texto_6_fouz_iiveles_van_hiele

Modelo de Van Hiele para ladidctica de la GeometraporFernando Fouz, Berritzegune de Donosti

1. IntroduccinComo la charla fue desarrollada en Power Point no puede ser trasladada di-

rectamente a estas pginas, debo rehacer su contenido para adaptarlo a un artculocomo ste. Por este motivo voy a tratar de explicar el modelo y sus caractersticasgenerales para que, aquellas personas interesadas en la necesaria promocin dela Geometra, puedan encontrar una herramienta til para organizar el currculogeomtrico y su desarrollo en las clases.

No es un modelo reciente, pues data de final de los cincuenta, pero, con lainterpretacin de los niveles a la didctica actual, no ha perdido ninguna vigenciay sus ideas principales, niveles de aprendizaje y fases para una didctica adecuadaque facilite el paso de un nivel a otro, tienen gran inters para la elaboracin de cu-rrculos abiertos de Geometra. Los niveles ayudan a secuenciar los contenidos ylas fases organizan las actividades que podemos disear en la unidades didcticas.

El trabajo se debe al matrimonio formado por Dina y Pierre Van Hiele aunque,la prematura muerte de Dina provoc que fuese su marido el encargado de sumayor difusin. El libro original donde se desarrolla la teora se titula Structureand Insight.

2. Ideas bsicas del modeloLa idea bsica de partida, dicho de forma sencilla y rpida, es que el apren-

dizaje de la Geometra se hace pasando por unos determinados niveles de pensa-miento y conocimiento, que no van asociados a la edad y que slo alcanzadoun nivel se puede pasar al siguiente. Es ms, se seala que cualquier persona, y

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Modelo de Van Hiele para ladidctica de la GeometraporFernando Fouz, Berritzegune de Donosti

1. IntroduccinComo la charla fue desarrollada en Power Point no puede ser trasladada di-

rectamente a estas pginas, debo rehacer su contenido para adaptarlo a un artculocomo ste. Por este motivo voy a tratar de explicar el modelo y sus caractersticasgenerales para que, aquellas personas interesadas en la necesaria promocin dela Geometra, puedan encontrar una herramienta til para organizar el currculogeomtrico y su desarrollo en las clases.

No es un modelo reciente, pues data de final de los cincuenta, pero, con lainterpretacin de los niveles a la didctica actual, no ha perdido ninguna vigenciay sus ideas principales, niveles de aprendizaje y fases para una didctica adecuadaque facilite el paso de un nivel a otro, tienen gran inters para la elaboracin de cu-rrculos abiertos de Geometra. Los niveles ayudan a secuenciar los contenidos ylas fases organizan las actividades que podemos disear en la unidades didcticas.

El trabajo se debe al matrimonio formado por Dina y Pierre Van Hiele aunque,la prematura muerte de Dina provoc que fuese su marido el encargado de sumayor difusin. El libro original donde se desarrolla la teora se titula Structureand Insight.

2. Ideas bsicas del modeloLa idea bsica de partida, dicho de forma sencilla y rpida, es que el apren-

dizaje de la Geometra se hace pasando por unos determinados niveles de pensa-miento y conocimiento, que no van asociados a la edad y que slo alcanzadoun nivel se puede pasar al siguiente. Es ms, se seala que cualquier persona, y

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68 Un Paseo por la Geometra

ante un nuevo contenido geomtrico a aprender, pasa por todos esos niveles y,su mayor o menor dominio de la Geometra, influir en que lo haga ms o menosrpidamente.

En el libro, sealado anteriormente, Van Hiele concreta que alcanzar un nivelsuperior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, unapersona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevosobjetos.

Antes de sealar los niveles concretos, es importante sealar algunas ideasprevias al modelo y referidas a los estudiantes que, basadas en la experiencia deltrabajo con ellos y ellas del matrimonio Van Hiele, marcan el diseo del modelo.Podemos sealar entre otras que, en la base del aprendizaje de la Geometra, haydos elementos importantes el lenguaje utilizado y la significatividad de loscontenidos. Lo primero implica que los niveles, y su adquisicin, van muy unidosal dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo, que slo van a asimilar aquelloque les es presentado a nivel de su razonamiento. Si no es as se debe esperar aque lo alcancen para ensearles un contenido matemtico nuevo.

Para terminar estos previos Van Hiele seala que no hay un mtodo pana-cea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseanzaadecuadas se puede predisponer a los estudiantes a su adquisicin.

3. Niveles de Van Hiele: Denominacin y descripcinLos niveles son cinco y se suelen nombrar con los nmeros del 1 al 5, sin

embargo, es ms utilizada la notacin del 0 al 4. Estos niveles se denominan de lasiguiente manera:

NIVEL 0: Visualizacin o reconocimiento

NIVEL 1: Anlisis

NIVEL 2: Ordenacin o clasificacin

NIVEL 3: Deduccin formal

NIVEL 4: Rigor

Dado que el nivel 5o se piensa que es inalcanzable para los estudiantes y mu-chas veces se prescinde de l, adems, trabajos realizados sealan que los es-tudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. Esimportante sealar que, un o una estudiante puede estar, segn el contenido tra-bajado, en un nivel u otro distinto. A continuacin vamos a describir cules sonlas caractersticas de cada nivel. Desde las perspectiva del aprendizaje de los es-tudiantes.


ante un nuevo contenido geomtrico a aprender, pasa por todos esos niveles y,su mayor o menor dominio de la Geometra, influir en que lo haga ms o menosrpidamente.

En el libro, sealado anteriormente, Van Hiele concreta que alcanzar un nivelsuperior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, unapersona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevosobjetos.

Antes de sealar los niveles concretos, es importante sealar algunas ideasprevias al modelo y referidas a los estudiantes que, basadas en la experiencia deltrabajo con ellos y ellas del matrimonio Van Hiele, marcan el diseo del modelo.Podemos sealar entre otras que, en la base del aprendizaje de la Geometra, haydos elementos importantes el lenguaje utilizado y la significatividad de loscontenidos. Lo primero implica que los niveles, y su adquisicin, van muy unidosal dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo, que slo van a asimilar aquelloque les es presentado a nivel de su razonamiento. Si no es as se debe esperar aque lo alcancen para ensearles un contenido matemtico nuevo.

Para terminar estos previos Van Hiele seala que no hay un mtodo pana-cea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseanzaadecuadas se puede predisponer a los estudiantes a su adquisicin.

