TIPS PARA LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS.- Observar si algún límite de integración es infinito (∞).

Si el infinito es el límite inferior, ejemplo , entonces se reescribe como

Procediendo luego a resolver la integral y evaluar el límite. Si el resultado es un número, la integral converge, si es infinito, la integral diverge.

Si el infinito es el límite inferior, ejemplo ( , entonces se reescribe como

Procediendo luego a resolver la integral y evaluar el límite. Si el resultado es un número, la integral converge, si es infinito, la integral diverge.

- Observar si ambos límites son infinitos. Ejemplo . Para este caso, se debe separar la integral

dada en dos integrales, así:

.

Luego, hay que resolver cada una de estas integrales. Si la primera integral converge, hay que

resolver la segunda, si ésta también converge entonces la integral impropia dada ( ) converge.

En cambio, si la primera integral diverge no es necesario resolver la segunda y se concluye que la integral impropia dada diverge.

- Observar si los límites de integración son números y uno de estos no pertenece al dominio de la función a integral.

Ej.: Puede notarse que el límite de integración inferior (2) no pertenece al dominio de la

función a integral , pues, hace que el denominador sea cero y no se puede dividir entre cero.

Por lo tanto, la integral dada se rescribe así:

Ej.: Puede notarse que el límite de integración superior (4) no pertenece al dominio de

la función a integral , pues, hace que el denominador sea cero y no se puede dividir entre

cero. Por lo tanto, la integral dada se rescribe así:

Para ambos ejemplos se resuelve la integral y luego se evalúa el límite.

- Observar si ambos límites son números. Ejemplo . Para este caso, hay que determinar

qué valor entre -2 y 3 no pertenece al dominio de la función a integral; se puede ver que ese número es uno (1), pues 1 hace que el denominador sea cero. Entonces, se debe separar la integral dada en dos integrales, así:

.

Puede verse que el 1 está en ambas integrales Luego, hay que resolver cada una de estas integrales. Si la primera integral converge, hay que resolver la segunda, si ésta también converge entonces la integral impropia dada converge. En cambio, si la primera integral diverge no es necesario resolver la segunda y se concluye que la integral impropia dada diverge.TIPS PARA LA DETERMINACIÓN DE CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN.

Si nos dan una sucesión y nos piden determinar si converge o diverge, hay que calcular el

límite cuando “n” tiende a infinito de esa sucesión. Ej.: Nos dan la sucesión , hay que

evaluar el límite as

Al resolver este límite como el resultado es cero (0) y cero es un número, la sucesión converge. En cambio si el resultado fuese infinito (∞) la sucesión diverge. (Nota: si el límite diera 0/0 ó ∞/∞, sería indeterminado y habría que romper la indeterminación para luego evaluar el límite nuevamente)En cuanto a calcular los primeros términos de una sucesión (Ej.: calcular los primeros 5 términos) esto no nos dice si la sucesión converge o diverge, sólo nos da un indicio de su comportamiento.

TIPS PARA LA DETERMINACIÓN DE CONVERGENCIA DE SERIES NUMÉRICAS.- Cuando tenemos una serie donde arriba es un número y abajo sea un número elevado a la “n”, el criterio a utilizar en el de “serie geométrica”. Ej:

Esta serie puede escribirse como:

Donde r=1/5 < 1.- Para series como:

Se puede reescribir como:

Procediendo luego como el anterior.- Para series como las siguientes:

El criterio que más conviene es el “criterio del término n-ésimo”. Hay que recordar que este criterio sólo sirve para determinar la divergencia y NO la convergencia. O sea, si el límite da diferente de cero (así sea infinito) la serie converge. Si el límite es cero NO se puede decir que converge, habría que utilizar otro criterio.- Observemos las siguientes series:

Se puede notar que se parecen a las anteriores que son por criterio de término n-ésimo, pero el límite de todas estas series es cero, por lo tanto se necesita otro criterio. Para estos tipos de series se usa el “criterio de la integral”. Sabiendo que si la integral impropia converge la serie también converge, y si la integral diverge la serie también diverge. Y ¿cómo se escribe la integral? Así:

- Cuando la serie contenga un número en el numerador, pero en el denominador tenga UNA sola “n” elevado a un número, entonces el criterio a usar el es “criterio de p-series”. Ej:

- Cuando la serie contenga FACTORIAL el criterio a usar es “criterio del cociente”. Ej:

También este criterio se usa cuando se tenga una “n” que este dividida o divida a un exponencial: Ej:

Nota: Cuando se calcula el límite de la división de factoriales, el FACTORIAL MAYOR hay que descomponerlo hasta que tenga un factor IGUAL al factorial menor, para luego simplificarlos.

También es importante saber una propiedad de potencia que dice que O sea, que si

se tiene “5n+1”, hay que escribir luego “5n5”. Ej:

Otro ejemplo: