"Propuesta normalizada de diseo para puentes urbanos con trabes cajn en el Distrito Federal" INDICE PGINA OBJETIVOSI INTRODUCCINII-III CAPITULO 1.- CONCRETO PRESFORZADO.1-17 1.1Conceptos bsicos. 1.2Materiales. CAPITULO 2.- PERDIDA DE LA FUERZA DE PRESFUERZO18-35 2.1 Prdidas instantneas. 2.2Prdidas dependientes del tiempo o diferidas. 2.3Estimacin aproximada de la suma total de las prdidasdependientes del tiempo. CAPITULO 3. DISEO36-51 3.1 Esfuerzos de adherencia, longitud de transferencia y longitudde desarrollo. 3.2 Estado de esfuerzos. 3.3 Proceso de diseo. 3.4 Separacin y recubrimiento del acero. CAPITULO 4. EJEMPLO DE DISEO.52-65 CONCLUSIONES66-67 REFERENCIA BIBLIOGRFICA68-69

I OBJETIVOS Objetivo general: Proponer las herramientas necesarias y adecuadas para el diseo de puentes urbanos con trabes cajn en elDistrito Federal en basea la reglamentacin existente, AASHTO, NTC del RCDF, principalmente, misma que considere las caractersticas del concreto presforzado, la estimacin de prdidas de presfuerzo y consideraciones tcnicas de diseo.. Objetivos especficos: 1.Determinar las caractersticas principales del concreto presforzado. 2.Estimar las prdidas de la fuerza de presfuerzo segn diferentes reglamentos. 3.Determinar las caractersticas de diseo de puentes con trabes cajn. 4.Aplicar los conceptos de diseo en un ejemplo de un puente con trabes cajn. 1www.ingenieriacivil.cjb.net CAPITULO 1. CONCRETO PRESFORZADO

1.1 CONCEPTOS BSICOS1.1.1DEFINICIN DE PRESFUERZO Elpresfuerzosignificalacreacinintencionaldeesfuerzospermanentesenunaestructuraoconjuntode piezas,conelpropsitodemejorarsucomportamientoyresistenciabajocondicionesdeservicioyde resistencia.Losprincipiosytcnicasdelpresforzadosehanaplicadoaestructurasdemuchostiposy materiales, la aplicacin ms comn ha tenido lugar en el diseo del concreto estructural. El concepto original del concreto presforzado consisti en introducir en vigas suficiente precompresin axial para que se eliminaran todos los esfuerzos de tensin que actuarn en el concreto. Con la prctica y el avance enconocimiento,se ha visto queestaideaesinnecesariamenterestrictiva,pues pueden permitirseesfuerzos de tensin en el concreto y un cierto ancho de grietas. El ACI propone la siguiente definicin:Concretopresforzado:Concretoenelcualhansidointroducidosesfuerzosinternosdetalmagnitudy distribucin que los esfuerzos resultantes debido a cargas externas son contrarrestados a un grado deseado En elementos de concreto reforzado el presfuerzo es introducido comnmente tensando el acero de refuerzo. Dosconceptosocaractersticasdiferentespuedenseraplicadosparaexplicaryanalizarelcomportamiento bsicodelconcretopresforzado.Esimportantequeeldiseadorentiendalosdosconceptosparaquepueda proporcionar y disear estructuras de concreto presforzado con inteligencia y eficacia. Primerconcepto-Presforzarparamejorarelcomportamientoelsticodelconcreto.Esteconceptotrataal concretocomounmaterialelsticoyprobablementeestodavaelcriteriodediseomscomnentre ingenieros. El concreto es comprimido (generalmente por medio de acero con tensin elevada) de tal forma que sea capaz de resistir los esfuerzos de tensin. Desde este punto de vista el concreto est sujeto a dos sistemas de fuerzas: presfuerzo interno y carga externa, con los esfuerzos de tensin debido a la carga externa contrarrestados por los esfuerzos de compresin debido alpresfuerzo.Similarmente,elagrietamientodelconcretodebidoalacargaescontrarrestadoporla precompresinproducidaporlostendones.Mientrasquenohayagrietas,losesfuerzos,deformacionesy deflexionesdelconcretodebidoalosdossistemasdefuerzaspuedenserconsideradosporseparadoy superpuestos si es necesario. En su forma ms simple, consideremos una viga rectangular con carga externa y presforzada por un tendn a travs de su eje centroidal (Figura 1). 2 P Eje neutroAnclajes P Figura 1. Distribucin de esfuerzos a travs de una seccin de concreto presforzada concntricamente Debido al presfuerzo P, un esfuerzo uniforme se producir a travs de la seccin que tiene un rea A: A P f / = 1.1 SiMeselmomentoexternoenunaseccindebidoalacargayalpesodelaviga,entonceselesfuerzoen cualquier punto a travs de la seccin debido a M es: IMyf = 1.2 dndeyesladistanciadesdeejecentroidaleIeselmomentodeinerciadelaseccin.Asladistribucin resultante de esfuerzo est dada por: IMyAPf = 1.3 como se muestra en la Figura 1. Latrabeesmseficientecuandoeltendnescolocadoexcntricamenteconrespectoalcentroidedela seccin, Figura 2, donde e es la excentricidad. e PP 3 Figura 2. Distribucin de esfuerzo a travs de una seccin de concreto presforzado excntricamente Debidoaunpresfuerzoexcntrico,elconcretoessujetotantoaunmomentocomoaunacargadirecta.El momento producido por el presfuerzo es Pe, y los esfuerzos debido a ste momento son: IPeyf = 1.4 As, la distribucin de esfuerzo resultante est dada por: IMyIPeyAPf = 1.5 Como se muestra en la figura 2. Segundo concepto - presforzar para aumentar laresistencia ltima del elemento. Este concepto es considerar al concreto presforzado como una combinacin de acero y concreto, similar al concreto reforzado, con acero tomandotensinyconcretotomandocompresindetalmaneraquelosdosmaterialesformenunpar resistentecontraelmomentoexterno(Figura3).Estoesgeneralmenteunconceptofcilparaingenieros familiarizados con concreto reforzado. En el concreto presforzado se usa acero de alta resistencia que tendr que fluir (siempre y cuando la viga sea dctil) antes de que su resistencia sea completamente alcanzada. Si el acero de alta resistencia es simplemente embebidoenelconcreto,comoenelrefuerzoordinariodeconcreto,elconcretoalrededortendrque agrietarse antes de que la resistencia total del acero se desarrolle (Figura 4). 4Figura 3. Viga de concreto a) Simplemente reforzada - grietas y deflexiones excesivas b) Presforzada sin grietas y con pequeas deflexiones De aqu que es necesario pre-estirar o presforzar al acero. Presforzando y anclando al acero contra el concreto, seproducenesfuerzosdeseables.Estosesfuerzospermitenlautilizacinsegurayeconmicadelosdos materiales para claros grandes lo cual no puede lograrse en el concreto simplemente reforzado. 0- ePe0PeeMOMENTOS FLEXIONANTESViga Condicin D.M.F. ( w ) D.M.F. ( P ) D.M.F. (t ot al)I + =II + =III + =W+ +PE.N.+-PW+-PWFigura 4. Momentos flexionantes a lo largo de vigas presforzadas simplemente apoyadas ESFUERZOSAL CENTRO DEL CLARO EN EL EXTREMOViga Condicin Carga( W )PresfuerzoAx ialPresfuerzoEx cntricoTotalCarga( W )PresfuerzoAx ialPresfuerzoEx cntricoTotalI - + 0 = 0 - + 0=II - + = 0 - + =III - + = 0 - + 0=WPPWPW Figura 5. Esfuerzos al centro del claro y en los extremos de vigas simplemente apoyadas con y sin presfuerzo En la Figura 4 se muestran como ejemplo los diagramas de momentos debidos a carga vertical y al presfuerzo paraunavigasimplementeapoyada.Lacargaverticaleslamismaparalostrescasosquesemuestran;sin embargo,losdiagramasdemomentodebidosalafuerzadepresfuerzosondistintos.LavigaItiene presfuerzoaxial,esdecir,elcentrodegravedaddelostoronesseencuentraenelejeneutrodelaseccin. Aparentemente,noexisteventajaalgunaalcolocarpresfuerzoaxial.LavigaIImuestraundiagramade momento constante debido a que el presfuerzo se aplica con excentricidad y su trayectoria es recta a lo largo de toda la viga; en los extremos no existe momento por cargas que disminuya la accin del presfuerzo, por lo que ste se deber suprimir con encamisados o dispositivos similares. Por ltimo, en la viga III se tiene una 5distribucin de momentos debidos al presfuerzo similar a la curva debida a la carga vertical; el presfuerzo as colocado contrarresta el efecto de las cargas en cada seccin de la viga. LaFigura5muestralosdiagramasdeesfuerzoparalasmismasvigastantoalcentrodelclarocomoenlos extremos.Alcentrodelclaroseapreciaqueelcomportamientodelaprimervigamejoraconelpresfuerzo aunque sea slo axial ya que las tensiones finales que se presentan en la fibra inferior son menores que para unavigasinpresforzar;paralasotrasdosvigasestosesfuerzossontodavamenoresporelmomento provocado por el presfuerzo excntrico. En los extremos, la primer y tercer vigas presentan esfuerzos slo de compresin, mientras que la viga II presenta esfuerzos de tensin y compresin, estos ltimos mayores a los de las otras dos vigas debido a la existencia de presfuerzo excntrico. 1.1.2 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL CONCRETO PRESFORZADO Ventajas Setieneuna mejoradelcomportamientobajolacargadeservicio porelcontroldelagrietamientoyla deflexin Permite la utilizacin de materiales de alta resistencia Elementos ms eficientes y esbeltos, menos material Mayorcontroldecalidaden elementospretensados (produccinenserie).Siempresetendr uncontrol de calidad mayor en una planta ya que se trabaja con ms orden y los trabajadores estn ms controlados Mayorrapidezenelementospretensados.Elfabricarmuchoselementosconlasmismasdimensiones permite tener mayor rapidez Desventajas Serequieretransporteymontajeparaelementospretensados.Estopuedeserdesfavorablesegnla distancia a la que se encuentre la obra de la planta Mayor inversin inicial Diseo ms complejo y especializado (juntas, conexiones, etc) Planeacin cuidadosa del proceso constructivo, sobre todo en etapas de montaje. Detalles en conexiones, uniones y apoyos 1.1.3 CLASIFICACIN Y TIPOS Pretensado El trmino pretensado se usa para describir cualquier mtodo de presforzado en el cual los tendones se tensan antes de colocar el concreto. Los tendones, que generalmente son de cable torcido con varios torones de variosalambres cada uno, se re-estiran o tensan entre apoyos que forman parte permanente de las instalaciones de la planta, como se ilustra en la Figura 6. Se mide el alargamiento de los tendones, as como la fuerza de tensin aplicada por los gatos. 6 Figura 6. Fabricacin de un elemento pretensado Conlacimbraensulugar,sevacaelconcretoentornoaltendnesforzado.Amenudoseusaconcretode altaresistenciaacortotiempo,alavezquecuradoconvapordeagua,paraacelerarelendurecimientodel concreto.Despusdehaberselogradosuficienteresistencia,sealivialapresinenlosgatos,lostorones tienden a acortarse, pero no lo hacen por estar ligados por adherencia al concreto. En esta forma, la forma de presfuerzo es transferida al concreto por adherencia, en su mayor parte cerca de los extremos de la viga, y no se necesita de ningn anclaje especial. Caractersticas: 1.Pieza prefabricada 2.Elpresfuerzo se aplica antes que las cargas 3.El anclaje se da por adherencia 4.La accin del presfuerzo es interna 5.El acero tiene trayectorias rectas 6.Las piezas son generalmente simplemente apoyadas (elemento esttico) Postensado Contrario al pretensado el postensado es un mtodo de presforzado en el cual el tendn que va dentro de unos conductosestensadodespusdequeelconcretohafraguado.Aselpresfuerzoescasisiempreejecutado externamentecontraelconcretoendurecido,ylostendonesseanclancontraelconcretoinmediatamente despusdelpresforzado.Estmtodopuedeaplicarsetantoparaelementosprefabricadoscomocoladosen sitio. Generalmentesecolocanenlosmoldesdelavigaconductoshuecosquecontienenalostendonesno esforzados, y que siguen el perfil deseado, antes de vaciar el concreto, como se ilustra en la siguiente figura: Figura 7. Fabricacin de un elemento postensado 7 Caractersticas: 1.Piezas prefabricadas o coladas en sitio. 