comparar sistemas" es sustituida por "Salir de comparar", que permitirsalir de la ventana (modo alternativo para salir de la ventana es pulsar la tecla ).En la representacin cada sistema aparece identificado con un color diferente, si el monitor es color, ocon un trazo diferente para monitores monocromo. Al imprimir las comparaciones cada sistemaaparecer siempre con un trazado distinto, como en los monitores monocromo, aunque nuestromonitor sea en color. Para mayor claridad, no aparecer ninguna de las plantillas, aunque dichossistemas las tuvieran. Hay que destacar que los sistemas a comparar no tienen por qu haber sidodiseados necesariamente en el mismo modo de funcionamiento de "Diseo de sistemas discretos". Elprograma sigue tomando por defecto unos lmites de representacin que permitan ver incluso la grficacon mrgenes ms amplios. Estos lmites se representan constantemente en los ejes que aparecen en elfondo del men y pueden ser modificados con la opcin Limites.Dado que se visualizan varias grficas a la vez, ya no se dispone de la posibilidad de atravesar lapantalla con un cursor, y en la lnea de estado de la parte inferior del men se toma como ninguno eltipo de filtro y la aproximacin.Como ya se ha mencionado, cuando se desee terminar la comparacin, se pulsar y, tras unligero zumbido que nos recuerda que hemos salido del modo de comparacin, el programa recupera elsistema que tena antes de entrar en la opcin.

LmitesEsta opcin invoca una ventana de dilogo que permite facilitar al programa los mrgenes para larepresentacin grfica:

Eje de abscisas: mrgenes de frecuencia;muestra inicial y final para la respuesta impulsional.

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x x i

Eje de ordenadas: valor mnimo para la atenuacin ( 0) y valoresmximos para la banda de paso y la bandaatenuada;

valores mximos para el mdulo en la banda de paso y la banda atenuada.

Valor mximo para el semieje imaginario del diagrama de ceros y polos.El mnimo del mdulo siempre es cero por defecto y la fase se representa siempre entre - p y p . Losvalores proporcionados mediante esta ventana, tal como se indica en la misma, se validan al pulsar.

Tarjeta grficaEsta opcin permite indicar al programa la tarjeta grfica de la que dispone el computador. En la mayorparte de las configuraciones el propio programa detecta correctamente la tarjeta en uso. Cuando no seaas o, por la razn que sea, interese especificar un modo grfico determinado, debe utilizarse estaopcin.

ImpresoraEsta opcin permite seleccionar entre una impresora de 8 agujas y una de 24 para la impresin decualquiera de las grficas que realiza el programa. La impresin se provoca pulsando la tecla (imprimir pantalla). La impresin se adapta a las caractersticas de la configuracin del computador,independientemente de la versin del sistema operativo.

III.5 Archivo

Este men est dedicado a intercambiar las sistemas con el entorno de trabajo del usuario. Tantopermite la lectura o escritura de un fichero conteniendo un sistema, como la utilizacin de un sistemapara el filtrado de una seal analgica o la impresin del mismo.

Leer sistemaSu misin es realizar la lectura de un fichero conteniendo un sistema. Cuando se invoca esta opcin seabre una ventana de dilogo que solicita el directorio y el nombre del fichero. A esta demanda se puederesponder con un nombre concreto (no es preciso incluir la extensin), en cuyo caso el programaprocede a la lectura del fichero en cuanto se pulsa . Si el nombre indicado contienecomodines (*), el programa suministra un Directorio de todos los ficheros que se adaptan al nombreescrito; en este caso los cursores verticales y las teclas y , que ejecutan el salto depgina del directorio, permiten situar la barra de seleccin sobre el fichero cuya lectura interesa; lapulsacin de la tecla provoca la lectura del fichero.

DirectorioA travs de la correspondiente ventana de dilogo, se puede suministrar al programa el nombre deldirectorio en cuya relacin de ficheros de sistemas estamos interesados. Se puede especificar, ademsdel directorio, una clave de bsqueda de ficheros. El programa proporciona, junto con la lista de

x x x i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

ficheros solicitada, el comentario con la descripcin de su contenido. Cuando la longitud del directoriolo requiere, ste se organiza en pginas; las teclas y permiten el desplazamientoa travs de ellas. En la esquina inferior izquierda de la ventana se muestra en todo momento el nmerode la pgina en que estamos, sobre el nmero total de pginas del directorio, mientras que en lacabecera de la ventana se indica la clave de bsqueda.

