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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

INDUSTRIALES

ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES

MECÁNICAS

DE OBLEAS DE SILICIO

Tesis Doctoral

Josu Barredo Egusquiza

Ingeniero Industrial

2013

DPTO. MECÁNICA ESTRUCTURAL YCONSTRUCCIONES INDUSTRIALES

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROSINDUSTRIALES

ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES

MECÁNICAS

DE OBLEAS DE SILICIO

Tesis Doctoral

Autor: Josu Barredo EgusquizaIngeniero Industrial

Directores: Lutz Karl-Heinz HermannsDr. Ingeniero Civil

por la Universidad Politécnica de Madrid

Alberto Fraile de LermaDr. Ingeniero Industrial

por la Universidad Politécnica de Madrid

2013

Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo. Sr. Rector de la Uni-

versidad Politécnica de Madrid, el día 19 de Julio de 2013.

Presidente: D. Antonio Luque López

Vocal: D. Federico París Carballo

Vocal: D. Alfonso Fernández Canteli

Vocal: D. Juan Carlos Jimeno Cuesta

Secretario: Da. Sagrario Gómez Lera

Suplente: Da. María Antonia García Prieto

Suplente: D. Juan José Benito Muñoz

Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el día 24 de Sep-

tiembre de 2013 en la E.T.S. Ingenieros Industriales.

CALIFICACIÓN:

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Índice general

Índice general vi

Índice de �guras xii

Índice de tablas xiv

AGRADECIMIENTOS xv

RESUMEN xvii

ABSTRACT xix

I Planteamiento del problema 1

1. Introducción 31.1. Importancia de la energía solar fotovoltaica . . . . . . . . . . . . 31.2. Tipos de energía solar fotovoltaica . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Sistemas fotovoltaicos basados en silicio cristalino . . . . . . . . 51.4. Objetivo de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1. Parte I - Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . 71.5.2. Parte II - Caracterización . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.3. Parte III - Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Obleas de Silicio: tipos, formación y propiedades del material 132.1. Obleas de Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Obtención y puri�cación del silicio . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Obtención del lingote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Corte del lingote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Estructura cristalográ�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1. In�uencia de la estructura cristalina en la resistencia del

silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

iii

2.2.2. In�uencia de la estructura cristalina en el comportamien-to del silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Conceptos teóricos necesarios para el dimensionamiento demateriales frágiles 313.1. Métodos de dimensionamiento de materiales frágiles . . . . . . . 31

3.1.1. Método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2. Método indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Caracterización de los defectos del material: estadística de va-lores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Modelo de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1. Desarrollo del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.2. Estado de tensiones multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.3. Estado de tensiones no uniforme . . . . . . . . . . . . . . 413.3.4. Método para determinar los parámetros de Weibull . . . 42

II Caracterización 47

4. Ensayos 494.1. Tipos de ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1. Ensayo de �exión en cuatro líneas . . . . . . . . . . . . . 504.1.2. Ensayos �ring-on-ring� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.3. Ensayo �twist-test� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Procedimiento de ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.1. Pesaje y clasi�cación de la muestra . . . . . . . . . . . . 544.2.2. Obtención de la curva de rigidez de la máquina . . . . . 544.2.3. Realización de ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Modelos numéricos 595.1. Modelos simulando el ensayo de �exión en cuatro líneas . . . . . 59

5.1.1. Expresiones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.2. Modelo tridimensional con elementos lámina . . . . . . . 615.1.3. Modelo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.4. Modelo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.5. Modelo tridimensional con elementos sólidos . . . . . . . 705.1.6. Comparación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2. Modelos simulando el ensayo �ring-on-ring� . . . . . . . . . . . . 735.2.1. Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.2. Modelo tridimensional con elementos lámina . . . . . . . 755.2.3. Modelo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.4. Modelo tridimensional con elementos sólidos . . . . . . . 795.2.5. Comparación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3. Modelos simulando el ensayo �twist-test� . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.1. Modelo tridimensional con elementos lámina . . . . . . . 835.3.2. Modelo tridimensional con elementos sólido . . . . . . . 865.3.3. Comparación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

III Aplicaciones 89

6. In�uencia del método de obtención del lingote de silicio en laspropiedades mecánicas de las obleas 916.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Consideraciones acerca de las muestras . . . . . . . . . . . . . . 926.3. Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4. Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5. Ajuste estadístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.6. Resultados y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7. Caracterización del daño super�cial producido por el procesode corte 1077.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2. Muestras preparadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3. Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4. Modelo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.5. Ajuste estadístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.5.1. Distribución de Weibull biparamétrica . . . . . . . . . . 1167.5.2. Distribución de Weibull triparamétrica . . . . . . . . . . 121

7.6. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8. Caracterización de las propiedades mecánicas de obleas EWT1298.1. Células de contacto posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2. Célula Emitter Wrap Through (EWT) . . . . . . . . . . . . . . 1308.3. Muestras para el estudio de la resistencia mecánica de obleas

EWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.3.1. Muestras según la estructura física de las células EWT . 1318.3.2. Muestras de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.4. Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5. Modelo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.6. Ajuste Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.6.1. Distribución de Weibull biparamétrica . . . . . . . . . . 1428.6.2. Distribución de Weibull triparamétrica . . . . . . . . . . 146

8.7. Modelo simpli�cado: aplicación de un factor de concentraciónde tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.7.1. Cálculo y aplicación de una super�cie de intensi�cación

de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.8. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV Conclusiones y desarrollos futuros 157

9. Conclusiones y desarrollos futuros 1599.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.2. Desarrollos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

V Apéndices 163

A. Elasticidad lineal para medios anisótropos 165

Índice de �guras

1.1. Evolución de la producción anual de energía fotovoltaica en elmundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Rango costes energías renovables en 2007 . . . . . . . . . . . . . 41.3. a) Reparto de tecnologías fotovoltaicas en 2007. b) Reparto del

mercado en los últimos años y previsión de los próximos . . . . 51.4. Cadena de obtención de un sistema fotovoltaico basado en silicio

cristalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Comparación del ratio de rotura trabajando con obleas de 270µm

y 250µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. Silicio de grado electrónico como materia prima . . . . . . . . . 162.2. Proceso Czochralski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Lingotes obtenidos por el proceso Czochralski en CENTESIL . . 172.4. Dendritas en el fundente durante la formación de un lingote Cz 172.5. Fragmento de crisol con silicio solidi�cado . . . . . . . . . . . . 182.6. Polisilicio en crisol para DSS o HEM . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Lingotes multi y quasi-mono cristalinos salidos del horno . . . . 202.8. Cortes con sierra en el lingote Czochralski . . . . . . . . . . . . 202.9. Cortes con sierra en lingote de fundición . . . . . . . . . . . . . 202.10. Sierra multihilo y bloque cortado en obleas (DC Wafers) . . . . 212.11. Obleas de silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12. Formación de la celda unidad del cristal de silicio . . . . . . . . 222.13. Enlace tetraédrico y celda unidad con los enlaces representados . 232.14. Planos cristalográ�cos del silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.15. Distancias entre planos cristalográ�cos en el cristal de silicio . . 242.16. Fotografía de la super�cie texturizada de una oblea monocristalina 262.17. Grupos de obleas preparados para estudiar la in�uencia de los

planos cristalográ�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.18. Rotura de oblea con los planos de clivaje paralelos a los bordes . 272.19. Rotura de oblea con los planos de clivaje a 22,5◦ de los bordes . 272.20. Variación del módulo de Young con la dirección . . . . . . . . . 29

3.1. Elemento (∆A) uniaxial y uniformemente tensionado . . . . . . 433.2. Diagrama de �ujo del método iterativo . . . . . . . . . . . . . . 46

vii

4.1. Tipos de ensayos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Máquinas de ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Ensayo de �exión en cuatro líneas con soportes tipo cuchillas . . 504.4. Rotura de una oblea multicristalina en un ensayo de �exión en

cuatro líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5. Ensayos �ring-on-ring� y �ball-on-ring� . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Rotura de muestra con agujeros mediante ensayo �ring-on-ring� . 534.7. Ensayo �twist-test� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.8. Pesaje y clasi�cación de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . 544.9. In�uencia de la rigidez de la máquina . . . . . . . . . . . . . . . 554.10. Ensayos con placa de acero para obtener curva corrección de la

máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.11. Curvas de calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.12. Resultados de ensayos de �exión en cuatro líneas . . . . . . . . . 574.13. Resultados de ensayos �ring-on-ring� . . . . . . . . . . . . . . . 574.14. Resultados de ensayos �twist-test� . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1. Esquema del ensayo y distribución de tensiones para �exión encuatro puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2. Elemento lámina de ocho nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3. Contacto 3d super�cie-super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4. Malla y deformada de un modelo con elementos lámina . . . . . 635.5. Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos con elemento lámina 645.6. Distribución de la tensión principal máxima . . . . . . . . . . . 645.7. Elemento plano de ocho nudos y dos grados de libertad por nudo 655.8. Contacto 2d super�cie-super�cie empleado en los modelos planos 665.9. Deformada del modelo y zoom de la malla . . . . . . . . . . . . 665.10. Ajuste ensayo-modelos EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.11. Distribución de tensiones en el centro y en los puntos de contacto

para el modelo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.12. Elemento unidimensional y matriz de rigidez en coordenadas

locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.13. Deformada y distribución de tensiones máximas del modelo lineal 695.14. Ajuste ensayo-modelos EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.15. Elemento sólido de veinte nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.16. Malla del modelo tridimensional con elementos sólidos . . . . . . 715.17. Ajuste ensayo-modelos EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.18. Tensión principal en el modelo tridimensional con elementos só-

lidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.19. Malla del modelo empleado para simular el ensayo Ball on Ring 755.20. Desplazamientos verticales del modelo con elementos lámina . . 765.21. Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos con elemento lámina 765.22. Campo de tensiones radiales del modelo con elementos planos . 77

5.23. Evolución de la tensión radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.24. Malla del modelo axilsimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.25. Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos axilsimétrico . . . . . 795.26. Tensiones radiales en el modelo axilsimétrico y comparación en

el centro con el modelo tridmensional con elementos lámina . . . 805.27. Malla del modelo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.28. Ajuste entre los modelos de elementos �nitos y el ensayo . . . . 815.29. Estado de tensiones en el modelo sólido . . . . . . . . . . . . . . 815.30. Comparación de la evolución de la tensión a través del espesor

en los tres modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.31. Malla del modelo para la simulación del ensayo �twist-test� . . . 845.32. Deformada del ensayo �twist-test� y del modelo EF . . . . . . . 845.33. Ajuste entre el ensayo y el modelo de EF . . . . . . . . . . . . . 855.34. Distribución de la tensión principal en la oblea por ensayo �twist-

test� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.35. Malla del modelo tridimensional con elementos sólido para la

simulación del ensayo �twist-test� . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.36. Ajuste entre el ensayo y los modelos de EF . . . . . . . . . . . . 875.37. Distribución de la tensión principal en la super�cie de la oblea

(a) y en sección transversal (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1. Lingote quasi-monocristalino crecido en DC Wafers . . . . . . . 936.2. Oblea mono/multi o quasi-monocristalina por debajo del 75 % . 936.3. Imágenes tomadas por fotoluminiscencia (escala arbitraria) de

obleas multicristalina, quasi-monocristalina y quasi-monocristalinacon alta densidad de defectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4. Fotografía de un ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5. Resultados de los ensayos de todas las muestras . . . . . . . . . 966.6. Ajuste entre los ensayos y los modelos de EF correspondientes

a las muestras con mayor y menor espesor del lote de obleasquasi-monocristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.7. Ajuste entre el modelo y el ensayo para la oblea 42 del lote deobleas quasi-monocristalinas y distribución de tensión principalmáxima en el instante de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.8. Estado de tensiones obtenido a partir de la interpolación de mo-delos (a) y del modelo desarrollado con el espesor de la muestra(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.9. Primera y segunda tensión principal máxima en cada uno de losensayos del lote de obleas quasi-monocristalinas . . . . . . . . . 100

6.10. Ajustes Weibull del lote de obleas monocristalinas respecto a un∆A=40 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.11. Ajustes Weibull del lote de obleas multicristalinas respecto a un∆A=40 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.12. Ajustes Weibull del lote de obleas quasi-monocristalinas respec-to a un ∆A=40 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.13. Ajustes Weibull del lote de obleas quasi-monocristalinas con altadensidad de defectos respecto a un ∆A=40 mm2 . . . . . . . . 103

6.14. Ajuste Weibull de la resistencia de los cuatro lotes analizadosrespecto a un ∆A=40 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.15. Leyes de Weibull de los cuatro lotes analizados respecto a un∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.16. Leyes de Weibull de los cuatro lotes analizados respecto a un∆A=156x156 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1. Fotografía de un ensayo �ring-on-ring� . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. Resultado de los ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3. Malla del modelo completo y zoom de la zona re�nada . . . . . 1127.4. Modelo completo con anillos y deformada . . . . . . . . . . . . . 1127.5. Tensiones radiales en la cara superior e inferior . . . . . . . . . . 1137.6. Tensiones circunferenciales en la cara superior e inferior . . . . . 1137.7. Tensiones a lo largo de un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.8. Ajustes modelo-ensayo para el Lote 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1147.9. Ajustes modelo-ensayo para el Lote 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1147.10. Ajustes modelo-ensayo para el Lote 3 . . . . . . . . . . . . . . . 1157.11. Ajustes modelo-ensayo para el Lote 4 . . . . . . . . . . . . . . . 1157.12. Ajustes modelo-ensayo para el Lote 5 . . . . . . . . . . . . . . . 1157.13. Ajuste a Weibull biparamétrica del lote de obleas con baño de

3 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.14. Ajuste a Weibull biparamétrica del lote de obleas con baño de



12 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.17. Ajuste a Weibull biparamétrica del lote de obleas con baño de

15 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.18. Leyes de Weibull biparamétrica de los cinco grupos respecto a

un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.19. Parámetros de Weibull de cada grupo e intervalos de con�anza

95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.20. Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de

3 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.21. Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de

6 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.22. Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de

9 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.23. Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de12 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.24. Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de15 min. para un ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.25. Leyes de Weibull triparamétrica de los cinco grupos respecto aun ∆A=1 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.26. Parámetros de Weibull de cada grupo . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.1. Vista frontal y sección de la célula EWT con emisor posterior(tomadas de [44]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2. Muestra de oblea EWT y zoom de unos cuantos agujeros . . . . 1318.3. Diámetros de los agujeros en la cara frontal y en la posterior . . 1328.4. Tratamiento de los grupos analizados . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5. Esquema de los ensayos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.6. Rotura de una muestra con agujeros . . . . . . . . . . . . . . . 1348.7. Rotura de una muestra sin agujeros . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.8. Resultado de los ensayos de las muestras con y sin agujeros . . . 1368.9. Malla del modelo completo sin agujeros . . . . . . . . . . . . . . 1378.10. Resultado del estudio de convergencia de malla . . . . . . . . . 1388.11. Tensión principal máxima alrededor de un agujero . . . . . . . . 1388.12. Evolución de la tensión principal máxima en 100 nudos elegidos

al azar con los desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.13. Comparación del campo de tensiones obtenido a través del mo-

delo de elementos �nitos y mediante interpolación parabólica . . 1418.14. Histograma de las diferencias entre las tensiones obtenidas por

el modelo de EF y las obtenidas por interpolación parabólica . . 1428.15. Ajuste a Weibull biparamétrica del grupo de obleas estándar . . 1438.16. Ajuste a Weibull biparamétrica del grupo de obleas EWT . . . . 1438.17. Parámetros de Weibull de cada grupo e intervalos de con�anza

95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.18. Leyes de Weibull biparamétrica de los tres grupos respecto a un

∆A=0,4 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.19. Ajuste a Weibull triparamétrica del grupo de obleas estándar . . 1468.20. Ajuste a Weibull triparamétrica del grupo de obleas EWT . . . 1478.21. Parámetros de Weibull de cada grupo . . . . . . . . . . . . . . . 1478.22. Leyes de Weibull triparamétrica de los tres grupos respecto a

un ∆A=0,4 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.23. σ1,max de modelos con y sin agujeros y Kt frente a la distancia

al centro de la oblea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.24. σ1,max de todos los ensayos obtenida con el modelo con agujeros

y a través del factor de concentración de tensiones . . . . . . . . 1508.25. Agujeros analizados para estimar la super�cie de intensi�cación

de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.26. Super�cie de intensi�cación de tensiones para 14 agujeros en unestado intermedio de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.27. Super�cie estándar de intensi�cación de tensiones . . . . . . . . 1528.28. Super�cie global de intensi�cación de tensiones . . . . . . . . . . 1538.29. Ajuste de los resultados obtenidos mediante la super�cie de in-

tensi�cación de tensiones y comparación con el ajuste obtenidomediante los submodelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.1. Giro π/2 alrededor de x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Indice de tablas

1.1. Evolución de las dimensiones de las obleas y consumo de silicio . 7

2.1. Sistemas cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Funciones de distribución límite para valores máximos . . . . . . 333.2. Funciones de distribución límite para valores mínimos . . . . . . 34

5.1. Comparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo de �exión en cuatro líneas de una oblea monocristalina . 72

5.2. Comparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo de �exión en cuatro líneas de una oblea multicristalina . 73

5.3. Comaparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo �ball-on-ring� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4. Comaparación de los modelo de EF en la simulación de un en-sayo �twist-test� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1. Espesor promedio y variación total de espesor de cada lote deobleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2. Valores promedio y desviaciones típica de la carga y el despla-zamiento en el instante de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3. Parámetros de Weibull del ajuste de cada uno de los lotes ana-lizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1. Muestras ensayadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2. Resumen de los resultados de la carga de rotura . . . . . . . . . 1097.3. Resumen de los resultados del desplazamiento de rotura . . . . . 1107.4. Parámetros del ajuste de cada uno de los lotes analizados a

una Weibull biparamétrica. Los números entre corchetes son losintervalos de con�anza para un nivel de con�anza del 95% . . . 117


8.1. Parámetros de Weibull del ajuste. Los números entre corchetesson los intervalos de con�anza para un nivel de con�anza del 95%142

xiii

8.2. Parámetros de Weibull que de�nen el fallo del material. Losnúmeros entre corchetes son los intervalos de con�anza para unnivel de con�anza del 95% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


8.4. Parámetros de Weibull de los resultados obtenidos mediantesubmodelos y aplicando la super�cie de intensi�cación de tensiones153

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento en primer lugar a mis directores de tesis,Lutz Hermanns y Alberto Fraile, por la ayuda brindada durante su elaboración.De manera especial, le agradezco a Enrique Alarcón su interés en este trabajoy su apoyo constante durante estos años.

Esta tesis ha sido realizada en el Centro de Modelado en Ingeniería Mecá-nica (CEMIM) y quiero dar las gracias a mis compañeros por crear un entornode trabajo tan agradable: Javier Fernández, Ignacio del Rey, Olalla Ortiz, Ire-ne Espinosa, Alfredo Grande, Omar González y Claudia Germoso. Tambiénrecuerdo a los que estuvieron y siguieron otros caminos: Jaime Vega, FranciscoJavier Cara, Ariadna Gómez, Víctor Rodríguez y Sonia Fernández.

Este trabajo surgió por la participación en un proyecto de investigación conel Instituto de Energía Solar (IES-UPM) y el Instituto de Tecnología Micro-electrónica (TIM-UPV). Los resultados conseguidos motivaron la continuidaddel grupo y la participación en posteriores proyectos de investigación. Me gus-taría dejar constancia de mi agradecimiento a Antonio Luque y Carlos delCañizo del IES y a Juan Carlos Jimeno, Rubén Gutiérrez y Eneko Cerecedadel TIM por su ayuda en la consecución de los objetivos establecidos.

El estudio de las propiedades mecánicas de obleas quasi-monocristalinasno hubiera sido posible sin la participación de Vicente Parra (DC Wafers) yle agradezco además su interés en realizar trabajos juntos y avanzar en estamateria.

Los ensayos de rotura de obleas han sido realizados en la Escuela Univer-sitaria de Ingeniería Técnica Industrial. Quiero expresar mi gratitud a JuliánPecharromán y Sara Gómez por permitirme utilizar sus instalaciones.

También le agradezco a Covadonga Alarcón su ayuda en los ensayos al iniciode la tesis y la ayuda que nos presta ahora en los proyectos de investigación.De igual manera, le estoy muy agradecido a Sagrario Gómez su disponibilidady su apoyo con la tesis durante estos años.

Algunas di�cultades encontradas en la elaboración de este trabajo han sidosolventadas con la ayuda de expertos en la materia fuera de nuestro grupo detrabajo. Por ello, les doy las gracias a Alfonso Fernández Canteli y ConstanzePrzybilla (Universidad de Oviedo) por su ayuda con la estadística de Weibully a Federico París (Universidad de Sevilla) por su disponibilidad a trabajar enla determinación de un criterio de fallo.

xv

En el aspecto personal, agradezco de corazón a mis padres el habermedado todo lo que he necesitado y seguir haciéndolo. A mis hermanas Oneka yNerea quiero expresarles todo mi cariño porque se que se alegran tanto comoyo de la �nalización de esta tesis y a Pablo, que ya es uno más de nosotros.Por supuesto, mencionar a Haizea y Ander que tanta felicidad nos aportana todos. Igualmente es de agradecer el apoyo del resto de mi familia y losbuenos momentos que me hacen pasar. Desde todos mis tíos (Madrid, Bilbao,Alicante) donde se que tengo una segunda casa a mis primos que son tantosque me quedaría muy largo nombrar a todos pero me gustaría destacar conlos que más tiempo paso: Gema, Juan, Alberto, Iker Kepa, Ander, Juampe,Joseba, Aitor, Edurne, Lourdes, Ikerne.

Por último, quiero dejar constancia de la suerte que tengo de haber encon-trado amigos con los que puedo contar en todo momento. Con los que llevomuchos años conviviendo y siguen estando por aquí: David, Leti, Eva, Pa-blo, Pedro, Raquel, Miguel, Dani, Leti2, Luis, Cris, Álvaro, Salva, Ana, Óscar,Laura, Edu; los que han aparecido en los últimos tiempos en la organizaciónde eventos (Carlito's Way): Toni, Javi, Paula, Andrew, Virginia; los que ten-go por mi tierra: Eneko, Alex, Bizkaia, Iñakitxu, los de sokatira de Goiherri,Mikel M.; con los que coincidí en la universidad: Fran (y Jorge), Jacobo, Ar-turo, Carolina, Álvaro, Moisés, Adriano; y los que ahora mismo están lejospero siempre presentes: Benedí y Alfredo (México), Lucas (Canadá), Antonio(Atlanta), Paula (Argentina). Gracias a todos!!

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RESUMEN

En esta tesis se propone un procedimiento para evaluar la resistencia me-cánica de obleas de silicio cristalino y se aplica en diferentes casos válidos parala industria.

En el sector de la industria fotovoltaica predomina la tecnología basada enpaneles de silicio cristalino. Estos paneles están compuestos por células solaresconectadas en serie y estas células se forman a partir de obleas de silicio. Conel objetivo de disminuir el coste del panel, en los últimos años se ha observadouna clara tendencia a la reducción del espesor de las obleas. Esta reducción delespesor modi�ca la rigidez de las obleas por lo que ha sido necesario modi�carla manera tradicional de manipularlas con el objetivo de mantener un bajoratio de rotura. Para ello, es necesario conocer la resistencia mecánica de lasobleas.

En la primera parte del trabajo se describen las obleas de silicio, desde suproceso de formación hasta sus propiedades mecánicas. Se muestra la in�uen-cia de la estructura cristalográ�ca en la resistencia y en el comportamientoya que el cristal de silicio es anisótropo. Se propone también el método decaracterización de la resistencia. Se utiliza un criterio probabilista basado enlos métodos de dimensionamiento de materiales frágiles en el que la resistenciaqueda determinada por los parámetros de la ley de Weibull triparamétrica. Sepropone el procedimiento para obtener estos parámetros a partir de campa-ñas de ensayos, modelización numérica por elementos �nitos y un algoritmoiterativo de ajuste de los resultados.

En la segunda parte de la tesis se describen los diferentes tipos de ensayosque se suelen llevar a cabo con este material. Se muestra además, para cadauno de los ensayos descritos, un estudio comparativo de diferentes modelosde elementos �nitos simulando los ensayos. Se comparan tanto los resultadosaportados por cada modelo como los tiempos de cálculo.

Por último, se presentan tres aplicaciones diferentes donde se ha aplicadoeste procedimiento de estudio.

La primera aplicación consiste en la comparación de la resistencia mecá-nica de obleas de silicio en función del método de crecimiento del lingote. Laresistencia de las tradicionales obleas monocristalinas obtenidas por el métodoCzochralski y obleas multicristalinas es comparada con las novedosas obleasquasi-monocristalinas obtenidas por métodos de fundición.

xvii

En la segunda aplicación se evalúa la profundidad de las grietas generadasen el proceso de corte del lingote en obleas. Este estudio se realiza de maneraindirecta: caracterizando la resistencia de grupos de obleas sometidas a bañosquímicos de diferente duración. El baño químico reduce el espesor de las obleaseliminando las capas más dañadas. La resistencia de cada grupo es analizaday la comparación permite obtener la profundidad de las grietas generadas enel proceso de corte.

Por último, se aplica este procedimiento a un grupo de obleas con carac-terísticas muy especiales: obleas preparadas para formar células de contactoposterior EWT. Estas obleas presentan miles de agujeros que las debilitan con-siderablemente. Se aplica el procedimiento de estudio propuesto con un grupode estas obleas y se compara la resistencia obtenida con un grupo de referencia.Además, se propone un método simpli�cado de estudio basado en la aplicaciónde una super�cie de intensi�cación de tensiones.

xviii

ABSTRACT

In this thesis, a procedure to evaluate the mechanical strength of crystallinesilicon wafers is proposed and applied in di�erent studies.

The photovoltaic industry is mainly based on crystalline silicon modules.These modules are composed of solar cells which are based on silicon wafers.Regarding the cost reduction of solar modules, a clear tendency to use thin-ner wafers has been observed during last years. Since the sti�ness varies withthickness, the manipulation techniques need to be modi�ed in order to gua-rantee a low breakage rate. To this end, the mechanical strength has to becharacterized correctly.

In the �rst part of the thesis, silicon wafers are described including thedi�erent ways to produce them and the mechanical properties of interest. Thein�uence of the crystallographic structure in the strength and the behaviour(the anisotropy of the silicon crystal) is shown. In addition, a method to cha-racterize the mechanical strength is proposed. This probabilistic procedure isbased on methods to characterize brittle materials. The strength is characteri-zed by the values of the three parameters of the Weibull cumulative distribu-tion function (cdf). The proposed method requires carrying out several tests,to simulate them through Finite Element models and an iterative algorithmin order to estimate the parameters of the Weibull cdf.

In the second part of the thesis, the di�erent types of test that are usuallyemployed with these samples are described. Moreover, di�erent Finite Elementmodels for the simulation of each test are compared regarding the informationsupplied by each model and the calculation times. Finally, the method of cha-racterization is applied to three examples of practical applications.

The �rst application consists in the comparison of the mechanical strengthof silicon wafers depending on the ingot growth method. The conventional mo-nocrystalline wafers based on the Czochralski method and the multicrystallineones are compared with the new quasi-monocrystalline substrates.

The second application is related to the estimation of the crack lengthcaused by the drilling process. An indirect way is used to this end: severalsets of silicon wafers are subjected to chemical etchings of di�erent duration.The etching procedure reduces the thickness of the wafers removing the mostdamaged layers. The strength of each set is obtained by means of the proposedmethod and the comparison permits to estimate the crack length.

xix

At last, the procedure is applied to determine the strength of wafers usedfor the design of back-contact cells of type ETW. These samples are drilled in a�rst step resulting in silicon wafers with thousands of tiny holes. The strengthof the drilled wafers is obtained and compared with the one of a standard setwithout holes. Moreover, a simpli�ed approach based on a stress intensi�cationsurface is proposed.

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Parte I

Planteamiento del problema

1

Capítulo 1

Introducción

A continuación se introduce el contexto en el que se ha desarrollado la tesisy se detalla la estructura de la misma.

1.1. Importancia de la energía solar fotovoltaica

Las energías renovables se presentan como una solución a los inconvenientesasociados al uso de combustibles fósiles como principal fuente de energía: elprevisible agotamiento de estas fuentes de energía y el impacto que dichasfuentes provocan en el medio ambiente por la emisión de gases contaminantes.

En los últimos años ha venido creciendo el desarrollo e implantación delas energías renovables aunque la dependencia de los combustibles fósiles siguesiendo muy elevada. Entre aquéllas, la energía solar fotovoltaica presenta unasparticularidades que la hacen muy atractiva. Por un lado, se nutre de unafuente gratuita e inagotable que no contamina. Además, permite la integraciónde paneles solares en los edi�cios eliminando algunos de los inconvenientes deotras fuentes renovables. Como puede observarse en la Figura 1.1 ([1], [17]),el uso de la energía solar fotovoltaica ha aumentado espectacularmente en losúltimos años y se prevee que siga aumentando en los próximos.

El mayor inconveniente para la expansión de la energía solar fotovoltaicaes su alto coste. Como puede observarse en la Figura 1.2 [72], entre todas lasrenovables es la que presenta un mayor coste por kilovatio hora suministradoa red. Este coste ha ido disminuyendo progresivamente en los últimos añosdebido a las mejoras en la tecnología acompañado de una mayor madurez enel mercado, pero sigue siendo excesivamente elevado. El objetivo de sustituirel uso de combustibles fósiles por esta fuente de energía limpia e inagotableviene condicionado por la capacidad de la industria fotovoltaica para conseguirprecios más competitivos. Son numerosos, por lo tanto, los esfuerzos destinadosa conseguir tal �n.

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Introducción

Figura 1.1: Evolución de la producción anual de energía fotovoltaica en elmundo

Figura 1.2: Rango costes energías renovables en 2007

1.2. Tipos de energía solar fotovoltaica

En la industria fotovoltaica hay dos grandes tipos de tecnologías:

Módulos de capa delgada. Se construyen depositando capas extremada-mente delgadas de un material fotosensible sobre un núcleo de un mate-rial de bajo coste como vidrio o plástico. Comercialmente se dispone detres tipos de módulos de capa delgada:

� Los fabricados a partir de silicio amorfo (a-Si en la Figura 1.3)

� Los fabricados a partir de cobre, indio y selenio (CIS) o añadiendogalio (CIGS). Aparecen juntos en la Figura 1.3.

4

1.3 Sistemas fotovoltaicos basados en silicio cristalino

� Los fabricados a partir de telurio de cadmio (CdTe en la Figura1.3).

Módulos de silicio cristalino. Son los más extendidos dentro de la indus-tria fotovoltaica y la previsión es que así seguirá ocurriendo en los próxi-mos años (Figura 1.3b) ([1], [22]). Esto es debido al alto rendimiento queofrecen y a la madurez de la tecnología ya que su base es la misma queen la industria electrónica: ambos parten de obleas de silicio. Las obleasson rodajas muy delgadas de silicio muy puri�cado, llamado silicio gra-do solar que pueden ser tanto monocristalinas como multicristalinas. Elrendimiento es más alto en las células basadas en obleas monocristalinas,llegando a e�ciencias de casi el 20% por célula (el 20% de la radiaciónse puede convertir en electricidad). Las multicristalinas ofrecen un rendi-miento algo más bajo pero su obtención tiene un coste inferior al de lasmonocristalinas. En la actualidad, se reparten el mercado de los módulosde silicio cristalino aproximadamente a partes iguales, como puede verseen la Figura 1.3a ([1], [36]) correspondiente al año 2007.

Figura 1.3: a) Reparto de tecnologías fotovoltaicas en 2007. b) Reparto delmercado en los últimos años y previsión de los próximos

1.3. Sistemas fotovoltaicos basados en silicio cris-talino

Dada su importancia dentro de la industria fotovoltaica, el estudio se vaa centrar en el caso de células solares obtenidas a partir de obleas cristalinas.El proceso completo de obtención de un sistema fotovoltaico basado en siliciocristalino se muestra resumido en la Figura 1.4.

Esta tesis se centra en el tercer elemento de la cadena, i.e. obleas desilicio. Por lo tanto, en el capítulo siguiente se describirán someramente los tresprimeros pasos de la cadena: desde el silicio que se encuentra en la naturalezahasta la obtención de obleas, pasando por los procesos de puri�cación delsilicio, los diferentes procesos de crecimiento de lingotes y el corte de lingotes

5

Introducción

Figura 1.4: Cadena de obtención de un sistema fotovoltaico basado en siliciocristalino

en obleas. Estos dos últimos pasos son determinantes en la resistenciade las obleas.

Una célula fotovoltaica es el elemento más simple que permite obtenerelectricidad a partir de la luz. Hay mucha variedad y en función del tipo quese quiera preparar, los procesos a los que se ven sometidas las obleas sondiferentes. Estos pasos son numerosos y variados, modi�cando algunos de ellosla resistencia como, por ejemplo, el texturizado (proceso generalmente químicoque modi�ca la super�cie de la oblea favoreciendo la absorción de la luz),el proceso de agujereado (�drilling�) para células de contacto posterior quepermite realizar los contactos en la cara posterior de la célula, etc. La in�uenciaen la resistencia mecánica de algunos de estos procesos ha sido estudiada enesta tesis pero manteniendo siempre la estructura de oblea de silicio, o loque es lo mismo, antes de los procesos de formación de emisor, pasivación,metalización, etc, que dan lugar a las células de silicio.

Se denominamódulo o panel fotovoltaico al conjunto de células capacesde generar energía eléctrica a partir del sol. Se forma uniendo entre si un grupode células en serie de tal manera que, en los módulos convencionales, la capaposterior de una célula está unida con la frontal de la siguiente y así sucesiva-mente. En los módulos formados por células de contacto posterior, todos loscontactos van por la cara posterior de la célula facilitando el ensamblaje. Losmódulos se pueden obtener por separado (para instalaciones pequeñas comoun pozo en el campo) o formando parte de sistemas.