2.Se aplica el presfuerzo despus del colado. 3.El anclaje requiere de dispositivos mecnicos. 4.La accin del presfuerzo es externa. 5.La trayectoria de los cables puede ser recta o curva. 6.La pieza permite continuidad en los apoyos (elemento hiperesttico). Elementos pre y postensados Hayocasionesenquesedeseanaprovecharlasventajasdeloselementospretensadosperonoexiste suficiente capacidad en las mesas de colado para sostener el total del presfuerzo requerido por el diseo del elemento;enotras,porlascaractersticasparticularesdelaobra,resultaconvenienteaplicarunapartedel presfuerzodurantealgunaetapaposterioralafabricacin.Almenosanteestasdossituaciones,esposible dejar ahogados ductos en el elemento pretensado para postensarlo despus, ya sea en la planta, a pie de obra o montado en el sitio. 1.1.4 ESTADOS DE CARGA Una de las peculiares consideraciones en el concreto presforzado es la diversidad de los estados de carga a los cuales el miembro o estructura es sujeto. Para estructuras coladas en sitio, el concreto presforzado tiene que disearse por lo menos para dos estados de carga: el estado inicial durante el presforzado y el estado final bajo las cargas externas. Para elementos prefabricados, un tercer estado por transporte debe revisarse. Durante cada uno de estos estados, hay diferentes etapas en las cuales la estructura puede estar bajo diferentes condiciones (Referencia 7). Estado inicial. El elemento est bajo presfuerzo pero no est sujeto a ninguna carga externa superpuesta. Este estado puede dividirse en los siguientes periodos: Durante el tensado. Esta es una prueba crtica para la resistencia de los tendones. Generalmente, el mximo esfuerzo al cual los tendones estarn sujetos a travs de su vida ocurre en ste periodo. Para el concreto, las operaciones de presforzado imponen varias pruebas en la produccin de la resistencia en los anclajes. Debido aqueelconcretonotienelaresistenciaespecificadaenelmomentoenelqueelpresfuerzoesmximo,es posible la trituracin del concreto en los anclajes si su resistencia no es adecuada. En la transferencia del presfuerzo. Para elementos pretensados, la transferencia del presfuerzo se hace en una operacin y en un periodo muy corto. Para elementos postensados, la transferencia es generalmente gradual, y elpresfuerzoenlostendonespuedesertransferidoalconcretounoporuno.Enamboscasosnohaycarga externa en el elemento excepto su peso en el caso del postensado. Estadointermedio.Esteeselestadodurantelatransportacinymontaje.Ocurresloparaelementos prefabricados cuando son transportados al sitio y montados es su lugar. Es muy importante asegurar que los miembrosseanmanejadosysoportadosapropiadamenteentodomomento.Porejemplo,unavigasimple diseada para sersoportada ensusesquinasseromperfcilmentesiselevanta porelcentro.Noslo debe ponerseatencinduranteelmontajedelelemento,sinotambincuandoseleagreguenlascargasmuertas superpuestas. Estadofinal.Comoparaotrostiposdeestructuras,eldiseadordebeconsiderarvariascombinacionesde cargas vivas en diferentes partes de la estructura con cargas laterales tales como fuerzas de viento y sismo, y 8cargasporesfuerzostalcomoaquellasproducidasporasentamientosdeapoyosyefectosdetemperatura. Para estructuras presforzadas de concreto, especialmente los tipos no convencionales, es usualmente necesario investigar sus cargas ltimas y de agrietamiento, su comportamiento bajo sus cargas reales de sostenimiento en adicin a la carga de trabajo. Esto es como sigue: Cargaspermanentes.Lacurvaturaodeflexindeunelementopresforzadobajocargaspermanentes generalmente es un factor controlante en el diseo, debido a que el efecto de la flexin aumentar su valor. De aqu que es deseable limitar la curvatura o deflexin bajo estas cargas. Cargadetrabajo.Paradisearparalacargadetrabajohayunarevisinenlosesfuerzosydeformaciones excesivas. No es necesariamente una garanta de resistencia suficiente para las sobrecargas. Cargadeagrietamiento.Elagrietamientoenunelementodeconcretopresforzadosignificauncambio repentino en los esfuerzos de cortante y unin. A veces es una medida de la resistencia a la fatiga. Cargaltima.Lasestructurasdiseadasbajolabasedeesfuerzosdetrabajopuedennosiempretenerun margen suficiente para sobrecargas. Esto es verdad, por ejemplo, para elementos de concreto presforzado bajo cargasdirectasdetensin.Debidoaqueesdeseablequeunaestructuraposeaunacapacidadmnimade sobrecarga,esnecesariodeterminarsuresistencialtima.Generalmente,laresistencialtimadeuna estructura est definida como la carga mxima que soporta antes del colapso. 1.2 MATERIALES 1.2.1 CONCRETO Concreto de alta resistencia El concreto que se usa en la construccin presforzada se caracteriza por una mayor resistencia que aquel que se emplea en concreto reforzado ordinario. Se le somete a fuerzas ms altas, y por lo tanto un aumento en su calidad generalmente conduce a resultados ms econmicos. El uso de concreto de alta resistencia permite la reduccin de las dimensiones de la seccin de los miembros a un mnimo, lograndose ahorros significativos en carga muerta siendo posible que grandes claros resulten tcnica y econmicamente posibles. Las objetables deflexionesyelagrietamiento,quedeotramaneraestaranasociadosconelempleodemiembrosesbeltos sujetos a elevados esfuerzos, pueden controlarse con facilidad mediante el presfuerzo. Laprcticaactualpideunaresistenciade350a500kg/cm2paraelconcretopresforzado,mientraselvalor correspondiente para el concreto reforzado es de 200 a 250 kg/cm2 aproximadamente. Existen otras ventajas. El concreto de alta resistencia tiene un mdulo de elasticidad ms alto que el concreto debajaresistencia,detalmaneraquesereducecualquierprdidadelafuerzapretensoradebidoal acortamiento elstico del concreto. Las prdidas por flujo plstico que son aproximadamente proporcionales a las prdidas elsticas, son tambin menores (Referencia 13). Alta resistencia en el concreto presforzado es necesaria por varias razones: Primero, para minimizar su costo, los anclajes comerciales para el acero de presfuerzo son siempre diseados conbasedeconcretodealtaresistencia.Deaququeelconcretodemenorresistenciarequiereanclajes especiales o puede fallar mediante la aplicacin del presfuerzo. Tales fallas pueden tomar lugar en los apoyos o en la adherencia entre el acero y el concreto, o en la tensin cerca de los anclajes. 9 Segundo, el concreto de alta resistencia a la compresin ofrece una mayor resistencia a tensin y cortante, as como a la adherencia y al empuje, y es deseable para las estructuras de concreto presforzado ordinario. Por ltimo, otro factor es que el concreto de alta resistencia est menos expuesto a las grietas por contraccin que aparecen frecuentemente en el concreto de baja resistencia antes de la aplicacin del presfuerzo. Para obtener una resistencia de 350 kg/cm2, es necesario usar una relacin agua-cemento no mucho mayor de 0.45 en peso. Con el objeto de facilitar el colado, se necesitara un revenimiento de 5 a 10 cm a menos que se fuera a aplicar el vibrador ms tiempo de lo ordinario. Caractersticas de esfuerzo-deformacin del concreto Enelconcretopresforzado,estanimportanteconocerlasdeformacionescomolosesfuerzos.Estoes necesarioparaestimarlaprdidadepresfuerzoenelaceroyparatenerloencuentaparaotrosefectosdel acortamientoelstico.Talesdeformacionespuedenclasificarseencuatrotipos:deformacioneselsticas, deformaciones laterales, deformaciones plsticas, y deformaciones por contraccin. Deformaciones elsticas Eltrminodeformacioneselsticasesunpocoambiguo,puestoquelacurvaesfuerzo-deformacinparael concreto no es una lnea recta aun a niveles normales de esfuerzo (Figura 8), ni son enteramente recuperables las deformaciones. Pero, eliminando las deformaciones plsticas de esta consideracin, la porcin inferior de lacurvaesfuerzo-deformacininstantnea,queesrelativamenterecta,puedellamarseconvencionalmente elstica. Entonces es posible obtener valores para el mdulo de elasticidad del concreto.El mdulo vara con diversosfactores,notablementeconlaresistenciadelconcreto,laedaddelmismo,laspropiedadesdelos agregadosyelcemento,yladefinicindelmdulodeelasticidadens,sieselmdulotangente,inicialo secante.Anms,elmdulopuedevariarconlavelocidaddelaaplicacindelacargayconeltipode muestra o probeta, ya sea un cilindro o una viga. Por consiguiente, es casi imposible predecir con exactitud el valor del mdulo para un concreto dado. 421.8 351.5 281.2 210.9 140.6 70.3 Esfuerzo unitario kg/cm2 00.51.01.5 2.02.5 3.0 3.5 Deformacin unitaria 10-3. Figura 8. Curva tpica esfuerzo-deformacin para concreto de 350 kg/cm2. 10Del solo estudio de las curvas de esfuerzo-deformacin resulta obvio que el concepto convencional de mdulo deelasticidadnotienesentidoenelconcreto.Porlotanto,esnecesariorecurriradefinicionesarbitrarias, basadas en consideraciones empricas. As, se puede definir el mdulo tangente inicial o tangente a un punto determinado de la curva esfuerzo-deformacin y el mdulo secante entre dos puntos de la misma. Elmdulosecanteseusaenensayesdelaboratorioparadefinirladeformabilidaddeunconcretodado.La ASTM (Referencia 16) recomienda la pendiente de la lnea que une los puntos de la curva correspondiente a una deformacin de 0.00005 y al 40% de la carga mxima. Sehanpropuestomuchasrelacionesqueexpresanelmdulodeelasticidadenfuncindelaresistenciadel concreto. Para concreto tipo I de peso volumtrico: 2cm / kg 200 , 2 c f 000 , 14 Ec =(fc en kg/cm2) (Referencia 4, artculo 11.3.3) Deformaciones laterales Cuando al concreto se le comprime en una direccin, al igual que ocurre con otros materiales, ste se expande enladireccintransversalaladelesfuerzoaplicado.Larelacinentreladeformacintransversalyla longitudinal se conoce como relacin de Poisson. La relacin de Poisson vara de 0.15 a 0.20 para concreto.. Deformaciones plsticas Laplasticidadenelconcretoesdefinidacomodeformacindependientedeltiempoqueresultadela presencia de un esfuerzo. Asidefinimosalflujoplsticocomolapropiedaddemuchosmaterialesmediantelacualelloscontinan deformndoseatravsdelapsosconsiderablesdetiempobajounestadoconstantedeesfuerzoocarga.La velocidad del incremento de la deformacin es grande al principio, pero disminuye con el tiempo, hasta que despus de muchos meses alcanza un valor constante asintticamente (Referencia 7). Se ha encontrado que la deformacin por flujo plstico en el concreto depende no solamente del tiempo, sino que tambin depende de las proporciones de la mezcla, de la humedad, de las condiciones del curado, y de la edaddelconcretoalacualcomienzaasercargado.Ladeformacinporflujoplsticoescasidirectamente proporcional a la intensidad del esfuerzo. Por lo tanto es posible relacionar a la deformacin por flujo plstico con la deformacin elstica inicial mediante un coeficiente de flujo plstico definido tal como sigue: cicuuC= 1.6 Dnde es la deformacin inicial elstica y cicu es la deformacin adicional en el concreto, despus de un periodo largo de tiempo, debida al flujo plstico. 