3. Niveles de Van Hiele: Denominacin y descripcinLos niveles son cinco y se suelen nombrar con los nmeros del 1 al 5, sin

embargo, es ms utilizada la notacin del 0 al 4. Estos niveles se denominan de lasiguiente manera:

NIVEL 0: Visualizacin o reconocimiento

NIVEL 1: Anlisis

NIVEL 2: Ordenacin o clasificacin

NIVEL 3: Deduccin formal

NIVEL 4: Rigor

Dado que el nivel 5o se piensa que es inalcanzable para los estudiantes y mu-chas veces se prescinde de l, adems, trabajos realizados sealan que los es-tudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. Esimportante sealar que, un o una estudiante puede estar, segn el contenido tra-bajado, en un nivel u otro distinto. A continuacin vamos a describir cules sonlas caractersticas de cada nivel. Desde las perspectiva del aprendizaje de los es-tudiantes.

Modelo de Van Hiele para la didctica de la Geometra 69

3.1 NIVEL 0: VISUALIZACIN O RECONOCIMIENTO

Tres son las caractersticas fundamentales de este nivel:1) Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar

sus atributos y componentes.2) Se describen por su apariencia fsica mediante descripciones meramente

visuales y asemejndoles a elementos familiares del entorno (parece una rueda,es como una ventana, etc) No hay lenguaje geomtrico bsico para llamar a lasfiguras por su nombre correcto.

3) No reconocen de forma explcita componentes y propiedades de los objetosmotivo de trabajo

3.2 NIVEL 1: ANLISIS

1) Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias) de losobjetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observacin como de la experi-mentacin.

2) De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedadespero no de relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Comomuchas definiciones en Geometra se elaboran a partir de propiedades no puedenelaborar definiciones.

3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propieda-des

4) Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de suspropiedades.

3.3 NIVEL 2: ORDENACIN O CLASIFICACIN

Antes de sealar las caractersticas del nivel conviene sealar que, en el an-terior nivel, los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que inician el razona-miento matemtico, sealando qu figuras cumplen una determinada propiedadmatemtica pero siempre considerar las propiedades como independientes no es-tableciendo, por tanto, relaciones entre propiedades equivalentes. Alcanzar estenivel significa que...

1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se sealan las condicio-nes necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conllevaentender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometra y losrequisitos que siempre requieren.

2) Realizan clasificaciones lgicas de manera formal ya que el nivel de surazonamiento matemtico ya est iniciado. Esto significa que reconocen cmounas propiedades derivan de otras , estableciendo relaciones entre propiedades ylas consecuencias de esas relaciones.


3.1 NIVEL 0: VISUALIZACIN O RECONOCIMIENTO

Tres son las caractersticas fundamentales de este nivel:1) Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar

sus atributos y componentes.2) Se describen por su apariencia fsica mediante descripciones meramente

visuales y asemejndoles a elementos familiares del entorno (parece una rueda,es como una ventana, etc) No hay lenguaje geomtrico bsico para llamar a lasfiguras por su nombre correcto.

3) No reconocen de forma explcita componentes y propiedades de los objetosmotivo de trabajo

3.2 NIVEL 1: ANLISIS

1) Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias) de losobjetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observacin como de la experi-mentacin.

2) De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedadespero no de relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Comomuchas definiciones en Geometra se elaboran a partir de propiedades no puedenelaborar definiciones.

3) Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propieda-des

4) Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de suspropiedades.

3.3 NIVEL 2: ORDENACIN O CLASIFICACIN

Antes de sealar las caractersticas del nivel conviene sealar que, en el an-terior nivel, los estudiantes empiezan a generalizar, con lo que inician el razona-miento matemtico, sealando qu figuras cumplen una determinada propiedadmatemtica pero siempre considerar las propiedades como independientes no es-tableciendo, por tanto, relaciones entre propiedades equivalentes. Alcanzar estenivel significa que...

1) Se describen las figuras de manera formal, es decir, se sealan las condicio-nes necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conllevaentender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometra y losrequisitos que siempre requieren.

2) Realizan clasificaciones lgicas de manera formal ya que el nivel de surazonamiento matemtico ya est iniciado. Esto significa que reconocen cmounas propiedades derivan de otras , estableciendo relaciones entre propiedades ylas consecuencias de esas relaciones.


3) Siguen las demostraciones pero, en la mayora de los casos, no las entiendenen cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lgico soncapaces de seguir pasos individuales de un razonamiento pero no de asimilarloen su globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza axiomtica de laGeometra.

3.4 NIVEL 3: DEDUCCIN FORMAL

1) En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lgicas y forma-les, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.

2) Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizanen sistemas axiomticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomtica de lasMatemticas.

3) Se comprende cmo se puede llegar a los mismos resultados partiendo deproposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se puedan realizardistintas forma de demostraciones para obtener un mismo resultado.

Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento lgi-co, se tiene una visin globalizadora de las Matemticas.

3.5 NIVEL 4: RIGOR

1) Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomticos y se puedenanalizar y comparar permitiendo comparar diferentes geometras.

2) Se puede trabajar la Geometra de manera abstracta sin necesidad de ejem-plos concretos, alcanzndose el ms alto nivel de rigor matemtico.

4. Caractersticas de los niveles

En un primer lugar hablamos de secuenciacin, algo que, visto o explicadohasta ahora, no necesita ms explicacin, de jerarquizacin esto es, los nivelestienen un orden que no se puede alterar, lo cual es obvio visto tambin lo anterior ylos niveles son recursivos. Esta ltima idea es importante y conviene explicarlay concretarla un poco ms. Esta caracterstica nos indica que lo que es implcitoen un nivel se convierte en explcito en el siguiente nivel.

Un esquema, prescindiendo del ltimo nivel, mediante una tabla de esta ideapuede ser esclarecedor:


3) Siguen las demostraciones pero, en la mayora de los casos, no las entiendenen cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lgico soncapaces de seguir pasos individuales de un razonamiento pero no de asimilarloen su globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza axiomtica de laGeometra.

3.4 NIVEL 3: DEDUCCIN FORMAL

1) En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lgicas y forma-les, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.

2) Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizanen sistemas axiomticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomtica de lasMatemticas.

3) Se comprende cmo se puede llegar a los mismos resultados partiendo deproposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se puedan realizardistintas forma de demostraciones para obtener un mismo resultado.

Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento lgi-co, se tiene una visin globalizadora de las Matemticas.

3.5 NIVEL 4: RIGOR

1) Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomticos y se puedenanalizar y comparar permitiendo comparar diferentes geometras.

2) Se puede trabajar la Geometra de manera abstracta sin necesidad de ejem-plos concretos, alcanzndose el ms alto nivel de rigor matemtico.

4. Caractersticas de los niveles

En un primer lugar hablamos de secuenciacin, algo que, visto o explicadohasta ahora, no necesita ms explicacin, de jerarquizacin esto es, los nivelestienen un orden que no se puede alterar, lo cual es obvio visto tambin lo anterior ylos niveles son recursivos. Esta ltima idea es importante y conviene explicarlay concretarla un poco ms. Esta caracterstica nos indica que lo que es implcitoen un nivel se convierte en explcito en el siguiente nivel.

Un esquema, prescindiendo del ltimo nivel, mediante una tabla de esta ideapuede ser esclarecedor:


La segunda caracterstica a sealar es el lenguaje especfico para cada nivel.La progresin en y entre los niveles va muy unida a la mejora del lenguaje ma-temtico necesario en el aprendizaje. No s trata slo de adquirir conocimientosmatemticos sino tambin mejoras y ampliar las capacidades referidas al lenguajenecesario en cada nivel. Como ms tarde sealaremos en este modelo es muy im-portante el test-entrevista, es decir, que se da mucha importancia a que expliquenlo que saben y cmo lo saben no slo que lo escriban en respuesta a un problemao un test de tems ms o menos abiertos.

La tercera idea es si el aprendizaje y, por tanto, el paso de nivel se hace deuna manera continua o discreta. La idea, eterno dilema, es si el salto es repen-tino o se hace de forma gradual. Nos parece lgico pensar que se hace de formacontinua mediante pequeos saltos que conexos que nos darn el paso final denivel. Esto est ms de acuerdo con las teoras cognitivas modernas del aprendi-zaje que sealan cmo creamos esquemas significativos de pensamiento, mejorespero cercanos a los que tenamos, que se interconectan entre s y que, a su vez,podemos reemplazar por otros nuevas ms sencillos y prcticos que los anteriores.Para construir o mejorar estos esquemas tiene mucha importancia la interaccinalumno/a- profesor/a. Lo sealado en el prrafo anterior (test-entrevista) sera yael punto de partida para conocer estos esquemas de pensamiento.

5. Cambios de nivel. Fases del paso entre nivelesLo visto hasta ahora, parece darnos pista de cmo podemos secuenciar los

contenidos curriculares de Geometra cuando tenemos que construir o disear uncurrculo de Geometra para una determinada etapa educativa (EP, ESO, Bachille-rato, etc). Cuando trabajamos con currculos abiertos esto es primordial siempreque queramos disear un currculo propio conforme a nuestros criterios educati-vos.

Lo que vamos a ver ahora nos puede dar pistas de cmo organizar las activi-


ELEMENTOS EXPLCITOS ELEMENTOS IMPLCITOS

NIVEL 0 Figuras y objetos Partes y propiedades de las figuras y objetos

NIVEL 1 Partes y propiedades de las figuras y objetos

Implicaciones entre propiedades de figuras y objetos

NIVEL 2 Implicaciones entre propiedades de figuras y objetos

Deduccin formal de teoremas

NIVEL 3 Deduccin formal de teoremas Relacin entre los teoremas (sistemas axiomticos)

La segunda caracterstica a sealar es el lenguaje especfico para cada nivel.La progresin en y entre los niveles va muy unida a la mejora del lenguaje ma-temtico necesario en el aprendizaje. No s trata slo de adquirir conocimientosmatemticos sino tambin mejoras y ampliar las capacidades referidas al lenguajenecesario en cada nivel. Como ms tarde sealaremos en este modelo es muy im-portante el test-entrevista, es decir, que se da mucha importancia a que expliquenlo que saben y cmo lo saben no slo que lo escriban en respuesta a un problemao un test de tems ms o menos abiertos.

La tercera idea es si el aprendizaje y, por tanto, el paso de nivel se hace deuna manera continua o discreta. La idea, eterno dilema, es si el salto es repen-tino o se hace de forma gradual. Nos parece lgico pensar que se hace de formacontinua mediante pequeos saltos que conexos que nos darn el paso final denivel. Esto est ms de acuerdo con las teoras cognitivas modernas del aprendi-zaje que sealan cmo creamos esquemas significativos de pensamiento, mejorespero cercanos a los que tenamos, que se interconectan entre s y que, a su vez,podemos reemplazar por otros nuevas ms sencillos y prcticos que los anteriores.Para construir o mejorar estos esquemas tiene mucha importancia la interaccinalumno/a- profesor/a. Lo sealado en el prrafo anterior (test-entrevista) sera yael punto de partida para conocer estos esquemas de pensamiento.

5. Cambios de nivel. Fases del paso entre nivelesLo visto hasta ahora, parece darnos pista de cmo podemos secuenciar los

contenidos curriculares de Geometra cuando tenemos que construir o disear uncurrculo de Geometra para una determinada etapa educativa (EP, ESO, Bachille-rato, etc). Cuando trabajamos con currculos abiertos esto es primordial siempreque queramos disear un currculo propio conforme a nuestros criterios educati-vos.

Lo que vamos a ver ahora nos puede dar pistas de cmo organizar las activi-


dades dentro de una unidad didctica, es decir, qu tipo de actividades vamos ahacer conforme al desarrollo de la unidad. En este punto conviene resaltar a qunos referimos con tipo de actividades para no mezclar churras con merinas. Amenudo se suele mezclar el cmo y qu se hace y a qu va dirigida una ac-tividad con su contenido especfico. Cuando hablamos de a qu va dirigida nosreferimos a si se trata de una actividad de presentacin de un tema, de refuerzo, derepaso o de profundizacin, de resumen, de grupo, individual, dinmica de gru-pos, etc. Sin embargo, cuando hablamos de cmo y qu se hace nos referimos alcontenido propio de la actividad como resolver problemas abiertos, uso de instru-mentos de medida, geometra inductiva, clculos mtricos o estimacin, dibujos,construcciones con slidos, etc.