Por último, un sistema es un conjunto de módulos que se disponen pa-ra conseguir energía eléctrica en abundancia. Se colocan en las denominadashuertas solares y aportan una gran cantidad de energía eléctrica a la red.

1.4. Objetivo de la Tesis

Se ha mostrado hasta ahora la importancia de la energía solar fotovoltaicaen la situación actual de la sociedad. Dentro de ella, la más extendida esla basada en silicio cristalino (más un 80% de la energía solar fotovoltaicainstalada en el año 2007).

Por otro lado, se ha indicado que en la actualidad la energía solar foto-voltaica es la más cara de entre todas las renovables, lo que implica que supotencial de crecimiento depende del éxito de los estudios destinados a reducirlos costes.

6

1.5 Estructura de la Tesis

En el caso de la energía solar fotovoltaica basada en silicio cristalino, nu-merosos análisis ([54], [33], [51]) estiman que entre el 40 y el 50% del coste�nal del módulo se debe al coste de las obleas ya que, aunque el silicio es unmaterial muy abundante en la naturaleza, el proceso de puri�cación necesariopara conseguir polisilicio es caro y laborioso.

Una forma obvia de reducir el coste de la energía solar fotovoltaica seríareducir el espesor en el proceso de corte de las obleas, con lo que se consiguenmás obleas por lingote y por tanto se abarata el producto �nal. Esta tenden-cia se viene observando en los últimos años (Tabla 1.1) [87] y las previsionesapuntan a una reducción mayor consiguiendo reducir el consumo de silicio porvatio pico de potencia generada. El problema que ello plantea es el aumentode obleas rotas en el proceso de fabricación de las células. Un estudio llevadoa cabo por BP Solar España [34] demuestra que el paso de obleas con un espe-sor de 270µm a 250µm aumenta el ratio de rotura en casi todos los pasos deformación de célula (Figura 1.5). Este problema ha motivado la realización enlos últimos años tanto de estudios que analizan directamente distintas formasde trabajar con obleas delgadas ([53], [26], [18]), como estudios más generalesacerca de las propiedades mecánicas de las obleas de silicio ([13], [15], [23], [39],[79], [35]).

En este contexto se enmarca la presente tesis siendo su objetivoprincipal establecer una metodología de estudio para determinar laresistencia mecánica de obleas de silicio basada en criterios probabi-listas. De manera adicional se presentan tres casos con alto interésindustrial en los que ha sido aplicado el método popuesto.

1980 2005 2020

Espesor (µm) 400 200 100

Longitud (cm) 10 15 20

Si (g/Wp) 30 10 3

Tabla 1.1: Evolución de las dimensiones de las obleas y consumo de silicio

1.5. Estructura de la Tesis

El trabajo realizado se presenta en 3 partes.

1.5.1. Parte I - Planteamiento del problema

En esta parte se explica la problemática que da origen a esta Tesis, secuentan las particularidades del material y se describe la metodología empleadapara su estudio.

7

Introducción

Figura 1.5: Comparación del ratio de rotura trabajando con obleas de 270µmy 250µm

Capítulo 1. Introducción

En este capítulo se describe el contexto de la Tesis y los objetivos y estruc-tura de la misma.

Capítulo 2. Obleas de silicio: tipos, formación y propiedades del ma-terial

En este capítulo se presenta el material a estudiar: las obleas de silicio,describiendo los diferentes tipos de obleas y su proceso de formación. Ademásse detalla la estructura cristalina del silicio y cómo afecta ésta a las propiedadesmecánicas de las obleas.

Capítulo 3. Conceptos teóricos necesarios

En este capítulo se presenta el modelo estadístico empleado. Se describeel origen del modelo de dimensionamiento de Weibull y las diferentes posibi-lidades encontradas en la literatura para los estados multiaxiales, así como elmétodo iterativo para la corrección por efecto escala.

1.5.2. Parte II - Caracterización

En esta parte se describen los pasos fundamentales del estudio: los ensayosa rotura del material y los modelos numéricos desarrollados para conocer elestado de tensiones de las muestras en el instante de rotura.

8


Capítulo 4. Ensayos

Para los diferentes estudios de la resistencia de las obleas se llevan a caboensayos de rotura generalmente de tres tipos: ensayo de �exión en cuatro lí-neas, ensayo �ring-on-ring� y ensayo �twist test�. En este capítulo se describenlos tres tipos de ensayos así como algunas particularidades encontradas en larealización de los mismos.

Capítulo 5. Modelos de elementos �nitos

El comportamiento de las obleas en los diferentes ensayos es marcadamen-te no lineal debido a los grandes desplazamientos (motivados por el reducidoespesor de las obleas) y al contacto con deslizamiento entre las obleas y los uti-llajes de ensayo. Puesto que para el conocimiento del estado de tensiones de lamuestra en el momento del fallo no es posible emplear ecuaciones analíticas, hasido necesario desarrollar diferentes modelos de elementos �nitios que tenganen cuenta las alinealidades presentes en el ensayo así como las particularidadesdel material (v.g. la anisotropía para el caso de obleas monocristalinas o losagujeros en obleas perforadas para células de contacto posterior EWT).

1.5.3. Parte III - Aplicaciones

Hasta este punto se ha presentado el material a estudiar y la metodologíaempleada, describiendo los diferentes ensayos y modelos numéricos realizados.Esta metodología ha sido utilizada para estudiar diferentes problemas relacio-nados con las obleas de silicio. En esta parte se explican tres aplicaciones deimportancia industrial.

Capítulo 6. In�uencia del modo de obtención del lingote de silicioen la resistencia de las obleas

Tradicionalmente ha habido dos tipos de obleas diferentes dependiendo dela forma de cristalizar el silicio (obleas monocristalinas y obleas multicristali-nas) pero recientemente han aparecido en el mercado las conocidas como obleasquasi-monocristalinas que presentan un sólo cristal pero el lingote se obtienepor los métodos propios de obtención de las obleas multicristalinas.

En este capítulo se presenta un estudio comparativo de la resistencia delos tres tipos de obleas ya mencionados. Con el objetivo de eliminar el dañoprocedente del proceso de corte y caracterizar el cristal en sí mismo, se hanadelgazado las obleas. Se han ensayado mediante el dispositivo de �exión encuatro líneas y los resultados se han interpretado mediante un modelo numé-rico tridimensional que permite conocer el estado de tensiones en el instantede rotura. Los resultados en tensiones se han ajustado a una distribución de

9

Introducción

Weibull triparamétrica que permite comparar los valores de los parámetrospara cada grupo determinando sus resistencias mecánicas.

Capítulo 7. Caracterización del daño super�cial por el proceso decorte

Se sabe que el proceso de corte o �wafering� (descrito en el capítulo 2)genera un daño super�cial que minora considerablemente la resistencia de lasobleas. En este capítulo se presenta un estudio de la profundidad del daño pro-ducido en el proceso de corte sometiendo diferentes grupos de obleas a bañosquímicos de distinta duración con el �n de eliminar las capas más super�ciales.De esta manera, se ha dispuesto de grupos de obleas con diferente espesor adel-gazado o, lo que es lo mismo, con mayor o menor daño super�cial. El estudio seha llevado a cabo mediante ensayos �ring-on-ring� para eliminar la in�uenciadel daño cerca de los bordes y que el fallo sea debido al daño super�cial delproceso de corte. Se han desarrollado modelos numéricos simulando los ensayosy se ha realizado el ajuste estadístico aplicando el Principio de las AccionesIndependientes para tener en cuenta el estado biaxial al que se someten lasmuestras con este tipo de ensayo. Comparando los parámetros de Weibull decada grupo se puede evaluar la profundidad del daño generado en el procesode corte.

Capítulo 8. Caracterización de las propiedades mecánicas de obleasEWT

Como ya se ha mencionado, hay un tipo de células de silicio llamadas célulasde contacto posterior EWT en las que todos los contactos se realizan en la caraposterior de la célula eliminando el factor de sombra y facilitando el ensamblajeentre células en el módulo. Para poder realizar todos los contactos en la caraposterior, se somete a las obleas a un proceso de perforaciones creando unamatriz de diminutos agujeros (densidad aproximada de 100 agujeros/cm2) através de los cuales se recogen los electrones en la cara posterior. La presenciade estos ori�cios hace que este tipo de obleas presenten nuevos problemas desdeel punto de vista mecánico.

En este capítulo se presenta un estudio de la resistencia de este tipo deobleas. Para ello, se han realizado campañas de ensayos mediante el dispo-sitivo �ring-on-ring� y se han desarrollado modelos numéricos simulando losensayos. La presencia de miles de agujeros complica los modelos numéricosnecesarios para la simulación de los ensayos. Se presenta la solución adoptadapara conocer el estado de tensiones de la muestra en el instante del fallo ylos resultados se ajustan a una ley de Weibull. Se comparan los parámetrosobtenidos con aquellos que provienen de una muestra sin agujeros dando bue-nos resultados. Además, se ha estimado una super�cie de intensi�cación de

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tensiones que permite realizar el estudio de manera simpli�cada (sin tener queincluir los ori�cios en los modelos) dando buenos resultados.

Capítulo 10. Conclusiones y desarrollos futuros

En este capítulo se resumirán las principales conclusiones que se puedenextraer de la tesis y se propondrán posibles líneas de investigación futuras.

11

Introducción

12

Capítulo 2

Obleas de Silicio: tipos, formacióny propiedades del material

Tras introducir el contexto y detallar la estructura de esta tesis, a con-tinuación se describen los diferentes tipos de obleas a partir de su procesode obtención y la in�uencia de la estructura cristalográ�ca del silicio en suspropiedades mecánicas.

2.1. Obleas de Silicio

La tecnología predominante en el sector fotovoltaico es el uso de panelesbasados en silicio cristalino. Presenta como gran ventaja la madurez en latecnología y la abundancia de materia de prima.

El silicio, según su estructura interna se puede clasi�car en:

Monocristalino: el lingote crece como un único cristal.

Multicristalino: la estructura interna está formada por multitud de gra-nos o monocristales de gran tamaño, generalmente apreciables a simplevista. La orientación cristalina de estos granos es totalmente aleatoria.

Amorfo: la estructura cristalina no sigue ningún orden establecido.

Como se ha comentado en la introducción, el mercado de la energía solarfotovoltaica basada en silicio está distribuida aproximadamente en partes igua-les entre paneles formados por células conseguidas con obleas monocristalinasy paneles con obleas multicristalinas.

A continuación se van a describir los diferentes pasos para obtener obleasde silicio de cada tipo.

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Obleas de Silicio: tipos, formación y propiedades del material

2.1.1. Obtención y puri�cación del silicio

El silicio raramente aparece en estado puro en la corteza terrestre. Lo máscomún es encontrarlo formando compuestos, principalmente el óxido de silicioo sílice (SiO2) que es uno de los componentes de la arena y también aparecede forma natural en el cuarzo.

El primer paso consiste en la extracción y minería de la cuarcita para obte-ner silicio de grado metalúrgico, también llamado silicio metálico [63]. Paraello, la cuarcita se funde mezclada con carbón de coque y astillas de maderaen hornos de arco eléctrico a una temperatura aproximada de 1780�. Aun-que tienen lugar diversas reacciones dentro del horno, el proceso de reducciónglobal se puede escribir según ecuación (2.1).

SiO2(s) + 2C(s)→ Si(liq) + 2CO(g) (2.1)

El silicio de grado metalúrgico alcanza una pureza del 98−99 %, a un costemuy bajo. Se produce de forma exhaustiva para su consumo en las industriasquímicas y del aluminio y se comercializa en forma de polvo de textura �na.El resto del silicio metálico se destina fundamentalmente al sector de la mi-croelectrónica. En este caso, el grado de pureza es insu�ciente. La industriaelectrónica puri�ca el silicio de grado metalúrgico hasta obtener el llamadosilicio de grado electrónico, de elevada pureza (99, 9999999 %), pero de uncoste de producción también muy alto.

Existen varias técnicas de puri�cación para obtener silicio de grado elec-trónico a partir del metalúrgico. Se va a describir someramente el procesoSiemens [63], [54] por ser el más extendido (cerca del 80% del silicio gradoelectrónico obtenido en 2009 se puri�có mediante esta técnica). Este procesoarranca con la hidrocloración del silicio metalúrgico a través de su exposicióna HCl gaseoso a una temperatura de unos 300� hasta obtener triclorosilano(SiHCl3) en un reactor de lecho �uido (ecuación (2.2)).

Si(s) + 3HCl(g)→ SiHCl3(liq) +H2(g) (2.2)

El triclorosilano es líquido a temperatura ambiente y hierve a 31,7�. Mu-chas impurezas contenidas en él tienen puntos de ebullición más elevados quese pueden eliminar tras una destilación. Finalmente, el triclorosilano purose reduce mezclado con hidrogeno en el conocido como reactor Siemens a1200�. La reacción ocurre sobre barras de silicio calentadas eléctricamente a900 − 1100� de forma que el silicio se deposita lentamente sobre las barras,aumentando su sección. Cuando las barras han alcanzado el grosor requeridoel proceso se detiene y aquéllas se fracturan mecánicamente en trozos, mante-niendo su altísima pureza. La reacción de esta fase se describe en la ecuación(2.3).

2SiHCl3(liq) + 2H2(g)→ 2Si(s) + 6HCl(g) (2.3)

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2.1 Obleas de Silicio

Este silicio de grado electrónico tiene forma de guijarros y una estructurapolicristalina por lo que se denomina a veces como silicio policristalino opolisilicio y constituye el punto de partida para el crecimiento posterior delos lingotes.

2.1.2. Obtención del lingote

El silicio grado electrónico o polisilicio es el punto de partida para generarlingotes de silicio de uso en la industria fotovoltaica. Existen diferentes técnicasde formación de lingotes que se pueden agrupar en función del tipo de obleaque han generado tradicionalmente. Se distingue así:

Metodo Czochralski (Cz). Procedimiento para la obtención de lingo-tes monocristalinos desarrollado por el cientí�co polaco Jan Czochralski.

Técnicas de fundición. Se agrupan aquí las diferentes técnicas de cre-cimiento desarrolladas para la obtención de lingotes multicristalinos. Secaracterizan por tener un coste inferior a los lingotes monocristalinosobtenidos por el método Czochralski. La reciente aparación en el mer-cado fotovoltaico de lingotes monocristalinos conseguidos con estas téc-nicas supone una novedad muy importante. En estas obleas, llamadasquasi-monocristalinas o pseudo-monocristalinas, coinciden los aspectosmás positivos de cada una de las tecnologías convencionales (mayor ren-dimiento de las monocristalinas y menor coste y forma completamentecuadrada de las multicristalinas) pero presentan como gran inconvenien-te la alta densidad de defectos en la red comparada con las mono-Czconvencionales.

En el desarrollo de esta tesis se ha comparado la resistencia mecánica delos tres tipos de obleas presentes en el mercado fotovoltaico basado en silicio.Además, ha sido posible visitar instalaciones donde se obtienen tanto siliciomonocristalino por el método Czochralski (CENTESIL) como silicio multicris-talino y monocristalino por el método DSS (una de las técnicas de fundición)en la empresa DC Wafers Investments, S.L.

Método Czochralski

Es la técnica para provocar el crecimiento de cristales de silicio monocrista-linos más empleada en la actualidad [54]. Recibe su nombre de Jan Czochralskiaunque el método actual de producción fue desarrollado inicialmente por Tealy Little en 1950.

El silicio de grado electrónico (Figura 2.1) se funde en un crisol de cuarzoalojado en una funda de gra�to. Dado que el calor proviene del exterior delcrisol, se colocan los gránulos de polisilicio más grandes en el centro, mientras

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que los más pequeños se sitúan en la zona inferior del crisol y en los laterales,maximizando el rendimiento.

Figura 2.1: Silicio de grado electrónico como materia prima

El calentamiento, que se hace a través de la funda de gra�to, ha de serlocal dado que se requieren per�les de temperatura abruptos y controladospara no fundir el lingote sólido que se va creando y mantener la fase líquidaen el crisol. Para lograr el crecimiento del lingote, una semilla de silicio mo-nocristalino (100) de diámetro 12mm en forma de varilla se pone en contactocon la super�cie del líquido (Figura 2.2), se eleva y se hace rotar lentamentepara que los átomos del fundente vayan adoptando la estructura cristalina dela semilla. El crisol a su vez se hace girar en sentido contrario para propor-cionar una mezcla más homogénea en el líquido y un crecimiento del lingotemás uniforme. También se eleva para mantener el nivel de líquido constante.En Figura 2.3 se observan dos ejemplos de lingotes obtenidos en CENTESILpor el método Czochralski.

Figura 2.2: Proceso Czochralski

La temperatura y velocidad de elevación se controlan durante todo el pro-ceso para ajustar el diámetro del lingote. Inicialmente, el diámetro del cristalha de ser de unos pocos milímetros para eliminar las dislocaciones por el bruscocontacto inicial entre la semilla y el fundente. Esta zona del lingote se denomi-na cuello. A continuación se reajustan ambos parámetros para darle al lingotesu diámetro �nal. Durante el proceso pueden aparecer fallos por pérdida de lasdirecciones cristalográ�cas debido a la aparición de impurezas, vibraciones y

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Figura 2.3: Lingotes obtenidos por el proceso Czochralski en CENTESIL

en menor medida, a cambios bruscos de temperatura. También pueden apare-cer dendritas o estructuras en forma de árbol (Figura 2.4) en el fundente porla presencia de una masa fría en el líquido. En todos estos casos, se vuelve afundir de nuevo el lingote y se inicia el proceso.

Figura 2.4: Dendritas en el fundente durante la formación de un lingote Cz

Durante el proceso de producción del lingote, el crisol de cuarzo empiezaa disolverse gradualmente desprendiendo grandes cantidades de oxígeno sobreel material fundido. Más del 99% de este oxígeno se elimina en forma de SiOgaseoso pero el resto permanece en el material y se incorpora a la red cristalinadel silicio. Otra impureza que contamina el lingote en menores concentracionesque el oxigeno es el carbono. El SiO evaporado reacciona con la funda de gra�toque está a elevada temperatura para formar monóxido de carbono CO el cualse deposita sobre el fundente. Otras impurezas habitualmente contenidas en loslingotes son aluminio, galio, arsénico, antimonio, hierro y estaño pero en menorconcentración. Para disminuir su presencia en el lingote durante el proceso sehace circular argón ya que facilita el arrastre de las mismas.

Una vez �nalizado el proceso de cristalización, se extrae el lingote. El mate-rial fundido no utilizado se deja enfriar en el crisol para posteriormente extraerel crisol y fraccionarlo. El silicio resultante no puede ser reutilizado en la fabri-cación de lingotes por el alto grado de impurezas que contiene. En Figura 2.5se observa un fragmento de crisol con parte del material fundente solidi�cado

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Figura 2.5: Fragmento de crisol con silicio solidi�cado

en su super�cie.

Técnicas de fundición

Dentro de este grupo se incluyen las diferentes técnicas de crecimiento uti-lizadas tradicionalmente en la formación de lingotes multicristalinos. Las másampliamente utilizadas son el proceso Directional Solidi�cation System (DSS)y el proceso Heat Exchange Method (HEM). Entre otras técnicas menos ha-bituales pueden citarse los procesos Electromagnetic Casting (EMC), el EdgeSupported Pulling (ESP) o el Edge-De�ned-Film-Fed-Growth (EFG), dedicán-dose estos dos últimos a la obtención de obleas directamente del silicio fundido,sin pasar por el crecimiento del lingote ([55], [59], [89]).

A continuación se van a detallar los procesos DSS y HEM ya que son losmás extendidos en la industria fotovoltaica siendo además su funcionamientobásico muy similar.

En ambos procesos se parte de la colocación en grandes crisoles de trozosde polisilicio (Figura 2.6). Los crisoles se introducen en un horno y se funden.Durante el crecimiento del lingote en una estación DSS, las caras aislantesalrededor del crisol se van moviendo hacia arriba permitiendo la extracciónde calor del interior del crisol que permanece en reposo. En las estacionesHEM, la parte central del aislamiento inferior se mueve hacia abajo durante elcrecimiento de tal manera que el lingote tiene un intercambio de calor directopor abajo con el entorno más frío.

La empresa DC Wafers Investments, S.L., con la que se ha mantenidocontacto durante la elaboración de la tesis, utiliza el sistema DSS para elcrecimiento de lingotes de silicio, tanto de manera tradicional para la obtenciónde obleas multicristalinas como el novedoso método que permite la obtenciónde obleas monocristalinas. En este último caso hay que introducir una semillaen el crisol en la parte inferior con la dirección cristalográ�ca (100).

En el sistema DSS, una vez introducido el crisol en el horno y despuésde fundido y estabilizado el polisilicio, la temperatura del fundente se reducemoviendo las capas de aislamiento hacia arriba. En este punto se diferencia el

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Figura 2.6: Polisilicio en crisol para DSS o HEM

proceso según tenga o no semilla para formar lingotes con un solo cristal:

En el crecimiento de lingotes multicristalinos (sin semilla), al desplazarlas capas de aislamiento hacia arriba, la porción inferior del fundentese encontrará por debajo de la temperatura de fusión y se produciránnódulos sólidos en ciertos puntos. Una rápida cristalización en forma dedendritas cubrirá la parte inferior del crisol creando la semilla multicris-talina. Durante este proceso de nucleación, es preferible un determinadogradiente de temperatura en dirección horizontal para conseguir grandesgranos.

En el crecimiento de lingote con semilla monocristalina hay que controlarmucho la temperatura y el gradiente para que la semilla quede preservadaen la parte inferior del crisol. La zona de unión sólido-líquido debe serplana o ligeramente convexa y el gradiente horizontal de temperaturadebe ser mínimo.

Una vez que se ha conseguido la nucleación o el mantenimiento de la se-milla, la temperatura del fundente se reduce ajustando la potencia de calory moviendo el aislamiento hasta la solidi�cación completa. En la Figura 2.7se muestran un lingote multicristalino y uno quasi-monocristalino al salir delhorno.

2.1.3. Corte del lingote

Los lingotes obtenidos por el proceso Czochralski o por un método de fun-dición se someten a dos procesos de corte para dar lugar a las obleas [54].El primero de ellos consiste en la obtención de los bloques de silicio que, enun segundo proceso, se cortan en obleas (este paso es también conocido comowafering).

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Figura 2.7: Lingotes multi y quasi-mono cristalinos salidos del horno

Para los lingotes monocristalinos conseguidos según el método Czochralski,la obtención del bloque consiste en el corte mediante una sierra de la cabeza,cola y bordes del lingote resultando en la sección pseudo-cuadrada caracterís-tica (Figura 2.8). Los trozos cortados del lingote se reutilizan como materiaprima.

Figura 2.8: Cortes con sierra en el lingote Czochralski

Los lingotes obtenidos por métodos de fundición, tanto multi como quasi-mono (Figura 2.7), son pulidos y cortados en bloques de sección cuadrada(Figura 2.9) de dimensiones 156x156 mm2 (lo más común en la actualidad).

Figura 2.9: Cortes con sierra en lingote de fundición

En cualquiera de los dos casos, los bloques obtenidos se cortan en obleasen el proceso llamado wafering. Previamente se adhiere una capa de cera a un

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lateral del bloque para que, tras el proceso de corte, no se caigan las obleas. Eltroceado se realiza cortando simultáneamente centenares de obleas con hilosde acero de diámetro entre 140 y 180 µm impregnados en aceite con partículasabrasivas (SiC) de tamaños entre 5 y 15 µm. Este hilo se encuentra enrolladoentre diferentes bobinas permitiendo el corte simultáneo de varios bloques desilicio. En la Figura 2.10 se puede observar el hilo alrededor de una bobina ala izquierda y el bloque de silicio ya troceado en obleas a la derecha (imágenestomadas en DC Wafers). Este bloque se baña en acetato para eliminar la ceradando como resultado obleas de silicio (Figura 2.11) que son el motivo centralde esta tesis y sobre las que se han realizado diferentes estudios.

Figura 2.10: Sierra multihilo y bloque cortado en obleas (DC Wafers)

Figura 2.11: Obleas de silicio

A continuación se va a describir la estructura cristalográ�ca del silicio vien-do la in�uencia que tiene en las propiedades mecánicas de las obleas de silicio.

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2.2. Estructura cristalográ�ca

Un sólido cristalino se forma a partir de la repetición en el espacio de unaestructura elemental denominada celda unidad. En función de los parámetrosde la celda unidad (longitud de los lados del paralelepípedo a, b y c y ángulosque forman α, β y γ) existen siete sistemas cristalinos diferentes mostrados enla Tabla 2.1.

Sistema cristalino Ejes ÁngulosCúbico a = b = c α = β = γ = 90◦

Tetragonal a = b 6= c α = β = γ = 90◦

Ortorrómbico a 6= b 6= c 6= a α = β = γ = 90◦

Hexagonal a = b 6= c α = β = 90◦; γ = 120◦

Trigonal a = b = c α = β = γ 6= 90◦

Monoclínico a 6= b 6= c 6= a α = γ = 90◦; β 6= 90◦

Triclínico a 6= b 6= c 6= a α 6= β 6= γ;α, β, γ 6= 90◦

Tabla 2.1: Sistemas cristalinos

A partir de la localización de los átomos en la celda unidad, se establecencatorce posibles combinaciones o estructuras cristalinas. Son las denominadasredes de Bravais.

La estructura cristalina del silicio está basada en la red cúbica centradaen las caras. Partiendo de esta estructura cristalina, la celda unidad se puedeformar interpenetrando dos celdas cúbicas centradas en las caras separadas uncuarto de la diagonal principal (Figura 2.12) [63]. Esta estructura cristalina esla misma que la del diamante.

Figura 2.12: Formación de la celda unidad del cristal de silicio

Cada átomo de silicio queda así unido de manera covalente a otros cuatrosituados a la misma distancia formando un enlace tetraédrico (Figura 2.13).En la Figura 2.13 se muestra también el conjunto de enlaces presentes en lacelda unidad donde se han dejado resaltados los átomos que provienen de otracelda cúbica centrada en las caras para su mejor entendimiento.

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2.2 Estructura cristalográ�ca

Figura 2.13: Enlace tetraédrico y celda unidad con los enlaces representados

Los parámetros de red de�nen la distancia entre celdas unidad en unaestructura cristalina. Para las redes tridimensionales, se tienen tres parámetrosde red (a, b y c) para cada una de las direcciones del espacio. En el caso delas redes cúbicas, como se ha mencionado anteriormente, los tres parámetrostienen el mismo valor y la red queda de�nida por el parámetro a. En el casodel silicio, el parámetro a tiene un valor de 0,5430710nm.

Dado su interés por su in�uencia en la resistencia mecánica de las obleasde silicio, a continuación se va a profundizar en los planos cristalográ�cos quese pueden formar en la estructura del silicio. Previamente, se van a dar unosbreves conceptos sobre la nomenclatura de los planos y direcciones cristalográ-�cas.

Para de�nir los planos y las direcciones dentro de la red cristalográ�ca seutilizan los índices de Miller. Un plano cristalográ�co en una red cristalina esaquel que contiene varios centros de átomos de la red. Para de�nir un plano, losíndices h, k y l representan los valores inversos de las intersecciones del planocon los ejes x, y, z, respectivamente. Un plano queda por lo tanto de�nido de lasiguiente manera (hkl). Los valores negativos de la intersección se representancon una barra encima del índice de Miller correspondiente. Una familia deplanos equivalentes como por ejemplo (100), (010), (001),

(100),(010)y(001)

quedan de�nidos poniendo uno de los planos entre paréntesis {100}.Los índices de Miller también se usan para indicar direcciones. Como en

un cristal cúbico los ejes x, y, z forman un conjunto ortogonal, la direcciónperpendicular a un plano tiene el mismo índice de Miller que el plano. Lasdirecciones se representan entre corchetes [hkl]. Una familia de direccionesequivalentes como las de los tres ejes principales se representa 〈100〉.

En el silicio monocristalino se pueden encontrar tres familias de planoscristalográ�cos [63] que son la {100}, {110} y {111} (Figura 2.14).

La distancia entre los planos cristalográ�cos es diferente para cada familiade planos, como puede observarse en la Figura 2.15.

La distancia entre planos viene dada por la ecuación (2.4).

dhkl =a

(h2 + k2 + l2)1/2(2.4)

Siendo h, k y l los índices de Miller de los planos y a la constante de la

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Figura 2.14: Planos cristalográ�cos del silicio

Figura 2.15: Distancias entre planos cristalográ�cos en el cristal de silicio

red cristalina. A continuación, se van a analizar las distancias entre planoscristalográ�cos para el caso del silicio.

Para los planos {100}, sustituyendo en la fórmula, la distancia entre elloses igual a a. Sin embargo, al haber átomos intermedios en la celda unidad queforman los mismos planos cristalográ�cos, como puede verse en la Figura 2.15,la distancia entre planos es menor. Si se tiene en cuenta que de la familia deplanos (100), el más cercano al origen corta en el punto 1/4, los índices deMiller de ese plano son (400), por lo que la distancia entre planos (100) esigual a a/4 (como podía observarse en la Figura 2.15) o 0,1358nm.

Siguiendo el razonamiento anterior, la familia de planos {110} tiene 3 planosintermedios entre los vértices de la diagonal, por lo que la distancia entre planoses la cuarta parte de la longitud de la diagonal

(a√

2/4)o 0,1920nm.

Se puede ver en la Figura 2.15 que los planos de la familia {111} no es-tán uniformemente espaciados. Cada pareja de planos cercanos (representadoscada miembro de la pareja, uno con línea discontinua y el otro con continua)está separada de la pareja adyacente por una distancia bastante mayor. Elconjunto formado por un plano de cada pareja (en la Figura 2.15 los planosrepresentados con línea continua) pertenecen a los átomos de una de las celdas

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cúbicas centradas en las caras con las que se forma la estructura cristalina delsilicio. El conjunto de los otros planos de cada pareja (representados con líneasdiscontinuas en la Figura 2.15) pertenecen a la otra celda que penetra 1/4de la diagonal principal. Puede verse que la distancia mayor en este conjuntode planos es igual a un tercio de la diagonal principal

(a/√

3)o lo que es lo

mismo, 0,3135nm. En cuanto a los planos más cercanos, están separados 1/4de la distancia anterior, o 0,0784nm.

Las características de la estructura cristalina del silicio condicionan tantosu resistencia como su comportamiento.

2.2.1. In�uencia de la estructura cristalina en la resisten-cia del silicio

El silicio es un material frágil (sin deformación plástica) por lo que el fallose produce súbitamente mediante una propagación catastró�ca de las grietasabriendo los planos cristalográ�cos [16]. Este mecanismo de fallo, llamado ro-tura por clivaje, tiene como características más relevantes:

La fragilidad. Apenas se consume energía en la formación de nuevassuper�cie de fractura y la deformación plástica de los granos es mínima.

Separación por planos de mínima energía. Los planos más fácilmentesepararables son los de mínima energía o, lo que es lo mismo, los másdistanciados ya que son los que presentan una cohesión mínima.

A partir de la estructura cristalina del silicio descrita en el apartado ante-rior, se puede deducir que el fallo por clivaje en el cristal de silicio se propagaráen dirección [111] ya que son los planos con mayor separación entre ellos.

Anteriormente se ha visto que en el proceso de fabricación de obleas apartir de silicio monocristalino tipo Czochralski, se obtienen lingotes de seccióncircular a los que se recti�can los bordes. Lo más habitual en la industriafotovoltaica es el crecimiento en la dirección [100]. Al recti�car los bordes paradar forma pseudo-cuadrada a la sección, se obliga a que en los planos {100}coincidan con los bordes de las obleas, quedando los {110} y {111} formando45◦ respecto a los bordes de aquéllas. Se realiza así para optimizar el procesode texturizado, ya que el baño básico ataca con preferencia los planos másdébiles {111} formando pirámides en la super�cie de las obleas que optimizanla entrada de luz (Figura 2.16) [1], [54]. Además, el proceso de recti�caciónoptimiza la posterior manipulación en el proceso de fabricación de la célula yaque la creación de contactos eléctricos se realiza formando una malla que siguelas direcciones del borde de la oblea. Se evita, por lo tanto, tener que realizarlos contactos sobre las direcciones más débiles de la oblea de silicio.

Con el �n de comprobar la in�uencia de la estructura cristalina en la re-sistencia ([5], [7]), se prepararon tres grupos con diferente orientación (Figura

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Figura 2.16: Fotografía de la super�cie texturizada de una oblea monocristalina

2.17). Para ello se partió de tres lingotes crecidos según la dirección 〈100〉 y serecti�caron dejando los planos {110} a 45◦ de los bordes (como las comerciales)a 22,5◦ y a 0◦.

Figura 2.17: Grupos de obleas preparados para estudiar la in�uencia de losplanos cristalográ�cos

Estos tres grupos de obleas fueron ensayados mediante �exión en cuatrolíneas. Para obtener más información del proceso de rotura se procedió a lagrabación mediante cámara de alta velocidad de algunos ensayos. Las imágenesmostradas a continuación corresponden a grabaciones con una velocidad de1000 frames por segundo. En la Figura 2.18 se puede observar la rotura de unaoblea con los planos de clivaje paralelo a los bordes y en la 2.19 la rotura deuna oblea con los planos a 22,5◦ de los bordes.

La grabación mediante cámara de alta velocidad permite observar clara-mente que una vez iniciado el fallo, la oblea se va rompiendo siguiendo ladirección de los planos de clivaje.