11Deformaciones por contraccin Lasmezclasparaconcretonormalcontienenmayorcantidaddeaguaquelaqueserequiereparala hidratacindelcemento.Estaagualibreseevaporaconeltiempo,lavelocidadylaterminacindelsecado dependendelahumedad,latemperaturaambiente,ydeltamaoyformadelespcimendelconcreto.El secado del concreto viene aparejado con una disminucin en su volumen, ocurriendo este cambio con mayor velocidad al principio que al final. Deestaforma,lacontraccindelconcretodebidaalsecadoyacambiosqumicosdependesolamentedel tiempo y de las condiciones de humedad, pero no de los esfuerzos. Lamagnituddeladeformacindecontraccinvarapormuchosfactores.Porunlado,sielconcretoes almacenadobajoelaguaobajocondicionesmuyhmedas,lacontraccinpuedesercero.Puedehaber expansionesparaalgunostiposdeagregadosycementos.Porotrolado,paraunacombinacindeciertos agregadosycemento,yconelconcretoalmacenadobajocondicionesmuysecas,puedeesperarseuna deformacin grande del orden de 0.001. La contraccin del concreto es algo proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla. De aqu que si sequierelacontraccinmnima,larelacinaguacementoylaproporcindelapastadecementodeber mantenerse al mnimo. La calidad de los agregados es tambin una consideracin importante. Agregados ms duros y densos de baja absorcinyaltomdulodeelasticidadexpondrnunacontraccinmenor.Concretoquecontengapiedra calizaduratendrunacontraccinmenorqueunocongranito,basalto,yareniscadeigualgrado, aproximadamente en ese orden. La cantidad de contraccin vara ampliamente, dependiendo de las condiciones individuales. Parapropsitosdediseo,unvalorpromediodedeformacinporcontraccinserde0.0002a0.0006para las mezclas usuales de concreto empleadas en las construcciones presforzadas. El valor de la contraccin depende adems de las condiciones del ambiente. Concreto ligero El concreto ligero se logra mediante el empleo de agregados ligeros en la mezcla. El concreto ligero ha sido usadodondelacargamuertaesunfactorimportanteyelconcretodepesonormalesmuypesadoparaser prctico.Esunmaterialapropiadoparalaconstruccindepuentesdetrabecajn.Debidoaquelas propiedades fsicas de los agregados normales y ligeros son diferentes, sus factores de diseo tambin varan. Sin embargo, los procedimientos de diseo son idnticos. Elconcretoligerohasidoparticularmentetilenestructurasdevariosniveles,dondeserequierenperaltes mnimos y la ubicacin para las columnas est limitada, y en puentes muy altos donde la carga muerta de la superestructura requiere columnas y estribos excesivamente grandes para resistir las fuerzas ssmicas. El peso reducido del concreto minimiza la cantidad de acero de refuerzo en la superestructura y concreto y acero de refuerzo en la subestructura al grado de que el ahorro en los materiales pueda contrarrestar el ligeramente ms elevado costo de los agregados ligeros. Los esfuerzos por carga muerta en puentes de trabe cajn en voladizo con claros de 230 metros son alrededor del90%delosesfuerzostotales(Referencia14).Esasobvioquereducirlacargamuertaesunenfoque lgico para la construccin de claros grandes ms econmicos. 12Ladeformacindelconcretoesdependientedeltiempodebidoalflujoplsticoyalacontraccin,esde importanciacrucialeneldiseodeestructurasdeconcretopresforzado,debidoaqueestoscambios volumtricosproducenunaprdidaenlafuerzapretensoraydebidoaqueellosproducencambios significativos en la deflexin. 1.2.2 ACERO A) Acero de refuerzo El uso del acero de refuerzo ordinario es comn en elementos de concreto presforzado. Este acero es muy til para oAumentar ductilidad oAumentar resistencia oResistir esfuerzos de tensin y compresin oResistir cortante oResistir torsin oRestringir agrietamiento oReducir deformaciones a largo plazo oConfinar el concreto El acero de refuerzo suplementario convencional (varillas de acero) se usa comnmente en la regin de altos esfuerzos locales de compresin en los anclajes de vigas postensadas. Tanto para miembros postensados como pretensadosesusualproveerlosdevarillasdeacerolongitudinalparacontrolarlasgrietasdecontracciny temperatura.Finalmente,amenudoesconvenienteincrementarlaresistenciaalaflexindevigas presforzadas empleando varillas de refuerzo longitudinales suplementarias (Referencia 13). Lasvarillassepuedenconseguirendimetrosnominalesquevandesde3/8pulg.hasta13/8pulg.,con incrementosde1/8depulg.ytambinendostamaosmsgrandesdemsomenos13/4y21/4pulgde dimetro. Grados de acero Aceroderefuerzodegradosde40y60ksi(2800y4200kg/cm2)sonusadosenlaconstruccindetrabes cajn de concreto (Grfica 1). Ancuandoelrefuerzodegrado60tienemayorrendimientoyresistencialtimaqueeldegrado40,el mdulo de elasticidad del acero es el mismoy aumentar los esfuerzos de trabajo tambin aumenta el nmero total de grietas en el concreto. A fin de superar este problema, los puentes generalmente tienen separaciones menores entre barras. El refuerzo de grado 60 no es tan dctil como el de grado 40 y es ms difcil de doblar (Referencia 14). B) Acero de presfuerzo Existentresformascomunesenlascualesseempleaelacerocomotendonesenconcretopresforzado: alambres redondos estirados en fro, torn y varillas de acero de aleacin. Los alambres y los cables trenzados tienen una resistencia a la tensin de ms o menos 17600 kg/cm2, en tanto que la resistencia de las varillas de aleacin est entre los 10,200 y 11250 kg/cm2 dependiendo del grado. En Mxico casi no se usan las varillas de acero para el presfuerzo. 13Alambres redondos Los alambres individuales se fabrican laminando en caliente lingotes de acero hasta obtener varillas redondas. Despus del enfriamiento, las varillas se pasan a travs de troqueles para reducir su dimetro hasta su tamao requerido.Enelprocesodeestaoperacindeestirado,seejecutatrabajoenfrosobreelacero,locual modifica notablemente sus propiedades mecnicas e incrementa su resistencia. A los alambres se les libera de esfuerzodespusdeestiradoenfromedianteuntratamientocontinuodecalentamientohastaobtenerlas propiedades mecnicas prescritas. Los alambres se consiguen en cuatro dimetros tal como semuestra en la tabla 1.2.1 y en dos tipos. Tabla 1.2.1. Propiedades de Alambres Sin Revestimiento Revelados de Esfuerzo Dimetro nominalMnima resistencia de TensinMnimo esfzo. Para una elongacin de 1%Tipo BATipo WATipo BATipo WA Pulg.mm.Lb/pulg2Kg/cm2Lb/pulg2Kg/cm2Lb/pulg2Kg/cm2Lb/pulg2Kg/cm20.1924.88240,00016,880250,00017,590192,00013,510200,00014,070 0.1964.98240,00016,880250,00017,590192,00013,510200,00014,070 0.2506.35240,00016,880240,00016,880192,00013,510192,00014,070 0.2767.01240,00016,880235,00016,880192,00013,510182,00014,070 Tambinsepuedeconseguiralambresdebajorelajamiento,avecesconocidoscomoestabilizados.Se emplean cuando se quiere reducir al mximo la prdida de presfuerzo. Los tendones estn compuestos normalmente por grupos de alambres, dependiendo el nmero de alambres de cada grupo del sistema particular usado y de la magnitud de la fuerza pretensora requerida. Los tendones para prefabricadospostensadostpicospuedenconsistirde8a52alambresindividuales.Sepuedenemplear tendones mltiples, cada uno de ellos compuesto de grupos de alambres para cumplir con los requisitos. Torones Eltornseusacasisiempreenmiembrospretensados,yamenudoseusatambinenconstruccin postensada.Eltornesfabricadoconsietealambres,6firmementetorcidosalrededordeunsptimode dimetroligeramentemayor.Elpasodelaespiraldetorcidoesde12a16veceseldimetronominaldel cable, teniendo una resistencia a la ruptura garantizada de 17 590 kg/cm2 conocido como grado 250K. Se ha estadoproduciendounaceromsresistenteconocidocomogrado270K,conunaresistenciamnimaala ruptura de 270,000 lb/pulg2 (18,990 kg/cm2). 14 Para los torones se usa el mismo tipo de alambres relevados de esfuerzo y estirados en fro que los que se usan paralosalambresindividualesdepresfuerzo.Sinembargo,laspropiedadesmecnicasseevidencian ligeramentediferentesdebidoalatendenciadelosalambrestorcidosaenderezarsecuandoselessujetaa tensin, debido a que el eje de los alambres no coincide con la direccin de la tensin. Al torn se le releva de esfuerzosmediantetratamientotrmicodespusdeltrenzado.Lostoronesdebajorelajamientosepueden conseguir mediante pedido especial. Lostoronespuedenobtenerseentreunrangodetamaosquevadesde0.25pulgadashasta0.6pulgadasde dimetro. Tabla 1.2.2. Propiedades del torn de 7 alambres sin revestimiento Dimetro NominalResistencia a la rupturarea Nominal delTornCargamnimaparauna elongacin de 1% pulgmmLbkNpulg2mm2LbkN GRADO 2500.2506.359,00040.00.03623.227,65034.0 0.3137.9414,50064.50.05837.4212,30054.7 0.3759.5320,00089.00.08051.6117,00075.6 0.43811.1127,000120.10.10869.6823,000102.3 0.50012.7036,000160.10.14492.9030,600136.2 0.60015.2454,000240.20.216139.3545,900204.2 GRADO 2700.3759.5323,000102.30.08554.8419,55087.0 0.43811.1131,000137.90.11574.1926,550117.2 0.50012.741,300183.70.15398.7135,100156.1 0.60015.2458,600260.70.217140.0049,800221.5 Varillas de acero de aleacin. Enelcasodevarillasdealeacindeacero,laaltaresistenciaquesenecesitaseobtienemediantela introduccindeciertoselementosdeligazn,principalmentemanganeso,silicnycromodurantela fabricacindeacero.Adicionalmenteseefectatrabajoenfroenlasvarillasalfabricarestaspara incrementar an ms su resistencia. Despus de estirarlas en fro, a las varillas se les releva de esfuerzos para obtener las propiedades requeridas. Las varillas de acero de aleacin se consiguen en dimetros que varan de pulgada hasta 13/8 de pulgada, tal como se muestra en la tabla 1.2.3. EnMxicolasvarillascasinoseusanparalafabricacindeelementospresforzados,siendolostoronesde baja relajacin los ms utilizados. 15Tabla 1.2.3. Propiedades de las varillas de acero de aleacin Dimetro nominalrea nominal de la varilla Resistencia a la rupturaMnimacargaparauna elongacin de 0.7% PulgmmPulg2mm2LbkNLbkN GRADO 1451/212.70.19612728,00012525,000111 5/815.880.30719845,00020040,000178 3/419.050.44228564,00028558,000258 7/822.230.60138887,00038778,000347 125.400.785507114,000507102,000454 1 1/828.580.994642144,000641129,000574 1 1/431.751.227792178,000792160,000712 1 3/834.931.485957215,000957193,000859 GRADO 1601/212.70.19612731,00013827,000120 5/815.880.307198949,00021843,000191 3/419.050.44228571,00031662,000276 7/822.230.60138896,00042784,000374 125.400.785507126,000561110,000490 1 1/828.580.994642159,000708139,000619 1 1/431.751.227792196,000872172,000765 1 3/834.931.485958238,0001059208,000926 C) Acero estructural Enmuchoselementosprefabricadosescomnelusodeplacas,ngulosyperfilesestructuralesdeacero. stos son empleados enconexiones, apoyos y como proteccin. El esfuerzo nominal de fluencia de este acero es de 2530 kg/cm2. Malla electrosoldada Por su fcil colocacin, las retculas de alambre o mallas electrosoldadas se emplean comnmente en aletas de trabescajn,dobleteysimilares.Elesfuerzonominaldefluenciaesde5000kg/cm2.Lanominacinms comn de los distintos tipos de malla es como sigue SL x ST - CL / CT EndondeSeslaseparacinenpulgadas,CeselcalibreendireccioneslongitudinalLy transversal T, respectivamente. La malla que ms se utiliza es la 6x66/6. Caractersticas de esfuerzo-deformacin del acero Deformaciones elsticas Lamayoradelaspropiedadesdelosacerosquesondeintersparalosingenierossepuedenobtener directamente de sus curvas de esfuerzo deformacin. Tales caractersticas importantes como el lmite elstico 16proporcional,elpuntodefluencia,laresistencia,laductilidadylaspropiedadesdeendurecimientopor deformacin son evidentes de inmediato. EnlaGrfica1comparamoslascurvasdeesfuerzodeformacinatensindevarillasordinariasconlasde aceros tpicos para el presfuerzo Grfica 1. Curvas comparativas de esfuerzo-deformacin para acero de refuerzo y acero de presfuerzo. En el acero de refuerzo ordinario, tipificados mediante los grados 40 y 60, existe una respuesta inicial elstica hastaunpuntodefluenciabiendefinido,msalldelcual,ocurreunincrementosubstancialenla deformacin sin que venga aparejado un incremento en el esfuerzo. Si se sigue incrementando la carga, esta mesa de fluencia es seguida por una regin de endurecimiento por deformacin, durante el cual se obtiene una relacin pronunciadamente no lineal entre el esfuerzo y la deformacin. Eventualmente ocurrir la ruptura del material,aunadeformacinbastantegrandealrededordel13%paravarillasdegrado60ydel20%para varillas del grado 40. El contraste con los aceros de presfuerzo es notable. Estos no presentan un esfuerzo de fluencia bien definido. Ellmiteproporcionalparacablesredondos(yparacableshechoscontalesalambres)estalrededorde 14,000kg/cm2,osea5veceselpuntodefluenciadelasvarillasdelgrado40.Concargaadicional,los alambres muestran una fluencia gradual, aunque la curva contina elevndose hasta la fractura del acero. . Lasvarillasdealeacintienencaractersticassimilaresaaquellasdelosalambresredondosodeloscables trenzados, pero sus lmites proporcionales y resistencias son de 30 a 40% menores. Elmdulo de elasticidad para las varillas de refuerzo es ms o menos el mismo: 2.04x106 kg/cm2. 17 Losacerosdealtaresistencianopresentanunpuntodefluenciabiendefinido.Sehanpropuestodiversos mtodos arbitrarios para definir el punto de fluencia del acero de alta resistencia. Una forma de calcularlo es tomando el esfuerzo en el cual el elemento tiene una deformacin unitaria de 1%. Otra forma es trazando una paralela a la curva esfuerzo-deformacin en el punto correspondiente al 0.2% de la deformacin unitaria y el esfuerzo de fluencia ser en donde la paralela corte a la curva. Para tales casos se define un punto de fluencia equivalente, como el esfuerzo para el cual la deformacin total tiene un valor de 0.5% para varillas de los grados 40, 50 y 60 y de 0.6% para varillas de grado 75. Paraalambresredondoslisoselmdulodeelasticidadesmsomenoselmismoqueparaelrefuerzo ordinario, esto es, alrededor de 2.04 x 106 kg/cm2. Para torn y para varillas de aleacin el mdulo de elasticidad es ms o menos de 1.9x106 kg/cm2. Deformacin por relajacin Cuando al acero de presfuerzo se le esfuerza hasta los niveles que son usuales durante el tensado inicial y al actuar las cargas de servicio, se presenta una propiedad llamada relajamiento y se define como la prdida de esfuerzoenunmaterialesforzadomantenidoconlongitudconstante.Enlosmiembrosdeconcreto presforzado, el flujo plstico y la contraccin del concreto as como las fluctuaciones de las cargas aplicadas producencambiosenlalongituddeltendn.Sinembargo,cuandosecalculalaprdidaenelesfuerzodel acero debida al relajamiento, se puede considerar la longitud constante. El relajamiento es un fenmeno de duracin indefinida, aunque a una velocidad decreciente y debe tomarse en cuenta en el diseo ya que produce una prdida significativa de la fuerza pretensora. Corrosin y deterioro de trenzas La proteccin por corrosin del acero de presfuerzo es ms crticapara el acero de presfuerzo. Tal precaucin es necesaria debido a que la resistencia del elemento de concreto presforzado est en funcin de la fuerza de tensado,quealavezestenfuncindelreadeltendndepresfuerzo.Lareduccindelreadelacerode presfuerzodebidoalacorrosinpuedereducirdrsticamenteelmomentonominalresistentedelaseccin presforzada, lo cual puede conducir a la falla prematura del sistema estructural. En elementos pretensados la proteccin contra la corrosin se provee con el concreto alrededor del tendn. En elementos postensados, la proteccinsepuedeobtenerinyectandoconlechadaenlosductosdespusdequeelpresforzadoeste completo. Otra forma de deterioro de alambres o trenzas es la corrosin por esfuerzo, que se caracteriza por la formacin degrietasmicroscpicasenelaceroelcualsevuelvefrgilyfalla.Estetipodereduccinenlaresistencia puede ocurrir slo bajo esfuerzos muy altos y, aunque es poco comn, es difcil de prevenir. 18www.ingenieriacivil.cjb.net CAPITULO 2. PRDIDA PARCIAL DE LA FUERZA DE PRESFUERZO INTRODUCCIN A partir de la fuerza de tensado original en un elemento de concreto presforzado se presentarn prdidas que debenconsiderarseparacalcularlafuerzadepresfuerzodediseoefectivaquedeberexistircuandose aplique la carga. Decualquiermodo,lafuerzaefectivanopuedemedirsefcilmente;slosepuededeterminar convencionalmentelafuerzatotalenlostendonesenelmomentodepresforzarlos(presfuerzoinicial).El presfuerzoefectivoesmenorqueelpresfuerzoinicialyaladiferenciaentreestosdosvaloresselellama prdida de la fuerza de presforzado. Lasprdidasenlafuerzadepresfuerzosepuedenagruparendoscategoras:aquellasqueocurren inmediatamente durante la construccin del elemento, llamadas prdidas instantneasy aquellas que ocurren a travs de un extenso periodo de tiempo, llamadas prdidas diferidas o dependientes del tiempo. La fuerza de presfuerzoo fuerza de tensado del gato Pt, puede reducirse inmediatamente a una fuerza inicial Pi debido a las prdidas por deslizamiento del anclaje, friccin, relajacin instantnea del acero, y el acortamiento elstico delconcretocomprimido.Amedidaquetranscurreeltiempo,lafuerzasereducegradualmente,primero rpidamenteyluegolentamente,debidoaloscambiosdelongitudprovenientesdelacontraccinyelflujo plstico del concreto y debido a la relajacin diferida del acero altamente esforzado. Despus de un periodo demuchosmeses,oanaos,loscambiosposterioresenlosesfuerzoslleganaserinsignificantes,yse alcanza una fuerza pretensora constante definida como la fuerza pretensora efectiva o final Pf. Paracalcularlasdiferentesprdidasdepresfuerzoexistendiferentesfrmulasenvarioslibrosyenlos diferentes cdigos de distintos pases. Lasprdidasdepresforzadoenmiembrosconstruidosypresforzadosenunasolaetapa,puedentomarse como: En miembros pretensados: PT = AE+ CC + FP + RE2.1 En miembros postensados PT = FR + DA + AE + CC + FP + RE 2.2 donde: PT = prdida total(kg/cm2) FR = prdida debido a friccin(kg/cm2) DA = prdida debido al deslizamiento del anclaje(kg/cm2) AE = prdida debido al acortamiento elstico (kg/cm2) CC = prdida debido a la contraccin(kg/cm2) FP = prdida debido al flujo plstico del concreto(kg/cm2) RE = prdida debido a la relajacin del acero(kg/cm2) En la Tabla A se muestran los diferentes tipos de prdidas que existen y en que etapa ocurren. 19 Tabla A. Tipos de prdidas de presfuerzo Etapa de ocurrencia Tipo de prdidaElementos pretensadosElementos postensados Deslizamiento del anclaje------En la transferencia Acortamiento elstico del concretoEn la transferenciaAl aplicar los gatos Relajacin instantnea del aceroAntes de la transferencia------ Friccin------Al aplicar los gatos Contraccin del concretoDespus de la transferenciaDespus de la transferencia Flujo plstico del concretoDespus de la transferenciaDespus de la transferencia Relajacin diferida del aceroDespus de la transferenciaDespus de la transferencia 2.1 PRDIDAS INSTANTNEAS 2.1.1DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE En los miembros postensados, cuando se libera la fuerza del gato, la tensin del acero se transfiere al concreto mediante anclajes. Existe inevitablemente una pequea cantidad de deslizamiento en los anclajes despus de la transferencia, a medida en que las cuas se acomodan dentro de los tendones, o a medida en que se deforma el dispositivo de anclaje. La magnitud de la prdida por deslizamiento en los anclajes depender del sistema particular que se use en el presfuerzo o en el dispositivo de anclaje. Conocido el deslizamiento del dispositivo de anclaje especificado, la prdida por deslizamiento en el anclaje se puede calcular con la expresin: EpLLDA= (kg/cm2)2.3 donde: L = cantidad de deslizamiento Ep = mdulo de elasticidad del acero de presfuerzo L = longitud del tendn. L deber ser reducida a L1 cuando exista friccin como sigue: + =KLfLELip12.4 donde: fi = esfuerzo despus de la transferencia = coeficiente de friccin por curvatura intencional (1/rad) K = coeficiente de friccin secundario o de balance (1/m) = suma de los valores absolutos del cambio angular de la trayectoria del acero de presfuerzo a la esquina del gato, o de la esquina ms cercana del gato si el tensado sehace igual en ambas esquinas, en el punto bajo investigacin (rad) 20 Los valores deyK se darn en la Tabla 2.1 y 2.2. La prdida por desplazamiento del cable en el anclaje ser mxima en el anclaje mismo e ir disminuyendo a medida que la friccin contrarresta este deslizamiento, por lo que la trayectoria seguida por la recuperacin de la tensin ser simtrica a la de las prdidas por friccin previamente calculada. El valor del deslizamiento L depende del sistema de anclaje y es proporcionado por el fabricante, pudiendo variar de 1 a 10 mm (Referencia 10). La magnitud de este deslizamiento asumido por el diseo y usado para calcular la prdida de deslizamiento deber mostrarse en los documentos del contrato. En los elementos pretensados se desprecian estas prdidas, al ser pequeas, se acostumbra tensar un poco ms para absorber el deslizamiento. 2.1.2FRICCIN Una prdida de la fuerza de presforzado ocurre entre los elementos postensados debido a la friccinentre los tendonesylosductos.Lamagnituddeestafuerzaesfuncindelaformadeltendnoalineacin,llamado efectoporcurvatura,ydelasdesviacioneslocalesenelalineamientollamadoefectopordeformacinno intencional.Losvaloresdeloscoeficientesdeprdidavaransegneltipodetendnydelaalineacindel ducto. En los miembros postensados, por lo general los tendones se anclan en un extremo y se estiran mediante los gatosdesdeelotro.Amedidaenqueelacerosedeslizaatravsdelducto,sedesarrollalaresistencia friccionante,porloquelatensinenelextremoancladoesmenorquelatensinenelgato.Lasfuerzas friccionantesseconsideranfuncindedosefectos:lacurvaturaintencional(primaria)deltendnyla curvatura (secundaria) no intencional(o balanceo) de la trayectoria especificada del ducto. Figura 2.1. Prdida de presfuerzo debida a la friccin por curvatura. Los coeficientes tpicos de friccin ( y k) para cada uno de estos efectos estn especificados en los criterios de diseo de las Referencias 1, 2, 3, 4 y 5. Las prdidas debidas a la friccin por deformaciones no intencionales del ducto se encontrarn presentes an para los casos de tendones rectos, debido a que en los casos reales el ducto no puede ser perfectamente recto y existe friccin entre los torones. La cantidad de prdidas depende del tipo de tendn y el ducto a emplearse, as como del cuidado que se tome durante la construccin. 