Borrar sistemaActa en formar similar a Leer sistema, salvo que como resultado el sistema elegido es borrado.

Guardar sistemaEsta opcin faculta para conservar en un fichero el sistema en memoria del programa. Al ser invocada,se abren dos ventanas de dilogo: la primera demanda directorio y nombre para el fichero (la extensinSIS es incluida por defecto) y la segunda permite la edicin del comentario descriptivo del sistema, quelo acompaar en el fichero.

Actualizar directorioLa necesidad y utilidad de esta opcin se debe al modo en que el programa trata el directorio deficheros. En realidad este directorio es un fichero especial generado por el propio programa, de modoque toda operacin que implique al directorio requiere la manipulacin de este fichero especial. Si porcualquier motivo este fichero se estropeara o se perdiera, a pesar de que nosotros siguiramos teniendointactos nuestros sistemas en el disco, stos no apareceran en el directorio del programa. Por ello,necesitamos para estos casos una opcin que nos permita actualizar el fichero directorio.Al seleccionar la opcin, se abre una ventana de dilogo para especificar el directorio que se deseaactualizar.Es interesante mencionar que es posible la lectura de un fichero que no figure en el directorio delprograma, si en la opcin "Leer sistema" se especifica el nombre del fichero completo.

Imprimir sistemaAl invocar esta opcin el programa vuelca en la impresora una lista completa y detallada de losparmetros del sistema: se muestra el tipo de filtro, la aproximacin, sus especificaciones, los ceros ypolos de la funcin de transferencia del sistema, y los coeficientes de sus polinomios numerador ydenominador.

Test de filtradoPermite comprobar el correcto funcionamiento de la placa; inicializa los parmetros a y b (siestuvieran indefinidos) a los valores correspondientes a una frecuencia de muestreo de 8 kHz y realizala opcin Filtrado analgico con el sistema s[n]=e[n].

Filtrado analgicoEsta opcin proporciona el sistema discreto en memoria del programa a la placa EVM, de modo questa realice en tiempo real el filtrado de una seal analgica previamente muestreada y produzca laconversin D/A del resultado; es decir, la placa emula el filtrado analgico. Debido al escalado de lasseales realizado en el m DSP, si la seal de entrada cubre el margen dinmico completo del convertidor

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x x i i i

A/D, para evitar saturacin en el convertidor D/A, la ganancia mxima de los sistemas discretos nodebe superar la unidad. Deben suministrarse al programa los valores para los parmetros a y b, que seencargan de especificar la frecuencia de muestreo y la frecuencia de corte del filtroantialiasing/reconstructor.

DemostracionesCuando se activa esta opcin, se abre una ventana que permite elegir la ejecucin en la placa EVM deun programa de demostracin entre seis posibles. La seleccin se realiza desplazando la barra deseleccin con los cursores verticales hasta la demo deseada y pulsando .

SalirSu seleccin concluye la sesin de trabajo y produce la vuelta al sistema operativo al punto desdedonde se invoc el programa.

III.6 Secuencias

La seleccin de este men da paso al conjunto de mens correspondiente a la GENERACION YTRATAMIENTO DE SECUENCIAS.

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x x v

IV. Gua para las operaciones ms habituales

Aunque los captulos anteriores de esta gua de usuario contienen la informacin necesaria para trabajarcon 62, en este ltimo captulo se ofrece una ayuda al usuario que todava no ha adquirido unafamiliaridad suficiente con el programa. Aqu se indica cmo realizar las operaciones ms sencillas yse sugiere el modo de resolver las situaciones ms habituales. Sin embargo, esta referencia no suple lainformacin proporcionada en los captulos II y III, ya que a ella deber acudir el lector en busca de losdetalles sobre los procedimientos aqu descritos.

IV.1 Generacin de seales

Para la generacin de seales sencillas se dispone del submen "Seales" de "Generacin"; con susopciones se pueden obtener las secuencias habitualmente utilizadas en el estudio y la caracterizacin delas seales y los sistemas discretos: impulso unidad, escaln unidad, sinusoides, exponenciales ypulsos de formas sencillas (rectangular, triangular, etc.). A partir de stas y mediante la opcin"Combinacin lineal" y las operaciones sobre las muestras que ofrece el submen "Muestra a muestra"de "Tratamiento", es posible elaborar secuencias ms complejas. Entre las opciones de este submenmerece mencin especial la denominada "Coseno", incluida para la simulacin de modulacionesanalgicas.