Chen y Leipold [27] estudiaron la dureza del silicio para las diferentes di-recciones del cristal y para el caso de obleas multicristalinas. Partiendo demuestras recrecidas según 〈111〉, que es la dirección predominante en obleasde silicio para la industria microelectrónica (chips), cortaron muestras en di-

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Figura 2.18: Rotura de oblea con los planos de clivaje paralelos a los bordes

Figura 2.19: Rotura de oblea con los planos de clivaje a 22,5◦ de los bordes

ferentes direcciones y las ensayaron a �exión en cuatro puntos. La dureza afractura para fallo en modo I dio como resultado los valores de 0,82, 0,90y 0,95MNm−3/2 en las orientaciones {111}, {110} y {100} respectivamente.Además, el silicio multicristalino solo llegó a 0,75MNm−3/2.

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2.2.2. In�uencia de la estructura cristalina en el compor-tamiento del silicio

Las obleas de silicio monocristalinas mantienen en todo momento las direc-ciones del cristal de la semilla por lo que los valores de las constantes elásticasson las mismas que las del cristal original. En el caso de obleas de silicio mul-ticristalinas, la aleatoreidad de los granos y su orientación si permite realizarel estudio considerando que las obleas tienen un comportamiento isótropo. Sesuelen emplear los valores de E= 165,6 GPa para el módulo de elasticidad yν = 0,23 para el coe�ciente de Poisson ([15], [35]) basado en aproximacionesencontradas en la literatura ([48], [47]).

En el apéndice A (Elasticidad lineal para medios anisótropos) se explica elorigen del número de constantes independientes de�niendo el comportamientoelástico de sólidos cristalinos basados en el sistema cúbico y se introduce elparámetro de anisotropía [88]. Para el caso del silicio, se tienen los valores queaparecen en (2.5) [48].

C11 = 165,6GPaC12 = 63,9GPaC44 = 79,5GPa

A =2 · 79,5

165,6− 63,9 = 1,563

(2.5)

Se puede calcular el módulo de Young y el coe�ciente de Poisson en cual-quier dirección [62]. Para un sistema cúbico, el módulo de Young E en ladirección n = (n1, n2, n3) viene dado por la expresión (2.6).

1

E= S11 − 2S

(n2

1n22 + n2

2n23 + n2

3n21

)(2.6)

donde n1, n2 y n3 son los cosenos directores, S = (S11 − S12 −1 /2S44) ylos Sij los coe�cientes que cumplen la relación inversa ε = C−1σ = Sσ y quepara los sistemas cúbicos son los expresados en (2.7).

S11 =C11 + C12

C, S12 = −C12

Cy S14 =

1

C44

(2.7)

donde C = (C11 − C12) (C11 + 2C12). Por lo tanto, el módulo de Young delcristal de silicio en las direcciones de los planos de clivaje vienen mostrados en(2.8).

E[100] = 130GPaE[110] = 168,9GPaE[111] = 187,6GPa

(2.8)

Se observa que al igual que la resistencia del silicio, la rigidez se comportasiendo la más elevada en la dirección con planos cristalográ�cos más cercanos

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{111} y la dirección más �exible corresponde a la de los planos más alejadosentre sí {100}. En la Figura 2.20 se muestra la variación del módulo de Youngen el cristal de silicio en función de la dirección donde pueden verse más clara-mente la in�uencia de la estructura cristalográ�ca en la rigidez del cristal. Sise tratara de un material isótropo, la representación daría lugar a una esfera.

Figura 2.20: Variación del módulo de Young con la dirección

De manera análoga se puede obtener una relación para el coe�ciente dePoisson ν (2.9), en la cual hay que tener en cuenta dos direcciones: la deforma-ción en la dirección longitudinal n = (n1, n2, n3) y la deformación en direccióntransversal m = (m1,m2,m3). Debido a la dependencia de dos direcciones dedeformación, la representación grá�ca de la variación del coe�ciente de Poissonno es posible.

ν (m,n) = −S12 + S (n21m

21 + n2

2m22 + n2

3m23)

S11 − 2S (n21n

22 + n2

2n23 + n2

3n21)

(2.9)

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Capítulo 3

Conceptos teóricos necesarios parael dimensionamiento de materialesfrágiles

Habiendo descrito ya el material y sus particularidades, a continuaciónse van a explicar resumidamente los diferentes métodos de dimensionamientode materiales frágiles y se explicará el modelo estadístico utilizado para lacaracterización de la resistencia de las obleas

3.1. Métodos de dimensionamiento de materia-les frágiles

Como se ha dicho en el capítulo anterior, el silicio cristalino es un materialfrágil que como tal, se caracteriza por presentar poca deformación antes delfallo (muy baja ductilidad) y mucha dispersión en los valores de resistencia.Cuando se aplica una carga, la ausencia de deformación plástica provoca unaelevada concentración de tensiones en los defectos del material que conducen alfallo mediante propagación rápida de grietas. Por tanto, la dispersión observadaen la resistencia del material viene del origen mismo del fallo ya que la variedadde defectos en tipo, longitud y orientación, se traduce en una elevada dispersiónde resultados.

Entre los métodos empleados para el dimensionamiento de materiales sepueden distinguir los basados en criterios probabilistas o deterministas:

Los métodos deterministas establecen que el fallo ocurre cuando undeterminado estado de tensiones o una tensión equivalente supera unvalor límite. Estas teorías de fallo han tenido éxito al estudiar el falloen materiales dúctiles como metales. Sin embargo, no son válidos paramateriales con mucha dispersión ya que para establecer valores límite

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Conceptos teóricos necesarios para el dimensionamiento de materialesfrágiles

con alta �abilidad se precisan elevados factores de seguridad. De estamanera, se está infrautilizando el material ya que el fenómeno físico quedetermina el fallo no está caracterizado correctamente.

Los métodos probabilistas caracterizan los defectos del material y,por lo tanto su resistencia, de manera estadística. Por lo tanto permitenun aprovechamiento más racional del material y una mayor precisión enla predicción del fallo.

Al tratarse el silicio cristalino de un material frágil, se van a adoptar crite-rios probabilistas para la caracterización de su resistencia mecánica [50], [73].Existen dos metodologías de diseño probabilistas aplicables a materiales frági-les [42]: el método directo, que desarrolla un modelo basado en la distribuciónestadística de tamaños de defecto y el método indirecto, cuyo modelo probabi-lista se basa en la consideración de tensiones críticas.

3.1.1. Método directo

Se denomina así porque caracteriza los materiales a partir del origen delfallo, es decir, determinando una función estadística de tamaño máximos dedefectos permitidos.

Para poder aplicar este método probabilista de dimensionamiento es ne-cesario tener bien de�nido el criterio de rotura y que los defectos tengan unacon�guración conocida. De esta manera, para unas solicitaciones determinadasse puede calcular el estado de tensiones en cada punto y mediante el criteriode rotura y la con�guración del defecto, obtener un tamaño de defecto equi-valente en ese punto. Como el material está caracterizado por una función dedistribución estadística de tamaños máximos de defecto es posible saber encada punto la probabilidad de fallo del material.

La mayor di�cultad para aplicar este método es la de�nición del criteriode rotura y la hipótesis de con�guración de defectos para la que esválida ese criterio de rotura. En primer lugar, es necesario conocer el valorde la tenacidad a fractura propia del material. Existen varios métodos paradeterminarla, como por ejemplo los ensayos de indentación con penetradorVickers o ensayos de �exión con probetas entalladas que permiten establecervalores de tenacidad a fractura para unos modos de fallo y para unos tipos dedefectos concretos. La generalización a todos los posibles defectos existentes enel material así como las combinaciones de tensiones y defectos que producenel fallo complica este método de dimensionamiento.

3.1.2. Método indirecto

Se denomina así porque para caracterizar el material no es necesario conocerlos defectos causantes del fallo sino que basta tener una medida indirecta de

32

3.2 Caracterización de los defectos del material: estadística de valoresextremos

Tabla 3.1: Funciones de distribución límite para valores máximos

Fréchet Hα(x) =

{0exp (−x−α)

si x < 0si x ≥ 0

α > 0

Weibull Hα(x) =

{exp

[− (−x)−α

]1

si x < 0si x ≥ 0

α < 0

Gumbel H0(x) = exp [−exp (−x)] −∞ < x <∞

los mismos como es la resistencia del material. Este ha sido el método utilizadoen esta tesis debido al desconocimiento de los tipos de defectos que provocanel fallo del silicio.

El planteamiento de ambas metodologías se basa en la interacción entre elestado tensional y los defectos en cada punto del material [16]. Por lo tanto,para ambos métodos es necesario caracterizar estadísticamente los tamaños delos defectos del material.

3.2. Caracterización de los defectos del material:estadística de valores extremos

En numerosas áreas de la ingeniería el diseño se basa en la probabilidadde ocurrencia de valores extremos de una serie de variables aleatorias: alturamáxima de las olas, velocidades máximas de viento, etc ([21], [19]). En eldimensionamiento de materiales frágiles, es necesario conocer las distribucionesdel máximo tamaño de defecto o, dada la interacción entre tensión y tamañode defecto, la distribución de la resistencia mínima. Este planteamiento llevaimplícito el problema del llamado �efecto escala� (�size e�ect�) que tiene encuenta que al incrementar la zona sometida a tensión se incrementa tambiénla probabilidad de que exista en esa zona un defecto crítico que con esa tensiónproduzca el fallo, disminuyendo por lo tanto la resistencia.

Según la teoría estadística de extremos, existen tres familias únicas dedistribuciones límite para valores máximos y mínimos: las funciones de dis-tribución de Fréchet, Weibull y Gumbel. En la Tabla 3.1 se presentan estasfunciones de distribución para máximos y en la Tabla 3.2 las correspondientespara mínimos.

La importancia práctica de la aplicación de la teoría de valores extremosradica en que no importa cuál es la distribución original de la variable aleatoriaestudiada ya que los valores extremos de esa distribución se ajustan a una deestas tres funciones ([21], [19], [20], [40]). Por lo tanto, el problema consiste endeterminar cuál es el dominio de atracción (a qué ley de extremos se ajusta)

33


Tabla 3.2: Funciones de distribución límite para valores mínimos

Fréchet Lα(x) =

{1− exp

[− (−x)−α

]1

si x < 0si x ≥ 0

α > 0

Weibull Lα(x) =

{01− exp (−x−α)

si x < 0si x ≥ 0

α < 0

Gumbel L0(x) = 1− exp [−exp (x)] −∞ < x <∞

de la función originalCuando la función original no es conocida existen diferentes métodos para

determinar el dominio de atracción al que pertenece basándose en muestras delos valores extremos. Algunos de ellos son [20]: el método de Pickands (1975), elmétodo de la curvatura o el método de los papeles de probabilidad. Esteúltimo establece que a partir de todos los datos extremos, solo los correspon-dientes a la cola de interés deben ser tenidos en cuenta a la hora de determinarel dominio de atracción ya que son estos los que gobiernan el comportamientode todos los valores extremos [40]. Los puntos que no estén incluídos en lascolas de interés deben ser minorizados para no distorsionar la función límiteque se esté ajustando. Este procedimiento ha sido tenido en cuenta en estatesis, como se verá más adelante.

Si se conoce la función original, existen otros procedimientos que permi-ten determinar el dominio de atracción al que pertenecen los valores límites.Además, las consideraciones físicas son de gran importancia en los análisis devalores extremos [20]. Las tres familias presentadas anteriormente se puedenreducir a dos si se tiene en cuenta que:

Una función original con límite no �nito en la cola de interés no puedepertenecer a un dominio de atracción de la función de valores extremostipo Weibull.

Una función original con límite �nito en la cola de interés no puedepertenecer a un dominio de atracción de la función de valores extremostipo Fréchet.

Si además se tiene en cuenta que las distribuciones Gumbel se puedenaproximar tanto como se quiera a distribuciones Weibull o Fréchet (las distri-buciones de Gumbel están en la línea intermedia entre las distribuciones deWeibull y Fréchet), se puede concluir que, de manera práctica, la distribuciónlímite se puede obtener por consideraciones físicas.

Para el caso que atañe a esta tesis, la función de valores extremos es la tipoWeibull de máximos. Se considera que la distribución de tamaños de defecto

34

3.3 Modelo de Weibull

del material (sea cuál sea) tiene un límite �nito y por lo tanto, la distribuciónde valores extremos (tamaños máximos de defecto) pertenece al dominio deatracción de Weibull para máximos.

Como se ha explicado anteriormente, el método de dimensionamiento em-pleado es el método indirecto por lo que se va a caracterizar el material a partirde su resistencia y no del tamaño máximo de defecto. El fallo se produce por lainteracción existente entre el estado tensional y los defectos en cada punto delmaterial. La relación es inversa: mayor tamaño de defecto del material impli-ca una menor resistencia y viceversa. Por lo tanto, la resistencia del materialpertenece al dominio de atracción de Weibull para mínimos.

A continuación, por lo tanto, se desarrolla con mayor amplitud el modelode Weibull.

3.3. Modelo de Weibull

En 1939, Weibull desarrolla un modelo [85] para caracterizar el fallo demanera estadística basándose en la teoría del eslabón más débil (propuestapor Pierce en 1926) que establece que el material se puede considerar comouna cadena compuesta por n eslabones conectados en serie. Cuando falla uneslabón, se rompe la cadena. A diferencia de Pierce que consideró una distri-bución Gaussiana de la resistencia, Weibull estableció una función de densidadde probabilidad que actualmente lleva su nombre.

Weibull desarrolla este modelo de manera fenomenológica sin tener en cuen-ta la teoría de valores extremos porque considera [86]:

�it's utterly hopeless to expect a theoretical basis for distributionfunctions of random variables such as strength properties of mate-rials or of machine parts or particle sizes, the �particles� being �yash, Cyrtoideae, or even adult males, born in the British Isles�

Por lo tanto, partiendo de la teoría del eslabón más débil, propone unmodelo para caracterizar la resistencia de materiales que, de manera empírica,se comprueba que da buenos resultados en diferentes aplicaciones. Existenotros modelos fenomenológicos para caracterizar el fallo del material [61] comopueden ser:

El denominadomodelo paralelo omodelo de haz. En este modelo, tambiénanalizado por Pierce (1926) y Daniels (1945), la estructura se consideraun conjunto de �bras paralelas cada una de las cuales es capaz de sor-portar de forma inde�nida una carga menor que su resistencia pero serompe instantáneamente bajo cualquier carga igual o superior a su re-sistencia. Cuando una �bra falla, se produce la redistribución de cargasy la estructura puede sobrevivir. El fallo global se producirá, por tanto,

35


cuando las �bras restantes no sean capaces de soportar la redistribuciónde cargas.

Modelos de fallo más complejos como el r de n. Aqui, el material seconsidera como un conjunto de n componentes que funciona mientrasal menos r elementos no hayan fallado. Este tipo de sistemas no haencontrado muchas aplicaciones en los análisis de �abilidad estructural.

El fallo en materiales frágiles es instántaneo y catastró�co, lo que se ajustamuy bien a la descripción de un sistema en serie siendo, por lo tanto, la teoría

del eslabón más débil la normalmente adoptada en estos estudios. Además,si se compara con la teoría de �bras, en la mayoría de los casos da resultadosconservadores.

El modelo de Weibull no considera el fallo por estados de compresión pu-ra. Observaciones fenomenológicas validan esta hipótesis ya que la resistenciaa compresión de los materiales frágiles es signi�cativamente más alta que atracción. Por tanto, en el análisis del estado de tensión de la probeta se ha

seguido el criterio de que si en un elemento una tensión principal de

compresión excede en 3 veces la tensión principal máxima de trac-

ción, se considera que en ese elemento predomina la compresión y

la Pf de ese elemento es cero.La aplicación de la teoría del eslabón más débil junto a los conceptos fun-

damentales de la mecánica de la fractura permite incluir en el modelo el �efectoescala� (�size e�ect�) que tiene en cuenta que al incrementar la zona sometidaa tensión se incrementa también la probabilidad de que exista en esa zonaun defecto crítico que con esa tensión produzca el fallo, disminuyendo por lotanto la resistencia. Otra característica incluída es que el fallo no tiene por quéproducirse en el punto de la probeta sometido a tensión máxima. Un defec-to particularmente crítico puede producir el fallo estando localizado en zonassometidas a tensiones más bajas en la misma probeta. Por lo tanto, debe sertenido en cuenta el campo total de tensiones.

El modelo de Weibull no predice el comportamiento para los estados multi-axiales de tensión sino que utiliza un procedimiento denominado método de latensión normal promediada. Hay otros modelos desarrollados para el caso detensiones multiaxiles como el Principio de las Acciones Independientes (PIA)propuesto por Barnett (1967) [3] y Freudenthal (1968) [38] o el modelo deBatdorf de densidad de defectos (Batdorf y Crose, 1974 [14]).

A continuación se va a describir el desarrollo del modelo basándose en lateoría del eslabón más débil que, como ya se ha mencionado, se desarrollapara un estado uniaxial de tensión por lo que describiremos a continuación lasdiferencias en cada uno de los modelos mencionados para el caso de un estadomultiaxial.

Se va a hacer el desarrollo considerando que el fallo es debido a defectos desuper�cie aunque el razonamiento y las expresiones son similares para defectos

36


de volumen y de borde.

3.3.1. Desarrollo del modelo

Se parte de la función de distribución de probabilidad de fallo de un ma-terial (Pf ) referido a un área unidad uniaxialmente traccionada. Se consideraahora una probeta de área A como un sistema en serie de A eslabones inde-pendientes del material también en condiciones uniaxiales de tensión. Cuandofalla la probeta sometida a σ es debido al fallo de algún eslabón, por lo quela probabilidad de supervivencia viene dada por la supervivencia de todos loseslabones sometidos a σ. Si se supone la independencia de sucesos y la igual-dad de probabilidades, comprobado mediante observaciones fenomenológicas,se tiene (3.1).

Ps,A (σ) =A∏i=1

[Ps (σ)]i = [Ps (σ)]A (3.1)

Se de�ne entonces una función B = −log [1− Pf,A (σ)] denominada riesgode fallo que es igual a:

B = −log [1− Pf,A (σ)] = −A · log [1− Pf (σ)] (3.2)

Puede verse en la ecuación (3.2) que el riesgo de fallo depende del área dela probeta A y de la función de distribución de la probabilidad de fallo (Pf )que a su vez depende de la tracción uniaxial aplicada σ. Por lo tanto, para undiferencial de área se tiene que:

dB = −log [1− Pf (σ)] dA (3.3)

Donde −log (1− Pf ) es una función de la tracción σ y es positiva porque1 − Pf < 1. Por lo tanto, se puede de�nir una nueva función n (σ) llamadafunción de densidad de defectos, que es una propiedad del material y quepermite expresar el riesgo de fallo como se ve en (3.4). Esta función representael número de defectos por unidad de super�cie que fallan ante una tensión σ.

dB = n (σ) dA → B =

∫A

n (σ) dA (3.4)

La probabilidad de fallo de la probeta de área A sometida a σ es:

Pf,A (σ) = 1− exp [−B] = 1− exp[−∫A

n (σ) dA

](3.5)

Hasta este punto Weibull [85] desarrolla, siguiendo la teoría del eslabón másdébil, una expresión que permite obtener la probabilidad de fallo para unasdimensiones determinadas de probeta (al considerar únicamente los defectos

37


de super�cie, la integral se evalúa en el área de la probeta) dependiente de lafunción de densidad de defectos propia del material y para un estado uniaxialde tensión. Propone como función de densidad de defectos la mostrada en (3.6).

n (σ) =

(σ − σuσ0

)m(3.6)

Donde:

σu es el parámetro de localización. Representa un umbral mínimo pordebajo del cual no se produce el fallo. Tiene dimensiones de tensión. Sitoma el valor cero, se tiene la distribución de Weibull biparamétrica.

σ0 es el parámetro de escala. Tiene dimensiones de tensión x (super�-cie)1/m en el caso de que los defectos de super�cie sean los que limitan laresistencia. En el caso de que sean los defectos de volumen o de borde, lasdimensiones de este parámetro son tensión x (volumen)1/m y tensión x(longitud borde)1/m respectivamente. La suma de σ0 y σu (o directamenteel parámetro σ0 para el caso de la distribución de Weibull biparamétri-ca) da el valor de tensión para el cual el 63.2% de las muestras con áreaunidad fallarían y se denomina tensión característica de fractura.

m es el parámetro de forma o módulo de Weibull. Se trata de uncoe�ciente sin dimensiones que da una medida de la variabilidad de laresistencia. Cuanto mayor es m, menor es la dispersión.

Los parámetros de�nidos por Weibull son propiedades del material y co-nociéndolos, es posible calcular la probabilidad de fallo de cualquier probetacon cualquier dimensión sometida a un estado uniaxial de tensión, mediantela expresión de la función de distribución de Weibull tri-paramétrica (3.7).

Pf,A (σ) = 1− exp[−∫A

(σ − σuσ0

)mdA

](3.7)

Esta expresión es igualmente válida realizando la integral sobre el volumeno sobre la longitud del borde ([73], [61]), según el tipo de defecto limitante dela resistencia.

Se ha visto como Weibull, basándose en la teoría del eslabón más débil,propone la expresión (3.7) para calcular la probabilidad de fallo de un material,cuya resistencia viene de�nida por los parámetros σu, σ0 y m, sometido a unestado uniaxial y uniforme de tensiones. En la realidad, los estados de tensionessuelen ser multiaxiales y no uniformes. A continuación se explica cómo sepueden solucionar estos inconvenientes del modelo.

38


3.3.2. Estado de tensiones multiaxial

Se van a describir tres métodos diferentes de abordar el caso de un estadode tensiones multiaxial. Para simpli�car la presentación de cada uno de losmétodos, se re-escribe la expresión (3.7) como se muestra en (3.8), donde Ψ esla función de fallo por unidad de super�cie. Solo queda por tanto especi�carlas diferentes funciones de fallo Ψ para cada modelo.

Pf = 1− exp[−∫A

Ψ dA

](3.8)

Método de la tensión normal promediada

Este modelo, propuesto por Weibull [85], calcula el riesgo de fallo prome-diando la tensión normal elevada a un exponente en todas las direcciones sobreel área de una esfera de radio unidad (defectos de volumen) o el contorno deun círculo de radio unidad (defectos de super�cie).

Ψ = kwpS · σ̄mn (3.9)

Aquí σ̄mn es la tensión normal promediada en el contorno de un círculo (cal-culable según (3.10)) y kwpS es el coe�ciente de densidad de defectos multiaxialde Weibull para defectos super�ciales. La relación entre los coe�cientes de den-sidad de defectos multiaxial (kwpS) y uniaxial (kwS = (1/σ0)m) fue obtenidapor Pai y Gyekenyesi en 1988 [65](3.11).

σ̄mn =

∫c

σmn dc∫c

dc

(3.10)

kwpS =m Γ (m)

√π

Γ

[m+

1

2

] kwS (3.11)

Modelo de densidad de defectos de Batdorf

Este modelo está basado en la Mecánica de la Fractura por lo que el tipo dedefecto in�uye en los resultados. Se parte de la hipótesis de que los defectos (devolumen, super�cie o borde) tienen una orientación aleatoria y no interactuanentre sí.

Batdorf [14] postula que la probabilidad de fallo en un elemento de super-�cie ∆A con un estado de tensiones uniforme Σ se puede expresar como elproducto de dos probabilidades (3.12).

Pf (Σ, σcr,∆A) = P1P2 (3.12)

39


donde P1 es la probabilidad de que exista en esa super�cie un defecto conuna tensión crítica comprendida entre σcr y σcr + ∆σcr.

Hay que remarcar que σcr se de�ne como la tensión normal al plano deldefecto tal que, cuando en modo mixto actúa sobre el defecto una tensiónefectiva (σef ) mayor igual que la tensión crítica, se producirá el fallo en ModoI. La probabilidad P2 denota la probabilidad de que un defecto con tensióncrítica σcr se oriente en una dirección tal que su tensión efectiva σef iguale oexceda la crítica. Estas dos probabilidades se pueden expresar según (3.13).

P1 = ∆Adη (σcr)dσcr

dσcr P2 =ω (Σ, σcr)

2π(3.13)

La función η (σcr) es la función de densidad de defectos de Batdorf, que esuna propiedad intrínseca del material e independiente del estado de tensionesmultiaxial Σ. Normalmente se aproxima por la expresión (3.14) donde kB esun parámetro del material y m el módulo de Weibull.

η (σcr) = kB · (σcr)m (3.14)

La expresión de P2 en la ecuación (3.13) depende de ω (Σ, σcr) que, paradefectos orientados aleatoriamente, es la longitud de arco proyectado sobre uncírculo de radio unidad en el espacio de las tensiones principales conteniendotodas las orientaciones de defectos para las cuales σeq ≥ σcr. La constante 2πes el perímetro del círculo unidad y corresponde al arco que contiene todas lasorientaciones posibles del defecto.

Se admite que el fallo ocurrirá cuando en un estado de tensiones, la tensiónefectiva σef asociada con el defecto más débil alcance un valor crítico σcr. Latensión efectiva es una combinación de las tensiones normales y tangencialesdel campo existente de tensiones. Es función del tipo de defecto y del criteriode fractura empleado. Queda claro por lo tanto la incorporación de la mecánicade la fractura en este modelo.

Combinando las expresiones de P1 y P2 y expresándolo según se anunciabaen (3.8), queda:

Ψ =∫ σef,max

0

ω (Σ, σcr)2π

dη (σcr)dσcr

dσcr

= mkB∫ σef,max

0

ω (Σ, σcr)2π σm−1

cr dσcr

(3.15)

Este modelo presenta inconvenientes similares al método directo: el estable-cimiento de un criterio de rotura y la necesidad de conocer las con�guracionesde los defectos presentes en el material.

Principio de las Acciones Independientes (PIA)

El modelo PIA es el equivalente probabilístico a la teoría de fallo determi-nista de tensión máxima y fue propuesto por Barnett en 1967 [3] y Freudenthal

40


en 1968 [38]. En él se supone que las tensiones principales actuan de maneraindependiente en cada dirección. Por tanto, la probabilidad de fallo se calculaa partir de las probabilidades de supervivencia individuales (independientesentre sí) en cada una de las direcciones principales.

Ps,A (σ) = Ps,A (σ1) · Ps,A (σ2) · Ps,A (σ3)

= exp[−∫A

[(σ1−σuσ0

)m+(σ2−σuσ0

)m+(σ3−σuσ0

)m]dA] (3.16)

La función Ψ es la expresada en (3.17).

Ψ =

(σ1 − σuσ0

)m+

(σ2 − σuσ0

)m+

(σ3 − σuσ0

)m(3.17)

En esta tesis se ha utilizado el principio de las acciones indepen-

dientes para el dimensionamiento en caso de un estado de tensiones

multiaxial . Este método suele ser utilizado en este tipo de estudios ([4], [77],[31]) ya que no es necesario tener información acerca de los defectos del mate-rial (tipo, dimensiones, orientación) y tiene en cuenta los estados multiaxialesde tensión.

3.3.3. Estado de tensiones no uniforme

Según lo visto en el punto anterior, conocidos los parámetros de Weibullque de�nen el fallo del material se puede calcular la probabilidad de fallo deuna muestra sometida a un estado multiaxial (siguiendo el criterio establecidopor el PIA) y uniforme. A continuación se aborda el problema para el caso deestados de tensiones no uniformes.

Para ello, se de�ne el �área equivalente del ensayo i� ([42], [68]) al áreade una probeta que en un ensayo de tracción sometida a la tensión máximaobservada en el ensayo i tenga la misma probabilidad de fallo que la del ensayoi.

Pf,e−i,A (σ) = Pf,e−t,Aeq (σmax) (3.18)

Donde e− i se re�ere el ensayo i con su área real correspondiente, mientrase − t se re�ere al ensayo a tracción con su área equivalente. La σmax es latensión máxima del ensayo i. Sabiendo que el material se comporta según ladistribución de Weibull triparamétrica, se puede expresar la probabilidad desupervivencia como:

exp[−∫A

(σ − σuσ0

)mdA]

= exp[−∫Aeq

(σmax − σu

σ0

)mdA]

= exp[−Aeq

(σmax − σu

σ0

)m] (3.19)

41


Tomando logaritmos y despejando el área equivalente se tiene:

Aeq =

∫A

(σ − σuσ0

)mdA(

σmax − σuσ0

)m (3.20)

En la expresión (3.20) se simpli�can las σ0m que son constantes y se puede

también introducir el término (σmax − σu)m en la integral al ser constante,quedando por lo tanto:

Aeq =

∫A

(σ − σu

σmax − σu

)mdA (3.21)

Puede observarse que el área equivalente de cada ensayo depende de ladistribución de tensiones a lo largo de la probeta, de la tensión máxima delensayo y de los parámetros de localización y de forma de Weibull.

Debido al comportamiento no lineal de las obleas durante los ensayos, no esposible establecer una ley para la distribución de tensiones que permita obteneruna expresión análitica para el cálculo del área equivalente de un ensayo paraunos parámetros de Weibull dados. En este caso, el área equivalente se

calcula a partir de los resultados obtenidos en el modelo de elementos

�nitos, integrando la variación de la tensión respecto a la super�cie .Para el caso de tensiones multiaxiales, el área equivalente se calcula según

3.22.

Aeq =

∫A

[(σ1 − σuσmax − σu

)m+

(σ2 − σuσmax − σu

)m+

(σ3 − σuσmax − σu

)m]dA (3.22)

De esta manera, ya es posible calcular la probabilidad de fallo de un mate-rial con parámetros σu, σ0 y m sometido a un estado multiaxial no uniforme detensión. Sin embargo, el problema es el inverso: a partir de los resultados

de campañas de ensayos, se necesita determinar los parámetros de

Weibull que de�nen el fallo del material .

3.3.4. Método para determinar los parámetros de Wei-bull

Para caracterizar la resistencia de un material que sigue el modelo de Wei-bull de rotura es necesario conocer los parámetros de la distribución (σu, σ0 ym). Estos se estiman a partir de un conjunto de muestras mediante la realiza-ción de ensayos a rotura con una con�guración determinada. Los parámetrosobtenidos al ajustar los resultados de los ensayos a una función de distribu-ción de Weibull vendrán condicionados por las dimensiones del ensayo ya que,

42


como queda claro según la expresión (3.7), la probabilidad de fallo de unamuestra depende de las dimensiones de la misma sometida a tensión. Por lotanto, la determinación de los parámetros no es un proceso tan evidente comoel ajuste de los resultados del ensayo a una ley de Weibull según cualquiera delos métodos presentes en la literatura para ello (mínimos cuadrados, máximaverosimilitud, el método grá�co del papel de Weibull, etc).

Si se supone que se tiene un elemento diferencial de área ∆A (Figura 3.1)sometido a un estado uniaxial y uniforme de tensiones, se puede realizar laintegral de la expresión (3.7) teniendo en cuenta que σ es constante en todo eldiferencial de área quedando la expresión (3.23).

Figura 3.1: Elemento (∆A) uniaxial y uniformemente tensionado

Pf,∆A (σ) = 1− exp[−(σ − σuσ0

)m∆A

](3.23)

Si se incluye el elemento ∆A en la de�nición del parámetro de escala, setiene:

σθ = σ0/m√

∆A = σ0 ·∆A−1/m (3.24)

El parámetro σθ, que ahora tiene dimensiones de tensión sumado al pará-metro de localización, representa el valor de tensión para el cual el 63.2% detodas las muestras de área ∆A fallan y a esa suma, como ya se ha mencio-nado, se le conoce como tensión característica de fractura. Por lo tanto, paraun elemento diferencial uniaxial y uniformemente tensionado, la función dedistribución triparamétrica de Weibull se presenta como:

Pf,∆A (σ) = 1− exp[−(σ − σuσθ

)m](3.25)

Si las muestras tuvieran las dimensiones de ∆A y estuvieran sometidas aun estado uniaxial y uniforme de tensiones, el ajuste directo de los resultadosde los ensayos a una distribución de Weibull permitiría conocer los parámetrosσu, σθ y m (y por lo tanto, σ0) quedando completamente de�nida la resistenciadel material. Sin embargo, en los ensayos realizados no se ha sometido a lasprobetas a estados uniaxiales y uniformes de tensión. En el caso del ensayode �exión en cuatro puntos, se tiene un estado uniaxial pero no uniforme detensión y en los ensayos �ring-on-ring� y �twist-test� los estados son multiaxiales(como se verá más adelante).

43


Przybilla et al. [68], [69] proponen un método iterativo que permite obtenerlos parámetros de Weibull a partir de los resultados de los ensayos con compor-tamiento lineal. En este tesis se adapta el método incluyendo las no linealidadespresentes en los ensayos. Su punto de partida es la ecuación (3.25).

El estado de tensiones tras la realización de ensayos se obtiene medianteel desarrollo de modelos de elementos �nitos. Estos modelos discretizan lasuper�cie del material y se admite que en cada uno de los elementos, el estadode tensiones es uniforme. El problema de los estados multiaxiales de tensión,tal como se ha explicado anteriormente, se ha resuelto mediante la aplicacióndel modelo PIA que puede entenderse como si en cada elemento se tuvieranotros 3 elementos uniaxiales. Por lo tanto, es posible discretizar la super�ciede las probetas para considerar que la ley de Weibull presentada en (3.25) esválida en cada elemento.

El estado de tensiones en el ensayo no es uniforme en toda la probeta. Sinembargo, el área equivalente según de�nición es el área sometida a la tensiónmáxima del ensayo y que tiene la misma probabilidad de fallo (3.18). Por tan-to, la probabilidad de supervivencia del ensayo con un estado de tensiones nouniforme es igual a la probabilidad de supervivencia de una probeta de super�-cie el área equivalente del ensayo sometida a σmax. Según la teoría del eslabónmás débil, la probabilidad de supervivencia de esta probeta de super�cie elárea equivalente sometida a σmax es igual al producto de las probabilidades desupervivencia de los n elementos diferenciales de dimensiones ∆A sometidos ala misma tensión (3.26).