21Mientras el tendn se tensa en una esquina con la fuerza P, este tendr friccin con el ducto de tal forma que elesfuerzoen eltendn variardesdeelplano delgato hastalalongitudLdelclarocomosemuestraenla figura 2.1: Fuerza efectivaDistancia desdeel anclajeLL1gradiente de prdidaspor friccinDespus delanclajeAntes deanclarPrdida pordeslizamiento(a) Despus delanclajeAntes delanclaje(b) Figura 2.1 Distribucin del esfuerzo friccionante en el tendn (a)Tensando de un lado (b)Tensando de los dos lados Se puede tensar por los dos lados (Figura 2.1 b),sin embargo, por lo general esto no resulta econmico debido a que se incrementa el costo por el dispositivo de anclaje adicional, la mano de obra y el tiempo adicional. Segn las Referencias 1 y 5 las prdidas debido a la friccin entre el tendn de presforzado y los conductos huecos en elementos postensados se debern calcular con la frmula: 22( )( ) + =KXte 1 f FR (kg/cm2)2.5 donde: ft = esfuerzo en el acero de presfuerzo al aplicar los gatos (kg/cm2) x=longituddeuntendndepresfuerzodelaesquinadelgatoacualquierpuntoenconsideracin (m) K = coeficiente de friccin secundario o de balance (1/m) = coeficiente de friccin primario por curvatura intencional (1/rad) LosvaloresdeKydebernbasarseendatosexperimentalesparalosmaterialesespecificadosydebern mostrarse en los documentos del contrato. En la ausencia de tales datos, un valor dentro de los rangos de k y especificados en la Tabla 2.1 pueden usarse. Estos valores dependen tanto del tipo del ducto como del tipo de acero. Tabla 2.1. Coeficientes de friccin para tendones postensados (Referencia 1). TIPO DE TENDONES Y CUBIERTACoeficiente de deformacin no intencional K (1/m) Coeficiente primario (1/rad) -Tendones en ductos galvanizados rgidos y semirgidosTrenzas de 7alambres 0.00070.05-0.25 -Tendonespre-engrasados,alambresytrenzasde7 alambres 0.001 0.00660.05 - 0.15 -Tendones revestidos de mastique (resina) Alambres y trenzas de 7 alambres 0.0033 0.00660.05 - 0.15 -Tubos desviadores de acero rgido0.00070.25 Lubricacin probablemente requerida Para tendones confinados a un plano vertical, deber tomarse como la sumatoria de los valores absolutos de loscambiosangularessobrelalongitudx.Paratendonescurvosen3dimensiones,elcambioangular tridimensionaltotaldeberobtenersesumando,vectorialmente,elcambioangularverticaltotalv,yel cambio angular horizontal total, h. Lasprdidasporfriccinenaceropostensadoestarnbasadasenloscoeficientes(experimentalmente obtenidos)debalanceoycurvatura,ydebernverificarsedurantelasoperacionesdelosesfuerzos.Los valoresdeloscoeficientesasumidosparaeldiseo,ylosrangosaceptablesdelasfuerzasdelosgatosy elongaciones del acero, debern mostrarse en los planos. Estas prdidas por friccin debern calcularse como sigue (Referencias 2, 6 y 4): para (KX + ) > 0.3 ( ) KXxe P P+= 0( )( )KXte f FR+ = 1kg/cm22.6 ( KX P Px+ + = ) 10para ( + KX) < 0.3 ( )+ + = KXf FRt 111kg/cm22.7 donde: P0 = fuerza en el gato. 23PX = fuerza en el punto X (en m) desde donde se aplica el gato. En la figura 2.2 se muestra la grfica del porcentaje de la prdida en decimal contra el segundo mltiplo de las dos ecuaciones anteriores, manteniendo constante a KX + . Laecuacin2.7esunaaproximacindelaecuacin2.6porloqueserecomiendausarslolaprimera ecuacin para ser conservadores, como en el AASHTO LRFD. Lasprdidasporfriccinocurrenantesdelanclajeydebernestimarseparaeldiseoyrevisarsedurante operaciones de esfuerzos de tensado. Los ductos rgidos debern tener suficiente resistencia para mantener su alineamientocorrectosinbalanceovisibleduranteelcolocadodelconcreto.Losductosrgidospueden fabricarse con juntas soldadas o trabadas. El galvanizado de las juntas no ser requerido. Figura 2.2. Comparacin de las ecuaciones 2.6 y 2.7 de prdida por friccin Los valores de K y de la tabla 2.2 debern usarse cuando no estn disponibles los datos experimentales de los materiales usados. Tabla 2.2 Coeficientes de friccin para tendones postensados (Referencia 2). TIPO DE TENDNTIPO DE DUCTOK/m (1/rad) Cubierta de metal brillante0.00660.3 Cubierta de metal galvanizado0.0049 0.25 Engrasado o revestido de asfalto enrollado 0.0066 0.30 Alambre o trenza sin galvanizar Galvanizado rgido0.0007 0.25 Los valores extremos de los diferentes Cdigos se muestran en la Tabla 2.3. 24Tabla 2.3 Valores extremos de K y de diferentes cdigos de diseo CdigoK AASHTO LRFD0.0007-0.00660.05-0.25 AASHTO ST0.0007-0.00660.15-0.25 RCDF0.0015-0.0050.15-0.25 OHBDC 0.0016 0.00460.18-0.20 ACI0.0007-0.00660.05-0.3 EJEMPLO ILUSTRATIVO: Calcular la fuerza en un tendn postensado a la mitad del claro de una viga de 30 metros de largo. El tendn est en una trayectoria parablica de ordenada igual a 0.9 metros desde el centro del claro. Calcule tambin la prdida de la fuerza de presfuerzo. Usar las frmulas del AASHTO ST. A) Suponga que el ducto es de metaly que el tendn esta compuesto de trenzas de 7 alambres. B) Repetir los clculoscon ductos de metal galvanizado. e=0.9m 30m SOLUCIN: Debidoaquelatangentedelnguloentrelastangentesdeltendnpuedeasumirsenumricamenteigualal valor del ngulo expresado en radianes, el valor de se encuentra como sigue: 12 . 0309 . 0 x 4Le 4tan = = = = donde e es la excentricidad desde el centro del claro. Usando los coeficientes de la Tabla 2.2. A)Con ductos de metal brillante 036 . 0 12 . 0 3 . 0 = = 099 . 0 15000 10 6 . 66= =x KX ( ) 3 . 0 135 . 0 KX < = + X135 . 0X 0P 14 . 1 e P P = = 0 XP 877 . 0 P == 12.3 % de ftf ) 877 . 0 1 ( FR =t B)Con ductos galvanizados: 2503 . 0 12 . 0 25 . 0 = = 0735 . 0 15000 10 x 9 . 4 KX6= =( ) 3 . 0 104 . 0 KX < = + X104 . 0X 0P 11 . 1 e P P = = 0 XP 901 . 0 P == 9.9 % de f (tf 901 . 0 1 FR = )t 2.1.3ACORTAMIENTO ELASTICO Cuandolafuerzapretensorasetransfiereaunmiembro,existirunacortamientoelsticoenelconcretoa medida en que se comprime. ste puede determinarse fcilmente por la propia relacin esfuerzo-deformacin delconcreto.Lacantidaddeacortamientoelsticoquecontribuyealasprdidasdependeenelmtodode presforzado. Paramiembrospretensados,enloscualeseltendnseencuentraadheridoalconcretoalmomentodela transferencia, el cambio en la deformacin del acero es el mismo que el de la deformacin de compresin del concretoalniveldelcentroidedelacero.Paralosmiembrospostensadosenloscualessetensanalmismo tiempo a todos los tendones, la deformacin elstica del concreto ocurre cuando se aplica la fuerza en el gato, yexisteunacortamientoinmediatoporloquenoexistenprdidas.Noseresteelcasosilosdiversos tendones se tensan consecutivamente. Elementos pretensados Sieltendnmostradoenla Figura 2.3tieneuna excentricidad ealcentrodelclaro delaviga,elesfuerzo que sufre el concreto en la seccin del centro del claro al nivel del acero de presfuerzo ser: ssppss2issicgpIe MIe PAPf+ =eE.N.P PLe Figura 2.3 Acortamiento elstico donde e es la excentricidad, Mpp el momento debido al peso propio, Iss el momento de inercia de la seccin simple y Pi esla fuerza inmediatamente despus de la transferencia y tiene un valor menor que la fuerza de tensado Pt. La reduccin del esfuerzo en el acero depende de los efectos de la relajacin instantnea. Debido a 26queesdifcildeterminarexactamenteelvalorreducidoPi,ydebidoaquelasobservacionesindicanquela reduccin es solamente unos puntos porcentuales, es posible usar el valor inicial de Pt, o reducirlo el 10 %. SegnlasReferencias1,3y5,laprdidadebidoalacortamientoelsticoenmiembrospretensadosdeber tomarse como: cgpcipfEEAE = (kg/cm2)2.8 donde: fcgp = sumatoria de los esfuerzos del concreto en el centro de gravedad de los tendones pretensados debidoalafuerzadepresfuerzodespusdelatransferenciayalpesopropiodelmiembroenlas secciones de momento mximo. Eci = mdulo de elasticidad del concreto en la transferencia,el cual se puede calcular como sigue: 3 . 7ci ' f wE2 / 3ci = (kg/cm2)2.9 donde w es el peso volumtrico del concreto en kg/m3 y fci es la resistencia del concreto en el momento de la transferencia en kg/cm2. Elementos postensados Enelementospostensados,laprdidaporacortamientoelsticovaradesdecero,sitodoslostendonesse tensansimultneamente,hastalamitaddelvalorcalculadoparaelcasodepretensado,sivariospasosde tensado tienen lugar. Cuando se tensan al mismo tiempo todos los tendones, la deformacin elstica del concreto ocurre cuando se aplica la fuerza en el gato, y existe una compensacin automtica para las prdidas por acortamiento elstico, las cuales por lo tanto no necesitan calcularse. Paraelcasoenqueseusantendonesmltiplesysetensansiguiendounasecuencia,existirnprdidas.El primertendnqueseanclesufrirunaprdidadeesfuerzocuandosetenseelsegundo,elprimeroyel segundo sufrirn prdida de esfuerzo cuando se tense el tercero, etc. Segnlasreferencias1,3y5laprdidadebidoalacortamientoelsticoenmiembrospostensadospuede tomarse como: cgpcipfEEN 21 NAE= (kg/cm2)2.10 donde: N = nmero de veces que se tensa. Sisetensantodoslostendonessimultneamente,N=1y porlotantoelvalor de AE=0.Cuando N esmuy grande,5 . 0N 21 N. 27Los valores de fcgp pueden calcularse usando un esfuerzo en el acero reducido debajo del valor inicial por un margendependienteenlosefectosdelarelajacinyfriccin.Paraestructuraspostensadascontendones desunidos, el valor de fcgp puede calcularse como el esfuerzo en el centro de gravedad del acero presforzado promediado a lo largo de la longitud del miembro. 2.2 PRDIDAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO O DIFERIDAS 2.2.1CONTRACCIN Lasmezclasparaconcretonormalcontienenmayorcantidaddeaguaquelaqueserequiereparala hidratacin delcemento.Estaagualibrese evaporaconeltiempo,lavelocidadylaterminacindelsecado dependendelahumedad,latemperaturaambienteydeltamaoylaformadelespcimendeconcreto.El secado del concreto viene aparejado con una disminucin en su volumen, ocurriendo este cambio con mayor velocidad al principio que al final, en que asintticamente se alcanzan las dimensiones lmite. Lacontraccinporsecadodelconcretoprovocaunareduccinenladeformacindelacerodelpresfuerzo igualaladeformacinporcontraccindelconcreto.Lareduccindeesfuerzoresultanteenelacero constituye una componente importante de la prdida del presfuerzo para todos los tipos de vigas de concreto presforzado. La contraccin del concreto se conoce como resultado de la prdida de humedad. Tambin se ha demostrado que el concreto se expandir si, despus de haberse secado o parcialmente secado, es sometido a humedad o si es sumergido en el agua. Se sabe que la contraccin es afectada por las siguientes variables: 1.Agregados.Losagregadosactanpararestringirlacontraccindelapastadecemento;deaququeel concreto con un alto contenido de agregados es menos vulnerable a la contraccin. Adems, el grado de restriccindeunconcretoestadeterminadoporlaspropiedadesdelosagregados:aquellosconalto mdulo de elasticidad o con superficies speras son ms resistentes al proceso de contraccin. 2.Relacinagua-cemento.Cuantomayoreslarelacinagua-cemento,mayoressonlosefectosdela contraccin. 3.Tamao del elemento de concreto. Tanto el valor como la magnitud de la contraccin disminuyen con un incremento en el volumen del elemento de concreto. Sin embargo, la duracin de la contraccin de mayor para elementos ms grandes debido a que se necesita ms tiempo para secarse hasta las regiones internas. Es posible que se necesite un ao para que el proceso de secado inicie a una profundidad de 25 cm, y 10 aos para iniciar a 60 cm ms all de la superficie externa. 4.Condiciones del medio ambiente. La humedad relativa del medio afecta notablemente la magnitud de la contraccin; el valor de la contraccin es ms bajo en donde la humedad relativa es alta. 5.Cantidadderefuerzo.Elconcretoreforzadosecontraemenosqueelconcretosimple;ladiferencia relativa es funcin del porcentaje de refuerzo. 