Vamos entonces a dar pistas ms para contestar a cmo organizar las acti-vidades que al tipo concreta de ellas. En su trabajos los Van Hiele enfatizan enla idea que el paso de un nivel a otro depende ms de la enseanza recibidaque de la edad o madurez, es decir, dan una gran importancia a la organizacindel proceso de enseanza-aprendizaje as como a las actividades diseadas y losmateriales utilizados.

Las fases que postulan en su modelo son cinco y que, a continuacin, se des-criben:

FASE 1a: PREGUNTAS/INFORMACIN

FASE 2a: ORIENTACIN DIRIGIDA

FASE 3a: EXPLICACIN (EXPLICITACIN)

FASE 4a: ORIENTACIN LIBRE

FASE 5a: INTEGRACIN


Se trata de determinar, o acercarse lo ms posible, a la situacin real de losalumnos/as. Se cumplira la famosa afirmacin de Ausubel: Si tuviera que redu-cir toda la Psicologa Educativa a un solo principio dira lo siguiente: el factorms importante que el influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a sabe. Aver-gese esto y ensese en consecuencia (Ausubel 1978).

Est fase es oral y mediante las preguntas adecuadas se trata de determinar elpunto de partida de los alumnos/as y el camino a seguir de las actividades siguien-tes. Se puede realizar mediante un test o preguntas individualizadas utilizando ac-tividades del nivel de partida. Cabe sealar que muchas veces el nivel no lo marcatanto la pregunta coma la respuesta, es decir, diseamos una pregunta pensando


dades dentro de una unidad didctica, es decir, qu tipo de actividades vamos ahacer conforme al desarrollo de la unidad. En este punto conviene resaltar a qunos referimos con tipo de actividades para no mezclar churras con merinas. Amenudo se suele mezclar el cmo y qu se hace y a qu va dirigida una ac-tividad con su contenido especfico. Cuando hablamos de a qu va dirigida nosreferimos a si se trata de una actividad de presentacin de un tema, de refuerzo, derepaso o de profundizacin, de resumen, de grupo, individual, dinmica de gru-pos, etc. Sin embargo, cuando hablamos de cmo y qu se hace nos referimos alcontenido propio de la actividad como resolver problemas abiertos, uso de instru-mentos de medida, geometra inductiva, clculos mtricos o estimacin, dibujos,construcciones con slidos, etc.

Vamos entonces a dar pistas ms para contestar a cmo organizar las acti-vidades que al tipo concreta de ellas. En su trabajos los Van Hiele enfatizan enla idea que el paso de un nivel a otro depende ms de la enseanza recibidaque de la edad o madurez, es decir, dan una gran importancia a la organizacindel proceso de enseanza-aprendizaje as como a las actividades diseadas y losmateriales utilizados.

Las fases que postulan en su modelo son cinco y que, a continuacin, se des-criben:





FASE 5a: INTEGRACIN


Se trata de determinar, o acercarse lo ms posible, a la situacin real de losalumnos/as. Se cumplira la famosa afirmacin de Ausubel: Si tuviera que redu-cir toda la Psicologa Educativa a un solo principio dira lo siguiente: el factorms importante que el influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a sabe. Aver-gese esto y ensese en consecuencia (Ausubel 1978).

Est fase es oral y mediante las preguntas adecuadas se trata de determinar elpunto de partida de los alumnos/as y el camino a seguir de las actividades siguien-tes. Se puede realizar mediante un test o preguntas individualizadas utilizando ac-tividades del nivel de partida. Cabe sealar que muchas veces el nivel no lo marcatanto la pregunta coma la respuesta, es decir, diseamos una pregunta pensando


en un nivel concreto y, la respuesta recibida, nos puede sealar un nivel distintodel pensado inicialmente.


Aqu es donde la importancia de la capacidad didctica del profesor/a ms seva a necesitar. De su experiencia sealan que el rendimiento de los alumnos/as(resultados ptimos frente a tiempo empleado) no es bueno si no existen una seriede actividades concretas, bien secuenciadas, para que los alumnos/as descubran,comprendan, asimilen, apliquen, etc las ideas, conceptos, propiedades, relaciones,etc que sern motivo de su aprendizaje en ese nivel.


Es una fase de interaccin (intercambio de ideas y experiencias) entre alum-nos/as y en la que el papel del profesor/a se reduce en cuanto a contenidos nuevosy, sin embargo, su actuacin va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos/asconforme a lo requerido en ese nivel.

La interaccin entre alumnos/as es importante ya que les obliga o ordenar susideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible para los dems.


Aparecen actividades ms complejas fundamentalmente referidas a aplicar loanteriormente adquirido, tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario.Estas actividades debern ser lo suficientemente abiertas, lo ideal son problemasabiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser devarias respuestas vlidas conforme a la interpretacin del enunciado. Esta idea lesobliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razona-miento y lenguaje cada vez ms potente.

FASE 5a: INTEGRACIN

La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan contenidosnuevos sino que slo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una redinterna de conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la que ya posea.

Como idea final podemos sealar como en esta estructura de actividades sepueden integrar perfectamente actividades de recuperacin para los alumnos/asque presenten algn retraso en la adquisicin de los conocimientos geomtricosy, por otra parte, rehaciendo adecuadamente los grupos profundizar algo ms conaquellos alumnos/as de mejor rendimiento Aunque no se ha explicitado las ac-tividades de evaluacin, tambin se integraran fcilmente en esta estructura deactividades.


en un nivel concreto y, la respuesta recibida, nos puede sealar un nivel distintodel pensado inicialmente.


Aqu es donde la importancia de la capacidad didctica del profesor/a ms seva a necesitar. De su experiencia sealan que el rendimiento de los alumnos/as(resultados ptimos frente a tiempo empleado) no es bueno si no existen una seriede actividades concretas, bien secuenciadas, para que los alumnos/as descubran,comprendan, asimilen, apliquen, etc las ideas, conceptos, propiedades, relaciones,etc que sern motivo de su aprendizaje en ese nivel.


Es una fase de interaccin (intercambio de ideas y experiencias) entre alum-nos/as y en la que el papel del profesor/a se reduce en cuanto a contenidos nuevosy, sin embargo, su actuacin va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos/asconforme a lo requerido en ese nivel.

La interaccin entre alumnos/as es importante ya que les obliga o ordenar susideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible para los dems.