Ps,A (σ) = Ps,Aeq (σmax) =∏n

i=1 Ps,∆A (σmax)i

= [Ps,∆A (σmax)]n = [Ps,∆A (σmax)]

Aeq∆A

(3.26)

Por lo tanto, se tiene como probabilidad de fallo del material en un

ensayo:

Pf,A (σ) = 1− exp[−Aeq

∆A

(σmax − σu

σθ

)m](3.27)

De esta manera se ha obtenido una expresión que permite relacionar losresultados de los ensayos con la ley de comportamiento del material.

Procedimiento iterativo

Se presenta a continuación el método iterativo utilizado para la obtenciónde los parámetros de Weibull de un material a partir de los resultados deensayos.

1. Se parte de un conjunto de N muestras ensayadas. Se toman las tensionesmáximas de cada ensayo, se ordenan de menor a mayor y se asigna al

44


conjunto una probabilidad de fallo acumulada que se denominará �expe-rimental� . La probabilidad de fallo experimental del ensayo i se calculasegún el estimador de Bernard denominado aproximación de rango medio[37]:

Pf,i =i− 0,3

N + 0,4(3.28)

2. Se realiza un ajuste del conjunto (σmax,i, Pf,i) a una distribución de Wei-bull triparamétrica por el método de los mínimos cuadrados.

3. Con los parámetros de Weibull obtenidos, se calcula el área equivalentede cada ensayo (Aeq,i) con la expresión (3.21).

Para poder calcular el Aeq de cada ensayo son necesarios los parámetrosσu y m obtenidos en el paso anterior.

También es necesario conocer el estado de tensiones completo del material(que se obtiene a partir del modelo de elementos �nitos) y el área de cadaelemento del modelo.

4. Una vez que se tiene el Aeq,i, la probabilidad de fallo del ensayo i referidoa ∆A se obtiene según:

Pf,i,∆A = 1− (1− Pf,i)∆A/Aeq,i (3.29)

5. El nuevo conjunto de datos (σmax,i, Pf,i,∆A) se ajusta a una nueva ley deWeibull triparamétrica.

6. Se retorna al paso 3. El proceso iterativo continúa hasta que la variaciónde σu y m sea despreciable.

De esta manera, se obtienen los parámetros de Weibull que de�nen el fallodel material a partir de una campaña de ensayos.

En la Figura 3.2 puede verse un diagrama de �ujo del método iterativo.

45


Figura 3.2: Diagrama de �ujo del método iterativo

46

Parte II

Caracterización

47

Capítulo 4

Ensayos

La caracterización de la resistencia mecánica de obleas de silicio requiere larealización de ensayos a rotura. En este capítulo se van a describir los ensayosmás habituales utilizados con este tipo de muestras.

4.1. Tipos de ensayos

Normalmente, para este tipo de estudios, se emplean tres tipos diferentesde ensayos: ensayo de �exión en cuatro líneas (Figura 4.1a), ensayo �ring-on-ring� (Figura 4.1b) y ensayo �twist test� (Figura 4.1c) ([76], [78], [39]) siendomás común utilizar los dos primeros ([84], [29]).

Figura 4.1: Tipos de ensayos realizados

Los ensayos de �exión en cuatro líneas y �ring-on-ring� han sido realizadoscon la máquina ME-402 de SERVOSIS (Figura 4.2a) adaptando los útilesnecesarios según el tipo de ensayo a realizar. Los ensayos �twist-test� se hanllevado a cabo con la máquina Z1.0 TN de Zwick Roell (Figura 4.2b) disponibleen la empresa DC Wafers.

Cada ensayo presenta unas particularidades y en función de lo que se estédeseando estudiar, se eligirá uno u otro. A continuación se describirán las

49

Ensayos

Figura 4.2: Máquinas de ensayos

características principales de cada tipo de ensayo.

4.1.1. Ensayo de �exión en cuatro líneas

Ensayo ampliamente utilizado en la caracterización de materiales en el quese coloca la muestra sobre dos soportes y se aplica la carga sobre otros dos en lacara opuesta, estando tanto los apoyos como las cargas equidistantes respectoel eje central de la muestra.

En los primeros ensayos de este tipo realizados en esta tesis, se eligieronsoportes en forma de cuchilla (Figura 4.3) para minimizar el rozamiento.

Figura 4.3: Ensayo de �exión en cuatro líneas con soportes tipo cuchillas

El mayor inconveniente de estos soportes es la modelización numérica yaque aunque se considere una cuchilla, el extremo será redondeado de radio muy

50

4.1 Tipos de ensayos

pequeño. La falta de conocimiento de esta dimensión obliga a modelizarlo comouna línea introduciendo errores en el modelo numérico. Por lo tanto, se deci-dió modi�car los soportes dándoles forma cilíndrica de dimensiones conocidas(diámetro de 1cm) de tal manera que esta información pudiera ser incluida enlos modelos de elementos �nitos. En la Figura 4.4 se puede observar un ensayode oblea multicristalina con este tipo de apoyos en el instante de rotura.

Figura 4.4: Rotura de una oblea multicristalina en un ensayo de �exión encuatro líneas

Este tipo de ensayo somete a las obleas a un estado uniaxial de tensiones.Para pequeños desplazamientos, el estado de tensiones se puede obtener apartir de conocidas expresiones analíticas. Puede comprobarse en las Figuras4.3 y 4.4 que, debido al reducido espesor de las obleas de silicio se tienengrandes desplazamientos derivando en un comportamiento no lineal. Por tanto,es necesario el desarrollo de modelos de elementos �nitos para interpretar losresultados de los ensayos.

Este tipo de ensayo carga la zona comprendida entre los apoyos inferiores(Figura 4.1a) incluyendo tanto la zona central de la muestra como los bordespor lo que el fallo puede ser debido a defectos super�ciales o defectos de borde.Por este motivo, suelen realizarse los ensayos sobre obleas completas y no sobremuestras extraídas de obleas ya que los bordes a caracterizar deben ser los delas obleas.

4.1.2. Ensayos �ring-on-ring�

En este tipo de ensayo se coloca la muestra sobre un anillo aplicando lacarga en la otra cara a través de otro anillo concéntrico y de menor diámetro

51

Ensayos

(Figura 4.5a). El ensayo �ball-on-ring� (Figura 4.5b) es el caso límite del ensayo�ring-on-ring� sustituyendo el anillo superior por una bola. En este último caso,las tensiones debajo de la bola son tan elevadas que se está caracterizandoúnicamente esta zona puntual siendo no recomendable para caracterizar lasuper�cie de la muestra.

Figura 4.5: Ensayos �ring-on-ring� y �ball-on-ring�

Este tipo de ensayo somete a las muestras a un estado biaxial de tensiones.Existen en la literatura, bajo hipótesis de comportamiento lineal, expresionesanalíticas para obtener la tensión máxima radial y circunferencial para estetipo de ensayos [83], [60], [80]. Estas expresiones suponen una forma circularde la muestra pero es posible obtener un radio equivalente para el caso de quesean cuadradas. En el capítulo 5 se demostrará lo inadecuado del uso de estetipo de expresiones obligando, al igual que en el caso anterior, al desarrollo demodelos de elementos �nitos.

Este tipo de ensayo caracteriza el daño super�cial ya que las tensionesen la zona interior del anillo de apoyo son mucho más elevadas que en elexterior, pudiendo despreciar la in�uencia del daño de borde en el fallo. Por lotanto, aquí es posible cortar las obleas en varios trozos ampliando el número demuestras disponibles para ensayar ya que el daño producido por este corte noin�uye en el resultado. En la Figura 4.6 se puede ver la rotura de una muestracorrespondiente a un cuarto de una oblea con agujeros para células EWT. Lapresencia de estos ori�cios actuan como concentradores de tensiones y provocanel fallo ante una carga baja rompiéndose la muestra en pocos trozos.

4.1.3. Ensayo �twist-test�

Método de ensayo que consiste en el apoyo de la oblea sobre dos puntossituados en esquinas contrarias y la aplicación de la carga en las otras dosesquinas en la cara opuesta (Figura 4.7).

Este ensayo somete a un estado complejo de tensiones tanto los bordescomo la super�cie de las obleas [15], [76].

52

4.2 Procedimiento de ensayo

Figura 4.6: Rotura de muestra con agujeros mediante ensayo �ring-on-ring�

Figura 4.7: Ensayo �twist-test�

4.2. Procedimiento de ensayo

A continuación se va a explicar el procedimiento de ensayo empleado quees el mismo independientemente del tipo de ensayo escogido.

53

Ensayos

4.2.1. Pesaje y clasi�cación de la muestra

La estimación del espesor promedio de la muestra se realiza a través delpeso de la misma. A �n de minimizar el error, se realizan cinco medidas delpeso de cada oblea y se toma como valor de cálculo la media aritmética de lascinco. Una vez pesada cada oblea, se la fotografía con una nota identi�cadoraque permita clasi�car cada uno de los ensayos y disponer de una fotografíade la muestra para identi�car anomalías ante comportamientos inesperadosdurante la realización del ensayo (Figura 4.8).

Figura 4.8: Pesaje y clasi�cación de la muestra

4.2.2. Obtención de la curva de rigidez de la máquina

Previo a la realización del ensayo es necesario encontrar la curva de rigidezde la máquina que dependerá de los útiles empleados. La obtención de estacurva es necesaria para comprobar la bondad del modelo numérico al compararla curva obtenida con éste y la del ensayo. En la Figura 4.9 se esquematiza lain�uencia de esta curva.

Puede observarse que el esquema presentado simboliza un ensayo �ball-on-ring� ya que en este tipo de ensayo al igual que en el ensayo �ring-on-ring� su in�uencia es mayor que en el de �exión en cuatro líneas. Esto esdebido a que los desplazamientos en estos ensayos son muy bajos (inferiores a100 µm) con valores relativamente altos de carga. En este caso, los pequeñosdesplazamientos que se producen con esos valores de carga en la máquinatienen mucha importancia. Sin embargo, en los ensayos de �exión en cuatrolíneas se tienen desplazamiento de varios milímetros para valores similares decarga (para las distancias entre apoyos y cargas usadas habitualmente) por loque la in�uencia de estos desplazamientos es mínima.

El objetivo de conocer de la rigidez de la máquina para los útiles empleadoses únicamente veri�car la bondad del modelo de elementos �nitos desarrollado.

54


Figura 4.9: In�uencia de la rigidez de la máquina

Para obtenerla, se realizan una serie de ensayos con una placa de acero de4mm de grosor que, para los valores de carga característicos de estos ensayos,se puede suponer in�nitamente rígida.

Figura 4.10: Ensayos con placa de acero para obtener curva corrección de lamáquina

Los resultados registrados durante el ensayo con placa de acero correspon-den por un lado a los desplazamientos por compresión de la máquina y, por elotro lado, a la fuerza de reacción. De esta manera, se obtiene el valor de rigidezde la máquina para los útiles empleados. En la Figura 4.11 se muestra un con-junto de medidas con placa de acero y la conversión de esas curvas en rigidezde la máquina observándose el comportamiento más o menos constante que

55

Ensayos

permite dar con un valor de rigidez de la máquina. Este valor permite corregirlos desplazamientos en los ensayos con obleas, eliminando la parte correspon-diente a desplazamientos de la máquina y obteniendo, de esta manera, unacurva comparable directamente con la obtenida con el modelo de elementos�nitos, como se verá más adelante.

Figura 4.11: Curvas de calibración

4.2.3. Realización de ensayos

Con las obleas pesadas y registradas fotográ�camente y una vez obtenidala curva de rigidez de la máquina, se procede a la realización de los ensayos.Conviene realizar algunas tandas de ensayos con la placa de acero cada ciertonúmero de ensayos con obleas para veri�car las condiciones de la máquina yaque en tandas largas de ensayos pueden ir modi�cándose por a�ojamiento oapriete de uniones.

Como resultado de los ensayos se tienen las curvas carga-desplazamiento yla información geométrica del mismo: largo, ancho y espesor de las muestras ylas dimensiones del ensayo (distancias entre apoyos y cargas en los ensayos de�exión en cuatro líneas y �twist-test� y diámetro de los anillos para el ensayo�ring-on-ring�). Toda esta información es necesaria para ajustar los modelos deelementos �nitos desarrollados para simular los ensayos y así poder conocer elestado de tensiones de la muestra en el instante de rotura.

A continuación se muestran, a modo de ejemplo, los resultados de tres tan-das de ensayos de obleas multicristalinas con cada uno de los tipos de ensayosdescritos. Estas muestras, suministradas por DC Wafers, son obleas comercia-les que no han sido sometidas a ningún proceso tras el corte. Se denominan,por lo tanto, �obleas as-cut� y son las que se pueden comprar en la industria.Contienen numerosas grietas y defectos que provienen del proceso de corte porlo que la carga máxima no es muy elevada y en algunos ensayos su comporta-miento está cerca de la linealidad.

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Figura 4.12: Resultados de ensayos de �exión en cuatro líneas

Figura 4.13: Resultados de ensayos �ring-on-ring�

57

Ensayos

Figura 4.14: Resultados de ensayos �twist-test�

58

Capítulo 5

Modelos numéricos

En el capítulo anterior se han descrito los ensayos más comunes que sellevan a cabo con las obleas de silicio para caracterizar la resistencia de lasmismas. La información suministrada por el ensayo es limitada (curva carga-desplazamiento) siendo necesario conocer el estado de tensiones de cada mues-tra en el instante de rotura para la caracterización de la resistencia.

Existen expresiones analíticas que permiten la obtención de las tensionespara diferentes tipos de ensayos. Estas expresiones son válidas para un com-portamiento lineal del material durante el ensayo. Como se ha podido observaren los resultados de los mismos, el comportamiento de las obleas durante losensayos es no lineal en la mayoría de los casos. Esta no linealidad es debido ados factores:

Grandes desplazamientos. Durante el ensayo, el desplazamiento impuestoes en casi todos los casos superior al espesor de la oblea desechando lahipótesis de pequeños desplazamientos.

Contacto con deslizamiento entre la oblea y los apoyos.

Además, hay que tener en cuenta que para las obleas monocristalinas hayque incluir el comportamiento anisotrópico del silicio. Debido a todo esto, paraun cálculo correcto del estado de tensiones que soporta la oblea antes de rom-perse se han desarrollado modelos de elementos �nitos (MEF) simulando losdiferentes ensayos. A continuación se van a describir los modelos de elementos�nitos desarrollados así como los métodos analíticos existentes para cada tipode ensayo realizado.

5.1. Modelos simulando el ensayo de �exión encuatro líneas

Este tipo de ensayo es ampliamente utilizado en los estudios de caracteri-zación de las propiedades mecánicas de materiales. Como se ha mencionado

59

Modelos numéricos

anteriormente, los métodos analíticos para obtener la tensión no incluyen to-das las particularidades de los ensayos con obleas de silicio por lo que se handesarrollado diferentes modelos de elementos �nitos para su simulación. A con-tinuación se describen las diferentes formas de obtener la tensión, empezandopor las expresiones analíticas, con el �n de comparar los resultados que dancada uno de los métodos.

5.1.1. Expresiones analíticas

La distribución de tensiones para una viga biapoyada sometida a dos car-gas equidistantes bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos es la que semuestra en la Figura 5.1, siendo la tensión máxima la mostrada en la ecuación(5.1).

Figura 5.1: Esquema del ensayo y distribución de tensiones para �exión encuatro puntos

σmax =Mf,max

112bh3

h

2=

6Mf,max

bh2 (5.1)

Como gran ventaja, el método analítico permite obtener un resultado rá-pido de tensión máxima para cada ensayo. Además, permite obtener una ex-presión analítica para el calcular el área equivalente de cada ensayo.

Por otro lado, este método no tiene en cuenta los grandes desplazamientosque se producen en los ensayos ni el contacto entre la oblea y los apoyos.Además, es válida para materiales isótropos, condición que no cumplen lasobleas monocristalinas.

A continuación se describen los modelos de elementos �nitos desarrolladospara la simulación de este tipo de ensayo. Dadas las características del pro-blema, el modelo de elementos �nitos que más se adecúa es un modelo tridi-mensional utilizando elementos lámina (elementos planos que pueden soportar�exión) para modelizar la obleas.

60

5.1 Modelos simulando el ensayo de �exión en cuatro líneas

5.1.2. Modelo tridimensional con elementos lámina

Este tipo de modelo permite incluir la anisotropía de las obleas monocrista-linas y conocer el estado de tensiones en toda la super�cie de la oblea. Presentacomo grandes inconvenientes su coste computacional y la escasa informaciónacerca de la evolución de tensiones a través del espesor. Sin embargo, como enel modelo probabilista se ha supuesto que el fallo se debe a defectos super�-ciales, la falta de información de las tensiones en el interior de las muestras noafecta a los resultados �nales.

El elemento empleado en este modelo es el elemento lámina de ocho nudoscon seis grados de libertad por nudo (desplazamientos x,y y z y giros alrededorde los tres ejes θx, θy y θz). En la Figura 5.2 se muestra un esquema del elementocon sus nudos y grados de libertad.

Figura 5.2: Elemento lámina de ocho nudos

El desplazamiento en cualquier punto del elemento se obtiene a partir deexpresiones similares a la mostrada en (5.2) para cada grado de libertad delelemento.

u (s, t) = 14

[ui (1− s) (1− t) (−s− t− 1) + uj (1 + s) (1− t) (s− t− 1)+uk (1 + s) (1 + t) (s+ t− 1) + ul (1− s) (1 + t) (−s+ t− 1)]+1

2[um (1− s2) (1− t) + un (1 + s) (1− t2)

+uo (1− s2) (1 + t) + up (1− s) (1− t2)](5.2)

El modelo de contacto empleado es el de contacto 3d super�cie-super�cie.Las características del ensayo permiten utilizar formas prede�nidas en ANSYSpara modelizar uno de los componentes en contacto siempre que corresponda ala parte rígida del mismo en modelos de contacto rígido-�exible. En este caso,se utiliza como componente prede�nida rígida el cilindro (para las barras deapoyo y carga) y se modela la super�cie deformable del contacto (la oblea) conelementos lámina de ocho nudos que se superponen a los elementos lámina quemodelizan la oblea. En la Figura 5.3 se muestra un esquema de esta tecnologíade contacto en la que se aprecia como los elementos de contacto super�ciales

61

Modelos numéricos

3d de ocho nudos pueden superponerse a elementos lámina de ocho nudos quemodelizan una placa delgada (este caso) o a la super�cie exterior de elementossólidos de veinte nudos que modelicen un volumen (se verán más adelantemodelos correspondientes a este último caso).

Figura 5.3: Contacto 3d super�cie-super�cie

El movimiento de la super�cie rígida es gobernado por los nudos i y j. Ladetección del contacto entre las super�cies se produce en los puntos de inte-gración de Gauss del elemento de contacto que detectan la penetración de lasuper�cie rígida en la deformable. Es habitual utilizar el Método de la penali-zación como algoritmo de contacto. Este método se basa en que la penetraciónde la super�cie rígida en la �exible depende del valor de la rigidez al contacto(Kn). Un valor muy alto de Kn disminuye mucho la pentetración pero puedeprovocar un problema mal condicionado dando problemas de convergencia. Eneste caso, el algoritmo de contacto empleado es el Método de la LagrangianaAumentada que consiste en cálculos iterativos por el método de la penaliza-ción para encontrar los multiplicadores de Lagrange. Este método es menossensible al valor de Kn y normalmente da menos problemas de convergenciapero, a cambio, en algunos cálculos requiere de un número mayor de iteracio-nes. Se de�ne la presión de contacto según (5.3) donde λi es el componente delmultiplicador de Lagrange en la iteración i y ε es el factor de tolerancia.

P =

{0 si un > 0Knun + λi+1 si un ≤ 0

(5.3)

Donde

λi+1 =

{λi +Knun si |un| > ελi si |un| < ε

(5.4)

El valor del coe�ciente de rozamiento µ entre las obleas y los cilindros paralos ensayos realizados es desconocido. Esta variable depende de los materiales

62


en contacto y de la rugosidad super�cial de los mismos por lo que variará deun lote a otro en función del proceso de corte, adelgazamiento, etc. Se utilizaesta variable para ajustar el resultado del ensayo con el del modelo para uncaso determinado manteniendo el valor que surje del ajuste en el resto de losensayos simulados con obleas de ese mismo lote.

A la hora de realizar la simulación del ensayo se aprovechan todas lassimetrías presentes en el mismo con el �n de reducir los tiempos de cálculo.En la Figura 5.4 se muestra la malla de un modelo simulando el ensayo yla deformada del mismo. Se puede observar como se modela únicamente uncuarto de la muestra, aprovechando la doble simetría respecto a los ejes xe y y como el tamaño del elemento disminuye en las zonas de contacto paramejorar la convergencia. Se tienen en total 7108 elementos y 14439 nudos. Parala representación de la deformada se han expandido los resultados con el �nde una mejor visualización de los mismos.

Figura 5.4: Malla y deformada de un modelo con elementos lámina

A continuación (Figura 5.5) se muestran los ajustes obtenidos con los mo-delos aqui descritos y ensayos correspondientes a una oblea monocristalina y auna multicristalina. Puede observarse como la posibilidad de incluir o no la an-isotropía hace que este tipo de modelos presente un buen ajuste con cualquierade los tipos de obleas utilizadas. En el caso presentado, ambas muestras teníanun espesor en torno a 170 µm (170,4 µm la monocristalina y 168,4 µm la mul-ticristalina) habiendo sido adelgazadas tras el proceso de corte. El ajuste de lacurva de ensayo con la del modelo da como resultado un coe�ciente de roza-miento µ = 0,25 para el caso monocristalino y µ = 0,4 para el multicristalino.

Este tipo de ensayo somete a las muestras a un estado practicamente unia-xial de tensiones. La distribución de la tensión principal en toda la super�ciede la oblea se presenta en la Figura 5.6. Puede verse que en las proximidades delos bordes de la oblea se modi�ca la distribución de tensiones siendo debido alconocido como efecto borde. También se observa en la distribución de tensiones

63

Modelos numéricos

Figura 5.5: Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos con elemento lámina

que el fallo puede ser debido tanto a defectos de borde como de super�cie yaque este tipo de ensayo somete a tensión ambas partes de la muestra.

Figura 5.6: Distribución de la tensión principal máxima

Los tiempos calculo de las simulaciones presentadas en la Figura 5.5 hansido de 1045 segundos para el caso de oblea monocristalina y 2287 segundospara multicristalina.

A continuación se presentan algunos modelos simpli�cados desarrolladospara estudiar su viabilidad en la simulación de este tipo de ensayo. En primerlugar, y dado que la distribución de tensiones observada en la Figura 5.6 permi-te comprobar que la sección transversal es casi idéntica en todas las seccionesalejadas de los bordes, se ha desarrollado un modelo plano correspondientes auna sección del ensayo.

64


5.1.3. Modelo plano

Modelo desarrollado simulando una sección transversal del ensayo a par-tir de elementos bidimensionales o planos. La sección transversal de la obleadurante el ensayo se encuentra sometida a un estado de tensión plana en elcaso de las secciones correspondientes a los bordes de la muestra pasando a unestado de deformación plana para la sección central. Como las tensiones en lamayor parte de la super�cie de la oblea se distribuyen de manera casi idénticaa la sección central, para el modelo plano se han supuesto unas condiciones dedeformación plana. Se ha empleado para el modelo un elemento plano de ochonudos con dos grados de libertad por nudo (Figura 5.7).

Figura 5.7: Elemento plano de ocho nudos y dos grados de libertad por nudo

El campo de desplazamientos en cualquier punto del elemento se obtiene apartir de la expresión (5.2) para el grado de libertad de desplazamiento en eleje x y una expresión similar para el desplazamiento en el eje y.

Al igual que en el modelo anterior, se pueden utilizar formas prede�nidas2d para modelizar el componente rígido del contacto. La zona de contacto de laoblea se ha modelizado con elementos lineales de tres nudos que se superponenal borde de la super�cie de la misma. El modelo de contacto es por lo tantosimilar al anterior pero adaptado al caso bidimensional. La Figura 5.8 muestraun esquema del modelo de contacto.

En la Figura 5.9 se puede observar la deformada del modelo plano desarro-llado y un zoom de la malla. Puede verse como se han introducido tres capas alo largo del espesor de la oblea y como el tamaño de malla se reduce en la zonade contacto para mejorar la convergencia. Se tienen en total 2763 elementos y8670 nudos para la malla del modelo simulando el ensayo de la oblea mono-cristalina y 2164 elementos y 7207 nudos, para el modelo multicristalino. Estadiferencia entre los dos modelos es debida a que se ha �jado el mismo áreade elemento para ambos casos y al ser la oblea multicristalina más delgadamanteniendo las tres capas de elementos en el espesor, los elementos son masanchos y hay menos elementos en toda la sección.

65

Modelos numéricos

Figura 5.8: Contacto 2d super�cie-super�cie empleado en los modelos planos

Figura 5.9: Deformada del modelo y zoom de la malla

A continuación se presentan los ajustes obtenidos en la simulación de losensayos descritos en el apartado anterior con este tipo de modelo. Se han man-tenido las variables del problema (espesores, coe�cientes de rozamiento) modi-�cando únicamente el incremento de desplazamiento en cada paso de carga. Altener muchos menos elementos y nudos que en el caso del modelo anterior, seha reducido el paso de carga para evitar problemas de convergencia. Se tienenlos ajustes mostrados en la Figura 5.10 que han tenido unos tiempos de cálculode 7642 segundos para el caso monocristalino y 4382 para el multicristalino.

Puede observarse en el ajuste como este tipo de modelos es válido para elcaso de obleas multicristalinas donde la suposición de isotropía es válida mien-tras que para el caso de obleas monocristalinas, al suponer un comportamientoisótropo con valor del Módulo de Young el más alto del tensor de constanteselásticas, el modelo se comporta de manera más rígida que el ensayo o que elmodelo anterior. Por lo tanto, para este tipo de obleas no es válido este modelomás simple tomando com Módulo de Young el valor que suele tomarse en losanálisis de obleas multicristalinas. Sin embargo, ajustando el valor del Módulo

66


Figura 5.10: Ajuste ensayo-modelos EF

de Young al correspondiente a esta dirección según lo visto en el capítulo 2, sepodrían obtener mejores resultados.

Una de las grandes ventajas de este modelo radica en que suministra in-formación de la evolución de las tensiones a través del espesor, mientras queen el modelo tridimensional con elementos lámina solo se conoce el valor delas tensiones en la cara superior e inferior. Como se verá con más detalle enel punto 5.2.3, esta evolución no es lineal. La Figura 5.11 muestra tanto en elcentro de la oblea como en los puntos de aplicación de la carga y el apoyo, ladistribución de tensiones.

Figura 5.11: Distribución de tensiones en el centro y en los puntos de contactopara el modelo plano

Este modelo simpli�cado es una opción interesante para la simulación delos ensayos de �exión en cuatro líneas de obleas multicristalinas, consiguiendounos ajustes entre ensayo y modelo muy buenos. El inconveniente que presenta,aparte de los mencionados anteriormente, es que para el ajuste de resultados auna distribución de Weibull triparamétrica se necesita el campo completo detensiones, como ya se justi�có en el capítulo 3.

Dado que el ajuste entre el modelo plano y el ensayo para obleas multicris-talinas ha sido bueno, se ha dado un paso más en la simpli�cación de modelosbuscando modelos válidos con el menor tiempo de cálculo posible. El siguientemodelo más simple desarrollado es un modelo unidimensional.

67

Modelos numéricos

5.1.4. Modelo unidimensional

Modelo de vigas empleando elementos unidimensionales con dos nudos y 3grados de libertad por nudo. En la Figura 5.12 puede verse un esquema delelemento y la matriz de rigidez en coordenadas locales (xe, ye).

Figura 5.12: Elemento unidimensional y matriz de rigidez en coordenadas lo-cales

Donde:A es el área de la sección transversalE es el módulo de YoungI es el momento de inercia respecto al eje zL es la longitud del elementoφ = 12EI

GAcL2

G es el módulo a cortanteAc es el área a cortante de�nida como: Ac = A

F c

F c es la constante de deformación a cortante

Al tratarse de elementos muy delgados, se desprecia la deformación a cor-tante (φ = 0) siguiendo el comportamiento de�nido por la teoría de Euler-Bernouilli.

El modelo de contacto es el mismo que el explicado en el apartado anterior.Se utiliza la super�cie 2d prede�nida para el elemento rígido y se superponeel elemento de contacto lineal sobre la super�cie deformable (Figura 5.8). Laúnica diferencia con el modelo de contacto explicado anteriormente radica enque el elemento que se superpone a la super�cie �exible es un elemento de dosnudos acorde al elemento que representa la oblea (en este caso, elemento linealde dos nudos).

Una de las ventajas de este modelo es su reducido coste computacional encomparación con los anteriores. El modelo unidimensional desarrollado parasimular los ensayos utilizados para la comparación entre modelos tiene un totalde 950 elementos y 323 nudos tardando 51 segundos la simulación del ensayocon oblea monocristalina y 38 segundos el de la multicristalina. En la Figura

68


5.13 se muestra la deformada y la distribución de tensiones máximas de losmodelos desarrollados. El cambio de signo que se produce en la distribuciónde tensiones es debido a que hay un cambio de orientación en los elementoslineales en contacto con el apoyo. Los elementos en contacto deben tener susvectores normales apuntándose entre sí y al tener en la entidad geómetrica (unalínea) elementos en contacto a los dos lados de la misma, hay que cambiar elsentido de los elementos en una de las zonas de contacto.

Figura 5.13: Deformada y distribución de tensiones máximas del modelo lineal

Este modelo se comporta más �exible que el modelo plano presentado en elapartado anterior (Figura 5.14). Así y todo sigue sin ser válido para el caso deobleas monocristalinas ya que nuevamente se ha supuesto un comportamientoisótropo. Por lo tanto, aunque es un modelo de cálculo rápido y sencillo, susresultados no son válidos.


Para tener un modelo de referencia que permita validar los resultados delos anteriores, se ha procedido al desarrollo de un modelo tridimensional conelementos sólidos.

69

Modelos numéricos

5.1.5. Modelo tridimensional con elementos sólidos

El objetivo de este modelo es tener una referencia para una correcta va-loración de los modelos presentados en los apartados anteriores. Este modelotiene en cuenta todas las características del problema: anisotropía, grandesdesplazamientos, contacto y varias capas de elementos en el espesor. El mayorinconveniente de este modelo es el elevado tiempo de cálculo.

Se han utilizado elementos sólidos con veinte nudos por elemento y tresgrados de libertad por nudo: desplazamientos en x, y y z (Figura 5.15). Eldesplazamiento u según el eje x de cualquier punto del elemento se calculasegún (5.5). Para los desplazamientos v y w se utilizan expresiones análogas.

Figura 5.15: Elemento sólido de veinte nudos

u (r, s, t) = 18

[ui (1− s) (1− t) (1− r) (−s− t− r − 2)+uj (1 + s) (1− t) (1− r) (s− t− r − 2)+uk (1 + s) (1 + t) (1− r) (s+ t− r − 2)+ul (1− s) (1 + t) (1− r) (−s+ t− r − 2)+um (1− s) (1− t) (1 + r) (−s− t+ r − 2)+un (1 + s) (1− t) (1 + r) (s− t+ r − 2)+uo (1 + s) (1 + t) (1 + r) (s+ t+ r − 2)+up (1− s) (1 + t) (1 + r) (−s+ t+ r − 2)]+1

4[uq (1− s2) (1− t) (1− r) + ur (1 + s) (1− t2) (1− r)

+us (1− s2) (1 + t) (1− r) + ut (1− s) (1− t2) (1− r)+uu (1− s2) (1− t) (1 + r) + uv (1 + s) (1− t2) (1 + r)+uw (1− s2) (1 + t) (1 + r) + ux (1− s) (1− t2) (1 + r)+uy (1− s) (1− t) (1− r2) + uz (1 + s) (1− t) (1− r2)+ua (1 + s) (1 + t) (1− r2) + ub (1− s) (1 + t) (1− r2)]

(5.5)

70


El modelo de contacto empleado es el mismo que en el caso del modelotridimensional con elementos lámina. La única salvedad es que los elementosde contacto super�ciales de ocho nudos que en el caso anterior se superponíanal elemento lámina utilizado en la malla de la oblea, en este caso se superponena la super�cie exterior de ocho nudos de cada elemento sólido (Figura 5.3).

El mayor inconveniente de estos modelos es el alto coste computacional.En la Figura 5.16 se muestra la malla de los modelos sólidos desarrolladospara la comparación con el resto. Puede observarse que hay tres capas deelementos a través del espesor dando un total de 8794 elementos y 37805 nudos.Las simulaciones han tardado 162169 segundos (mas de 45 horas) para lasimulación del ensayo monocristalino y 99251 segundos para el multicristalino.

Figura 5.16: Malla del modelo tridimensional con elementos sólidos

Los ajustes conseguidos con este modelo son muy bueno para ambos tiposde obleas (Figura 5.17) y al tratarse del modelo más completo de todos, susresultados serán tomados como referencia.


Este tipo de modelos ofrece la mayor información posible. La distribución

71

Modelos numéricos

de tensiones en la super�cie de la oblea es similar a la que se obtiene enlos modelos tridimensionales con elementos lámina pero además se tiene suevolución a través del espesor (Figura 5.18).

Figura 5.18: Tensión principal en el modelo tridimensional con elementos sóli-dos

5.1.6. Comparación de modelos

A continuación se presentan unas Tablas resúmenes de los resultados obte-nidos para cada modelo. Para la comparación se ha obtenido la tensión princi-pal máxima, que en este tipo de ensayo coincide prácticamente con la tensiónen el eje longitudinal según la expresión analítica, de los dos ensayos simulados.