Tambin debe sealarse la interesante posibilidad de crear secuencias proporcionando directamente alprograma los valores de sus muestras mediante la opcin "Editar secuencia" del men de "Generacin",aunque esta alternativa puede ser tediosa para secuencias de larga duracin.

Las secuencias peridicas se generan mediante la opcin "Generar periodicidad" de "Tratamiento" apartir de su periodo fundamental.

IV.2 Observacin de seales

La opcin usual para observar las seales la ofrece el men "Representar". Sin embargo, cuando sedesee conocer el valor concreto de una muestra ha de acudirse a "Editar secuencia".

x x x v i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

Aunque se dispone de una opcin en "Representar" para la comparacin de secuencias, cuando se tratade dos secuencias reales puede ser til acudir al siguiente artificio: mediante la "Combinacin lineal"generar una nueva secuencia que contenga en sus partes real e imaginaria cada una de las dos secuenciasa comparar (para ello el coeficiente en la combinacin lineal de una secuencia ha de ser real y el de laotra imaginario) y representarla con la opcin "Partes real e imaginaria".

IV.3 Enventanado de seales

El programa 62 tiene programadas las ventanas ms usuales (rectangular, Hamming, Blackman yKaiser), que pueden obtenerse en el submen "Ventanas" de "Generacin". Dando a la posicin de laventana el valor adecuado, se puede elegir fcilmente el segmento de seal que es conservado por laventana. La operacin de enventanado se lleva a cabo mediante la opcin "Producto" de "Tratamiento".

IV.4 Representacin de la transformada de Fourier

El instrumento del que se dispone para el clculo de la transformada de Fourier es la DFT o su versinrpida FFT; para que los elementos de la DFT se correspondan con muestras de la transformada deFourier, es preciso que la secuencia a transformar est contenida en el intervalo [0, 511]. Para obtenerlas muestras de la transformada se aconseja hacer uso de la opcin "FFT" de "Tratamiento" con unalongitud de 512 muestras.

La FFT genera muestras X[k] de la transformada equiespaciadas en el intervalo [0, 2 p ), queproporcionan el valor de la transformada a las frecuencias k/512. Si la secuencia que se transforma esreal, basta con representar las muestras para los ordinales 0 k 256 correspondientes al intervalofrecuencial [0, p ], seleccin que se efecta en "Lmites". En esta misma ventana de dilogo puedeoptarse por representar la DFT con "Muestras como lneas" o "Muestras como puntos"; esta segundaopcin propicia una representacin interpolada de la DFT con la apariencia de una funcin de variablereal como corresponde a la transformada de Fourier. Para representar la transformada en el intervalo(-p , p ] debe acudirse al siguiente artificio:

1. A partir de la FFT calculada y mediante la opcin "Generar periodicidad" de "Tratamiento",generar una secuencia con periodo 512, muestra inicial -255 y longitud 512.

2. Representar la secuencia obtenida.

La representacin del mdulo de la transformada en escala logartmica se alcanza tras los siguientespasos:

1. Obtener el mdulo de la transformada mediante la opcin "Mdulo" del submen "Muestra amuestra" de "Tratamiento".

2. Tomar su "Logaritmo neperiano" en el mismo submen.3. Si se desea que la representacin quede expresada en dB debe multiplicarse el resultado

anterior por 8.6859; para ello, acuda a "Combinacin lineal", indique el factor anterior parala secuencia con el logaritmo y deje la otra secuencia indefinida.

Apndice A: Manual de usuario de 62 x x x v i i

4. Representar la secuencia resultante.

Cuando la secuencia cuya transformada de Fourier quiere representarse est contenida en el intervalo[0, 32], puede tomarse esta secuencia como la respuesta impulsional de un sistema FIR y acudir a lasfacilidades que ofrece 62 para el anlisis frecuencial de los sistemas. Para ello utilcese la opcin"Filtro FIR: respuesta impulsional" del men "Datos" de la seccin de "Diseo de Sistemas Discretos"e indquese como respuesta impulsional la secuencia bajo anlisis. En el men "Grficos" puedeseleccionarse la opcin adecuada a la representacin deseada:

1. Mdulo de la transformada en escala lineal: "Mdulo"2. Mdulo de la transformada en dB: "Atenuacin"3. Fase de la transformada: "Fase"

IV.5 Realizacin de sistemas sencillos

En el men "Tratamiento" se dispone de varias opciones que constituyen en s mismas la realizacinde sistemas sencillos, que son utilizados frecuentemente en los ejemplos, ejercicios y problemas deeste texto. Estas opciones son:

"Convolucin lineal": para la realizacin de un sistema lineal e invariante cuyah[n] es conocida.