Aparecen actividades ms complejas fundamentalmente referidas a aplicar loanteriormente adquirido, tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario.Estas actividades debern ser lo suficientemente abiertas, lo ideal son problemasabiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser devarias respuestas vlidas conforme a la interpretacin del enunciado. Esta idea lesobliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razona-miento y lenguaje cada vez ms potente.

FASE 5a: INTEGRACIN

La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan contenidosnuevos sino que slo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una redinterna de conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la que ya posea.

Como idea final podemos sealar como en esta estructura de actividades sepueden integrar perfectamente actividades de recuperacin para los alumnos/asque presenten algn retraso en la adquisicin de los conocimientos geomtricosy, por otra parte, rehaciendo adecuadamente los grupos profundizar algo ms conaquellos alumnos/as de mejor rendimiento Aunque no se ha explicitado las ac-tividades de evaluacin, tambin se integraran fcilmente en esta estructura deactividades.


6. Algunos estudios de aplicacin del modelo de Van Hiele: Casode tringulos y cuadrilteros

Hoy en da, al ser un modelo muy conocido y admitido por muchos docentes,existen bastantes trabajos de aplicacin del modelo. Existe un interesante trabajode ngel Gutirrez y Adela Jaime referido al estudio de los giros y, quizs, eltrabajo que paso a explicar a continuacin, referido al caso de tringulos y cuadri-lteros es de los ms conocidos. Se debe a M. Cowley y est referido al estudiode cuadrilteros y tringulos y seala lo que alcanzan en cada nivel y lo que, porotro lado, no logran. Estn resumidas las ideas ms importantes

NIVEL 0. VISUALIZACIN/RECONOCIMIENTO

En cuanto a lo adquirido podemos sealar que el alumno/a... Identifica cuadradros en un conjunto de recortables. Seala ngulos, rectngulos y tringulos en diferentes posiciones en fotos,

lminas, etc. Marca figuras en una trama o malla (ngulos, paralelas, sierras, escaleras,

etc.). Realiza figuras con instrumentos: rectngulos, paralelas, etc. Seala los ngulos como esquinas o los marca en figuras. Seala que un rectngulo es un cuadrado ms estrecho, un paralelogramo

es un rectngulo inclinado, un ngulo las agujas de un reloj. Usa el mtodo de ensayo-error con mosaicos. Coloca teselas cuadradas en un rectngulo y las cuenta para aproximar su

rea. Identifica cuadrados pero espontneamente pero... no indica: igual lados y

ngulos rectos. Seala y mide los lados de un cuadrado pero... no generaliza: igual lados

para todos los cuadrados. No usa espontneamente cuantificadores como: todos, alguno, cada, nin-

guno referidos a si tienen determinada propiedad geomtrica.

NIVEL 1: ANLISIS

Seala que la figura tiene cuatro lados iguales y cuatro ngulos rectos. Comprueba que en un paralelogramo los lados opuestos son paralelos. Seala las semejanzas y diferencias entre cuadrado y rectngulo. Inventa un criterio para clasificar cuadrilteros (dos rectos, pares de lados

paralelos, etc.). Describe una sierra a partir de una propiedad y la utiliza para determinar

ngulos iguales en una trama.


6. Algunos estudios de aplicacin del modelo de Van Hiele: Casode tringulos y cuadrilteros

Hoy en da, al ser un modelo muy conocido y admitido por muchos docentes,existen bastantes trabajos de aplicacin del modelo. Existe un interesante trabajode ngel Gutirrez y Adela Jaime referido al estudio de los giros y, quizs, eltrabajo que paso a explicar a continuacin, referido al caso de tringulos y cuadri-lteros es de los ms conocidos. Se debe a M. Cowley y est referido al estudiode cuadrilteros y tringulos y seala lo que alcanzan en cada nivel y lo que, porotro lado, no logran. Estn resumidas las ideas ms importantes

NIVEL 0. VISUALIZACIN/RECONOCIMIENTO

En cuanto a lo adquirido podemos sealar que el alumno/a... Identifica cuadradros en un conjunto de recortables. Seala ngulos, rectngulos y tringulos en diferentes posiciones en fotos,

lminas, etc. Marca figuras en una trama o malla (ngulos, paralelas, sierras, escaleras,

etc.). Realiza figuras con instrumentos: rectngulos, paralelas, etc. Seala los ngulos como esquinas o los marca en figuras. Seala que un rectngulo es un cuadrado ms estrecho, un paralelogramo

es un rectngulo inclinado, un ngulo las agujas de un reloj. Usa el mtodo de ensayo-error con mosaicos. Coloca teselas cuadradas en un rectngulo y las cuenta para aproximar su

rea. Identifica cuadrados pero espontneamente pero... no indica: igual lados y

ngulos rectos. Seala y mide los lados de un cuadrado pero... no generaliza: igual lados

para todos los cuadrados. No usa espontneamente cuantificadores como: todos, alguno, cada, nin-

guno referidos a si tienen determinada propiedad geomtrica.

NIVEL 1: ANLISIS

Seala que la figura tiene cuatro lados iguales y cuatro ngulos rectos. Comprueba que en un paralelogramo los lados opuestos son paralelos. Seala las semejanzas y diferencias entre cuadrado y rectngulo. Inventa un criterio para clasificar cuadrilteros (dos rectos, pares de lados

paralelos, etc.). Describe una sierra a partir de una propiedad y la utiliza para determinar

ngulos iguales en una trama.


A partir de una malla triangular puede descubrir la suma de los ngulosinteriores de un tringulo.

Puede calcular el rea de un tringulo rectngulo a partir de la del rectngulo. A partir de medidas de ngulos obtiene que el ngulo exterior a un tringulo

es la suma de los no-adyacentes. Dan informacin basada en propiedades para dibujar la figura. Despus de clasificar cuadrilteros en cometas y no-cometas, describe pro-

piedades de las cometas.Resuelve problemas sencillos identificando figuras en combinacin con otras Identifica propiedades en paralelogramos pero no identifica el conjunto de

propiedades necesarias para definirlo. Despus de ver propiedades de una familia de cuadrilteros no justifica

que todos los cuadrados son cometas.Despus de descubrir en una malla triangular que los ngulos de un tringulo

suman 180o no generaliza el resultado para todo tringulo rectngulo.

NIVEL 2: ORDENACIN O CLASIFICACIN

Selecciona propiedades que caracterizan una serie de formas y prueba, me-diante dibujos o construcciones, que son suficientes.