MonocristalinaNúmero Número Tiempo σ1,max (MPa)

Modelo de de de en el instanteElementos Nudos Cálculo de fallo

Analítico - - - 258,25Elem. lámina 7108 14439 1045 s 243,08Plano 2763 8670 7642 s 261,72Lineal 950 323 51 s 253,87Elem. sólidos 8794 37805 162169 s 243,34

Tabla 5.1: Comparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo de �exión en cuatro líneas de una oblea monocristalina

En ambos casos queda comprobado que el uso de métodos analíticos noes recomendable para la obtención de las tensiones máximas ya que no tie-nen en cuenta las no linealidades ni la anisotropía en el caso de las obleasmonoscristalinas.

72

5.2 Modelos simulando el ensayo �ring-on-ring�

MulticristalinaNúmero Número Tiempo σ1,max (MPa)

Modelo de de de en el instanteElementos Nudos Cálculo de fallo

Analítico - - - 312,87Elem. lámina 7108 14439 2287 s 256,19Plano 2164 7207 4382 s 248,20Lineal 950 323 38 s 240,85Elem. sólidos 8794 37805 99251 s 258,12

Tabla 5.2: Comparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo de �exión en cuatro líneas de una oblea multicristalina

Para esta obleas (Tabla 5.1) los modelos plano y lineal dan valores másaltos que los obtenidos por los modelos tridimensionales tanto con elementoslámina como elementos sólidos, que ofrecen valores casi idénticos. Esto es de-bido a que en estos modelos no se puede introducir la anisotropía del cristalde silicio y al suponer un comportamiento isótropo con el módulo de Youngcorrespondiente al valor más alto del tensor de constantes elásticas, el valor detensión principal máxima del modelo es superior. Por eso no son válidos estosmodelos simpli�cados para la simulación de ensayos de obleas monocristalinas.Por otro lado se comprueba que el modelo más apropiado es el modelo tridi-mensional con elementos lámina ya que la solución es muy similar al modelocon elementos sólidos pero a cambio el tiempo de cálculo es más de 100 vecesmenor.

Para el caso de obleas multicristalinas, se observa que el modelo plano daresultados cercanos a los del modelo sólido de referencia. El modelo lineal ofreceun valor un poco bajo aunque este resultado ya era esperable al observar comoen el ajuste entre el modelo y el ensayo quedaba también por debajo (Figura5.14). Nuevamente, el modelo más recomendable es el modelo tridimensionalcon elementos lámina ya que ofrece resultados bastante completos (estado detensiones en toda la super�cie de la oblea) con un tiempo de cálculo aceptable.

5.2. Modelos simulando el ensayo �ring-on-ring�

De manera análoga al caso del ensayo de �exión en cuatro líneas, diferentesformas de obtener las tensiones en el ensayo �ring-on-ring� han sido analizadas.En este caso, fueron además presentadas en la ponencia Comparison of Di�e-rent FE Models for the Simulation of Ring/Ball on Ring Test [8]. Este estudiose centró en el ensayo �ball-on-ring� que es el caso extremo del ensayo �ring-on-ring� por lo que las conclusiones extraídas se consideran válidas para ambos

73

Modelos numéricos

casos. Este estudio se ha realizado comparando los resultados obtenidos conlos diferentes modelos en la simulación de un ensayo de una oblea monocris-talina con un espesor de 210,59 µm. Dado que las conclusiones extraídas sonsimilares a las del caso de �exión en cuatro líneas, no se muestran resultadosde un análisis similar con obleas multicristalinas.

5.2.1. Método analítico

Es común encontrar en la literatura ([83], [60], [80], [28]) el uso de métodosanalíticos para obtener la tensión máxima en este tipo de ensayos, pese a laclara no linealidad presente en los mismos. Estos métodos presentan la granventaja de ser muy rápidos y fáciles de utilizar pero, por otro lado, no tienenen cuenta el comportamiento no lineal de las obleas durante el ensayo y laanisotropía del material (para el caso de obleas monocristalinas).

Las expresiones empleadas son:

Ensayo ring on ring:

σr =3F

4πh2

[(1− ν)

r22 − r2

1

r2eq

− 2 (1 + ν)Ln

(r1

r2

)](5.6)

Ensayo ball on ring:

σr =3F (1 + ν)

4πh2

[1 + 2Ln

(r2

r1

)+

(1− ν)

(1 + ν)

(1− r2

1

2r22

)r2

2

r2eq

](5.7)

Donde:F es la fuerza de roturah es el espesorν es el coe�ciente de Poissonr2 es el radio del anillo de apoyor1 es el radio del anillo interior (�ring-on-ring�) o de la bola (�ball-on-

ring�)req es el radio equivalente de una muestra circular. Para muestras cua-

dradas se obtiene según la siguiente expresión:

req =

L

2

(1 +√

2)

2≈ 1,207

L

2(5.8)

siendo L la longitud del lado de la muestra.De esta manera se puede obtener la tensión radial máxima en el momento

de rotura de forma analítica para estos tipos de ensayos. A partir de ahora,y solo a nivel comparativo, se va a tomar como criterio de fallo el de tensiónradial máxima. De esta manera es posible comparar los resultados del métodoanalítico con los de los modelos de Elementos Finitos.

74



Al igual que en el caso anterior, el primer modelo desarrollado es un modelotridimensional con elementos planos que admiten �exión (elementos lámina).Antes se ha demostrado como el más �able para el caso de obleas monocrista-linas ya que es posible incluir la anisotropía del material.

Los elementos elegidos para la modelización de la oblea y el anillo y la bolason los mismos que en el caso del ensayo a �exión en cuatro líneas: elementoslámina de ocho nudos con seis grados de libertad por nudo (desplazamientosx,y y z y giros alrededor de los tres ejes θx, θy y θz) tal y como se esquematizaen la Figura 5.2.

El tipo de contacto es el mismo que el presentado en los modelos tridi-mensionales con elementos lámina simulando el ensayo de �exión en cuatrolíneas: contacto super�cie-super�cie. En este caso, no se han utilizado las for-mas prede�nidas para los componentes rígidos sino que tanto el anillo como labola se han mallado con elementos lámina de 8 nudos y se han superpuesto loselementos de contacto (los elementos super�ciales de contacto 3d señalados enazul en la Figura 5.3). La rigidez in�nita del anillo y la bola se impone comocondición de contorno del problema, empotrando todos los nudos del anillo deapoyo e imponiendo el mismo desplazamiento vertical en todos los nudos de labola.

En la Figura 5.19 se muestra la malla del modelo. Puede observarse el re�-namiento de la malla en la zona de contacto con el anillo y la bola. Modelandoun cuarto del problema aprovechándose de la doble simetría, el modelo tieneun total de 20271 elementos y 34362 nudos. El tiempo de cálculo simulandoun ensayo es de 1045 segundos.

Figura 5.19: Malla del modelo empleado para simular el ensayo Ball on Ring

El campo de desplazamientos verticales (Figura 5.20) muestra la in�uenciade la anisotropía, ya que se observa que los desplazamientos son menores enlos puntos donde la oblea es más rígida.

75

Modelos numéricos

Figura 5.20: Desplazamientos verticales del modelo con elementos lámina

Con este modelo, se obtiene un buen ajuste con los resultados de los en-sayos (Figura 5.21). Al igual que en el caso anterior, el valor del coe�cientede rozamiento µ se obtiene ajustando este modelo a la curva obtenida en elensayo y en los modelos que se presentan a continuación se mantendrá estevalor para que los resultados sean comparables. En este caso se ha obtenidoun valor de µ = 0,35.

Figura 5.21: Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos con elemento lámina

Uno de los inconvenientes de este modelo es que la información que aportaen tensiones es reducida. En este tipo de ensayos hay un gradiente muy grandeen las tensiones en la zona de contacto entre la bola y la oblea y este modelosolo permite conocer la tensión en la cara superior e inferior de la misma

76


(Figura 5.22).

Figura 5.22: Campo de tensiones radiales del modelo con elementos planos

Realizando un estudio de la evolución de la tensión radial a lo largo de dosejes de la oblea (Figura 5.23) puede observarse como las tensiones más altas seencuentran dentro del anillo de apoyo siendo prácticamente despreciables en elexterior. Queda demostrado por lo tanto que el fallo se producirá por grietaso defectos de super�cie despreciando los defectos de borde. Además se puedever como la tensión es prácticamente nula en la zona próximas a la esquinas yque para el estudio se podría suponer una oblea circular de radio la longituddel lado de la oblea. Esta hipótesis da pie al desarrollo de un modelo planoaxilsimétrico que permite estudiar la evolución de las tensiones a través delespesor de las obleas y que se presenta a continuación.

Figura 5.23: Evolución de la tensión radial

77

Modelos numéricos

5.2.3. Modelo plano

El modelo axilsimétrico, como se ha dicho anteriormente, se basa en el hechode que las tensiones próximas a las esquinas son despreciables y se puede asumiruna forma circular de la muestra. Este modelo presenta algunas ventajas comosu reducido tiempo de cálculo al tener que modelar solo la sección transversalde la muestra y la posibilidad de conocer mejor la evolución de las tensiones através del espesor. Es el equivalente al modelo plano para el ensayo de �exiónen cuatro líneas. Presenta dos grandes inconvenientes que son la hipótesis deuna forma circular de la oblea y que no se puede tener en cuenta la anisotropíapara el caso de obleas monocristalinas. Para el desarrollo de este modelo seha tomado un valor del módulo de Young E = 165,6 GPa (el valor más altodel tensor de constantes elásticas) y un valor de ν = 0,23 para el coe�cientede Poisson. Como ya se mencionó en el capítulo 2, es común encontrar estosvalores en el estudio de obleas multicristalinas.

Se ha desarrollado el modelo con el mismo elemento que el presentado enla descripción de modelos planos para la simulación del ensayo de �exión encuatro líneas: elementos planos de ocho nudos y dos grados de libertad pornudo (Figura 5.7). Al igual que para el caso tridimensional con elementoslámina, el contacto para este modelo es similar al del modelo plano simulandoel ensayo de �exión en cuatro líneas pero sin emplear las formas prede�nidaspara los componentes rígidos. Nuevamente se mallan la sección del anillo yde la bola con el mismo tipo de elemento con el que se malla la sección de laoblea: elemento plano de ocho nudos. Al ser un modelo plano, el contacto es2d super�cie-super�cie donde los elementos lineales de tres nudos (Figura 5.8)se superponen a los bordes de las dos super�cies de contacto. Al igual que enel caso anterior, la rigidez in�nita del anillo y la bola se consigue imponiendolas condiciones de contorno adecuadas.

En comparación con el modelo tridimensional con elementos lámina, estemodelo permite re�nar más la malla (Figura 5.24) porque el tiempo de cálculoes mucho más bajo. Se han introducido ocho capas de elementos en el espesorde la oblea teniendo el modelo un total de 5909 elementos y 15457 nudos. Eltiempo de cálculo es de 114 segundos.

En este caso, al igual que ocurría con el modelo plano simulando un ensayode oblea monocristalina, el comportamiento del modelo es más rígido que eldel ensayo (Figura 5.25). Este resultado es lógico si se tiene en cuenta que setoma como módulo de elasticidad el valor más alto del tensor de constanteselásticas y se simula con este valor el comportamiento de una oblea anisótropa.

Por otro lado, este modelo presenta como gran ventaja (aparte del reducidotiempo de cálculo) la información que se puede extraer de la evolución de lastensiones a través del espesor (Figura 5.26). La comparación de la informaciónen tensiones en el centro de la oblea, justo debajo de la bola, entre el modeloplano y el tridimensional con elementos lámina muestra más claramente las

78


Figura 5.24: Malla del modelo axilsimétrico

ventajas de este modelo.

Figura 5.25: Ajuste ensayo-modelo de elementos �nitos axilsimétrico

5.2.4. Modelo tridimensional con elementos sólidos

Con un modelo tridimensional con elementos sólidos, al igual que en el casoanterior, se pueden establecer los valores de referencia ya que todas las parti-cularidades de este problema (anisotropía, grandes desplazamientos, contactoy varias capas de elementos en el espesor) están incluídas.

Se han utilizado elementos sólidos con veinte nudos por elemento y tresgrados de libertad por nudo: desplazamientos en x, y y z (Figura 5.15). Es elmismo tipo de elemento utilizado en el análisis del ensayo de �exión en cuatro

79

Modelos numéricos

Figura 5.26: Tensiones radiales en el modelo axilsimétrico y comparación en elcentro con el modelo tridmensional con elementos lámina

líneas. El contacto entre la oblea y el anillo y la bola se ha modelado comocontacto 3d super�cie-super�cie (Figura 5.3). Como en los casos anteriores,el modelo de contacto es el mismo que el empleado en el ensayo de �exiónen cuatro líneas con la diferencia de que el elemento rígido no se modela conformas prede�nidas y, al igual que en todos los casos descritos para el ensayo�ball-on-ring�, la rigidez in�nita del anillo y la bola se impone como condiciónde contorno del problema.

Al incluir varias capas de elementos a lo largo del espesor (Figura 5.27)y siendo cada elemento de veinte nudos, el coste computacional es muy alto.Concretamente, el modelo desarrollado tiene un total de 34195 elementos y105627 nudos. El tiempo de cálculo fue de 51396 segundos.

Figura 5.27: Malla del modelo sólido

El ajuste entre todos los modelos y el ensayo se muestra en la Figura 5.28.

80


Puede comprobarse como el modelo sólido presenta, como el de elementoslámina, un ajuste muy bueno mientras que el modelo plano axilsimétrico secomporta de manera más rígida. Las diferencias entre los resultados del ensayoy de los modelos tridimensionales, tanto con elementos lámina como elementossólidos, son mínimas por lo que representan de manera �el el comportamientode las muestras durante este ensayo.

Figura 5.28: Ajuste entre los modelos de elementos �nitos y el ensayo

La gran ventaja de este modelo es que permite también conocer el estadode tensiones en el momento de rotura de manera detallada (Figura 5.29).

Figura 5.29: Estado de tensiones en el modelo sólido

La evolución de la tensión radial máxima en el centro de la oblea a travésdel espesor para los tres modelos se representa en la Figura 5.30. Teniendoen cuenta que para el fallo se está considerando la tensión radial máxima detracción, puede verse como el modelo con elementos planos da una información

81

Modelos numéricos

muy acertada en cuanto a tensión de rotura. Por otro lado, se observa que lacompresión en la cara superior en contacto con la bola no está bien represen-tada con ese modelo mientras que el modelo axilsimétrico se acerca más a loque ocurre según el modelo sólido. Esto es debido a que el aplastamiento quese produce en esa zona no está bien simulado con elementos planos.

Figura 5.30: Comparación de la evolución de la tensión a través del espesor enlos tres modelos


A continuación se presenta una Tabla resumen de los datos referentes acada modelo, incluyendo el método analítico, en la simulación de un ensayo�ball-on-ring�.

Número Número Tiempo σr,max (MPa)Modelo de de de en el instante

Elementos Nudos Cálculo de falloAnalítico - - - 3450,68Elem. lámina 20271 34362 1045 s 2962,01Axilsimétrico 5909 15457 114 s 3581,12Elem. sólidos 34195 105627 51396 s 3031,39

Tabla 5.3: Comaparación de los métodos numéricos en la simulación de unensayo �ball-on-ring�

Pueden extraerse varias conclusiones de la comparación de métodos. Enprimer lugar se observa como, al igual que en el ensayo de �exión en cuatro

82

5.3 Modelos simulando el ensayo �twist-test�

líneas, el método analítico no es válido para este tipo de simulaciones ya que nose están teniendo en cuenta ni la anisotropía del material ni las no linealidadespresentes en el ensayo.

Se observa además que el modelo plano axilsimétrico también presenta unvalor muy alto de tensión máxima en el instante de fallo. Esto es debido a queel valor de módulo de Young elegido para el material corresponde al valor másalto del tensor de constantes elásticas, comportándose el modelo de maneramás rígida que los ensayos. Este modelo, como ocurría con el modelo planoen el caso de �exión en cuatro líneas, puede ser válido para la simulacióndel ensayo en el caso de obleas multicristalinas que se comportan de maneraisótropa.

Los resultados entre los modelos tridimensionales con elementos lámina yelementos sólidos aparecen muy cercanos. Esto ya se podía intuir con la Figura5.30 porque, como ya se había comentado, los valores de tensión radial máximaen la cara de tracción son muy similares. En cambio, el tiempo de cálculo delmodelo con elementos lámina es casi 50 veces menor por lo que es recomendableel uso de modelos tridimensionales con elementos lámina.

5.3. Modelos simulando el ensayo �twist-test�

Para la simulación del ensayo �twist-test� no se han utilizado modelos sim-pli�cados como en los casos anteriores por la propia con�guración del ensayo.Por lo tanto, no se han incluído ni métodos analíticos ni modelos planos enlas diferentes formas de simular este ensayo. Además este tipo ensayo sólo hapodido ser utilizado con obleas multicristalinas por lo que los ajustes que semuestran a continuación están referidas a este caso. Concretamente se simulaun ensayo de una oblea multicristalina con espesor 187,5 µm.


Para la modelización de este ensayo se han empleado elementos láminade ocho nudos con seis grados de libertad por nudo (desplazamientos x, y yz y giros alrededor de los tres ejes θx, θy y θz) tal y como se esquematizaen la Figura 5.2. Son los mismos elementos empleados en la modelizacióntridimensional con elementos lámina para el ensayo de �exión en cuatro líneasy �ring-on-ring�.

El tipo de contacto empleado es el mismo que el explicado para el ensayo�ring-on-ring�. De nuevo, no se utilizan las formas prede�nidas para los com-ponentes rígidos sino que las esferas de apoyo y carga se mallan con el mismoelemento que las obleas y se superponen los elementos de contacto. Estos ele-mentos de contacto son elementos super�ciales 3d de ocho nudos (Figura 5.3).En las condiciones de contorno del problema se imponen los desplazamiento

83

Modelos numéricos

en todos los nudos de carga y apoyo dándoles además una rigidez in�nita.Se aprovecha la doble simetría presente en el ensayo para disminuir el tama-

ño del modelo. Esta doble simetría es diferente a la mostrada para los ensayosanteriores que consistía en un cuarto de la muestra al dividirla en cuatro partespor ejes paralelos a los bordes. En este caso, la simetría se da dividiendo laoblea en cuatro partes a partir de las diagonales de la misma, por lo que encada cuarto se tienen dos esquinas de la oblea: una de ellas sobre el apoyo yla otra sobre la que se aplica la carga. En la Figura 5.31 se puede observarla malla del modelo que tiene un total de 18577 elementos y 33230 nudos. Eltiempo de cálculo ha sido de 8316 segundos.

Figura 5.31: Malla del modelo para la simulación del ensayo �twist-test�

Figura 5.32: Deformada del ensayo �twist-test� y del modelo EF

La deformada de la oblea es muy similar a la observada en el ensayo (Figura5.32) consiguiéndose además muy buen ajuste entre ensayo y modelo (Figura5.33). Como en los casos anteriores, se utiliza este modelo para obtener elcoe�ciente de rozamiento. En este caso se tiene un valor µ = 0,15.

84


Figura 5.33: Ajuste entre el ensayo y el modelo de EF

Este tipo de ensayo somete a la muestra a un estado de tensiones bastantecomplejo (Figura 5.34).

Figura 5.34: Distribución de la tensión principal en la oblea por ensayo �twist-test�

Este es el motivo principal por el que este ensayo es menos utilizado enla caracterización mecánica de obleas de silicio que los otros dos descritosanteriormente. Los ensayos de las aplicaciones presentadas en esta tesis nohan sido llevados a cabo con el dispositivo �twist-test�. Durante el periodode realización de este trabajo, se han realizado ensayos de este tipo y se hanmodelizado. Se incluyen en esta tesis ya que es el tercer tipo de ensayo que

85

Modelos numéricos

suele encontrarse para este tipo de materiales.Para este tipo de ensayo no se ha desarrollado ningún modelo simpli�cado.

Sin embargo, al igual que para los otros tipos de ensayo, si se ha desarrollado unmodelo tridimensional con elementos sólidos que sirve para validar el modelorecién presentado.

5.3.2. Modelo tridimensional con elementos sólido

Este modelo se desarrolla, al igual que en los casos anteriores, para tenerunos valores de referencia y veri�car la validez de los modelos más simpli�cadosque se han presentado. Para este tipo de ensayo, se comparan sus resultadoscon los del modelo tridimensional con elementos lámina.

Se han utilizado los mismos elementos sólidos de los modelos de este tipopresentados para los otros ensayos. Se tratan de elementos con veinte nudos ytres grados de libertad por nudo: desplazamientos en x, y y z (Figura 5.15).El contacto se ha modelado de manera similar al presentado para el ensayo�ring-on-ring�. No se utilizan las formas prede�nidas para de�nir las super�ciesrígidas sino que se modela como super�cie deformable imponiendo la rigidezin�nita en las condiciones de contorno.

Se han introducido un total de tres capas de elementos a través del espesor(Figura 5.35) dando un total de 20751 elementos y 72602 nudos. Comparandoesta malla con la presentada en el modelo con elementos lámina (Figura 5.31),se puede ver que en general la malla anterior era más re�nada manteniendoahora elementos de pequeño tamaño en las zonas de contacto y siendo de untamaño mayor en el resto. Se desarrolla así el modelo con el objetivo de reducirel tiempo de cálculo siendo, así y todo, de 61857 segundos.

Figura 5.35: Malla del modelo tridimensional con elementos sólido para lasimulación del ensayo �twist-test�

El ajuste de este modelo con el ensayo es, al igual que para el modelo

86


tridimensional con elementos lámina, muy bueno (Figura 5.36) reproduciendode manera �el los modelos de elementos �nitos el comportamiento de la muestradurante el ensayo.

Figura 5.36: Ajuste entre el ensayo y los modelos de EF

La ventaja de este modelo, como en los otros ensayos analizados, es la infor-mación suministrada por el mismo. En la distribución de la tensión principalmáxima, puede observarse en la Figura 5.37a como la distribución es similar ala obtenida con el modelo con elementos lámina (Figura 5.34) habiéndose mo-di�cado el código de colores para valores mínimos (los azules). Esto es debidoa que el modelo sólido representa mejor el aplastamiento producido en la zonade contacto, como puede verse en la Figura 5.37b que es la sección transversalmarcada en la Figura 5.37a. El valor de esta compresión es mucho más alta quelas compresiones obervadas en el modelo tridimensional con elementos lámina,por lo que en la representación global, los valores mínimos están enmascaradospor este aplastamiento.

Al no considerar a la compresión como causante del fallo, los resultadosobtenidos entre ambos modelos son muy similares, como se muestra a conti-nuación.


A continuación se presenta una Tabla resumen de los datos referentes acada modelo en la simulación de un ensayo �twist-test�.

87

Modelos numéricos

Figura 5.37: Distribución de la tensión principal en la super�cie de la oblea (a)y en sección transversal (b)

Número Número Tiempo σ1,max (MPa)Modelo de de de en el instante

Elementos Nudos Cálculo de falloElem. lámina 18577 33230 8316 s 180,41Elem. sólidos 20751 72602 61857 s 176,55

Tabla 5.4: Comaparación de los modelo de EF en la simulación de un ensayo�twist-test�

Al igual que en los otros ensayos, se observa que el modelo tridimensionalcon elementos lámina ofrece una buena solución con un coste computacionalaceptable, en comparación con el tridimensional con elementos sólidos.

Para este ensayo no se han desarrollado modelos más simples que los tri-dimensionales ya que en los casos anteriores se han demostrado como los más�ables. El ajuste entre los resultados del mismo y los modelos tridimensionalesen este caso vuelven a ser muy buenos. La mayor diferencia entre el modelocon elementos lámina y el de elementos sólido es el tiempo de cálculo pasandode algo más de dos horas para el primer caso a más de diecisiete en el segundo.

Tras el análisis de los resultados de las comparaciones entre modelos seconcluye que en todos los casos, el modelo tridimensional con elementos láminaes el más apropiado para las simulaciones.

88

Parte III

Aplicaciones

89

Capítulo 6

In�uencia del método deobtención del lingote de silicio enlas propiedades mecánicas de lasobleas

6.1. Introducción

En la industria solar fotovoltaica basada en silicio se han desarrollado dostecnologías de células solares según las características del sustrato de silicio uti-lizado: células solares monocristalinas y células solares multicristalinas. Ambasestán basadas en obleas homónimas conseguidas mediante el proceso Czoch-ralski (Cz), las monocristalinas, y por técnicas de fundición para el caso máscomún de las multicristalinas. Las células monocristalinas tienen una mayore�ciencia debido a que el proceso de texturizado de la super�cie está más op-timizado (baños alcalinos que atacan la dirección más débil (111) formandopirámides) y porque el monocristal de silicio presenta menos defectos que elmaterial multicristalino que presenta bordes de grano y un mayor número dedislocaciones. Por otro lado, el proceso de obtención de lingotes multicristalinoses más sencillo y menos costoso y da como resultado lingotes de forma com-pletamente cuadrada aprovechando mejor la super�cie del panel fotovoltaicoque las obleas pseudo-cuadradas monocristalinas Cz.

La reciente aparición en el mercado de células solares monocristalinas ba-sadas en obleas conseguidas por técnicas de fundición supone un importanteavance en el sector ya que estas muestras comparten las ventajas más importan-tes de las tecnologías tradicionales: el alto rendimiento de las monocristalinasy el bajo coste de obtención del lingote de las multicristalinas. Se espera quecon este nuevo tipo de obleas, denominadas quasi-monocristalinas o pseudo-monocristalinas, se obtengan células solares con hasta un 1 − 1,5 % más dee�ciencia que las células multicristalinas convencionales.

91

In�uencia del método de obtención del lingote de silicio en laspropiedades mecánicas de las obleas

Aunque se están consiguiendo avances respecto a las antiguas técnicas decristalización de obleas monocristalinas por técnicas de fundición [81] [75], lasnuevas obleas quasi-monocristalinas deben todavía ser ampliamente estudia-das y caracterizadas ya que, por ejemplo, se han observado agrupaciones dedefectos en algunas zonas de los lingotes mientras que otras están libres de losmismos [56], [82], [45]. Sabiendo que estos defectos en el cristal in�uyen en laresistencia mecánica del material, resultan muy interesantes los estudios orien-tados a la caracterización mecánica de este tipo de obleas y a la comparacióncon los tradicionales [12].

Como aplicación de la metodología presentada en esta tesis, se muestra unestudio de comparación de la resistencia mecánica de los diferentes tipo deobleas de silicio presentes en el mercado para evaluar la in�uencia del procesode obtención del lingote en el rendimiento mecánico posterior de la oblea. Paraello se han caracterizado cuatro lotes de obleas: dos de los lotes convencionales(mono-Cz y multicristalino) y dos lotes de obleas quasi-monocristalinas carac-terizados por tener una alta y una baja densidad de defectos tras medirlos portécnicas de fotoluminiscencia. Para caracterizar la resistencia del cristal en símismo y no el daño generado por el proceso de corte en obleas, se ha sometidoa las mismas a un baño alcalino de alta concentración y temperatura que lasha adelgazado en torno a 25 µm en total. A continuación, se han sometido aensayos de rotura por el dispositivo de �exión en cuatro líneas y se han de-sarrollado modelos de elementos �nitos tridimensionales con elementos láminapara su simulación. Finalmente, ya que este ensayo somete a las muestras a unestado de tensiones practicamente uniaxiales, se ha tomado la distribución detensiones principales máximas y se han ajustado los resultados a una ditribu-ción de Weibull triparamétrica, incluyendo la corrección por efecto escala. Acontinuación se explicará con mayor detalle cada uno de los pasos.

6.2. Consideraciones acerca de las muestras

Para el estudio, DC Wafers ha obtenido mediante técnicas de fundicióntanto obleas multicristalinas como quasi-monocristalinas. Para ello, ha utiliza-do un horno industrial de 450 kg de carga mediante la técnica de crecimientoDirectional Solidi�cation System o DSS (más detalles en capítulo 2). Para loslingotes quasi-monocristalinos se dispuso de una semilla de crecimiento conorientación (100) y las velocidades de enfriamiento son diferentes a la em-pleada para el lingote multicristalino. En la Figura 6.1 se muestra un lingotequasi-monocristalino salido del horno.

Puede apreciarse como el monocristal se pierde en los bordes del lingotepor lo que al cortarlo en un conjunto de 5x5 bloques de silicio de 156x156mm2 (se pueden observar las marcas de corte en la Figura 6.1), los bloquescorrespondientes al exterior del lingote darán lugar a obleas mono/multi o

92

6.2 Consideraciones acerca de las muestras

Figura 6.1: Lingote quasi-monocristalino crecido en DC Wafers

quasi-monocristalinas por debajo del 75 % (Figura 6.2).

Figura 6.2: Oblea mono/multi o quasi-monocristalina por debajo del 75 %

Estas obleas mono/multi no han sido incluídas en el análisis ya que su usono es habitual. Se ha hecho el estudio, por lo tanto, con tres lotes de obleassuministrados por DC wafers (uno de multicristalinas convencionales y doslotes de quasi-monocristalinas, uno con alta densidad de defectos y el otrocon baja) y un lote de obleas monocristalinas Czochralski comercial con laparticularidad de que tienen la forma completamente cuadrada (no la pseudo-cuadradada habitual) y las mismas dimensiones que las obleas de los otros treslotes. Se buscó un lote de obleas mono-Cz con esta forma para homogeneizarlas muestras lo máximo posible.

Muestras de los tres lotes de obleas fabricados en DC Wafers han sido ana-lizados por fotoluminiscencia para contrastar las densidades de defectos ya queestos pueden tener in�uencia en la resistencia [41], [74]. Puede observarse que

93


el material multicristalino (Figura 6.3a) presenta los típicos bordes de granomientras que en las muestras quasi-monocristalinas, debido a las tensiones tér-micas inducidas en el proceso de crecimiento del lingote, aparecen bordes desubgrano en menor (obleas quasi-monocristalinas Figura 6.3b) o mayor medi-da, como es el caso del lote de obleas con alta densidad de defectos (Figura6.3c). Se denominan bordes de subgrano a la acumulación de dislocacionesdentro de un grano del cristal. Estos bordes de subgrano son más perjudicialespara las propiedades eléctricas de las futuras células de silicio que los bordesde grano presentes en los sustratos multicristalinos.

Figura 6.3: Imágenes tomadas por fotoluminiscencia (escala arbitraria) deobleas multicristalina, quasi-monocristalina y quasi-monocristalina con altadensidad de defectos

Tanto el rendimiento eléctrico como las propiedades mecánicas de las obleasse ven afectadas por los defectos del cristal mostrados anteriormente. Por lotanto, es necesario recopilar información acerca de la in�uencia que tienen eneste nuevo tipo de sustrato empleado en la industria fotovoltaica con el �n devalorar su viabilidad.

Con este propósito 50 muestras de 156x156mm2 de cada uno de los lotesmencionados anteriormente han sido preparadas. El espesor tras el procesode corte era aproximadamente de 200µm pero con el �n de eliminar el dañogenerado en el proceso de corte ([10], [31], [64]), todas las muestras han sidoadelgazadas en torno a 25µm. El adegalzamiento se ha hecho introduciendolas obleas en un baño básico (potasa) de alta concentración y temperatura.De esta manera, al eliminar el daño generado en el proceso de corte, se va acaracterizar la resistencia del cristal en sí mismo con sus defectos y bordes degrano y subgrano.

En la Tabla 6.1 se muestra un resumen de las obleas ensayadas. El espesorpromedio de cada muestra ha sido obtenido mediante su peso y sabiendo quela densidad del silicio es ρ = 2,33 gr/cm3. Se muestra tanto el espesor como lavariación total del mismo en el lote ensayado.

94

6.3 Ensayos

Lote de obleas Origen Espesor promedio y variación totalMulticristalinas DC Wafers 168 µm ± 4,2 µmMonocristalinas Cz Comerciales 173,1 µm ± 3,5 µmQuasi-monocristalinas DC Wafers 168,1 µm ± 2,2 µmQuasi-monocristalinas DC Wafers 168,5 µm ± 1,5 µm(alta densidad defectos)

Tabla 6.1: Espesor promedio y variación total de espesor de cada lote de obleas

6.3. Ensayos

Para este estudio se ha empleado el ensayo de �exión en cuatro líneas ya quetiene en cuenta el fallo producido tanto en el borde como en la super�cie. Lasdistancias que se han elegido son de 80 mm de separación entre los cilindros deapoyo y 40 mm entre los cilindros de carga. En la Figura 6.4 puede observarseque la deformada en este caso es muy elevada. Ello es debido a la con�guracióndel ensayo (distancias entre apoyos y cargas) y a que el adelgazamiento al quese han sometido las muestras provoca una eliminación del daño super�cial queproviene del proceso de corte (aumentando su resistencia) y además, reduce suespesor (disminuyendo su rigidez).

Figura 6.4: Fotografía de un ensayo

Se impone una velocidad de 2,5 mm/min con el �n de realizar un ensayoquasi-estático y se impone una precarga de 1 N . Se han ensayado 50 muestrasde cada lote dando los resultados mostrados en la Figura 6.5.

Puede observarse que las obleas multicristalinas presentan un comporta-

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Figura 6.5: Resultados de los ensayos de todas las muestras

miento más rígido que las mono y quasi-monocristalinas pese a que los espe-sores de las muestras son similares (Tabla 6.1). Esta diferencia de compor-tamiento se explica por la isotropía del material multicristalino en el que, laorientación aleatoria de los cristales hace que se tome como rigidez del materialel valor más alto del tensor de constantes elásticas del cristal de silicio.

Las curvas carga-desplazamiento para las obleas monocristalinas son clara-mente no lineales teniendo un desplazamiento de fractura mayor que las mul-ticristalinas. Sin embargo, los valores de carga de rotura de las multicristalinasy las monocristalinas Cz son similares mientras que las quasi-monocristalinas,tanto las estándar como el lote con alta densidad de defectos, presentan curvassimilares a las monocristalinas Cz con valores de carga de rotura inferiores. Enla Tabla 6.2 se muestran los valores promedios y las desviaciones típicas de lacarga de rotura y el desplazamiento máximo conseguido en los ensayos paracada lote.