"Mediana": que realiza un filtro de mediana."Muestra a muestra": que lleva a cabo operaciones no lineales sin memoria."x[-n]": y[n] = x[-n]"Retardo": y[n] = x[n-m]

"Generar periodicidad": y[n] =

r=-

x[n+rP]

"Diezmado": y[n] = x[nN+M]"Intercalado de ceros": y[n] = { x[n/N] n = 0, N, 2N,

0 para otro n

IV.6 Generacin de filtros FIR e IIR sencillos

La forma ms simple de generar un filtro FIR es a partir de su respuesta impulsional. Para ello bastacon crear dicha secuencia por medio de alguna de las facilidades que ofrece 62, para posteriormenteobtener el sistema mediante la opcin "Filtro FIR: Respuesta impulsional" del men "Datos" de laseccin del programa dedicada al "Diseo de sistemas discretos".

La opcin "Funcin de transferencia" de este mismo men da paso a otro men que permite "Editarcoeficientes". Esta opcin ofrece la posibilidad de generar un sistema a partir de los coeficientes de sufuncin de transferencia o de la ecuacin en diferencias finitas que describe su relacin entrada/salida:

x x x v i i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

H(z) = K

k=0

Q bkz- k

k=0

P akz- k

k=0

P ak y[n-k] = K

k=0

Q bk x[n-k]

Un modo sencillo de obtener filtros en el dominio de la frecuencia (paso bajo, paso alto, paso banda,elimina banda o transformador de Hilbert) es proporcionado por el submen "Respuestasimpulsionales" del men "Generacin" de la seccin "Generacin y tratamiento de secuencias". Por sumediacin se puede obtener la respuesta impulsional correspondiente al filtro ideal deseado enventanadapor la ventana rectangular y desplazada para hacerla causal.

IV.7 Filtrado de una seal

Dos son las posibilidades que ofrece 62 para filtrar una seal. Mediante la opcin "Convolucinlineal" de "Tratamiento" se obtiene la respuesta de un filtro especificado por su respuesta impulsional.La opcin "Filtrado" produce la salida correspondiente al sistema que se halle disponible en la seccindel programa "Diseo de sistemas discretos"; si la secuencia que se filtra con esta opcin es el impulsounidad, se obtiene la respuesta impulsional del sistema.

Apndice B: En el laboratorio x x x i x

Apndice B: En el laboratorio

B.1 Diagrama de conexionado

En la figura B.1 se representa el diagrama del conexionado necesario para utilizar seal analgica comoseal de entrada o salida, en combinacin con el programa 62.

TARJETA EVM

in (A/D)out (D/A)

GENERADOR DE SEAL

CH1 CH2OSCILOSCOPIO

ORDENADOR PERSONAL

TMS320C30

AURICULARESMICROFONO

ON/OFF

ENTRADA OSCILOSCOPIOSALIDA

MICRO

(RCA-BNC)

BNC-BNC

OUTIN

BNC-BNC

OUT IN

Fig. B.1 Diagrama de conexionado en el puesto de laboratorio

x l Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

En trazo grueso se esquematiza el mdulo amplificador analgico. Sirve de interfaz entre la sealanalgica de entrada y el conversor A/D, as como entre el conversor D/A y la salida analgica. En elfrontal se dispone de conectores BNC para la seal de entrada (ENTRADA), as como para visualizaren el osciloscopio la seal de salida hacia el conversor A/D (IN-OSCILOSCOPIO) y la sealproveniente del conversor D/A (OUT-OSCILOSCOPIO). Tambin se ha provisto un conector paraauriculares con volumen controlable. La seal de entrada pasa por un amplificador-atenuador que debeajustarse para evitar saturacin del conversor A/D. La tensin mxima de entrada al conversor A/D nodebe superar los 3 voltios pico-pico. En el panel posterior se encuentra el interruptor (ON-OFF), y losconectores BNC de salida (OUT) de seal hacia el conversor A/D, y de entrada (IN) de seal delconversor D/A.