6.Aditivos.Esteefectovaradependiendodeltipodeaditivo.Unaceleradortalcomoclorurodecalcio, usado para acelerar el endurecimiento y la colocacin del concreto, aumenta la contraccin. Tambin hay aditivos que impiden la contraccin. 287.Tipo de cemento. El cemento Portland tipo III de resistencia rpida normalmente se contrae 10% ms que un cemento Portland normal (tipo I) o cemento Portland modificado (tipo II). Para elementos postensados, la prdida de presfuerzo debido a la contraccin es un poco menor debido a que ya ha tomado lugar un alto porcentaje de la contraccin antes del postensado. Segn las Referencias 1, 2 y 5 la prdida de presfuerzo debido a la contraccin debe tomarse como: Para miembros pretensados CC = (1193 - 10.5H)(kg/cm2)2.11 Para miembros postensados CC = (948- 9H) (kg/cm2)2.12 donde: H = el promedio anual de la humedad relativa del ambiente (%). En caso de no conocerse H se puede estimar segn la Tabla 2.4 Tabla 2.4Porcentaje de Humedad segn tipo de clima Tipo de climaH Muy hmedo90% Humedad intermedia70% Seco40% La contraccin para elementos pretensados segn el PCI es: ) H 100 )( S / V 06 . 0 1 ( E K ) 10 x 2 . 8 ( CCp cc6 = (kg/cm2)2.13 donde: V/S = relacin volumen-superficie 2.2.2FLUJO PLSTICO El flujo plstico es la propiedad de muchos materiales mediante la cual ellos continan deformndose a travs delapsosconsiderablesbajounestadoconstantedeesfuerzoocarga.Lavelocidaddelincrementodela deformacinesgrandealprincipio,perodisminuyeconeltiempo,hastaquedespusdemuchosmeses alcanza asintticamente un valor constante. En los miembros de concreto presforzado, el esfuerzo de compresin al nivel del acero es sostenido, y el flujo plsticoresultanteenelconcretoesunafuenteimportantedeprdidadefuerzapretensora.Existeuna interdependenciaentrelasprdidasdependientesdeltiempo.Enlosmiembrospresforzados,lafuerzade compresinqueproduceelflujoplsticodelconcretonoesconstante,sinoquedisminuyeconelpasodel tiempo,debidoalrelajamientodelaceroyalacontraccindelconcreto,ascomotambindebidoalos cambios en longitud asociados con el flujo plstico en s mismo. 29Asladeformacinresultanteestenfuncindelamagnituddelacargaaplicada,suduracin,las propiedades del concreto incluyendo el proporcionamiento de la mezcla, las condiciones de curado, la edad a la que el elemento es cargado por primera vez y las condiciones del medio ambiente. Segn las Referencias 1 y 2, la prdida por flujo plstico debe calcularse con la siguiente frmula: FP = 12 fcgp - 7 fcds 0(kg/cm2)2.14 donde: fcds=Esfuerzoenelconcretoenelcentrodegravedaddelostoronesdebidoacargasmuertasque son aplicadas en el miembro despus del presforzado. Los valores de fcds debern calcularse en la misma seccin o secciones para las cuales fcgp es calculada. Segn las referencias 3 y 6la prdida por flujo plstico debe calcularse con la siguiente frmula: ) f f (EEK FPcds cgpcpfp = (kg/cm2)2.15 donde: Kfp = 2.0 para miembros pretensados y 1.6 para miembros postensados Ec = Mdulo de elasticidad del concreto a los 28 das Para concreto de peso ligero deben modificarse los valores de Kcr, reducindolos en un 20%. Finalmente,enlaReferencia5seestablecequelaprdidadepresfuerzodebidoalflujoplsticodebe calcularse como sigue: ( ) ( ) (cds cgpcpfp2f fEEK H 01 . 0 77 . 0 37 . 1 FP = )(kg/cm2)2.16 donde: Kfp = 2.0 para miembros pretensados y 1.6 para miembros postensados H = el promedio anual de la humedad relativa del ambiente (%) 2.2.3RELAJACIN Cuando al acero del presfuerzo se le esfuerza hasta los niveles que son usuales durante el tensadoinicial y al actuar las cargas de servicio, se presenta una propiedad que se conoce como relajamiento. El relajamiento se define como la prdida de esfuerzo en un material esforzado mantenido con longitud constante. Enlosmiembrosdeconcretopresforzado,elflujoplsticoylacontraccindelconcretoascomolas fluctuacionesdelascargasaplicadasproducencambiosenlalongituddeltendn.Sinembargo,cuandose calcula la prdida en el esfuerzo del acero debida al relajamiento, se puede considerar la longitud constante. El relajamiento contina indefinidamente, aunque a una velocidad decreciente. Debe de tomarse en cuenta en el diseo ya que produce una prdida significativa en la fuerza pretensora. Lamagnituddelrelajamientovaradependiendodeltipoydelgradodelacero,perolosparmetrosms significativos son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial. 30 SegnlaReferencia1enmiembrospretensados,laprdidaporrelajacinenelacerodepresfuerzo, inicialmente esforzado arriba de 0.5fsr, debe tomarse como: En la transferencia Para trenzas aliviadas de esfuerzo ( )tpytf 55 . 0ff10t log1 RE = (kg/cm2)2.17 Para trenzas de baja relajacin ( )tpytf 55 . 0ff40t log1 RE = (kg/cm2)2.18 donde: t = tiempo estimado en das desde el esforzado hasta la transferencia (horas). ft = Esfuerzo en el tendn al final del esforzado (kg/cm2). fpy = Resistencia del acero de presfuerzo (kg/cm2). Los rangos de los valores de fpy estn dados como sigue: Para tendones aliviados de esfuerzo: fpy=0.85fsr. Para tendones de baja relajacin: fpy=0.90fsr Despus de la transferencia Las prdidas debido a la relajacin del acero de presfuerzo pueden tomarse como: Para pretensado con trenzas aliviadas de esfuerzo (kg/cm ( FP CC 2 . 0 AE 4 . 0 1408 2 RE + = ))2)2.19 Para postensado con trenzas aliviadas de esfuerzo ( FP CC 2 . 0 AE 4 . 0 FR 3 . 0 1408 2 RE + = (kg/cm2)2.20 Para acero de presfuerzo de baja relajacin se deber usar el 30% de RE2 de las ecuaciones 2.19 y 2.20. Segn la Referencia 5 la prdida por relajacin en el acero de presfuerzo debe tomarse como: En la transferencia: En miembros pretensados, la prdida por relajacin en el acero de presfuerzo de baja relajacin, inicialmente esforzado arriba de 0.5fsr, puede tomarse como: 31 ( )tpytfff tRE = 55 . 045log1 (kg/cm2)2.21 Despus de la transferencia: Laprdidadepresfuerzodebidoalarelajacindespusdelatransferencia,RE2,puedecalcularsepara trenzas de baja relajacin como sigue: fsrfsrfsrCC FPffREsri002 . 03 25 . 134 . 0 55 . 0 2 + = (kg/cm2)2.22 donde: fi = esfuerzo en el acero despus de la transferencia. Segn la referencia 2 la prdida por relajacin en el acero de presfuerzo debe tomarse como: Elementos pretensados Trenzas de 17570 a 18980 kg/cm2 Para trenzas aliviadas de esfuerzos RE = 1405.8 -0.4AE - 0.2 (CC +FP)(kg/cm2)2.22 Para trenzas de baja relajacin RE = 351.44 - 0.1AE - 0.05 (CC +FP)(kg/cm2)2.23 Elementos postensados Trenzas de 17570 - 18980 kg/cm2 Para trenzas aliviadas de esfuerzos RE = 1405.76 - 0.3FR - 0.4AE - 0.2 (CC + FP)(kg/cm2)2.24 Para trenzas de baja relajacin RE = 351.44 - 0.07FR - 0.1AE - 0.05 (CC + FP)(kg/cm2)2.25 Alambre de 16870 kg/cm2 RE = 1265.18 - 0.3FR - 0.4AE - 0.2 (CC + FP)(kg/cm2)2.26 Y por ltimo en la Referencia 3 seestablece que se puede calcular la relajacin con la siguiente ecuacin: ( ) [ ]C AE FP CC J K REre + + = En donde los valores de Kre, J y C se toman de las tablas 2.5 y 2.6 (Referencia 3). 32 Tabla 2.5. Valores de Kre y J TIPO DE TENDONKREJ Trenza o alambre aliviada de esfuerzo de grado 27020,0000.15 Trenza o alambre aliviada de esfuerzo de grado 25018,5000.14 Alambre aliviado de esfuerzo de grado 235 o 24017,6000.13 Trenza de baja relajacin de grado 2705,0000.04 Alambre de baja relajacin de grado 2504,6300.037 Alambre de baja relajacin de grado 235 o 2404,4000.035 Tabla 2.6 Valores de C fi/fsr Trenza o alambre aliviado de esfuerzoBarra aliviada de esfuerzo Alambre o trenza de baja relajacin 0.801.28 0.791.22 0.781.16 0.771.11 0.761.05 0.751.451.00 0.741.360.95 0.731.270.90 0.721.180.85 0.711.090.80 0.701.000.75 0.690.940.70 0.680.890.66 0.670.830.61 0.660.780.57 0.650.730.53 0.640.680.49 0.630.630.45 0.620.580.41 0.610.530.37 0.600.490.33 2.3 ESTIMACINAPROXIMADADELASUMATOTALDELASPRDIDAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO SegnlaReferencia1unaestimacinaproximadadelasprdidasdepresfuerzodependientesdeltiempo resultantesdelflujoplsticoycontraccindelconcretoyrelajacindelaceroenmiembrospresforzadosy parcialmente presforzados puede tomarse como se especifica en la tabla 2.7 para: Miembros postensados no en segmentos con longitudes arriba de 50 m y esfuerzo en el concreto de 10 a 30 das y, Miembros pretensados esforzados despus de alcanzar una resistencia de fci = 245kg/cm2 = 24 MPa Siempre que ellos: 33 1.Estn hechos de concreto de densidad normal 2.El curado del concreto es hmedo o con vapor 3.El presforzado es por barras o trenzas con propiedades normales y bajas de relajacin y, 4.Son colocados en condiciones de exposicin y temperaturas promedios. La relacin parcial de presforzado o ndice de presfuerzo, IP, usada en la Tabla 2.7, deber tomarse como se especifica en la ecuacin siguiente: y s py pspy psf A f Af AIP+= 2.27 donde: IP = ndice de presfuerzo. As = rea de refuerzo de tensin no presforzado Aps = rea del acero de presfuerzo fy = resistencia especificada de las barras de refuerzo fpy = resistencia del acero de presfuerzo Paramiembroshechosdeconcretoestructuraldebajadensidad,losvaloresespecificadosenlaTabla2.7 debern aumentarse en 357 kg/cm2 (35 MPa). Para trenzas de baja relajacin, los valores especificados en la Tabla 2.7 pueden reducirse en: 285.6 kg/cm2 (28 MPa) para trabes cajn 418.2 kg/cm2 (41 MPa) para vigas rectangulares, losas slidas y vigas I, y 561 kg/cm2 (55 MPa) para Ts simples, dobles T, ncleos huecos y losas huecas Paracondicionesinusualesdeexposicin,estimacionesmsexactasdeberndeobtenersedeacuerdoa mtodos apoyados por la investigacin o experiencia Lasprdidasdebidoalacortamientoelsticodebernsumarsealasprdidasdependientesdeltiempopara determinar las prdidas totales. Las estimaciones aproximadas de la suma total de las prdidas dependientes del tiempo dadas en la tabla 2.7 reflejan valores y tendencias obtenidas de un anlisis computarizado de pasos sucesivos de un gran nmero de puentes y elementos de edificios diseados para un rango comn de las siguientes variables: A)El coeficiente ltimo de flujo plstico del concreto con rango de 1.6 a 2.4. B)El coeficiente ltimo de contraccin con rango de 0.0004 a 0.0006 (mm/mm). C)Humedad relativa con rango de 40 a 100%. D)Curado del concreto hmedo o con vapor. E)ndice de presfuerzo de 0.2 a 1.0. 34 Tabla 2.7 Prdidas dependientes del tiempo (Referencia 1). Tipo de la seccin de la vigaNivelParaalambresytrenzasconfsr=16500,17600 17100 kg/cm2 Vigasrectangularesylosas slidas Lmite superior Promedio 200 + 28(IP) 180 + 28(IP) Trabes cajnLmite superior Promedio 145 + 28(IP) 130 + 28(IP) Vigas IPromedio ) IP ( 414141 c f15 . 0 1 270 + Tsimple,dobleT,ncleos huecos y losas huecas Lmite superior Promedio ( ) IP 414141 c f15 . 0 1 270 + ( ) IP 414141 c f15 . 