6.4. Modelo numérico

Según lo explicado en el capítulo 5, el modelo numérico desarrollado parasimular este ensayo ha sido un tridimensional con elementos lámina. El dife-

96

6.4 Modelo numérico

Carga rotura (N) Despl. máx. (mm)Lote de obleas Promedio Desv. típica Promedio Desv. típicaMulticristalinas 17,86 3,23 6,53 1,18Monocristalinas Cz 18,47 2,12 8,75 1,39Quasi-monocristalinas 16,58 2,05 8,32 1,42Quasi-monocristalinas 14,81 2,37 6,95 1,30(alta densidad defectos)

Tabla 6.2: Valores promedio y desviaciones típica de la carga y el desplaza-miento en el instante de rotura

rente comportamiento de las muestras según el lote ha sido tenido en cuentaincluyendo la anisotropía del cristal de silicio en los lotes mono-Cz, quasi-monoy quasi-monocristalino con alta densidad de defectos y un comportamiento isó-tropo para el lote multicristalino. Como ya se explicara en el capítulo 2, losvalores del tensor de constantes elásticas que caracterizan el material mono-cristal son:

c11 = 165,6 MPac12 = 63,9 MPac44 = 79,5 MPa

Por otro lado, en el caso de las simulaciones del lote de obleas multicrista-linas, se ha caracterizado el comportamiento con un valor para el Módulo deYoung de 165,6 MPa y un valor de ν = 0,23 para el coe�ciente de Poisson.

Con el �n de minimizar los tiempos de cálculo [76], para cada lote se handesarrollado solamente dos modelos numéricos: los correspondientes a las mues-tras con mayor y menor espesor, o lo que es lo mismo, las que presentan enlos ensayos el comportamientos más rígido y más �exible de cada lote (Figura6.6).

El estado completo de tensiones en el instante de rotura de cada uno de losensayos del lote se obtiene mediante interpolación lineal a partir de la energíaelástica almacenada en la muestra en el instante del fallo. El procedimientotiene los siguientes pasos:

1. Cálculo de la energía elástica almacenada en la oblea en el instante defallo. Se obtiene integrando la curva carga-desplazamiento resultado delensayo.

2. Cálculo de los instantes con la misma energía elástica en los modelosde elementos �nitos. Se busca, tanto en el modelo correspondiente a laoblea más delgada como en el de la oblea más gruesa, el punto en que laenergía elástica es la misma que la del ensayo en el instante de rotura.Estos dos puntos representan el instante en que hubiera roto esa muestrasi hubiera tenido el espesor de cada uno de los modelos.

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Figura 6.6: Ajuste entre los ensayos y los modelos de EF correspondientes a lasmuestras con mayor y menor espesor del lote de obleas quasi-monocristalinas

3. Interpolación lineal de los estados de tensiones a partir de los espesores.A partir de los estados de tensiones de los modelos correspondientes ala oblea más �exible y a la más rígida en el punto con la misma energíaelástica que el ensayo, se obtiene el estado de tensiones correspondientea una muestra con el espesor de la muestra ensayada según la expresión(6.1).

σens = β · σmodelo flexible + α · σmodelo rigido (6.1)

Donde σens, σmodelo flexible y σmodelo rigido corresponden a los estados detensiones de la muestra ensayada y de los modelos de elementos �nitosde la oblea con comportamiento más �exible (la más delgada) y compor-tamiento más rígido (la más gruesa). Los coe�cientes α y β se puedencalcular según (6.2) y (6.3) respectivamente.

α =hens − hmodelo flexible

hmodelo rigido − hmodelo flexible(6.2)

β =hmodelo rigido − hens

hmodelo rigido − hmodelo flexible(6.3)

Siendo hens, hmodelo flexible y hmodelo rigido los espesores de la oblea ensaya-da, la obleas más gruesa del lote y la más delgada.

Este procedimiento ha sido veri�cado para un caso concreto tomando unensayo de una oblea con un espesor aproximadamente en la mitad del rango deespesores del lote. Se ha desarrollado un modelo de elementos �nitos especí�co

98

6.5 Ajuste estadístico

para el ensayo (con el espesor de la muestra) y el estado de tensiones obtenidose ha comparado con el que se obtiene mediante el procedimiento explicado.

Concretamente, se ha validado a partir de los resultados del lote de obleasquasi-monocristalinas cuyos espesores máximo y mínimo han sido 170,41 µmy 167 µm respectivamente y cuyo ajuste entre los modelos correspondientesa estas obleas y los ensayos puede verse en la Figura 6.6. Se ha escogido elensayo correspondiente a la oblea 42 que presentaba un espesor de 168,51 µm.En la Figura 6.7 puede observarse el ajuste entre el modelo de elementos �nitosdesarrollado con el espesor de la oblea 42 y el resultado del ensayo. Se muestraademás la distribución de la tensión principal máxima en el instante de rotura.

Figura 6.7: Ajuste entre el modelo y el ensayo para la oblea 42 del lote deobleas quasi-monocristalinas y distribución de tensión principal máxima en elinstante de rotura

Una vez realizada la interpolación, el estado de tensiones obtenido se mues-tra en la Figura 6.8a. Al no disponer de un modelo de elementos �nitos parael caso interpolado, no es posible la representación en el mismo software quela mostrada en la Figura 6.7. Para facilitar la comparación, se ha extraído elestado de tensiones de la Figura 6.7 y se ha representado de manera análoga ala representada para el caso interpolado, dando la Figura 6.8b. Puede verse queel estado de tensiones es practicamente el mismo en ambos casos dando comotensión principal máxima el modelo desarrollado con el espesor de la muestraun valor de σ1,max = 182,85 MPa mientras que la tensión máxima obtenidapor interpolación de los modelos rígido y �exible es σ1,max = 182,86 MPa.

6.5. Ajuste estadístico

Como ya se ha explicado en la Parte I, se aplican criterios probabilistas enla caracterización de la resistencia de las obleas de silicio debido a la naturalezafrágil del material. Se caracteriza el fallo según el modelo de Weibull. Ya se

99


Figura 6.8: Estado de tensiones obtenido a partir de la interpolación de modelos(a) y del modelo desarrollado con el espesor de la muestra (b)

explicó en el capítulo 3 que el modelo propuesto por Weibull se desarrolla apartir de una muestra sometida a una tensión uniaxial y que para el caso detensiones multiaxiales, de entre las posibilidades presentes en la literatura, seha trabajado con el Principio de las Acciones Independientes (PIA).

Para el caso que nos atañe, se puede considerar el estado de tensionescomo un estado uniaxial ya que la segunda tensión principal (Figura 6.9) esmuy pequeña comparada con la primera por lo que no modi�ca en nada lainclusión del PIA en el análisis estadístico.

Figura 6.9: Primera y segunda tensión principal máxima en cada uno de losensayos del lote de obleas quasi-monocristalinas

Por lo tanto, para estos ensayos se tiene un estado uniaxial no uniformede tensión. Se ha procedido a la aplicación del proceso iterativo explicadoen el capítulo 3 para la caracterización de la resistencia de cada lote a unadistribución de Weibull triparamétrica (6.4).

100


Pf,A (σ) = 1− exp[−∫A

(σ − σuσ0

)mdA

](6.4)

Para este estudio, se ha tomado como diferencial de área al que referir losajustes Weibull un ∆A=40 mm2, dando como resultado los ajustes mostradosen las Figuras 6.10-6.13 tanto en escala logarítmica como lineal.

Figura 6.10: Ajustes Weibull del lote de obleas monocristalinas respecto a un∆A=40 mm2

Se representan todas las leyes juntas en la Figura 6.14 y se recogen losresultados del ajuste en la Tabla 6.3.

Lote m σu σθ ∆A σ0

[−] [MPa] [MPa] [mm2][MPa mm

2/m]

Multicristalinas 4,46 58,3 483,6 40 1105,8Monocristalinas Cz 5,39 69,9 377,9 40 749,2Quasi-monocristalinas 5,20 69,4 372,2 40 756,6Quasi-monocristalinas 4,56 56,7 381,9 40 857,6(alta densidad defectos)

Tabla 6.3: Parámetros de Weibull del ajuste de cada uno de los lotes analizados

Es habitual caracterizar los lotes por el valor de la tensión característica defractura (la suma de σu y σθ) que coincide con el valor de tensión para el que

101


Figura 6.11: Ajustes Weibull del lote de obleas multicristalinas respecto a un∆A=40 mm2

Figura 6.12: Ajustes Weibull del lote de obleas quasi-monocristalinas respectoa un ∆A=40 mm2

102


Figura 6.13: Ajustes Weibull del lote de obleas quasi-monocristalinas con altadensidad de defectos respecto a un ∆A=40 mm2

Figura 6.14: Ajuste Weibull de la resistencia de los cuatro lotes analizadosrespecto a un ∆A=40 mm2

103


el 63,2 % de las muestras fallan. Siguiendo este criterio y según la Figura 6.14,el lote de obleas multicristalinas es el que mayor resistencia tiene mientras losotros 3 son similares.

No se considera adecuado utilizar este criterio para extraer conclusionesacerca de la resistencia de los lotes ya que depende de las dimensiones a la queestén referidas las leyes de Weibull. Es necesario analizar los valores delos parámetros del material para poder decidir qué lote es mejor.

La función de Weibull que permite calcular la probabilidad de fallo a par-tir de los parámetros es la expresada en (6.4) y los parámetros propios delmaterial que determinan la resistencia son: σu, σ0 y m. En función del áreasometida a tensión, la probabilidad de fallo cambia. A continuación, a modode ejemplo, se muestra la forma de las funciones de Weibull de los cuatro lotespara un ∆A=1 mm2 (Figura 6.15) y un ∆A=156x156 mm2 (dimensiones delas obleas) (Figura 6.16). Como puede verse, si la decisión sobre qué lote esmejor se tomara en función del valor de la tensión característica de fractura,se podrían extraer conclusiones diferentes en función del área para el que seestén representando las distribuciones de Weibull.

Figura 6.15: Leyes de Weibull de los cuatro lotes analizados respecto a un∆A=1 mm2

Por lo tanto, el análisis de los resultados se debe hacer en función de losvalores de los parámetros obtenidos en cada ajuste.

104

6.6 Resultados y conclusiones

Figura 6.16: Leyes de Weibull de los cuatro lotes analizados respecto a un∆A=156x156 mm2

6.6. Resultados y conclusiones

Analizando los datos de la Tabla 6.3 se puede observar que el lote de obleasmonocristalinas Czochralski y las quasi-monocristalinas son muy similares entodos los parámetros. Por lo tanto, esta nueva tecnología de obtención de obleasde silicio monocristalinas, pese a que la densidad de defectos estructurales delcristal es mayor, presenta una resistencia muy similar a la tecnología tradicionaly más costosa del crecimiento por el método Czochralski. La mayor densidad dedefectos observada por fotoluminiscencia pueden provocar un peor rendimientoeléctrico, pero desde el punto de vista mecánico, la resistencia es muy similara la obtenida con obleas monocristalinas Czochralski.

Por otro lado, las obleas multicristalinas y quasi-monocristalinas caracte-rizadas por una alta densidad de defectos presentan un valor más bajo delparámetro de localización. Esto signi�ca que pueden fallar a tensiones másbajas. Teniendo en cuenta el adelgazamiento al que se han visto sometidas lasobleas antes del estudio, este resultado indica que la alta densidad de defectosdel lote quasi-monocristalino y los bordes de grano característicos de las mul-ticristalinas tienen un efecto negativo en la resistencia, permitiéndose el falloa tensiones más bajas que los otros dos lotes.

De manera análoga, el análisis de los valores del módulo de Weibull permi-te observar como, nuevamente, las obleas multicristalinas y las obleas quasi-

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monocristalinas con alta densidad de defectos presentan valores muy similarese inferiores a las obleas monocristalinas y quasi-monocristalinas, que a su vezpresentan valores muy similares entre ellas. El módulo de Weibull da una ideade la dispersión o variabilidad esperada al trabajar con el material por lo queestos valores indican que, de nuevo, los bordes de grano y la alta densidad dedefectos o bordes de subgrano añaden más incertidumbre a estos dos lotes.

Por último, la comparación del valor del parámetro de escala de los lo-tes multicristalino y quasi-monocristalino con alta densidad de defectos (quetienen similares valores para los parámetros de localización y de forma) de-muestra que el lote multicristalino es más resistente. En ambos casos el valores más alto que los correspondientes al lote de obleas monocristalinas y quasi-monocristalinas (muy similares entre ellos). Pero estos últimos, por otro lado,presentaban un parámetro de localización y de forma más alto.

El análisis de los tres parámetros permite concluir que, entre las tecnologíasconvencionales, las obleas monocristalinas Cz presentan un mejor comporta-miento al fallo que las multicristalinas, que coincide con lo encontrado en laliteratura [78]. Respecto a las obleas quasi-monocristalinas, el lote estándarpresenta un comportamiento muy similar a las obleas monocristalinas Cz, re-sultando totalmente válido desde un punto de vista mecánico. Por otro lado,el lote caracterizado por una alta densidad de defectos tiene el peor compor-tamiento de los cuatro lotes. Se ha podido observar como la alta densidad dedefectos tiene efectos similares en el cristal al de los bordes de grano en lasobleas multicristalinas.

Como se ha comentado anteriormente, las obleas quasi-monocristalinas sonbastante novedosas y, debido a las ventajas que presenta su proceso de obten-ción, están siendo ampliamente estudiadas y caracterizadas. En este caso, lacaracterización mecánica y la comparación con las obleas convencionales ha si-do realizado por primera vez y los resultados aqui presentados han dado lugaral paper �On the mechanical strength of mono-, multi- and quasi-mono crys-talline silicon wafers: a four-line bending test study� publicado en la revistaProgress in Photovoltaics: Research and Applications [13].

106

Capítulo 7

Caracterización del dañosuper�cial producido por elproceso de corte

7.1. Introducción

El proceso de corte del lingote en obleas (�wafering�) por sierra de hilogenera un daño super�cial que minora considerablemente la resistencia de lasmismas. Hay algunos estudios que sugieren que este proceso genera grietas queafectan a una capa de 15 µm de espesor. Estos estudios se realizan a partirde la huella que produce el carburo de silicio en la oblea y del estudio de laplasticidad en la zona de contacto entre el carburo de silicio y la oblea [66],[52]. En este capítulo se estudia la profundidad del daño producido por el pro-ceso de corte de una manera indirecta: analizando el incremento de resistenciamecánica producida por adelgazamientos sucesivos de las obleas. Al someterlas muestras a baños químicos de adelgazamiento, se están eliminando las ca-pas más super�ciales y más dañadas por lo que se produce un aumento dela resistencia [11], [25]. Una vez que se ha eliminado la totalidad de la capadañada, adelgazamientos posteriores no mejoran la resistencia de las obleas yaque se está caracterizando el cristal en sí mismo.

Este estudio se ha realizado mediante el ensayo �ring-on-ring� ya que coneste tipo de ensayo el fallo es debido a defectos o grietas super�ciales. De estamanera, se elimina la in�uencia del daño de borde que, debido a los procesos derecti�cación del lingote de sección circular (para el caso de lingotes monocris-talinos Czochralski) o de corte del bloque en lingotes (lingotes multicristalinoso quasi-monocristalinos obtenidos por técnicas de fundición), pueden distor-sionar los resultados obtenidos.

Tras el desarrollo de modelos numéricos y el ajuste estadístico, la compa-ración de los parámetros de Weibull permite valorar la profundidad del dañogenerado por la sierra multihilo en el corte del lingote en obleas.

107

Caracterización del daño super�cial producido por el proceso de corte

7.2. Muestras preparadas

Como se ha comentado anteriormente, el objetivo del estudio es la obten-ción de las curvas características de fallo para grupos con diferentes adelgaza-mientos. Este resultado permite conocer la resistencia de las obleas después dediferentes baños así como extraer otras conclusiones como la profundidad deldaño provocado por el proceso de corte del lingote en obleas. Para ello, se hanpreparado cinco lotes diferentes de obleas monocristalinas Czochralski segúnse detalla en la Tabla 7.1.

La preparación de las muestras parte de obleas monocristalinos de silicio�as-cut� (tal cual salen del proceso de corte del lingote) de dimensiones 125mmx 125 mm y un espesor aproximado de 240 µm. A continuación se les hansometido a baños básicos de sosa de duraciones 3, 6, 9, 12 y 15 minutos segúnel lote. Estos baños provocan un adelgazamiento aproximado que se detallaen la Tabla 7.1. Por último, se somete cada oblea a un proceso de corte porláser que da lugar a cuatro muestras de dimensiones 52,5 mm x 52,5 mm.El espesor de cada una de las muestras se obtiene antes de la realización delensayo mediante el peso de la misma, las dimensiones y la densidad del silicio(ρ = 2,33 g/cm3).

En la Tabla 7.1 se detallan el número de muestras que se ha ensayadopor lote, el espesor promedio de ese lote junto al mínimo y al máximo y eladelgazamiento al que se han sometido, tanto en duración de baño de sosacomo espesor adelgazado por cara aproximadamente.

Lote Muestras Espesor (µm) Adelgazamiento1 99 213,64 (193,24− 229,37) 3′ ≈ 13 µm por cara2 47 201,23 (192,31− 210,84) 6′ ≈ 20 µm por cara3 56 188,10 (178,14− 204,45) 9′ ≈ 26 µm por cara4 43 173,17 (144,97− 189,19) 12′ ≈ 34 µm por cara5 64 159,69 (151,04− 172,22) 15′ ≈ 41 µm por cara

Tabla 7.1: Muestras ensayadas

El posible daño que se genera en el proceso de corte de la oblea en cuatromuestras no va a in�uir en los resultados �nales ya que al realizar el ensayo�ring-on-ring� se está despreciando el fallo de borde y se está caracterizando eldaño super�cial.

7.3. Ensayos

Los ensayos �ring-on-ring� consisten en apoyar la muestra en un anillo porla cara inferior y aplicar la carga mediante un anillo de menor diámetro por

108

7.3 Ensayos

la otra cara (Figura 7.1). Este tipo de ensayo provoca un estado de tensionestal que en las zonas más cercanas al borde el valor de la tensión es muy bajocomparado con los valores en la zona interior al anillo de apoyo, despreciandopor lo tanto los defectos de borde.

Figura 7.1: Fotografía de un ensayo �ring-on-ring�

El ensayo se realiza imponiendo un desplazamiento del anillo inferior avelocidad constante (en este caso, v = 0,2 mm/min) y registrando simultá-neamente el desplazamiento impuesto y la fuerza de reacción que provoca eldesplazamiento impuesto. Por lo tanto, el resultado de un ensayo (Figura 7.2)junto con las dimensiones de la muestra (largo, ancho y espesor promedio) estoda la información de la que se dispone de cada muestra en el instante derotura.

Los resultados de los ensayos para cada grupo se resumen en las Tablas 7.2y 7.3.

Carga rotura (N)Grupo Promedio Desv. típica Máxima Mínima1 70,90 19,74 163,84 41,412 169,30 72,41 325,71 46,283 148,94 57,32 288,00 55,524 137,78 58,17 253,16 59,785 130,01 44,49 213,43 49,04

Tabla 7.2: Resumen de los resultados de la carga de rotura

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Desplazamiento rotura (µm)Grupo Promedio Desv. típica Máximo Mínimo1 292,23 41,63 469,18 220,882 483,82 118,60 702,96 243,073 468,30 102,18 657,69 275,284 467,70 105,22 640,37 294,035 475,68 88,17 622,63 289,94

Tabla 7.3: Resumen de los resultados del desplazamiento de rotura

Puede observarse la mejoría producida por el adelgazamiento comparandola carga de rotura de los grupos 1 y 2 ya que, pese a ser más delgadas las obleasdel grupo 2 aguantan en promedio más del doble de carga que las del grupo1. También se observa un aumento de desplazamiento entre el grupo 2 y el 1,pero este efecto si es justi�cado por la realización de ensayos con muestras másdelgadas (y por lo tanto, más �exibles). La evolución de la resistencia con pos-teriores adelgazamientos no es fácil de determinar con los datos suministradoshasta ahora ya que si bien a partir del grupo 2 se observa que la carga de roturava disminuyendo, también lo es que el espesor es menor y el desplazamientomás o menos se mantiene. Por lo tanto, es necesario el desarrollo de modelosde elementos �nitos para la comparación de los parámetros del ajuste Weibullde cada grupo.

Los resultados de los ensayos se han representado en la Figura 7.2 agru-pándolos por lotes. La no linealidad de los mismos es muy clara para todoslos grupos analizados. Se han marcado en rojo los ensayos correspondientes ala oblea más delgada y a la más gruesa de cada grupo. Puede observarse quecorresponden a los comportamientos más �exibles y más rígidos de cada unode los lotes salvo en el Lote 5 donde se observa un ensayo con comportamientomás �exible que el de la oblea más delgada. Esto se debe a que en ese lote seencontraron varias muestras de espesor inferior a 152 µm, por lo que el ensayomás �exible puede deberse a pequeñas diferencias en el espesor de décimas demicras.

7.4. Modelo de Elementos Finitos

A partir de los datos de ensayos, hay que calcular la tensión máxima queaguantó la oblea antes de romper. Este dato es el que se va a caracterizar es-tadísticamente ya que la variable directa, carga de rotura, depende del espesorde la oblea y del ensayo realizado.

Las expresiones analíticas que permiten la obtención de las tensiones má-ximas no son válidas para este caso debido a la no linealidad presente en los

110

7.4 Modelo de Elementos Finitos

Figura 7.2: Resultado de los ensayos

ensayos, como ya se explicó en el capítulo 5. Por lo tanto, se han desarrolladomodelos de elementos �nitos que tienen en cuenta las no linealidades debidastanto a los grandes desplazamientos como al contacto con rozamiento entreoblea y anillos. Según las conclusiones del capítulo 5, se ha trabajado conmodelos tridimensionales con elementos lámina para el análisis de los ensayosrealizados en este estudio.

En este caso, para minimizar los tiempos de cálculo, se han utilizado ele-mentos lámina de cuatro nudos por elemento y seis grados de libertad pornudo: desplazamientos y giros en los ejes x, y y z. La malla de los modelos se

111


presenta en la Figura 7.3 y tiene un total de 23048 elementos y 17812 nudos,necesitando un tiempo de casi 9000 segundos para simular un ensayo. En laFigura 7.4 se presenta el modelo con los anillos y la deformada.

Figura 7.3: Malla del modelo completo y zoom de la zona re�nada

Figura 7.4: Modelo completo con anillos y deformada

La distribución de tensiones en ambas caras (Figura 7.5 y Figura 7.6) de-muestra que este tipo de ensayo somete a las obleas a un estado biaxial decarga y que los valores de la tensión circunferencial son tan importantes comolos de la tensión radial.

En la Figura 7.7 se presenta la evolución de las tensiones radial y circunfe-rencial en ambas caras de la muestra a lo largo de un eje paralelo a los bordes.Puede verse que la tracción máxima ocurre debajo del anillo de carga donde latensión circunferencial también presenta un alto valor de tracción. En el centro,donde ambas tensiones son iguales, el valor es un poco inferior a la mitad dela tracción máxima obtenida bajo el anillo de carga. Se consigue también unatensión radial de tracción muy alta en la cara superior de la oblea justo encimadel anillo de apoyo mientras que la tensión circunferencial en ese punto sigue

112

7.4 Modelo de Elementos Finitos

Figura 7.5: Tensiones radiales en la cara superior e inferior

Figura 7.6: Tensiones circunferenciales en la cara superior e inferior

siendo de compresión en ambas caras de la muestra. Este efecto ya había po-dido ser observado en la Figura 7.6. En todo caso, la distribución de tensionesmuestra claramente el error que supone la consideración de un estado uniaxialde tensión ya que la probeta se encuentra sometida a un estado biaxial en elque cualquiera de las dos tensiones presentadas puede provocar el fallo.

Al igual que en el caso anterior y dado que el número de muestras es muyelevado, se han realizado únicamente dos modelos por lote de obleas: el co-rrespondiente al comportamiento más �exible (la muestra más delgada) y almás rígido (la muestra más gruesa). Entre las Figuras 7.8 y 7.12 se muestrael ajuste entre los modelos y los ensayos de esas muestras comprobándose queel modelo se comporta correctamente para cada uno de los ensayos simulados.El estado de tensiones de cada muestra se calcula mediante interpolación li-neal a partir de la energía elástica almacenada en el instante de rotura y losespesores teniendo en cuenta los estados de tensiones en los modelos �exible yrígido del lote correspondiente. Se ha demostrado en el capítulo anterior quelos resultados obtenidos con este procedimiento son practicamente iguales alestado de tensiones obtenido con modelos intermedios.

113


Figura 7.7: Tensiones a lo largo de un eje

Figura 7.8: Ajustes modelo-ensayo para el Lote 1


114





7.5. Ajuste estadístico

El ajuste de los resultados de los ensayos �ring-on-ring� a una ley de Wei-bull triparamétrica ha presentado una serie de problemas que se explicarán

115


más adelante. Como el objetivo del estudio es comparar la resistencia de loslotes para evaluar el espesor del daño super�cial originado en el proceso decorte, se han ajustado también los resultados a una distribución de Weibullbiparamétrica. A continuación se muestran los resultados de ambos ajustes.

7.5.1. Distribución de Weibull biparamétrica

Es muy común encontrar en la literatura ([50], [76], [15], [27]) el ajuste delos resultados a distribuciones de Weibull biparamétricas. Se suele justi�car enque los resultados son conservadores ya que al imponer un valor de σu = 0,cualquier estado de tensión podría provocar el fallo mientras que la existen-cia de un parámetro de localización implica que hay un umbral por debajodel cual, las muestras nunca fallarán. Sin embargo, conceptualmente, la dis-tribución de Weibull biparamétrica no es válida. Como ya se mencionó en elcapítulo 3, la teoría de valores extremos establece que una función originalcon límite no �nito en la cola de interés no puede pertenecer a un dominio deatracción de la función de valores extremos tipo Weibull. Pese a que se esté uti-lizando el método indirecto para caracterizar el fallo del material (basándoseen la resistencia), se está caracterizando estadísticamente el tamaño máximode defecto. El imponer un parámetro de localización igual a cero implica tenerun tamaño máximo de defecto que tiende a in�nito incumpliendo las hipótesisnecesarias para que se ajuste a una distribución de Weibull. Por lo tanto, pa-ra caracterizar el fallo del material, se tienen que determinar los parámetroscorrespondientes a la distribución de Weibull triparamétrica.

Por otro lado, como se quiere valorar la profundidad del daño produci-do por el proceso de corte, a nivel comparativo el ajuste a distribuciones deWeibull biparamétricas puede permitir extraer conclusiones, como se verá acontinuación.

El proceso de ajuste es el mismo que el explicado en el capítulo 3 impo-niendo que σu = 0. Además, al tratarse de un estado de tensiones biaxial, seaplica el Principio de las Acciones Independientes (PIA). Por lo tanto, la dis-tribución de Weibull tiene la forma presentada en (7.1) y el área equivalentese calcula según (7.2).

Pf (σ1, σ2) = 1− exp[−∫A

[(σ1

σ0

)m+

(σ2

σ0

)m]dA

](7.1)

Aeq =

∫A

[(σ1

σmax

)m+

(σ2

σmax

)m]dA (7.2)

Siguiendo el proceso iterativo con la imposición σu = 0, se tienen los ajustesmostrados en las Figuras 7.13-7.17. Los parámetros se muestran en la Tabla7.4. En este caso, al haber realizado el ajuste para un diferencial de área

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∆A= 1 mm2, la tensión característica de fractura coincide con el parámetrode escala expresado en

[MPa mm

2/m].

Figura 7.13: Ajuste a Weibull biparamétrica del lote de obleas con baño de 3min. para un ∆A=1 mm2

Duración m σ0

baño [−][MPa mm

2/m]

3 min. 9,14 [8,69 ... 9,63] 541,2 [529,4 ... 553,3]6 min. 5,29 [4,94 ... 5,70] 1436,6 [1355,6 ... 1522,4]9 min. 4,97 [4,62 ... 5,37] 1425,5 [1335,2 ... 1521,9]12 min. 5,15 [4,72 ... 5,66] 1368,2 [1270,9 ... 1472,9]15 min. 5,72 [5,39 ... 6,10] 1361,1 [1304,8 ... 1419,8]

Tabla 7.4: Parámetros del ajuste de cada uno de los lotes analizados a una Wei-bull biparamétrica. Los números entre corchetes son los intervalos de con�anzapara un nivel de con�anza del 95%

El análisis de los parámetros de Weibull demuestra que los grupos corres-pondientes a baños de 6, 9, 12, y 15 minutos de duración presentan valores muysimilares entre ellos y muy diferentes de los correspondientes al grupo bañadodurante 3 minutos. Grá�camente se puede visualizar mejor si se representantodas las leyes de Weibull juntas. En la Figura 7.18 aparecen representadas

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118




119


para un ∆A = 1 mm2. En la Figura 7.19 se representan los valores de losparámetros obtenidos y los valores límites para un intervalo de con�anza de95%.

Figura 7.18: Leyes de Weibull biparamétrica de los cinco grupos respecto a un∆A=1 mm2

Figura 7.19: Parámetros de Weibull de cada grupo e intervalos de con�anza95%

Puede observase claramente cómo el parámetro de escala aumenta consi-derablemente al pasar de un baño de 3 minutos al de 6 y de ahí en adelante,todos los valores son muy similares. El solape que se produce entre los interva-los de con�anza permite asegurar que con un 95% de con�anza, los valores de

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los parámetros no son diferentes. Por lo tanto, se comprueba que la resistenciamejora entre bañarlo 3 o 6 minutos y baños de mayor duración a 6 minutos noafecta considerablemente a la resistencia. Esto se debe a que el daño generadopor el proceso de corte tiene una profundidad mayor que 13 µm e inferior a20 µm y por eso, baños de mayor duración no mejoran la resistencia.

En el caso del módulo de Weibull ocurre lo contrario. El valor obtenido parael grupo bañado 3 minutos es mucho más alto que para el resto de grupos. Elmotivo es el mismo que en el caso anterior. La presencia de grietas generadaspor el proceso de corte son el origen del fallo para el grupo bañado durante 3minutos mientras que en el resto de grupos estas grietas han sido eliminadas.Por lo tanto, la existencia de �defectos macroscópicos� (las grietas generadasen el proceso de corte) motivan el fallo dando una menor dispersión que en elresto donde de grupos donde el fallo es debido a defectos del cristal.

Por lo tanto, se demuestra que el daño provocado por el proceso de cortetiene una profundidad de entre 13 µm y 20 µm.

7.5.2. Distribución de Weibull triparamétrica

En el capítulo anterior, se ha mostrado como el ajuste de todos los datossigue �elmente la ley de Weibull triparamétrica. En los ensayos �ring-on-ring�,como se verá también en el capítulo siguiente, no en todos los casos se ajustael grupo completo a esta ley. Por lo tanto, según lo establecido por Galambos[40] que ya se mencionó en el capítulo 3, sólo los datos incluídos en la colade interés han sido tenidos en cuenta para ajustar la distribución de Weibull.En este caso, al tratarse de una ley de Weibull para mínimos, solo los datoscorrespondientes a la cola izquierda son introducidos en el algoritmo iterativopara determinar los parámetros que de�nen la rotura del material.

Las Figuras 7.20-7.24 muestran los ajustes obtenidos. Puede observarsecomo en el grupo 1 (baño de 3 minutos) todos los puntos caen sobre la ley deWeibull obtenida a partir de los datos de la cola izquierda. Sin embargo, en elresto de los grupos, los puntos correspondientes a tensiones más altas quedana la derecha de la ley de Weibull determinada considerando únicamente lospuntos pertenecientes a la cola de interés.

Todas las distribuciones juntas para un ∆A=1 mm2 han sido representadasen la Figura 7.25 y los valores de los ajustes vienen resumidos en la Tabla 7.5donde, al igual que en el caso anterior, al haber ajustado la función de Weibullpara un diferencial de área ∆A = 1 mm2, se cumple que σ0 = σθ para σ0

expresado en[MPa mm

2/m].

Como se mencionó en el capítulo 3, el ajuste de los puntos a la distribuciónde Weibull triparamétrica se realiza por el método de los mínimos cuadrados.Otras posibles formas de realizar el ajuste son el método de máxima verosi-militud ([70], [46], [71]) o el método de los momentos ([58], [30], [71]). Una delas ventajas de los ajustes por máxima verosimilitud es la obtención de los in-

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Figura 7.20: Ajustes a Weibull triparamétrica del lote de obleas con baño de3 min. para un ∆A=1 mm2


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123



tervalos de con�anza. También existen métodos para determinar los intervalosde con�anza de los parámetros de una distribución de Weibull triparamétrica,como los basados en las simulaciones por �bootstrap� [49]. Este método haquedado fuera del alcance de esta tesis y se plantea su implementación comoun desarrollo futuro que ayudaría a obtener más información de los resultadosobtenidos.

En el caso de la distribución de Weibull biparamétrica, se obtienen losintervalos de con�anza del ajuste de los puntos a una recta en el papel deWeibull. Para la distribución triparamétrica, es posible obtener también loslímites de con�anza para los parámetros m y σθ del ajuste de los puntos ala recta en un papel de Weibull con eje x log (σ1,max − σu). Sin embargo, alno disponer de información acerca del intervalo de con�anza del parámetro delocalización (σu), los intervalos de con�anza obtenidos no serían correctos. Porlo tanto, para los ajustes a funciones de Weibull triparamétricas, no se hancalculado los intervalos de con�anza (como puede verse en la Tabla 7.5).