Los conversores A/D y D/A estn ubicados en la tarjeta EVM de Texas Instruments. Esta, a su vez,est conectada al ordenador personal (PC) a travs de uno de los conectores de expansin del bus delPC. El conversor A/D es de 14 bits. La tensin de entrada del conversor A/D no debe superar los 3voltios pico-pico. En caso contrario se producir saturacin en la conversin, por lo que la seal deentrada quedar seriamente distorsionada. Debe tenerse tambin en cuenta que, si la tensin de entradaes demasiado pequea, se producir un error de cuantificacin importante, por lo que se aconseja ajustarel nivel de la seal analgica de entrada mediante el amplificador anteriormente indicado. El conversorD/A es tambin de 14 bits y puede proporcionar una seal analgica de 12 voltios. Para evitarefectos de saturacin en el proceso de conversin D/A, el usuario debe asegurarse de que los sistemasdiseados con el programa 62 tengan como ganancia mxima la unidad.

En aquellos experimentos propuestos que implican seales analgicas, se utilizar el osciloscopio paravisualizarlas. Como fuente de seal analgica se har uso de un generador de seales de baja frecuencia.Sin embargo, en aquellos experimentos en que se considere oportuno, puede utilizarse un aparatoreproductor de cintas magnticas o un receptor de radio convencional tipo walkman como fuentegeneradora de seal, y los auriculares del mismo para percibir auditivamente la seal de salida.

B.2 Inicio y fin de las sesiones de prcticas

La sesin de trabajo se inicia poniendo en marcha todo el equipamiento e invocando la aplicacinsobre la que se realizan las prcticas; para esto ltimo, deben teclearse las rdenes:

F:\ LOGIN > login SiS2F:\ USUARIS \ SIS2> 62

Es imprescindible disponer de un disquete de 3 1/2 " para conservar secuencias y sistemas durante lassesiones de trabajo o para sesiones posteriores. La sesin se concluye saliendo del programa yliberando el terminal mediante el comando:

F:\ USUARIS \ SIS2> logout

Apndice B: En el laboratorio x l i

Se ruega que, cuando se abandone el puesto de trabajo, se deje todo el equipamiento apagado.

B.3 Cuaderno de prcticas

Cada pareja de estudiantes que formen un grupo de prcticas har uso de un cuaderno de prcticas(formato libre) en el que anotar los resultados del estudio previo y de las experiencias realizadas en ellaboratorio, tratando de incluir toda aquella informacin que pueda ser relevante para el estudio de losconceptos contemplados en la prctica. El cuaderno se entregar al profesor al final de cada sesin delaboratorio, quien lo devolver tras haberlo corregido.

Apndice C: Solucin a los problemas x l i i i

Apndice C: Solucin a los problemas

En este apndice se proporciona la solucin de algunos de los problemas propuestos al final de losdistintos captulos del manual de estudio.

C.1 Problemas del captulo 1

P1.1 1/6 ciclos/muestra

P1.2 a) 7 b) no c) 3 d) no e) 16

P1.3 d

P1.4 b

P1.5 c

P1.6 d

P1.8 a

P1.9 a) [ ]bn+1 - an+1b - a u[n]b) (n+1) an u[n]c) y[n] = { 2 n 0

2n+1 n 0d) {..., 0, 0, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, ...}e) {..., 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, ...}f) {..., 1, 1, -1, 0, 0, 3, 3, 2, 1, 0, ... }g) {..., 0, 1, 3, 5, 6, 6, 6, 5, 3, 1, 0, ...}h) 7/3 "

n

i) y[n] =

-7/3 + 5/3 (4)n n 0 7/3 - 3( )12 n n 0

x l i v Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

j) y[n] =

8/9 (-1/8)4 4n n 6 8/9 (-1/2)n-6 n 6

P1.10 a) h5[n]+h1[n]*(h2[n]-h3[n]*h4[n])b) 5 d [n]+6 d [n-1]+7 u[n-2]-4 d [n-3]c) {..., 0, -5, -6, -12, -4, 2, 9, -2, -7, 0, 4, 0, ...}

P1.11 a) Falsa b) Cierta c) Falsa d) Falsa

P1.12 a) y[n] = (1+r) y[n-1]-p d) 126.444 .103 pts/mes e) Q = 45.519840 .106 pts.