0 1 230 + Puede observarse en la Tabla 2.7 que, para los casos de trenzas de resistencia alta, existe un lmite superior y unlmitepromedioestimados.Ellmitesuperioresrecomendadocuandosetieneunacombinacin desfavorable de parmetros, tal como baja resistencia a la compresin del concreto, baja humedad relativa y condicionesdecuradoconagua.Paraelementospresforzadosconbarras,ladiferenciaentreellmite promedio y el lmite superior se encuentra tan insignificante para justificar una expresin diferente. Segn la Referencia 2 en lugar de un mtodo detallado para estimar las prdidas, las siguientes estimaciones delasprdidastotalespuedenusarseparaelementospresforzadosoestructurasdediseocomn.Estos valoresdeprdidaestnbasadosusandoconcretodepesonormal,anivelesdepresfuerzonormales,y condiciones promedio de exposicin. Para claros demasiado largos, o para diseos inusuales, deber usarse un mtodo refinado. Tabla 2.8. Estimacin de las prdidas totales (Referencia 2) Tipo de acero de presfuerzoPrdida Total fc =280 kg/cm2fc=350 kg/cm2Pretensado Trenzas ------------------- 3150 kg/cm2Postensado Alambres o Trenzas Barras 2250 kg/cm2 1550 kg/cm2 2300 kg/cm2 1620 kg/cm2 No se incluyen prdidas por friccin. Enresumen,seproponeelusodelassiguientesfrmulasparacalcularlaprdidatotaldelafuerzade presfuerzo: 35 Deslizamiento del anclaje: Ecuacin 2.3 Friccin: Ecuacin 2.5 Acortamiento elstico: Elementos pretensados Ecuacin 2. 8 Elementos postensados Ecuacin 2. 10 Contraccin: Elementos pretensados Ecuacin 2. 11 Elementos postensados Ecuacin 2. 12 Flujo plstico: Ecuacin 2. 14 Relajacin: Acero de baja relajacin: Ecuacin 2. 18 36www.ingenieriacivil.cjb.net CAPITULO 3. DISEO DE PUENTES DE TRABES CAJON Eldiseodeelementosdeconcretopresforzadoconsisteenproponerelelementoquefuncionaly econmicamenteseaptimo,paradeterminadasaccionesycaractersticasgeomtricasdelaobra,estoes, proporcionarlepresfuerzoyrefuerzoparaquetengauncomportamientoadecuadodurantetodassusetapas antecargasdeservicioycargasltimas.Esclaroqueanteestaperspectiva,elelementooseccintpicaa utilizar no es una incgnita sino un dato que el diseador de acuerdo a sus conocimientos y experiencia debe proporcionar. Debidoaquelastrabescajntienenunbordesuperioreinferior,debenserdiseadascomovigaTpara momentos positivos y negativos. El aumento del grueso de la losa inferior mediante chaflanes en reas de momento negativo es comn, como lo es el aumento de grosor de las almas de las trabes adyacentes a los soportes para controlar el cortante. 3.1 Esfuerzos de adherencia, longitud de transferencia y longitud de desarrollo En las vigas de concreto presforzado las fuerzas actuantes tienden a producir el deslizamiento de los tendones a travs del concreto que los rodea. Esto produce esfuerzos de adherencia o esfuerzos cortantes que actan en la cara de contacto entre el acero y el concreto. Paralasvigaspretensadas,cuandoseliberalafuerzaexternadelgato,lafuerzapretensorasetransfiere del acero al concreto cerca de los extremos del elemento mediante la adherencia a travs de una distancia que se conocecomolalongituddetransferencia.Dentrodelalongitud,elcrecimientodelpresfuerzoesgradual desde cero hasta el nivel del presfuerzo efectivo, tal como se muestra en la figura 3.1. Lalongituddetransferenciadependedevariosfactores,incluyendoelesfuerzodetensindelacero,la configuracin de la seccin transversal del acero (por ejemplo, alambres contra cables),la condicin en que se encuentre la superficie del acero, y la rapidez con la que se libere la fuerza del gato. Los alambres de acero queseencuentranligeramenteoxidadosrequerirnlongitudesdetransferencia menores que aquellos que se encuentrenlimpiosybrillantes.Laspruebasindicanquesilafuerzadelgatoseliberasbitamente,la longitudrequeridadetransferenciaserasustancialmentemsgrandequela que se requerira si la fuerza se aplica gradualmente. La resistencia del concreto tiene muy poca influencia. El presfuerzo final o efectivo ff es esencialmente constante a medida en que la viga es cargada gradualmente hastaelniveldesucargadeservicio,Sinembargo,sistatuvieraquesobrecargarseexistirungran incrementoenelesfuerzodelacerohastaquesealcanceelesfuerzodefallaporflexinfpsquepuedeser cercanoalaresistenciadetensindelacerofsr.Unsobresfuerzomsalldelacargadeservicioproduce esfuerzosalgomenoresdentrodelalongitudoriginaldetransferencia,talcomosesugiereenlafigura3.1. Para alcanzar el esfuerzo de falla fsr en el acero se requiere de una longitud de desarrollo mucho ms grande que la longitud original de transferencia, tal como se muestra. 37Figura 3.1. Longitudes de transferencia ydesarrollo para cables de pretensado.LdfffpsLtDistancia alextremo libreEsfuerzo enel acero Longitud de desarrollo (longitud de anclaje) del acero de presfuerzo (Referencia 4) Los torones de pretensado de tres o siete alambres debern estar adheridos, ms all de la seccin crtica, en una longitud en cm, no menor que: ( )b f sp dd f 67 . 0 f 014 . 0 L = 3.1 donde: fsp = esfuerzo en el torn cuando se alcanza la resistencia del elemento, (kg/cm2 ) ff = presfuerzo final o efectivo en el torn, (kg/cm 2 ) db = dimetro del torn, (cm) Esta revisin puede limitarse a las secciones ms prximas a las zonas de transferencia del miembro, y en las cuales sea necesario que se desarrolle la resistencia de diseo. Cuando la adherencia del torn no se extienda hastaelextremodelelementoyencondicionesdeservicioexistanesfuerzosdetensinporflexinenel concreto en la zona precomprimida, se debe duplicar la longitud de desarrollo del torn dada por la frmula anterior. La longitud de desarrollo de alambres lisos de presfuerzo se supondr de 100 dimetros. 3.2 Estado de esfuerzos En cada una de las etapas por las que pasa un elemento presforzado, deben revisarse los esfuerzos que actan enelelemento(Figura3.2).Lasiguienteexpresinenglobalasdistintasaccionesylascaractersticas geomtricas de la seccin en las distintas etapas. El esfuerzo en cada fibra de cada seccin, f, est dado por: IscyscMcvIscyscMcmIssyssMfIssyssMppIssyssPeAssPf = 3.2 38fP fPe fPP ff fscm fcv fnbehss hsceE.NscE.NssAsp+ + + + + =Figura 3.2. Esfuerzos en cualquier seccin de la viga tanto en la etapa simple como en la compuesta. donde las acciones estn dadas por P=fuerza de presfuerzo efectiva e= excentricidad del presfuerzo Mpp=momento por peso propio Mf=momento debido al firme Mcma=momento debido a la sobrecarga muerta Mcv =momento debido a la carga viva y las propiedades geomtricas son A=rea de la seccin I=momento de inercia de la seccin y=distancia a la fibra donde se calculan los esfuerzos Los subndices ss y sc se refieren a seccin simple y seccin compuesta, respectivamente. 3.3 Proceso de diseo El proceso de diseo de puentes presforzados abarca las siguientes etapas: A)Proposicin de la seccin y del presfuerzo. B)Revisin elstica. C)Revisin por resistencia ltima. D)Revisin por cortante. E)Revisin por acero mnimo. F)Revisin por acero mximo. G) Revisin de deflexiones Acontinuacinsemuestraundiagramadeflujoquemuestraelprocesodediseodeunelemento presforzado: 39SiL, Carga por vigaSeleccin de tipo deseccin ydimensionesSeleccin de nmero detorones (n) y el esfuerzopermisible ( fp )Clculo de las prdidas depresfuerzoClculo de esfuerzosactuantes ( f )f fpClculo del momentoresistente (MR)unicamente con (Asp )MR = MUClculo del cortanteresistente (VCR) y estribosRevisin de esfuerzos enla transferencia yencamisadosRevisin de ( Asmax ) ymomento de agrietamiento(MAG)Colocar acerode refuerzo(As)NoNoSiFigura 3.3-Diagrama de flujo deldiseo de un elemento presforzado 3.3. A.PROPOSICIN DE LA SECCIN Y DEL PRESFUERZO. Figura 3.4. Seccin tipo cajn40 Para la proposicin de la seccin y presfuerzo se pueden tomar las siguientes recomendaciones: Peralte de la estructura Paraasegurarunaadecuadarigidezquelimitelasdeflexiones,enlaReferencia1y2serecomiendaquela relacin peralte-claro en trabes cajnsea: Relacin peralte-claroMaterial Tramos simplesTramos continuos Concreto reforzadoL/16.67L/18.18 Concreto presforzadoL/22.22L/25 Estos valores son tentativos y pueden variar de acuerdo a la resistencia del concreto, requerimientos de claro, consideracionesestticas,prcticasconstructivas,cargayotrosfactores.EnMxicoseacostumbrapara trabes cajn simplemente apoyadas una relacin de L/22 a L/23, incluyendo la losa colada in situ. Presfuerzo Sepuedehacerunaestimacininicialdelacantidaddepresfuerzoanalizandolosesfuerzosfinalesdel elementoeigualndolosconlosesfuerzospermisibles.Analizaremoslosesfuerzosinferioresdebidoaque por lo general son ms crticos. SECCIN SIMPLE -+--+Etapa FinalPAssPeSssMSssfpSMSe PAPi i= + ;+ =+ipiSeA11fSMP 3.3 SECCIN COMPUESTA -+ --- + +MSss1PAssPeSssMSsc2Etapa Final41+= + + fpSMSMSPeAPsc2ss1ss ss; + +=+sssssssc ssSeAfpSMSMP12 13.4 3.3. B.REVISIN ELSTICA Revisin de esfuerzos permisibles En el mtodo de diseo por carga de servicio o diseo por esfuerzos permisibles, las cargas de trabajo o sin factorizarproporcionanlabaseparaelclculodelaresistenciadelconcreto.Enflexin,losesfuerzos mximos calculados elsticamente no pueden exceder los esfuerzos de trabajo o permisibles. Elmtododeesfuerzopermisibleimplicaquesesatisfaceautomticamenteelestadolmiteltimosinose exceden los esfuerzos permisibles. Generalmente,enlaprcticaactual,lasdimensionesdelconcretoylafuerzapretensoraparalasvigasse escogenenformataldenoexcederloslmitesdeesfuerzosespecificadosamedidaenquelavigapasadel estadodescargadoalestadodeservicio.Tantoelconcretocomoelacerosepuedenconsiderarelsticosen esterango.Despusdequesehanseleccionadotentativamentelasdimensionesdelmiembrosobreestas bases, si fuera necesario se deber revisar las deflexiones bajo los estados de carga de inters y la resistencia ltima del miembro. Estaproposicinesrazonable,considerandoqueunodelosobjetivosmsimportantesdelpresfuerzoes mejorar el comportamiento bajo cargas de servicio. El criterio del comportamiento bajo cargas de servicio es elquedeterminalamagnituddelafuerzapretensoraausarse,aunquelosrequisitosderesistenciapueden determinar el rea total del acero a tensin. ESFUERZOS PERMISIBLES (Referencia 4) Esfuerzos permisibles en el concreto Esfuerzos inmediatamente despus de la transferencia y antes de que ocurran las prdidas por contraccin y flujo plstico Compresin0.6 fci Tensinenmiembrossinrefuerzoenlazonade tensin ci f Esfuerzos bajo cargas muerta y viva de servicio Compresin0.45 fc Tensin c f 6 . 1 Esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo Debido a la fuerza aplicada en el gato 420.8 fsr Inmediatamente despus de la transferencia 0.7 fsr ETAPAS A REVISAR Se deben de revisar las siguientes etapas criticas: Etapa final En este etapa actuan todas las cargas sobre el elemento, incluyendo a las cargas vivas. Los esfuerzos mximos se debern comparar con los permisibles. El esfuerzo en la cara inferior es: c ' f 6 . 1SMSMSe PAPfisci2ssi1ssifssf + + = 3.5 Los esfuerzos en la cara superior se consideran sobre la seccin simple: hsshfirme c f 45 . 0yh ySMSMSe PAPfsscsfirme scssci2ssi1ssifssf + = 3.6 Transferencia Estaetapaescuandosetransfiereelpresfuerzoalelementoysloestarnactuandolosesfuerzosdebidoal presfuerzo y el peso propio del elemento, los cuales debern compararse contra los esfuerzos permisibles de tensin y compresin. c ' fSMSe PAPfssippssiissii + = 3.7 c ' f 6 . 0SMSe PAPfsssppsssissis + = 3.8 43Elelementosedeberrevisardesdeelcentrodelclarohastalosextremos.Enlasseccionesendonde sobrepase los esfuerzos permisibles, cierto nmero de tendones se podr encamisar o enductar. Los tendones encamisados no actan sobre el elemento. Se deber revisar el momento resistente en donde se encamise. Transporte Para los elementos prefabricados se debe de revisar la etapa de transporte. Esto es para elementos que tengan unalongitudmayoraladelasuperficiedeltransporteyaqueestalongitudsobranteestarencantiliver provocando un momento que podra causar la rotura del elemento. El diseador deber de calcular este momento y agregar acero de refuerzo al elemento si es necesario. 