Nuevamente se observa cómo hay una diferencia signi�cativa entre el grupobañado 3 minutos y el resto en los que los parámetros son más similares entresí. Especialmente signi�cativa es la diferencia en los parámetros de localizacióny de escala, mientras que el módulo de Weibull presenta valores bastante simi-lares. Esta diferencia, acorde con lo observado en el ajuste a distribuciones deWeibull biparamétricas, se justi�ca por la población de grietas generadas enel proceso de corte. Es evidente que el baño de 3 minutos no las elimina en su

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7.6 Resumen y conclusiones

Figura 7.25: Leyes de Weibull triparamétrica de los cinco grupos respecto a un∆A=1 mm2

Duración m σu σ0

baño [−] [MPa][MPa mm

2/m]

3 min. 2,35 226,0 595,76 min. 2,43 328,9 999,59 min. 2,40 277,0 883,112 min. 2,65 288,4 984,415 min. 2,66 330,6 1093,6


totalidad mientras que con el baño de 6 minutos ya han sido completamenteeliminadas. O lo que es lo mismo, la capa dañada por el proceso de corte tieneuna profundidad entre 13 µm y 20 µm. La diferencias entre los parámetros esmás fácilmente observable en la Figura 7.26.

7.6. Resumen y conclusiones

El objetivo de esta aplicación era evaluar la profundidad del daño generadoen el proceso de corte en obleas o �wafering�. Estudios realizados analizando

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Figura 7.26: Parámetros de Weibull de cada grupo

las huellas del proceso de corte determinaban una profundidad de grietas entorno a 15µm. En este caso, se ha estudiado de manera indirecta: analizandola mejora en la resistencia de diferentes grupos de obleas con distinto espesoradelgazado mediante baños químicos.

Para llevar a cabo el estudio, se ha utilizado el dispositivo �ring-on-ring�ya que mediante este tipo de ensayo no se están considerando los fallos pordefecto de borde. No hay que olvidar que la generación del lingote pasa porun proceso de corte por sierra tanto para generar la sección pseudo-cuadradacaracterística de las obleas monocristalinas Czochralski como para dividir losbloques obtenidos por técnicas de fundición en lingotes. Este proceso de cortegenera un daño en la super�cie del lingote que posteriormente pasa a ser losbordes de las obleas. Como el objetivo del estudio era evaluar el daño delproceso de corte en obleas, el tipo de ensayo indicado es el �ring-on-ring�.

Se han realizado dos ajustes estadísticos de los resultados: ajuste a funcio-nes de distribución de Weibull biparamétricas y ajustes a funciones de distri-bución de Weibull triparamétricas. El motivo ha sido que en el caso del ajustea la ley de Weibull triparamétrica, no todos los resultados se ajustan a la leyobtenida. Como el objetivo es hacer un análisis comparativo entre grupos, pe-se a la no idoneidad de la función biparamétrica de Weibull, las conclusionesextraídas de este ajuste son válidas.

Para ambos análisis se demuestra una clara mejora de la resistencia entre elgrupo bañado 3 minutos (adelgazamiento ≈13µm por cara) y el grupo some-tido a un baño de 6 minutos de duración (adelgazamiento ≈20µm por cara).Los siguientes grupos con baños de mayor duración no mejoran la resistencia,dando unos parámetros de ajuste bastante similares. Esto signi�ca que con elbaño de 6 minutos ya se han eliminado todas las grietas generadas en el procesode corte y se está caracterizando el monocristal de silicio crecido por el métodoCzochralski. Este resultado y tipo de estudio tiene diferentes aplicaciones en laindustria fotovoltaica que pueden ser de gran interés. Por un lado, este tipo deestudio permite evaluar la calidad de las obleas suministradas a los fabricantesde células. Por otro lado, a los mismos se les da una receta de cómo mejorar laresistencia de las obleas que van a manipular ya que, mediante un paso previo

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de adelgazamiento de poca duración, se consiguen resistencias mecánicas máselevadas.

Este estudio ha planteado algunas cuestiones que convendría analizar y quese incluyen en los desarrollos futuros. La principal es la problemática asociadaal ajuste de los grupos con baños de 6 o más minutos a una distribución deWeibull triparamétrica. Se observa que al incluir todos los datos en el algoritmoiterativo, éste acaba por divergir debido a un cambio de tendencia en los datos.Basándose en la teoría de extremos, se han ajustado estos grupos a partir de lascolas de interés y la conclusiones extraídas a partir de los parámetros de estosajustes concuerdan con las obtenidas en el ajuste a la distribución de Weibullbiparamétrica. Además, al utilizar la cola inferior para realizar el ajuste se estásiendo conservador, dando el ajuste más crítico del material. De esta manerase está del lado de la seguridad.

Falta, sin embargo, estudiar la razón por la que según va creciendo latensión, el resto de puntos se separan de la ley de Weibull siendo el materialaun más resistente. Se cree que el motivo es la coexistencia de diferentes tiposde defectos que están provocando el fallo. Al realizar el ajuste del grupo bañadodurante 3 minutos únicamente con los datos de la cola de interés, se observaque el resto de puntos recaen sobre la ley obtenida. Para el resto de gruposesto no ocurre. Y los resultados demuestran que el grupo bañado durante 3minutos aún presenta defectos o grietas producidas por el proceso de corte.Por lo tanto, en este grupo el fallo en todos los casos ha sido debido a esasgrietas. En el resto, al haber eliminado esta población de grietas, el fallo sedebe a defectos del cristal. Por lo tanto, se plantea la posibilidad de que laexistencia de diferentes tipos de defectos esté provocando los problemas deajustar todos los puntos a una función de Weibull y que la ley obtenida apartir de la cola de interés sea la correspondiente al tipo de defecto más críticoen el cristal. Las muestras que no presenten este tipo de defecto, fallarán porotros defectos menos críticos y por eso se separan de la ley obtenida a partirde la cola de interés. Conviene seguir estudiando este fenómeno y se planteacomo un desarrollo futuro.

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128

Capítulo 8

Caracterización de las propiedadesmecánicas de obleas EWT

Tras haber mostrado dos aplicaciones del método de caracterización pro-puesto válidas para obleas convencionales, en este capítulo se presentan losresultados de un estudio realizado para células solares con una tecnología di-ferente: las células de contacto posterior.

8.1. Células de contacto posterior

Las células solares convencionales presentan contactos metálicos tanto enla cara frontal como en la cara posterior de la oblea con el �n de extraerla corriente generada en la célula. La cara frontal de la oblea constituye elelectrodo negativo. Es la cara más expuesta a la radiación solar y al ser el metalopaco a la luz no puede recubrir totalmente la super�cie de la misma. Por lotanto, se ha de encontrar el equilibrio entre la mayor captación de electronesy la menor pérdida de radiación provocada por la sombra de los contactosfrontales. Por otro lado, los contactos posteriores dan lugar al electrodo positivode la célula. Al no estar expuesta al sol, la metalización es de concepción mássencilla por lo que se suele recubrir toda la super�cie con una capa de uncompuesto metálico de plata y aluminio que mejora el rendimiento de la célulafotovoltaica.

Las células se conectan en serie dentro del panel fotovoltaico uniendo, me-diante una �na cinta de cobre estañada, la cara positiva (posterior) con la caranegativa (frontal) formando hileras. Algunas de las actuales líneas de investi-gación para el aumento de la e�ciencia de los módulos fotovoltaicos consistenen minimizar las pérdidas asociadas a la metalización de la cara frontal asícomo en la mejora de los métodos de ensamblaje de células para la fabricacióndel módulo.

Las células de contacto posterior surgen como una alternativa para conse-guir ambas mejoras simultáneamente. En ellas, todos los contactos metálicos

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Caracterización de las propiedades mecánicas de obleas EWT

se sitúan en la parte posterior de la oblea por lo que no es necesario dejar espa-cios entre células vecinas (optimizando el ensamblaje) y se puede aprovecharmejor la luz que llega al receptor.

Existen distintas con�guraciones para situar los contactos positivo y nega-tivo en la cara posterior de la oblea, lo que ha dado lugar a diferentes modelosde células. La primera aproximación a la célula de contacto posterior apareceen 1975 en dos patentes estadounidenses presentadas por George J. Pack yPieter N. DeJong [32]. En ellas se describe una célula con uno o varios agu-jeros a través de los cuales se conduce la corriente a la cara posterior. Así sedisminuye la sombra debida a las cintas de interconexión, aumentando el áreapara generar corriente, disminuyendo las pérdidas de potencia y eliminandolos espacios entre células en un módulo y, por lo tanto, aumentando la den-sidad de empaquetamiento de células en el módulo. Estas células han dadolugar a las células Metallization Wrap-Through (MWT ), o Front MetallizationWrap-Through (FMWT ).

Dentro de la familia de células de contacto posterior, en esta tesis se hatrabajado con obleas preparadas para formar células Emitter Wrap Through(EWT ) que presentan miles de agujeros realizados en las obleas para conducirla corriente a la cara posterior.

8.2. Célula Emitter Wrap Through (EWT)

Esta célula fue propuesta en 1993 por James Gee [44]. Se crea a partir deobleas en las que se realizan múltiples agujeros mediante un láser y a travésde los cuáles circula la corriente. La cara frontal no presenta metalización sinosólo una super�cie texturada con un emisor frontal y una capa antirre�ectante.La cara posterior presenta dos mallas de metalización, que contactan las zonasn y p, respectivamente. El emisor frontal se contacta con la región posteriormediante los agujeros, difundidos y metalizados a la vez que el contacto n(Figura 8.1).

Figura 8.1: Vista frontal y sección de la célula EWT con emisor posterior(tomadas de [44])

Las primeras células reportaron un 15.7% de e�ciencia en material recrecidopor el método Czochralski. Estudios posteriores han mostrado e�ciencias de

130

8.3 Muestras para el estudio de la resistencia mecánica de obleas EWT

hasta el 19% [43]. En células con silicio multicristalino se han obtenido valoresde hasta 14.2%.

Las células EWT presentan un gran número de agujeros (del orden de100 agujeros/cm2, Figura 8.2) que actúan como concentradores de tensionesprovocando una considerable reducción de la resistencia de las obleas. Por ello,desde un punto de vista mecánico, estas obleas de silicio presentan un graninterés apareciendo recientemente diversos estudios acerca de la determinaciónde las propiedades mecánicas de obleas de este tipo ([24], [77], [31]).

Figura 8.2: Muestra de oblea EWT y zoom de unos cuantos agujeros

En este capítulo se ha aplicado el método propuesto para determinar laspropiedades del material a partir de un conjunto de obleas EWT y se hancontrastado los resultados con un grupo convencional de referencia. A conti-nuación, se detalla como se ha llevado a cabo el análisis.

8.3. Muestras para el estudio de la resistenciamecánica de obleas EWT

Para el estudio, se han preparado dos conjuntos de muestras a partir desilicio monocristalino crecido por el método Czochralski:

Muestras según la estructura física de las células EWT.

Muestras de referencia.

8.3.1. Muestras según la estructura física de las célulasEWT

La preparación de estas muestras siguen tres pasos:

1. Se somete a las obleas as-cut a un baño químico para eliminar el daño queproviene del proceso de wafering. En este caso, se realiza un baño básicode NaOH al 90 % a 900� durante aproximadamente 1 min eliminandounas 5µm por cara.

131


2. Se realiza a cotinuación el proceso de agujereado o drilling en el cual, através de un láser, se genera una matriz de agujeros con una densidadaproximada de 100 agujeros/cm2 (Figura 8.2). La disposición de losagujeros es tal que permite realizar el contacto tipo n (el correspondienteal electrodo negativo en la cara frontal) en las �las de agujeros y eltipo p en el medio entre �las de agujeros (Figura 8.1). Los agujeros sonrealizados mediante un dispositivo láser generando pulsos de 10 ns deduración, con una longitud de onda de 515 nm y una energía pico de234 µJ , dando como resultado unos agujeros con un diámetro de 50 µmen la cara frontal y 30 µm en la cara posterior.

3. Se someten las muestras a un nuevo baño químico con el �n de eliminarel daño generado en el proceso de agujereado. Se han realizado diferentesestudios acerca de la in�uencia de la duración del baño y de diferentestipos de baños con el �n de optimizar el proceso post-drilling. Para es-te caso, el segundo baño ha tenido una duración de 1 min eliminandoaproximadamente 5 µm por cara, quedando las muestras con un espesoraproximado de 190 µm. Este baño provoca también un aumento del diá-metro de los agujeros quedando �nalmente en 60 µm en la cara frontaly 40 µm en la posterior (Figura 8.3).

4. El último paso consiste en cortar cada oblea en 4 muestras de dimensiones52,5 mm x 52,5 mm mediante un dispositivo láser. Al realizar el estudioensayando las obleas mediante el dispositivo �ring-on-ring�, el posibledaño generado en este último proceso de corte no tiene in�uencia en elresultado �nal.

Figura 8.3: Diámetros de los agujeros en la cara frontal y en la posterior

En la industria fotovoltaica, el proceso habitual consiste en la realizaciónde agujeros sobre obleas as-cut (tal cual vienen del proceso de wafering sinningún tratamiento) y a continuación se les somete a un proceso de texturizado.Este paso, además de dar textura a la super�cie para conseguir un mayoratrapamiento de la luz, también reduce el espesor eliminando parcialmente eldaño generado en el proceso de corte y en el proceso de agujereado. Como elobjetivo del estudio es determinar la resistencia del material a partir de un

132

8.4 Ensayos

conjunto de obleas perforadas, se ha querido eliminar el daño generado en elproceso de corte para no añadir más variables al problema.

8.3.2. Muestras de referencia

Con el objetivo de tener una referencia que permita validar los resultadosobtenidos con el conjunto de obleas EWT, otro grupo de obleas se ha vistosometido a los pasos 1, 3 y 4. De esta manera, las muestras tienen el mismotratamiento super�cial y las mismas dimensiones pero no presentan agujeros.

En la Figura 8.4 se presenta de manera esquemática los tratamientos deambos grupos.

Figura 8.4: Tratamiento de los grupos analizados

8.4. Ensayos

Como se pretende analizar la in�uencia de los agujeros en la resistencia,se ha optado por el ensayo �ring-on-ring� ya que el daño de borde no tendráin�uencia en la resistencia. De esta manera, el fallo será debido a la presenciade los agujeros en la zona central de la muestra.

Al igual que en el capítulo anterior, los ensayos han sido realizados apo-yando las muestras en un anillo y aplicando la carga mediante otro anillo dediámetros 20 mm y 10 mm respectivamente. En la Figura 8.5 se muestra unesquema de los ensayos realizados.

En la Figura 8.6 se muestra la rotura de una muestra agujereada mientrasque en la Figura 8.7 se muestra la rotura de una sin agujeros. Puede observarsecomo la muestra agujereada se rompe en pocos trozos ya que la carga que

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Figura 8.5: Esquema de los ensayos realizados

provoca el fallo es menor y por lo tanto, el estado de tensiones de la oblea en elmomento del fallo también. Por otro lado, la muestra sin agujeros en el instantedel fallo prácticamente estalla ya que la carga que soporta es bastante más altaacumulando la oblea mucha energía elástica que se libera en el momento delfallo.

Figura 8.6: Rotura de una muestra con agujeros

134


Figura 8.7: Rotura de una muestra sin agujeros

En la Figura 8.8 se muestran las curvas carga-desplazamiento resultadosde los ensayos de cada grupo así como los histogramas de las cargas de rotura.Puede observarse como el grupo con muestras perforadas tiene una dispersiónmenor concentrándose la mayoría de valores de carga de rotura en el intervalode [30− 50]N mientras que en el caso de obleas sin agujeros, se alcanzanmayores valores de carga y la dispersión es también mayor ya que se están losdefectos del cristal.

8.5. Modelo numérico

Para la simulación de los ensayos es necesario el desarrollo de modelos deelementos �nitos para tener en cuenta la no linealidad presente en los mismos.Como en los casos anteriormente estudiados, se han desarrollado modelos tri-dimensionales con elementos lámina incluyendo el contacto, la anisotropía delcrital de silicio y teniendo en cuenta la formulación para grandes desplaza-mientos. Para las obleas EWT es además necesario incluir los agujeros en elmodelo, lo cual conlleva a una complicación en el desarrollo del mismo.

La presencia de miles de agujeros en las muestras genera una concentraciónde tensiones alrededor de los mismos con un gradiente de tensiones tan elevado

135


Figura 8.8: Resultado de los ensayos de las muestras con y sin agujeros

que requiere de una discretización muy alta en la zona cercana a ellos paraconseguir resultados �ables. Esto implica un número muy alto de grados delibertad y, por lo tanto, un coste computacional demasiado elevado.

Por este motivo, se ha aplicado la técnica del submodelado o método delos desplazamientos del contorno de corte para la simulación de los ensayosde obleas con agujeros. Este método realiza el cálculo en dos etapas. En laprimera, se realiza una simulación del ensayo con una malla más gruesa dedonde se extrae el campo de desplazamientos en el instante de fallo. En unasegunda etapa, se genera un submodelo de la zona que se desea estudiar conprofundidad (con una malla mucho mas re�nada) y se aplican en el contornodel submodelo los desplazamientos obtenidos en la simulación con la mallagruesa. De esta manera, se obtienen las tensiones con precisión en la zonadeseada con un coste computacional más bajo a partir de dos cálculos: unasimulación completa con una malla gruesa y el cálculo de las tensiones condesplazamientos impuestos en el submodelo [6], [4], [9].

En este caso concreto se necesita una malla más re�nada alrededor decada agujero. Como la distribución de agujeros en la oblea sigue un patróndeterminado, para la primera etapa se ha desarrollado un modelo grueso sinagujeros a partir de un bloque característico cuyas dimensiones coinciden conlas distancias entre agujeros, tal y como se remarca en la Figura 8.9. Estebloque característico se va repitiendo en la posición de cada uno de los agujeroshasta completar la super�cie correspondiente a un cuarto de la oblea, en la quehay 650 ori�cios. Este modelo tan grosero (87 elementos por submodelo) tardaen completar la simulación de un ensayo aproximadamente 3 horas, lo quepuede dar una idea del coste computacional que supondría la simulación con

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un modelo mucho más �no que incluyera los agujeros.

Figura 8.9: Malla del modelo completo sin agujeros

Con este modelo grueso se simulan los ensayos de la oblea más delgaday la más gruesa (como en los casos anteriores). Pese a que la malla no eslo su�cientemente re�nada para una correcta interpretación de los resultadosen tensiones, si es válida para la obtención del campo de desplazamientos enlos nudos de la misma. Dado que la malla se genera a partir de la repeticióndel bloque característico, se tiene en todo momento los desplazamientos en elcontorno del bloque que coincidirá con los contornos de los submodelos. Porotro lado, se generan 650 submodelos con una malla muy �na y que incluyecada uno un agujero y se les aplica los desplazamientos en el contorno obtenidosen la simulación con el modelo grueso. De esta manera, se acaba obteniendo elcampo de tensiones en el instante de rotura en cada uno de los 650 submodelosque corresponden a un cuarto de la oblea.

Como paso previo al desarrollo de los submodelos se ha realizado un estudiode convergencia de malla para determinar el tamaño de elemento necesario paraun correcto resultado.

Estudio de convergencia de malla

Se realiza un estudio de convergencia de malla del bloque característicocon el �n de conocer el tamaño de malla necesaria para caracterizar correc-tamente el alto gradiente de tensiones que se produce en las inmediacionesde los ori�cios. La magnitud de referencia escogida es el valor máximo de latensión principal máxima, comparando diferentes mallados hasta obtener unvalor constante.

El primer mallado elegido es el correspondiente al bloque característicodel modelo grueso incluyendo el agujero. Este modelo tiene 99 elementos yse comprueba que no es válido para el cálculo de tensiones (Figura 8.10).

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Se elige �nalmente la malla mostrada en la Figura 8.10 que consta de 8325elementos. Con este tamaño de malla, se alcanza un valor aceptable de tensiónprincipal máxima ya que la variación para mallados más �nos es muy pequeña.En la Figura 8.11 puede observarse un detalle de la distribución de tensionesalrededor de un agujero que con�rma tanto que el tamaño de malla es eladecuado como que las dimensiones de los submodelos también ya que no sesolapan las intensi�caciones de tensiones entre agujeros vecinos.

Figura 8.10: Resultado del estudio de convergencia de malla

Figura 8.11: Tensión principal máxima alrededor de un agujero

El consumo de recursos computacionales con la técnica de submodeladoes reducido ya que se realiza el cálculo de cada submodelo por separado. Sinembargo, los tiempos de cálculo son muy elevados ya que, una vez realizadala simulación completa del ensayo con el modelo sin agujeros (como ya se hamencionado, unas 3 horas aproximadamente) al imponer los desplazamientospara un paso de carga determinado, cada submodelo tarda unos 3 minutos en

138


completar el cálculo. Por lo tanto, al tratarse de 650 submodelos por muestra,el proceso de obtención del estado completo de tensiones para un ensayo enel instante del fallo tiene una duración aproximada de 30 horas. Teniendo encuenta que se han ensayado un total de 31 muestras, el tiempo de cálculoestimado para obtener el campo de tensiones en el instante del fallo de todasellas es superior a 6 semanas.

Al igual que en los casos anteriores, se puede simpli�car el cálculo desa-rrollando sólamente los modelos correspondientes a la oblea más delgada y ala más gruesa y calcular el campo de tensiones del resto de muestras median-te una interpolación lineal teniendo en cuenta la energía elástica almacenadaen el instante del fallo y el espesor del ensayo a analizar y el de las obleasextremo. Sin embargo, existe un inconveniente adicional a esta forma de pro-ceder: para llevar a cabo la interpolación con los modelos rígido y �exible, esnecesario tener en ambos modelos el campo de tensiones para toda la curvacarga-desplazamiento. Este inconveniente se ha salvado a partir de una in-terpolación parabólica de las tensiones en todos los nudos que se explica acontinuación.

Interpolación parabólica de las tensiones en los nudos

Para calculo del estado de tensiones en el instante del fallo de cada muestra,se ha realizado una interpolación adicional a la que se viene realizando en todoslos ejemplos. Se ha comprobado que las tensiones en cada nudo siguen unaley con forma parabólica respecto a los desplazamientos. Cada nudo tiene supropia curva pero en todos los casos, esa curva se ajusta a una parábola. Enla Figura 8.12 se muestran la evolución de la tensión principal máxima con eldesplazamiento para 100 nudos elegidos al azar en la simulación de un ensayocon un modelo sin agujeros. Puede comprobarse, que en su gran mayoría cadauna de esas curvas puede ser representada mediante una ley parabólica.

Por lo tanto, para obtener el campo de tensiones de cada muestra en elinstante del fallo, se ha seguido el siguiente procedimiento:

1. Simulación de los ensayos correspondientes a las obleas más delgada ymás gruesa del lote mediante modelos de malla gruesa sin agujeros. Comose ha dicho anteriormente, cada simulación tarda ≈ 3 horas por lo queeste paso tiene una duración algo superior a las 6 horas.

2. Obtención del campo de tensiones completo (en todos los submodelos)en un estado intermedio y en el instante �nal de cada una de las dossimulaciones del paso anterior. Para ello, se imponen los campos de des-plazamientos de los estados intermedio y �nal de cada uno de los modelosa todos los submodelos. Como el proceso de obtención del campo de ten-siones de todos los submodelos para un estado de carga dado lleva unas

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Figura 8.12: Evolución de la tensión principal máxima en 100 nudos elegidosal azar con los desplazamientos

30 horas, este paso tiene una duración de ≈ 120 horas (unos 5 días decálculo).

3. Se ajusta una ley parabólica a las tensiones de cada nudo. Para ello hayque tener en cuenta que de cada nudo de cada uno de los dos modelosdesarrollados, se tienen las tensiones principales en tres estados: el estadode reposo (desplazamiento nulo y tensiones nulas), un estado intermedioy el estado �nal.

4. Se obtiene el campo de tensiones de rotura de cada muestra en el modelomás �exible y el más rígido, en ambos casos en los puntos con la mismaenergía elástica que el ensayo en el instante del fallo. Esto es posible por-que, gracias al paso anterior, se tiene una ley analítica para la evoluciónde las tensiones con los desplazamientos para cada nudo de cada modelo.

5. Finalmente, a partir del estado tensional de los modelos �exible y rígido,se obtiene el campo de tensiones de la muestra en el instante del fallopor interpolación lineal, según lo explicado en apartados anteriores.

Esta manera de proceder reduce el tiempo de cálculo a algo más de 5días. La interpolación del paso 5 ya había sido comprobada con anterioridaden el capítulo 6. Se ha comprobado también la �abilidad de la interpolaciónparabólica explicada en este apartado. Para ello, en un modelo sin agujeros sehan tomado las tensiones en un estado de carga inicial y en un estado de cargaal �nal de la simulación del ensayo. Partiendo de estos datos, se han obtenidolas leyes parabólicas que de�nen la evolución de las tensiones para todos los

140

8.6 Ajuste Weibull

nudos. Se ha calculado el estado de tensiones en un punto intermedio del cualse tiene la información directamente a partir del modelo de elementos �nitos yse han comparado (Figura 8.13). Puede observarse que la interpolación da unresultado aproximado muy cercano al obtenido en el modelo. En la Figura 8.14se representan los histogramas correspondientes a las diferencias en cada uno delos nudos de las tensiones principales primera y segunda entre el resultado delmodelo de elementos �nitos y el interpolado. Puede verse como la interpolaciónes perfectamente válida.

Figura 8.13: Comparación del campo de tensiones obtenido a través del modelode elementos �nitos y mediante interpolación parabólica

Para el conjunto de referencia sin agujeros, se ha trabajado con modelossimilares a los explicados en el capítulo anterior.

8.6. Ajuste Weibull

Al igual que en el capítulo anterior, al haberse realizado el estudio me-diante el ensayo ring-on-ring que somete a las muestras a un estado biaxial detensiones, el ajuste a la distribución de Weibull triparamétrica ha resultadocomplicado. Como el objetivo es comparar los parámetros de Weibull entre

141


Figura 8.14: Histograma de las diferencias entre las tensiones obtenidas por elmodelo de EF y las obtenidas por interpolación parabólica

los obtenidos mediante el estudio de un conjunto estándar de referencia y losobtenidos con un conjunto de obleas perforadas EWT, se ha utilizado tambiénla distribución biparamétrica. A continuación se muestran ambos ajustes.

8.6.1. Distribución de Weibull biparamétrica

Una vez obtenido el campo completo de tensiones en el instante de roturatanto para el grupo de obleas convencionales como para el grupo de obleas per-foradas, se ha aplicado el procedimiento iterativo para ajustar los resultadosa una distribución de Weibull biparamétrica. El estado de tensiones biaxialse tiene en cuenta mediante la aplicación del Principio de las Acciones Inde-pendientes. Los resultados de los ajustes de los dos conjuntos se muestran enlas Figuras 8.15 y 8.16. En las grá�cas se representan los datos de ensayo yla probabilidad de fallo experimental (con un asterisco), los datos de ensayoreferidos a ∆A (con un triángulo) y el ajuste. Puede observarse el buen ajustede cada uno de los conjuntos a la distribución de Weibull biparamétrica. Losparámetros ajustados vienen resumidos en la Tabla 8.1.

Tabla 8.1: Parámetros de Weibull del ajuste. Los números entre corchetes sonlos intervalos de con�anza para un nivel de con�anza del 95%

Grupo Tensión característica Módulo de Area in�nitesimalde fractura σθ [MPa] Weibull m [−] ∆A [mm2]

EWT 1738,2 [1635,2 ... 1847,7] 6,3 [6,0 ... 6,7] 0,0004Estándar 604,5 [574,6 ... 636,0] 7,6 [7,1 ... 8,2] 0,4

La clara diferencia en el valor de la tensión característica de fractura esdebida a la diferencia entre los valores del área in�nitesimal (∆A) a que está

142

8.6 Ajuste Weibull

Figura 8.15: Ajuste a Weibull biparamétrica del grupo de obleas estándar

Figura 8.16: Ajuste a Weibull biparamétrica del grupo de obleas EWT

referido cada grupo. Con los datos del ajuste es posible determinar los pará-metros del material. El parámetro de escala de cada grupo de calcula segúnσ0 = σθ (∆A)

1m . Los intervalos de con�anza para el parámetro de escala se

calculan a partir de los intervalos de con�anza del ajuste (los mostrados en laTabla 8.1). Los resultados de los parámetros del material se representan en la

143


Tabla 8.2: Parámetros de Weibull que de�nen el fallo del material. Los númerosentre corchetes son los intervalos de con�anza para un nivel de con�anza del95%

Grupo Parámetro de escala Módulo de

σ0

[MPa mm

2/m]

Weibull m [−]

EWT 502,8 [440,8 ... 573,5] 6,3 [6,0 ... 6,7]Estándar 535,7 [504,6 ... 568,8] 7,6 [7,1 ... 8,2]Baño 3 min. 541,2 [529,4 ... 553,3] 9,1 [8,7 ... 9,6]

Figura 8.17 y se resumen en la Tabla 8.2. De manera adicional, se incluyen losparámetros de la ley de Weibull para el grupo 1 (baño de 3 minutos) del capítu-lo anterior. Este grupo de obleas monocristalinas Czochralski ha sido sometidoa un adelgazamiento de unas 13 µm por cara aproximadamente mientras quelos grupos analizados en este capítulo han tenido un adelgazamiento �nal des-pués de dos baños de unas 10 µm por cara. Por lo tanto, las propiedades delmaterial deben ser bastante similares.

Figura 8.17: Parámetros de Weibull de cada grupo e intervalos de con�anza95%

En efecto, como puede comprobarse en la Tabla 8.2, hay un claro sola-pamiento en los tres grupos en el parámetro de escala (σ0) mientras que losmódulos de Weibull son diferentes en los tres casos. Se visualizan mejor estosresultados en la Figura 8.17. Se observa que el grupo de obleas EWT presentaun peor ajuste ya que el intervalo de con�anza en el parámetro de escala esbastante mayor al de los otros dos grupos. De todas formas, en el análisis delparámetro de escala se puede concluir que en los tres casos el valor es muysimilar y los intervalos de con�anza al 95% se solapan entre sí. En el caso delmódulo de Weibull, el valor es diferente para cada grupo cumpliéndose queel grupo de obleas EWT tiene el valor más bajo, seguido de las obleas están-dar sin agujeros de este capítulo y por último, las obleas bañadas durante 3minutos del capítulo anterior.

144

8.6 Ajuste Weibull

Hay que tener en cuenta que uno de los grupos sobre los que se ha realizadoel análisis presenta agujeros y, sin embargo, la comparación de los parámetrosdel material que de�nen el fallo es muy similar. Las diferencias del grupo deobleas EWT con el resto pueden deberse a la incorrecta caracterización de losagujeros. Como se ha observado en la Figura 8.3 los agujeros no son perfecta-mente circulares mientras que en el modelo se ha supuesto un agujero circular.Además, el diámetro de los mismos es diferente en la cara frontal y en la poste-rior (60µm y 40µm respectivamente) y para la realización del modelo se eligióel diámetro promedio (50µm). Por otro lado, para los dos grupos de obleassin agujeros (el grupo estándar de este capítulo y el grupo bañado 3 minutosen el capítulo anterior) las diferencias del módulo de Weibull se justi�caríanen que el tratamiento al que se han visto sometidas no es exactamente igual y,además, la diferencia del tamaño del espacio muestral. Mientras que del grupobañado durante 3 minutos se dispuso de casi 100 muestras, para este estudiose han dispuesto de 43 por lo que el ajuste estadístico también puede presen-tar diferencias. Con todo ello, el método de análisis acaba dando para los tresgrupos valores muy similares. En la Figura 8.18 se representan las leyes deWeibull para los tres grupos referidas a un diferencial de área ∆A=0,4 mm2.

Figura 8.18: Leyes de Weibull biparamétrica de los tres grupos respecto a un∆A=0,4 mm2

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8.6.2. Distribución de Weibull triparamétrica

Para el ajuste a la distribución de Weibull triparamétrica, al igual que enel capítulo anterior y por los mismos motivos, se han tenido en cuenta solo losdatos pertenecientes a la cola de interés. En las Figuras 8.19 y 8.20 se muestranlos ajustes obtenidos.

Figura 8.19: Ajuste a Weibull triparamétrica del grupo de obleas estándar

El tratamiento con el grupo estándar a partir de los datos en la cola deinterés ha sido satisfactorio. Sin embargo, los datos incluídos en la cola de in-terés de las obleas EWT presentan unos valores atípicos que imposibilitaban elajuste a partir de ellos. Al considerar solo esos datos, el algoritmo no converge.Por lo tanto, se ha realizado el ajuste a partir de los datos intermedios obte-niendo resultados más acordes a lo esperado. Como puede comprobarse en laFigura 8.20, los datos de la cola de interés no se ajustan a la ley determinadapor el resto del conjunto de datos. Los parámetros ajustados vienen resumidosen la Tabla 8.3 y representados en la Figura 8.21. Se incluye, al igual que en elcaso anterior, los parámetros obtenidos al realizar el ajuste a una ditribuciónde Weibull triparamétrica el grupo 1 del capítulo anterior (baño de 3 minutos)dada la similitud de las muestras con las del grupo estándar aquí tratado.

Puede observarse como de nuevo el grupo de obleas estándar y el grupode obleas bañadas 3 minutos presentan valores muy próximos del material.El grupo de obleas EWT presenta algunas diferencias. Por un lado, el valordel parámetro de localización es mucho más bajo al de los casos anterioresmientras que el parámetro de forma y el parámetro de escala es más elevado.Estas diferencias vienen justi�cadas por las características especiales que tiene

146

8.6 Ajuste Weibull

Figura 8.20: Ajuste a Weibull triparamétrica del grupo de obleas EWT

Grupo m σu σθ ∆A σ0

[−] [MPa] [MPa] [mm2][MPa mm

2/m]

EWT 3,31 50,5 1562,3 0,1 779,2Estándar 2,43 177,3 934,8 0,4 641,15Baño 3 min. 2,35 226,0 595,7 1 595,7


Figura 8.21: Parámetros de Weibull de cada grupo

este grupo no olvidando que para la obtención del estado de tensiones ha habidoque hacer algunas hipótesis simpli�cativas (como por ejemplo, la interpolaciónparabólica de los nudos). No obstante, pese a las diferencias encontradas enlos valores de los parámetros, estos se encuentran cercanos a los obtenidospara las obleas estándar y las bañadas durante 3 minutos. La representación

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de las tres leyes de Weibull juntas para un diferencial de área ∆A = 0,4 mm2

(Figura 8.22) demuestra que las leyes no son muy diferentes y con�rma laigualdad obtenida entre el grupo estándar y el grupo de obleas bañadas durante3 minutos.