P1.13 b) l 1 = (1+ 5)/2 l 2 = (1- 5)/2 A1 = l 1/ 5 A2 = - l 2/ 5c) x[n]/x[n-1] = (1+ 5)/2

P1.15 a) y[0] = 1, h[n] =( )12 n u[n]b) h[n] = ( )12 n u[n] + 2 ( )12 n-1 u[n-1]d-1) h[n] = ( )12 u[n] + ( )12 (-1)n u[n]d-2) h[n] = ( )12 u[n] + ( )12 (-1)n u[n] + u[n-1] + (-1)n -1 u[n-1]d-3) h[n] = u[n] + (-1)n u[n] - ( )32 u[n-4] - ( )32 (-1)n-4 u[n-4]

P1.16 figura P1.16-2

P1.17 b) y[n] = a y[n-1] + x[n] + b x[n-1]

y[n] =

-

1 + b1 - a n < 0

-

a + b1 - a n = 0

- (1+1/a) a + b1 - a an

+ 1 + b1 - a n > 0

C.2 Problemas del captulo 2

P2.1 a) X(ej w ) = e-j w (2M-1)/2 ej p /2 2 sen2(M2 w )

sen12 w

b) X(ejw ) = 12 A p i=-

k=-1

1 a k d ( w - 2k w o - 2 p i) con a o = 2, a 1 = a -1* = ej2 q

Apndice C: Solucin a los problemas x l v

c) X(ejw ) = 2pP i=-

Xo(ej2 p i/P) d ( w - 2 pP i)

e) X(ejw ) = 12 i=-1

1 a i e-j( w -

p

L+1i)(L-1)/2 sen

L2( w -

p

L+1i)

sen12( w -

p

L+1i)con a o = 1, a 1 = a -1* = -

12 e

j pL+1

P2.2 a) x[n] = pL[n]

b) x[n] = (1p

senw c2 n

n )2

c) x[n] = p n cos p n - sen p np n2

=

0 n = 0

cos p n

nn 0

d) x[n] = 1,111 d [n] + 1,180 0,9n cos( p3 n - 1,751) u[n]

P2.3 c) x1[n] = {, 0, 2_, 1, 1, 0, }d) x2[n] = {, 0, 0_, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, }

P2.5 d

P2.7 c

P2.8 c

P2.10 a) h[n] = s[-n]b) h[n] = {..., 0, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 0, ...}

P2.15 a) la superiorb) Ap = 1c) L = 64 veq[n] = vh[n] D w = p /8 Ap = 1

L = 128 veq[n] = vh[n] p64[n] D w = p /8 Ap = 1/2d) F = 1.609 Hz P = 0,046e) F = 1.984 Hz P = 0,5

F = 2.203 Hz P = 0,24

P2.16 a) primer sistema: si x[n] = 0 fuera del intervalo (0, N-1), y[n] = (

r=-

rx[n+rN] ) pN[n]

segundo sistema: y[n] = x[- n - 4]

tercer sistema: y[n] =

k=-

x[k] h[2(n-k)]

x l v i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

b) primer sistema: no causal, estable, no lineal y variante.segundo sistema: no causal, estable, lineal y variante.tercer sistema: lineal e invariante, causal y estable si h[n] lo es.

c) h3[n] = h[2n]d) primer sistema: y[n] = {..., 0, 4, 1, -2, -1, 0, 0, 0, -1, -2, 1, 0, ...}

segundo sistema: y[n] = {..., 0, -1, -1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...}tercer sistema: y[n] = {..., 0, 1/2, 1, 0, -1, -1/2, 0, ...}

P2.17 d) h[n] = {..., 0, 1_

, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, ...}P2.18 h[n] = {..., 0, 1/3

_

, 2/3, 1, 2/3, 1/3, 0, ...} = 13 p3[n] * p3[n]

H(ejw ) = e-2jw 13 (1 + 2 cos w )2

P2.21 b

P2.22 b) paso bajo: fp = Bf/2 fa = 1/2 - Bf/2

P2.23 c) y[n] = 12 x[n]e) y[n] = 2 x[n-1]

