Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grande avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

Construcción por números decimales

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como donde x es un número entero y cada di es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.

Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por y se le llama el conjunto de los números reales positivos.

Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por y se le llama el conjunto de los números reales negativos.

Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.

Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo

2. siempre que y

3. para todo 4. Dados dos números reales cualesquiera y

, en cualquiera de los casos siguientes: o

o y además existe tal que para todo y

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada ,

2. La relación es un orden total estricto en x3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n + . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)

1 es el sucesor de 0, entonces

2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a.

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe

biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al

conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los

conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y , entonces se cumple:

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que

    y    r < b.

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Existen los números irracionales...IRRACIONALES: números que NO son Racionales, los que NO se pueden escribir como un cociente de enteros

Lo que hay son demostraciones de que determinados números NO son racionales. Por ejemplo: √2 y otros en este link:http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayud…

EJEMPLOS DE IRRACIONALES:

Los más famosos:* π*el número e *el áureo = (1+√5)/2

*También todo tipo de combinaciones como de la forma:- π , 2π ,π/2, - π/3, 1/π, π+1, 3-π/8, .....3+√2, √3, √7/2, -√5, 3√π, 2-√11, √5-√3 ,....ln2, logπ , 2^π , ....

*También puedes inventar tus números Irracionales Por ejemplo:

0,123456789101112131415161718.......

1,212212221222212222212222221.......

0,102203330444405555506666660........

1, 12358132134.........(en una susec. Fibonacci)