Formula un definicin para una cometa y la usa para explicar qu es cometay qu no.

Contesta razonadamente a preguntas como: un rectngulo es un paralelo-gramo?

Lo mismo con cometas y cuadrados. Deduce que los ngulos internos de un cuadriltero suman 360o a partir de

dividirlo en dos tringulos. Justifica la igualdad de los ngulos opuestos de un paralelogramo. Reconoce el papel de las explicaciones lgicas o argumentos deductivos en

la justificacin de hechosNo comprende el significado de la deduccin en un sentido axiomtico (no

ve la necesidad de las definiciones y supuestos bsicos). No distingue formalmente entre una afirmacin y su contraria. No establece relaciones entre redes de teoremas.NIVEL 3: DEDUCCIN FORMAL

Identifica las propiedades suficientes para definir un paralelogramo. Prueba de forma rigurosa que la suma de los ngulos de un tringulo es 180o. Demuestra que si un tringulo es issceles los ngulos de la base son iguales

y viceversa. Demuestra de forma sinttica o analtica que las diagonales de un paralelo-

gramo se cortan en su punto medio y compara los dos mtodos.


A partir de una malla triangular puede descubrir la suma de los ngulosinteriores de un tringulo.

Puede calcular el rea de un tringulo rectngulo a partir de la del rectngulo. A partir de medidas de ngulos obtiene que el ngulo exterior a un tringulo

es la suma de los no-adyacentes. Dan informacin basada en propiedades para dibujar la figura. Despus de clasificar cuadrilteros en cometas y no-cometas, describe pro-

piedades de las cometas.Resuelve problemas sencillos identificando figuras en combinacin con otras Identifica propiedades en paralelogramos pero no identifica el conjunto de

propiedades necesarias para definirlo. Despus de ver propiedades de una familia de cuadrilteros no justifica

que todos los cuadrados son cometas.Despus de descubrir en una malla triangular que los ngulos de un tringulo

suman 180o no generaliza el resultado para todo tringulo rectngulo.

NIVEL 2: ORDENACIN O CLASIFICACIN

Selecciona propiedades que caracterizan una serie de formas y prueba, me-diante dibujos o construcciones, que son suficientes.

Formula un definicin para una cometa y la usa para explicar qu es cometay qu no.

Contesta razonadamente a preguntas como: un rectngulo es un paralelo-gramo?

Lo mismo con cometas y cuadrados. Deduce que los ngulos internos de un cuadriltero suman 360o a partir de

dividirlo en dos tringulos. Justifica la igualdad de los ngulos opuestos de un paralelogramo. Reconoce el papel de las explicaciones lgicas o argumentos deductivos en

la justificacin de hechosNo comprende el significado de la deduccin en un sentido axiomtico (no

ve la necesidad de las definiciones y supuestos bsicos). No distingue formalmente entre una afirmacin y su contraria. No establece relaciones entre redes de teoremas.NIVEL 3: DEDUCCIN FORMAL

Identifica las propiedades suficientes para definir un paralelogramo. Prueba de forma rigurosa que la suma de los ngulos de un tringulo es 180o. Demuestra que si un tringulo es issceles los ngulos de la base son iguales

y viceversa. Demuestra de forma sinttica o analtica que las diagonales de un paralelo-

gramo se cortan en su punto medio y compara los dos mtodos.


Compara demostraciones alternativas del teorema de Pitgoras. Demuestra teoremas relativos a rectas paralelas cortadas por una secante. No examina la independencia, consecuencias o validez de un conjunto de

axiomas.

Nota: como se trata de estudiantes no universitarios este nivel y el siguiente noestn tratados en profundidad

NIVEL 4: RIGOR

Este nivel est fuera del estudio. En este nivel un alumno/a: Establece teoremas en diferentes sistemas axiomticos. Compara sistemas axiomticos (Geometra euclidiana / Geometra no-eucli-

diana). Establece la consistencia de un sistema de axiomas, la independencia de un

axioma o la equivalencia de distintos conjuntos de axiomas. Inventa mtodos generalizables para resolver diferentes clases de problemas.

7. Evaluacin en el modelo de Van HieleLa evaluacin es una de las claves de este modelo ya que la asignacin de

niveles, el punto de partida para la didctica, el seguimiento del avance en lasfases, etc debe hacerse con una evaluacin adecuada.

Como ya sealamos anteriormente el test-entrevista es la herramienta que seconsidera ms til para realizarla y, para ello se deben tener en cuenta algunasideas previas, as apuntamos que...

1. El nivel de razonamiento de los alumnos depende del rea de las Matemti-cas que se trate.

2. Se debe evaluar cmo los alumnos contestan y el por qu de sus respuestas,ms que lo que no contestan o contestan bien o mal.

3. En las preguntas no est el nivel de los alumnos/as sino que est en susrespuestas.

4. En unos contenidos se puede estar en un nivel y, en otros diferentes, en niveldistinto.

5. Cuando se encuentran en el paso de un nivel a otro puede resultar difcildeterminar la situacin real en que se encuentran.

8. Algunos ejemplos de preguntasUno de los tests ms conocidos es el de Salman Usinskin que se compone

de 25 preguntas, en principio, asociadas a los cinco niveles con igual nmerode preguntas. Vamos a elegir una pregunta por nivel y luego completaremos con


Compara demostraciones alternativas del teorema de Pitgoras. Demuestra teoremas relativos a rectas paralelas cortadas por una secante. No examina la independencia, consecuencias o validez de un conjunto de

axiomas.

Nota: como se trata de estudiantes no universitarios este nivel y el siguiente noestn tratados en profundidad

NIVEL 4: RIGOR

Este nivel est fuera del estudio. En este nivel un alumno/a: Establece teoremas en diferentes sistemas axiomticos. Compara sistemas axiomticos (Geometra euclidiana / Geometra no-eucli-

diana). Establece la consistencia de un sistema de axiomas, la independencia de un

axioma o la equivalencia de distintos conjuntos de axiomas. Inventa mtodos generalizables para resolver diferentes clases de problemas.

7. Evaluacin en el modelo de Van HieleLa evaluacin es una de las claves de este modelo ya que la asignacin de

niveles, el punto de partida para la didctica, el seguimiento del avance en lasfases, etc debe hacerse con una evaluacin adecuada.

Como ya sealamos anteriormente el test-entrevista es la herramienta que seconsidera ms til para realizarla y, para ello se deben tener en cuenta algunasideas previas, as apuntamos que...