Figura 8.22: Leyes de Weibull triparamétrica de los tres grupos respecto a un∆A=0,4 mm2

8.7. Modelo simpli�cado: aplicación de un fac-tor de concentración de tensiones

Se ha estudiado la posibilidad de abordar este estudio de manera simpli-�cada, i.e. mediante la aplicación de un factor de concentración de tensiones.De esta forma se abordan los estudios de materiales perforados en el diseñomecánico tradicional para materiales dúctiles. Para llevarlo a cabo, se de�ne elfactor de concentración de tensiones Kt como la relación entre la tensión má-xima local, σloc, alrededor de un agujero y la tensión �bruta� o �grosera�, σgros,que habría en ese punto sin la existencia del agujero. Esta forma de abordarel estudio reduce mucho el coste computacional ya que se pueden desarrollarmodelos numéricos estándar (sin las complicaciones ni los tiempos de cálculoque presentan los modelos con agujeros) y posteriormente aplicar un factor ala solución.

148

8.7 Modelo simpli�cado: aplicación de un factor de concentración detensiones

El factor de concentración de tensiones Kt depende de las condiciones decarga, geometría del agujero, posición del mismo y distancia entre ellos (si haymás de uno) y dimensiones de la placa. Existe una amplia literatura de valoresdel factor de concentración de tensiones [67]. Para este problema en concreto,dada las particularidades del mismo, se ha estimado el valor de Kt de maneranumérica. Para ello, se ha comparado la tensión máxima en un paso de cargade la simulación obtenida en el modelo con agujeros explicado anteriormentey con la obtenida con un modelo estándar que no incluyen los ori�cios.

En la Figura 8.23 se representa la tensión principal máxima (σ1,max,agujeros)obtenida alrededor de cada agujero mediante el modelo complejo presentadoanteriormente y la tensión principal máxima en el mismo punto obtenida en unmodelo que no incluya los agujeros (σ1,max,no agujeros) frente a la distancia entreel centro del agujero y el centro de la oblea. Estos puntos, representados con untriángulo y un círculo respectivamente, están referidos al eje y de la izquierda.Puede observarse como, para ambos modelos, los valores más altos de tensiónse alcanzan justo debajo del anillo de carga (radio igual a 5 mm) y se observaademás como fuera del anillo de apoyo (radio igual a 10 mm) la tensión espracticamente despreciable. En la misma Figura 8.23 se representa la relaciónentre ambos valores de tensión para cada agujero mediante un asterisco y losvalores están referidos al eje y de la derecha. Puede observarse como en lospuntos donde la tensión es elevada, Kt presenta un valor constante e igual a2,25. Fuera del anillo de apoyo aparecen valores mucho más altos debido aque (σ1,max,no agujeros) es muy pequeña. Por lo tanto, estos valores pueden serdespreciados y se tiene que para esta matriz de agujeros, con esta geometría ysometida a esta con�guración de carga, el factor de concentración de tensioneses Kt = 2,25.

Para veri�car la bondad del valor de Kt obtenido, se ha analizado la tensiónprincipal máxima de las obleas EWT ensayadas a partir de los submodelos yde la manera tradicional, es decir, simulando los ensayos con modelos estándarsin agujeros y multiplicando la tensión máxima obtenida por Kt = 2,25. En laFigura 8.24 se muestran los resultados obtenidos. Puede observarse como paratodos los ensayos, el valor de σ1,max obtenido mediante los modelos complejosa través de submodelos prácticamente coincide con el valor obtenido a partirde modelos simples multiplicado por Kt.

Este método simpli�cado reduce mucho el tiempo de cálculo y se demuestraválido para la obtención de la tensión máxima. Sin embargo, no es válido parael modelo de fallo propuesto ya que el ajuste a la distribución Weibull requiereel conocimiento del estado completo de tensiones y no sólo del valor de latensión máxima [2]. Para poder utilizar un método simpli�cado es necesarioestimar una super�cie de intensi�cación de tensiones a aplicar en la posición decada agujero permitiendo pasar del campo de tensiones obtenido con modelossimples sin agujeros (con reducido tiempo de cálculo) a un campo de tensionescomplejo incluyendo las concentraciones alrededor de cada agujero.

149


Figura 8.23: σ1,max de modelos con y sin agujeros y Kt frente a la distancia alcentro de la oblea

Figura 8.24: σ1,max de todos los ensayos obtenida con el modelo con agujerosy a través del factor de concentración de tensiones

8.7.1. Cálculo y aplicación de una super�cie de intensi�-cación de tensiones

En primer lugar se ha estimado la forma de la super�cie de intensi�ca-ción de tensiones alrededor de los agujeros. Para ello, se han analizado los 60agujeros mostrados en la Figura 8.25 que al presentar las tensiones más altas,son los que dan resultados válidos para la estudiar la intensi�cación. A partirde los submodelos se ha ontenido el estado completo de tensiones alrededorde estos agujeros durante una simulación completa de un ensayo y, medianteun modelo simple, se ha comparado con el estado tensional sin ori�cios. Se

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han representado las super�cies obtenidas para los agujeros remarcados en laFigura 8.25 para un estado de carga intermedio. Como puede observarse enlas grá�cas presentadas (Figura 8.26), la forma se mantiene en todos los casos.El análisis de los 60 agujeros estudiados y para todos los estados de carga locon�rma.

Figura 8.25: Agujeros analizados para estimar la super�cie de intensi�caciónde tensiones

Partiendo de la forma de estas super�cies, se de�ne una super�cie estándarde intensi�cación de tensiones alrededor de cada agujero que se representa enla Figura 8.27.

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Figura 8.26: Super�cie de intensi�cación de tensiones para 14 agujeros en unestado intermedio de carga

Figura 8.27: Super�cie estándar de intensi�cación de tensiones

La super�cie global de intensi�cación de tensiones consiste en la colocaciónde esta super�cie estándar en la posición de cada uno de los agujeros de laoblea, manteniendo el resto de la super�cie de intensi�cación un valor igual a

152


1. En la Figura 8.28 se muestra la super�cie completa de intensi�cación y unzoom de los primeros 5 mm en cada eje.

Figura 8.28: Super�cie global de intensi�cación de tensiones

Una vez de�nida la super�cie global de intensi�cación de tensiones paratoda la oblea es posible obtener el estado de tensiones en el instante del fallo apartir del campo de tensiones obtenido mediante modelos simples sin agujerosy aplicando posteriormente esta super�cie de intensi�cación. De esta manera,se reduce considerablemente el tiempo de cálculo. Estos resultados han sidoajustados a una distribución de Weibull triparamétrica y el ajuste es compara-do con el obtenido mediante las tensiones calculadas a partir de los submodelos(Figura 8.29). Los parámetros obtenidos para ambos ajustes se comparan enla Tabla 8.4. Puede observarse la similitud de los parámetros obtenidos dan-do validez a la super�cie de intensi�cación de tensiones propuesta. De estamanera, es posible obtener los parámetros que de�nen el fallo del material apartir de modelos sencillos que no incluyen la modelización de los ori�cios yen tiempos de cálculo razonables.

Tipo m σu σθ ∆A σ0

cálculo [−] [MPa] [MPa] [mm2][MPa mm

2/m]

Submodelos 3,31 50,5 1562,3 0,1 779,2Super�cie 3,48 51,6 1475,6 0,1 761,4intensi�cación

Tabla 8.4: Parámetros de Weibull de los resultados obtenidos mediante sub-modelos y aplicando la super�cie de intensi�cación de tensiones

153


Figura 8.29: Ajuste de los resultados obtenidos mediante la super�cie de in-tensi�cación de tensiones y comparación con el ajuste obtenido mediante lossubmodelos

8.8. Resumen y conclusiones

En este capítulo se ha caracterizado la resistencia mecánica de un tipo deobleas preparadas para formar células de contacto posterior EWT. Estas obleasson perforadas en una primera etapa creando miles de agujeros que sirven paratransportar los electrones de la cara frontal a la cara posterior. Por lo tanto,desde un punto de vista mecánico estas muestras son muy interesantes ya quelos agujeros actúan como concentradores de tensiones debilitando las mismas.

Las muestras preparadas para los ensayos presentan 2600 agujeros en susuper�cie de un diámetro promedio de 50µm que hay que incluir en el modelonumérico para obtener el campo de tensiones de cada muestra en el instantedel fallo. Esto complica el modelo de elementos �nitos ya que el tamaño demalla necesario para caracterizar correctamente el gradiente de tensiones cercade los ori�cios es tan pequeño que el modelo �nal resulta muy pesado compu-tacionalmente. Para llevar a cabo el estudio, se ha trabajado con la técnica desubmodelado que si bien el tiempo de cálculo sigue siendo muy elevado, losrecursos computacionales son aceptables. Además, se han realizado algunashipótesis simpli�cativas como la interpolación parabólica de las tensiones enlos nudos, que se ha comprobado válida y permite reducir aun más los tiemposde cálculo.

Con todos estos inconvenientes derivados de las características especialesde las muestras, los parámetros de Weibull obtenidos son similares a los que seconsiguen con un grupo de referencia sin agujeros, validando el procedimientoempleado para la caracterización de la resistencia de obleas EWT.

154


El ajuste estadístico, al igual que en el capítulo anterior donde se analiza-ban resultados provenientes de ensayos �ring-on-ring�, se ha realizado de dosmaneras: ajustando los resultados a leyes de Weibull biparamétricas y tripa-ramétricas. El motivo es el mismo: la falta de convergencía al incluir todos losdatos en el algoritmo iterativo para obtener los parámetros de la distribución deWeibull triparamétrica. Por lo tanto, al igual que en el caso anterior, los pará-metros de la función de distribución de Weibull triparamétrica se han obtenidoa partir del ajuste de los datos perteneciente a la cola de interés. Nuevamente,las conclusiones extraídas son similares a las que se obtienen comparando losparámetros del ajuste a distribuciones de Weibull biparamétricas.

De manera adicional a los lotes presentados en esta aplicación, se ha in-cluido en la comparación los parámetros obtenidos para el grupo 1 (baño de3 minutos) del capítulo anterior ya que el espesor adelgazado es similar al deestos dos grupos. Se comprueba, tanto para el ajuste a una función de dis-tribución de Weibull biparamétrica como triparamétrica, que los parámetrosobtenidos para el grupo de referencia y el grupo de obleas bañados durante 3minutos son muy similares. El grupo de obleas EWT presenta algunas diferen-cias en los valores de los parámetros pero, dada la complejidad de las muestrasy las suposiciones del estudio, se considera que el resultado es bueno y que elmétodo de caracterización de la resistencia del material es adecuado.

Debido a la complejidad que acarrea el análisis de este tipo de muestras,se propone el método de estudio simpli�cado tradicional en los análisis de ele-mentos con agujeros, i.e. realizar los cálculos de tensiones sin considerar losori�cios y aplicar un factor de concentración de tensiones. Con ese objetivo, seha estimado de manera numérica el factor de concentración de tensiones paraesta con�guración de carga y se obtiene un valor Kt=2,25. Posteriormente, sesimulan los ensayos con modelos sin agujeros y se aplica a todas las muestraseste valor de Kt dando en todos los casos un valor de tensión principal máximaprácticamente idéntico al obtenido con los complejos modelos numéricos quetienen en cuenta todos los agujeros. Pese al buen resultado obtenido para elvalor de tensión máxima, esté método simpli�cado no es aplicable al método deestudio propuesto porque es necesario conocer el campo completo de tensionesen el instante del fallo y no solo el valor de la tensión máxima. Por lo tanto,se ha analizado la super�cie de intensi�cación de tensiones alrededor de losagujeros comparando los campos de tensiones en modelos con ori�cios y sinellos. Se comprueba que la forma de la super�cie es muy similiar en los agujerosseleccionados para distintos estados de carga. De esta manera, se propone unasuper�cie de intensi�cación estándar alrededor de cada agujero y se crea unasuper�cie global de intensi�cación válida para aplicar a los resultados obtenidosen las simulaciones de los ensayos mediante modelos simples. Los resultadosobtenidos mediante la super�cie de intensi�cación son ajustados a una distri-bución de Weibull triparamétrica y los parámetros resultantes se comparan conaquéllos que se obtienen mediante el cálculo complejo del campo de tensiones

155


con la técnica del submodelado dando resultados muy similares. Por lo tanto,la super�cie de intensi�cación propuesta está bien caracterizada y este métodode análisis es válido para la obtención de los parámetros que de�nen el fallodel material a partir de modelos sencillos y con tiempos de cálculo aceptables.El siguiente paso en la reducción de tiempos de cálculo consistiría en la apro-ximación de funciones analíticas a la super�cie de intensi�cación de maneraque el campo de tensiones que se obtiene del modelo numérico sencillo fuerainstantáneamente intensi�cado en función de su posición. Este procedimientose plantea como desarrollo futuro.

156

Parte IV

Conclusiones y desarrollos futuros

157

Capítulo 9


9.1. Conclusiones

Independientemente de las conclusiones particulares extraídas en las di-ferentes aplicaciones del método, de manera general se puede concluir queel procedimiento propuesto para la caracterización de la resistencia mecánicade las obleas de silico es válido. Este método propone criterios probabilistaspara la caracterización de la resistencia y está basado en los métodos de di-mensionamiento de materiales frágiles, habiendo sido necesario adaptarlo a lasparticularidades de estas muestras como puede ser el marcado comportamientono lineal en los ensayos debido al reducido espesor de las obleas. Esta adapa-tación del método ha sido satisfactoria permitiendo realizar estudios de lo másdiversos. En esta tesis se presentan tres posibles aplicaciones de este métodoque ofrecen resultados relevantes para la industria, como pueden ser el buenresultado de las novedosas obleas quasi-monocristalinas, el establecimiento deactuaciones de buena praxis para disminuir el ratio de rotura determinando laduración de un baño químico previo a la manipulación de las obleas o la pro-puesta de un método aproximado y simple de cálculo para realizar simulacionescon obleas EWT. Pero existen otro tipo de estudios donde el conocimiento delos parámetros de Weibull que de�nen el fallo tiene mucha utilidad, e.g., la ca-racterización de la resistencia de obleas dentro de una planta de formación decélulas fotovoltaicas permitiría el dimensionamiento de nuevos tipos de utillajey el establecimiento de las formas de manipulación para un determinado nivelde �abilidad.

De manera particular se han extraído las siguientes conclusiones:

La comparación de los modelos de elementos �nitos simulando el ensayodemuestra que los más adecuados para estas muestras son los modelostridimensionales con elementos lámina. Con estos modelos, el resultadoobtenido es válido y los tiempos de cálculo son aceptables.

Se demuestra que el nuevo tipo de obleas quasi-monocristalinas presenta

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una resistencia mecánica similar a las monocristalinas crecidas por elmétodo Czochralski. Este resultado es de especial relevancia ya que estenuevo tipo de obleas comparte las ventajas de los dos tipos de obleasmás tradicionales: el mayor rendimiento de las obleas monocristalinasCzochralski y el menor coste de las obleas multicristalinas obtenidas portécnicas de fundición.

Las obleas multicristalinas presentan una peor resistencia que las mono-cristalinas, tanto Czochralski como las quasi-monocristalinas. Los bordesde grano tienen un efecto similar a la alta densidad de defectos en lasobleas quasi-monocristalinas, reduciendo el parámetro de localización yel módulo de Weibull o, lo que es lo mismo, aumentando la variabi-lidad esperable al trabajar con estas obleas. Sin embargo, tienen unaresistencia más alta (parámetro de escala mayor) que las obleas quasi-monocristalinas caracterizadas por una alta densidad de defectos.

Se comprueba que la profundidad de las grietas generadas en el procesode corte está en el rango de 13 µm − 20 µm. Adelgazamientos mayores nomejoran la resistencia de las obleas. Sin embargo, un baño a las muestrasde 6 minutos de duración aumenta su resistencia considerablemente.

Se aplica el método a un conjunto con características muy especiales: lapresencia de miles de agujeros en obleas EWT. El tratamiento de esteconjunto de obleas resulta especialmente engorroso dado el reducido ta-maño de malla necesario para caracterizar correctamente el campo detensiones en las proximidades de los agujeros. Se realizan varias hipóte-sis simpli�cativas y la comparación de los resultados con un grupo dereferencia demuestra que el procedimiento es válido.

Se propone un método de estudio simpli�cado para el análisis de obleasEWT basado en la aplicación de super�cies de intensi�cación de ten-siones. Se presenta una super�cie de intensi�cación de tensiones parala con�guración del ensayo y la posterior aplicación de esta super�ciedemuestra su validez.

9.2. Desarrollos futuros

El trabajo realizado deja abierta futuras líneas de investigación y planteadiferentes posibilidades a las escogidas durante el desarrollo de la tesis. Acontinuación se citan algunas de ellas:

El planteamiento del estudio a partir del método directo. Consiste encaracterizar la resistencia del material a partir del tamaño máximo dedefecto. Para llevarlo a cabo convendría tener más información acerca

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9.2 Desarrollos futuros

de los defectos: población, tamaño, tipos de defecto, etc. También esnecesario conocer los valores la tenacidad a fractura del material y vercómo llevar a cabo el estudio teniendo en cuenta la existencia de losplanos de cristalográ�cos con diferente dureza en el cristal de silicio y losbordes de grano en las obleas multicristalinas.

Establecer un criterio de fallo no fenomenológico para el caso de tensionesmultiaxiales. En esta tesis se ha empleado el Principio de las Acciones In-dependientes que no tiene en cuenta la tensión tangencial y que consideraque cada una de las tensiones principales actua de manera independien-te. La aplicación de criterios basados en la mecánica de la fractura tieneasociados los mismo problemas que se plantean a la hora de utilizar elmétodo directo: la necesidad de tener mayor información de los defectosy analizar cómo plantear el problema de los planos cristalográ�cos y losbordes de grano. También podría ser posible aplicar otros criterios fe-nomenológicos y comparar los resultados con los obtenidos al aplicar elPIA.

Aplicar el método de los bootstrap para determinar los intervalos decon�anza de los parámetros obtenidos en el ajuste de los resultados auna función de distribución de Weibull triparamétrica. Otra posibilidadpuede ser aplicar el método de máxima verosimilitud para ajustar losresultados ya que así es posible obtener los también los intervalos decon�anza.

Analizar la falta de ajuste a una función de Weibull triparamétrica paralos resultados obtenidos a través de ensayos �ring-on-ring�. El ajuste delos datos incluidos en la cola de interés permite determinar los parámetrospero se observa que en los ensayos de �exión en cuatro puntos y en losgrupos de obleas con grietas del proceso de corte, la función obtenidaes válida para todos los puntos. Sin embargo, cuando se eliminan lasgrietas del proceso de corte, para tensiones altas los puntos se alejan dela función de Weibull determinada por los datos de la cola de interés. Sepiensa que puede ser debido al problema de datos confundidos: diferentestipos de defectos están provocando el fallo.

Aproximar de manera analítica la super�cie de intensi�cación de ten-siones para el caso de obleas EWT. Se han comprobado las ventajas entérminos computacionales que presenta la aplicación de las super�ciesde intensi�cación de tensiones en el análisis de obleas perforadas, de-mostrando además su validez. El siguiente paso consiste en la de�niciónanalítica de esta super�cie para obtener de manera instantánea el campode tensiones ampli�cado debido a la presencia de los ori�cios.

161


162

Parte V

Apéndices

163

Apéndice A

Elasticidad lineal para mediosanisótropos

Con temperatura constante y con una velocidad de aplicación de la car-ga su�cientemente pequeña para que no haya efectos dinámicos, se dice queel comportamiento del material es elástico en un contexto de pequeñas de-formaciones cuando el tensor de tensiones depende únicamente del tensor dedeformaciones (A.1) y en la descarga se recupera el estado inicial.

σ = σ (ε) (A.1)

σ es el tensor de tensiones y ε el tensor de deformaciones, de�nidos como:

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

ε =

ε11 ε12 ε13

ε21 ε22 ε23

ε31 ε32 ε33

(A.2)

Hay que tener en cuenta que ambos tensores son simétricos, cumpliéndosela igualdad de tensiones tangenciales y deformaciones angulares

σij = σji εij = εji (i 6= j) (A.3)

Si se realiza el desarrollo en serie de Taylor de la función σ alrededor deun estado de reposo 0, se tiene:

σij = σij(ε0kl)

+∂σij∂εkl

∣∣∣∣εkl=ε

0kl

(εkl − ε0kl

)+ . . . (A.4)

Suponiendo que en el estado de reposo 0 tanto las deformaciones como lastensiones son nulas, la contribución lineal es:

σij ≈∂σij∂εkl

εkl (A.5)

165

Elasticidad lineal para medios anisótropos

Donde se puede de�nir Cij =∂σij∂εkl

como los términos del tensor de cons-tantes elásticas. Por lo tanto, la ecuación constitutiva de este comportamientoes:

σ = C ε (A.6)

El tensor de constantes elásticas es un tensor de cuarto orden (34 = 81términos) que relaciona los tensores de tensiones y deformaciones que son detercer orden (33 = 9 términos cada uno). Por lo tanto, para de�nir el com-portamiento elástico del material se precisa conocer los 81 términos del tensorde constantes elásticas. Sin embargo, debido a la simetría de los tensores detensiones y deformaciones (A.3), se cumple que:

Cijkl = Cjikl = Cijlk (A.7)

lo que reduce de 81 a 36 los coe�cientes diferentes que hay que determinar.Si estos coe�cientes son constantes, la relación lineal se denomina ley de Hookegeneralizada y se dice que el material es homogéneo.

Por otro lado, teniendo en cuenta que no se consideran para el materialfenómenos disipativos, la energía interna solo depende de las deformaciones enel material por lo que se denomina también energía elástica. Esta energía esigual al trabajo de las fuerzas aplicadas y se puede expresar en función de lastensiones y deformaciones:

UT =

∫∫∫V

(σ11dε11 + σ22dε22 + σ33dε33 + σ23dε23 + σ13dε13 + σ12dε12) dV

(A.8)La expresión anterior es válida para la energía total del sólido pero puesto

que es igual a la suma de la energía de cada uno de los diferenciales de volumenque componen el sólido, se tiene que:

dU = σ11dε11 + σ22dε22 + σ33dε33 + σ23dε23 + σ13dε13 + σ12dε12 (A.9)

Al ser la función de energía elástica una función de estado, su diferencial tie-ne que ser exacto. Como es función de las deformaciones (U = f (εij) i, j = 1 . . . 3),la ecuación anterior debe ser equivalente a:

dU =∂U

∂ε11

dε11 +∂U

∂ε22

dε22 +∂U

∂ε33

dε33 +∂U

∂ε23

dε23 +∂U

∂ε13

dε13 +∂U

∂ε12

dε12 (A.10)

Identi�cando coe�cientes se tiene que:

σij =∂U

∂εij(A.11)

De esta manera se tiene que los coe�cientes recíprocos del tensor de cons-tantes elásticas son iguales:

Cijkl =∂σij∂εkl

=∂2U

∂εij∂εkl=

∂2U

∂εkl∂εij= Cklij (A.12)

166

por lo que el número de constantes que de�nen el comportamiento de losmateriales elásticos es 21. Para poder representar la ley de Hooke generalizadaen forma matricial, interesa describir los elementos de los tensores de tensióny deformación con un solo subíndice, de�niéndolos como sigue:

σ1 = σ11 σ4 = σ23 = σ32

σ2 = σ22 σ5 = σ31 = σ13

σ3 = σ33 σ6 = σ12 = σ21

ε1 = ε11 ε4 = ε23 = ε32

ε2 = ε22 ε5 = ε31 = ε13

ε3 = ε33 ε6 = ε12 = ε21

(A.13)

Quedando por lo tanto:σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16

C21 C22 C23 C24 C25 C26

C31 C32 C33 C34 C35 C36

C41 C42 C43 C44 C45 C46

C51 C52 C53 C54 C55 C56

C61 C62 C63 C64 C65 C66

ε1ε2ε3ε4ε5ε6

(A.14)

Hay que remarcar que la matriz simétrica (Cαβ = Cβα) de 21 componentesdiferentes no es un tensor sino que es la representación matricial del tensor decuarto orden de constantes elásticas.

Dependiendo de las simetrías de la estructura cristalográ�ca, el númerode constantes independientes que describen el comportamiento del materialserá reducido. El caso de máxima anisotropía (las 21 constantes elásticas inde-pendientes) se da para monocristales de sustancias que pertenecen al sistematriclínico. En la mayoría de los casos, sin embargo, los cristales exhiben regula-ridades que dan lugar a un grado menor de anisotropía. Se tiene, por lo tanto,que en función del sistema cristalino el nivel de anisotropía es menor segúnel siguiente orden: triclínico, monoclínico, ortorrómbico, tetragonal, trigonal,hexagonal y cúbico.

La disminución del grado de anisotropía es consecuencia de la existenciade simetrías en el sistema cristalográ�co. Los cristales cúbicos como el silicio,se caracterizan por tener todos los ejes de la celda unidad iguales (a = b = c)y los ángulos iguales (α = β = γ = 90◦). Por lo tanto, giros de 90◦ alrededorde cualquier eje no modi�can las propiedades del cristal. Se dice, en este caso,que para los ejes x1, x2 y x3 de los cristales cúbicos se tiene una simetría decuarto orden, de�niendo el orden N de la simetría como el valor N = 2π/θ.A continuación se va a ver la in�uencia de las simetrías alrededor de los ejesen la reducción de constantes independientes del tensor de constantes elásticas[57].

Giros alrededor de x1 : π2

La matriz de rotación para pasar del sistema de ejes Cartesiano 0x1x2x3 alsistema 0x′1x

′2x′3 se muestra en la Figura A.1.

167


Figura A.1: Giro π/2 alrededor de x1

Los componentes del tensor de tensiones y del tensor de deformaciones(usando la notación con un sólo subíndice) para este nuevo sistema de referen-cia son: σ′1 σ′6 σ′5

σ′6 σ′2 σ′4σ′5 σ′4 σ′3

=

1 0 00 0 10 -1 0

σ1 σ6 σ5

σ6 σ2 σ4

σ5 σ4 σ3

1 0 00 0 -10 1 0

=

σ1 σ5 −σ6

σ5 σ3 −σ4

−σ6 −σ4 σ2

(A.15)

ε′1 ε′6 ε′5ε′6 ε′2 ε′4ε′5 ε′4 ε′3

=

1 0 00 0 10 -1 0

ε1 ε6 ε5ε6 ε2 ε4ε5 ε4 ε3

1 0 00 0 -10 1 0

=

ε1 ε5 −ε6ε5 ε3 −ε4−ε6 −ε4 ε2

(A.16)

Se tiene por lo tanto que para los ejes 0x1x2x3

σ1 = C11ε1 + C12ε2 + C13ε3 + C14ε4 + C15ε5 + C16ε6 (A.17)

Mientras que para los ejes 0x′1x′2x′3, bajo la condición de que el eje x1 es un

eje de simetría del sistema y, por lo tanto, los coe�cientes Cαβ no cambian, setiene que

σ′1 = C11ε′1 + C12ε

′2 + C13ε

′3 + C14ε

′4 + C15ε

′5 + C16ε

′6 (A.18)

De acuerdo a las ecuaciones (A.15) y (A.16), se tiene que la relación entretensiones y deformaciones en cada uno de los sistemas de ejes cartesianos es:

σ′1 = σ1 σ′4 = −σ4

σ′2 = σ3 σ′5 = −σ6

σ′3 = σ2 σ′6 = σ5

(A.19)

168

ε′1 = ε1 ε′4 = −ε4ε′2 = ε3 ε′5 = −ε6ε′3 = ε2 ε′6 = ε5

(A.20)

Se van a desarrollar a continuación cada uno de los elementos de la ecuación(A.19) donde hay que tener en cuenta las relaciones mostradas en (A.20).

σ′1 = σ1

σ′1 = C11ε′1 + C12ε

′2 + C13ε

′3 + C14ε

′4 + C15ε

′5 + C16ε

′6

= C11ε1 + C12ε3 + C13ε2 − C14ε4 − C15ε6 + C16ε5

σ1 = C11ε1 + C12ε2 + C13ε3 + C14ε4 + C15ε5 + C16ε6

C12 = C13 C14 = 0 C15 = C16 = 0

σ′2 = σ3

σ′2 = C21ε′1 + C22ε

′2 + C23ε

′3 + C24ε

′4 + C25ε

′5 + C26ε

′6

= C21ε1 + C22ε3 + C23ε2 − C24ε4 − C25ε6 + C26ε5

σ3 = C31ε1 + C32ε2 + C33ε3 + C34ε4 + C35ε5 + C36ε6

C21 = C31 C22 = C33 C23 = C32

−C24 = C34 − C25 = C36 C26 = C35

σ′3 = σ2

σ′3 = C31ε′1 + C32ε

′2 + C33ε

′3 + C34ε

′4 + C35ε

′5 + C36ε

′6

= C31ε1 + C32ε3 + C33ε2 − C34ε4 − C35ε6 + C36ε5

σ2 = C21ε1 + C22ε2 + C23ε3 + C24ε4 + C25ε5 + C26ε6

C31 = C21 C32 = C23 C33 = C22

−C34 = C24 − C35 = C26 C36 = C25

σ′4 = −σ4

σ′4 = C41ε′1 + C42ε

′2 + C43ε

′3 + C44ε

′4 + C45ε

′5 + C46ε

′6

= C41ε1 + C42ε3 + C43ε2 − C44ε4 − C45ε6 + C46ε5

−σ4 = −C41ε1 − C42ε2 − C43ε3 − C44ε4 − C45ε5 − C46ε6

C41 = C42 = C43 = C45 = C46 = 0

169


σ′5 = −σ6

σ′5 = C51ε′1 + C52ε

′2 + C53ε

′3 + C54ε

′4 + C55ε

′5 + C56ε

′6

= C51ε1 + C52ε3 + C53ε2 − C54ε4 − C55ε6 + C56ε5

−σ6 = −C61ε1 − C62ε2 − C63ε3 − C64ε4 − C65ε5 − C66ε6

C51 = −C61 C52 = −C63 C53 = −C62

C54 = C64 C55 = C66 C56 = −C65

σ′6 = σ5

σ′6 = C61ε′1 + C62ε

′2 + C63ε

′3 + C64ε

′4 + C65ε

′5 + C66ε

′6

= C61ε1 + C62ε3 + C63ε2 − C64ε4 − C65ε6 + C66ε5

σ5 = C51ε1 + C52ε2 + C53ε3 + C54ε4 + C55ε5 + C56ε6

C61 = C51 C62 = C53 C63 = C52

−C64 = C54 − C65 = C56 C66 = C55

Por lo tanto, juntando todas las condiciones que deben cumplir los coe�-cientes Cαβ al girar el eje de simetría x1 un ángulo de π/2, se tiene que lamatriz de tensores elásticos tiene la forma (A.21).

C11 C12 C12 0 0 0C21 C22 C23 C24 0 0C21 C23 C22 −C24 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C55 C56

0 0 0 0 C56 C55

(A.21)

Puede verse que se tienen 9 constantes independientes que teniendo encuenta las simetrías (C12 = C21 C24 = C42 = 0) se reduce a 7 constantes dife-rentes y distintas de cero.

Siguiendo este razonamiento para los giros de valor π/2, π y 3π/2 en lostres ejes de simetría del cristal, se llega a la forma (A.22) que representa loscoe�cientes distintos de cero propio de los sistemas cúbicos.

C11 C12 C12 0 0 0C12 C11 C12 0 0 0C12 C12 C11 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C44

(A.22)

170

En función de los valores de las constantes C11, C12 y C44, el cristal cúbicotendrá un comportamiento isótropo o anisótropo.

La consideración de isotropía de los materiales viene dada a nivel macros-cópico ya que pese a que el monocristal sea anisótropo, la disposición aleatoriade los monocristales unido al reducido tamaño del cristal (puede llegar a habermillones en un mm3) hace que no haya direcciones preferentes de rigidez anivel macroscópico. Esta equivalencia elástica en todas las direcciones implicaque los planos xy, xz e yz sean también planos de simetría, reduciendo de 3 a2 el número de constantes elásticas. Estas 2 constantes de�niendo el compor-tamiento elástico de materiales isótropos pueden ser, por ejemplo, el módulode elasticidad o módulo de Young E y el coe�ciente de Poisson ν (A.23) o lasconstantes de Lamé λ y G(A.24).

Cij = E(1+ν)(1−2ν)

1− ν ν ν 0 0 0ν 1− ν ν 0 0 0ν ν 1− ν 0 0 00 0 0 1−2ν

20 0

0 0 0 0 1−2ν2

00 0 0 0 0 1−2ν

2

(A.23)

Cij =

λ+ 2G λ λ 0 0 0λ λ+ 2G λ 0 0 0λ λ λ+ 2G 0 0 00 0 0 G 0 00 0 0 0 G 00 0 0 0 0 G

(A.24)

Como puede verse, en los materiales isótropos se cumple la siguiente re-lación entre las constantes independientes del tensor de constantes elásticas:2C44 = C11 − C12. Se de�ne por lo tanto el parámetro de anisotropía A según(A.25) teniendo un valor A = 1 para materiales isótropos.

A =2C44

C11 − C12

(A.25)

Para el caso de obleas monocristalinas la consideración de isotropía no esválida ya que el lingote mantiene las direcciones originales del cristal.

171


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