3.3. C.REVISIN POR RESISTENCIA LTIMA El mtodo de diseo por resistencia o mtodo de factor de carga es esencialmente un diseo de estados lmites connfasisenlosestadoslmitesltimos,revisandolosestadoslmitedeserviciabilidaddespusdequeel diseo original ste completo. Enestecriterio,lascargasdetrabajoeneldiseosonmultiplicadasporfactoresdecargaylaestructura es diseada para resistir hasta su capacidad ltima las cargas factorizadas. Los factores de carga asociados con un tipo de carga son ajustados para reflejar el grado de variacin e incertidumbre de esa carga. En la Referencia 17 se especifican los valores de factores de carga para diversas combinaciones de acciones. Expresadoenformasencilla,factordecargaeslacantidadporlaquedebenmultiplicarselascargaspara obtenerlamximacapacidaddelaestructura.Paracombinacionesdecargacomunes(CM+CV),se especificaunfactordecargade1.4.Paracombinacionesdecargaexcepcionales(CM+CV+CA),se aplicar un factor de carga de 1.1. El momento ltimo actuante ser: Mu = FcMs < MR 3.9 dnde:Fc = Factor de carga. Ms = Momento de servicio. MR = Momento resistente Laresistenciadeloselementosaciertosefectossetieneaplicandoalgunateoraacertada.Laresistencia obtenida se afecta de un factor de reduccin, que afecta a diversos valores de acuerdo al tipo de efecto: Para flexin: FR = 0.9 Para cortante: FR = 0.8. Para flexocompresin: FR = 0.75. EnlaReferencia4seestablecequecuandolaresistenciadelconcretonoesmayorque350kg/cm2,yel presfuerzoefectivoofinalnoesmenorquelamitaddelesfuerzoresistente,fsr,delacerodepresfuerzo,el 44esfuerzoenelacerodepresfuerzofspcuandosealcanzalaresistenciapuedecalcularseparaseccionescon presfuerzo total como: = ' q' ' ffP 5 . 0 1 f fcsrp sr sp3.10 3.3. D.REVISIN POR CORTANTE CORTANTE VERTICAL El cortante total resistente del elemento es:VR = VCR + Vs 3.11 Donde: VCR = cortante que resiste el concreto. Vs = cortante que resiste el acero sd F F AVp R y vs = 3.12 Av = rea de los estribos verticales s = separacin de estribos CR up R y vV Vd F F As= 3.13 Secciones con presfuerzo total El cortante que resiste el concreto en secciones con presfuerzo total se calcular con la siguiente frmula: + =p R CRdMV50 c * f 15 . 0 bd F V 3.14 c * f bd F 2 max VR CR=c * f bd F 5 . 0 min VR CR= Se deber calcular el cortante actuante o de servicio y se multiplicar por su factor de carga. Este valor deber ser menor que el cortante que resiste el concreto: VU = FcVs = 1.4Vs < VCR Si no se cumple esto, se deber se agregar acero de refuerzo para resistir el cortante excedente. Secciones con presfuerzo parcial 45Enseccionesconpresfuerzoparcialyenseccionesconpresfuerzototaldondelostendonesnoestn adheridos,osituadosenlazonadetransferencia,seaplicarnlasfrmulasdecortanteparaelementos reforzados. ( ) c * f 30 2 . 0 bd F V 1, 0 . 0 siR CR + = < 3.15 c * f bd F 5 . 0 V 1, 0 . 0 siR CR = 3.16 donde = cuanta de acero de refuerzo. CORTANTE HORIZONTAL Fuerzascortanteshorizontalesactanentrelassuperficiesdeelementoscompuestossujetosaflexin.Estas fuerzashorizontalessondebidoalgradientedemomentoresultantedelasfuerzascortantesverticales.Es necesario transferir totalmente estas las fuerzas horizontales a los elementos de soporte para que el elemento no falle en esa parte. Loselementosresistentesalafuerzacortantehorizontalsonlafriccinqueexisteentreloselementosy conectores entre estos. Por lo general los estribos existentes sern suficientes para resistir estas fuerzas, de lo contrario debern de agregarse conectores adicionales. A continuacin se muestra un mtodo de diseo para el cortante horizontal. C fsp Asp Tsp Fcba ' ' f F t a Sicbt ' ' f F t a Sihh ff h f= = == = conectores Necesita Lvh bv F 2.8 FhsiR > donde: b = ancho total tf = espesor de la seccin compuesta menos la seccin simple a = ancho del bloque de compresin. bv = ancho de la superficie de contacto Lvh = longitud del cortante horizontal Figura 3.5. Longitud del cortante horizontal2Lvh rea de acero transversal (Av): 46

vvh vvyvh vvy vh v Rh hvAfyL b 3.5Avmax2 1 max AfL b 4 . 82 min Af L b 70 Fmin F F1 min A: de mayorLa : de menorLa = = = donde .3. E.REVISIN POR ACERO MNIMO omento de agrietamiento uando recin se aplica la fuerza del gato al elemento y el cable se estira entre los apoyos, el esfuerzo en el medidaenqueseagreganlascargasmuertayvivasobrepuestas,ocurreunpequeoincrementoenel menosquelavigasehayaagrietadoantesdelaaplicacindelascargasdebidoalacontraccinuotras osteriormentealagrietamiento,elesfuerzoenelaceroseincrementamuchosmsrpidamentequeantes. vh vv vhhhL b 70b L c ' f 25 . 0Fmin F 3 M Cacero es ft. Despus de la transferencia de la fuerza al miembro del concreto, ocurre una reduccin inmediata del esfuerzo hasta su nivel inicial fi, debido al acortamiento elstico del concreto. Al mismo tiempo, comienza a actuar el peso propio a medida que la viga se empieza a combar hacia arriba. Aqu suponemos que todas las prdidas dependientes del tiempo ocurren antes de la aplicacin de las cargas sobrepuestas, en forma tal que el esfuerzo se contina reduciendo hasta su nivel efectivo o final de presfuerzo, ff. Aesfuerzodelacero.Suponiendoquesemantieneunaadherenciaperfectaentreelaceroyelconcreto,este incremento debe ser np veces el incremento en el esfuerzo en el concreto al nivel del acero. El cambio es entre el 3 4% del esfuerzo inicial y se desprecia por lo general en los clculos. Acausas,noexisteunamodificacinsubstancialenelcomportamientohastalacargadedescompresin,en dondelacompresinenlaparteinferiordelmiembrosereduceacero.Elesfuerzoenelacerocontina incrementndosepocoyenformalinealhastaquesealcanzalacargadeagrietamiento.Bajoestacarga, ocurreunsbitoincrementoenelesfuerzodelacero,amedidaenquelatensinqueeratomadaporel concreto se transfiere al acero. En un elemento con agrietamiento previo o que halla sido colado en diversos segmentos, la curva cambia de pendiente en la carga de descompresin. PDespusdealcanzadoelesfuerzodefluenciafpy,elacerosedeformadesproporcionadamente,perosoporta crecientesesfuerzosdebidoalaformadesucurvaesfuerzo-deformacin,ylacurvaesfuerzocontracarga continahaciaarribareduciendogradualmentesupendiente.Elesfuerzodelaceroenlafallafpspuedeser 47igualalaresistenciaalatensinfsr,peroporlogeneralseencuentraalgopordebajodeesevalor, dependiendo de la geometra de la viga, la proporcin de acero, y de las propiedades de los materiales. Elmomentoqueproduceelagrietamientopuedehallarsefcilmenteparaunavigatpica,escribiendola ecuacin para el esfuerzo en el concreto en la cara inferior, basndose en la seccin homognea, e igualando al mdulo de ruptura: Mdulo de ruptura = c ' f 2 Ff = 3.17 Seccin simple c ' f 2SMSe PAPiagri= + 3.18 iiagrSSe PAPc ' f 2 M + + = 3.19 enlacualMagreselmomentodeagrietamiento(incluyendoelmomentodebidoalpesopropioyaldelas cargas muertas y vivas sobrepuestas) y ff es el mdulo de ruptura. Seccin compuesta c ' f 2SMSMSe PAPisc2iss1iss= + + 3.20 De la ecuacin anterior la incgnita es M2. Despejando: isciss iss12SAPSe PSMc ' f 2 M++ = 3.21 donde3.22 2 1 agrM M M + = Entodoelementosedebergarantizarquelaresistencialtimaaflexinsepresentedespusdel agrietamiento.Paraellosedeberdeproveerrefuerzosuficienteatensinyasobtenerunmomento resistente mayor que el momento de agrietamiento: MR (1.5 0.3 Ip ) Magr 3.23 Dependiendo del ndice de presfuerzo, Ip, el factor entre parntesis de la ecuacin anterior tiene como lmites 1.5, para elementos reforzados sin presfuerzo y 1.2, para elementos presforzados. 3.3. F.REVISIN POR ACERO MXIMO Eldiseadordebegarantizarqueelelementopresentarunafalladctil.Paraello,deberevisarquela deformacin en los aceros sea al menos 33 por ciento mayor que la deformacin de fluencia: sp 1.33 sy 3.24 48 l valor de sp debe incluir la deformacin inicial del presfuerzo. ondermacin unitaria del acero de presfuerzo cuando se alcanza el momento resistente de la seccin descompresin. .3. G.REVISIN DE DEFLEXIONES a prediccin de la deflexin en miembros presforzados es complicada por la reduccin gradual de la fuerza uando es importante obtener las deflexiones como en el caso de puentes de grandes claros, el mtodo ms ncuandoenciertoscasosladeflexinparaestadosintermediospuedeserimportante,losestadosa as deflexiones de corta duracin pi debidas a la fuerza pretensora inicial Pi se pueden hallar basndose en E p i sp + = dsp = defoyp = deformacin unitaria especifica de fluencia del acero de presfuerzo. i = deformacin unitaria debida al presfuerzo efectivo en el momento dep = deformacin del acero de presfuerzo 3 Lde presfuerzo debida a las prdidas. En un miembro tpico, la aplicacin de la fuerza de presfuerzo producir una flecha hacia arriba. El efecto de la contraccin, del flujo plstico y del relajamiento, reduce gradualmente laflechaproducidaporlafuerzainicial.Sinembargo,elefectodelflujoplsticoesdoble.Mientrasque produceunaprdidadelpresfuerzotendienteareducirlaflecha,lasdeformacionesqueprovocaenel concretoaumentanlacontraflecha.Porlogeneral, elsegundoefectoeselquepredomina,ylacontraflecha aumenta con el tiempo a pesar de la reduccin de la fuerza presforzante. Csatisfactorio consiste en el procedimiento basado en la sumatoria de las deflexiones que ocurren en intervalos discretosdetiempo.Deestamanera,loscambiosdependientesdeltiempoenlafuerzapretensora,enlas propiedades de los materiales, y en las cargas, se pueden tomar en cuenta con precisin. Pero en la mayora deloscasosessuficienteestablecerlimitacionesenlarelacinclaroaperaltebasndoseenexperiencias previasoenlimitacionesdecdigosysisedebencalculardeflexiones,elmtodoaproximadodescritoa continuacin es suficiente para los elementos y casos ms comunes. Aconsiderarse normalmente son el estado inicial, cuando a la viga se le aplica la fuerza pretensora inicial Pi y su peso propio, y una o ms combinaciones de carga de servicio, cuando la fuerza pretensora es reducida por lasprdidashastaPfycuandolasdeflexionessonmodificadasporelflujoplsticodelconcretosujetoa cargas sostenidas. Lla variacin de la curvatura a lo largo del claro, usando los principios del rea de momentos. Para los casos comunes, la deflexin al centro del claro pi se puede calcular directamente de las ecuaciones de la figura 3.5. Porlogeneral,pieshaciaarriba,yparacondicionesnormales,elpesopropiodelmiembrosesupone inmediatamente despus del presfuerzo. La deflexin inmediata o hacia abajo debida al peso propio, el cual porlogeneralesuniformementedistribuido,sehallafcilmenteporlosmtodosconvencionales.La deflexin neta despus del presfuerzo es o pi P + = 3.25 puedecalcularsesegnlasexpresionesmostradasenlaFigura13.Alconsiderarlosefectosdelarga yduracin debidas a la fuerza presforzante, Pf, despus de las prdidas se puede calcular como la suma de las curvaturasinicialmsloscambiosdebidosalareduccindelpresfuerzoydebidosalflujoplsticodel 49concreto. La deflexin final del miembro bajo la accin de Pf, considerando que el flujo plstico ocurre bajo una fuerza pretensora constante, e igual al promedio de sus valores inicialPi y final Pf es upf pipfC2 + = 3.26 dondeelprimertrmino(deflexindebidoalafuerzafinalefectivaPf)sehallafcilmentemediante proporcin directa: ifpi pfPP = 3.27 donde Cu es el coeficiente de flujo plstico. Ladeflexindelargadu