1. El nivel de razonamiento de los alumnos depende del rea de las Matemti-cas que se trate.

2. Se debe evaluar cmo los alumnos contestan y el por qu de sus respuestas,ms que lo que no contestan o contestan bien o mal.

3. En las preguntas no est el nivel de los alumnos/as sino que est en susrespuestas.

4. En unos contenidos se puede estar en un nivel y, en otros diferentes, en niveldistinto.

5. Cuando se encuentran en el paso de un nivel a otro puede resultar difcildeterminar la situacin real en que se encuentran.

8. Algunos ejemplos de preguntasUno de los tests ms conocidos es el de Salman Usinskin que se compone

de 25 preguntas, en principio, asociadas a los cinco niveles con igual nmerode preguntas. Vamos a elegir una pregunta por nivel y luego completaremos con


algunas preguntas de un test propio que estoy actualmente diseando. En el testde Usinskin se respetan los nmeros originales de las preguntas.

4o Cules de las siguientes figuras son cuadrados?

A. Ninguno es un cuadrado.B. Slo G.C. Slo F y G.D. Slo I y G.E. Todos son cuadrados.

8o Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud (tres ejemplos semuestran a la derecha). Cul de las respuestas A-D no es cierta en un rombo?

A. Las dos diagonales tienen la misma longitud.B. Cada diagonal es bisectriz de dos ngulos del rom-bo.C. Las dos diagonales son perpendiculares.D. Los ngulos opuestos tienen la misma medida.E. Todas las respuestas anteriores son ciertas en unrombo.

12o He aqu dos afirmaciones:1a El tringulo ABC tiene tres lados iguales.2a En el tringulo ABC, los ngulos B y C tienen la misma medida.

Cul es la respuesta correcta?A. Las afirmaciones 1a y 2a no pueden ser ciertas a la vez.B. Si la 1a es cierta, entonces la 2a es cierta.C. Si la 2a es cierta, entonces la 1a es cierta.D. Si la 1a es falsa, entonces la 2a es falsa.D. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.

18o He aqu dos afirmaciones:I: Si una figura es un rectngulo, entonces cada diagonal bisecta a la otra.II: Si las diagonales de una figura se bisectan, la figura es un rectngulo

Cul, entre las siguientes respuestas, es correcta?A. Para probar que I es cierto, basta probar que II es cierto.B. Para probar que II es cierto, basta probar que I es cierto.C. Para probar que II es cierto, es suficiente elegir un rectngulo, cuyas

diagonales se bisectan una a la otra.


algunas preguntas de un test propio que estoy actualmente diseando. En el testde Usinskin se respetan los nmeros originales de las preguntas.

4o Cules de las siguientes figuras son cuadrados?

A. Ninguno es un cuadrado.B. Slo G.C. Slo F y G.D. Slo I y G.E. Todos son cuadrados.

8o Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud (tres ejemplos semuestran a la derecha). Cul de las respuestas A-D no es cierta en un rombo?

A. Las dos diagonales tienen la misma longitud.B. Cada diagonal es bisectriz de dos ngulos del rom-bo.C. Las dos diagonales son perpendiculares.D. Los ngulos opuestos tienen la misma medida.E. Todas las respuestas anteriores son ciertas en unrombo.

12o He aqu dos afirmaciones:1a El tringulo ABC tiene tres lados iguales.2a En el tringulo ABC, los ngulos B y C tienen la misma medida.

Cul es la respuesta correcta?A. Las afirmaciones 1a y 2a no pueden ser ciertas a la vez.B. Si la 1a es cierta, entonces la 2a es cierta.C. Si la 2a es cierta, entonces la 1a es cierta.D. Si la 1a es falsa, entonces la 2a es falsa.D. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.

18o He aqu dos afirmaciones:I: Si una figura es un rectngulo, entonces cada diagonal bisecta a la otra.II: Si las diagonales de una figura se bisectan, la figura es un rectngulo

Cul, entre las siguientes respuestas, es correcta?A. Para probar que I es cierto, basta probar que II es cierto.B. Para probar que II es cierto, basta probar que I es cierto.C. Para probar que II es cierto, es suficiente elegir un rectngulo, cuyas

diagonales se bisectan una a la otra.


D. Para probar que II es falsa, es suficiente elegir un no-rectngulo, cuyasdiagonales se bisectan una a la otra.

E. Ninguna de las respuestas A-D es correcta.

25o Suponga que ha probado las afirmaciones I y II:I.- Si p, entonces q.II.- Si s, entonces no q.Qu afirmacin se deduce de las anteriores I y II?A. Si p, entonces s.B. Si no p, entonces no q.C. Si p q, entonces s.D. Si s, entonces no p.E. Si no s, entonces p.

A continuacin figuran un grupo de preguntas propias, concentradas en lostres primeros niveles pues van dirigidas a alumnado no-universitario ya que stosson los niveles en los que pueden estar.

1a.- Cuntos elementos puedes nombrar en la figura de la derecha?A modo de ejemplo:

Puntos. Segmentos rectos. Segmentos curvos. Superficies. ngulos, etc.

2a.- Seala en la figura todos los polgonos y poliedros que identifiques


D. Para probar que II es falsa, es suficiente elegir un no-rectngulo, cuyasdiagonales se bisectan una a la otra.

E. Ninguna de las respuestas A-D es correcta.

25o Suponga que ha probado las afirmaciones I y II:I.- Si p, entonces q.II.- Si s, entonces no q.Qu afirmacin se deduce de las anteriores I y II?A. Si p, entonces s.B. Si no p, entonces no q.C. Si p q, entonces s.D. Si s, entonces no p.E. Si no s, entonces p.

A continuacin figuran un grupo de preguntas propias, concentradas en lostres primeros niveles pues van dirigidas a alumnado no-universitario ya que stosson los niveles en los que pueden estar.

1a.- Cuntos elementos puedes nombrar en la figura de la derecha?A modo de ejemplo:

Puntos. Segmentos rectos. Segmentos curvos. Superficies. ngulos, etc.

2a.- Seala en la figura todos los polgonos y poliedros que identifiques


3a.- Despus de sealar cmo se llama la figura de abajo, responde a: qu es...

A. CB. OC. ABD. OCE. AC BC?

4a.- Cul de las siguientes respuestas, referidas a la figura de la derecha, noes correcta?