P2.25 d1) ry[m] = {, 0, 0.25, 1, 2, 3, 4, 5, 5.5, 5, 4, 3, 2, 1, 0.25, 0, }d2) ry[m] = 164 {(2+ 2)

2 cos

p

4m + (2- 2)2 cos

3 p4 m}

C.3 Problemas del captulo 3

P3.1 c) G1 = 4,5 dB G2 = 6,5 dBd) N1 = 0,75 N2 = 1

P3.2 a) 1 Hz en el sentido de girob) 1 Hz en sentido contrario

P3.3 c

P3.4 b

P3.6 b) hi = v[i] sen [ ]p BF2Fo ( )L-12 - i

p ( )L-12 - i (-1)(L-12 - i)

i = 0, 1, , L-1 (L impar)

P3.7 a) P = 5

Apndice C: Solucin a los problemas x l v i i

b) y c) 4 kHz

P3.8 3 kHz y 5 kHz

P3.11 a) relacin de interpolacin: N = 4; relacin de diezmado: M

= 5c) fa1 = 0,000375

fp1 = 0,0025 fp2 = 0,0875fa2 = 0,1

P3.12 a) filtro paso bajo: H(1) = 3 fc = 1/6 hI[n] = sen

p

3n

p

3n

b) fp = 0,4/3 fa = 0,6/3c) L = 34e) Fp = 3,2 kHz Fa = 20,8 kHzf) Fm = 8 kHz Fp = 3,2 kHz Fa = 4,8 kHz

P3.13 c) GP = 15 dBd) GP = 24 dBe) 2,5 y 4 bits, respectivamente.

P3.15 a) N = 4

C.4 Problemas del captulo 4

P4.1 Regin de convergencia:a) todo zb) z 0c) |z| < d) g) h) |z| > 1/2e) f) |z| < 1/2i) X(z) = z

-1 + z-2

1 - z- 1|z| > 1

j) X(z) = c z-1(1 - c z-1)2 |z| > c = e-a

P4.2 a) (1 - z-1) X(z)b) X(z2)c) 12 [ ]X(z1/2) + X(-z1/2)

P4.3 todas excepto la da) |z| > 1/2 b) 1/3 < |z| < 1/2 c) |z| < 1/3

x l v i i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

P4.4 a) y[n] = a + ba - ej w

an u[n] + H(ejw ) ejw n u[n]

P4.5 a) ceros: en w 1 = p /2 o equivalentemente en z= jpolos: en el origen y z = -0,5

b) H(z) = 14 1 + z- 2

1 + 12 z- 1

c) A = - 5/4 B = 1/2d) y[n] = 13 u[n] +

16 (-

12)

n u[n] - 12 d [n]

P4.6 a) R(z) = H(z) H(z-1)b) ROC: 1/

_

2 < |z| < _2c) H1(z) = 0,5 + 0,2 z-1

H2(z) = 0,2 + 0,5 z-1d) h[n] = (12)

n u[n]

P4.7 H(z) = bo + b1 z-1

+ b2 z- 21 + a1 z-1 + a2 z- 2

P4.8 Vase la figura 5.20

P4.9 b) H(z) = 1L 1 - z- L1 - z- 1

c) d) ceros: ej 2pL

k k = 1, ..., L-1 polos: origen

H(ejw ) = 1L sen

L2 w

sen 12 w

e-j w L-12

f) h[n] = h[11-n] = n+1 n = 0, ..., 4h[n] = 5 n = 5, 6, 7

P4.10 a) b) |H(ej w )|2 = (1 + cos w + 14 ) (1 -

83 cos w +

1 69 )

1 - 89 cos2 w + 1 681

cos2 w = 2 (cos w )2 - 1

P4.11 a) h1[n] = bn u[n]h2[n] = ab d [n] + ( )1-ab bn u[n]

Apndice C: Solucin a los problemas x l i x

h3[n] = 1b d [n] + ( )a-1b bn u[n]b) t [ w ] = (b cos w -b2)/(1-2b cos w +b2)c) |H2(ejw )| = |H3(ejw )|d) E2[m] - E3[m] = (1 - a2) b2m > 0

P4.12 El 1, 2, 3 y 4

P4.13 a) y[n] = cos p nb) y[n] = yf[n] + yl[n]

yf[n] = cos p n u[n]yl[n] = 15 ( )12 n u[n] - 35 ( )-12 n u[n]

c) H(z) es de fase mnima

HInv(z) = 53 1-14 z

- 2

1+14 z- 2

h[n] = 35 [ ]- d [n] + (12)n u[n] + (-12)n u[n]hInv[n] = 53 [ ]- d [n] + (12 j)n u[n] + (-12 j)n u[n]

e) Por simetra respecto el eje imaginario: H[ ]ej(p -w ) = H*(ejw )Por simetra respecto al eje bisectriz de los cuadrantes 1 y 3:

H

ej

p

2 - w

| |H(ejw ) =

H

ej p

42

D

ej

p

2 - w

= D (ejw )

P4.14 a) He(z) = 1/Hmin(z)

P4.15 a) Ha(z) = 11 + z-1 + 0,5 z- 2 ROC: |z| > 1/ _

2

b) Hb(z) = 11 + 2 z-1 + 2 z- 2 ROC: |z| > _

2 (inestable)

c) Hc(z) = 1 / z-2 G(1/z) = 1/21 + z-1 + 0,5 z- 2 ROC: |z| > 1/ _

2

d) H1(z) = -1 - 2 z-1H2(z) = 2 + 2 z-1

P4.17 e)

l Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

P4.18 El 1

P4.19 a) ROC: a < |z|

Apndice C: Solucin a los problemas l i

c) HIr(ejw ) =

0 -2 p w < -2 p +( w a+ w p)/2 1 -2 p +( w a+ w p)/2 w -( w a+ w p)/2 0 0 < | w | < ( w a+ w p) /2 -1 ( w a+ w p)/2 w 2 p - ( w a+ w p)/2 0 2 p - ( w a+ w p)/2 < w 2 p

P5.10 b) HPb(ejw ) = ejpL2 e-j

p

2 e-jL-12 w Hr(ejl ) o2p Hr(ejl )| l =w -p

P5.11 a) K = D /2

P5.12 Filtro paso banda: P=Q=12 Nops = 1,22 106Filtro paso bajo: P=Q=7 Nops = 0,688 106Filtro paso alto: P=Q=3 Nops = 0,112 106

P5.13 a) N = 4

P5.15 a) filtro paso banda: P=Q=12b) filtro paso bajo: fp = 0,2125 a p = 0,5 dB

fa = 0,2875 a a = 50 dBP=Q=5

filtro paso alto: fp = 0,2583 a p = 0,5 dBfa = 0,07083 a a = 50 dBP=Q=3

c) filtro paso banda: Nops = 0,680 106filtro paso bajo: Nops = 0,128 106filtro paso alto: Nops = 0,208 106

P5.16 a) A2(z) = 1 + k1(1+k2) z-1 + k2 z-2 B2(z) = k2 + k1(1+k2) z-1 + z-2 = z-2 A2(z-1)c) y g) |ki|

l i i Tratamiento digital de la seal: una introduccin experimental

r22[m] = s x2 d [m]r12[m] = s x2 b - a1 - ab (-a)

m u[m] + s x2 b - 1/b1 - ab (-b)

-m u[-m-1]

P6.5 a) a = 0,50953b) h2[n] = an-1 u[n-1]c) rr[m] = s e2 { 11- a2 a

n u[n] + 1

1- a2 a-n u[-n-1]}

Pr = s e2 1

1- a2

P6.7 a) Sx(ej w ) = { 8.103 |f| 3/8 0 3/8 < |f | 1/2 (en el primer periodo)

b) Px = 6.10 3

c) rx[m] = 6.103 sen

3 p4 m

3 p4 m

d) Sy(ejw ) = Sx(ejw ) (2 sen w

2 )2 Py = 8,4.103

P6.8 ry[n+m,n] = k=-

n+m h[k]

i=-

n

h*[i] rz[m-k+i]

P6.10 a) rv[n1,n2] = { rx[(n1-n2)/N] n1, n2 = 0, N, 2N, 0 en otro caso

v[n] no es estacionaria

b) ry[n1,n2] = n=-

rx[n] ( h[n1-nN] * h*[n2+nN] )

c) Si la respuesta frecuencial del filtro interpolador cumpleH(ej( w -

2 pN i)) H(ej( w -

2 pN k)) = 0 para 0 k i N-1

como es el caso del interpolador ideal, se verifica que

ry[n1,n2] = n=-

rx[n] 1N rh[n1-n2-nN)

al igual que para las secuencias determini