A. Es un paralelogramo.B. Es un rombo.C. Es un cuadrado.D. Es un cuadriltero.E. No puede ser todo lo anterior a la vez.

5a.- Si disponemos de escuadra y cartabn, para trazar paralelas y perpendi-culares podemos desde el centro de un hexgono regular trazar ngulos de 30o,45o,60o, 90o, 120o, 135o 150o y 180o?

A. Slo los mltiplos de 60o.B. S, en todos los casos.C. Todos excepto 45o y 135o.D. No porque necesitamos adems un comps.E. Si no lo inscribimos en una circunferencia ser imposible.

6a.- La figura muestra una seccin hexagonal de un cubo qu respuesta de lassiguientes es falsa?

a. Los tringulos sobre la caras son issceles.b. Cada cara del cubo contiene un solo lado del hex-gono.c. La figura es imposible. en la realidad se trata de unailusin falsa.d. El hexgono es regular.e. Las dos partes en que se divide el cubo son idnti-cas.

7a.- Discute la validez de las siguientes afirmaciones: dos rectas en un planoson paralelas si...


3a.- Despus de sealar cmo se llama la figura de abajo, responde a: qu es...

A. CB. OC. ABD. OCE. AC BC?

4a.- Cul de las siguientes respuestas, referidas a la figura de la derecha, noes correcta?

A. Es un paralelogramo.B. Es un rombo.C. Es un cuadrado.D. Es un cuadriltero.E. No puede ser todo lo anterior a la vez.

5a.- Si disponemos de escuadra y cartabn, para trazar paralelas y perpendi-culares podemos desde el centro de un hexgono regular trazar ngulos de 30o,45o,60o, 90o, 120o, 135o 150o y 180o?

A. Slo los mltiplos de 60o.B. S, en todos los casos.C. Todos excepto 45o y 135o.D. No porque necesitamos adems un comps.E. Si no lo inscribimos en una circunferencia ser imposible.

6a.- La figura muestra una seccin hexagonal de un cubo qu respuesta de lassiguientes es falsa?

a. Los tringulos sobre la caras son issceles.b. Cada cara del cubo contiene un solo lado del hex-gono.c. La figura es imposible. en la realidad se trata de unailusin falsa.d. El hexgono es regular.e. Las dos partes en que se divide el cubo son idnti-cas.

7a.- Discute la validez de las siguientes afirmaciones: dos rectas en un planoson paralelas si...


A. Una perpendicular a la primera tambin lo es a la segunda.B. No se cortan en ningn punto.C. Cada una de ellas es paralela a una tercera recta.D. La distancia entre ellas es siempre constante.E. Construimos un tringulo con dos vrtices fijos en una recta y el tercero lo

movemos por la segunda recta. El rea de ese tringulo es siempre constante.

8o.- En una circunferencia elegimos dos puntos A y B cualesquiera. Cu-les de las siguientes afirmaciones no son ciertas?

A. Slo puedo construir un rectngulo inscrito siendo AB un lado.B. Puedo construir infinitos trapecios issceles inscritos de base AB.C. Puedo construir solamente un trapecio rectngulo inscrito de base AB.D. AB puede ser la hipotenusa de un tringulo rectngulo inscrito.

9a.- Las figuras de abajo se llaman COMETAS". Seala todas las propiedadesque identifiques y da una definicin precisa.

10a.- Segn se describe en las imgenes de abajo. Qu es un polgono?


A. Una perpendicular a la primera tambin lo es a la segunda.B. No se cortan en ningn punto.C. Cada una de ellas es paralela a una tercera recta.D. La distancia entre ellas es siempre constante.E. Construimos un tringulo con dos vrtices fijos en una recta y el tercero lo

movemos por la segunda recta. El rea de ese tringulo es siempre constante.

8o.- En una circunferencia elegimos dos puntos A y B cualesquiera. Cu-les de las siguientes afirmaciones no son ciertas?

A. Slo puedo construir un rectngulo inscrito siendo AB un lado.B. Puedo construir infinitos trapecios issceles inscritos de base AB.C. Puedo construir solamente un trapecio rectngulo inscrito de base AB.D. AB puede ser la hipotenusa de un tringulo rectngulo inscrito.

9a.- Las figuras de abajo se llaman COMETAS". Seala todas las propiedadesque identifiques y da una definicin precisa.

10a.- Segn se describe en las imgenes de abajo. Qu es un polgono?


Bibliografa[1] M.L. Crowley, The van Hiele model of development of Geometric thought,N.T.C.M.: Learning and teaching geometry, K12, N.T.C.M., Reston, pp. 1-16,1987.

[2] Z. Usiskin, Van Hiele leeels and achievement in secondary school Geometry,Department of Education, University of Chicago, 1982.

[3] P. Van Hiele, Structure and insight, Academic Press, New York, 1986.[4] A.P. Jaime y A.R. Gutirrez, Una propuesta de Fundamentacin para la En-seanza de la Geometra: El modelo de van Hiele, Prctica en Educacin Mate-mtica: Captulo 6o, pg. 295-384. Ediciones Alfar, Sevilla, 1990.

Pginas Webhttp://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_84.htmlhttp://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate5f.htm

Fernando FouzBerritzegune de Donosti

Ataritzar Bidea, 1620013 DONOSTIA

e-mail: [email protected]


Bibliografa[1] M.L. Crowley, The van Hiele model of development of Geometric thought,N.T.C.M.: Learning and teaching geometry, K12, N.T.C.M., Reston, pp. 1-16,1987.

[2] Z. Usiskin, Van Hiele leeels and achievement in secondary school Geometry,Department of Education, University of Chicago, 1982.

[3] P. Van Hiele, Structure and insight, Academic Press, New York, 1986.[4] A.P. Jaime y A.R. Gutirrez, Una propuesta de Fundamentacin para la En-seanza de la Geometra: El modelo de van Hiele, Prctica en Educacin Mate-mtica: Captulo 6o, pg. 295-384. Ediciones Alfar, Sevilla, 1990.

Pginas Webhttp://www.hemerodigital.unam.mx/ANUIES/upn/vol13/sec_84.htmlhttp://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate5f.htm

Fernando FouzBerritzegune de Donosti

Ataritzar Bidea, 1620013 DONOSTIA

e-mail: [email protected]

82 Un Paseo por la Geometra 82 Un Paseo por la Geometra

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